Содержание

Прямоугольник, квадрат. Признаки прямоугольника и квадрата. Ромб. Геометрия, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1. Периметр прямоугольника

Сложность: лёгкое

2
2. Cторона квадрата

Сложность: лёгкое

1
3. Параллельные прямые

Сложность: лёгкое

4
4. Элементы квадрата

Сложность: лёгкое

3
5.
Периметр ромба

Сложность: лёгкое

1
6. Вопросы о свойствах прямоугольника

Сложность: лёгкое

1
7. Вопросы о свойствах и признаках прямоугольника

Сложность: лёгкое

2
8. Стороны прямоугольника, дано их отношение и Р

Сложность: лёгкое

2
9. Диагонали ромба

Сложность: лёгкое

1
10. Углы ромба

Сложность: лёгкое

2
11. Периметр прямоугольника

Сложность: лёгкое

3
12. Вопросы о свойствах и признаках квадрата

Сложность: среднее

2
13.
Стороны прямоугольника, дано их соотношение и P

Сложность: среднее

3
14. Углы между диагональю и сторонами прямоугольника

Сложность: среднее

3
15. Меньшая диагональ ромба

Сложность: среднее

3
16. Угол ромба, дан угол между диагональю и стороной ромба

Сложность: среднее

3
17. Острый угол ромба, дана разность углов

Сложность: среднее

3
18. Углы ромба (уравнение)

Сложность: среднее

3
19. Угол ромба, дан угол между высотой и стороной ромба

Сложность: среднее

3
20. Угол ромба, если меньшая диагональ равна стороне

Сложность: среднее

3
21. Элементы треугольника, образованного диагональю и стороной ромба

Сложность: среднее

3
22. Угол между диагоналями прямоугольника

Сложность: среднее

3
23. Квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник

Сложность: сложное

1
24. Доказательство с использованием свойств квадрата

Сложность: сложное

1

Ромб и квадрат

Давайте ещё раз вспомним, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. А прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

На этом уроке мы поговорим о таких геометрических фигурах как ромб и квадрат.

Итак, ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми его свойствами, о которых мы с вами говорили на предыдущих уроках.

Теорема. Свойства диагоналей ромба. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.

Доказательство.

Рассмотрим .

, следовательно,  – медиана.

.

 – равнобедренный.

Медиана – биссектриса, высота.

Следовательно, диагональ  и лежит на биссектрисе  .

Что и требовалось доказать.

Теперь сформулируем и докажем признаки ромба.

Теорема. Признак ромба. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

Сторона  – общая, , так как диагонали  т.  делятся пополам

 по двум катетам.

Следовательно, .

, .

Следовательно, .

 – ромб.

Что и требовалось доказать.

И ещё один признак.

Теорема. Признак ромба. Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе угла, то этот параллелограмм – ромб.

Доказательство.

.

как накр. лежащие при и секущей .

Следовательно, .

 – равнобедренный, то есть .

,.

Следовательно, .

 – ромб.

Что и требовалось доказать.

Задача. Чему равны углы ромба, если его меньшая диагональ равна стороне?

Решение.

 – равносторонний.

.

,

.

Ответ: , , , .

Решим ещё одну задачу.

Задача. В ромбе  перпендикуляр , проведённый из вершины  делит сторону  пополам. Найдите градусную меру .

Решение.

 – прямоугольный.

.

, то есть  .

.

, – внутр. одностор. при   и секущей .

.

Так как , то .

.

.

Ответ: .

Теперь поговорим о квадрате.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также можно сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

Эти два определения равносильны. Из каждого следует, что квадрат – это  параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом.

Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба.

Основные свойства квадрата:

1.Все углы квадрата прямые.

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и лежат на биссектрисах его углов.

Задача. На рисунке  – квадрат, . Найдите .

Решение.

.

,  – смежные, то есть  .

Так как , то .

.

 – равнобедренный, тогда .

,

,

,

.

,,

то есть ,.

Ответ: ,.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

 

 

Прямоугольник является параллелограммом, поэтому для него выполняются все свойства параллелограмма.

Особенное свойство прямоугольника: его диагонали равны ( AC = BD ). Это следует из равенства прямоугольных треугольников ACD и DBA.

Признаки:

  1. Если у параллелограмма все углы равны, то это прямоугольник.
  2. Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то это прямоугольник.
  3. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

 

 

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особенное свойство ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов). Это следует из равенства треугольников ABO = CBO = ADO = CDO.

Признаки:

  1. Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой, то это ромб.
  2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

 

 

Квадрат является параллелограммом, прямоугольником и ромбом, а значит, обладает всеми их свойствами.

Признаки:

  1. Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то это квадрат.
  2. Если в ромбе все углы равны, то это квадрат.
  3. Если в ромбе диагонали равны, то это квадрат.

