Содержание

Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один.

Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

Урок математики «Пропорция. Решение уравнений»

МБОУ «Большеатнинская СОШ»

Атнинского муниципального района Республики Татарстан

Разработка урока математики

по теме «Пропорция. Решение

уравнений» (6 класс)

2014 год

План конспект урока математики в 6 классе

Тема: «Пропорция. Решение уравнений.»

Цель: формировать навык нахождения неизвестных членов пропорции, решения уравнений, имеющих вид пропорции;

закрепить основное свойство пропорции на практике: при решении задач и при решении уравнений;

воспитывать умение оценивать объективно труд своих товарищей.

Тип урока: урок повторения изученного материала..

Вид урока: комбинированный.

Оборудование: учебник, интерактивная доска.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Посмотрите, всё ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

2. Устный счет.

Тейк офф – тач даун (встает тот, кто знает ответ на заданный вопрос)

  1. У стола квадратной формы отпилили 1 угол. Сколько углов осталось? (5)

  2. Сколько концов у трех с половиной палок? (8)

  3. Врач прописал 5 уколов. Через полчаса — по уколу. Через сколько часов после первого укола будет сделан последний укол? (2ч.)

  4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5-6 часов? (3)

  5. Назовите взаимно обратные числа.(3/5 и 5/3; 2,5 и 2,5)

  6. Найдите 10% от 500; 40% от 300; 50% от 600; 100% от 520.

3. Актуализация знаний.

1) Найдите отношения:

А) 12кг к 400г; (30)

Б) 40м к 2 км; (0,02)

Какой вывод можно сделать? (Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения).

2) Как называется равенство двух отношений? (пропорция)

4. Сообщение темы урока

.

Континиус Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; четыре ученика в команде по очереди отвечают по кругу до того момента, пока учитель не остановит процесс).

Подумайте, что вы знаете про пропорции? (анализ ответов учащихся)

Сегодня на уроке продолжим работу над темой «Пропорция». Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где?

16 : 2 =8; 12 : 1,5 = 8;

Что вы можете сказать про эти записи? (Равенство двух отношении называется пропорцией).

Как называются 16 и 1,5? (крайние члены пропорции).

Как называются 2 и 12? (средние члены пропорции).

Как определить пропорция верна или неверна? (основное свойство пропорции).

Как найти неизвестный крайний член пропорции?

Как найти неизвестный средний член пропорции?

Что произойдет, если поменять местами крайние или средние члены пропорции? (получившиеся новые пропорции тоже верны).

5. Закрепление. Работа в тетрадях.

Задача: Настоящие охотники за приведениями получили новое оборудование – ультрасовременные ловушки. Две такие ловушки захватывают за один раз 18 приведений. Сколько ловушек надо взять на операцию, чтобы отловить одновременно 27 приведений?

2л – 18приведении

Хл — 27приведении

Составляем пропорцию и решаем её. Ответ: 3 ловушки.

Задача 2. Решение уравнений.

№777 (решить уравнения) используя структуру Финк — Райт – Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; ученики думают и записывают ответы на свой листочек; ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка).

Пришло время ответить на вопрос, заданный в начале урока. Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где? Для ответов мы используем структуру Таймд Пэа Шэа (учитель задает вопрос и дает время подумать; учитель озвучивает, кто начинает первым и сколько времени дается каждому из учеников для ответа; два ученика отвечают на вопрос по очереди в течение данного времени).

6.Домашнее задание №798(составить пропорцию), №799 (при каком значении х верна пропорция) на стр.131.

7. Самостоятельная работа. Выполнение теста по теме «Пропорция» (ваши тесты будут служит билетиками на выход).

8. Подведение итогов урока.

Как связаны между собой понятия «отношение» и «пропорция»?

Что называют отношение двух чисел?

Как называется равенство двух отношений?

Что называется пропорцией?

Каким свойством обладает пропорция?

Калькулятор пропорций — как посчитать пропорцию

Онлайн-калькулятор пропорций, который поможет вам решить ваши проблемы с пропорциями и определить недостающее значение в пропорции. Наш решить пропорцию находит неизвестное значение двумя следующими способами:

  • Крестным умножением
  • По пропорции

Важно понимать основные определения, вычисления пропорций вручную и с помощью калькулятора. Что ж, мы поможем вам разобраться во всех этих терминах.

