Содержание

Разложение на множители. 7 класс

1. Разложение на множители 7 класс

Презентация составлена
учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района
Республики Коми
Мишариной Альбиной
Геннадьевной

3. Повторим:

Способы
разложения
на множители
Вынесение
за скобку
Группировка
Формулы
сокращенного
умножения

4. Повторим теорию:

5. Выполнить вынесение за скобку:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5а – 25в
9а³в – 18ав² — 9ав
ав + ас -а
7а²в – 14ав² + 7ав
2х + 44у – 86
9в + 3вс – 81вm
х² — 5х
3 х²у + 12ху³
8а³в² — 12а²в³ + 4а²
а(3-в)- 2(в-3)

6. Проверим:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5·(а – 5в)
9ав·(а² — 2в – 1)
а·(в + с — 1)
7ав·(а – 2в + 1)
2·(х + 22у — 43)
3в(3 + с – 27m)
х(х — 5)
3ху (х + 4у)
4а²(2ав² -3в +1)
(3 — в)(а + 2)

7.

Оцените свою работу: Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

8. Разложить многочлен на множители выполнив группировку:

х³ + 3х² — х — 3
2. х³ + х² — 4х – 4
3.
в²а + в² — а³ — а²
4. х³ — 4х² — х + 4
5. х³ + 6х² — х – 6
6. 2а + 2в + а² + ав
7. m² + mn – m – mq – nq + q
8. 4а² — в² + 2а – в
9. 2ху – 3ау + 2х² — 3ах
10. ху + а² — ах — ау
1.

9. Проверим:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
(х+3)(х²-1) = (х+3)(х-1)(х+1)
(х+1)(х²-4) = (х+1)(х-2)(х+2)
(а+1)(в²-а²) =(а+1)(в-а)(в+а)
(х-4)(х²-1) = (х-4)(х-1)(х+1)
(х+6)(х²-1) = (х+6)(х-1)(х+1)
(а+в)(2+а)
(m+n-1)(m-q)
нельзя разложить
(х+у)(2х-3а)
(у-а)(х-а)

10. Оцените свою работу:

Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

11.

Разложить на множители с использованием формул сокращенного умножения 1. 16х² — 8х +1
2. 64х² — 9у²
3. 4а² — в²
4. (х+2)² — 9
5. а²+2ав+в²-с²
6. 9х² +6ху +у²
7. (х+2)² — (у+2)²
8. х² — 4х +4
9. х -у
10. а²-в²

12. Проверим:

1. (4х-1)²= (4х-1)(4х-1)
2. (8х-3у)(8х+3у)
3. (2а-в)(2а+в)
4. (х+2-3)(х+2+3)=(х-1)(х+5)
5. (а+в-с)(а+в+с)
6. (3х+у)²=(3х+у)(3х+у)
7. (х+2-у-2)(х+2+у+2)=(х-у)(х+у+4)
8. (х-2)² =(х-2)(х-2)
9. (х²-у²)(х²+у²) =(х-у)(х+у)(х²+у²)
10. (а-в)(а+в)

13. Оцените свою работу:

Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

14. Разложить на множители, используя различные способы:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5а³ — 125ав²
а²- в² — 5а + 5в
а² — 2ав + в² — ас + вс
25 а² + 70ав + 49 в²
а² — 2ав + в² — 3а + 3в
63 ав³ — 7 а²в
(в-с)(в+с) – в(в+с)
m² + 6mn +9n² — m – 3n
а² — 9 в² + а – 3в
4а³ — ав²

15.

Проверим: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5а(а²-25в²) =5а(а-5в)(а+5в)
(а+в)(а-в-5)
(а-в)(а-в-с)
(5а+7в)² =(5а+7в)(5а+7в)
(а-в)(а-в-3)
7ав(9в²-а)
(в+с)(в-с-в) = -с·(в+с)
(m+3n)(m+3n-1)
(а-3в)(а+3в+1)
а(2а-в)(2а+в)

16. Оцените свою работу:

Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

17. Решить уравнения:

1. 2х — х² = 0
2. в² -16 = 0
3. 16х² — 24х + 9 =0
4. 2у² = 0
5. 3х² — 75 = 0
6. 4с² — 8с = 0
7. (2х — 5)² — 36 = 0
8. m² — 24m + 144 = 0
9. х² + 32х + 256 = 0
10. 4а² — 9 = 0

18. Проверим:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
х=0; х=2
в=4; в=-4
х= ¾
у=0
х=5; х=-5
с=0; с=2
х=5,5; х=-0,5
m= 12
х=-16
а=1,5; а=-1,5

19.

Оцените свою работу: Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

20. Сократить дробь:

1.
5а -10
(а-2)²
6.
авс
аус
2.
а² -4
а+2
7.
х²
х²-х
3.
ав + 3в
в²
8.
а_
ma
4.
а²- ав
а²+ав
9.
5.
а²-ав
а²-в²
2ав

10. х²-1
х²+х

21. Проверим:

1.
5_
а-2
2. а-2
3. а + 3
в
4. а – в
а+в
5.
а__
а+в
6. в_
у
7. х_
х-1
8. 1
m
9. 2в
3
10. х-1
х

22. Оцените свою работу:

Если
Если
Если
Если
все правильно – «5»
допущено 1-2 ошибки – «4»
допущено 3-4 ошибки – «3»
допущено 5 и более – «2»

23. Подведем итоги.

Кто
молодец?

Итоговый урок по алгебре 7 класс по теме: «Применение разных способов разложения многочленов на множители»

ЦЕЛЬ:  Обобщить, систематизировать, корректировать знание, умение и навыки в применении разных способов разложение многочленов на множители. Развивать умение, обобщать, делать выводы. Способствовать развитию логического мышления, культуры математической речи. Воспитывать чувство уважения к друг другу, честность.

ОБОРУДОВАНИЕ: мультипроектор, дидактический раздаточный материал (приложение),  математический кроссворд, цветные жетоны.

ХОД УРОКА

                                                                                                 У математиков существует свой язык – это формулы.

                               С.Ковалевская

І. Организационный момент ( 1 мин.)

— Здравствуйте, ребята!

— У нас сегодня гости. Поздоровайтесь с гостями.

— А теперь наш девиз:

   Думаем – быстро!

   Отвечаем – правильно!

   Считаем – точно!

   Пишем – красиво!

(с3)П. Сообщение темы урока ( 1 мин.)

— Тема нашего урока сегодня «Применение разных способов разложения многочленов на множители».

(с4)Цели урока.

Сегодня на уроке мы закрепим умение раскладывать многочлены на множители различными способами.

Ш. Проверка домашнего задания ( 5 мин.) 

(с5)- На экране, с помощью мультипроэктора, высвечивается правильное решение.

(Бевз Г.П. Тестовые задания стр. 149, № 1(а), 2, 3, 4

        Дополнительное задание № 5 стр.149)

       1.  Вынесите общий множитель за скобки:

а) 12а3 – 18а2 = 6а2 ( 2а-3)

       2.  Разложите на множители выражения:

а) 5а + 5в + ав + в2 = (5а + 5в) + (ав + в2) = 5(а + в) + в(а + в) = (а + в) ( 5 + в)

б) х – 3ху – 21у + 7 = (х -3ху) + ( 7 -21у) = х(1-3у) + 7(1-3у) = (1-3у) (х +7)

  1. Представьте многочлен в виде степени:

а)  х2 – 8х + 16 = ( х — 4)2

б) (9х2 + 6х +1) = ( 3х + 1)2

4.  Представьте многочлен в виде произведения:

а) 2ав + 2ас + хс + хв + 5с + 5в = ( 2ав + 2ас) + ( хс + хв) + ( 5с + 5в) =

=  2а(в + с)+ х(с + в) + 5 (с + в) = (в + с) (2а + х + 5)

        Дополнительное задание.

        5. Вычислите значение выражения:

2ху – 2х + 4у + х2 при у = 2,55; х = 5,1

2ху – 2х + 4у – х2 = ( 2ху + 4у) – ( х2 + 2х) = 2у( х + 2) – х( х + 2) = (х + 2) (2у – х)

( 5,1 + 2) ( 2 · 2,55 – 5,1) = 7,1 (5,1 – 5,1) = 0

 Учащиеся осуществляют самопроверку.   

 (с6)По результатам проверки учащиеся берут цветные жетоны:

       Желтый цвет – без ошибок

       Зеленый цвет –  1-2 ошибки

       Красный цвет – 3- 4 ошибки

       Коричневый цвет – неправильно выполненное задание

ІV. Актуализация опорных знаний ( 10 мин.)

1) Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?

(с7)2) Коррекционный тренажер «Собери формулу»(работа в парах).

     На столах   половинки формул сокращенного умножения.

     Задача учащимся собрать формулу из двух половинок.

     Сверить правильность по опорным конспектам.

(с8)  Самооценка с помощью жетонов.

(с9) 3) Что записано на доске?

( х — 3) ( х + 3)

( у + 5) ( 5 – у)

(х + 9)2

( 5 — ав)2

(m + n) ( m2 – mn + n2)

            ( х — у) ( х2 + ху + у2 )

      Предполагаемый ответ:

4) Запишите эти выражения  в  виде многочленов (самостоятельная работа в тетрадях).

           ( х — 3) ( х + 3)= х2  — 9

( у + 5) ( 5 – у) = 25 – у2

(х + 9)2 = х2 + 18х + 81

( 5 — ав)2 = 25 – 10ав + а2в2

(m + n) ( m2 – mn + n2) = m3 + n3

 ( х — у) ( х2 + ху + у2 ) =  х3 – у3

  Проверьте себя    

 5) Математический диктант

1.

Сумма чисел 3а и 5в

3а + 5в

2.

Произведение чисел а и в

ав

3.

Удвоенное произведение  m и  n

 2mn

4.

Разность квадратов чисел в и с

в2 – с2

5.

Квадрат суммы чисел  х  и у

( х + у)2

6.

Квадрат разности чисел 2х и 3у

(2х – 3у)2

7.

Разность кубов чисел а  и  в

а3 – в3

8.

Сумма чисел 8х и 12ху (разложить на множители)

8х + 12ху = 4х(2 + 3у)

9.

Сумма чисел 3а, 3в, ав, в2 (разложить на множители)

3а + 3в + ав + в2 = ( 3а + 3в) + ( ав + в2) =

=  3( а + в) + в( а + в) = ( а + в)( 3 + в)

 ( Взаимопроверка, оценивание жетонами).

V. Физминутка ( 3 мин.)

  1. Пальминг ( гимнастика для глаз).

     Хорошо растереть руки, согревая их. Затем соединить пальцы рук в центре лба, положив ладони на лицо. Они как раз накроют глазные впадины. Края ладоней должны слегка касаться носа, чтобы не стеснять дыхание, а большие пальцы – спокойно лежать на височно-скуловой части лица.

    Пальминг можно делать сидя, опираясь локтями о стол. Позвоночник выпрямлен, но не напряжен. Полностью преграждая доступ света, ладони при этом не сжимают  глазные яблоки и позволяют свободно двигать веками.

     Представим  большую стрелку циферблата часов на 12 ч., и будем двигаться по часовой стрелке:  на 3 ч., на 6 ч., на 9 ч., на 12 ч. А теперь в обратном направлении: на 9 ч., на 6 ч.,

на 3 ч., на 12 ч.

2) Взяли карандаш в руки и потерли его между ладонями по все длине ладоней, почувствовали приятное ощущение. Положили карандаши на столы, встряхнули кистями.

V1. Применение различных способов разложения многочленов на множители   

           ( 15 мин.)

  1. Работа в парах и индивидуальная работа ( 10 мин.)

( Задания дифференцированные.)