Математический диктант. Прямоугольник, ромб, квадрат. Геометрия, 8 класс

Математический диктант
Прямоугольник,
ромб, квадрат.
Геометрия, 8 класс
№1
Вариант 1
Является ли
прямоугольником
параллелограмм, у
которого есть
прямой угол ?
Вариант 2
Обязательно ли
является
прямоугольником
четырехугольник,
у которого есть
прямой угол ?
№2
Вариант 1
Верно ли, что
каждый
прямоугольник
является
параллелограммом?
Вариант 2
Верно ли, что
каждый
параллелограмм
является
прямоугольником?
№3
Вариант 1
Диагонали
прямоугольника
АЕМК пересекаются
в точке О. Отрезок
АО=3дм. Найдите
длину диагонали
АМ.
Вариант 2
Диагонали
параллелограмма
равны 3 дм и 5 дм.
Является ли этот
параллелограмм
прямоугольником ?
№4
Вариант 1
Диагонали
четырехугольника
равны. Обязательно
ли этот
четырехугольник прямоугольник?
Вариант 2
Сумма длин
диагоналей
прямоугольника
равна 15 см.
Найдите длину
каждой диагонали.
№5
Вариант 1
Периметр ромба
равен 20 см.
Найдите длины его
сторон.
Вариант 2
Верно ли, что
каждый ромб
является
параллелограммом?
№6
Вариант 1
Верно ли, что
каждый
параллелограмм
является ромбом?
Вариант 2
Периметр ромба
равен 28 см.
Найдите его
стороны.
Вариант 1
№7
Диагонали ромба
делят его на четыре
треугольника.
Найдите углы
каждого
треугольника, если
один из углов ромба
равен 30°.
Вариант 2
Ромб АВСD имеет
прямой угол.
Является ли этот
ромб квадратом?
Вариант 1
Две соседние
стороны
параллелограмма
равны и образуют
прямой угол. Как
называется такой
параллелограмм?
№8
Вариант 2
Диагонали квадрата
делят его на четыре
треугольника.
Найдите углы
каждого
треугольника.
Верные ответы
Вариант 1
1. Да;
2. Да;
3. 6 дм;
4. Нет;
5. 5 см;
6. Нет;
7. 90°,75°,15°;
8. Квадрат.
Вариант 2
1. Нет;
2. Нет;
3. Нет;
4. 7,5 см;
5. Да;
6. 7 см;
7. Да;
8. 45°,45°,90°.
Оценка
«5» — 8 верных ответов;
«4» — 7 верных ответов;
«3» — 6 верных ответов;
«2» — 5 верных ответов и менее.

Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Вариант 1

Категория: Тесты по геометрии. 8 класс

 

ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ

8 КЛАСС

ТЕМА: ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ

 

ВАРИАНТ 1

  А1. Диагонали ромба составляют с его стороной углы, один из которых на 20° меньше другого. Чему равен больший угол ромба?

  1) 55°

  2) 100°

  3) 110°

  4) 80°

  Ответ: 3.

 

  А2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е — середина стороны АВ, угол ВАС = 50°. Чему равен угол EOD?

  1) 140°

  2) 130°

  3) 120°

  4) 150°

  Ответ: 1.

 

  А3. В ромбе ABCD угол А равен 60°, АВ = 6 см. Из вершины В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ и ВК соответственно. Чему равна сумма длин отрезков MD и СК?

  1) 8 см

  2) 6 см

  3) 12 см

  4) 4 см

  Ответ: 2.

 

  А4. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = ВМ = СЕ = DK = 3 см, угол АРК = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК?

  1) 20 см

  2) 36 см

  3) 24 см

  4) 12 см

  Ответ: 3.

 

  В1. В ромбе ABCD высота АК, проведенная к стороне ВС, пересекает диагональ BD в точке Е, угол ADE = 40°. Найдите величину угла ЕАС.

  Ответ: 40°.

 

  В2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка М так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите величину угла АМВ.

  Ответ: 75°.

 

  С1. Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Известно, что АВ = ВМ = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

  Ответ: 9 см.

 

Тест геометрия 8 класс Ромб и квадрат

Ромб и квадрат

Задание 1Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется …

Запишите ответ:__________________________________________

Задание 2Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется . ..

Запишите ответ:__________________________________________

Задание 3Является ли любой параллелограмм ромбом?

Выберите один из 2 вариантов ответа:  1) Является     2) Не является

Задание 4Является ли квадрат ромбом? Выберите один из 2:1) Является  2) Не является

Задание 5У какого четырёхугольника все стороны и все углы равны?

Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) У параллелограмма   2) У прямоугольника

                                            3) У ромба               4) У квадрата

Задание 6Угол ромба равен , а диагональ, проведённая из вершины этого угла, равна 5 см. Чему равна сторона ромба?

Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 12,5 см  2) 10 см  3) 5 см  4) 2,5 см

Задание 7На рисунке ABCD – ромб, BD = 3 см, . Найдите периметр ромба?

Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 6 см  2) 9 см  3) 12 см  4) 24 см

Задание 8Является ли ромб, у которого один угол прямой, квадратом?

Выберите один из 2 вариантов ответа  :1) Является   2) Не является

Задание 9На рисунке ABCD – квадрат, BO = OD. Найдите .

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)   2)   3)   4)

 

Задание 10

Вопрос:

Параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом, называется …

 

Запишите ответ:

__________________________________________


Ответы:

1) (1 б.) Верный ответ: «ромбом».

2) (1 б.) Верный ответ: «квадратом».

3) (1 б.) Верные ответы: 2;

4) (1 б.) Верные ответы: 1;

5) (1 б.) Верные ответы: 4;

6) (1 б.) Верные ответы: 3;

7) (1 б.) Верные ответы: 3;

8) (1 б.) Верные ответы: 1;

9) (1 б.) Верные ответы: 1;

10) (1 б.) Верный ответ: «квадратом».

 

Квадрат, Прямоугольник, Ромб, Трапеция, Параллелограмм

Четырехугольник просто означает «четыре стороны»
( четырехугольник означает четыре, боковой означает сторону).

Четырехугольник имеет четыре стороны , он двумерный (плоская форма), замкнутый (линии соединяются), и имеет прямых сторон.