Читать дальше!

Что такое пропорция?

В математике это отношение между двумя величинами, и два утверждения должны быть равными. Результаты либо в виде дроби, либо через двоеточие (:), либо в виде десятичной дроби или процентов. Например, 3/6 = 1/2 или 3/6: 1/2. Кроме того, это можно записать как 3: 6 = 1: 2. Когда два отношения имеют равные значения, тогда значения также находятся в равной пропорции. Если вы хотите отображать результат в процентах, просто используйте наш онлайн-калькулятор процентов, который является лучшим выбором для вас, чтобы посчитать пропорцию со 100 в качестве знаменателя.

как посчитать пропорцию вручную (шаг за шагом):

Если вы хотите узнать недостающую переменную в уравнении пропорции, просто поставьте между ними знак равенства. Найдите недостающее значение путем перекрестного умножения. Наш калькулятор пропорций генерирует результат как с перекрестным умножением, так и с пропорциями. Здесь у нас есть ручной пример для пояснения.

Пример:

Уравнение имеет вид 8 / x = 6/4, найти неизвестное x?

Решение:

Крестным умножением:

Уравнение:

8 / х = 6/4

Перекрестным умножением

6х = 8 × 4

х = 8 × 4/6

х = 32/6

х = 5,33

По пропорциям:

Уравнение равно, если,

8/6 = 1,33

Итак, это правда,

х / 4 = 1,33

х = 1,33 × 4

х = 5,33

Мы настоятельно рекомендуем вам воспользоваться нашим бесплатным калькулятором пропорций, если вы собираетесь решать пропорции калькулятор для больших чисел или любых десятичных чисел.

Ценности, имеющие прямую или обратную связь:

Если термин связывает две переменные без каких-либо дополнительных уточнений, предполагается, что он напрямую связан. Например, c = y / x, где c – константа пропорциональности в уравнениях пропорциональности, x и y – переменные, напрямую связанные друг с другом.

Если произведение двух переменных равно константе k, то переменные обратно пропорциональны друг другу. Уравнение записывается как, x * y = c. После использования этого пропорционального калькулятора вы легко поймете, связаны ли два параметра обратно или напрямую.

Как использовать онлайн-калькулятор пропорций:

Этот решатель пропорций дает мгновенные и точные результаты вашей проблемы, просто следуйте данным инструкциям:

Входы:

Введите значения в поля и замените неизвестное значение любой переменной x, y или любой другой.
Затем нажмите кнопку «Рассчитать».

Выходы:

Калькулятор пропорций показывает:

  • Значение отсутствующей переменной
  • Пошаговое решение обоих методов (перекрестное умножение и пропорция)

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Каковы 3 способа решить посчитать пропорцию?

Ниже приведены три способа решить пропорцию:

  • Вертикальный
  • По горизонтали
  • Диагональ (часто называют перекрестным произведением)

Какие бывают виды пропорций?

По сути, существует два типа пропорций:

  • непосредственный
  • Обратный

Заключительные слова:

В реальном мире эта пропорция используется ежедневно бизнесменами при работе с финансами. Это может помочь вам в увеличении рецепта для большого скопления людей, увеличении или уменьшении изображения для масштабирования или создании дизайна с определенными функциями и т. Д. Когда дело доходит до расчета пропорций, просто попробуйте бесплатный калькулятор пропорций, который поможет вам найти недостающие значение в уравнении.

Other Languages:Proportion Calculator, Kalkulator Proporcji, Kalkulator Proporsi, Proportions Rechner, 比例計算, Calculo De Proporção, Calculadora De Proporciones, Calcolo Proporzioni, Mittasuhteet Laskin.

Соотношение и Пропорция

Основой математических исследований является возможность получить знание об определённых величинах, сравнивая их с другими величинами, которые либо равны, либо больше или меньше, чем те которые являются предметом исследования. Это обычно производится с помощью ряда уравнений и пропорций. Когда мы используем уравнения, то мы определяем искомую величину, находя её равенство с какой-то другой уже знакомой величиной или величинами.

