Содержание

Объемное напряженное состояние. Закон Гука для объемного напряженного состояния

Уравнения (11.40) представляют собой обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Деформации 8 , 82 и Ез в направлении главных напряжений называются главными деформациями.  [c.61]

Равенства являются выражением закона Гука при наиболее общем для изотропного тела случае — при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Исключая из (13.3) значение Стз, получаем закон Гука для плоского напряженного состояния, а исключая Стз и Оз — для линейного напряженного состояния.  [c.213]


Эти формулы называются обобщенным законом Гука для объемного и плоского напряженного состояния.  [c.97]

Используя принцип независимости действия сил и предполагая, что главные оси напряжений и деформаций совпадают, обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния запишем в виде  [c.40]

Естественно предположить, что полный эффект деформирования выделенного элемента при одновременном действии трех главных напряжений определится суммой подсчитанных выше деформаций с одинаковым нижним индексом.

В результате такого суммирования мы приходим к следующей форме закона Гука для объемного напряженного состояния  [c.65]

Выведите обратную форму записи закона Гука для объемного напряженного состояния, когда напряжения выражаются через деформации.  [c.70]

До сих пор мы рассматривали только одноосную деформацию, В общем случае напряженного состояния для описания наследственно-упругих свойств изотропного тела необходимо знание, кроме Е, еще одного оператора, например, v, аналогичного коэффициенту Пуассона. Можно использовать и два каких-либо других оператора, например, G и К, соответствующих модулям сдвига и объемной деформации. По аналогии с законом Гука, для наследственной упругости имеем  [c.767]

Далее принимается, что внешние силы (массовые и поверхностные) отсутствуют. В предположении, что задача теплопроводности может рассматриваться независимо от задачи теории упругости (см. п. 3.5 гл. III), это не идет в ущерб общности, так как линейность задачи для тела, подчиняющегося закону Гука, допускает наложение напряженных состояний, вызываемых действием объемных сил, поверхностных сил и изменением температуры и определяемых по отдельности для каждого из перечисленных факторов.[c.146]

Формулы (4.7) И (4.7 ), определяющие относительные сдвиги, совместно с формулами (3.27), определяющими относительные линейные деформации, выражают так называемый обобщенный закон Гука для изотропного тела при объемном напряженном состоянии, линейно связывающий деформации и напряжения.  [c.106]


Зависимость между напряжениями и деформациями в теории упругости является линейной (закон Гука) и для случая объемного напряженного состояния выражается в виде  
[c.7]

Основным объектом исследования в механике деформирования является конструкция, т. е. неоднородно деформируемое тело. Исследование поведения материала (в условиях однородной по объему деформации) является необходимым этапом ему были посвящены первые главы данной книги. Задача расчета конструкции состоит в определении ее реакции (возникающих напряжений, деформаций и смещений) на заданные внешние воздействия — объемные и поверхностные силы Fqu F i, краевые смещения и, распределенные по объему деформации, в частности,тепловые. Для идеально упругого тела решение в принципе является простым, поскольку история изменения внешних воздействий несущественна и каждому значению определяющих их параметров однозначно соответствует некоторое состояние конструкции. Последнее может быть определено с помощью системы уравнений, включающих условия равновесия, совместности и закон Гука  

[c.143]

Закон Гука устанавливает функциональную зависимость между напряжениями и деформациями. Напряжения и деформации являются физическими величинами, которые можно классифицировать как тензоры второго ранга. Наиболее общую форму закон Гука имеет для анизотропных материалов, находящихся в объемном напряженном состоянии  [c.9]

Отсюда видно, что закон Гука, т. е. зависимость между напряжениями и деформациями в пределах пропорциональности, для общего случая объемного напряженного состояния должен формулироваться следующим образом напряжения связаны с  [c.101]

Теперь возникает вопрос об условии пластичности при объемном напряженном состоянии. Согласно закону Гука при фиксированной системе координат, постоянных температуре и других физико-химических параметрах напряженно-деформированное состояние частицы однозначно определяется напряжениями. Поэтому в этих условиях переход частицы из упругого состояния в пластическое определяется напряжениями в этой частице, и условие пластичности имеет вид (ofj ) == 0. В это уравнение входят также механические характеристики материала, определяющие возникновение пластических деформаций (например, а,). В пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются девятью значениями компонент это уравнение поверхности текучести И,, которая является границей упругой области (рис. 80). Если точка А, изображающая напряженное состояние, лежит внутри области Dg, частица ведет себя как упругое тело. Если изображающая точка В находится на поверхности текучести в частице возникают пластические (остаточные) деформации. Граница области Dg представляет собой совокупность пределов текучести для всевозможных напряженных состояний.

[c.192]

Чтобы получить лучшее -согласование между теорией и опытом,. Губер ) предложил разложить полную энергию деформации тела на два-компонента 1) энергию деформадйи при всестороннем равномерном растяжении или сжатии и 2) энергию деформации, соответствующую изменению формы. Затем он предложил использовать только-энергию формоизменения Для оценки состояния текучести и разрешения. материала ). Чтобы выполнить разделение энергии деформации на две части, начнем опять с рассмотрения объемного напряженного состояния, определяемого тремя главными, напряжениями о,, д и 03. (рис./295). Закон Гука дает  [c.375]

Уравнения (7.11) и 7,12) представляют собой закон Гука соотвегственмо для плоского и объемного напряженных состояний.  [c.62]


Обобщенный закон Гука для изотропного тела


Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения (рис.3.3) происходит продольная деформация (1. 3). Одновременно, согласно эффекту Пуассона, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации (1.6). Таким образом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечной деформации (табл. 3.1).

Складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлении напряжений σx, σy, σz:

.

(3.36)

Таблица 3.1.

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями устанавливается в пределах упругих деформаций законом Гука при сдвиге (3.34):

.

(3.37)

Равенства (3.36), (3.37) являются выражением закона Гука в наиболее общем для изотропного тела случае – при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Выражение закона Гука при плоском и линейном напряженном или деформированном состояниях можно получить из этих уравнений путем исключения из них напряжений или деформаций равных нулю.

С помощью уравнений (3.36) можно вычислить объем элементарного параллелепипеда после деформации:

(3.38)

или

,

(3.39)

где Vo — объем до деформации.

Пренебрегая произведениями деформаций, получим относительное изменение объема:

.

(3.40)

Подставляя в (3.40) вместо их значения по формулам (3.36), получим выражение относительной объемной деформации:

.

(3.41)

Выражение (3.41) показывает, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0.5. При μ=0.5 изменения объема не будет.

    

Обобщенный закон Гука

Литература Обобщенный закон Гука

просмотров — 279

Рассмотрим определœение относительных линœейных деформаций и при плоском напряженном состоянии, см. рисунок 33,а. Для этого используем ранее рассмотренный закон

σ1 σ1

ε1 ε11 ε12

σ2 σ2 σ2 σ2

ε2

σ1 σ1 ε21 ε22

а) б) с)

Рисунок 33. Схемы для пояснения обобщенного закона Гука

Гука для одноосного нагружения стержня , зависимость между поперечной и продольной деформациями – коэффициент Пуассона (см. лекцию 7), а также принцип независимости действия сил (принцип сложения деформаций).

От действия одного вертикального (первого главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,б):

— относительное вертикальное удлинœение ,

— относительное горизонтальное сужение .

От действия одного горизонтального (второго главного) напряжения одновременно возникают деформации элементарного фрагмента тела также в двух взаимно перпендикулярных направлениях (см. рисунок 33,в):

— относительное горизонтальное удлинœение ,

— относительное вертикальное сужение .

Суммируя деформации и , получим формулы обобщенного закона Гука для двухосного (плоского) напряженного состояния:

; . (41)

В случае если известны линœейные деформации и , то из последних формул можно получить формулы для определœения напряжений:

; . (42)

Аналогично можно получить формулы обобщенного закона Гука для трехосного (объемного) напряженного состояния:

; ; , (43)

где линœейные деформации , и в направлениях соответствующих главных напряжений , и называются главными деформациями.

Вышеприведенные формулы обобщенного закона Гука выражают зависимости не только между главными деформациями и главными напряжениями, но и между любыми значениями этих величин. Οʜᴎ остаются справедливыми также и на тех элементарных площадках напряженно-деформированного тела, где действуют касательные напряжения.

Контрольные вопросы:

1) Чем отличаются между собой нормальные σ и касательные τ напряжения?

2) Что такое главные площадки и главные напряжения?

3) В каких сечениях одноосно нагруженного стержня действуют максимальные (экстремальные) касательные напряжения? А при двухосном напряженном состоянии?

4) Поясните закон парности (взаимности) касательных напряжений.

5) Чему равна сумма нормальных напряжений, действующих в двух взаимно перпендикулярных сечениях (площадках) при одноосном напряженном состоянии? Какова эта сумма при двухосном напряженном состоянии?

6) Объясните общепринятую систему обозначений напряжений при сложных напряженных состояниях. Как обозначаются главные напряжения и каково общее соотношение между их значениями?

7) Как определяются положение главных площадок и значения главных напряжений при двухосном напряженном состоянии? Поясните соответствующие формулы.

8) Поясните правило знаков для нормальных и касательных напряжений.

9) Что такое тензор напряжений и как он записывается для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела?

10) Запишите формулы обобщенного закона Гука для двухосного и трехосного напряженных состояний деформированного тела. Объясните всœе параметры, входящие в них.

ГЛОССАРИЙ

  Касательные напряжения Tangents of a pressure
  Главные площадки The main platforms
  Главные напряжения The main pressure
  Внешняя нормаль An external normal
  Плоское напряженное состояние тела The flat intense condition of a body
  Объемное напряженное состояние тела The volumetric intense condition of a body
  Закон парности касательных напряжений The law of paired relationship of tangents of pressure
  Тензор напряжений Tenzor pressure
  Обобщенный закон Гука Generalized law Guck

Рекомендуемая литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 560 с. (с. 54…56; 341…359).

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. школа, 1983. – 303 с. (с. 46…54).

3. Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С. и др. – Киев: Наукова думка, 1988. – 737с. (с. 153…163).

Контрольные задания для СРС.

1) Двухосное (плоское) напряженное состояние (см. п. 6.12).

2) Понятие о трехосном (объемном) напряженном состоянии (см. п. 6.13).

3) Обобщенный закон Гука (см. п. 6.14).

4) Расширить подготовку по материалам учебной литературы ([1], с. 54-56; 341-359; [2], с. 46…54; [3], с. 153…163).

Лекция 10. Тема 7. «Геометрические характеристики поперечных сечений элементов конструкций»

Цель лекции – рассмотреть основные характеристики поперечных сечений элементов конструкций типа стержней, важные для практики инженерных расчетов, дать основные направления углубленного их изучения.

План лекции (курсивом – материалы для СРС)

1. Площади поперечных сечений элементов конструкций.

2. Статические моменты площади. Определœение центра тяжести площади плоского сечения тела. Пример расчета положения центра тяжести площади.

3. Моменты инœерции площадей поперечных сечений элементов конструкций.

4. Главные оси инœерции и главные моменты инœерции площадей фигур.

5. Радиусы инœерции площадей поперечных сечений элементов конструкций.


Читайте также


  • — Обобщенный закон Гука

    Рассмотрим определение относительных линейных деформаций и при плоском напряженном состоянии, см. рисунок 33,а. Для этого используем ранее рассмотренный закон &… [читать подробенее]


  • — Обобщенный закон Гука

    Рассмотрим определение относительных линейных деформаций и при плоском напряженном состоянии, см. рисунок 33,а. Для этого используем ранее рассмотренный закон &. .. [читать подробенее]


  • — Обобщенный закон Гука

    Экстремальные касательные напряжения Пусть площадки являются главными. Экстремальные касательные напряжения действуют на наклонных площадках под углом &… [читать подробенее]


  • — Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния

    Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют: Таким образом, координатные грани элементарного объема являются главными… [читать подробенее]


  • — Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния

    Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют: Таким образом, координатные грани элементарного объема являются главными. .. [читать подробенее]


  • — ЛЕКЦИЯ 4. Деформированное состояние материала в точке. Тензор деформаций. Обобщённый закон Гука

    Для исследования деформаций мысленно вырежем вблизи произвольной точки тела элементарный параллелепипед (рис. 3.1). В результате различия перемещений точек параллелепипеда, его ребра удлиняются (укорачиваются), а первоначально прямые углы между ребрами искажаются. В… [читать подробенее]


  • — ЛЕКЦИЯ 4. Деформированное состояние материала в точке. Тензор деформаций. Обобщённый закон Гука

    Для исследования деформаций мысленно вырежем вблизи произвольной точки тела элементарный параллелепипед (рис. 3.1). В результате различия перемещений точек параллелепипеда, его ребра удлиняются (укорачиваются), а первоначально прямые углы между ребрами искажаются. В… [читать подробенее]


  • — Обобщенный закон Гука

    Деформации при объемном напряженном состоянии. Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы. Изучая… [читать подробенее]


  • — Деформации при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

    Плоское напряженное состояние. Анализ формул. n&… [читать подробенее]


  • Обобщенный закон Гука

    Между компонентами напряженного состояния, с одной стороны и деформированного ‑ с другой существует определœенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость является линœейной и носит название обобщенного закона Гука. Запишем закон Гука для объёмного напряженного состояния для изотропного тела (без учета температур). В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряжений и деформаций не зависят от ориентации осœей в точке. Кроме того деформации от каждой из компонент напряжений не влияют друг на друга. По этой причине чтобы составить аналитическое выражение обобщенного закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелœепипеда. Для этого рассмотрим единичный параллелœепипед, на гранях которого действуют только нормальные напряжения (рис. 3.5).

    Рисунок 3.5

    Экспериментально установлено, что при упругих деформациях для одноосного напряженного состояния (s1≠0, s2=0, s3=0) существует линœейная зависимость между линœейной деформацией и нормальным напряжением (закон Гука):

    , где

    E – модуль упругости, или модуль Юнга;

    s1 – нормальное напряжение;

    ε1= линœейная относительная деформация.

    Одновременно с линœейной деформацией ε1в перпендикулярных направлениях возникают деформации ε2, ε3:

    , где

    μ – коэффициент Пуассона.

    На основании принципа независимости действия сил, можно записать, что деформация в направлении σ1 при суммарном действии напряжений σ1, σ2 и σ3:

    , где

    Следовательно:

    (1)

    Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при всœестороннем растяжении деформации вызванные напряжениями σ2 и σ3 за счёт эффекта Пуассона уменьшают деформацию вызванную σ1. Аналогично:

    (2)

    (3)

    Экспериментально также установлено, что при чистом сдвиге существует линœейная зависимость между угловой деформацией и касательным напряжением:

    , где

    γ — угол сдвига,

    τ – касательное напряжение,

    G — модуль сдвига, или модуль упругости второго рода.

    Предполагая, что для объёмного напряженного состояния при сдвиге компоненты напряжений не влияют друг на друга, тогда по аналогии с простым случаем чистого сдвига можно записать:

    (4)

    , где

    γxy, γxz, γyz — углы сдвига.

    Зависимости деформаций от напряжений (1-4) носят название обобщенного закона Гука, или закона Гука для объёмного напряженного состояния.

    В случае если сложить левые и правые части зависимостей (1-3) получим значение объёмной деформации е=ε123:

    В случае равномерного всœестороннего растяжения, ᴛ.ᴇ. при σ123=p:

    Из анализа полученной зависимости видно, что при p>0 только при μ≤0,5 объёмная деформация e>0. Следовательно, значение μ для изотропного материала не может превышать 0,5.

    Закон Гука [в понятной форме] | Инженерные знания

    Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе, совсем не сложно.

    Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :)… Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.

    Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат! Да и при изучении механики — это один из самых важных законов.

    Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся — пишем их в комментариях или в личку.

    Введение и основные понятия

    Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.

    Как вы догадываетесь, ключевое слово тут — сила упругости. Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это. Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.

    И тут тоже появилось новое слово — деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.

    А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая, важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.

    Упругая деформация — это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.

    Простейшие виды деформации — это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.

    Формулировка закона Гука

    Формулируется закон так:

    Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к этому телу силе.

    Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:

    F = -kx ,

    где F — сила упругости в теле, k — коэффициент упругости или жесткости, x — линейное изменение размеров тела.

    Почему тут минус? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.

    Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.

    Разбираемся с новыми буквами

    У нас появилась сила упругости в теле. Именно она в формуле — это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем), она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола.

    k — это жесткость тела. Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости.

    Стоит отметить, что это величина расчётная, но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Это уже основы сопротивления материалов и начнется «О Боже, профессор нинада!»)

    х — это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.

    Новые важные понятия и обобщенный закон Гука

    Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил — пока речь идёт только об одноосном деформировании. Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно…

    Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.

    В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука. Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.

    Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности. Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука. Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс — изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.

    Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной.

    Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.

    Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала. Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :)…

    Но вообще, при больших деформациях следует использовать иные способа расчёта.

    Теория напряженного состояния Обобщенный закон Гука Потенциальная энергия

    Теория напряженного состояния Обобщенный закон Гука Потенциальная энергия деформации

    Вопросы для самопроверки 1. Чему равна сумма нормальных напряжений на любых трех взаимно перпендикулярных площадках? 2. Что называется полной удельной потенциальной энергией деформации и из каких частей она состоит? 3. Вывести формулы, выражающие обобщенный закон Гука 4. Что называется потенциальной энергией изменения объема? 5. Вывести формулу изменения объема при пространственном напряженном состоянии 6. Вывести формулу полной удельной потенциальной энергии, удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы 7. Какова размерность удельной потенциальной энергии? 8. Для каких напряжений действительны формулы потенциальной энергии деформации?

    Обобщенный закон Гука Формулы относительных деформаций бруса, полученные для центрального растяжения или сжатия можно обобщить на случай трехосного (пространственного) напряженного состояния 1 2 3 1 Для этого выделим из тела элементарный параллелепипед На основании принципа независимости действия сил рассмотрим влияние нормальных напряжений В результате воздействия этих напряжений получаем:

    Обобщенный закон Гука Относительные деформации, вызванные воздействием напряжений равны: одновременным После замены относительных деформаций (1) Аналогичные формулы можно получить и для случая, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, т. е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений действуют также и касательные

    Обобщенный закон Гука Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменение прямых углов между его гранями Для указанных случаев формулы имеют вид: (2) Выражения (1) и (2), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями пространственном напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука

    Потенциальная энергия деформации Для определения потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементарной частице тела, выделим из тела элементарный параллелепипед, ребра которого а грани совмещены с главными площадками В общем случае трехосного напряженного состояния на каждую грань параллелепипеда перпендикулярно к ней действует внешняя сила, равная произведению нормального напряжения на площадь этой грани На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного параллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням

    Потенциальная энергия деформации В результате действия на элементарный параллелепипед внешних сил его ребра удлиняются на следующие величины: (3) Работа внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия определяются выражением: Здесь каждое из слагаемых представляет собой работу нарастающей силы Подставляем в это выражение значения удлинений из (3): Разделив выражение на первоначальный объем параллелепипеда , получим общее количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т. е. так называемую полную удельную потенциальную энергию деформации:

    Потенциальная энергия деформации (4) Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями (1) : (5) Размерность удельной потенциальной энергии или Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяется на величину (6) Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, т. к. в результате того, что Относительные удлинения ребер оказываются различными и первоначальное соотношение между длинами ребер изменяется

    Потенциальная энергия деформации Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы его объем изменился на величину, определяемую формулой (6), а форма сохранилась прежней Сохранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем граням одинаковых напряжений. При этом изменение объема параллелепипеда равно: Приравниваем его фактическому изменению, определяемому формулой (6)

    Потенциальная энергия деформации Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние параллелепипеда можно расчленить на два напряженных состояния В первом из них объем параллелепипеда изменяется, а форма его остается неизменной Потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения объема

    Потенциальная энергия деформации Во втором состоянии объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется лишь его форма Потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией изменения формы Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергией изменения объема, подставим в формулу (5) напряжения (7) (8)

    Потенциальная энергия деформации Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергией изменения формы, подставим в правую часть формулы (5) напряжения После преобразований и замены (9) Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной потенциальной энергии деформации, т. е. (10)

    Потенциальная энергия деформации Зная удельную потенциальную энергию деформации в каждой точке упругого тела, можно вычислить потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле: (11) Из формул (5), (7) и (9) легко получить выражения удельных потенциальных энергий для случаев двухосного и одноосного напряженных состояний Так, например, для двухосного напряженного состояния получим (12) Если в этих равенствах главные напряжения заменим их выражениями через напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках с помощью формулы: , то после преобразований получим:

    Потенциальная энергия деформации (13) (14) В формулах (13) нормальные напряжения учитываются одними слагаемыми, а касательные напряжения — другими Это означает, удельную потенциальную энергию деформации можно вычислить отдельно от нормальных напряжений, действующих по боковым граням элементарного параллелепипеда, и отдельно от касательных напряжений Полученные здесь формулы действительны для напряжений, не превышающих предела пропорциональности материала

    Обобщенный закон гука.