Попробуйте сами

геометрия/изображения/geom-quad.js? режим = выбрать

(Также см. это в интерактивном четырехугольнике)

Свойства

Четырехугольник имеет:

  • четыре стороны (кромки)
  • четыре вершины (углы)
  • внутренних углов, которые в сумме составляют 360 градусов :

Попробуйте нарисовать четырехугольник и измерьте углы. Они должны добавить к 360°

Типы четырехугольников

Существуют особые типы четырехугольников:

Некоторые типы также включены в определение других типов! Например, квадрат , ромб и прямоугольник также являются параллелограммами .Подробности смотрите ниже.

Рассмотрим каждый тип по очереди:

Прямоугольник


квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

Прямоугольник — это четырехсторонняя фигура, в которой каждый угол прямой (90°).

Также противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину.

Площадь


квадратики в каждом углу означают «прямой угол»

Квадрат имеет равные стороны (обозначены буквой «s») и каждый угол прямой (90°)

Также параллельны противоположные стороны.

Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90°) и ромба (все стороны имеют одинаковую длину).

Ромб

Ромб — это четырехгранная фигура, все стороны которой имеют одинаковую длину (обозначены буквой «s»).

Также противоположные стороны параллельны и противоположные углы равны.

Еще одна интересная вещь: диагонали (штриховые линии) сходятся посередине под прямым углом. Другими словами, они «делят пополам» друг друга под прямым углом.

Ромб иногда называют ромбом или ромбом .

Параллелограмм

У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также противоположные углы равны (углы «А» равны, а углы «В» подобные).

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы Параллелограммы!

Пример:

A параллелограмм с:

  • все стороны равны и
  • углов «А» и «B» как прямые углы

— это квадрат !

 

Трапеция (Великобритания: Трапеция)

 

Трапеция

 

Равнобедренная трапеция

У трапеции (называемой в Великобритании трапецией) пара противоположных сторон параллельна.

И трапеция (называемая трапецией в Великобритании) является четырехугольником без параллельных сторон:

  Трапеция Трапеция
В США: пара параллельных сторон НЕТ параллельных сторон
 
В Великобритании: НЕТ параллельных сторон пара параллельных сторон
(определения для США и Великобритании поменяны местами!)

Равнобедренная трапеция , как показано выше, имеет левую и правую стороны одинаковой длины, которые соединяются с основанием под одинаковыми углами.

Воздушный змей

Эй, это похоже на воздушного змея (обычно).

Он имеет две пары сторон:

Каждая пара состоит из двух соединенных сторон одинаковой длины.

Также:

  • углы, где встречаются две пары равны.
  • диагонали, показанные выше пунктирными линиями, пересекаются в прямой угол.
  • одна из диагоналей делит пополам (делит поровну пополам) другую.

 

 

… и это все для специальных четырехугольников.

 

Неправильные четырехугольники

Единственный правильный (все стороны равны и все углы равны) четырехугольник является квадратом. Итак, все остальные четырехугольники неправильные .

 

Карта «Семейное древо»

Четырехугольник определений включительно .

Пример: квадрат также является прямоугольником.

Итак, мы включаем квадрат в определение прямоугольника.

(Мы не говорим: «Если все углы равны 90°, это прямоугольник, за исключением случаев, когда все стороны равны, тогда это квадрат».)

Это может показаться странным, поскольку в повседневной жизни мы думаем о квадрате как о , а не о как о прямоугольнике. .. но в математике равно .

Используя приведенную ниже таблицу, мы можем ответить на такие вопросы, как:

  • Является ли квадрат разновидностью прямоугольника? (Да)
  • Является ли прямоугольник разновидностью воздушного змея? (№)

Сложные четырехугольники

О да! когда две стороны пересекаются, мы называем это «сложным» или «самопересекающимся» четырехугольником, например:

У них по-прежнему 4 стороны, но две стороны пересекаются.

Полигон

Четырехугольник — это многоугольник. На самом деле это 4-сторонний многоугольник, точно так же, как треугольник — 3-сторонний многоугольник, пятиугольник — 5-сторонний многоугольник и так далее.

Играй с ними

Теперь, когда вы знаете различные типы, вы можете поиграть с интерактивными четырехугольниками.

Другие названия

Четырехугольник иногда можно назвать:

  • a Четырехугольник четыре угла «), так что это звучит как «треугольник»
  • a Тетрагон четыре многоугольника «), так что это звучит как «пятиугольник», «шестиугольник» и т. д.

 

621 622 623 624 763 764, 2128, 2129, 3230, 3231

Свойства ромбов, прямоугольников и квадратов

Три особых параллелограмма — ромб, прямоугольник и квадрат — называются так потому, что являются частными случаями параллелограмма. (Кроме того, квадрат является частным случаем или типом как прямоугольника, так и ромба.)

Трехуровневая иерархия, которую вы видите с

в приведенном выше четырехстороннем генеалогическом древе, работает точно так же, как

Собака — это особый тип млекопитающее, а далматинец — это особый тип собаки.

Вот свойства ромба, прямоугольника и квадрата. Обратите внимание, что поскольку все эти три четырехугольника являются параллелограммами, их свойства включают в себя свойства параллелограмма.

  • Ромб обладает следующими свойствами:

    • Применяются все свойства параллелограмма (здесь важны параллельность сторон, конгруэнтность противоположных углов и смежные углы).

    • Все стороны конгруэнтны по определению.

    • Диагонали делят углы пополам.

    • Диагонали перпендикулярны друг другу.

  • Прямоугольник обладает следующими свойствами:

    • Применяются все свойства параллелограмма (здесь важны параллельность сторон, конгруэнтность противоположных сторон и делимость диагоналей пополам).

