Содержание

ГДЗ по математике 6 класс, решебники готовых домашних заданий

ГДЗ по математике для 6 класса – это сборники готовых заданий по базовым учебникам школьного курса, который позволяют школьникам более глубоко и эффективно постигать предмет без помощи репетиторов.

Можно ли шестикласснику использовать ГДЗ по математике для 6 класса?

Многие учителя и родители ошибочно полагают, что использование решебников по математике в 6 классе недопустимо. Однако вопрос лишь в правильности применения практического пособия: если бездумно списывать из него готовые ответы, то, очевидно, никакой пользы от него не будет.

Однако, если ребята проверяют на базе ГДЗ выполненную домашнюю работу или разбирают порядок выполнения сложных примеров, то готовые решения станут важным дополнением школьного курса обучения.

Программа обучения математике в 6 классе весьма насыщена; она включает такие темы, как:

  • арифметические операции с обыкновенными дробями;
  • понятие простых и составных чисел, делимые и кратные;
  • составление отношений и пропорций;
  • расчет диаметра круга и объема шара;
  • определение масштаба и координат на плоскости;
  • действия с положительными, отрицательными числами.

Все возникающие затруднения в ходе выполнения домашней работы можно преодолеть, используя решебник по математике. Кроме того, на его базе родители шестиклассников смогут помочь шестиклассникам с решением сложных задач.

Использование ГДЗ – новый уровень постижения математики в шестом классе

Онлайн-решебник по математике – явление, которое набирает все большую популярность. Благодаря им сделать домашнюю работу по предмету можно в разы быстрее.

Наш ресурс нацелен на предоставление помощи ученикам и родителям в деле подготовки домашних работ. Уникальными свойствами нашего ресурса выступают:

  • возможность найти ответ по номеру задания или части его условия;
  • доступность базы ответов в бесплатном режиме для телефонов, планшетов и компьютеров.

Поскольку на сайте размещаются только актуальные версии решебников, то нет сомнений не только в правильности результата, но и в корректности оформления упражнений.

Урок по математике «Решение задач с помощью уравнений».

6-й класс

Предмет: Математика.

Класс: 6.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Дидактические средства: учебник «Математика. 6 класс» Мерзляк А.Г., презентация.

Этапы урока

Цель этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Универсальные учебные действия

Организационный момент

Создание благоприятного психологического настроя на работу

Приветствует учащихся,
проверяет готовность к уроку, создаёт эмоциональный настрой

Взаимное приветствие, настраиваются на работу

Коммуникативные:


планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
Регулятивные:
способность к мобилизации сил и энергии

Актуализация знаний

Актуализация опорных знаний и способов действий

Демонстрирует слайд 2 и предлагает выполнить устные вычисления

Выполняют вычисления с подробными объяснениями, при необходимости исправляют и дополняют ответы одноклассников

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками;
умение выражать мысли
Познавательные: структурирование знаний;
осознанное построение речевого высказывания в устной форме

Демонстрирует слайды 3, 4 и предлагает решить два уравнения.

Каждое задание выполняется одним учащимся. Учитель открывает последующую строчку только после того, как обучающийся правильно проговорил ее

Один учащийся проговаривает алгоритм решения уравнения, остальные – внимательно слушают, при необходимости дополняют или исправляют ответ.

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные: структурирование знаний; осознанное построение речевого высказывания в устной форме

Постановка учебной задачи

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими цели урока

Демонстрирует слайды 5, 6 и предлагает решить две задачи: первая задача решается арифметическим способом, вторая – алгебраическим (с помощью уравнения). Учитель задает вопросы, приводящие к пониманию о недостаточности знаний для решения второй задачи.

Слайд 7.

В ходе беседы помогает определить связь между изученной темой «Уравнения» и новой задачей, подводит к  формулированию темы урока (слайд 8)

Решают первую задачу.
Размышляют над решением второй: сравнивают условия, краткую запись, выдвигают гипотезы, отвечают на поставленные вопросы.

 

 

Формулируют цель и тему урока
Записывают тему урока в тетрадь

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Регулятивные:
постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно; составление плана и последовательности действий
Познавательные:
формулирование гипотез

«Открытие» учащимися новых знаний

Обеспечение восприятия и осмысления и первичного запоминания детьми новой темы

Демонстрирует слайд 9, объясняет решение задачи

Отвечают на вопросы учителя, записывают решение в тетрадь

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные:
поиск и выделение необходимой информации;
установление причинно-следственных связей

Физкультминутка

Смена деятельности.

Демонстрирует слайды 10-15

Учащиеся выполняют упражнения

 

Первичное закрепление

Установление правильности и осознанности изучения темы.

Слайды 16-18. Вместе с учащимися разбирает задачи по плану:

— О чем задача?

— Какие слова будут в краткой записи?

— Что обозначим за х?

— Как будут записаны остальные данные?

— Какое уравнение можно составить?

Учащиеся вместе с учителем разбирают условия предложенных задач, выбирают данные для краткой записи, определяются с обозначением неизвестной и составляют уравнения

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные:
смысловое чтение; построение логической цепочки рассуждений
Регулятивные:
составление плана и последовательности действий

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изучаемого  материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу

Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу (слайд 19). После завершения работы открывает слайд 20 с готовым образцом решения.