    Деформации и перемещения

    Министерство образования АР Крым

    Таврический Национальный Университет им. Вернадского

    Исследование физического закона

    ЗАКОН ГУКА

    Выполнил: студент 1 курса

    физического факультета гр. Ф-111

    Потапов Евгений

    Симферополь-2010

    План:

      Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.

      Формулировка закона

      Математическое выражение закона.

      Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.

      Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.

      Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

      Примеры использования закона и учета действия закона на практике.

      Литература.

    Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:

    Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

    Формулировка закона:

    Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

    Формулировка закона — сила упругости прямо пропорциональна деформации.

    Математическое выражение закона:

    Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

    Здесь F сила натяжения стержня, Δl — его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

    Если ввести относительное удлинение

    и нормальное напряжение в поперечном сечении

    то закон Гука запишется так

    В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.

    В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

    где σ ij — тензор напряжений, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.

    Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:

    Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.

    Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:

    История об этом умалчивает..

    Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:

    Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.

    Примеры использования закона и учета действия закона на практике:

    Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.

    Литература.

    1. Интернет-ресурсы: — сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).

    2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс

    3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс

    4. лекции по механике Рябушкин Д.С.

    Наблюдения показывают, что для большинства упругих тел, таких, как сталь, бронза, дерево и др., величины деформаций пропорциональны величинам действующих сил. Типичный пример, поясняющий это свойство, представляют пружинные весы, у которых удлинение пружины пропорционально действующей силе. Это видно из того, что шкала делений у таких весов равномерна. Как общее свойство упругих тел закон пропорциональности между силой и деформацией был впервые сформулирован Р. Гуком в 1660 г. и опубликован в 1678 г. в сочинении «De potentia restitutiva». В современной формулировке этого закона рассматривают не силы и перемещения точек их приложения, а напряжение и деформацию.

    Так, для чистого растяжения полагают:

    Здесь — относительное удлинение любого отрезка, взятого в направлении растяжения. Например, если ребра изображенной на рис. 11 призмы до приложения нагрузки были а, b и с, как показано на чертеже, а после деформации они будут соответственно , тогда .

    Постоянная Е, имеющая размерность напряжения, называется модулем упругости, или модулем Юнга.

    Растяжение элементов, параллельных действующим напряжениям о, сопровождается сокращением перпендикулярных элементов, то есть уменьшением поперечных размеров стержня (на чертеже — размеры ). Относительная поперечная деформация

    будет величиной отрицательной. Оказывается, что продольная и поперечная деформации в упругом теле связаны постоянным отношением:

    Безразмерная величина v, постоянная для каждого материала, называется коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Сам Пуассон, исходивший из теоретических соображений, которые оказались впоследствии неверными, считал, что для всех материалов (1829). На самом деле значения этого коэффициента различны. Так, для стали

    Заменяя в последней формуле выражением получим:

    Закон Гука не является точным законом. Для стали отклонения от пропорциональности между незначительны, тогда как чугун или резнна явно этому закону не подчиняются. Для них причем может быть аппроксимирована линейной функцией разве лишь в самом грубом приближении.

    В течение долгого времени сопротивление материалов занималось лишь материалами, подчиняющимися закону Гука, и приложение формул сопротивления материалов к другим телам можно было делать только с большой натяжкой. В настоящее время нелинейные законы упругости начинают изучаться и применяться к решению конкретных задач.

    При растяжении и сжатии стержня изменяются его длина и размеры поперечного сечения. Если мысленно выделить из стержня в недеформированном состоянии элемент длиной dx, то после деформации его длина будет равна dx { (рис. 3.6). При этом абсолютное удлинение по направлению оси Ох будет равно

    а относительная линейная деформация е х определяется равенством

    Поскольку ось Ох совпадает с осью стержня, вдоль которой действуют внешние нагрузки, назовем деформацию е х продольной деформацией, у которой в дальнейшем индекс будем опускать. Деформации в направлениях, перпендикулярных к оси, называются поперечными деформациями. Если обозначить через b характерный размер поперечного сечения (рис. 3.6), то поперечная деформация определяется соотношением

    Относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Установлено, что поперечные и продольные деформации при центральном растяжении и сжатии стержня связаны между собой зависимостью

    Входящая в это равенство величина v называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Этот коэффициент является одной из основных постоянных упругости материала и характеризует его способность к поперечным деформациям. Для каждого материала он определяется из опыта на растяжение или сжатие (см. § 3.5) и вычисляется по формуле

    Как следует из равенства (3.6), продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные знаки, что является подтверждением очевидного факта — при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются, а при сжатии увеличиваются.

    Для различных материалов коэффициент Пуассона различен. Для изотропных материалов он может принимать значения в пределах от 0 до 0,5. Например, для пробкового дерева коэффициент Пуассона близок к нулю, а для резины он близок к 0,5. Для многих металлов при нормальных температурах величина коэффициента Пуассона находится в пределах 0,25+0,35.

    Как установлено в многочисленных экспериментах, для большинства конструкционных материалов при малых деформациях между напряжениями и деформациями существует линейная связь

    Этот закон пропорциональности впервые был установлен английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука.

    Входящая в закон Гука постоянная Е называется модулем упругости. Модуль упругости является второй основной постоянной упругости материала и характеризует его жесткость. Поскольку деформации являются безразмерными величинами, из (3.7) следует, что модуль упругости имеет размерность напряжения.

    В табл. 3.1 приведены значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для различных материалов.

    При проектировании и расчетах конструкций наряду с вычислением напряжений необходимо также определять перемещения отдельных точек и узлов конструкций. Рассмотрим способ вычисления перемещений при центральном растяжении и сжатии стержней.

    Абсолютное удлинение элемента длиной dx (рис. 3.6) согласно формуле (3.5) равно

    Таблица 3.1

    Наименование материала

    Модуль упругости, МПа

    Коэффициент

    Пуассона

    Сталь углеродистая

    Сплавы алюминия

    Сплавы титана

    (1,15-s-1,6) 10 5

    вдоль волокон

    (0,1 ^ 0,12) 10 5

    поперек волокон

    (0,0005 + 0,01)-10 5

    (0,097 + 0,408) -10 5

    Кладка из кирпича

    (0,027 +0,03)-10 5

    Стеклопластик СВАМ

    Текстолит

    (0,07 + 0,13)-10 5

    Резина на каучуке

    Интегрируя это выражение в пределах от 0 до х, получим

    где и(х ) — осевое перемещение произвольного сечения (рис. 3.7), а С= и( 0) — осевое перемещение начального сечения х = 0. Если это сечение закреплено, то и(0) = 0 и перемещение произвольного сечения равно

    Удлинение или укорочение стержня равно осевому перемещению его свободного торца (рис. 3.7), величину которого получим из (3.8), приняв х = 1:

    Подставив в формулу (3.8) выражение для деформации? из закона Гука (3.7), получим

    Для стержня из материала с постоянным модулем упругости Е осевые перемещения определяются по формуле

    Входящий в это равенство интеграл можно вычислить двумя способами. Первый способ заключается в аналитической записи функции а(х) и последующем интегрировании. Второй способ основан на том, что рассматриваемый интеграл численно равен площади эпюры а на участке . Вводя обозначение

    Рассмотрим частные случаи. Для стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р (рис. 3.3, а), продольная сила./Vпостоянна по длине и равна Р. Напряжения а согласно (3.4) также постоянны и равны

    Тогда из (3.10) получаем

    Из этой формулы следует, что если напряжения на некотором участке стержня постоянны, то перемещения изменяются по линейному закону. Подставляя в последнюю формулу х = 1, найдем удлинение стержня:

    Произведение EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии. Чем больше эта величина, тем меньше удлинение или укорочение стержня.

    Рассмотрим стержень, находящийся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.8). Продольная сила в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от закрепления, равна

    Разделив N на F, получим формулу для напряжений

    Подставляя это выражение в (3.10) и интегрируя, находим


    Наибольшее перемещение, равное удлинению всего стержня, получим, подставив в (3.13)х = /:

    Из формул (3.12) и (3.13) видно, что если напряжения линейно зависят отх, то перемещения изменяются по закону квадратной параболы. Эпюры N, о и и показаны на рис. 3.8.

    Общая дифференциальная зависимость, связывающая функции и(х) и а(х), может быть получена из соотношения (3.5). Подставляя в это соотношение е из закона Гука (3.7), найдем

    Из этой зависимости следуют, в частности, отмеченные в рассмотренных выше примерах закономерности изменения функции и(х).

    Кроме того, можно заметить, что если в каком-либо сечении напряжения а обращаются в нуль, то на эпюре и в этом сечении может быть экстремум.

    В качестве примера построим эпюру и для стержня, изображенного на рис. 3.2, положив Е- 10 4 МПа. Вычисляя площади эпюры о для различных участков, находим:

    сечение х = 1 м:

    сечение х = 3 м:

    сечение х = 5 м:

    На верхнем участке стержня эпюра и представляет собой квадратную параболу (рис. 3.2, е). При этом в сечении х = 1 м имеется экстремум. На нижнем участке характер эпюры является линейным.