    • Все углы прямые по определению.

    • Диагонали равны.

  • Квадрат имеет следующие свойства:

    • Применяются все свойства ромба (здесь важны параллельные стороны, диагонали являются перпендикулярными биссектрисами друг к другу, а диагонали делят углы пополам).

    • Применяются все свойства прямоугольника (здесь имеет значение только то, что диагонали конгруэнтны).

    • Все стороны конгруэнтны по определению.

    • Все углы прямые по определению.

Теперь попробуйте решить проблему. Учитывая прямоугольник, как показано, найдите меры угла 1 и угла 2:

Вот решение: MNPQ является прямоугольником, поэтому угол Q = 90°. Таким образом, поскольку в треугольнике 180°, вы можете сказать

Теперь подставьте 14 для всех x .

Теперь найдем периметр ромба РОМА .

Вот решение: все стороны ромба равны, поэтому HO равно x + 2. А поскольку диагонали ромба перпендикулярны, треугольник HBO является прямоугольным. Вы закончите с теоремой Пифагора:

Объедините одинаковые члены и приравняйте к нулю:

Коэффициент:

( x – 3)( x + 1) = 0

Использовать нулевой продукт Свойство:

x – 3 = 0 или x + 1 = 0

x = 3 или x = –1

Вы можете отклонить x = –1, потому что это приведет к треугольнику HBO с катетами длины из –1 и 0.

Иллюстративная математика

Задача

Определите, верно ли каждое из этих утверждений всегда, иногда или никогда.  Если это иногда верно, нарисуйте и опишите фигуру, для которой утверждение верно, и другую фигуру, для которой утверждение неверно.

  1. Ромб-квадрат
  2. Треугольник является параллелограммом
  3. Квадрат является параллелограммом
  4. AÂ квадрат является ромбом
  5. Параллелограмм представляет собой прямоугольник
  6. Трапеция является четырехугольником

Комментарий IM

Цель этого задания состоит в том, чтобы дать учащимся возможность рассуждать о различных видах фигур на основе их определяющих атрибутов и понять взаимосвязь между различными категориями фигур, которые имеют общие определяющие атрибуты.В случаях, когда список определяющих атрибутов для первой фигуры является подмножеством определяющих атрибутов второй фигуры, утверждения всегда будут истинными. В случаях, когда список определяющих атрибутов для второй фигуры является подмножеством определения атрибутов первой формы, то утверждения иногда будут истинными.

Когда это задание используется в обучении, учителя должны отдавать приоритет Стандарту математической практики 6: внимание к точности. Учащиеся должны основывать свои рассуждения, ссылаясь на длину стороны, отношения сторон и меры угла.

Решение

1. Ромб – это квадрат.

Это иногда правда. ⠀ Это верно, если у ромба 4 прямых угла. ⠀ Неверно, если у ромба нет прямых углов.

Вот пример, когда ромб является квадратом:


Вот пример, когда ромб равен , а не квадрату:

2. Треугольник – параллелограмм.

Это , а не верно.⠀ Треугольник – это трехсторонняя фигура. ⠀ Параллелограмм — это четырехсторонняя фигура с двумя наборами параллельных сторон.

3. Квадрат – это параллелограмм.

Это всегда верно. Â Квадраты — это четырехугольники с 4 конгруэнтными сторонами и 4 прямыми углами, а также у них есть два набора параллельных сторон. Параллелограммы — это четырехугольники с двумя наборами параллельных сторон. Поскольку квадраты должны быть четырехугольниками с двумя наборами параллельных сторон, то все квадраты являются параллелограммами.

4. Квадрат А является ромбом

Это всегда Â истина. ⠀ Квадраты — это четырехугольники, у которых 4 стороны равны. Â Поскольку ромбы — это четырехугольники с 4 конгруэнтными сторонами, квадраты по определению также являются ромбами.

руб.

5. Параллелограмм – это прямоугольник.

Это иногда правда. ⠀ Это верно, если у параллелограмма 4 прямых угла. ⠀ Неверно, если у параллелограмма нет прямых углов.

Вот пример, когда параллелограмм является прямоугольником:

Вот пример, когда параллелограмм равен , а не прямоугольнику:


6.Трапеция — это четырехугольник.

Это всегда верно. Â У трапеций должно быть 4 стороны, поэтому они всегда должны быть четырехугольниками.

Что такое четырехугольник? [Определение, факты и примеры]

Что такое четырехугольник?

Многоугольник имеет четыре вершины или угла.

Мы можем найти форму четырехугольника в различных вещах вокруг нас, например, в шахматной доске, колоде карт, воздушном змее, корзине с попкорном, вывеске и стреле.

 

Свойства четырехугольника:
  • Четырехугольник имеет 4 стороны, 4 угла и 4 вершины.
  • Четырехугольник может быть правильным и неправильным.
  • Сумма всех внутренних углов четырехугольника равна 360°.

 

Типы четырехугольников

Четырехугольники можно разделить на параллелограммы, квадраты, прямоугольники и ромбы. Квадрат, прямоугольник и ромб также являются параллелограммами.

Вот список типов четырехугольников с их названиями, изображениями и свойствами: 

Название четырехугольника:  Изображение четырехугольника:  Свойства четырехугольника:
 Параллелограмм

Противоположные стороны параллельны.

Противоположные стороны равны.

Противоположные углы равны.

Квадрат

Все стороны равны.

Все углы равны и равны 90°.

Прямоугольник

Противоположные стороны параллельны.

Противоположные стороны равны.

Все углы равны и равны 90°.

Ромб

Все стороны равны.

Противоположные углы равны.