Самостоятельно решают задачу, затем сверяют с образцом решения на экране (слайд 20). Оценивают свою работу (слайд 21)

Регулятивные: составление плана и последовательности действий; сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, в случае необходимости – коррекция

Познавательные:
смысловое чтение; построение логической цепочки рассуждений

Подведение итогов

Самооценка результатов своей деятельности и всего класса

Учитель предлагает ответить на вопросы (слайд 22)

Учащиеся отвечают на вопросы

Регулятивные:
выделение и осознание учащимся «новых» знаний, оценивание их необходимости
Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли

Постановка домашнего задания

 

Домашнее задание: выучить признаки § 42, № 1174, 1176
(слайд 23)

Записывают домашнее задание в дневник

 

Школьная задача поставила интернет в тупик — Российская газета

В социальных сетях набирает популярность несложная школьная задача, состоящая из одной картинки.

Пользователям предлагается путем довольно нехитрых вычислений решить уравнение, но правильность решения зависит не только от способностей к математике, но и от внимательности.

На задачу уже обратили внимание крупные западные издания, такие как Daily Mail, Independent, The Huffington Post и другие. Кроме того, нетривиальная загадка активно распространяется в российских сегментах Facebook и «ВКонтакте». Оригинальный пост же, написанный жительницей Канады по имени Лиза Вельке (Lisa Woelke), был опубликован еще 30 января.

Hmm… Can you solve this? I honestly have NO clue! I hope you guys can tell me 󾌻☆ SHARE and see if your friends Can! ☆FOLLOW ME! ☺☺☺

Posted by Lisa Woelke on Friday, January 29, 2016

«Хмм… Вы можете решить это? Я, честно говоря, нет! Надеюсь, что вы, ребята, сможете подсказать мне», — написала женщина.

Пост набрал два миллиона комментариев и более 400 тысяч «лайков». Свыше 160 тысяч человек поделились записью со своими друзьями. В комментариях же разгорелись ожесточенные споры, которые разделили пользователей на три лагеря. Первые считают, что правильный ответ — 14, вторые — 15, третьи — 16.

На первый взгляд решение кажется простым. Если три яблока в сумме дают 30, следовательно, одно яблоко «стоит» 10. Далее, согласно условиям, одно яблоко и две связки бананов в сумме дают 18. Следовательно, «стоимость» связки бананов равна 4. Если же «отнять» от связки бананов пару кокосовых орехов, то получается 2. Таким образом, «стоимость» кокосов равна 2.

В последнем уравнении предлагается сложить «стоимость» всех фруктов — если сделать это, получится 16.

Однако, как заметили внимательные пользователи, в этом уравнении на картинке не хватает одного кокоса и одного банана. Связка из четырех бананов «стоит» 4 условных единицы, а пара кокосов — 2. Следовательно, один банан и один кокос стоят одинаково — 1. Поэтому «сумма фруктов» в последнем уравнении равна не 16, а 14.

Отметим, что достаточно часто задачи на внимательность вызывают бурное обсуждение в Сети. Так, в конце декабря пользователи сайта Reddit буквально «сломали голову», пытаясь решить шутливый паззл, призванный «определить» степень опьянения человека.

Совет учителей математики Вирджинии

Объяснение результатов SOL 6-го класса штата Вирджиния с помощью анализа дистракторов

Доктор Вирджиния Льюис

Как бывший учитель математики в средней школе, а в настоящее время доцент кафедры математического образования, я профессионально заинтересован в улучшении информации, доступной учителям, в отношении успеваемости учащихся по оценкам Стандартов обучения штата Вирджиния (SOL). Чтобы учителя могли вносить целенаправленные изменения в обучение, «связь между оценкой и обучением должна быть прочной и четкой» (Национальный исследовательский совет, 1999, с.5). По этой причине я решил изучить для своей диссертации результаты оценок SOL по математике штата Вирджиния, чтобы лучше понять, почему учащиеся выбирают неправильный выбор.

Цель этого исследования состояла в том, чтобы выявить эти причины, чтобы учителя могли лучше понять, как они могут использовать эту информацию вместе с их собственным анализом отвлекающих факторов для улучшения понимания учащимися математики и повышения успеваемости по математике. Следующие исследовательские вопросы направляли это исследование.

Чтобы изучить эти вопросы, Департамент образования штата Вирджиния (VDOE) предоставил данные о частоте и проценте учащихся, выбравших каждый вариант ответа для каждого из пятидесяти вопросов в опубликованных тестах для шестого, седьмого и восьмого классов в 2007 и 2008 годах.Эти данные обычно недоступны учителям и были получены по специальному запросу данных. VDOE также предоставил частоты по проходным уровням, что позволило изучить ответы тех учащихся, которые отличились на экзамене (Advanced), успешно прошли тест, но не были признаны отличниками (Proficient), не справились, но были близки к тому, чтобы пройти ( Неудовлетворительный базовый) и Неудовлетворительный ниже базового. В этой статье речь пойдет о данных шестого класса. Количество студентов, включенных в эту выборку, и количество студентов в наборе данных на каждом проходном уровне включены в Таблицу 1.