Однако, часто бывает, что мы сравниваем неизвестную величину с другими, которые не равны ей, а больше или меньше её. Здесь нужен другой подход к обработке данных. Нам может понадобиться узнать, например, на сколько одна величина больше чем другая, или сколько раз одна содержит другую. Для нахождения ответа на эти вопросы мы узнаем что такое соотношение двух величин. Одно соотношение называется арифметическим, а другое геометрическим. Хоть и стоит заметить, что оба эти термина не были приняты случайно или только в целях отличия. Как арифметическое, так и геометрическое соотношения применимы как к арифметике, так и к геометрии.

Являясь компонентом обширного и важного предмета, пропорция зависит от соотношений, поэтому необходимо чёткое и полное понимание этих понятий.

338. Арифметическое соотношение это разница между двумя величинами или рядом величин. Сами по себе величины называются членами соотношения, то есть члены, между которыми есть соотношение. Таким образом 2 это арифметическое соотношение 5 и 3. Это выражается помещая знак минус между двумя величинами, то есть 5 — 3. Конечно термин арифметического соотношения и его расписывание по пунктам практически бесполезно, так как происходит лишь замещение слова разница на знак минус в выражении.

339. Если оба члена арифметического соотношения умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение, в конечном итоге, будет умножено или разделено на эту величину.
Таким образом, если имеем      a — b = r
Тогда перемножим обе стороны на h , (Акс. 3.) ha — hb = hr
И разделив на h, (Акс. 4.) $\frac{a}{h}-\frac{b}{h}=\frac{r}{h}$

340. Если члены арифметического соотношения добавляют или отнимают от соответствующих членов другого, то соотношение суммы или разности будет равно сумме или разности двух соотношений.
Если a — b
И d — h,
являются двумя соотношениями,
Тогда (a + d) — (b + h) = (a — b) + (d — h). Что в каждом случае = a + d — b — h.
И (a — d) — (b — h) = (a — b) — (d — h). Что в каждом случае = a — d — b + h.
      Таким образом арифметическое отношение 11 — 4 равно 7
      И арифметическое отношение 5 — 2 равно 3
Отношение суммы членов 16 — 6 это 10, — сумма соотношений.
Отношение разности членов 6 — 2 это 4, — разность соотношений.

341. Геометрическое соотношение — это отношение между величинами, которое выражается ЧАСТНЫМ, если одну величину делят на другую.
Таким образом соотношение 8 к 4, можно записать как 8/4 или 2. То есть частное деления 8 на 4. Другими словами, оно показывает сколько раз 4 содержится в 8.

Тем же самым способом, соотношение любой величины к другой может быть определено, разделив первую на вторую или, что, в принципе, одно и то же, сделав первую числителем дроби, а вторую — знаменателем.
            Так соотношение a к b это $\frac{a}{b}$
            Соотношение d + h к b + c это $\frac{d+h}{b+c}$.

342. Геометрическое соотношение также записывается, размещая две точки одну над другой между сравниваемыми величинами.
Таким образом a:b это запись соотношения a к b, а 12:4 — соотношения 12 к 4. Две величины вместе формируют пару, в которой первый член называется антецедентом, а последний — консеквентом.

343. Эта запись с помощью точек и другая, в форме дроби, являются взаимозаменяемыми по мере необходимости, при этом антецедент становится числителем дроби, а консеквент — знаменателем.
Таким образом 10:5 это то же, что и $\frac{10}{5}$ а b:d, то же, что и $\frac{b}{d}$.

344. Если из этих трёх значений: антецедента, консеквента и соотношения даны любые два, то третье можно найти.

Пусть a= антецедент, c= консеквент, r= соотношение.
По определению $r=\frac{a}{c}$, то есть, соотношение равно антецеденту разделённому на консеквент.
Умножая на c, a = cr, то есть, антецедент равен консеквенту умноженному на соотношение.
Разделим на r, $c=\frac{a}{r}$, то есть, консеквент равен антецеденту делёному на соотношение.

Соотв. 1. Если у двух пар антецеденты и консеквенты равны, то их соотношения тоже равны.