Трапециевидная

Противоположные стороны параллельны.

Смежные углы в сумме дают 180°.

Интересные факты

  • Слово четырехугольник произошло от двух латинских слов quadri, что означает «четыре», и latus, что означает «сторона».

 Поем!

Четыре стороны и четыре угла,

Найдите четырехугольник на полу в ванной.

Вы можете увидеть другую в деревянной двери,

Или в лодке и на веслах, у берега моря!!

 Давайте сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать своим детям листы для раскрашивания четырехугольников, попросите их наблюдать и отмечать предметы в форме правильных и неправильных четырехугольников, например, в телевизоре, ноутбуке, книге или воздушном змее. Кроме того, вы можете обсудить и показать видео для обзора свойств различных четырехугольников.

 Связанный математический словарь

Является ли квадрат прямоугольником?

Сходство свойств квадрата и прямоугольника может помочь нам сделать вывод к запросу «Является ли квадрат прямоугольником». В геометрии мы узнали о различных типах фигур, таких как квадрат, прямоугольник, цилиндр, ромб, прямоугольный параллелепипед, куб, конус, параллелограмм и т. д. Многие из этих форм имеют определенные общие свойства. Квадрат и прямоугольник являются примерами таких двухмерных форм.Оба они относятся к категории четырехугольников.

Квадрат против прямоугольника

Квадрат: Квадрат – это двумерная плоская фигура с четырьмя равными сторонами, четырьмя внутренними прямыми углами и четырьмя углами. Другими словами, квадрат – это четырехугольник или многоугольник с четырьмя сторонами. Все углы равны, поэтому четырехугольник считается равноугольным.

Прямоугольник: Прямоугольник — это двумерная фигура с четырьмя сторонами, четырьмя внутренними прямыми углами и четырьмя углами. Противоположные стороны прямоугольника равны. У прямоугольника четыре угла, каждый из которых равен 90°. Подобно квадрату, прямоугольник также называют равноугольным четырехугольником.

Давайте посмотрим на приведенное здесь изображение, чтобы лучше понять квадрат и прямоугольник.

Поскольку и квадрат, и прямоугольник имеют одинаковое количество сторон, то есть 4, мы можем заключить, что и квадрат, и прямоугольник являются четырехугольниками. Мы можем наблюдать сходство в свойствах квадрата и прямоугольника в следующем разделе.

Свойства квадрата и прямоугольника

И квадрат, и прямоугольник обладают некоторыми особыми свойствами, отличающими их от обычного четырехугольника. Мы можем провести сравнение необходимых свойств обеих фигур из следующей таблицы и сделать вывод, обладает ли квадрат всеми свойствами, определяющими прямоугольник.

Чем похожи квадрат и прямоугольник?

Из приведенного выше сравнения общих свойств, общих для квадрата и прямоугольника, мы видим, что квадрат обладает всеми свойствами, которые определяют прямоугольник, что делает их похожими определенным образом. Это означает, что квадрат можно также назвать типом прямоугольника.

Таким образом, мы можем окончательно заключить, что да, квадрат является прямоугольником.

Что делает квадрат особенным прямоугольником?

Да, квадрат — это особый тип прямоугольника, поскольку он обладает всеми свойствами прямоугольника. Подобно прямоугольнику, квадрат имеет:

  • внутренних углов, каждый из которых имеет размер 90 .
  • противоположных сторон, которые параллельны и равны.
  • две диагонали, которые делят друг друга пополам и равны.

Квадрат называется особым видом прямоугольника, потому что он обладает дополнительными свойствами , которые не относятся к прямоугольникам. Это:

  • Все четыре стороны квадрата равны.
  • Диагонали квадрата делятся пополам под прямым углом.

Важные примечания

Ниже приведены несколько важных заметок по теме квадрат прямоугольник.

  • Все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.
  • Все квадраты — ромбы, но не все ромбы — квадраты.

Попробуйте мыслить нестандартно, чтобы ответить на следующие вопросы:

  • Всякая ли четырехсторонняя фигура является четырехугольником?
  • Все ли прямоугольники квадраты?
  • Все ли ромбы квадратные?
  • Является ли квадрат трапецией?
  • Является ли квадрат параллелограммом?

Часто задаваемые вопросы о том, является ли квадрат прямоугольником

Квадрат – это прямоугольник? Да или нет?

Ответ: Да.Квадрат является прямоугольником, потому что он обладает всеми свойствами прямоугольника. Эти свойства:

  • Внутренние углы размером 90 каждый.
  • Противоположные стороны параллельны и равны.
  • Две диагонали, которые делят друг друга пополам и равны.

В чем разница между квадратом и прямоугольником?

Квадраты обладают некоторыми дополнительными свойствами, которые не относятся к прямоугольникам. У квадрата равны все четыре стороны, а у прямоугольника равны только противоположные стороны.

Является ли квадрат прямоугольником и ромбом?

Квадрат является и прямоугольником, и ромбом, потому что он обладает свойствами прямоугольников и ромбов. Если вы тоже ищете ответ на вопрос — является ли ромб прямоугольником, то ответ — нет.

Квадрат — это прямоугольник. Это утверждение верно или неверно?

Это утверждение верно. Квадрат является прямоугольником, потому что он обладает всеми свойствами прямоугольника.

Почему квадрат — это особый тип прямоугольника?

Квадрат — это особый тип прямоугольника, поскольку он обладает всеми свойствами прямоугольника.Подобно прямоугольнику, квадрат имеет внутренние углы, каждый из которых равен 90º. противоположные стороны параллельны и равны.