Таблица 1. Частота учащихся в наборе данных для проходного уровня по годам

Категоризация ответа

2007

2008

Расширенный

6 102

14 866

Опытный

15 205

20 067

Сбой Основной

10 280

11 559

Ошибка ниже базовой

4 119

4 064

Всего

35 706

50 556

VDOE опубликовал в Интернете серию презентаций под названием «Анализ успеваемости учащихся», которые «предназначены для того, чтобы предоставить преподавателям математики более глубокое понимание концепций, с которыми сталкиваются учащиеся по всему штату» (VDOE, 2015, «Использование результатов SOL в масштабе штата», пункт . 1). Каждая презентация фокусируется на успеваемости учащихся на весенних оценках SOL для определенного уровня класса, предлагая примеры заданий, похожих на те, которые определены как сложные для учащихся, изучающих математику. Элементы множественного выбора в презентациях включают варианты ответов. Неправильные варианты ответов, представленные в качестве альтернативы правильному ответу на вопрос с несколькими вариантами ответов, называются отвлекающими факторами. Правильный ответ, а также наиболее часто выбираемый отвлекающий фактор указываются для каждого элемента презентации.В области примечаний к презентации VDOE предлагает наиболее вероятные причины, по которым учащиеся выберут этот отвлекающий фактор. Важно отметить, что эти причины были выдвинуты экспертами и объясняют, почему ученик выбирает именно этот отвлекающий фактор.
Результаты моего исследования предназначены для предоставления учителям дополнительной информации о неправильных представлениях и проблемах, с которыми сталкиваются учащиеся при выборе неправильных ответов на тестах SOL по математике. Несмотря на то, что Стандарты обучения математике были пересмотрены в 2009 году, после того, как мое исследование было завершено, результаты остаются актуальными.И хотя в моем исследовании не использовались элементы с расширенными технологиями, старые выпущенные элементы по-прежнему полезны для подготовки учащихся к текущим экзаменам, и многие элементы оценивания по-прежнему представлены в формате множественного выбора.

Невозможно спросить студентов об их мышлении во время стандартизированных оценок, в подобных ситуациях Паттон (1990) советовал исследователю «сделать все возможное, чтобы описать закономерности, которые, по его мнению, присутствовали в данных». (п.483). Клоостерман и Лестер (2007) использовали анализ отвлекающих факторов, чтобы лучше понять успеваемость учащихся по отдельным предметам основного NAEP. Их работа послужила источником вдохновения для этого проекта, в котором использовалась аналогичная структура для анализа данных о дистракторах для оценки SOL в шестом классе. Хотя мы не можем точно знать, сколько учеников выбрали каждый отвлекающий фактор по определенной причине, мы можем предвидеть неправильные представления учащихся и можем исследовать отвлекающие факторы при оценке, чтобы определить наиболее вероятные причины, по которым учащиеся выберут этот выбор.На самом деле, это стандартная практика — целенаправленно использовать предполагаемые ошибки учащихся для создания отвлекающих факторов при написании теста с несколькими вариантами ответов.
В этом исследовании результатов оценки SOL для шестого класса объяснения того, почему учащийся, скорее всего, выберет отвлекающий фактор, были получены группой анализа документов (DAT). DAT состоял из трех аналитиков документов, которые независимо друг от друга исследовали тесты. У этих аналитиков документов были «разные предубеждения, разные сильные стороны, поэтому они могли дополнять друг друга» (Майлз и Хуберман, 1994, с.267). DAT, в состав которого входили учитель математики шестого класса, учитель специального образования шестого класса и я, сгенерировала возможные объяснения того, почему учащийся выберет каждый дистрактор. Каждый член команды независимо проанализировал двадцать пять вопросов, прежде чем собраться вместе, чтобы обсудить возможные объяснения каждого отвлекающего фактора. Поскольку в тестах 2007 и 2008 годов было объединено сто пунктов, DAT собирался четыре раза в течение примерно двух месяцев, чтобы проанализировать все сто пунктов.Примерно в двух третях случаев члены команды давали одно и то же объяснение выбора дистрактора. Когда во время собрания группы предлагалось более одного объяснения, несколько объяснений принимались как разумные. В небольшом количестве случаев член команды снял свое объяснение с рассмотрения, когда другие объяснения были более правдоподобными.
Основные категории, используемые для классификации каждого из возможных объяснений для каждого отвлекающего фактора, были основаны на математических способностях, описанных в Национальной системе оценки успеваемости (NAEP) для их основной математической оценки NAEP (Национальный центр образовательной статистики, 2011). После того, как DAT составил список возможных объяснений для каждого отвлекающего фактора, я классифицировал каждое из объяснений как концептуальное понимание (концептуальное), процедурное знание (процедурное) или ошибку решения проблемы. После того, как все объяснения отвлекающих факторов были классифицированы, эти классификации были закодированы вместе с частотами, предоставленными VDOE, для поиска закономерностей в данных.

Как в 2007, так и в 2008 году концептуальные объяснения возможных ошибок и решения проблем встречались гораздо чаще, чем процедурные ошибки.Таблица 2 показывает, что концептуальные ошибки и ошибки решения проблем, скорее всего, составляют почти четверть вариантов ответов, выбранных в обеих оценках.
Анализ доли неправильных ответов, представленной в Таблице 3, показал, что более 80 % неправильных ответов, 84 % за 2007 г. и 86 % за 2008 г., вероятно, были результатом концептуальных ошибок или ошибок при решении проблем. Это демонстрирует гораздо меньшее влияние процедурных ошибок на успеваемость учащихся по этой оценке: 14% в 2007 г. и 13% в 2008 г.Объяснения отвлекающих факторов, классифицируемые как концептуальные ошибки, включали непонимание математических терминов, неспособность правильно интерпретировать или использовать символы или непонимание отношений между различными формами рациональных чисел, такими как дроби, десятичные дроби и проценты. Классификация решения проблем в основном была результатом неспособности эффективно использовать стратегии самоконтроля и контроля, сосредоточиться на условиях проблемы или не ответить на заданный вопрос.Объяснения отвлекающих факторов классифицировались как процедурные ошибки в основном в том случае, если учащийся выбирал этот отвлекающий фактор из-за неправильного выполнения ряда шагов.