Карточка № 1(высокий уровень)

  1. Заменить знаки  * одночленами так, чтобы получить тождества:

а) ( * + 5)2 = х2 + 10х + 25

б) (6а5 + * )2 = * + * + 49в4

в) (* — * ) * = 9х6 — * + 100х4у10

г) (5в2 — * )2 = * — 30а2в3 + *

  1. Решить уравнение

( х + 5)2 – ( х – 1)2 = 48

      Карточка  № 2 (достаточный уровень)

     1. Представьте в виде произведения выражения:

              а)  а2 – ав – 4а + 4в

     2. Разложить на множители:

         а) 8а – 12в

         б) 3а – ав

         в) х2 – у2

     3.  Решить уравнение:

( х – 2)2 = х2

Карточка № 3 (средний уровень)

  1. Заменить * одночленами так, чтобы получилось тождество:

а) ( * + в)2 = с2 + 2 св + в2

б) ( а + *)2 = а2 + 2 аm + *

               2. Разложить на множители:

                   а) 2а + 4в

                     б) ав + ас + хв + хс

                3. Решить уравнение:

                    у2 – 5у = 0

Индивидуальная работа (средний уровень)

Соедини стрелкой  выражения так, чтобы получилось тождество

1.

2а + 4в

m (n – 5)

2.

mn – 5m

( х – у) ( а + в)

3.

ах – ау + вх — ву

2(а + 2в)

4.

( а+ с)2

2 – 12с + 4

5.

(3с -2)2

( с – в) ( с+ в)

6.

с2 – в2

а2 + 2ас + с2

7.

2 – 16в2

( 1 + 5в) ( 1 – 5в + 25в2)

8.

( 2m – 3n) ( 2m + 3n)

(2-3а) ( 4+ 6а + 9а2)

9.

8 – 27а3

(3а – 4в) (3а+ 4в)

10.

1 + 125в3

4m2 – 9n2

На экране, с помощью мультипроэктора, высвечивается правильное решение.

 Самооценка с помощью жетонов.

2) Решив уравнение и ответив на вопросы, заполним  кроссворд, записав в

     соответствующем ряде полученный ответ.

     ( четверо учащихся решают уравнения у доски, остальные учащиеся работают отвечают на вопросы по карточкам).

 В выделенных клеточках мы прочитаем  фамилию  известного  математика и  физика.

  1. ( х- 8 ) 2 = х2 – 16                                             2. (2х – 1) ( 2х + 1) = 39 + 4х (х – 5)

х2 – 16х + 64 = х2 – 16                                          4х2 – 1 = 39 + 4х2 – 20х

— 16х = — 16 – 64                                     20х = 39 + 1

— 16х = — 80                                             20х = 40

х = — 80: ( — 16)                                        х = 2

х = 5

              3. 4у2 – ( 2у + 5)2 = — 385                           4. ( х – 40)2 = 0

               4у2 – 4у2 – 20у – 25 = -385                            х – 40 = 0

               — 20у = — 385 + 25

               — 20у = — 360                                                   х = 40

                     У = 18

5.Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами ….(уравнение)

6.Как называется сумма нескольких одночленов?….(многочлен)

7.Прозведение нескольких равных множителей …(степень)

 

п

я

т

ь

 
     

д

в

а

 

в

о

с

е

м

н

а

д

ц

а

т

ь

с

о

р

о

к

 
 

у

р

а

в

н

е

н

и

е

 

м

н

о

г

о

ч

л

е

н

   

с

т

е

п

е

н

ь

     

VП. Коррекционная игра, алгебраическая мозаика (5 мин.)

Составить из предложенных   выражений формулы.

3х, 5у, 3х, 5у, 9х2,  30ху, 27х3, 125х3, 15ху, 25у2

         Проверка

VШ. Подведение итогов. Выставление оценок ( 3 мин.)

( с учетом  количества жетонов,  заработанных на уроке учащимися).

 IХ. Домашнее задание ( 2 мин.)

      ( дифференцированное).

       А.  Вариант Ш  стр. 147

       Б.  Вариант Ш, стр. 147 + № 686 стр. 146

Рефлексия. С каким настроением прошёл урок?

Приложение

Карточка № 1.

        1.Заменить знаки  * одночленами так, чтобы получить тождества:

а) ( * + 5)2 = х2 + 10х + 25

б) (6а5 + * )2 = * + * + 49в4

в) (* — * ) * = 9х6 — * + 100х4у10

г) (5в2 — * )2 = * — 30а2в3 + *

  1. Решить уравнение

    ( х + 5)2 – ( х – 1)2 = 48

Карточка  № 2.

     1. Представьте в виде произведения выражения:

         а)  а2 – ав – 4а + 4в

         б) 3m – вх + mх – 3в

     2. Разложить на множители:

         а) 8а – 12в

         б) 3а – ав

         в) х2 – у2

     3.  Решить уравнение:

     ( х – 2)2 = х2

Карточка № 3

  1. Заменить * одночленами так, чтобы получилось тождество:

а) ( * + в)2 = с2 + 2 св + в2

б) ( а + *)2 = а2 + 2 аm + *

        2. Разложить на множители:

           а) 2а + 4в

           б) ав + ас + хв + хс

         3. Решить уравнение:

               у2 – 5у = 0

Индивидуальная работа

Соедини стрелкой  выражения так, чтобы получилось тождество

1.

2а + 4в

m (n – 5)

2.

mn – 5m

( х – у) ( а + в)

3.

ах – ау + вх — ву

2(а + 2в)

4.

( а+ с)2

2 – 12с + 4

5.

(3с -2)2

( с – в) ( с+ в)

6.

с2 – в2

а2 + 2ас + с2

7.

2 – 16в2

(1 + 5в)(1 –5в + 25в2)

8.

(2m – 3n)(2m + 3n)

(2-3а) ( 4+ 6а + 9а2)

9.

8 – 27а3

(3а – 4в) (3а+ 4в)

10. 2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end{array} \right. $$

Ответ: -9; 11

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Предварительные навыки

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

6x + 3xy = 3x(2 + y)

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y). По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки:


Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

ax + ay + 3x + 3y

Члены ax и ay имеют общий множитель a. Выпишем эти члены и заключим их в скобки:

(ax + ay)

Далее в многочлене ax + ay + 3x + 3y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

(3x + 3y)

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

(ax + ay) + (3x + 3y)

В многочлене (ax ay) вынесем за скобки общий множитель a, а в многочлене (3+ 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(+ 3). Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y

(x + y)(+ 3) = ax + ay + 3x + 3y


Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a. Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»

(9x − 9y) + (ax − ay)

В первой группе (9x  − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y)

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y) = (x − y)(9 + a)


Пример 3.  Разложить многочлен ab − 3b + b− 3a на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a. А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b2. Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»

(ab − 3a) + (−3b + b2)

В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель b

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(−3 + b)

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)


Пример 4. Разложить многочлен x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

В первой группе вынесем за скобки общий множитель x, во второй группе — общий множитель y, в третьей группе — общий множитель 2

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:


Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

a+ 2ab + b2 = (a + b)2

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a+ 2ab + b2, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).

a+ 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x2 + 12xy + 9y2

Чтобы воспользоваться формулой a+ 2ab + b2 = (a + b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член многочлена 4x2 + 12xy + 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, поскольку (3y)2 = 9y2, а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x, а переменная b равна 3y

a = 2x
b = 3y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x2 + 12xy + 9y2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y)2, но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x2 + 12xy + 9y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2+ 3y)2

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

А поскольку (2x + 3y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y), то исходный многочлен 4x2 + 12xy + 9y2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Полностью решение можно записать так:

4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 + 12x + 36

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x2 = x2, третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 62 = 36, а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6, поскольку 2 × x × 6 = 12x.

Воспользуемся формулой a+ 2ab + b2 = (a + b)2. Роль переменной a играет одночлен x, а роль переменной b играет одночлен 6. Отсюда:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

А поскольку (x + 6)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6), то исходный многочлен x2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)

x2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)


Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a2 − 2ab + b2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x2 − 12xy + 4y2

Чтобы воспользоваться формулой a2 − 2ab + b2 = (a − b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x, поскольку (3x)2 = 9x2. Третий член 4y2является результатом возведения в квадрат одночлена 2y, поскольку (2y)2 = 4y2, а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2 × 3× 2y = 12xy.

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x, а переменная b равна 2y

a = 3x
b = 2y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x2 − 12xy + 4y2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y)2, но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x2 − 12xy + 4y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y)2

9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2

А поскольку (3x − 2y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y), то исходный многочлен 9x− 12xy + 4y2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)

9x− 12xy + 4y2 = (3x − 2y)(3x − 2y)

Полностью решение можно записать так:

9x− 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2 × 3× 2y + (2y)2 = (3x − 2y)2 = (3x − 2y)(3x − 2y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

x2 − 4x + 4 = x2 − 2 × x × 2 + 22 = (x − 2)2 = (x − 2)(x − 2)


Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a+ 3a2+3abb3, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).

a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)(a + b)(a + b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

m3 = m3

Последний член 8n3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

(2n)3 = 8n3

Второй член 6m2n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

3 × m2 × 2n = 6m2n

Третий член 12mn2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

3 × m × (2n)2 = 3 × m × 4n2 = 12mn2

То есть исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m, а переменной b соответствует 2n

a = m
b = 2n

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n)3, но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n)3

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3

А поскольку (m + 2n)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n), то исходный многочлен m+ 6m2+ 12mn2 + 8n3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)

m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

(5x)3 = 125x3

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

13 = 1

Второй член 75x2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

3 × (5x)2 × 1 = 3 × 25x2 = 75x2

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

3 × 5x × 12 = 15x

Воспользуемся формулой a+ 3a2b + 3abb3 = (a + b)3. Роль переменной a играет одночлен 5x, а роль переменной b играет одночлен 1

a = 5x
b = 1

Поэтому,

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3

А поскольку (5x + 1)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1), то исходный многочлен 125x+ 75x+ 15+ 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)


Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

(a − b)3 = a− 3a2b + 3ab− b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a− 3a2b + 3ab− b3 = (a − b)3

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a− 3a2b + 3ab− b3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

a− 3a2b + 3ab− b3 = (a − b)(a − b)(a − b)

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

43 = 64

Последний член 8x3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

(2x)3 = 8x3

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

3 × 42 × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x

Третий член 48x2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x)2 = 3 × 4 × 4x2 = 48x2

Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4, а переменной b соответствует 2x

a = 4
b = 2x

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96+ 48x− 8x3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x)3, но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96+ 48x− 8x3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x)3

64 − 96+ 48x− 8x3 = (4 − 2x)3

А поскольку (4 − 2x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x), то исходный многочлен 64 − 96+ 48x− 8x3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x), (4 − 2x) и (4 − 2x)

64 − 96+ 48x− 8x3 = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

33 = 27

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

(5x)3 = 125x3

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

3 × 32 × 5x = 3 × 9 × 5x = 135x

Третий член 225x2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x)2 = 3 × 3 × 25x2 = 225x2

Воспользуемся формулой a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3. Роль переменной a играет одночлен 3, а роль переменной b играет одночлен 5x

a = 3
b = 5x

Поэтому,

27 − 135x + 225x2 − 125x3 = (3 − 5x)3

А поскольку (3 − 5x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x), то исходный многочлен 27 − 135+ 225x− 125x3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x), (3 − 5x) и (3 − 5x)

125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (3 − 5x)(3 − 5x)(3 − 5x)


Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a2 − b2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x2 − 25y2

Чтобы воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.

Первый член 16x2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

(4x)2 = 16x2

Второй член 25y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

(5y)2 = 25y2

То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x, а переменной b соответствует одночлен 5y

a = 4x
b = 5y

Теперь можно воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b). Подставим в неё наши значения a и b

(4x)2 − (5y)2 = (4− 5y)(4+ 5y)

Полностью решение можно записать так:

16x2 − 25y2 = (4x)2 − (5y)2 = (4− 5y)(4+ 5y)

Для проверки можно выполнить умножение (4− 5y)(4+ 5y). Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x2 − 25y2

(4− 5y)(4+ 5y) = 16x2 − 20xy + 20xy − 25y2 = 16x2 − 25y2


Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − y2

В данном случае переменной a соответствует x, а переменной b соответствует y. Тогда по формуле квадрата разности имеем:

x2 − y2 = (x − y)(x + y)

Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b.