Соотв. 2. Если у двух пар соотношения и антеценденты равны, то и консеквенты равны и если соотношения и консеквенты равны, то и антецеденты равны.

345. Если две сравниваемые величины равны, то их соотношение равно единице или соотношению равенства. Соотношение 3*6:18 равно единице, так как частное любой величины разделённой на саму себя равно 1.

Если антецедент пары больше, чем консеквент, то соотношение больше единицы. Так как делимое больше, чем делитель, то частное больше единицы. Так соотношение 18:6 равно 3. Это называется соотношение большего неравенства.

С другой стороны, если антецедент меньше, чем консеквент, то соотношение меньше единциы и это называется соотношением меньшего неравенства. Так соотношение 2:3 меньше единицы, потому что делимое меньше делителя.

346. Обратное соотношение — это соотношение двух обратных величин.
Так соотношение обратное 6 к 3 это ⅙ к ⅓, то есть ⅙:⅓.
Прямое соотношение a к b это $\frac{a}{b}$, то есть антецедент разделённый на консеквент.
Обратное соотношение это $\frac{1}{a}$:$\frac{1}{b}$ или $\frac{1}{a}.\frac{b}{1}=\frac{b}{a}$.
то есть косеквент b разделённый на антецедент a.

Отсюда обратное соотношение выражается путём инвертирования дроби, которая отображает прямое соотношение, либо, когда запись ведётся с помощью точек, инвертируя порядок записи членов.
Таким образом a относится к b обратно тому, как b к a.

347. Сложное соотношение это соотношение произведений соответствующих членов с двумя и более простыми соотношениями.
            Так соотношение          6:3, равно 2
            И соотношение           12:4, равно 3
Составленное из них соотношение           72:12 = 6.

Здесь сложное соотношение получается, умножая между собой два антецедента и также два консеквента простых соотношений.
Так соотношение составленное
      Из соотношения         a:b
      И соотношения            c:d
      и соотношения             h:y
      Это соотношение         $ach:bdy=\frac{ach}{bdy}$.
Сложное соотношение не отличается по своей природе от любого другого соотношения. Этот термин используется, чтобы в определённых случаях показать происхождение соотношения.

Соотв. Сложное соотношение равно произведению простых соотношений.
      Соотношение        a:b, равно $\frac{a}{b}$
      Соотношение         c:d, равно $\frac{c}{d}$
      Соотношение         h:y, равно $\frac{h}{y}$
И соотношение сложенное из этих трёх будет ach/bdy, что является произведением дробей, которые выражают простые соотношения.

348. Если в последовательности соотношений в каждой предыдущей паре консеквент является антецедентом в последующей, то соотношение первого антецедента и последнего консеквента равны тому, которое получено из промежуточных соотношений.
Так в ряде соотношений
            a:b
            b:c
            c:d
            d:h
соотношение a:h равно соотношению, сложенному из соотношений a:b, и b:c, и c:d, и d:h. Так сложное соотношение в последней статье равно $\frac{abcd}{bcdh}=\frac{a}{h}$, или a:h.

Таким же образом все величины, которые являются и антецедентами и консеквентами исчезнут, когда произведение дробей будет упрощено до своих младших членов и в остатке сложное соотношение будет выражаться первым антецедентом и последним консеквентом.

349. Особый класс сложных соотношений получается при умножении простого соотношения на самого себя или на другое равное соотношение. Эти соотношения называются двойными, тройными, четверными, и так далее, в соответствии с количеством операций умножения.

Соотношение, составленное из двух равных соотношений, то есть, квадрата простого соотношения, называют двойным соотношением.

Составленное из трёх, то есть, куб простого соотношения, называют тройным, и так далее.