Таблица 3. Процент неправильных ответов учащихся шестого класса по категориям

Категоризация ответа

2007

2008

Концептуальные ошибки

43

44

Ошибки решения проблем

41

42

Процедурные ошибки

14

13

Неизвестные ошибки

2

1

Всего

100

100

Пример анализа двух элементов из оценки SOL 2008

Следующие примеры были выбраны из оценки SOL для шестого класса, чтобы проиллюстрировать влияние концептуальных ошибок и ошибок решения проблем. Прежде чем читать дальше, решите задачи на рисунках 1 и 2.  Затем составьте список предполагаемых неправильных представлений, процедурных ошибок или ошибок при решении задач, которые, по вашему мнению, могут привести к тому, что учащийся выберет каждый отвлекающий фактор. Затем сравните свое мышление со следующим анализом.

В соответствии с классификацией в конце выпущенного теста VDOE классифицировал вопрос на рис. 1 как относящийся к категории отчетов о вычислениях и оценках в тесте SOL, выпущенном в 2008 году.Пятьдесят процентов всех учащихся (25 311 из 50 556) правильно ответили на этот вопрос, выбрав Choice J .


Один из способов правильно решить эту задачу — сначала определить целое число миль, пройденных за одну неделю, путем сложения всех целых чисел: 0 + 2 + 3+ 2 + 3+2+10 = 22. Затем учащиеся могут объединить дробные части, ½ + ½ + ½ = 1 1/2. Затем объедините целое число и дробные части, 22 + 1 ½, чтобы найти количество миль, пройденных за одну неделю, 23 1/2. Наконец, удвойте это смешанное число, чтобы найти количество миль, пройденных за две недели, 23 ½ x 2 = 47, а затем еще раз удвойте, чтобы найти количество миль, пройденных за 4 недели, 47 x 2 = 94 мили.

Осмотр отвлекающих факторов показал, что остальные пятьдесят процентов учащихся, выбравших неправильный ответ, скорее всего, совершили ошибку решения задач, не ответив на заданный вопрос. Обратите внимание, что этот тип ошибки, кажется, затронул студентов на всех уровнях прохода. Эта информация полезна для учителей, поскольку она свидетельствует о том, что учащимся всех проходных уровней будет полезно обучение, сосредоточенное на процессе решения задач. Студенты должны обязательно проверить свою работу в конце этого процесса, чтобы убедиться, что найденное решение отвечает на исходный вопрос, поставленный в задаче.

Таблица 4. Пункт 8 Процент учащихся, выбравших каждый вариант ответа на проходном уровне

Вариант ответа

Ниже базового уровня

Базовый

Опытный

Расширенный

Комбинезон

Ф

42. 1

 

42,1

32,0

17,7

30,9

Г

24,9

15,7

7.1

1.7

8,9

Х

19,2

16,6

 

10,0

2,5

10,0

Дж (правильно)

13. 4

25,6

 

50,9

78,0

50,1


Дистрактор F
(23 1/2 мили) был самым популярным неправильным ответом, выбранным независимо от уровня прохождения. DAT определил, что учащиеся, выбравшие этот вариант ответа, скорее всего, правильно объединили рациональные числа, чтобы определить общее расстояние за 1 неделю вместо 4 недель, как требовалось в задаче.Выбор дистрактора G (47 миль), вероятно, связан с тем, что учащиеся нашли общее расстояние за 2 недели, но не полностью решили задачу по определению общего расстояния за 4 недели. Студенты, выбравшие Distractor H (70 1/2 мили), скорее всего, нашли общее расстояние за 3 недели вместо 4 недель.

Анализ этого задания свидетельствует о том, что учащиеся всех проходных уровней, вероятно, делают неправильный выбор из-за ошибок в решении задач, а не только из-за концептуального или процедурного непонимания. В текущем отчете о результатах оценки SOL важно отметить, что учитель/ученик знают, что вопрос в разделе «Вычисление и оценка» был пропущен. Однако они не знают, что наиболее вероятная причина отсутствия этого элемента связана с решением проблем, а не с ошибкой вычислений или оценок. Это важно знать, поскольку инструкции, необходимые для повышения производительности по этому элементу, должны быть сосредоточены на процессе решения проблемы, а не на конкретной теме вычислений и оценок.
Анализ элемента из шаблонов, функций и алгебры и категория отчетов по алгебре для выпущенного в 2008 году теста. Только 57,6% учащихся (29 117 из 50 556) выбрали правильный ответ Вариант J . Учащийся, решающий эту задачу, может признать, что все числа в столбце «значение» являются правильными квадратами.Это может помочь учащемуся увидеть квадрат «термин», чтобы получить «значение». Еще один способ решить эту проблему — изучить возможные закономерности в вариантах ответов. Однако для успешного выбора правильного шаблона с помощью этого метода учащийся должен «проверить» шаблон, чтобы убедиться, что он верен для каждого термина и соответствующего ему значения в таблице.