    Общее удлинение стержня, которое в данном случае равно

    можно вычислить, воспользовавшись формулами (3.11) и (3.14). Поскольку нижний участок стержня (см. рис. 3.2, а) растягивается силой Р { его удлинение согласно (3.11) равно

    Действие силы Р { передается также и на верхний участок стержня. Кроме того, он сжимается силой Р 2 и растягивается равномерно распределенной нагрузкой q. В соответствии с этим изменение его длины вычисляется по формуле

    Суммируя значения А/, и А/ 2 , получим тот же результат, что приведен выше.

    В заключение следует отметить, что, несмотря на малую величину перемещений и удлинений (укорочений) стержней при растяжении и сжатии, пренебрегать ими нельзя. Умение вычислять эти величины важно во многих технологических задачах (например, при монтаже конструкций), а также для решения статически неопределимых задач.

    Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

    Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

    При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

    Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

    Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

    При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения


    Рис.1. Одноосное напряженное состояние

    Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

    Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

    При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

    С учетом формул (1 — 4) получим

    Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

    Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

    которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

    Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:



    Рис.2. Плоская деформация сдвига

    Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

    В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

    Для малых деформаций

    С учетом этих соотношений

    До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

    Из обобщенного закона Гука (5) получим

    Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

    В итоге получим

    Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

    Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

    Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

    С использованием равенства (9) будем иметь

    Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим

    Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

    ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

    Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила . Эта сила совершает работу на перемещении . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения , а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: . Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: . Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния

  • 2.6. Предел прочности
  • 2.7. Условие прочности
  • 3.Внутренние силовые факторы (всф)
  • 3.1. Случай воздействия внешних сил в одной плоскости
  • 3.2. Основные соотношения между погонной силой q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx
  • Отсюда вытекает соотношение, называемое первым уравнением равновесия элемента балки
  • 4. Эпюры всф
  • 5. Правила контроля построения эпюр
  • 6. Общий случай напряженного состояния
  • 6.1.Нормальные и касательные напряжения
  • 6.2. Закон парности касательных напряжений
  • 7. Деформации
  • 8. Основные предположения и законы, используемые в сопротивлении материалов
  • 8.1. Основные предположения, используемые в сопротивлении материалов
  • 8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов
  • При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.
  • 9. Примеры использования законов механики для расчета строительных сооружений
  • 9.1. Расчет статически неопределимых систем
  • 9.1.1. Статически неопределимая железобетонная колонна
  • 9.1.2 Температурные напряжения
  • 9.1.3. Монтажные напряжения
  • 9.1.4. Расчет колонны по теории предельного равновесия
  • 9.2. Особенности температурных и монтажных напряжений
  • 9. 2.1. Независимость температурных напряжений от размеров тела
  • 9.2.2. Независимость монтажных напряжений от размеров тела
  • 9.2.3. О температурных и монтажных напряжениях в статически определимых системах
  • 9.3. Независимость предельной нагрузки от самоуравновешенных начальных напряжений
  • 9.4. Некоторые особенности деформирования стержней при растяжении и сжатии с учетом силы тяжести
  • 9.5. Расчет элементов конструкций с трещинами
  • Порядок расчета тел с трещинами
  • 9.6. Расчет конструкций на долговечность
  • 9.6.1. Долговечность железобетонной колонны при наличии ползучести бетона
  • 9.6.2. Условие независимости напряжений от времени в конструкциях из вязкоупругих материалов
  • 9.7 Теория накопления микроповреждений
  • 10. Расчет стержней и стерневых систем на жесткость
  • Составные стержни
  • Стержневые системы
  • 10.1. Формула Мора для вычисления перемещения конструкции
  • 10. 2. Формула Мора для стержневых систем
  • 11. Закономерности разрушения материала
  • 11.1. Закономерности сложного напряженного состояния
  • 11.2. Зависимость иот касательных напряжений
  • 11.3. Главные напряжения
  • Вычисление
  • 11.4. Виды разрушений материалов
  • 11.5.Теории кратковременной прочности
  • 11.5.1.Первая теория прочности
  • 11.5.2.Вторая теория прочности
  • 11.5.3.Третья теория прочности (теория максимальных касательных напряжений)
  • 11.5.4.Четвертая теория (энергетическая)
  • 11.5.5. Пятая теория – критерий Мора
  • 12. Краткое изложение теорий прочности в задачах сопротивления материалов
  • 13. Расчет цилиндрической оболочки под воздействием внутреннего давления
  • 14. Усталостное разрушение (циклическая прочность)
  • 14.1. Расчет сооружений при циклическом нагружении с помощью диграммы Вёлера
  • 14.2. Расчет сооружений при циклическом нагружении по теории развивающихся трещин
  • 15. Изгиб балок
  • 15.1. Нормальные напряжения. Формула Навье
  • 15.2. Определение положения нейтральной линии (оси х) в сечении
  • 15.3 Момент сопротивления
  • 15.4 Ошибка Галилея
  • 15.5 Касательные напряжения в балке
  • 15.6. Касательные напряжения в полке двутавра
  • 15.7. Анализ формул для напряжений
  • 15.8. Эффект Эмерсона
  • 15.9. Парадоксы формулы Журавского
  • 15.10. О максимальных касательных напряжениях (τzy)max
  • 15.11. Расчеты балки на прочность
  • 1. Разрушение изломом
  • 2.Разрушение срезом (расслоение).
  • 3. Расчет балки по главным напряжениям.
  • 4. Расчет по III и IV теориям прочности.
  • 16. Расчет балки на жесткость
  • 16.1. Формула Мора для вычисления прогиба
  • 16.1.1 Методы вычисления интегралов. Формулы трапеций и Симпсона
  • Формула трапеций
  • Формула Симпсона
  • . Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки
  • 16. 2.1 Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки
  • 16.2.2 Правила Клебша
  • 16.2.3 Условия для определения с и d
  • Пример вычисления прогиба
  • 16.2.4. Балки на упругом основании. Закон Винклера
  • 16.4. Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании
  • 16.5. Бесконечная балка на упругом основании
  • 17. Потеря устойчивости
  • 17.1 Формула Эйлера
  • 17.2 Другие условия закрепления.
  • 17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень.
  • 17.4 Формула Ясинского.
  • 17.5 Продольный изгиб
  • 18. Кручение валов
  • 18.1. Кручение круглых валов
  • 18.2. Напряжения в сечениях вала
  • 18.3. Расчет вала на жесткость
  • 18.4. Свободное кручение тонкостенных стержней
  • 18.5. Напряжения при свободном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля
  • 18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля
  • 18.7. Кручение стержней открытого профиля
  • 19. Сложная деформация
  • 19.1. Эпюры внутренних силовых факторов (всф)
  • 19.2. Растяжение с изгибом
  • 19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом
  • 19.4 Косой изгиб
  • 19.5. Проверка прочности круглых стержней при кручении с изгибом
  • 19.6 Внецентренное сжатие. Ядро сечения
  • 19.7 Построение ядра сечения
  • 20. Динамические задачи
  • 20.1. Удар
  • 20.2 Область применения формулы для коэффициента динамичности
  • Выражение коэффициента динамичности через скорость ударяющего тела
  • 20.4. Принцип Даламбера
  • 20.5. Колебания упругих стержней
  • 20.5.1. Свободные колебания
  • 20.5.2. Вынужденные колебания
  • Способы борьбы с резонансом
  • 20.5.3 Вынужденные колебания стержня с демпфером
  • 21. Теория предельного равновесия и её использование при расчете конструкций
  • 21.1. Задача изгиба балки Предельный момент.
  • 21.2. Применение теории предельного равновесия для расчета
  • Литература
  • Содержание
    1. Соотношения статики. Их записывают в виде следующих уравнений равновесия.

      Закон Гука ( 1678 год): чем больше сила, тем больше деформация, причем, прямо пропорционально силе . Физически это означает, что все тела это пружины, но с большой жесткостью. При простом растяжении бруса продольной силой N = F этот закон можно записать в виде:

    Здесь
    продольная сила,l — длина бруса, А — площадь его поперечного сечения, Е — коэффициент упругости первого рода (модуль Юнга ).

    С учетом формул для напряжений и деформаций, закон Гука записывают следующим образом:
    .

    Аналогичная связь наблюдается в экспериментах и между касательными напряжениями и углом сдвига:

    .

    G называют модулем сдвига , реже – модулем упругости второго рода. Как и любой закон, имеет предел применимости и закон Гука. Напряжение
    , до которого справедлив закон Гука, называетсяпределом пропорциональности (это важнейшая характеристика в сопромате).

    Изобразим зависимость от графически (рис.8.1). Эта картина называется диаграммой растяжения . После точки В (т.е. при
    ) эта зависимость перестает быть прямолинейной.

    При
    после разгрузки в теле появляются остаточные деформации, поэтомуназываетсяпределом упругости .

    При достижении напряжением величины σ = σ т многие металлы начинают проявлять свойство, которое называется текучестью . Это означает, что даже при постоянной нагрузке материал продолжает деформироваться (то есть ведет себя как жидкость). Графически это означает, что диаграмма параллельна абсциссе (участок DL). Напряжение σ т, при котором материал течет, называется пределом текучести .

    Некоторые материалы (Ст.3 — строительная сталь) после непродолжительного течения снова начинают сопротивляться. Сопротивление материала продолжается до некоторого максимального значения σ пр, в дальнейшем начинается постепенное разрушение. Величина σ пр — называется пределом прочности (синоним для стали: временное сопротивление, для бетона – кубиковая или призменная прочность). Применяют также и следующие обозначения:

    =R b

    Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и сдвигами.

    3) Закон Дюгамеля – Неймана (линейного температурного расширения):

    При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.

    Пусть имеется перепад температур
    . Тогда этот закон имеет вид:

    Здесь α — коэффициент линейного температурного расширения , l длина стержня, Δ l его удлинение.