Аналогично соотношение квадратных корней двух величин, называется соотношением квадратного корня, а соотношение кубических корней — соотношением кубического корня, и так далее.
      Таким образом простое соотношение a к b, равно a:b
      Двойное соотношение a к b, равно a2:b2
      Тройное соотношение a к b, равно a3:b3
      Соотношение квадратного корня a к b, равно √a:√b
      Соотношение кубического корня a к b, равно 3√a:3√b, и так далее.
      Термины двойной, тройной, и так далее не нужно смешивать с удвоенным, утроенным, и так далее.
Соотношение 6 к 2 равно      6:2 = 3
Удвоим это соотношение, то есть, соотношение дважды, то получим   12:2 = 6
Утроим это соотношение, то есть это соотношение трижды, то получим  18:2 = 9
А двойное соотношение, то есть квадрат соотношения, равен 62:22 = 9
И тройное соотношение, то есть куб соотношения, равен 63:23 = 27

350. Для того, чтобы величины можно соотнести друг с другом, они должны быть одинакового рода, так, чтобы можно было с уверенностью утверждать равны ли они между собой, или одна из них больше или меньше. Фут относится к дюйму, как 12 к 1: он в 12 раз больше, чем дюйм. Но нельзя, например, сказать, что час длиннее или короче, чем палка, или акр больше или меньше, чем градус. Однако, если эти величины выражены в числах, то может существовать соотношение между этими числами. То есть может существовать соотношение между количеством минут в часе и количеством шагов в миле.

351. Обратившись к природе соотношений, следующим шагом нам нужно учесть способ, каким образом скажется на самом соотношении изменение одного или двух членов, которые сравнивают между собой. Вспомним, что прямое соотношение выражается в виде дроби, где антецедет пары всегда это числитель, а консеквентзнаменатель. Тогда будет легко из свойства дробей получить, что изменения в соотношении происходят путём варьирования сравниваемых величин. Соотношение двух величин такое же как и значение дробей, каждая из которых представляет частное: числитель делённый на знаменатель. (Статья. 341.) Теперь было показано, что умножать числитель дроби на любую величину, это то же, что и умножать значение на эту же величину и что деленить числитель, это то же, что и деленить значения дроби. Поэтому,

352. Умножать антецедент пары на любую величину, значит умножать соотношения на эту величину, а делить антецедент — деленить это соотношение.
            Таким образом соотношение      6:2 равное 3
            И соотношение      24:2 равное 12.
Здесь антецедент и соотношение в последней паре в 4 раза больше, чем в первой.
Отношение a:b равно      $\frac{a}{b}$
И отношение na:b равно $\frac{na}{b}$.

Соотв. При известном консеквенте, чем больше антецедент, тем больше соотношение, и, наоборот, чем больше соотношение, тем больше антецедент.

353. Умножая консеквент пары на любую величину, в результате получаем деление соотношения на эту величину, а деля консеквент — умножаем соотношение. Умножая знаменатель дроби, делим значение, а деля знаменатель — значение умножается..
      Так соотношение 12:2 равно 6
      И соотношение 12:4 равно 3.
Здесь консеквент второй пары в два раза больше, а соотношение в два раза меньше, чем первое.
            Соотношение a:b равно $\frac{a}{b}$
      И соотношение a:nb равно $\frac{a}{nb}$.

Соотв. При данном антецеденте, чем больше консеквент, тем меньше соотношение. И наоборот, чем больше соотношение, тем меньше консеквент.

354. Из двух последних статей следует, что умножение антецедента пары на любую величину окажет такой же эффект на соотношение, как деление консеквента на эту величину, а деление антецедента, окажет такой же эффект, как умножение консеквента.
      Поэтому соотношение         8:4, равно 2
      Умножая антецедент на 2, соотношение 16:4 равно 4
      Разделив антецедент на 2, соотношение 8:2 равно 4.

Соотв. Любой множитель или делитель может быть перенесён от антецедента пары к консеквенту или от консеквента к антецеденту без изменения соотношения.

Стоит заметить, что когда множитель таким образом переносится от одного члена к другому, то он становится делителем, а переносимый делитель становится множителем.
      Так соотношение      3.6:9 = 2
Перенеся множитель 3,      $6:\frac{9}{3}=2$
то же самое соотношение.

Соотношение      $\frac{ma}{y}:b=\frac{ma}{by}$
Перенеся y      $ma:by=\frac{ma}{by}$
Перенеся m,      a:$a:\frac{m}{by}=\frac{ma}{by}$.

355. Как очевидно из Статей. 352 и 353, если антецедент и консеквент оба умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение не меняется.