Остальные 42,4% учащихся, скорее всего, выбрали неправильный ответ из-за концептуальной ошибки или ошибки решения задач.В таблице 5 показано, что дистрактор
H (удвойте термин, чтобы получить значение) был самым популярным дистрактором для учащихся всех уровней проходимости. Студенты, выбравшие этот отвлекающий фактор, скорее всего, перепутали концепции шаблонов удвоения и возведения в квадрат. Например, в шаблоне удвоения член умножается на 2, чтобы найти значение, 11 x 2 = 22, 12 x 2 = 24. В шаблоне возведения в квадрат член умножается сам на себя, чтобы найти значение, 11 x 11 = 121. , 12 x 12 = 144.    
Этот результат предполагает, что учащиеся выиграют от обучения, которое фокусируется на этих двух концепциях шаблона и на разнице между терминами «двойной» и «квадрат», чтобы избежать этого типа концептуальной ошибки в будущем. .
Дистрактор G (умножьте 11 на число, чтобы получить значение) был вторым по популярности дистрактором среди учащихся всех уровней. Студенты, выбравшие ответ G, вероятно, не сосредоточились на условиях задачи. Вероятно, они умножили первый член на 11, получив правильный результат 121, но не проверили, верна ли эта закономерность для всех остальных терминов. Если бы другие условия были проверены, было бы очевидно, что шаблон не выполняется, 12 х 11 = 132, 13 х 11 = 143.Эта ошибка считается ошибкой решения проблем, поскольку ее можно было предотвратить, проверив шаблон для всех терминов и соответствующих значений. Учащиеся, скорее всего, совершат ошибку такого типа, если не воспримут всю информацию в таблице как важные условия задачи.
Вполне вероятно, что учащиеся, выбравшие
Дистрактор F (Добавьте 110 к термину, чтобы получить значение), также не проверили свой образец для всех терминов в таблице. Они узнали, что когда они добавили 110 к первому члену, результат равен 121.Однако они, вероятно, не осознавали, что эта модель работает только в течение первого срока. Если бы учащиеся проверили «добавить шаблон 110» со вторым слагаемым, они бы вычислили 12 + 110 = 122, а не значение 144, указанное как второе слагаемое в таблице. Эту ошибку можно было бы предотвратить в будущем, если бы учащиеся более эффективно контролировали свой процесс решения задач, чтобы убедиться, что они проверили шаблон, чтобы убедиться, что он верен для всей таблицы.
Важно признать, что эта проблема была классифицирована VDOE как относящаяся к направлению Patterns, Functions, and Algebra.В то время как 27,5% учащихся, выбравших вариант H, сделали неправильный выбор из-за непонимания понятий шаблона, остальные 15% учащихся, которые неправильно решили эту задачу, выбрали неправильный ответ из-за ошибки решения задачи. Учителя должны знать об обеих этих причинах неправильного решения этой проблемы, потому что методы обучения, необходимые для устранения концептуальных ошибок и ошибок решения проблем, очень разные. Важно выйти за рамки классификации каждого элемента, чтобы лучше понять, почему учащиеся выбирают неправильные ответы.

«Концептуальное понимание относится к интегрированному и функциональному пониманию математических идей» (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001, стр. 118). Как конструктивист, я считаю, что для того, чтобы усвоить новые математические идеи, учащиеся включают их в свои существующие идеи, выстраивая связи. «Чем больше количество связей в сети идей, тем лучше понимание» (Ван де Валле, Карп и Бэй-Уильямс, 2010, стр. 24). Например, учащиеся, у которых есть неправильное представление о том, что они путают узоры квадрата и удвоения, могут использовать цветные плитки для изучения этих узоров, чтобы установить визуальные связи между этими понятиями.Обсуждение этих визуальных паттернов и повторное рассмотрение вопроса, аналогичного пункту на рис. 2, поможет учащимся оценить свои собственные варианты ответов и явно осознать, что они допустили ошибку, перепутав эти паттерны. Таким образом, учащиеся будут адаптировать свою связанную сеть идей, чтобы лучше понять различия в схемах возведения в квадрат и удвоения. Учебные методы, выбранные для улучшения концептуального понимания, будут различаться по мере изменения концепций. Учителя должны знать и предвидеть концептуальные ошибки, которые наиболее вероятны в различных математических направлениях.

Чтобы уменьшить влияние ошибок при решении задач, учителя должны уделять особое внимание процессу решения задач во время обучения математике. Полиа описал решение проблемы как четырехэтапный процесс: понять проблему, разработать план, выполнить план и оглянуться назад (Поля, 1945). Эффективные решатели задач используют один и тот же общий процесс независимо от математического направления конкретной задачи. Чтобы учащиеся разработали правильный план, им нужна сумка с инструментами, наполненная различными стратегиями, на которые они могут положиться при решении проблем.Чтобы способствовать развитию этих стратегий, учителя должны предоставлять учащимся «частые возможности объяснить свои стратегии решения задач и решения» (Национальный совет учителей математики [NCTM], 2000, стр. 258). Совместное использование стратегий помогает учащимся развивать свои навыки. стратегическая компетенция (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001), чтобы они могли более эффективно анализировать условия других проблем и выбирать подходящую стратегию для поиска решения.   
Учащиеся могут по очереди делиться стратегиями решения проблем, в то время как учителя организуют обсуждение в классе, которое выявляет сходства и различия этих стратегий.Этот процесс обмена информацией помогает учащимся понять, как их собственные стратегии связаны со стратегиями их сверстников. Затем учителя могут попросить учеников решить аналогичную проблему, используя стратегию другого ученика, чтобы побудить учащихся разработать несколько способов решения одной и той же проблемы. Во время этих занятий учащиеся могут также обнаружить, что они предпочитают стратегию другого учащегося, потому что она более эффективна или более применима для более широкого круга проблем.

Результаты этого исследования показали, что учащихся также необходимо учить тому, как контролировать собственный процесс решения проблем.Учителя могут использовать упражнения «думай вслух», чтобы способствовать развитию у учащихся навыков самоконтроля, делясь своими мыслями со студентами или предоставляя учащимся возможность поделиться своими мыслями вслух. В рамках фазы «оглядывания назад» в процессе решения задач учащиеся «должны быть честно убеждены в правильности каждого шага» (Поля, 1945, с. 13). Студенты также должны понимать важность размышлений над своим процессом, когда они думают, что решили проблему. «Хорошие решатели проблем осознают, что они знают и чего не знают» и «понимают, что процесс решения проблемы не завершен до тех пор, пока они не оглянутся на свое решение и не пересмотрят свой процесс» (NCTM, 2000, с.261). Самоконтроль также помогает учащимся понять, когда подход не работает, и перейти к более подходящей стратегии.