Почему прямоугольник не квадрат?

У прямоугольника не обязательно все четыре стороны одинаковой длины. Это причина того, что прямоугольник не является квадратом.

Трапеция, Параллелограмм, Ромб, Квадрат, Прямоугольник

Тип многоугольника с 4 сторонами, 4 вершинами и 4 углами. Чтобы получить четырехугольник, нужно соединить четыре точки, не лежащие на одной прямой, и сумма всех внутренних и внешних углов всегда равна 360 градусам.-Слово «четырехугольник» произошло от латинских слов «Quadra» и «Latus», что означало четыре и стороны соответственно.

Факты о четырехугольниках

  • Это замкнутая форма.

  • Это плоская фигура.

  • Имеет 4 ребра, вершины и стороны.

  • Чтобы получить диагонали четырехугольника, нужно соединить его противоположные стороны. Давайте проверим некоторые примеры четырехугольника.

Четырехугольник

Согласно евклидовой геометрии, четырехугольники можно определить как многоугольники с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Все они являются двумерными структурами. Существует семь типов четырехугольников.

Трапеция

У трапеции нет сторон, параллельных друг другу. Равнобедренная трапеция имеет одну пару противоположных сторон, которые параллельны друг другу, а также их углы при основании равны друг другу.


Свойства трапеции

  • Основания трапеций параллельны друг другу. В приведенном выше случае AD // BC.

  • Ни одна из сторон, диагоналей и углов не равна друг другу.

Важные формулы, относящиеся к трапеции

Параллелограмм

Параллелограмм — это тип четырехугольника, в котором две пары параллельных сторон присутствуют. При этом противоположные стороны также равны друг другу. Параллелограммы также включают ромбы, ромбоиды и прямоугольники.


Свойства параллелограмма

  • Противоположные стороны параллелограмма параллельны друг другу и равны между собой.

  • Углы также равны.

  • Смежные углы являются дополнительными.

  • Диагонали делят друг друга пополам, а диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

  • Если один из углов параллелограмма прямой, то и все остальные углы прямые, и параллелограмм становится прямоугольником.

 

Важные формулы, связанные с параллелограммами

Ромб

Ромб — это тип четырехугольника, в котором все четыре стороны имеют одинаковую длину. Кроме того, диагонали перпендикулярны друг другу и также делят друг друга пополам.


Свойства ромба

  • Все стороны ромба равны.

  • В ромбе противоположные углы также равны.

  • Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и также делят друг друга пополам.

  • Смежные углы являются дополнительными.

  • Ромб также является параллелограммом, диагонали которого перпендикулярны друг другу.

Важные формулы для ромба

  • Если a и b — диагонали ромба, то

  • Площадь ромба = (a*b) / 2

    75
  • 908 Периметр ромба 4L

Ромбовидный

Ромбовидный в основном тип параллелограмма, в котором смежные стороны имеют неравную длину, а все присутствующие углы косые. Ромбоид — это параллелограмм, который не является ромбом.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, в котором все четыре угла эквивалентны прямым углам.Диагонали делят друг друга пополам и также равны по длине.


Свойства прямоугольника

  • Противоположные стороны прямоугольника параллельны и конгруэнтны.

  • Все углы прямые.

  • Диагонали равны и также делят друг друга пополам.

  • Противоположные углы, образованные в точке пересечения диагоналей, равны.

  • Прямоугольник — это уникальный тип параллелограмма, в котором все углы прямые.

Важные формулы для прямоугольника

  • Если ширина равна B, а длина L, то.

  • Длина диагонали прямоугольника равна √(L2 + B2).

  • Площадь прямоугольника L * B.

  • Периметр прямоугольника равен 2 (L+B).

Квадрат

Квадрат – это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны по длине и все углы равны.Все углы равны 90 градусов, то есть прямые.

Квадрат также является параллелограммом, так как противоположные стороны параллельны друг другу. Кроме того, диагонали перпендикулярны друг другу и также имеют одинаковую длину. Четырехугольник можно назвать квадратом только в том случае, если он удовлетворяет свойствам прямоугольника и ромба.

Свойства квадрата

  • Все стороны и углы равны.

  • Противоположные стороны параллельны друг другу.

  • Диагонали равны.

  • Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.

  • Квадрат — это особый тип параллелограмма, у которого углы и стороны равны.

  • Также параллелограмм становится квадратом, когда диагонали равны и являются прямыми биссектрисами друг друга.

Важные формулы для квадратов

Воздушный змей

Из четырех сторон две смежные равны.Это означает, что две стороны равны и две другие стороны равны. Однако они не равны друг другу. Ни одна из сторон не параллельна. Диагонали не равны, но делят друг друга пополам под прямым углом.

Свойства воздушного змея

  • Две смежные стороны равны.

  • Диагонали не равны.

  • Диагонали перпендикулярны друг другу.

  • Одна диагональ делит воздушного змея на два равных треугольника.Отсюда следует, что углы, образованные равными сторонами, равны.

Важные формулы для воздушного змея

 

Классификация четырехугольника

  • Выпуклый: в котором обе диагонали находятся внутри фигуры.

  • Вогнутая: в которой обе диагонали находятся вне фигуры.

  • Пересекающиеся: в которых пересекаются пары несмежных сторон. Они также известны как самопересекающиеся или скрещенные четырехугольники.

Важные факты о четырехугольниках

  • Если 2 стороны четырехугольника параллельны друг другу, он называется трапецией или трапецией.

  • Если две пары сторон параллельны друг другу, то это называется параллелограмм.

  • Некоторые особые типы параллелограммов — это квадраты и прямоугольники.