    4) Закон ползучести .

    Исследования показали, что все материалы сильно неоднородны в малом. Схематическое строение стали изображено на рис.8.2.

    Некоторые из составляющих обладают свойствами жидкости, поэтому многие материалы под нагрузкой с течением времени получает дополнительное удлинение
    (рис. 8.3.) (металлы при высоких температурах, бетон, дерево, пластики – при обычных температурах). Это явление называетсяползучестью материала.

    Для жидкости справедлив закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости . Если это соотношение линейно (т.е. сила пропорциональна скорости), то можно записать его в виде:

    Е
    сли перейти к относительным силам и относительным удлинениям, то получим

    Здесь индекс « cr » означает, что рассматривается та часть удлинения, которая вызвана ползучестью материала. Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.

      Закон сохранения энергии.

    Рассмотрим нагруженный брус

    Введем понятие перемещения точки, например,

    — вертикальное перемещение точки В;

    — горизонтальное смещение точки С.

    Силы
    при этом совершают некоторую работуU . Учитывая, что силы
    начинают возрастать постепенно и предполагая, что возрастают они пропорционально перемещениям, получим:

    .

    Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на совершение другой работы или переходит в другую энергию (энергия – это работа, которую может совершить тело.).

    Работа сил
    , тратится на преодоление сопротивления упругих сил, возникающих в нашем теле. Чтобы подсчитать эту работу учтем, что тело можно считать состоящим из малых упругих частиц. Рассмотрим одну из них:

    Со стороны соседних частиц на него действует напряжение . Равнодействующая напряжений будет

    Под действием частица удлинится. Согласно определению относительное удлинение это удлинение на единицу длины. Тогда:

    Вычислим работу dW , которую совершает сила dN (здесь также учитывается, что силы dN начинают возрастать постепенно и возрастают они пропорциональны перемещениям):

    Для всего тела получим:

    .

    Работа W , которую совершило , называютэнергией упругой деформации.

    Согласно закону сохранения энергии:

    6)Принцип возможных перемещений .

    Это один из вариантов записизакона сохранения энергии.

    Пусть на брус действуют силы F 1 , F 2 ,. Они вызывают в теле перемещения точки
    и напряжения
    . Дадим телудополнительные малые возможные перемещения
    . В механике запись вида
    означает фразу «возможное значение величиныа ». Эти возможные перемещения вызовут в теле дополнительные возможные деформации
    . Они приведут к появлению дополнительных внешних сил и напряжений
    , δ.

    Вычислим работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:

    Здесь
    — дополнительные перемещения тех точек, в которых приложены силыF 1 , F 2 ,

    Рассмотрим снова малый элемент с поперечным сечением dA и длиной dz (см. рис.8.5. и 8.6.). Согласно определению дополнительное удлинение dz этого элемента вычисляется по формуле:

    dz =  dz.

    Сила растяжения элемента будет:

    dN = (+δ) dA dA ..

    Работа внутренних сил на дополнительных перемещениях вычисляется для малого элемента следующим образом:

    dW = dN dz = dA  dz =  dV

    С
    уммируя энергию деформации всех малых элементов получим полную энергию деформации:

    Закон сохранения энергии W = U дает:

    .

    Это соотношение и называется принципом возможных перемещений (его называют также принципом виртуальных перемещений). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации W добавится следующее слагаемое:

    Здесь  — касательное напряжение,  -сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных перемещений примет вид:

    В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии здесь нет предположения о том, что силы начинают возрастать постепенно, и возрастают они пропорционально перемещениям

    7) Эффект Пуассона.

    Рассмотрим картину удлинения образца:

    Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона .

    Найдем продольную относительную деформацию.

    Поперечная относительная деформация будет:

    Коэффициентом Пуассона называется величина:

    Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона

    Это означает, что в поперечном направлении деформация меньше продольной.

    Примечание : современные технологии могут создать композиционные материалы, у которых коэффициент Пуассон >1, то есть поперечная деформация будет больше, чем продольная. Например, это имеет место для материала, армированного жесткими волокнами под малым углом
    , т. е. чем меньше, тем больше коэффициент Пуассона.

    Рис.8.8. Рис.8.9

    Еще более удивительным является материал, приведенный на (рис.8.9.), причем для такого армирования имеет место парадоксальный результат – продольное удлинение ведет к увеличению размеров тела и в поперечном направлении.

    8) Обобщенный закон Гука.

    Рассмотрим элемент, который растягивается в продольном и поперечном направлениях. Найдем деформацию, возникающую в этих направлениях.

    Вычислим деформацию , возникающую от действия:

    Рассмотрим деформацию от действия , которая возникает в результате эффекта Пуассона:

    Общая деформация будет:

    Если действует и , то добавиться еще одно укорочение в направлении осиx
    .

    Следовательно:

    Аналогично:

    Эти соотношения называются обобщенным законом Гука.

    Интересно, что при записи закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от касательных напряжений, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность напротив сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.

    Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.

    Главная » Фен шуй » Обобщенный закон гука. Деформации и перемещения

    Обобщенный закон Гука – обзор

    Обобщенный закон Гука, связывающий напряжения с деформациями, имеет вид = матрица жесткости, ε j = компоненты деформации. Альтернативная форма отношения напряжение-деформация:

    (7)εj=Sijσiij=1,2,…,6

    , где S ij = матрица податливости.

    Учитывая, что C ij = C ji , матрица жесткости является симметричной, что сокращает ее совокупность из 36 элементов до 21 независимой константы. Мы можем дополнительно уменьшить размер матрицы, предположив, что пластины ортотропны. Для ортотропных пластин существует 9 независимых констант. Чтобы свести эту трехмерную ситуацию к двумерной ситуации для плоского напряжения, мы имеем

    (8)τ3=0=σ23=σ13

    , тем самым уменьшая зависимость напряжение-деформация до

    (9)|ε1ε2γ12 |=|S11S120S21S22000S66||σ1σ2τ12|

    Зависимость напряжение-деформация можно инвертировать, чтобы получить

    (10)|σ1σ2τ12|=|Q11Q120Q21Q22000Q66||ε1ε2γ12|

    , где Q ij — приведенная жесткость.Уравнения для этих жесткостей:

    Материальные направления пластинки могут не совпадать с координатами тела. Уравнения преобразования напряжений в направлении 1-2 в направление x-y имеют вид

    (15)|σxσyτxy|=|T−1||σ1σ2τ12|

    где [ T –1 ] равно

    (16)|T−1|=|cos2φsin2φ−2sinφcosφsin2φcos2φ2sinφcosφsinφcosφ−sinφcos2φ|

    Оси x и 1 образуют угол φ. Эта матрица справедлива и для трансформации деформаций,

    (17)|εxεyγxy|=|T−1||ε1ε2γ12|

    Наконец, можно показать, что

    (18)|σxσyτxy|=|Q¯ij||εxεyγxy|

    где [Q¯ij] — преобразованная приведенная жесткость. Преобразованная приведенная матрица жесткости имеет вид

    (19)[Q¯ij]=|Q¯11Q¯12Q¯16Q¯21Q¯22Q¯26Q¯16Q¯26Q¯66| где (cos4+sen4Φ)Q¯66=(Q11+Q22−2Q12−2Q66)sen2Φcos2Θ+Q66(cos4Φ+sen4Φ)Q¯16=(Q11−Q12−2Q66)cos3ΦsenΦundefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined-(Q22-Q12-2Q66)cosΦsen3ΦQ¯26= (Q11−Q12−2Q66)cosΦsen3Φ−(Q22−Q12−2Q66)cos3ΦsenΦ

    Матрица преобразования [ T –1 ] и преобразованная приведенная матрица жесткости [Q¯ij] являются очень важными матрицами в макромеханическом анализе. как из ламината, так и из ламината.Эти матрицы играют ключевую роль в определении эффективных свойств в плоскости и изгиба, а также в том, как ламинат будет вести себя при воздействии различных комбинаций сил и моментов.

    Конспект лекций

    материалы

    константы упругости

    Понятия напряжения и деформации введены для обеспечения масштабируемость между геометрией лабораторных образцов и реальным миром Приложения. Обобщенный закон Гука для связи напряжения и деформации: предоставлено

    σ ij = E ijkl ε кл

    где 81 компоненты тензора четвертого порядка E ijkl известны как константы упругости . Это уравнение можно представить в матричной форме следующим образом.

    Обратите внимание, что символы со смешанными нижними индексами часто представляются как τ и γ, а индексы 1, 2 и 3 можно заменить на x, y и z. Первый нижний индекс идентифицирует грань, на которую он действует, а второй нижний индекс дает направление на этой грани.

    Для материалов, описанных в анизотропных линейно-упругих поведения, из симметрии и термодинамики можно показать, что упругая тензор констант может быть уменьшен до 21 различных компоненты.

    принято Майк Крайтс, Хосе Сото и Джефф Томас, октябрь 1997 г.

    Или как ряд линейных уравнения,

    σ хх = С 11 ε хх + C 12 ε yy + C 13 ε zz + C 14 γ xy + C 15 γ xz + C 16 γ yz
    σ yy = C 12 ε xx + C 22 ε yy + C 23 ε zz + C 24 γ xy + C 25 γ xz + C 26 γ yz
    σ zz = C 13 ε xx + C 23 ε yy + C 33 ε zz + C 34 γ xy + C 35 γ xz + C 36 γ yz
    σ xy = C 14 ε xx + C 24 ε yy + C 34 ε zz + C 44 γ xy + C 45 γ xz + C 46 γ yz
    σ xz = C 15 ε xx + C 25 ε yy + C 35 ε zz + C 45 γ xy + C 55 γ xz + C 56 γ yz
    σ yz = C 16 ε xx + C 26 ε yy + C 36 ε zz + C 46 γ xy + C 56 γ xz + C 66 γ yz

    Для общеортотропных линейно-упругих материалов (древесина, многослойные пластики, холоднокатаные стали, железобетон, различные композиты материалы и поковки), обладающий плоскостью упругой симметрии, число независимых упругих постоянных сводится к девять .