Это исследование показало, что концептуальные ошибки, вероятно, были причиной примерно 40% неправильных выборов в 2007 и 2008 годах при оценке шестиклассников SOL Вирджинии. Концептуальные ошибки растянулись на все нити и уровни прохода; поэтому соответствующие инструкции, необходимые для устранения этих ошибок, будут сильно различаться в зависимости от математической цепочки.Учителям важно понимать, какие концепции вызывают трудности у их учеников, а также то, как плохое понимание понятий влияет на успеваемость их учеников. Как только учитель узнает о возможных неправильных представлениях, он / она может разработать инструкцию, чтобы «намеренно диагностировать и различать известные неправильные представления» (Nesher, 1987, стр. 36).
В течение учебного года учащиеся получают тесты с несколькими вариантами ответов, чтобы проверить свое понимание концепций. Учителя могут работать вместе как команда, чтобы провести мозговой штурм возможных объяснений того, почему их ученики выбрали бы те или иные неправильные ответы.Этот анализ поможет им выявить возможные заблуждения и ошибки учащихся, чтобы нацелить обучение на конкретные потребности учащихся сверх того, что возможно, если в анализе будет рассматриваться только нить вопроса. Затем учителя могут выбрать или создать соответствующие задания и действия, которые сосредоточены на этих заблуждениях, чтобы учащиеся «осознали для себя, в чем они были неправы» (Нешер, 1987, стр. 35).
Результаты этого исследования также показали, что ошибки в решении задач, вероятно, оказывают серьезное влияние на успеваемость учащихся по экзаменам SOL в шестом классе. Учителя могут не знать, в какой степени ошибки решения задач влияют на результаты оценивания их учащихся. Согласно Стандартам обучения математике для государственных школ Вирджинии, «развитие навыков решения задач должно быть основной целью программы по математике на каждом уровне обучения» (VDOE, 2009, стр. 17). Важно отметить, что подобные ошибки при решении задач заставляют учащихся неправильно отвечать на вопросы в нескольких направлениях. Это означает, что постоянное внимание к решению проблем положительно повлияет на успеваемость по нескольким направлениям оценок SOL для учащихся на всех проходных уровнях.
Я надеюсь, что эта статья поможет учителям понять, в какой степени ошибки решения задач влияют на успеваемость учащихся при ответах на вопросы по всем направлениям. Сосредоточение внимания на решении проблем в течение всего года по всем направлениям, вероятно, положительно повлияет на успеваемость учащихся по всем направлениям. Этот акцент на процессе обычно применим, в то время как инструкции, необходимые для устранения концептуальных ошибок, требуют очень конкретной информации, чтобы реагировать соответствующим образом. Другими словами, если учителя хотят улучшить успеваемость учащихся и не знают, с чего начать, начните с решения проблем.
Я надеюсь, что это обсуждение также поможет учителям подумать о том, как они могут более эффективно использовать результаты заданий с несколькими вариантами ответов, которые они используют со студентами в течение года. Эти элементы постоянно предоставляют информацию о неправильных представлениях/ошибках учащихся и могут быть очень полезными при разработке будущих инструкций, которые фокусируются на конкретных концепциях или общих аспектах процесса решения проблем, если мы посмотрим достаточно глубоко.

Килпатрик, Дж., Сваффорд, Дж., и Финделл, Б. (ред.). (2001). Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Национальной академии.

Клоостерман, П., и Лестер, Ф.К., младший (ред.). (2007). Результаты и интерпретации математической оценки 2003 года Национальной оценки прогресса в области образования . Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

миль, М.Б. и Хуберман А.М. (1994). Анализ качественных данных (2 -е изд. ). Таузенд-Оукс, Калифорния: публикации SAGE.

Национальный центр статистики образования. (2011, 19 июня). Математические способности. Получено с http://nces.ed.gov/nationsreportcard/mathematics/abilities.asp

.

Национальный совет учителей математики. (2000). Принципы и стандарты школьной математики . Рестон, Вирджиния: Автор.

Национальный исследовательский совет.(1999). Тестирование, преподавание и обучение . Вашингтон, округ Колумбия: Автор.

Нешер, П. (1987). На пути к теории обучения: роль студенческих заблуждений. Для изучения математики , 7 (3), 33-40.

Паттон, М.К. (1990). Качественная оценка и методы исследования (2 -е изд. ). Ньюбери-Парк, Калифорния: публикации SAGE.

Поля, Г. (1945; 2 -е издание , 1985). Как это решить. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.

Департамент образования Вирджинии. (2009). Стандарты обучения математике для государственных школ Вирджинии . Получено с http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/review.shtml

Доктор Вирджиния Льюис
Доцент
Университет Лонгвуда
[email protected]

 


 

Математика 6 класс | Обучение аквариуму

Что такое математика в 6 классе?

В шестом классе учащиеся изучают ключевые понятия по мере продвижения к алгебре средней школы.Отношения и пропорции появляются как новая область изучения, где учащиеся исследуют и рассуждают с соотношениями и пропорциями для решения проблем. Шестиклассники также впервые исследуют отрицательные числа и завершат изучение рациональной системы счисления, прежде чем работать со всеми рациональными числами в седьмом классе. Работа с числовыми выражениями распространяется и на алгебраические выражения, что настраивает учащихся на решение одношаговых уравнений и неравенств. Студенты также продолжат изучение площади и объема геометрических фигур и узнают, как можно использовать статистику для лучшего понимания данных о нашем мире.

Как мы заказывали блоки?