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Например, чтобы разложить многочлен 4x− 9y6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x2)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x4

(2x2)2 = 4x4

А член 9y6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3y3)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y6

(3y3)2 = 9y6

Теперь мы знаем, чему равны a и b. Они равны 2x2 и 3y3 соответственно. Подставим их в формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b)

(2x2)2 − (3y3)2 = (2x23y3)(2x2 + 3y3)

Полностью решение можно записать так:

4x− 9y6 = (2x2)2 − (3y3)2 = (2x23y3)(2x2 + 3y3)

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x− 9y6

(2x23y3)(2x2 + 3y3) = 2x2(2x2 + 3y3) − 3y3(2x2 + 3y3)
= 4x+ 6x2y3 − 6x2y3 − 9y6 = 4x− 9y6


Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 92 − 82 = (9 − 8)(9 + 8)


Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 + b3 на множители (a + b) и (a2 − ab + b2).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x3 + 64y3

Представим члены 27x3 и 64y3 в виде одночленов, возведённых в куб

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x, переменная b равна 4y

27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 − 3x × 4y + (4y)2) =
(3x + 4y)(9x2 − 12xy + 16y2)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

125 + 8 = 53 + 23

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 53 + 23 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)


Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Эта формула позволяет разложить выражение вида a3b3 на множители (a − b) и (a2 + ab + b2).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x3 − 27y3

Представим члены 64x3 и 27y3 в виде одночленов, возведённых в куб:

64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x, переменная b равна 3y

64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3 = (4x − 3y)((4x)2 + 4x × 3y + (3y)2) =
(4x − 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 43 − 33 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)


Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x3 − 1

Представим члены 125x3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

125x3 − 1 = (5x)3 − 13

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x, переменная b равна 1

125x3 − 1 = (5x)3 − 13 = (5x − 1)((5x)2 + 5x × 1 + 12) =
(5x − 1)(25x2 + 5x + 1)


Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax2 − ay2 

В данном многочлене содержится общий множитель a. Вынесем его за скобки:

ax2 − ay2 = a(x2 − y2)

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y)


Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x2 + 6xy + 3y2

Вынесем за скобки общий множитель 3

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)

В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y. Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y)2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)

3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y)


Задания для самостоятельного решения

Задание 1.  Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 2. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 3. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 4. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 5. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 6. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:

Решение:

Задание 7. Разложите на множители многочлен:

x2 + 12x + 36

Решение:

x2 + 12x + 36 = x2 + 2 × x × 6 + 62 = (x + 6)2 = (x + 6)(x + 6)

Задание 8. Разложите на множители многочлен:

8xy + y2 + 16x2

Решение:

8xy + y2 + 16x2 = 16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2 × 4x × y + y2 = (4x + y)2 = (4x + y)(4x + y)

Задание 9.  Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 10. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 11. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 12. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 13. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 14. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 15. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 16. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 17. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 18. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 19. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 20. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 21. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 22. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 23.  Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 24. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 25. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 26. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 27. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 28. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 29. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 30. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 31. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 32. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 33. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 34. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 35. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 36. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 37.  Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 38. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 39. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 40. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 41. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 42. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 43. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 44. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 45. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 46. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 47. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 48. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 49. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 50. Разложите на множители многочлен:

Решение:

Задание 51.  В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2a, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 52. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 53. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2x2y2, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:

Задание 54. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4x3y3, затем выражение в скобках разложите на множители:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Разложение многочленов на множители / Алгебра / Справочник по математике 5-9 класс

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов.

Вынесение общего множителя за скобки

Мы помним, что для любых рациональных чисел , и выполняется равенство   (распределительное свойство умножения относительно сложения). Данную идею можно использовать при разложении многочлена на множители.

Например, разложим на множители многочлен

Очевидно, что каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

На основе свойства, записанного выше, мы можем представить данный многочлен в виде произведения двух множителей:

Значит, мы можем записать:

Мы разложили многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя.

Пример: Разложим на множители многочлен

Мы видим, что члены данного многочлена имеют разные общие множители 6, , , , 6. Каждый из этих общих множителей мы можем вынести за скобки, но обычно общий множитель выбирают таким образом, чтобы члены многочлена, которые останутся в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме 1.

В нашем многочлене модули коэффициентов равны 12, 18 и 30, а их наибольший общий делитель 6, поэтому коэффициент общего множителя будет равен или 6 или 6. Все члены многочлена содержат переменные и , имея первую, вторую и третью степени. Но вынести мы можем наименьшую степень переменной, в нашем случаем и переменную и переменную выносим в первой степени. Значит, за скобки можно вынести одночлен 6 или (6). Например вынесем 6, получим:

Метод группировки

Попробуем разложить на множители многочлен .

Его члены не имеют общего множителя, но их можно сгруппировать так, что слагаемые в каждой группе будут иметь общий множитель и его можно будет вынести за скобки:

.

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют общий множитель , вынесем его за скобки:

.

Получается, .

Описанный выше прием разложения многочлена на множители называют методом группировки.

Обратите внимание, совсем необязательно группировать те слагаемые, которые расположены рядом. Так, в многочлене , можно сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе — с четвертым, и результат разложения на множители, учитывая переместительное свойство умножения, получится тот же:

Пример: Разложите на множители трехчлен .

Сначала представим слагаемое в виде суммы , получим многочлен:

Далее группируем слагаемые полученного многочлена следующим образом:

Первая группа слагаемых имеет общий множитель , вторая группа слагаемых имеет общий множитель 3. Вынесем каждый из этих множителей, в соответствующей им группе слагаемых, за скобки:

Мы получили выражение, в котором оба слагаемых имеют множитель , вынесем его за скобки:

Получается, трехчлен мы представили в виде произведения двух множителей:

Итак, при разложении многочлена на множители можно использовать следующие способы:

Однако есть много многочленов, для разложения которых на множители надо применить несколько способов. Как правило при разложении многочлена на множители нужно соблюдать следующий алгоритм:

1) если это возможно, то разложение надо начинать с вынесения общего множителя за скобки;

2) проверить, можно ли применить формулы сокращенного умножения;

3) если не удается применить формулы, то пробуем воспользоваться методом группировки.

Персональный сайт — алгебра 7 класс

Тематическое планирование

Пояснительная записка Рабочая программа по теме «Разложение многочленов на множители»

к учебнику «Алгебра».Учебник для общеобразовательных учреждений 7 класс. Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и др.

Нормативные документы, обеспечивающие реализацию программы 1. Закон РФ «Об образовании». Вестник образования, 2004 г., № 12 2. Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике, 2004 г. 3. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. Дрофа, Москва, 2001 4. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования по математике. Вестник образования, 2004г., №12 Тема «Разложение многочленов на множители» (15 ч)

Раздел математики. Сквозная линия.• Алгебра. Выражения и их преобразования.

Содержание темы: • Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки. Формулы сокращенного умножения (а+в)(а-в) =а2-в2, ( а+в)2= а2 +2ав+в2, ( а-в)2= а2 -2ав+в2.

Требования к математической подготовке. Уровень обязательной подготовки обучающихся: • Правильно употреблять термины «выражение», «тождественное преобразование»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «упростить выражение», «разложить на множители»; • Выполнять разложение на множители вынесением общего множителя за скобки в простых случаях; • Выполнять разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения (а+в)(а-в) =а2-в2, (а+в)2= а2 +2ав+в2, ( а-в)2= а2 -2ав+в2 в простых случаях. Уровень возможной подготовки обучающихся: • Выполнять разложение на множители вынесением общего множителя за скобки в более сложных случаях; • Выполнять разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения (а+в)(а-в) =а2-в2, (а+в)2= а2 +2ав+в2, ( а-в)2= а2 -2ав+в2 в более сложных случаях; • Выполнять разложение многочленов на множители различными способами, в том числе и способом группировки; • Применять формулы сокращенного умножения (а+в)3 =а3 +3 а2 в+3ав 2 + в3 , (а-в)3 =а3 -3 а2 в+3ав 2 -в3 , а3 + в3 =(а+в)(а2 -ав+в2 ), а3 — в3 =(а-в)(а2 +ав+в2 ), • Применять все способы в комбинации для упрощения выражений; Уровень обязательной подготовки выпускника:( см. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс, Дрофа, 2005) • Упростить выражение: 4с(с-2) –(с-4)2 №1 • Разложить на множители: 6ах2-12ах3 №29 1-64в2 №33 Аналогичные задания в «Оценка качества» стр.24 №№ 83,84,86,89 Уровень возможной подготовки выпускника: ( см. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс, Дрофа, 2005) • Разложите на множители: 3х+ху2-х2у-3у №1 • Разложите на множители: 1- х2+2ху — у2 №5Цели изучения темы:Цели: • Формирование личности школьника, осознающего смысл и ценность математического образования в современном обществе; • Развитие логического мышления и речи, умения логически обосновывать свои суждения, проводить несложные систематизации; • Развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных областей; • Выработать умение выполнять разложение многочлена на множители различными способами; Знать и уметь: • Правильно употреблять термины «выражение», «упрощение выражений», «преобразование выражений», понимать их в тексте и в речи учителя, понимать формулировку задачи «упростить выражение», «разложить на множители»; • Выполнять разложение многочленов на множители вынесением общего множителя за скобки и с помощью формул сокращенного умножения (а+в)(а-в) =а2-в2, (а+в)2= а2 +2ав+в2, ( а-в)2= а2 -2ав+в2. • Применять данные способы к упрощению выражений;Тематическое планирование (Фрагмент, 7 класс. Алгебра. Автор Ш.А.Алимов и др.) Глава IV. Разложение многочленов на множители.(15 часов) № урока Параграф Содержание материала Степень сложности Кол-во часов 1-3 19 Вынесение общего множителя за скобки ∆ □ 3 4-5 20 Способ группировки □ ○ 26-8 21 Формула разности квадратов ∆ □ 39-11 22 Квадрат суммы. Квадрат разности. ∆ □ ○ 3 12-13 23 Применение нескольких способов разложения многочлена на множители □ ○ 2 14 Обобщающий урок ∆ □ ○ 115 Контрольная работа ∆ □ ○ 1Обозначения: • «зеленый треугольник»- учебный материал, обязательный для усвоения каждым школьником (соответствующий уровню обязательной подготовки) (УОП) • «желтый» квадрат – учебный материал, который могут усвоить обучающиеся (соответствующий уровню возможностей) (УВ) • «красный» круг –учебный материал, который могут усвоить одаренные в математической области школьники, любящие математику (дополнительный материал)

Контрольная работа

Тема: «Разложение многочленов на множители»

 Учебник: Ш. А.Алимов и др..Алгебра 7 класс

I. ∆ Найдите общий делитель для одночленов:1. 8в и 12ав22. 36х, 27в и 9 ∆ Выполните деление многочлена на одночлен:3. (8х2 +4ху) : 4х4. (45а2 -15в+25):5 ∆ Выполните возведение в степень:5. (3а)

2∆Представьте в виде степени одночлена 6. 100у2

∆ Вынесите за скобки общий множитель: 7.6а+12

«Оценка качества» стр.24 №№ 86,87,88 8.21а-7в+42

«Сборник заданий для письм. экз.» с.142 9.2у4 + 6у3 -4у2 №№ 29,30,31,3210. 2а(а-в) +3в(а-в)

∆ Разложите на множители с помощью формул: 11. 81-у2 «Оценка качества» стр.24 №89 12. 64у2 – 36х2 «Сборник заданий для письм. экз.» с.142 13. 9а2 -6а+1 №№ 33,3414. х2+8х+16

∆ Преобразуйте в многочлен: 15 .(2а-1)2 «Оценка качества» стр.24 №№80,81 16. (х+3у)217.(7-х)(7+х)18. (х2-у3)( х2+у3)

II.□ Разложите на множители: 19. 5 х2- 5 у2 «Оценка качества» стр.24 №№90,91 20. 9а2 -9 «Сборник заданий для письм. экз.» с.142 21. 3 х2-6ху+3 у2 №№ №35,36,37,38,39,40 22. 4х-4у+ах-ау с.94, №№ 1-9 23. ах-ау+сх-су+х-у

III.○Разложите на множители: 24. 25а2 –(а+3)2 25. 27а3-в3 ○* 26. Решите уравнение: (х-3)( х2+3х+9) –х(х+4)(х-4)=21 27.