    Кох, П. 1972а. Использование из южных сосен. I. Сырье.
    Справочник по сельскому хозяйству Лесной службы Министерства сельского хозяйства США
    № 420. 733 стр.
    Кох, П. 1972б. Использование южных сосен. II. Сырье.
    Справочник лесной службы Министерства сельского хозяйства США No.420. 926 с.

    Или, говоря более привычным языком,

    .

    Или как ряд линейных уравнения,

    σ хх = С 11 ε хх + C 12 ε yy + C 13 ε zz
    σ yy = C 12 ε xx + C 22 ε yy + C 23 ε zz
    σ zz = C 13 ε xx + C 23 ε yy + C 33 ε zz
    σ ху = С 44 γ ху
    σ xz = C 55 γ xz
    σ yz = C 66 γ yz

    В качестве альтернативы мы можем изменить порядок деформации.

    Для специально ортотропный линейно-упругий материалов в двух измерениях (продольном и поперечное), число независимых упругих постоянных сводится к четырем (E L , E T , ν LT , ν TL ).

    Или как линейные уравнения, где константы связаны соотношением ν LT E T = ν TL E L ,

    В качестве альтернативы мы можем преобразовать эти формулы напряжения в термины деформации.

    Для трансверсально-изотропных , линейно-упругие материалы в трех измерениях, где T ‘представляет собой ось перпендикулярно осям L и T, для пять независимые упругие константы (E L , E T , G LT , ν LT , ν TT’ ).

    Е Т = Е Т’
    G LT = G LT’
    ν LT = ν LT’
    G TT’ = E T / 2(1+ν TT’ )

    Для изотропных линейно-упругих материалов, это число далее сокращается до два отдельные компоненты как в двух, так и в трех измерениях.То трехмерные уравнения:

    , где константы связаны соотношением G = Е/2(1+ν). E и ν могут можно определить из испытания на одноосное растяжение, а G можно определить из испытание на кручение. В качестве альтернативы мы можем преобразовать эти формулы напряжения в термины деформации.

    Для двумерных или плоские напряжения zz = τ xz = τ yz = 0), изотропные уравнения сводятся к следующему. Нормальные напряжения считаются положительными при растяжении и отрицательными при сжатии. сдвиг напряжения считаются положительными, когда направления, связанные с индексы плюс-плюс или минус-минус (первый или третий квадрант) и отрицательное, когда направления плюс-минус или минус-плюс (второй или четвертый квадранты).

    Также могут быть изучены следующие частные случаи плоского напряжения.

    Для изотропного материала,

    Е, G и К > 0
    -1 < ν < 0,5

    Для ортотропного материала

    Э Л , Э Т , Э Т’ , Г ЛТ , Г ЛТ’ и G TT’ >0
    (1-ν ЛТ ν TL ), (1-ν LT’ ν T’L ) и (1-ν TT’ ν Т’Т ) > 0
    1 — v LT ν TL — ν LT’ ν T’L — ν TT’ ν T’T — 2ν LT ν ТТ’ ν Т’Л > 0

     

    (PDF) Графическое представление обобщенного закона Гука

    TECHNISCHE MECHANIK, Band 21, Heft 2 (2001), 145–158

    Руководство: 30. Januar 2001

    Графическое представление обобщенного закона Гука

    Т. Бёлке, К. Брюггеманн

    Анизотропное линейно-упругое поведение монокристаллов может быть эквивалентно описано тензором упругости 4-го порядка

    или двумя функциями Е(г) и К(г). Эти функции представляют модуль Юнга и обобщенный объемный модуль упругости как функции направления растяжения при испытании на растяжение. В настоящей статье

    даны трехмерные и двумерные графические представления модуля Юнга и обобщенного объемного

    модуля для монокристаллов, принадлежащих к одной из следующих групп симметрии: моноклинной,

    ромбической, тригональной, тетрагональной, гексагональной, и кубическая симметрия.

    1 Введение

    Обобщенный закон Гука представляет собой геометрическую и физическую линейную зависимость между напряжением и деформацией

    анизотропных упругих тел. Это одно из старейших и наиболее известных определяющих соотношений в механике континуума

    . Одномерные формулировки впервые обсуждались в 17 веке. На протяжении долгого времени

    научное сообщество соглашалось расходиться во мнениях относительно самой общей формы линейной упругости. Наконец Фойгт

    (1850-1919) ответил на открытый вопрос, сколько констант необходимо определить в изотропном и

    анизотропном случаях.Он экспериментально доказал гипотезу Грина (1793-1841) о том, что в изотропном случае

    должны быть определены две, а в общем анизотропном гиперупругом случае 21 константа.

    На основе закона Гука анализируются конструкции во всех отраслях машиностроения и гражданского строительства. В большинстве

    случаев используется изотропная версия закона Гука. Но в последние десятилетия все больше и больше учитываются анизотропии

    , что особенно важно, если детали

    ламинированы или изготовлены из монокристаллов.Также изменение упругих свойств поликристаллов в процессе обработки металлов давлением

    имеет значение для оценки эффекта пружинения. Независимо от специального применения инженеру

    требуются методы для иллюстрации или визуализации анизотропных линейных упругих свойств материалов.

    В настоящей статье разработана визуализация, основанная на модуле Юнга и обобщенном модуле объемного сжатия

    .

    План статьи следующий: в разделе 2 обсуждаются основные свойства закона Гука

    и определяется тензор упругости для восьми различных классов симметрии, соответствующих

    контексту линейной упругости.В разделе 3 вводится гармоническое разложение тензоров упругости. Это разложение

    предоставляет инструмент для однозначного разложения тензора упругости 4-го порядка на изотропную и

    анизотропную части. В разделе 4 обсуждаются характеристические компоненты тензора упругости, которые являются полезными скалярными функциями, описывающими анизотропное поведение линейной упругости (Больке, 2001). Показано

    , что модуль Юнга и обобщенный объемный модуль зависят только от нормализованного вектора, определяющего

    направление растяжения в испытании на растяжение. Обе скалярные функции однозначно определяют тензор упругости

    (He and Curnier, 1994). В разделе 5 приведены трехмерные и двумерные графические представления модуля Юнга

    и обобщенного объемного модуля для монокристаллов, принадлежащих к одной из следующих групп симметрии

    : моноклинной, ромбической, тригональной, тетрагональной, гексагональной и кубической симметрии. .

    Обозначение. Повсюду в тексте предпочтительна прямая тензорная запись. Чтобы избежать дополнительных формальных определений, в некоторых случаях применяется обозначение индекса с использованием соглашения о суммировании.Линейное отображение

    тензора 2-го порядка записывается как A=C[B]. Композицию, скалярное произведение,

    двоичное произведение и норму Фробениуса тензоров 2-го порядка обозначают AB,A·B,A⊗B,

    и kAk= (A·A)1/2 соответственно. . Неприводимые, т. е. полностью симметричные и бесследовые тензоры

    обозначаются штрихом, например, A0 и C0. Основные изотропные тензоры 2-го, 4-го и 6-го порядка (Zheng

    и Betten, 1995) обозначаются I,I и J соответственно

    I=ei⊗eiI=1

    2ei⊗ej⊗( ei⊗ej+ej⊗ei) (1)

    EngArc — L — Многоосное нагружение и обобщенный закон Гука

    EngArc — L — Многоосное нагружение и обобщенный закон Гука
    Многоосное нагружение и обобщенный закон Гука


    Уравнения
    деформация в направлении x , обобщенный закон Гука
    деформация в направлении y , обобщенный закон Гука
    деформация в направлении z , обобщенный закон Гука

    Номенклатура

    Детали

    Рассмотрим тонкий элемент, подверженный осевой нагрузке. Выбрав ось, вдоль которой приложена нагрузка, как ось x и обозначив через P внутреннюю силу в данном месте, соответствующие компоненты напряжения будут равны σ x = P / А и σ y = σ z = 0.

    Теперь рассмотрим элемент конструкции, на который воздействуют нагрузки, действующие в направлениях трех осей координат и создающие нормальные напряжения σ x , σ y и σ z , которые все отличны от нуля. .Это состояние называется многоосной нагрузкой. Изучите следующий рисунок:

    Обратите внимание, что это не общее напряженное состояние, описанное в уроке «Напряжение при общих условиях нагружения и компонентах напряжения», поскольку напряжения сдвига не включены в напряжения, показанные на приведенном выше рисунке.

    Рассмотрим элемент изотропного материала в форме куба, как показано внизу слева. Предположим, что каждая сторона куба равна единице, так как всегда можно выбрать сторону куба в качестве единицы длины. При заданном многоосном нагружении элемент деформируется в прямоугольный параллелепипед со сторонами, равными соответственно 1 + ε x , 1 + ε y и 1 + ε z , где ε x , ε y и ε z обозначают значения нормальной деформации в направлениях трех координатных осей, как показано на рисунке справа внизу.

    97 9013 9019
    99
    Подчеркнул

    Следует отметить, что рассматриваемый элемент также может пройти перевод, но единственная проблема здесь с фактической деформацией элемента, а не с любым возможным наложенным перемещением твердого тела.

    Для того, чтобы выразить штамм компоненты ε , ε y , и ε Z в терминах компонентов напряжения Σ x , Σ y σ z влияние каждой составляющей напряжения будет рассмотрено отдельно, а полученные результаты объединены. Предлагаемый здесь подход основан на принципе суперпозиции. Этот принцип гласит, что влияние заданной комбинированной нагрузки на конструкцию можно получить путем определения по отдельности воздействия различных нагрузок и объединения полученных результатов при условии, что выполняются следующие условия:

    1.Каждый эффект линейно связан с нагрузкой, которая его производит.
    2. Деформация, возникающая в результате любой заданной нагрузки, невелика и не влияет на условия приложения других нагрузок.

    В случае многоосного нагружения первое условие будет выполняться, если напряжения не превышают предела пропорциональности материала, а второе условие также будет выполнено, если напряжение на какой-либо грани не вызывает деформаций других граней которые достаточно велики, чтобы повлиять на вычисление напряжений на этих гранях.