  • Если все стороны равны и две пары сторон параллельны друг другу, то ромб называется.

Нахождение формул для площади – Элементарная математика

Формулы площади

Студенты, у которых есть неформальное представление о том, что площадь — это «количество двумерных «вещей»», содержащихся внутри области, могут изобрести для себя большинство формул, которые их часто просят просто запомнить. Каждая формула, которую они заново изобретают, помогает укрепить их понимание (и память) о других формулах, которые они знают. (См. также площадь поверхности.)

Площадь прямоугольников

Выбирая квадрат в качестве единицы площади, мы получаем интуитивное представление о площади прямоугольников.Если мы решим, что площадь этого квадрата равна 1, то прямоугольник, длина которого в 7 раз больше, будет иметь площадь 7 × 1.

Прямоугольник, который в два раза больше высоты, будет иметь вдвое большую площадь, поэтому площадь равна 2 × 7 единиц площади. Мы можем сосчитать два ряда по семь квадратов. Точно так же имеет 3 строки по 7 квадратов (или 7 столбцов по 3 квадрата), всего 7 × 3 квадрата, поэтому его площадь составляет 21 квадратную единицу.

Количество квадратов в одном ряду равно длине прямоугольника. Количество строк равно высоте прямоугольника.Итак, площадь равна длине × высоте.

Поскольку прямоугольник можно нарисовать под наклоном, «высота» определяется как «направление, перпендикулярное основанию», а «основание» определяется как любая сторона, которую вы выберете.

Это работает для подсчета чисел. Это работает даже для дробей. Синий прямоугольник, показанный здесь, имеет высоту в половину единицы длины и ширину в пять с половиной единиц длины. Если мы выберем соответствующий квадрат в качестве нашей единицы площади, мы увидим, что синий прямоугольник содержит пять половинных единиц площади и одну четверть единицы площади, или всего две и три четверти единицы площади.(Розовые части показывают завершение каждой квадратной единицы площади.)

Чтобы включить все чисел, мы определяем площадь прямоугольника, как те же единицы ).

Площадь параллелограмма

Получение идеи

Мы можем вычислить формулу площади параллелограмма, разрезав параллелограмм и переставив части так, чтобы получился прямоугольник.Поскольку параллелограмм и прямоугольник состоят из одних и тех же частей, они обязательно имеют одинаковую площадь. (См. определение площади, чтобы узнать, почему эти области одинаковы.)

Мы видим, что они и имеют одинаковую длину основания (синий) и точно такую ​​же высоту (зеленый). Потому что Base × Высота × Высота дает площадь прямоугольника, мы можем использовать те же измерения на параллелограмме, чтобы вычислить одинаковые размеры: База × Высота .(Как и прежде, «высота» измеряется перпендикулярно основанию, а «основание» — это сторона, которую вы выбрали первой. См. параллелограмм.)

На разрезе, показанном выше, легко увидеть, что базовая длина не изменилась. На самом деле перпендикулярный разрез можно сделать в любом месте вдоль основания.

Укрепление отверстий

Интуиция и доказательство

Это рассечение дает интуитивное понимание формулы площади параллелограмма, причины того, что он должен быть таким, какой он есть.Но мы не задавались вопросом, действительно ли рассечение «работает». То есть, когда мы разрезаем параллелограмм и переставляем его части, мы ожидаем получить и результат наверняка выглядит именно так. Но внешность может быть обманчива. Что гарантирует нам, что при перемещении этого треугольника в результате получится прямоугольник? Что, если это больше похоже (хотя и менее преувеличено)? Если результатом не всегда является идеальный прямоугольник, мы не можем использовать наши знания формулы площади прямоугольника для разработки формулы параллелограмма.В старших классах учащиеся смогут доказать, что две части параллелограмма, если их правильно собрать, образуют прямоугольник. В классах К-8 учащиеся по большей части должны опираться на визуальный эксперимент и получать интуитивное ощущение. Узнайте больше о том, почему эти рассечения работают.

Что, если мы выберем короткую сторону в качестве основания?


Мы вольны выбрать любую сторону в качестве базы; «высота» измеряется перпендикулярно стороне, которую мы выбрали в качестве основания. Если мы возьмем короткую сторону (синюю) за основу, показанное выше рассечение будет не таким убедительным.Резка по этой высоте и перестановка частей оставляет беспорядок:

В этом конкретном примере мы можем спасти беспорядок, сделав еще один разрез, но что, если бы параллелограмм был еще длиннее и тоньше?

Получается, что любой параллелограмм, каким бы длинным и худым он ни был, можно разрезать таким образом, чтобы части — возможно, многие из них — можно было переставить в прямоугольник. Но требуется больше работы, чтобы показать, что это всегда можно сделать. Нам нужна другая идея.

Несколько иная идея вскрытия значительно облегчает жизнь в этом случае. (Сами можете показать, что это работает и в исходном случае.)

  • Заключите параллелограмм в прямоугольник.
  • Две части прямоугольника, равные , а не внутри параллелограмма, являются конгруэнтными треугольниками.
  • Сдвиньте один из этих треугольников к другому, пока они не сойдутся в прямоугольник. Поскольку общая площадь внешнего прямоугольника не изменилась (это тот же прямоугольник, что и раньше) и желтая область не изменилась (фигуры просто переместились), разница между ними — фиолетовыми областями — должна быть одинаковой.Как и прежде, мы также можем видеть, что размеры прямоугольной фиолетовой области — это основание и высота исходного параллелограмма.