Упростите (t16+1)( t8+1)( t4+1)( t2+1) 28. Девочка вместо имени проставила номера букв по алфавиту, но забыла сделать пробелы. Как звали девочку, если получился набор 141261.

Экспертиза контрольной работы и критерии ее оценивания

Контрольная работа содержит задания разных степеней сложности. Задания I № 1-№18 – уровень обязательной подготовки учащихся (УОП) Задания II №19-№23 – уровень возможностей (УВ) Задания III- №24-№28 – уровень возможностей (УВ)Проверяемые элементы: • Вынесение общего множителя за скобки • Применение формул разности квадратов, квадрата суммы и квадрата разности • Применение формул сокращенного умножения• Применение способа группировки • Применение комбинации двух способов• Применение формулы суммы и разности кубов Время выполнения и проверка : 2 урока по 40 минут. (первый урок- 2 минуты – организационный момент, 30 минут – решение и оформление 1 части работы, 3 минуты – проверка работы, рекомендации ко второму уроку -5 минут; второй урок – 2 минуты –организационный момент, 35 минут выполнение работы, 3 минуты –проверка работы. ) Оценка «3» ставится за выполнение части работы, соответствующей базовому уровню подготовки (УОП) учащихся, т.е. за выполнение 50% -90% заданий ∆. Оценка «4» выставляется за выполнение 100% заданий УОП или за выполнение 100% заданий ∆ и одного или двух заданий более сложных с теоретической точки зрения, т.е. задания□. Оценка «5» выставляется, если ученик выполнил задания, соответствующие УВ, т.е. задания типа ∆ и □ полностью (90-100%) или еще одно – два задания ○ (высокий уровень). Оценка 5* (отдельная оценка 5) выставляется в случае, если учащийся решил хотя бы одно задание части ○*. Критерии оценивания контрольной работыI. №1-№ 6 по 0,5 балла №7-№ 18 по 1 баллуII. №19- №21 по 1,5 балла №22- №23 по 2 балла III. №24-№25 по 3 балла III*№ 26-№28 по 5 балловВсего -39,5 балловI,II,III- 29,5 баллов III* -15 балловОценка «3» — 7,5-13,5 баллов Оценка «4»- 15-21,5 балловОценка «5»- 23,5-29,5баллов Оценка «5*»- 5-15 баллов части

III* Решение контрольной работы и рейтинг ее заданий.№ * 1. 1 НОД (8в,12ав2 ) =4в1.2

НОД(36х,27в,9)=9 1.3(8х2+4ху):4х=2х+4у1.4 (45а2-15в+25):5=9а2-3в+51.5 (3а) 2=3 2 а2 =9а2 1.6 100у2=(10у)21.7 6а+12=6(а+2)1.8 21а-7в+42=7(3а-в+6) 1.9 2у 4 +6у3 -4у2=2у2(у2+3у-2)

1.10 2а(а-в)+3в(а-в)=(а-в)*(2а+3в)

1.11 81-у2=92-у2= (9-у)(9+у)1.12 64у2 – 36х2 = (8у)2-(6х)2 = (8у-6х)(8у+6х)

1.13 9а2-6а+1=(3а-1)

21.14 х2 +8х+16=(х+4)2 1.15 (2а-1)2=(2а)2-2*2а*1+12= 4а2 -4а+1

1.16 (х+3у)2=х2+2*х*3у+(3у)2=х2 +6ху+9у2 1.17 (7-х)(7+х) =72 –х2=49-х21.18 (х2-у3)(х2+у3)=(х2)2-(у3)2=х4-у6

2.19 5х2-5у2= 5(х-у)(х+у)2.20 9а2-9=9(а2-1) =9(а-1) (а+1) 2.213х2-6ху+3у2=3(х2-2ху+у2)=3(х-у)

22.22 4х-4у+ах-ау=(4х-4у) + (ах-ху) =4(х-у) +а(х-у) =(х-у)(4+а)2.23 ах-ау+сх-су+х-у=(ах-ау)+(сх-су)+(х-у)= а(х-у)+с(х-у)+(х-у)=(х-у)(а+с+1)3.24 25а2-(а+3)2= (5а)2 –(а+3)2=(5а-(а+3)) (5а+(а+3))=(5а-а-3)(5а+а+3)=(4а-3)(6а+3)3.25 27а3-в3= (3а)3-в3= (3а-в)((3а) 2+3ав+в2)=(за-в)(9а2+3ав+в2)3.26 * (х-3)(х2+3х+9)-х(х+4)(х-4)=21 х3-27-х(х2-16)=21х3-27-х3+16х=2116х=21+2716х=48Х=33. 27*(t16+1)(t8+1)(t4+1) (t2+1)=(t16+1)(t8+1)(t4+1) (t2+1)(t2-1) (t2-1)=(t16+1)(t8+1)(t4+1) (t4-1) (t2-1)=(t16+1)(t8+1)(t8-1) (t2-1)=(t16+1)(t16-1) =t32-1 (t2-1) t2-13.28

Произведение числового и буквенного множителя Нахождение числового общего множителя Нахождение буквенного общего множителя ( нет)Запись общего множителя Разделить первый член одночлена на 4хРазделить второй член одночлена на 4х Записать их суммуРазделить первый член одночлена на 5 Разделить второй член одночлена на 5Разделить третий член одночлена на 5 Записать их алгебраическую суммуВозвести одночлен в степень Вычислитъ степень числаОпределить степенью какого числа является 100 Правила возведения в степень произведенияОпределить общий множитель Разделить каждый член многочлена на общий множительОпределить общий множитель Разделить каждый член многочлена на общий множительОпределить общий множитель Разделить каждый член многочлена на общий множительОпределить общий множитель Разделить каждый член многочлена на общий множитель Определить квадратом какого числа является 81Распознать формулу Разложить по формуле разности квадратов Определить квадратом какого одночлена является 64у2 и36х2 Распознать формулу Разложить по формуле разности квадратов Определить квадратом какого одночлена является 9а2 Распознать формулу Применить формулу квадрат разностиОпределить квадратом какого числа является 16 Распознать формулуПрименить формулу квадрат суммыРаспознать формулу Применить формулу квадрат разностиВозведение в степень одночлена Распознать формулуПрименить формулу квадрат суммыВозведение в степень одночлена Распознать формулуПрименить формулу разности квадратовВычислить степень числа Распознать формулуПрименить формулу разности квадратов Возвести из степени в степеньВынесение общего множителя за скобки Определение формулыПрименение формулы разности квадратов Вынесение общего множителя за скобкиОпределение формулы Применение формулы разности квадратовВынесение общего множителя за скобки Определение формулыПрименение формулы квадрата разности Применение способа группировкиВынесение общего множителя Вынесение общего множителяПрименение способа группировки Вынесение общего множителяВынесение общего множителя Определить квадратом какого одночлена является 25а2Определение формулы Разложение по формуле разности квадратовПравила раскрытия скобок Приведение подобныхОпределить кубом какого одночлена является 27а3 Распознание формулыРазложение по формуле разности кубов Возведение в квадрат одночленаРаспознание формул Применение формулы разности кубовПрименение формулы разности квадратов Умножение одночлена на многочленПриведение подобных Перенос слагаемого из одной части в другуюПриведение подобных Решение линейного уравненияДогадаться домножить и разделить на выражение (t2-1)Применить формулу разности квадратов Применить формулу разности квадратов

Факторинг в алгебре

Факторы

Числа имеют коэффициенты:

И выражения (например, x 2 +4x+3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (называемый в Великобритании « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на произведение более простых выражений.

Пример: коэффициент 2y+6

И 2y, и 6 имеют общий делитель 2:

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

2у+6 = 2(у+3)

Таким образом, 2y+6 «учтено в» 2 и y+3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий делитель 2

Но для правильной работы нам нужен наибольший общий делитель , включая любые переменные

Пример: коэффициент 3y

2 +12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Таким образом, мы могли бы иметь:

2 +12г = 3(г 2 +4г)

Но мы можем лучше!

3y 2 и 12y также имеют общую переменную y.

Вместе это составляет 3 года:

  • 3 года 2 это 3 года × у
  • 12 лет — это 3 года × 4

 

Таким образом, мы можем разложить все выражение на:

3 года 2 +12 лет = 3 года(у+4)

 

Проверить: 3y(y+4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 +12y

Более сложный факторинг

Факторинг может быть сложным!

До сих пор примеры были простыми, но факторизация может быть очень сложной.

Потому что мы должны вычислить , что было умножено на , чтобы получить выражение, которое нам дано!

 


Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
вошли в торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть трудно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Коэффициент

4x 2 − 9

Хммм… вроде бы нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам подсказку, называемую «разностью квадратов» :

.

Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,

Итак, имеем:

4x 2 − 9 = (2x) 2 − (3) 2

И что можно получить по формуле разности квадратов:

(а+б)(а-б) = а 2 — б 2

Где a равно 2x, а b равно 3.

Давайте попробуем сделать так:

(2x+3)(2x−3) = (2x) 2 − (3) 2 = 4x 2 − 9

Да!

 

Таким образом, множители 4x 2 − 9 равны (2x+3) и (2x−3) :

.

Ответ: 4x 2 − 9 = (2x+3)(2x−3)

Как этому научиться? Получив много практики и зная «Идентичности»!

 

Запомнить эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Их стоит запомнить, так как они могут упростить факторинг.

а 2 − б 2  =  (а+б)(а-б)
а 2 + 2аб + б 2  =  (а+б)(а+б)
а 2 − 2аб + б 2  =  (а-б)(а-б)
а 3 + б 3  =  (а+б)(а 2 −аб+б 2 )
а 3 − б 3  =  (а-б)(а 2 +аб+б 2 )
а 3 +3а 2 б+3аб 2 3  =  (а+б) 3
а 3 −3а 2 b+3ab 2 −b 3  =  (а-б) 3

Таких много, но эти самые полезные.

Совет

Обычно лучше использовать факторизованную форму.

При попытке факторинга выполните следующие действия:

  • «Вынести за скобки» любые общие термины
  • Посмотрите, подходит ли оно к какой-либо из идентификаций, а также к тому, что вы знаете
  • Продолжайте, пока не перестанете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Дополнительные примеры

Опыт помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

4 − 16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w 4 − 16 = (w 2 ) 2 − 4 2

Да, это разность квадратов

w 4 − 16 = (w 2 + 4)(w 2 − 4)

И «(w 2 − 4)» это еще одна разность квадратов

w 4 − 16 = (w 2 + 4)(w + 2)(w − 2)

Это все, что я могу сделать (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

4 − 24uv 3

Удалить общий делитель «3u»:

3u 4 − 24uv 3 = 3u(u 3 − 8v 3 )

Тогда разница кубов:

3u 4 − 24uv 3 = 3u(u 3 − (2v) 3 )

= 3u(u−2v)(u 2 +2uv+4v 2 )

Это все, что я могу сделать.

Пример: z

3 − z 2 − 9z + 9

Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два отдельно:

z 2 (z−1) − 9(z−1)

Ничего себе, (z-1) есть на обоих, так что давайте использовать это:

(z 2 −9)(z−1)

А z 2 −9 есть разность квадратов

(г-3)(г+3)(г-1)

Это все, что я могу сделать.

Теперь получите больше опыта:

Простая факторизация

Простые числа

Простое число:

целое число больше 1, которое можно не получить путем умножения других целых чисел

Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, и у нас есть диаграмма простых чисел, если вам нужно больше.

Если мы можем составить путем умножения других целых чисел, то это составное число .

Вот так:

2 — Prime, 3 — Prime, 4 — Composite (=2×2), 5 — Prime и так далее. ..

Факторы

«Коэффициенты» — это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить другой номер:

Простая факторизация

«Факторизация простых чисел» находит , какие простые числа перемножаются, чтобы получить исходное число.

Вот несколько примеров:

Пример: Каковы простые делители числа 12?

Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое равно 2, так что давайте проверим:

12 ÷ 2 = 6

Да, оно поделилось ровно на 2. Мы сделали первый шаг!