    Учитывая сначала эффект компонента напряжений Σ x , отзыв от соотношения урок Пуассона, что Σ x вызывает нагрузку равным Σ x в x направлении, и деформации, равные − νσ x / E в каждом из направлений y и z . Точно так же компонент напряжений Σ y , если применяется отдельно, вызовет деформацию Σ y / E в направлении y νσ y / E в два других направления.Наконец, компонент напряжений σ Z вызывает штамм Σ Z / E в Z Направление и штаммы — νσ Z / E и x и y направлений. Объединяя полученные результаты, можно сделать вывод, что составляющими деформации, соответствующими заданному многоосному нагружению, являются:




    Соотношения, заданные уравнениями Eq1, Eq2 и Eq3, называются обобщенным законом Гука для многоосного нагружения однородного изотропного материала.Как указывалось ранее, полученные результаты действительны только до тех пор, пока напряжения не превышают пропорциональный предел и пока вовлеченные деформации остаются малыми. Также помните, что положительное значение компонента напряжения означает растяжение, а отрицательное — сжатие. Точно так же положительное значение компонента деформации указывает на расширение в соответствующем направлении, а отрицательное значение — на сжатие.

    Закон Гука — Напряжение сдвига

    В случае напряжения растяжения однородного стержня (кривая напряжения-деформации) Закон Гука описывает поведение стержня в упругой области.В этой области удлинение стержня прямо пропорционально силе растяжения и длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости . Вплоть до предельного напряжения тело сможет восстановить свои размеры при снятии нагрузки. Приложенные напряжения заставляют атомы в кристалле перемещаться из своего положения равновесия. Все атомы смещены на одинаковую величину и сохраняют свою относительную геометрию. Когда напряжения снимаются, все атомы возвращаются в исходное положение, и остаточная деформация не возникает.Согласно закону Гука напряжение пропорционально деформации (в упругой области), а наклон равен модулю Юнга .

    Мы можем расширить ту же идею связи напряжения с деформацией с приложениями сдвига в линейной области, связав напряжение сдвига с деформацией сдвига, чтобы создать Закон Гука для напряжения сдвига :

    Для изотропных материалов в области упругости вы можно связать коэффициент Пуассона (ν), модуль упругости Юнга (E) и модуль упругости сдвига (G):

    Модуль упругости сдвига

    Модуль сдвига или модуль жесткости получают из кручение цилиндрического образца.Он описывает реакцию материала на напряжение сдвига. Его символ — G. Модуль сдвига — одна из нескольких величин для измерения жесткости материалов, возникающая в обобщенном законе Гука.

    • Напряжение сдвига . Напряжение сдвига возникает, когда две части материала стремятся скользить друг по другу в любой типичной плоскости сдвига при приложении силы, параллельной этой плоскости. Кручение — это разновидность чистого сдвига, при котором элемент конструкции скручивается. Силы кручения производят вращательное движение вокруг продольной оси одного конца элемента относительно другого конца.Напряжение сдвига также имеет большое значение в природе, поскольку оно тесно связано с движением земных материалов вниз по склону (как в случае лавин).
    • Деформации сдвига. Деформация сдвига является результатом напряжения сдвига и представляет собой деформацию, вычисленную по относительным смещениям, измеренным параллельно двум опорным плоскостям. Деформации сдвига измеряют относительное параллельное движение одной базовой плоскости по отношению к другой. Символ деформации сдвига обычно представляет собой строчную греческую букву гамма (γ).

    Во многих случаях предел текучести используется для определения допустимого напряжения, которому может подвергаться материал. Для компонентов, которые должны выдерживать высокие давления, например, используемые в водо-водяных реакторах (PWR), этот критерий не подходит. Чтобы охватить эти ситуации, теория максимального напряжения сдвига разрушения была включена в Кодекс ASME (Американского общества инженеров-механиков) по котлам и сосудам под давлением, Раздел III, Правила строительства ядерных сосудов под давлением. Эта теория утверждает, что отказ компонента трубопровода происходит, когда максимальное напряжение сдвига превышает напряжение сдвига в пределе текучести при испытании на растяжение.

    Механика материалов: деформация » Механика гибких конструкций


    Штамм

    До сих пор мы сосредоточились на напряжении в элементах конструкции. Когда вы прикладываете нагрузку к объекту, он деформируется . Подумайте о резиновой ленте: вы тянете ее, и она становится длиннее — она растягивается .Деформация — это мера того, насколько объект растянут, а деформация — это отношение между деформацией и исходной длиной. Думайте о деформации как о удлинении процентов — насколько больше (или меньше) становится объект после его загрузки.

    Как и при напряжении, существует два типа деформаций, которым может подвергаться конструкция: 1. Нормальная деформация и 2. Деформация сдвига . Когда сила действует перпендикулярно (или «нормально») к поверхности объекта, она создает нормальное напряжение.Когда сила действует параллельно поверхности объекта, возникает напряжение сдвига.

    Рассмотрим стержень, находящийся под одноосным растяжением. Стержень удлиняется под действием этого напряжения до новой длины, и нормальная деформация представляет собой отношение этой небольшой деформации к первоначальной длине стержня.

    Деформация — это безразмерная мера того, насколько объект становится больше или меньше от приложенной нагрузки. Нормальная деформация  происходит, когда удлинение объекта происходит в ответ на нормальное напряжение (т.е. перпендикулярно поверхности) и обозначается греческой буквой эпсилон. Положительное значение соответствует растяжению деформации, а отрицательное сжатию . Деформация сдвига возникает, когда деформация объекта является ответом на напряжение сдвига (т. Е. Параллельно поверхности) и обозначается греческой буквой гамма .

    Механическое поведение материалов

    Очевидно, что стресс и напряжение связаны.Напряжение и деформация связаны конститутивным законом , и мы можем определить их взаимосвязь экспериментально, измерив, какое усилие требуется для растяжения материала. Это измерение можно выполнить с помощью теста на растяжение .   В простейшем случае, чем больше вы тянете за объект, тем больше он деформируется, и при малых значениях деформации эта зависимость является линейной. Эта линейная эластичная зависимость между напряжением и деформацией известна как закон Гука . Если построить зависимость напряжения от деформации, то для малых деформаций этот график будет линейным, а наклон линии будет свойством материала, известным как модуль упругости Юнга . Это значение может сильно варьироваться от 1 кПа для желе до 100 ГПа для стали. Для большинства технических материалов линейная область диаграммы напряжения-деформации возникает только при очень малых деформациях (<0,1%). В этом курсе мы сосредоточимся только на материалах, которые являются линейно-эластичными (т. е. подчиняются закону Гука) и изотропными  (они ведут себя одинаково независимо от того, в каком направлении вы их тянете).

    Из закона Гука и наших определений напряжения и деформации мы можем легко получить простое соотношение для деформации материала.

    Интуитивно этот экзамен имеет смысл: приложите больше нагрузки, получите большую деформацию; приложите ту же нагрузку к более жесткому или толстому материалу, получите меньшую деформацию. Если конструкция меняет форму или материал или по-разному нагружена в разных точках, то мы можем разделить эти множественные нагрузки, используя принцип суперпозиции .

    Обобщенный закон Гука

    На прошлом уроке мы начали узнавать о том, как связаны стресс и напряжение – через закон Гука.Но до этого момента мы рассматривали только очень упрощенную версию закона Гука: мы говорили только о напряжении или напряжении в одном направлении. В этом уроке мы рассмотрим обобщенный закон Гука для однородных, изотропных и упругих материалов, на которые действуют силы более чем по одной оси.

    Прежде всего, даже простое вытягивание (или толкание) большинства материалов в в одном направлении фактически вызывает деформацию в во всех трех ортогональных направлениях .Вернемся к первой иллюстрации напряжения. На этот раз мы учтем тот факт, что вытягивание объекта в осевом направлении вызывает его сжатие в поперечном направлении в поперечном направлении:

    Таким образом, если потянуть его в направлении x , он сожмется в направлениях y и z . Это свойство материала известно как коэффициент Пуассона , обозначается греческой буквой nu и определяется как:

    Или, более математически, используя осевую нагрузку, показанную на изображении выше, мы можем записать это как уравнение:

    Поскольку коэффициент Пуассона представляет собой отношение двух деформаций, а деформация безразмерна, коэффициент Пуассона также безразмерен. Коэффициент Пуассона является свойством материала . Коэффициент Пуассона может варьироваться от -1 до 0,5. Для большинства инженерных материалов, например стали или алюминия, коэффициент Пуассона составляет около 0,3, а для каучуков коэффициент Пуассона составляет около 0,5, которые называются «несжимаемыми». Несжимаемость просто означает, что на любую величину, которую вы сжимаете в одном направлении, она расширится на такую ​​же величину в других направлениях — следовательно, ее объем не изменится.

    В последнее десятилетие было проведено очень интересное исследование по созданию структурированных материалов , в которых используются геометрия и упругая нестабильность (тема, которую мы кратко рассмотрим в следующей лекции) для создания ауксетических материалов — материалов с отрицательным коэффициентом Пуассона. Физически это означает, что когда вы тянете материал в одном направлении, он расширяется во всех направлениях (и наоборот):

    Этот принцип можно применить и в 3D для создания расширяемых/складных оболочек:

    Благодаря коэффициенту Пуассона у нас теперь есть уравнение, связывающее деформацию в направлении y или z с деформацией в направлении z. Мы можем, в свою очередь, связать это обратно со стрессом с помощью закона Гука.Это важное примечание: натяжение объекта в одном направлении вызывает напряжение только в этом направлении , а вызывает напряжение во всех трех направлениях . Итак, сигма y = sigma z = 0. Выпишем деформации в направлениях y и z через напряжение в направлении x .