Ученики шестого класса начинают учебный год с раздела по пропорциям. В модуле  1, Понимание и представление соотношений  , учащиеся имеют возможность изучить совершенно новую для них концепцию, опираясь при этом на навыки рассуждения относительно мультипликативных сравнений, полученные в предыдущих классах. Студенты изучают как конкретные, так и абстрактные представления, в том числе двойные числовые строки и таблицы, которые они смогут использовать в течение года.

В Разделе 2, Единицы измерения и проценты , студенты продолжают изучение отношений, расширяя концепцию до ставок и процентов. Учащиеся используют представления, которые они изучили в Разделе 1, для решения более сложных задач на соотношение, скорость и проценты. Позже в Разделе 6 учащиеся вернутся к решению задач на проценты, когда будут изучать решение уравнений.

В заданиях , Раздел 3, Вычисление многозначных и дробных чисел и , Блок 4, Рациональные числа , учащиеся сосредотачиваются на системе счисления, бегло оттачивая навыки, которые они развили в предыдущих классах, применяя понимание к новым вычислениям с дробями. , и расширить свое понимание мира чисел, включив в него отрицательные значения.Включение этих разделов в этот момент в году дает возможность исправить любые связанные навыки и концепции предыдущего уровня на раннем этапе, а также дает время для развития и интеграции этих навыков в будущие блоки.

Блок 5, Численные и алгебраические выражения и Блок 6, Уравнения и неравенства , подготовят учащихся к будущей работе с более сложными уравнениями в седьмом и восьмом классах. Учащиеся опираются на свою работу с системой счисления из Модуля 3, чтобы поддержать свою работу с числовыми выражениями и решением уравнений.В Разделе 6 учащиеся возвращаются к концепциям отношений из первых двух разделов, представляя отношения в координатной плоскости и с помощью уравнений. Учащиеся также применяют свои навыки работы с уравнениями в задачах на проценты в качестве еще одного метода решения задач.

В Разделе 7, Геометрия учащиеся узнают, как составление и разложение незнакомых фигур на знакомые может расширить их возможности нахождения площади и объема. Учащиеся опираются на знания и навыки, полученные в основной работе класса, пройденной в предыдущих единицах года, чтобы определять размеры, понимать формулы и представлять двумерные фигуры в координатной плоскости.В Раздел 8, Статистика , последний блок года, студенты знакомятся с изучением статистики. Они узнают, как представлять наборы данных и как можно использовать различные измерения набора данных для анализа информации и ответа на статистический вопрос. Изучая числа в статистическом контексте, учащиеся могут расширить и укрепить свое понимание системы счисления.

Обратите внимание, что этот курс следует основам учебной программы штата Массачусетс 2017 года, которые включают Общие базовые стандарты по математике.

Ваш шестиклассник и математика в соответствии с Common Core Standards

В этом году ваш ребенок узнает много нового об отношениях между числами. Математика шестого класса изучает отношения и пропорции, отрицательные и положительные числа, эквивалентные уравнения и способы изображения трехмерных фигур в двух измерениях. Все это и X отмечают место для предварительной алгебры.

Вот 8 математических навыков, которые шестиклассник должен освоить к концу года:

  • Использование соотношений для представления взаимосвязей между различными количествами, размерами и значениями.
  • Решение текстовых задач с соотношениями путем их нанесения на диаграммы, графики и таблицы.
  • Расчет процентов.
  • Деление дробей на дроби.
  • Понимание отрицательных чисел и их нанесение на числовые линии.
  • Нахождение X (недостающего значения) в уравнениях как прелюдия к алгебре.
  • Решение реальных математических задач на площадь, площадь поверхности и объем.
  • Изучение основ статистики.

Сколько кофе ты хочешь с сахаром?

Ratios нужны не только для того, чтобы похвастаться тем, что одна кофейня в два раза лучше всех остальных.Соотношения описывают отношения между количествами, размерами и значениями, которые можно измерить и отобразить на графике, в таблице или на диаграмме.

Например: На каждый дюйм роста ребенка она прибавляла 1½ фунта.

Шестиклассники учатся использовать отношения для упрощения отношений.

Например: рецепт кекса требовал 1 стакан сахара на каждые 2 стакана муки, поэтому соотношение сахара и муки 1:2.

Учащиеся также работают со ставками, которые родственны пропорциям. Если на мойку одной машины уходит 10 минут, то это скорость 6 машин в час. Ставки обозначаются косой чертой 6/1, а соотношения — двоеточием 6:1.

Другой способ описания взаимосвязей — это проценты, которые описываются как доля от 100.

Например: Хэнк купил галлон молока и выпил его кварту. В этом случае галлон равен 100 процентам. Кварта — это ¼ галлона, поэтому Хэнк выпил 25 процентов молока.

Разделяй дроби и властвуй

Шестиклассники переходят от умножения дробей к делению дробей.Они узнают, что для деления дроби требуется умножение. Кто это придумал, да?

Вот как это работает. У Инес есть 2 3 чашек замороженного йогурта, но она хочет съесть только 1 чашек. Вопрос в том, сколько порций по полстакана содержится в чашке 2 или что такое 2 3 ÷ 1 2 ? Разделить фракции, вы переворачиваете делитель (вторую фракцию) и умножение: 2 / 3 x 2

/ 1 = 3 / 3 = 1 1 = 1 3 порции. Взбодритесь и пойдем дальше.

Десятичные числа, множители и отрицательные числа

Шестиклассник должен уверенно складывать, вычитать, умножать и делить многозначные десятичные числа, например 43,57 + 0,75 и 238,437 ÷ 35,14.

Дети учатся использовать распределительное свойство для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, которые меньше или равны 100, и наименьших общих кратных двух целых чисел, меньших или равных 12.