Но 6 не простое число, поэтому нужно идти дальше. Попробуем снова 2:

6 ÷ 2 = 3

Да, это тоже сработало.А 3 — это простое число, так что у нас есть ответ:

.

12 = 2 × 2 × 3

 

Как видите, каждый множитель является простым числом , поэтому ответ должен быть правильным.

 

Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием показателей степени как 12 = 2 2 × 3

Пример: Какова простая факторизация числа 147?

Можем ли мы разделить 147 точно на 2?

147 ÷ 2 = 73½

Нет, не может.Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.

Давайте попробуем следующее простое число номер, 3:

147 ÷ 3 = 49

Это сработало, теперь попробуем разложить на множители 49.

Следующее простое число 5 не работает. Но 7 подходит, так что получаем:

49 ÷ 7 = 7

И это все, что нам нужно сделать, потому что все факторы простые числа.

147 = 3 × 7 × 7

(или 147 = 3 × 7 2 с использованием показателей)

Пример: Какова простая факторизация числа 17?

Подожди. .. 17 — это простое число .

Вот и все, что мы можем сделать.

17 = 17

Другой метод

Мы показали вам, как разложить на множители, начав с наименьшего простого числа и продвигаясь вверх.

Но иногда проще разбить число на любые множители , которые вы можете … затем разложить эти множители на простые числа.

Пример: Каковы простые делители числа 90?

Разбить 90 на 9 × 10

  • Простые делители числа 9 равны 3 и 3
  • Простые делители числа 10 равны 2 и 5

Таким образом, простые делители числа 90 равны 3, 3, 2 и 5

Факторное дерево

И «Дерево множителей» может помочь: найти любые множители числа, затем множители этих чисел и т.д., пока мы не сможем больше множить.

Пример: 48

48 = 8 × 6 , поэтому запишем «8» и «6» под 48

Теперь мы продолжаем и делим 8 на 4 × 2

Затем 4 в 2 × 2

И, наконец, 6 в 3 × 2

 

Мы больше не можем разлагать, поэтому мы нашли простые множители.

Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

(или 48 = 2 4 × 3 с использованием показателей)

Зачем искать Prime Factors?

Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может учитываться дальше!

Любое другое целое число можно разбить на простые множители.

 

Это похоже на то, что простые числа являются основными строительными блоками всех чисел.

Эта идея может быть очень полезна при работе с большими числами, например, в криптографии.

Криптография

Криптография — это изучение секретных кодов. Прайм-факторизация очень важна для людей, которые пытаются создавать (или взламывать) секретные коды на основе чисел.

Это потому, что разложение очень больших чисел на множители очень сложно и может занять много времени у компьютеров.

Если вы хотите знать больше, предметом является «шифрование» или «криптография».

Уникальный

И вот еще что:

Для любого числа существует только один (уникальный!) набор простых множителей.

Пример: простые делители числа 330 равны 2, 3, 5 и 11

330 = 2 × 3 × 5 × 11

Не существует другого возможного набора простых чисел, которые можно перемножить, чтобы получить 330.

На самом деле эта идея настолько важна, что ее называют Фундаментальной теоремой арифметики .

Инструмент простой факторизации

Хорошо, у нас есть еще один метод… используйте наш Инструмент факторизации простых чисел, который может вычислять простые множители для чисел до 4 294 967 296.

 

370, 1055, 1694, 1695, 1696, 1697

Коэффициенты 7 — Найдите простую факторизацию/Множители 7

Делители 7 — это список целых чисел, которые мы можем разделить на 7 без остатка. Есть 2 множителя 7, из которых 7 является самым большим множителем, а его положительные множители равны 1 и 7. Парные множители числа 7 равны (1, 7), а его простые множители равны 1, 7.

  • Факторы 7: 1 и 7
  • Отрицательные коэффициенты 7: -1 и -7
  • Простые делители 7: 7
  • Факторизация числа 7: 7
  • Сумма коэффициентов 7: 8

Какие множители числа 7?

Вспомним: «Что такое фактор?» Множитель — это число, которое делит другое число поровну, не оставляя остатка.
Факторы 7 равны 1 и 7 .
Число 7 имеет только два делителя и, следовательно, это простое число.

Как рассчитать коэффициенты 7?

Коэффициенты 7 можно рассчитать методом деления и методом простой факторизации.
Чтобы найти множители 7, мы начинаем делить 7 с 1.

Поскольку 7 — нечетное число, все его делители также будут нечетными.
7 делится на 7.

Следовательно, делителей числа 7 равны 1 и 7.

Исследуйте факторы, используя иллюстрации и интерактивные примеры.

  • Коэффициенты 70 – множители 70 равны 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
  • Множители 77 — множители 77 равны 1, 7, 11, 77
  • Множители 270 — Множители 270 равны 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270
  • Факторы 27 – множители 27 равны 1, 3, 9, 27
  • Множители 17 – Множители 17 равны 1, 17
  • Коэффициенты 47 – множители 47 равны 1, 47

Коэффициенты 7 с помощью простой факторизации

Разложение на простые множители — это процесс разложения составного числа на его простые множители.
Чтобы получить простую факторизацию числа 7, мы делим его на наименьший простой делитель, равный 7.

.

7/7 = 1

Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим частное 1.

Также может быть представлен в виде дерева факторов.

Факторы 7 в парах

Пара чисел, которая дает 7 при умножении, называется парным множителем 7. Делителями 7 являются 1 и 7.
Поскольку множителей всего два, у нас есть только одна пара.

Делители 7 в паре равны (1, 7).

Целые отрицательные числа также могут быть делителями 7.
Отрицательные парные множители числа 7 равны (-1, -7).

Важные примечания:

  • Множитель — это число, которое делит другое число поровну, не оставляя остатка.
  • Отрицательные целые числа, такие как -1 и -7, также могут быть делителями числа, поскольку их произведение дает положительное целое число 7.

Аналитический центр:

  • Является ли 7 обильным числом? Выясните причину вашего ответа.
  • Мия должна приготовить 7 стаканов апельсинового сока с равным количеством из 21 апельсина. Сколько апельсинов нужно для одного стакана апельсинового сока?

 

Коэффициенты 7 решенных примеров

  1. Пример 1: Миранда прочитала все свои 7 комиксов. Затем она планирует поделиться книгами со своими 7 друзьями. Сколько возможных способов есть у Миранды, чтобы разделить книги поровну, чтобы у всех ее друзей было одинаковое количество книг?

    Решение:

    Миранда может делиться книгами следующими способами.
    7/7 = 1 

    Следовательно, у Миранды есть 1 возможный способ поделиться своими книгами, чтобы каждый из ее друзей получил по 1 книге.

  2. Пример 2: Можете ли вы помочь Эдвину найти все положительные парные множители числа 7?

    Решение:

    Положительные парные множители числа 7: (1, 7), (7, 1).

    Следовательно, есть 2 положительных парных множителя 7.

  3. Пример 3. Найдите наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОД) чисел 7 и 7.

    Решение:

    Делители 7 равны 1, 7, а множители 7 равны 1, 7.

    Следовательно, наименьшее общее кратное 7 и 7 равно 7, а наибольший общий делитель (НОД) 7 и 7 равен 7.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Как ваш ребенок может освоить математические понятия?

Мастерство в математике приходит с практикой и пониманием «почему» за «что». Почувствуйте разницу с Cuemath.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о факторах 7

Какие множители числа 7?

Делители числа 7 равны 1, 7, а его отрицательные множители равны -1, -7.

Какой наибольший общий делитель чисел 7 и 5?

Делители числа 7 равны 1, 7, а числа 5 равны 1, 5. У чисел 7 и 5 есть только один общий делитель, равный 1. Это означает, что числа 7 и 5 взаимно просты.

Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) чисел 7 и 5 равен 1.

Какие числа являются простыми делителями числа 7?

Простой делитель 7 равен 7.

Чему равна сумма всех делителей числа 7?

Поскольку все делители числа 7 равны 1, следовательно, 7, сумма его делителей равна 1 + 7 = 8.

Сколько множителей 7 также являются множителями 4?

Поскольку делители числа 7 равны 1, 7, а делители числа 4 равны 1, 2, 4. Следовательно, числа 7 и 4 имеют только один общий делитель, равный 1. Следовательно, числа 7 и 4 взаимно просты.

Простой факторинг | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Разложение полиномиальных выражений на множители не совсем то же самое, что разложение чисел на множители, но концепция очень похожа.Когда мы факторизуем числа или многочлены, мы находим числа или многочлены, которые равномерно делятся на исходные числа или члены многочленов. Но в случае простого разложения полиномов мы делим числа и переменные из различных членов полиномиальных выражений; мы не просто делим числа на числа.

Концептуально мы можем думать о простой полиномиальной факторизации как о противоположности (или «отмене») умножения вещей.

MathHelp.com

Раньше мы упрощали выражения, распределяя их через круглые скобки, например:

Простая факторизация в контексте полиномиальных выражений обратна распределению.То есть вместо того, чтобы умножать что-то через круглые скобки и упрощать, чтобы получить полиномиальное выражение, мы увидим, что мы можем убрать и поставить перед набором круглых скобок, например отменить умножение, которое мы только что сделали выше. :

Хитрость простой полиномиальной факторизации заключается в том, чтобы вычислить, что можно вынести из каждого члена выражения.

Предупреждение: не делайте ошибку, думая, что «факторинг» означает «разделение чего-то и его волшебное исчезновение».Помните, что «разложение на множители» означает «разделение каждого термина и перемещение его перед скобками». Ничто не «исчезает», когда мы учитываем; вещи просто переставляются.


Первый член, 3 x , можно разложить на множители как (3)( x ); второй член, 12, можно разложить на множители как (3)(4). Единственный множитель, общий для этих двух терминов (то есть единственное, что можно разделить из каждого из терминов, а затем поставить перед набором круглых скобок) — это 3.

Я перенесу этот общий делитель на передний план. Сначала я напишу общий делитель, а затем нарисую открывающую скобку:

.

Когда я разделил 3 из 3 x , у меня осталось только x . Я помещу это x как мой первый термин в круглых скобках:

Когда я разделил 3 из -12, я оставил -4 позади, поэтому я также помещу это в круглые скобки, за которыми следует скобка в конце:

Эта факторизованная форма является моим окончательным ответом:

Будьте осторожны, чтобы не пропустить знак «минус» при факторизации.


Некоторые книги преподают эту тему, используя концепцию наибольшего общего множителя, или GCF. В этом случае вы должны были бы методично найти GCF всех терминов в выражении, поместить его перед скобками, а затем разделить каждый член на GCF и поместить полученное выражение в скобки. Результат будет таким же, как я сделал выше, и будет выглядеть так:

Я нахожу GCF:

 3x: 3xx
 12: 2×2×3
------------
GCF: 3 

Я делю GCF на каждый из двух членов:

3 х ÷ 3 = х

–12 ÷ 3 = –4

Затем я переписываю выражение в факторизованной форме, помещая GCF впереди, со значениями после деления в скобках:

Но описанный выше процесс обычно кажется мне очень трудоемким, поэтому я обычно сразу перехожу к факторингу.


Глядя на выражение, которое они мне дали, я вижу, что могу с пользой разложить два члена как (7)( x ) и (7)(–1). В частности, это говорит мне, что я могу факторизовать 7 из каждого из терминов. Я вынесу это 7 вперед и начну в скобках:

.

Разделение 7 из 7 x оставляет только x , которое я помещу в начало моей скобки:

Что у меня останется, когда я разделю 7 из второго члена? Я , а не остался ни с чем! На самом деле, деление –7 на 7 оставляет мне –1 (как я показал в моей факторизации выше).Это позволяет мне закончить скобки:


Обратите внимание: когда вы думаете, что после разложения на множители не остается «ничего», обычно оказывается, что внутри круглых скобок остается какая-то «1».


В выражении, которое они мне дали, ни одно число не является общим делителем двух терминов; то есть константы двух членов, 12 и 5, не имеют общих числовых множителей. Но это не значит, что я вообще ничего не могу учитывать. Я все еще могу выделить общую переменную .