Интуиция и доказательство, повторение: Опять же, рассечение дает существенное понимание, но требуется немного больше усилий, чтобы убедиться, что два желтых треугольника, которые, безусловно, выглядят так, как будто они соединяются, образуя прямоугольник, на самом деле подходят точно, а не просто почти .

Почему так важно быть осторожным?

Когда мы будем строить другие формулы площади (см. ниже), мы захотим использовать наш способ нахождения площади параллелограмма, и поэтому мы хотим иметь возможность полагаться на найденное нами правило.Мы можем быть уверены, что перестановка частей не изменит площадь: в конце концов, именно так мы определяем площадь. Но мы также должны быть уверены, что детали подходят друг к другу так, как мы заявляем о , иначе мы не можем полагаться на сделанные нами измерения. И мы должны быть уверены, что правило основания × высоты не зависит от удачного выбора основания.

В большинстве учебных программ учащиеся не имеют достаточно систематической базы геометрических знаний до 8 класса, чтобы убедительно доказать, что эти рассечения работают.Но интуитивного понимания достаточно для объяснения и обоснования формул, а также хорошей основы для последующего изучения геометрии.

Площадь треугольника

Знание того, как найти площадь параллелограмма, поможет нам найти площадь треугольника.

Рассечение треугольника

Мы можем разрезать треугольник на две части — одну на треугольник и одну на трапецию — разрезав его параллельно основанию. Если мы разрезаем высоту ровно пополам с помощью этого среза, две части соединятся вместе, чтобы получить параллелограмм с тем же основанием , но вдвое меньшей высоты .

Итак, основание × половина высоты дает площадь треугольника. Аналогичный разрез показывает полубаза × высота . Любой из них сокращается до bh .

Удвоение треугольника и последующее деление полученной площади пополам

Другой способ мышления: две копии треугольника образуют параллелограмм с тем же основанием и той же высотой , что и треугольник.

Площадь параллелограмма равна основания  × высоты , но это в два раза больше площади треугольника, поэтому площадь треугольника составляет основания × высоты , как мы видели с методом рассечения.

(Как всегда, выберите «основание» и измерьте высоту перпендикулярно этому основанию, от основания до противоположной вершины.)

Площадь трапеции

Удвоение трапеции с последующим делением полученной площади пополам

Как и в случае с треугольником, две копии трапеции можно сложить вместе, чтобы получился параллелограмм.

Высота параллелограмма равна высоте трапеции, но его основание равно сумме двух оснований трапеции.Таким образом, площадь параллелограмма равна высота × ( основание1 + основание2 ). Но эта площадь равна двум трапециям, поэтому нам нужно разрезать ее пополам, чтобы получить площадь трапеции.

Рассечение трапеции

Мы также можем разрезать трапецию так же, как мы разрезали треугольник, с одним срезом, сокращающим его высоту вдвое. Две части соединяются вместе, образуя параллелограмм, основание которого равно сумме двух оснований трапеции, а высота равна половине высоты трапеции.

В случае трапеции основания нельзя выбирать произвольно. Две параллельных сторон являются основаниями, а высота, как всегда, является перпендикулярным расстоянием от одного основания до противоположного.

Площадь этого параллелограмма равна его высоте (половина высоты трапеции), умноженной на его основание (сумма оснований трапеции), поэтому его площадь равна полувысоты × ( основание1 + основание2 ). Поскольку параллелограмм состоит из того же «материала», что и трапеция, это тоже площадь трапеции.

В любом случае площадь трапеции равна × высоты × ( основание1 + основание2 ) .

Площадь других специальных четырехугольников

Площадь ромба

Площадь ромба можно найти, разрезав и переставив части так, чтобы получился параллелограмм. Это можно сделать несколькими способами:

  1. Разрежьте более короткую диагональ (a), чтобы сформировать два конгруэнтных треугольника. Переместите нижнюю половину треугольника рядом с верхней половиной, чтобы сформировать параллелограмм.Более короткая диагональ (a) становится основанием параллелограмма, а половина большей диагонали (b) становится высотой параллелограмма. Таким образом, площадь ромба равна a * b или произведению диагоналей, что является стандартной формулой для ромба.
  2. Другой подобный способ состоит в том, чтобы разрезать ромб на четыре конгруэнтных треугольника и перестроить их в прямоугольник с более короткой диагональю в качестве основания и половиной большей диагонали в качестве высоты.
  3. Разрезав ромб на два конгруэнтных треугольника, мы можем вычислить площадь одного из треугольников, которая равна * основание (а) * высота (b) = ab.Затем умножьте на два, так как их два: 2 * ab = ab.

Зона воздушного змея

Площадь воздушного змея можно найти аналогично площади ромба. Если пересечь более длинную диагональ, получится два равных треугольника. Если мы переставим их, мы можем сформировать параллелограмм с большей диагональю (b) в качестве основания и половиной меньшей диагонали (a) в качестве высоты. Таким образом, площадь становится b * a = ab. Более сложный подход включает в себя немного алгебры. Разрежьте воздушного змея по более короткой диагонали, чтобы сформировать два треугольника с более короткой диагональю (а) в качестве основания.Таким образом, площадь первого треугольника равна * волнистой линии, где волнистая линия — высота. Площадь второго треугольника равна a * (b — волнистая линия), где (b — волнистая линия) — оставшаяся часть большей диагонали. Таким образом, общая площадь становится ( a * волнистой) + ( a * (b — волнистой)). Выделив a, мы имеем a (волнистый + b – волнистый) = ab.

Ну что ты знаешь. По сути, вам нужно знать только формулу площади параллелограмма, а затем вывести формулы для остальных.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.