Соотв. 1. Соотношение двух дробей, у которых есть общий знаменатель, такое же как отношение их числителей.
Таким образом соотношение a/n:b/n, то же самое, что и a:b.

Соотв. 2. Прямое соотношение двух дробей, у которых есть общий числитель, равно обратному соотношению их знаменателей.

356. Из статьи легко определить соотношение любых двух дробей. Если каждый член умножить на два знаменателя, то соотношение будет задано интегральными выражениями. Таким образом умножая члены пары a/b:c/d на bd, получаем $\frac{abd}{b}$:$\frac{bcd}{d}$, что становится ad:bc, путём сокращения общих величин из числителей и знаменателей.

356. b. Соотношение большего неравенства, сложенное с другим соотношением, увеличивает его
Пусть соотношение большего неравенства будет задано как      1+n:1
И любое соотношение как          a:b     
Сложное соотношение будет (Статья. 347,)     a + na:b
Что больше, чем соотношение a:b (Статья. 351. соотв.)
Но соотношение меньшего неравенства, сложенное с другим соотношением, уменьшает его.
Пусть соотношение меньшей разности      1-n:1
Любой заданное соотношение          a:b     
Сложное соотношение        a — na:b
Что меньше, чем a:b.

357. Если к или от членов любой пары прибавить или отнять две другие величины, которые находятся в таком же соотношении, то суммы или остатки будут иметь такое же соотношение.
      Пусть соотношение      a:b
      Будет такое же, как и       c:d
Тогда соотношение суммы антецедентов к сумме консеквентов, а именно, a + c to b + d, тоже одинаковое.
То есть $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

Доказательство.

1. Согласно предположению,         $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$
2. Умножаем на b и на d,         ad = bc
3. Добавляем cd к обеим сторонам,         ad + cd = bc + cd
4. Делим на d,          $a+c=\frac{bc+cd}{d}$
5. Делим на b + d,            $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

Соотношение разницы антецедентов к разнице консеквентов также одинаковое.

358. Если в нескольких парах соотношения равны, то сумма всех антецедентоа относится к сумме всех консеквентов, как любой антецедент к своему консеквенту.
Таким образом соотношение
            |12:6 = 2
            |10:5 = 2
            |8:4 = 2
            |6:3 = 2
Таким образом соотношение (12 + 10 + 8 + 6):(6 + 5 + 4 + 3) = 2. 2-ab+ax)}{a(a+x)}$.

Так как последний числитель больше, чем другой, то соотношение больше.
        Если вместо добавления ту же самую величину отнять от двух членов, то очевидно, что эффект на соотношение будет обратным.

Примеры.

1. Что больше: соотношение 11:9, или соотношение 44:35?

2. Что больше: соотношение $(a+3):\frac{a}{6}$, или соотношение $(2a+7):\frac{a}{3}$?

3. Если антецедент пары равен 65, а соотношение равно 13, то какой консеквент?

4. Если консеквент пары равен 7, и соотношение равно 18, то какой антецедент?

5. Как выглядит сложное соотношение составленное из 8:7, и 2a:5b, а также (7x+1):(3y-2)?

6. Как выглядит сложное соотношение составленное из (x+y):b, и (x-y):(a + b), а также (a+b):h?         Отв. (x2 — y2):bh.

7. Если соотношения (5x+7):(2x-3), и $(x+2):\left(\frac{x}{2}+3\right)$ образуют сложное соотношение, то какое соотношение получится: большее или меньшее неравенство?      Отв. 2}{a}$?         Отв. Соотношение равенства.

9. Каково соотношение сложенное из 7:5, и удвоенного соотношения 4:9, и утроенного соотношения 3:2?
              Отв. 14:15.

10. Каково соотношение составленное из 3:7, и утроенного соотношения x:y, и извлечения корня из соотношения 49:9?
              Отв. x3:y3.

Уравнения и примеры с отрицательными числами и модул…

Все рациональные числа, которые мы можем себе представить, можно разделить на положительные и отрицательные. Изучается данная тема в 5-6 классах. Начиная с этих классов, учащиеся решают примеры, уравнения и задачи, в которых могут быть как положительные, так и отрицательные числа.