В этом случае я могу получить коэффициент y из каждого из двух членов, используя тот факт, что 12 y 2 можно переформулировать как (12 y )( y ), и – 5 y можно переформулировать как (–5)( y ).

Поместив общий (переменный) множитель перед открывающей скобкой, я получил:

В первом члене исходного выражения после деления одной копии y у меня осталось 12 y .Это идет в начале моей скобки:

(Это то, что осталось в скобках, потому что 12 y 2 означает 12× y × y , поэтому если взять 12 и одно из y впереди, останется второе у позади.)

Глядя на второй член исходного выражения, после того, как я вынес y , у меня осталось -5. На этом мои скобки заканчиваются, и мой ответ таков:

.

12 у 2 – 5 у = у (12 у – 5)

Не забудьте знак «минус» посередине!


В этом выражении нет числовых констант; каждый из терминов полностью состоит из переменных и их показателей.Но я все еще могу найти GCF, а затем факторизовать.

Глядя на два слагаемых, я замечаю, что могу разложить x , а также y из каждого из двух слагаемых:

x 2 y 3 = xy ( xy 2 )

ху = ху (1).

Применяя эти факторизации ко всему исходному выражению, я получаю:

x 2 у 3 + xy

ху (

ху ( ху 2

ху ( ху 2 + 1)

Помните: когда после факторизации остается «ничего», в скобках остается «1».


URL: https://www.purplemath.com/modules/simpfact.htm

Глава 5: Расширение и факторизация алгебраических выражений — Математические вопросы для 7 класса | Набор 1

1)   Разложение (x + 3y)(x — y) дает а. x² + 2xy — 3y²
б. х + 3у — 2ху
в. -2г + 3x
д. 3 года — 42x
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: x² + 2xy — 3y²

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


2)   9a² — 4 дает а. (3а + 2)(3а — 2)
б. 9а + 12
в. (4а + 13)(4а — 13)
г. 54а — 32
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (3а + 2)(3а — 2)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


3)   Разложить на множители x² + 8x + 12 а. (х + 2)(х + 6)
б. (х + 3)(х + 4)
в. 3x + 12
д. 3x — 12
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (х + 2)(х + 6)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


4)   Если x=3 является решением x² + kx + 15, значение k равно . а. к = -8,х = 5
б. к = 8, х = 3
в. k = 6, x = 5
d. Ничего из вышеперечисленного
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: k = -8,x = 5

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


5)   Разложение 2x(x + 2y) + 3x(2x — 3y) дает а. 8x² — 5xy
б. 8x — 5y
c. 3 года — 2 года
д. ничего из вышеперечисленного
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 8x² — 5xy

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


6)   Два положительных числа отличаются на 5, а квадрат их суммы равен 169 — . а. 2,4
б. 5,6
в. 4,9
д. 3,7
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 4,9

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


7)   Разложить на множители 2x²y² + 5xy — 12 а. 3xy — 12x + 9y
б. (2xy — 3)(xy + 2)
в. 4г — 3xy
д. (2ху — 3)(ху + 4)
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (2xy — 3)(xy + 4)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


8)   (a + 2b)² — (a + 2b)(3a — 7b) путем факторизации дает а. (а + 2б)(9б — 2а)
б. а — 3б + 4аб
в. 5б — 4а
г. Ничего из вышеперечисленного
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (а + 2б)(9б — 2а)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


9)   39² + 78 + 1 с использованием алгебраических тождеств дает а. 1200
б. 1700
в. 500
д. 1600
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 1600

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


10)   Целое число, удвоенное число которого прибавлено к самому себе, дает 10 а. 5
б. 2
в. 8
д. 10
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 2

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


11)   Расширение и упрощение 8(3h — 4) + 5(h — 2) дает а. 24 часа — 37
б. 36 — 4ч
в. 29ч — 42
д. 38 + 42ч
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 29ч — 42

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


12)   Факторизация 103²-9 дает а. 10300
б. 10600
в. 11250
д. 12500
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 10600

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


13)   (a + b)² дает а. а² — б²
б. а² + 2аб + б²
в. а + 2б
г. а — 2б
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: a² + 2ab + b²

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


14)   Разложение -8(3a + 5b) дает а. -24а — 40б
б. -22а + 80б
в. 20а — 30б
г. -24а — 41б
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: -24а — 40б

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


15)   Периметр прямоугольника 20 см, площадь 24 см², длина и ширина а. 6 см и 4 см
б. 8 см и 6 см
c. 12 см и 10 см
d. 7 см и 5 см
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 6 см и 4 см

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


16)   Разложить на множители -4h² + 81 а. (9 + 3ч)(9 — 3ч)
б. 16ч — 45
в. (9 + 2ч)(9 — 2ч)
д. Ничего из вышеперечисленного
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (9 + 2ч)(9 — 2ч)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


17)   Факторизация 4x — 20 дает а. 2x — 4
б. 4(х — 5)
в. 5(х — 4)
д. 20x
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: 4(х — 5)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


18)   Факторизация x + xy + 2y + 2y² дает а. x² + 2xy
б. х + у
в. (1 + у)(х + 2у)
д. Ничего из вышеперечисленного
Отвечать Объяснение

ОТВЕТ: (1 + у)(х + 2у)

Объяснение:
На этот вопрос нет объяснения!


Решения по математике для 7 класса, глава 19 по математике

Страница № 137:
Вопрос 1:

Написать факторы следующих мономов:

(1) 7 P
(2) 6 M
(3) 9 XY
(4) 22 AB
(5) P 2 Q Q
(6) 10 XY 2 (7) 5 A 2 (8) 15 м 2 N
(9) 30 A 2 б 2
(10) 12 x 2

Ответ:

(1) 7 p
= 7 × p
Следовательно, множители 7 p равны 7 и p .

(2) 6 м
= 2 × 3 × м
Следовательно, коэффициенты 6 м равны 2, 3 и м.

(3) 9 xy
= 3 × 3 × x × y
Следовательно, множители 9 xy равны 3, 3,

1 x и 9.917

(4) 22 ab
= 2 × 11 × a × b
Следовательно, множители 22 ab равны 2, 11, a и b.

(5) P 2 Q
= P × P × Q
Следовательно, факторы P 2 Q P, P и кв.

(6) 10 xy 2
= 2 × 5 × x × y × y
, следовательно, факторы 10 xy 2 2, 5, x , и и и .

(7) 5 A 2
= 5 × A × A × A Следовательно, факторы 5 A 2 5, A и A .

(8) 15 м 2 N
= 3 × 5 × м × м × N
Следовательно, факторы 15 м 2 N 3, 5, м , м и с.ш.

(9) 30

(9) 30 A 2 B 2
= 2 × 3 × 5 × A × A × B × B
Следовательно, факторы 30 A 2 б 2 2, 3, 5, , , и .

(10) 12 x x x x x x x x x x x x 3 — 2, 2, 3, х , х и х .

Страница № 138:
Вопрос 1:

Напишите следующие одночлены, используя знаки умножения, и подчеркните общие множители.

(1) 8 м , 4 м , 4 м 2 N 9 (2) 3 x 2 y , 12 xy 2
(3) 15 A 2 до н.э. , 5 аб , 20 абв 2

Ответ:

(1) 8 м , 4 м , 4 м 2 N
8 м = 2 × 2 × 2 × м
4 м 2 N = 2 × 2 × м × м × N

(2) 3 x 2 y , 12 xy 2
3 x 2 y = 3 × x × x ×

12 xy 2 = 2 × 2 × 3 × x × y 1 × × y

(3) 15

(3) 15

2 BC , 5 AB , 20 ABC 2
15 A 2 BC = 3 × 5 × а × а × б × C
5 AB = 5 × 9 × A × B
20 ABC 2 = 2 × 2 × 5 × A × б × в × в

Страница № 138:
Вопрос 2:

Запишите следующие одночлены в виде произведения и найдите их общие делители.

(1) 4 P 2 Q , 16 PQ 2
(2) 18 x 3 y 2 , 12 x 3 y
(3) 7 A 3 B 2 C , 28 A 2 BC 2
(4) 8 x 3 y 2 , 10 x 2 y 3 , 6 x 2 Y 9 (5) 24 MNP 2 , 22 м 2 P 2 , 30 м 2 п 2 р

Ответ:

(1) 4 P 2 Q , 16 PQ 2
4 P 2 Q = 2 × 2 × P × Q × × Q 6 Q

16 PQ 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × P × Q × Q
Следовательно, общие факторы 2 × 2 × p  × q = 4 pq .

(2) 180916 x 3

6 y 2 , 12 x 3 y 9 18 x 3 y 2 = 2 × 3 × 3 × × 3 × x × x x × x × x × x × x × x x x х 3 у .

(3) 7

(3) 7 A 3 B 2 C , 28 A 2 BC 2
7 A 3 B 2 C = 7 × A A × A × 9214 × B × B × C
28 A 2 BC 2 = 2 × 2 × 7 × A × A × B × C × C
Следовательно, общие факторы 7 × A × a × b × c = 7 a 2 bc .

(4) 8 x 3 Y 2 , 10 x 2 y 3 , 6 x 2 y
8 x y 2 = 2 × 2 × 2 × x × x 3 = 2 × 5 × x x × y × y
6 x 2 y = 2 × 3 × x x × x × x × x × x × x × x × x × x × y = 2 x 2 y

(5) 24 MNP 2 , 22 м 2 P 2 , 30 м 2 N 2 P
24 MNP 2 = 2 × 2 × 2 × 3 × м × N × P × P
22 м 2 P 2 = 2 × 11 × м × м × p × P
30 м 2 N 2 P = 2 × 3 × 5 × м × м × n × p
Следовательно, общие делители равны 2 × м × p 907 90,90

Страница № 138:
Вопрос 3:

Найдите общие делители следующих мономов только путем проверки.

(1) 6 м 2 N 2 , 10 M 2 N

6 N

(2) 38 A 3 B 2 , 57 AB 2
(3) 11
(3) 11 x 2 y 3 , xy 2

(4) 35 p 2 Q 2 R , 40 P 3 Q 2 , 50 PQ 2 R 9 (5) 15 9 (5) 15 x 3 y 3 , 39 x 2 Z 2 , 48 xy 2 z 3

Ответ:

(1) 6 м 2 N 2 , 10 м 2 2 N 9 Высший распространенный фактор 6 и 10 составляет 2
Общий фактор м 2 и м 2 M 2
Общий фактор N 2 и 2 и N N
, следовательно, общий фактор монома 6 м 2 N 2 и 10 м и 10 м

7 2 N 2 м 2 N

(2) 38 A 3 B 2 , 57 AB 2
самый высокий общий фактор 38 и 57 составляет 19
Общий фактор A 3 и

7 — A
Общий фактор г. B 2 и B 2 б 2
Он NCE, общий фактор мономина 38 A 3 B 2 и 57 AB
2 19 AB 2

(3) 11 x 2 Y 3 , XY 2
самый высокий общий фактор 11 и 1 1
Обычный фактор x 2 и x x

Общий фактор y 3 и Y 2

6 y
2
, следовательно, общий фактор мономина 11 x 2 y 3 и XY 2 — 1 xy 2 = xy 2

(4) 35 P 2 Q 2 R , 40 Q 3

6 R
2 , 50 PQ 2 р
Т Он самый высокий общий фактор 35, 40 и 50 — 5
Общий фактор P 2 , P 0 и P

6 P
0 = 1
Общий фактор Q 2 , Q 3 и Q 2

6 Q
2
Общий фактор R , R 2 и R R
Следовательно, общие Фактор мономина 35 P 2 Q 2 R , 40 Q 3

7 R 2 и 50 PQ 2 R — 5 Q 2 R

(5) 15 x 3

6 y 3 , 39 2 Z 2 , 48 XY 2 Z 3
Наибольший общий делитель 15, 39 И 48 — 3
Обычный фактор x 3 , x 2 и x x
Общий фактор y 3 , y 0 и y 2