    Помните, что до этого момента мы рассматривали только одноосную деформацию . В действительности конструкции могут быть одновременно нагружены в нескольких направлениях, вызывая напряжение в этих направлениях.Полезный способ понять это — представить очень крошечный «кубик» материала внутри объекта. Этот куб может иметь напряжений , которые перпендикулярны каждой поверхности , например:

    Таким образом, приложение нагрузки в направлении x вызывает нормальное напряжение в этом направлении, и то же самое верно для нормальных напряжений в направлениях y и z . И, как мы теперь знаем, напряжение в одном направлении вызывает напряжение во всех трех направлениях .Итак, теперь мы включим эту идею в закон Гука и запишем уравнения для деформации в каждом направлении как:

    Эти уравнения выглядят сложнее, чем они есть на самом деле: деформация в каждом направлении (или каждый компонент деформации) зависит от нормального напряжения в этом направлении, а коэффициент Пуассона умножается на деформацию в двух других направлениях. Теперь у нас есть уравнения того, как объект изменит форму в трех ортогональных направлениях. Ну а если объект меняет форму во всех трех направлениях, значит, он изменит свой объем .Простую меру этого изменения объема можно найти, сложив три нормальных компонента деформации:

    Теперь, когда у нас есть уравнение для изменения объема, или расширение , в терминах нормальных деформаций, мы можем переписать его в терминах нормальных напряжений.

    Очень распространенный тип стресса, который вызывает дилатацию, известен как гидростатический стресс. Это просто давление, которое одинаково действует на весь материал. Поскольку он действует одинаково, это означает:

    Итак, в случае гидростатического давления мы можем сократить наше окончательное уравнение для расширения до следующего:

    Это окончательное соотношение важно, потому что оно определяет, как объем материала изменяется под действием гидростатического давления. Предварительный коэффициент для p можно переписать как объемный модуль материала , K .

    Наконец, вернемся к идее «несжимаемых» материалов. Что происходит с K — мерой того, как материал изменяет объем при заданном давлении, — если коэффициент Пуассона для материала равен 0,5?

    Закон Гука при сдвиге

    В предыдущем разделе мы разработали отношения между нормальным напряжением и нормальной деформацией.Теперь нам нужно поговорить о сдвиге. Вернемся к этому воображаемому кубу материала. В дополнение к внешним силам, вызывающим напряжения, перпендикулярные каждой поверхности куба, силы могут вызывать напряжения, параллельные каждой грани куба. А, как известно, напряжения, параллельные поперечному сечению, составляют касательных напряжений

    Теперь этот куб материала выглядит намного сложнее, но на самом деле это не так уж и плохо. На каждой поверхности есть два напряжения сдвига, и нижние индексы говорят вам, в каком направлении они указывают и какой поверхности они параллельны. Например, возьмем правую грань куба. Напряжения, перпендикулярные этой поверхности, являются нормальными напряжениями в направлении x . Есть два напряжения, параллельных этой поверхности, одно указывает в направлении y (обозначается тау xy ), а другое указывает в направлении z (обозначается тау xz ). Чтобы куб находился в равновесии, тау х у = тау у х (иначе куб вращался бы). Следовательно, теперь имеется шесть напряжений (сигма x , сигма, сигма, тау xy, тау yz, тау xz ), которые характеризуют напряженное состояние в однородном, изотропном, упругом материале.

    Итак, как эти напряжения сдвига связаны с деформациями сдвига? Закон Гука при сдвиге очень похож на уравнение, которое мы видели для нормального напряжения и деформации:

    В этом уравнении пропорция между напряжением сдвига и деформацией сдвига известна как модуль сдвига материала. Это уравнение в его общей форме, но мы можем переписать его более явно с точки зрения компонентов x, y и z . Это даст нам обобщенный закон Гука для однородных изотропных эластичных материалов.

    В нашем обобщенном законе Гука у нас есть шесть компонентов напряжения и деформации и три свойства материала. Возникает естественный вопрос: как эти три свойства материала соотносятся друг с другом? Это отношение задается следующим уравнением:

    Резюме

    В этой лекции мы ввели понятие деформации. Деформация – это деформация материала от напряжения. Это просто отношение изменения длины к первоначальной длине.Деформации, прикладываемые перпендикулярно поперечному сечению, представляют собой нормальных деформаций , а деформации, приложенные параллельно поперечному сечению, представляют собой сдвиговых деформаций . Для линейных эластичных материалов напряжение линейно связано с деформацией по закону Гука. Пропорциональность этого отношения известна как модуль упругости материала . Используя закон Гука, мы можем записать простое уравнение, которое описывает, как материал деформируется под действием внешней нагрузки.

    Кроме того, в этом разделе мы узнали о многоосевой нагрузке .В частности, мы узнали, что напряжение в одном направлении вызывает деформацию в трех направлениях . Это происходит из-за свойства материала, известного как коэффициент Пуассона — отношение между поперечной и осевой деформациями. Деформации, происходящие в трех ортогональных направлениях, могут дать нам меру расширения материала  в ответ на многоосную нагрузку. В частности, объем материала обычно может изменяться в ответ на изменения внешнего давления или гидростатического напряжения .Это привело к определению устойчивости материалов к изменению объема под действием гидростатического напряжения – модуль объемного сжатия . Исследуя воображаемый кубический элемент в произвольном материале, мы смогли представить напряжения, возникающие перпендикулярно и параллельно каждой грани куба. Это дало нам шесть напряжений и шесть деформаций (три нормальных и три сдвиговых), которые мы соотнесли друг с другом, используя обобщенный закон Гука  для однородных , изотропных и упругих упругих Эти компоненты многоосного напряжения и деформации связаны тремя свойствами материала: модулем упругости Юнга , модулем сдвига и коэффициентом Пуассона .

    Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального Научный фонд.

    Обобщенный закон Гука — Вопросы и ответы по механике грунтов

    Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором (MCQ) по механике грунтов посвящен «Обобщенному закону Гука».

    1. Закон Гука гласит, что в пределах предела упругости ______
    а) напряжение прямо пропорционально деформации
    б) напряжение обратно пропорционально деформации
    в) напряжение не зависит от деформации
    г) напряжение равно деформации
    Посмотреть ответ

    Ответ: a
    Объяснение: В простейшей форме закон Гука утверждает, что в пределах предела упругости напряжение прямо пропорционально деформации.
    ∴ Стресс ∝ Напряжение.

    2. Уравнение обобщенного закона Гука, связывающее деформацию с напряжением, содержит ___________ упругих постоянных.
    a) 40
    b) 36
    c) 39
    d) 38
    Посмотреть ответ

    Ответ: b
    Объяснение: Уравнение обобщенного закона Гука, связывающее деформацию с напряжением, содержит 36 упругих постоянных. Эти упругие константы не зависят от составляющих напряжения в точке.

    3. Упругое тело называется однородным, если существует ______ упругих постоянных.
    a) 36
    b) 20
    c) 26
    d) 30
    Посмотреть ответ

    Ответ: a
    Объяснение: Уравнение обобщенного закона Гука, связывающее деформацию с напряжением, содержит 36 упругих констант. Когда констант всего 36, говорят, что упругое тело однородно.

    4. Упругое тело называется изотропным, если упругие постоянные ______
    а) одинаковы только в направлении у
    б) одинаковы только в направлении х
    в) различны во всех направлениях
    г) одинаковы во всех направлениях
    Просмотр Ответ

    Ответ: d
    Объяснение: Когда константы упругости одинаковы во всех направлениях в точке грунтового тела, то говорят, что грунтовое тело изотропно.Принимая во внимание однородность и изотропию, число упругих констант сокращается до двух.

    5. Число независимых упругих постоянных равно ______
    а) 2
    б) 5
    в) 0
    г) 6
    Посмотреть ответ

    Ответ: а
    Пояснение: Харр в 1966 году показал, что с помощью серии вращений осей , число независимых констант для однородного и изотропного тела всего две.

    6. В уравнении обобщенного закона Гука ε X =C 11 σ x + C 12 Y + σ Z ), константа равна 9 _________ ) E
    b) 1/E
    c) 0
    d) μ
    Посмотреть ответ

    Ответ: b
    Пояснение: Рассмотрим случай одноосного напряжения,
    σ Y Z =0
    ∴ ε X = C 11 σ x
    ∴ C 11 = ε X x = 1/E.

    7. В уравнении обобщенного закона Гука ε X =C 11 σ x + C 12 Y + σ Z ), константа равна 20__ 90 2 _________ ) E
    b) 1/E
    c) –µ/E
    d) µ
    Посмотреть ответ

    Ответ: c
    Пояснение: Рассмотрим случай одноосного напряжения,
    σ Y Z = 0
    ∴ ε x = C 11 Σ x
    ∴ C x / ε x / Σ x = 1 / e и пусть, ε y = ε z = c 12 Σ x
    C 12 Σ x = E ε x 9006 ∴ C 0 12 = (1 / е) * (ε y / ε

    ∴ C )
    ∴ C 12 =–мк/Е.

    8. Модуль упругости в МПа для очень мягкой глины составляет __________
    а) 2-15
    б) 15-60
    в) 50-81
    г) 100-200
    Посмотреть ответ

    Ответ: а
    Пояснение: Модуль упругости в МПа для очень мягкой глины составляет 2-15 МПа. Для лесса это 15-60 МПа. Для плотного песка она составляет 50-81 МПа. А для песка и гравия это 100-200 МПа.

    9. Диапазон коэффициента Пуассона μ для лесса составляет _________
    а) 0,1-0,3
    б) 0,4-0,5
    в) 0.3-0,35
    г) 0,9-1
    Посмотреть ответ

    Ответ: a
    Пояснение: Диапазон коэффициента Пуассона μ для лесса составляет 0,1-0,3. Диапазон коэффициента Пуассона μ для ненасыщенной глины также составляет 0,1-0,3. Для насыщенной глины он составляет 0,4-0,5. Для ила это 0,3-0,35.

    Sanfoundry Global Education & Learning Series – Механика грунтов.

    Для практики во всех областях механики грунтов, здесь представлен полный набор из 1000+ вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

    Следующие шаги:
    • Получите бесплатный сертификат о заслугах в области геотехнического проектирования
    • Участие в конкурсе на получение сертификата геотехнической инженерии
    • Станьте лучшим специалистом в области геотехнического проектирования
    • Пройти геотехнические инженерные испытания
    • Практические тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
    • Пробные тесты по главам: глава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.