Решение примеров с отрицательными числами без ошибок — очень важный математический навык. То же самое касается и решения уравнений с отрицательными числами. В этом контексте в школьном курсе рассматривается и понятие модуля числа.

Давайте сегодня разберем эти вопросы.

Чтобы отличить положительное число от отрицательного, перед отрицательным числом ставят знак минус.

Например:

«5» – положительное число

«-5» — отрицательное число Если рассматривать числа на координатной прямой, то все числа, находящиеся слева от нуля, будут называться отрицательными, а числа, находящиеся справа от нуля – будут, соответственно, положительными.

Правила сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел имеют свои особенности.

Например, если нам необходимо выполнить действие:

«7 + 5»

Т.е. сложить два положительных числа, мы механически складываем их величины и получаем результат:

7 + 5 = 12

Если даже у нас будет длинный и трудоемкий пример, принцип его решения будет точно такой же, если числа положительные, то мы механически складываем их:

7 + 5 + 21 + 17 + 19 + 25 = 94

Операция вычитания может быть уже не такой простой.

Если выражение:

7 – 5 = 2

Мы вычисляем легко, то выражение:

5 – 7 = — 2

Это уже серьезная проверка наших знаний в области отрицательных чисел. Здесь важно в ответе правильно поставить знаки «плюс» и «минус».

Здесь перед числом «7» стоит знак «минус». Получается из меньшего числа «5» нужно вычесть большее число «7».

Как не запутаться?

Есть несколько способов. Один из которых вот какой:

Необходимо вспомнить понятие модуля числа.

Модуль числа – это число, записанное в вертикальных скобках:

|5| или |-7|

Когда мы выводим число из модуля, мы оставляем только его значение, а минус убираем:

|5| = 5

|-7| = 7

Записываем наше выражение для модулей этих чисел:

|5| – |7|

Такая запись позволяет нам определить, какое число большее «по модулю», т.е. по своему абсолютному значению, без учета знака «минус» перед числом и стоит правее на числовой оси.

В нашем случае, это число «7».

Поэтому мы из большего «по модулю» числа вычитаем меньшее «по модулю» число и в ответе ставим тот знак (плюс или минус), который стоял в выражении перед большим «по модулю» числом:

|5| – |7| = — |7 — 5| = — |2| = -2

Второй способ вот какой:

Запишем:

5 + (– 7)

Представим каждое слагаемое как выражение двух чисел, с умножением на «-1», получим:

5 = — 1 · (- 5)

— 7 = — 1 · 7

Теперь сложим эти выражения, как в нашем примере, получим:

5 + (– 7) = (- 1 · (- 5)) + (- 1 · 7)

Вынесем за скобки «-1»:

-1·(- 5 + 7) = -1·(7 – 5) = -1· 2 = — 2

Когда мы выносим за скобку «-1», мы получаем возможность вычитать из большего числа меньшее, что гораздо удобнее.

Теперь мы знаем, как решать примеры с отрицательными числами.

Умножение на «-1» помогает нам вспомнить правила умножения и деления, в выражениях с положительными и отрицательными числами. Вот эти правила:

«Если умножать «минус» на «плюс», то получается в ответе «минус».»

«А если умножать «минус» на «минус», то получается в ответе «плюс».»

Проиллюстрируем все возможные варианты применения этих правил:

5 · 7 = 35

5 · (– 7) = — 35

(- 5) · 7 = — 35

(- 5) · (– 7) = 35

Возьмем более сложный случай, вычислим:

7 · (- 5) · 21 · (- 17)

Чтобы было проще, выполним вычисления по действиям:

1) 7 · (- 5) = — 35

2) 21 · (- 17) = — 357

3) (- 35) · (-357) = 12495

Таким образом:

7· (- 5) · 21 · (- 17) = 12495

Теперь рассмотрим, как решать уравнения с отрицательными числами и переменными.