6 Y 0 = 1
Общий фактор Z 0 , Z 2 и Z 3

6 Z 0 = 1
Следовательно, общий Фактор мономина 15 x 3 3 , 39 2 Z 2 и 48 XY

7 2 Z 3 3x (1) (1) = 3 х

Страница № 139:
Вопрос 1.
1:

Факторизация:

(1) 4 a + 8 b

Ответ:

4 A + 8 B 4 A = 2 × 2 × A
8 B = 2 × 2 × 2 × B
здесь, 2 2 — общие множители данных термов.
Следовательно, 4 a + 8 b = 2 × 2 ( a + 2 × b )
= 4 ( a + 2 b )

Страница № 139:
Вопрос 1.2:

Факторизация:

(2) 5 m + 15 n

Ответ:

5 M + 15 N + 15 N
5 M = 5 × м
15 N = 3 × 5 × N
Здесь 5 — это общий фактор данных терминов .
Отсюда 5 m + 15 n = 5 ( m + 3 × n )
= 5 ( m + 3 0 n 90)

Страница № 139:
Вопрос 1.3:

Факторизация:

(3) abp abq

Ответ:

ABP ABQ ABQ
ABP = × × B × P
ABQ = A × B × Q
, a и b являются общими делителями данных терминов.
, следовательно, ABP ABQ ABQ = A × B ( P Q )
= AB ( P Q )

Страница № 139:
Вопрос 1.4:

Факторизация:

(4) x 2 + x 3

Ответ:

x 4 9214 4 919 9 9214 4 9214 4 9214 40919 4 9214 40917 40917 9 2 = × 9009 x 2 = = 9 = x x × х
Здесь х и х — общие делители данных терминов.
отсюда, x 2 + x 3
= x (1 + x (1 + x )
= x 2 (1 + x )

Страница № 139:
Вопрос 1.5:

Факториз:

(5) mnx + mny

Ответ:

MNX + MNy
MNX = м × л × х
MNy = м × п × у
Здесь , m и n являются общими множителями данных термов.
, следовательно, MNX + м 9 = м × N ( x + y )
= мн ( x + y )

Страница № 139:
Вопрос 1.
6:

Факторизация:

(6) 4 x 2 y + 3 xy 2

Ответ:

4 x 2 y + 3 XY 2

4 x 2 Y = 2 × 2 × x × y
3 xy 2 = 3 × x × × × 4 × y y
здесь, x и y — это общие факторы данных терминов.
, следовательно, 4 x 2 y + 3 xy 2 = x × y (2 × 2 × x + 3 × y )
= xy 4 х + 3 у )

Страница № 139:
Вопрос 1.7:

Факторизация:

(7) 15 p 2 q − 20 q

Ответ:

15 P

6 P
2 Q — 20 Q
15 P 2 Q = 3 × 5 × P × P × Q
20 q = 2 × 2 × 5 × q
Здесь 5 и q — общие делители данных членов.
Отсюда, 15 P 2 Q — 20 Q = 5 × Q (3 × P × P — 2 × 2)
= 5 Q (3 P 2 − 4)

Страница № 139:
Вопрос 1.8:

Факторизация:

(8) a 2 bc + abc 2

Ответ:

A 2 BC + ABC + 2
2 2 A × A × B × C
ABC 2 = a × × B × C × C
Здесь A , B и C — это общие факторы данного термины.
, следовательно, A 2 BC + ABC 2 = A × B × C ( A + C )
= ABC ( A + в )

Страница № 139:
Вопрос 1.
9:

Факторизация:

(9) 18 м 2 n − 27 м 3

Ответ:

18 м 2 N — 27 м 3 3
18 м 2 N = 2 × 3 × 3 × м × м × N
27 м 3 = 3 × 3 × 3 × м × м × м
Вот 3, 3, м и m — общие делители данных членов.
, следовательно, 18 м 2 N — 27 м 3 = 3 × 3 × м × м (2 × N — 3 × м )
= 9 м 2 (2 n – 3 м )

Страница № 139:
Вопрос 1.
10:

Факторизация:

(10) 24 P 3 Q 2 + 28 P 2 Q 3

Ответ:

24 P 3 Q 2 + 28 2 + 28 P 2

6 Q
3
24 P 3 Q 2 = 2 × 2 × 2 × 3 × P × × 9217 × P × Q × Q
28 P 2 Q 3 = 2 × 2 × 7 × P × × × 41 × Q × Q × Q
здесь 2, 2, P , P , Q и q являются общими делителями данных термов.
, следовательно, 24 P 3 Q 2 + 28

6 P 2 Q 3 = 2 × 2 × P × P × Q × Q (2 × 3 × p + 7 × q )
= 4 p 2 q 2 (6 p + 1 7 q
Страница № 141:
Вопрос 1.
1:

Найдите множители следующих выражений:

(1) ab + cd + ac + bd

Ответ:

AB + CD + AC + AC + BD + BD
Мы можем определить это выражение как:
AB + CD + AC + BD
= ( AB + AC ) + ( CD + BD )
= A

= B ( B + C ) + D ( C + B )
= A ( B + C ) + d  ( b  +  c )
= ( b  +  c ) ( a +  5

7

6 )

Страница № 141:
Вопрос 1.2:

Найдите множители следующих выражений:

(2) 2 х 2 + 4 х 3 + 2 х + 1

Ответ:

2 x 3 9 2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 4 x 3 + 4 x 3 + 4 x 3 + 4 x 3 + 2 x + 1
= (2 x 2 + 4 x 3 ) + (2 x + 1)
= 2 x 2 (1 + 2 x ) 1 (2 x + 1)
= 2 x 2 (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)
= (2 x + 091) (2 x + 091) (2 x + 091) (2 x + 1)
2 + 1)

Страница № 141:
Вопрос 1.
3:

Найдите множители следующих выражений.

(3) ax + bx ay by

Ответ:

AX + BX AY BX к
Мы можем фактически фактизировать это выражение как:
AX BX AY на
= ( AX + BX ) + (- AY на )
= x ( a + b ) — y ( a + b )
= ( A + B ) ( х у )

Страница № 141:
Вопрос 1.4:

Найдите множители следующих выражений:

(4) y − 1 + y 3 y 2

Ответ:

Y — 1 + y — 1 + y 3 y 2 2
Мы можем фактически учитывать это выражение как:
Y — 1 + Y 3 — Y 2
= ( Y — 1) + ( y 3 y 2 )
= 1 ( y — 1) + y — 1) + y 2 ( y — 1)
= ( y — 1) (1 + у 2 )

Страница № 141:
Вопрос 1.
5:

Найдите множители следующих выражений:

(5) b 2 + bc + ab + ac

Ответ:

B 2 + BC + AB + AC + AC
МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ МЫ.

6 + 2 + BC + AB + AC
= ( B 2 + BC ) + ( AB + AC )
= B ( B + C ) + A ( B + C )
= ( б + в ) ( б + а )
= ( а + б) ( б + в )

Страница № 141:
Вопрос 1.6:

Найдите множители следующих выражений:

(6) 2 x 2 + xy − 2 xy 2 y 3

1 5

1 1

1 5

Ответ:

2 x 2 + xy — 2 xy 2 y 3
Мы можем факторизировать это выражение как:
2 x 2 + xy — 2 XY 2 Y 3
= (2 x 2 + xy ) + (- 2 xy 2 y 3 )
= x (2 x + y ) — y 2 (2 x + y )
= (2 x + y y 2 )

Страница № 141:
Вопрос 1.
7:

Найдите множители следующих выражений:

(7) 12 pm + 18 qm + 6 pn + 9 nq

Ответ:

12 PM + 18 PM + 18 QM + 6 PN + 9 NQ + 9 NQ
Мы можем определить это выражение как:
12 PM + 18 QM + 6 PN + 9 NQ
= 3 (4 PM + 6 QM + 2 PN + 3 PN + 3 NQ )
= 3 {(4 PM + 6 QM ) + (2 PN + 3 NQ )}
= 3 {2 м (2 г + 3 Q ) + N (2 P + 3 Q )}
= 3 (2 P + 3 Q ) (2 м + н )

Страница № 141:
Вопрос 1.8:

Найдите множители следующих выражений:

(8) м 3 + м 2 + м + 1

Ответ:

м 3 + м 2 + м + 1 м + 1
Мы можем фактически фактически фактически фактически выражать как:
м 3 + м 2 + м + 1
= ( M 3 + м 2 ) + ( м + 1)
= м 2 ( м + 1) + 1 ( м + 1)
= ( м + 1) ( м 2 + 1)

Страница № 141:
Вопрос 1.
9:

Найдите множители следующих выражений:

(9) am + an + al + bm + bl + bn

Ответ:

AL + AL + AL + AL + BM + BL + BN
Мы можем факторизировать это выражение как:
00917 + AN + AL + BM + BL + BN + BN = ( утра + AN + AL ) + BM + BL + BN )
= A ( M + N + l ) + B ( млн + N + л )
= ( м + N + л ) ( A + B )

Страница № 141:
Вопрос 1.10:

Найдите множители следующих выражений:

(10) 3 y 3 − 6 y 2 + 4 y − 8

Ответ:

3 Y 3 — 6 y 2 + 4 Y — 8
Мы можем фактически фактически фактизировать это выражение как:
3 Y 3 — 6 Y 2 + 4 Y — 8
= (3 Y 3 — 6 Y 2 ) + (4 Y — 8)
= 3 y 2 ( y — 2) + 4 ( y — 2)
= ( y — 2) (3 y 2 + 4)

Страница № 142:
Вопрос 1.
1:

Факторизация:

(1) у 2 + 8 у + 16

Ответ:

Y 2 + 8 Y + 16
= ( Y ) 2 + 2 × Y × 4 + (4) 2
= ( y + 4) 2 [ A 2 + 2 AB + B + B 2 = ( A + B ) 2 ]
= ( y + 4) ( y + 4)
∴  у 2 + 8у + 16 = ( у + 4) ( у + 4)

Страница № 142:
Вопрос 1.2:

Факторизация:

(2) 1 − 8 a + 16 a 2

Ответ:

1 — 8 A + 16 A + 16 A 2
= (1) 2 — 2 × 1 × 4 A + (4 A ) 2
= (1 — 4 A ) 2 [ A 2 — 2 AB + B + B 2 = ( A B ) 2 ]
= (1 — 4 A ) (1 − 4 a )
∴ 1 − 8 a + 16 a 2 = (1 − 4 a ) (1 − 4 a )

Страница № 142:
Вопрос 1.
3:

Факторизация:

(3) x 2 − 4 x + 4

Ответ:

x 2 — 4 x + 4
= ( x ) 2 — 2 × 20916 x
× 2 + (2) 2
= ( x — 2) 2 [ A 2 — 2 AB + B + B 2 = ( A B ) 2 ]
= ( x — 2) ( x — 2)
х 2 − 4 х + 4= ( х − 2) ( х − 2)

Страница № 142:
Вопрос 1.4:

Факторизация:

(4) n 2 − 2 mn + m 2

Ответ:

N 2 — 2 MN + млн 2
= ( N ) 2 — 2 × N × м + ( м ) 2
= ( N м ) 2 [ a 2 — 2 ab + b 2 = ( a b ) 2 ]
= ( N м млн. ) ( N м )
N 2 — 2 млн. + м 2 = ( N м ) ( н. м )

Страница № 142:
Вопрос 1.5:

Факторизация:

(5) 36 − 12 p + p 2

Ответ:

36 — 12 P + P + P 2
= (6) 2 — 2 × 6 × P + ( P ) 2
= (6 — стр. ) 2 [ A 2 — 2 AB + B + B 2 = ( A B ) 2 ]
= (6 — стр. ) (6 — стр. )
∴ 36 − 12 p + p 2 = (6 − p ) (6 − p )

Страница № 142:
Вопрос 1.
6:

Факторизация:

(6) q 2 + 12 q + 36

Ответ:

Q 2 + 12 Q + 36
= ( Q

) 2 + 2 × Q × 6 + (6) 2
= ( Q + 6) 2 [ A 2 + 2 AB + B + B 2 = 2 = B ) 2 ]
= ( Q + 6) ( Q + 6)
q 2 + 12 q + 36 = ( q + 6) ( q + 6)

Страница № 142:
Вопрос 1.7:

Факторизация:

(7) 49 + 28 у + 4 у 2

Ответ:

49 + 28 Y + 4 Y + 4 Y 2
= (7) 2 + 2 × 7 × 2 y + (2 y ) 2
= (7 + 2 y ) 2 [ a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 ]
= (7 + 2 y ) (7 + 2 y )
∴ 49 + 28 y + 4 y 2 = (7 + 2 y ) (7 + 2 y )

Страница № 142:
Вопрос 1.
8:

Факторизация:

(8) 16 m 2 − 24 mn + 9 n 2

Ответ:

16 м

6 м — 24 MN + 9 N 2
= (4 м ) 2 — 2 × 4 м × 3 N + (3 N ) 2
= (4 м — 3 N — 3 N ) 2 [ A 2 — 2 AB + B 2 = ( A B ) 2 ]
= (4 м — 3 N — 3 N ) (4 м — 3 N )
∴ 16 M 2 — 24 Mn + 9 N 2 = (4 м − 3 н ) (4 м − 3 н )

Страница № 142:
Вопрос 1.9:

Факторизация:

(9) 4 b 2 + 12 ab + 9 a 2

Ответ:

4 B

6 B
2 + 12 AB + 9 A 2
= (2 B ) 2 + 2 × 2 B × 3 A + (3 A ) 2
= (2 B + 3 A ) 2 [ A 2 + 2 AB + B 2 = ( A + B ) 2 ]
= (2 B + 3 A ) (2 B + 3 A )
∴ 4 B 2 + 12 AB + 9 A 2 = (2 б + 3 а ) (2 б + 3 а )

Страница № 142:
Вопрос 1.
10:

Факторизация:

(10) 9 x 2 – 24 xy + 16 y 2

Ответ:

9 x 2 — 24 xy + 16 y 2
= (3 x ) 2 — 2 × 3 x × 4 y + (4 y ) 2
= (3 x — 4 y ) 2 [ a 2 — 2 ab + b 2 = ( a b ) 2 ]
= (3 x — 4 y ) (3 x — 4 y )
∴ 9 x 2 — 24 x 5917 + 16 y 2 = (3 x – 4 y ) (3 x – 4 y )

Страница № 142:
Вопрос 1.11:

Factorise:

(11) a 2 – 10 a + 25

Ответ:

A 2 — 10 A — 10 A + 25
= ( A ) 2 — 2 × A × 5 + (5) 2
= ( A — 5) 2 [ A 2 — 2 AB + B + B 2 = ( A B ) 2 ]
= ( A — 5) ( A — 5)
a 2 – 10 a + 25 = ( a – 5) ( a – 5)

Страница № 142:
Вопрос 1.
12:

Факторизация:

(12) 36 + 36 у + 9 у 2

Ответ:

36 + 36 Y + 9 Y + 9 Y 2
= 9 (4 + 4 y + y 2 )
= 9 {(2) 2 + 2 × 2 × y + ( Y ) 2 }
= 9 (2 + y ) 2 [ A 2 + 2 AB + B 2 = ( A + B ) 2 ] 2 ]
= 9 (2 + y ) (2 + y )
∴ 36 + 36 y + 9 y 2 = 9 (2 + y ) ( 2 + у )

Страница № 142:
Вопрос 1.13:

Factorise:

(13) 16 m 2 – 40 mn + 25 n 2

Ответ:

16 м

6 м — 40 MN + 25 N 2
= (4 м ) 2 — 2 × 4 м × 5 N × 5 N + (5 N ) 2
= (4 м — 5 N — 5 N ) 2 [ A 2 — 2 AB + B 2 = ( A B ) 2 ]
= (4 м — 5 N — 5 м — 5 N )
∴ 16 M 2 — 40 MN + 25 N 2 = (4 м – 5 н ) (4 м – 5 н )

Страница № 142:
Вопрос 1.
14:

Факторизация:

(14) 1 + 12 q + 36 q 2

Ответ:

1 + 12 Q + 36 Q 2
= (1) 2 + 2 × 1 × 6 + 2 × 1 × 6 q + (6 q ) 2
= (1 + 6 q ) 2 [ A 2 + 2 AB + B 2 = ( A + B ) 2 ]
= (1 + 6 Q ) (1 + 6 q )
∴ 1 + 12 q + 36 q 2 = (1 + 6 q ) (1 + 6 q )

7

Страница № 142:
Вопрос 1.15:

Факторизация:

(15) 4 м 2 + 36 м + 81

Ответ:

4 м 2 + 36 м + 36 м + 81
= (2 м ) 2 + 2 × 2 м × 9 + (9) 2
= (2 м + 9) 2 [ A 2 + 2 AB + B + B 2 = ( A + B ) 2 ]
= (2 м + 9) (2 м + 9)
∴ 4 м 2 + 36 м + 81 = (2 м + 9) (2 м + 9)

Страница № 142:
Вопрос 1.
16:

Факториз:

(16) 64 – 48 n + 9 n 2

Ответ:

64 — 48 N + 9 N + 9 N 2
= (8) 2 — 2 × 8 × 3 N + (3 N ) 2
= (8 — 3 N ) 2 [ A 2 — 2 AB + B 2 = ( A B ) 2 ]
= (8 — 3 N ) (8 – 3 n )
∴ 64 – 48 n + 9 n 2 = (8 – 3 n ) (8 – 3 n )

7

Страница № 142:
Вопрос 1.17:

Factorise:

(17) 81 a 2 – 72 ab + 16 b 2

Ответ:

81 A 2 — 72 AB + 16 9

7 + 16 B 2
= (9 A ) 2 — 2 × 9 A × 4 B + (4 B ) 2
= (9 A — 4 B ) 2 [ A 2 — 2 AB + B 2 = ( A B ) 2 ] 2 ]
= (9 A — 4 B — 4 A — 4 B )
∴ 81 A

2 — 72 B AB + 16 B 2 = (9 а – 4 б ) (9 а – 4 б )

Страница № 142:
Вопрос 1.
18:

Factorise:

(18) 4 p 2 + 24 pq + 36 q 2

Ответ:

4 P 2 + 24 PQ + 36 Q 2
= 4 ( P 2 + 6 PQ + 9 Q 2 )
= 4 {( P ) 2 + 2 × P × 3 Q + (3 Q ) 2 }
= 4 ( P + 3 Q ) 2 [ A 2 + 2 ab + + B 2 = ( A + B ) 2 ]
= 4 ( P + 3 Q ) ( P + 3 Q )
∴ 4 P 2 + 24 PQ + 36 Q 2 = 4 ( P + 3 Q ) ( P + 3 Q )

Страница № 143:
Вопрос 1.
1:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(1) x 2 у 2

Ответ:

x 2 y 2
= ( x + y ) ( y a 2 b 2 A + B ) ( A B )]
x 2 y 2 = ( y x y )

Страница № 143:
Вопрос 1.2:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(2) м 2 – 25

Ответ:

м 2 — 25
= ( м ) 2 — (5) 2 2
= ( м — 5) [ a 2 B 2 = ( A + B ) ( A B )]
м 2 — 25 = ( м + 5) ( м – 5)

Страница № 143:
Вопрос 1.
3:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(3) 1 – стр 2

Ответ:

1 — P 2 9 = (1) 2 — ( p ) 2
= (1 + стр. ) [ p 2 B 2 = ( A + B ) ( B B )]
∴ 1 — p 2 = (1 + p ) (1 — p )

Страница № 143:
Вопрос 1.4:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(4) 16 – а 2

Ответ:

16 — A 2 9 = (4) 2 — ( A ) 2
= (4 + A ) (4 — A ) [ a 2 B 2 = ( A + B ) ( B B )]
∴ 16 — A 2 = (4 + A ) (4 — A ) )

Страница № 143:
Вопрос 1.
5:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(5) 36 р 2 – 1

Ответ:

36 R

6 R
2 — 1
= (6 R ) 2 — (1) 2
= (6 R + 1) (6 R — 1) [ A 2 B 2 = ( A + B ) ( A B )]
∴ 36 R 2 — 1 = (6 R + 1) (6 р – 1)

Страница № 143:
Вопрос 1.6:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(6) 121 – 49 нет 2

Ответ:

121 — 49 N 2
= (11) 2 — (7 N ) 2
= (11 + 7 N ) (11 — 7 N ) [ 2 B 2 = ( A + B ) ( A B )]
∴ 121 — 49 N 2 = (11 + 7 N ) (11 – 7 н )

Страница № 143:
Вопрос 1.
7:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(7) 4 x 2 – 81 у 2

Ответ:

4 x 2 — 81 y 2
= (2 x ) 2 — (9 y ) 2
= (2 x + 9 y ) (2 x — 9 y ) [ A 2 B 2 = + B ) ( A B )]
∴ 4 x 2 – 81 у 2 = (2 х + 9 у ) (2 х – 9 у )

Страница № 143:
Вопрос 1.8:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(8) 169 р 2 – 81 р 2

Ответ:

169 P 2 — 81 R — 81 R 2
= (13 P ) 2 — (9 R ) 2
= (13 P + 9 R ) (13 P — 9 R ) [ R ) [ A 2 B 2 = ( A + B ) ( A B )]
∴ 169 p 2 – 81 r 2 = (13 p + 9r) (13 p – 9 r )

Страница № 143:
Вопрос 1.
9:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(9) м2-4964

Ответ:

m2-4964=m2-782=m+78 m-78               a2-b2=a+b a-b∴m2-4964=m+78 m-78

Страница № 143:
Вопрос 1.10:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(10) р2с2-81100

Ответ:

  r2s2-81100=rs2-9102=rs+910 rs-910             a2-b2=a+b a-b∴r2s2-81100=rs+910 rs-910

Страница № 143:
Вопрос 1.11:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(11) 1625-y2x2

Ответ:

  1625-y2x2=452-yx2=45+yx 45-yx                a2-b2=a+b a-b∴1625-y2x2=45+yx 45-yx

Страница № 143:
Вопрос 1.
12:

Используйте формулу, чтобы найти коэффициенты.

(12) 1-36 м249н2

Ответ:

  1-36m249n2=12-6m7n2=1+6m7n 1-6m7n               a2-b2=a+b a-b∴ 1-36m249n2=1+6m7n 1-6m7n

Посмотреть решения NCERT для всех глав класса 7

Учебное произведение простых множителей

Теория чисел , или изучение целых чисел (счетные числа 1, 2, 3…, их противоположности –1, –2, –3… и 0), годами очаровывал математиков. Простые числа — понятие, знакомое большинству учащихся 4-х классов и старше, — основа теории чисел. Они образуют основные строительные блоки для всех целых чисел.

Простое число — это счетное число, имеющее только два делителя: само себя и единицу. Счетные числа, имеющие более двух делителей (например, 6, чьи делители равны 1, 2, 3 и 6), называются составными числами . Число 1 имеет только один делитель и обычно не считается ни простым, ни составным.

  • Ключевой стандарт: определить, является ли заданное число простым или составным, и найти все множители целого числа. (Класс 4)

Почему важны простые факторы?

Это извечный вопрос, с которым приходится сталкиваться учителям математики во всем мире. Когда я буду это использовать? Одним из ярких примеров является криптография , или изучение создания и расшифровки кодов. С помощью компьютера легко умножить два простых числа.Однако может быть чрезвычайно сложно разложить число на множители. Из-за этого, когда веб-сайт безопасно отправляет и получает информацию — что особенно важно, например, для финансовых или медицинских веб-сайтов — вы можете поспорить, что за кулисами есть простые числа. Простые числа также проявляются в самых разных неожиданных контекстах, включая физику, музыку и даже появление цикад!

Есть еще одно место, где часто встречаются простые числа, и его легко не заметить при обсуждении приложений: математика! Изучение чистой математики — это тема, которую люди практикуют, изучают и делятся, не беспокоясь о том, где еще она может применяться, подобно тому, как музыканту не нужно спрашивать, как музыка применима к реальному миру.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.