Возьмем пример с уравнением:

3 + 4(5 – х) = 15

Сначала раскроем скобки:

3 + 4 · 5 + 4 · (- х) = 15

Обязательно обращаем внимание на минусы, стоящие перед числами и переменной «х», помним о приведенном выше правиле, получаем:

3 + 20 – 4х = 15

Приведем подобные (3 + 20 = 23) и запишем:

23 – 4х = 15

Переносим слагаемое без переменной «х» из левой части в правую, меняя при этом перед ним знак на противоположный

— 4х = 15 – 23

После приведения подобных в правой части уравнения (15 – 23 = — 8), получим:

— 4х = — 8

Деление отрицательных чисел проводим по тем же правилам, что и умножение:

х = — 8 : (- 4)

«Минус» делим на «минус», получаем «плюс»:

х = 2

Давайте теперь разберем примеры с модулем числа.

Напомню, что, когда мы выводим число из модуля, мы оставляем только его значение, а минус убираем.

Например:

|5| + |-7| = 5 + 7 = 12

|5| — |-7| = 5 — 7 = — 2

|5| · |-7| = 5 · 7 = 35

|-35| : |-7| = 35 : 7 = 5

Как видите, в примерах, где числа стоят под знаком модуля, необходимо следовать правилу:

«Сначала раскрываем скобки модуля, а потом проводим операции сложения, вычитания, умножения или деления».

Конечно, существуют и более сложные примеры с отрицательными числами и модулями. Чтобы познакомиться с правилами их решения, а также вспомнить все, что необходимо, связанное с модулями — следите за нашими уроками или обратитесь к репетитору на нашем сайте.

Интерактивный тренажер по математике «Пропорция»; 6 класс — Презентации — Математика, алгебра, геометрия

Пояснительная записка

к интерактивному тренажеру «Пропорция», составленного учителем математики Мартукской СШ №1

Дильмагамбетовой Салтанат Нуркебаевной.

Цель данной презентации привлечь внимание учащихся к теме «Пропорция», отработать навыки решения пропорций, развивать логическое мышление, память. Ожидаемый результат: ученик сможет после изучения темы «Пропорция» решать пропорции, в чем ему поможет данный тренажер.

Материал может быть использован при проверке знаний учащихся на уроке, а также в качестве тренажера для занятий с детьми как в школе, так и дома. Подходит для любого УМК. Целевая аудитория 6 класс.

Н а главном слайде (3) показана нумерация задач основной темы электронного ресурса: «Пропорция». Определившись с номером задания вы можете выбрать вопрос, кликнув на него мышкой . Решив данное задание, вы всегда можете его проверить, кликнув мышкой на ответ: , расположенного в нижнем левом углу. Если вы затрудняетесь с решением задания, Вы всегда можете получить информацию о том, как решить данное задание, кликнув мышкой на

Д ля того, чтобы выбрать следующий вопрос -кликните на и вы вернетесь на основную страницу (слайд 3).

Если ученик не помнит теоретический материал, то нажатием на кнопку

Правило

всплывает основное свойство пропорции. Нажимать нужно на надпись «правило». Если же вы нажмете на часть прямоугольника, в которой нет записи «Правило», то выйдет слайд №4, не соответствующий «Правилу». Поэтому необходимо нажимать на кнопки, в центре, где идет надпись «Аннотация», либо «Инструкция». При нажатии на кнопку «Источники» выплывет список использованной литературы, а при нажатии на кнопку «Иллюстрации» выйдет список с адресами сайтов, на которые ссылался автор создания данного шаблона.

Е сли нажать на кнопку , которая соответствует цифре 1, то выйдет задание решить пропорцию . Про решав это задание, ученик нажимает на кнопку ответ и сверяет со своим ответом. Если есть разногласия, то нажав на кнопку решение, ученик получает информацию о решении данной пропорции.

П ри нажатии на кнопку , которая соответствует цифре 2, то выйдет задание решить пропорцию . Про решав второе задание, ученик нажимает

на кнопку ответ и сверяет со своим ответом. Если есть разногласия, то нажав на кнопку решение, ученик получает информацию о решении данной пропорции и т.д.

Кнопка , соответствующая 3 заданию содержит пропорцию

Кнопка , соответствующая 4 заданию содержит пропорцию

Урок 79. Пропорции | Поурочные планы по математике 6 класс

Урок 79. Пропорции