Например: Используя свойство распределения, 88 + 96 записывается как 8 x (11+12). Почему? Потому что наибольший общий делитель чисел 88 и 96 равен 8. 8 x 11 = 88 и 8 x 12 = 96. (И каждая разбивка дает 184.)

Шестиклассники работают как с положительными, так и с отрицательными числами. Они узнают, что 3 и -3 являются противоположностями и что на числовой прямой -3 находится на таком же расстоянии слева от 0, как 3 справа от 0.

Числовая прямая также показывает, что отрицательные числа имеют относительное значение. для другого.Например, -2 больше, чем -4. Подумайте о термометре. Температура -2 градуса чуть-чуть теплее, чем температура -4 градуса.

Выразите себя с помощью предварительной алгебры

Шестой класс — это год, когда ученики действительно начинают изучать алгебру . Они учатся читать, писать и оценивать алгебраических выражений и уравнений, в которых буква (также называемая переменной) заменяет неизвестное число. Например, они найдут значение X в уравнении X – 32 = 14.

Они будут работать с неизвестными, чтобы решать реальные текстовые задачи с одной переменной.

Например: если Стив платит 75 долларов за свитер, который обычно стоит 90 долларов, какова скидка в долларах? (90 – y = 75)

Шестиклассники учатся использовать различные математические правила для составления уравнений , которые написаны по-разному, но эквивалентны .

Например: 9x – 3x – 4 эквивалентно 5x + x – 4. Ответ на оба вопроса будет одинаковым независимо от того, какое число вставлено вместо x.

Ваш шестиклассник также узнает разницу между зависимой переменной и независимой переменной . Независимые переменные не изменяются другими факторами. В школе с 20 классными комнатами по-прежнему будет 20 классных комнат, независимо от того, приходят ли новые ученики или уходят нынешние ученики. Но бюджет на содержание 20 учителей в этих классах будет меняться в зависимости от таких факторов, как заработная плата, льготы и рост стоимости жизни.

Игра с блоками

Помните, когда у вас закончились прямоугольные блоки при строительстве замка, вы собрали два треугольника вместе и надеялись, что один из них не соскользнет и не разрушит конструкцию? Геометрия в шестом классе немного похожа на эту.

В противоположных процессах, известных как составление и разложение , учащиеся соединяют фигуры и разделяют их, чтобы упростить нахождение площади и объема. Они применяют это для решения реальных математических задач.

Например: Рэй хочет посадить сад на Г-образном участке, и ему нужно знать площадь, чтобы купить нужное количество мульчи. Он использует разложение, чтобы разделить странную фигуру на прямоугольник и квадрат. Теперь он может найти площадь каждой правильной фигуры и сложить их вместе, чтобы найти общую площадь.(8 х 8) + (10 х 24) = 304 квадратных фута.

Шестиклассники учатся находить объем трехмерных фигур с некоторой длиной в дробях путем заполнения их единичными кубами. Они также учатся применять формулы объем = длина x ширина x высота (V = lwh) или объем = основание x высота (v = bh), в зависимости от формы объекта.

Ваш ребенок также научится находить площадь поверхности трехмерных фигур, создавая двухмерные фигуры, называемые «сетками», которые показывают сплющенную форму до того, как она будет сложена в коробку или другую форму.

Например:

Это сетка … … Из этого


Три из четырех математических преподавателей разжевывают эти стандарты

человек, тэкси весело при статистика , особенно когда они просто глупо. Шестиклассники узнают, как должны собираться и анализироваться статистические данные, и что они основаны на изменчивости . Например, вопрос о том, как далеко одна девушка из команды по софтболу может бросить мяч, — это не статистический вопрос.Но вопрос о том, как далеко девочки в команде могут бросить мяч, является статистическим, потому что от девушки к девушке вариативность.

Ваш ребенок будет собирать данные и отображать результаты на числовых линиях. Он сможет объяснить, что было измерено, как это было измерено, использованная единица измерения, медиана, среднее значение, изменчивость, общая закономерность в данных и значительные отклонения от закономерности.

Не отставайте от возрастающих математических навыков вашего ребенка, думая о соотношениях, коэффициентах и ​​других соотношениях чисел в повседневной жизни, например, сколько раз вы просите его вынести мусор, прежде чем он это сделает, или разделив последнюю половину- чашка мороженого на четверти. Трое из пяти родителей будут рады, что сделали это.

Послушайте, что говорит отмеченный наградами учитель средней школы — это главное, что должны знать шестиклассники, перейдя в седьмой класс.

Поделиться на Pinterest

Обновлено: 2 декабря 2019 г.

6 класс | Математика | Iowa Core

В 6-м классе учебное время должно быть сосредоточено на четырех важнейших областях: (1) подключение соотношения и скорости к целочисленному умножению и делению и использование понятий соотношения и скорости для решения задач; (2) завершение понимания деления дробей и расширение понятия числа на систему рациональных чисел, включающую отрицательные числа; (3) написание, интерпретация и использование выражений и уравнений; и (4) развитие понимания статистического мышления.

  1. Учащиеся используют рассуждения об умножении и делении для решения задач на отношения и оценки величин. Рассматривая эквивалентные отношения и коэффициенты как производные от пар строк (или столбцов) в таблице умножения и расширяя их, а также анализируя простые рисунки, показывающие относительный размер величин, учащиеся связывают свое понимание умножения и деления с отношениями и коэффициентами. . Таким образом, учащиеся расширяют круг задач, для решения которых они могут использовать умножение и деление, а также связывают соотношения и дроби.Студенты решают широкий спектр задач, связанных с отношениями и коэффициентами.
     
  2. Учащиеся используют значения дробей, значения умножения и деления, а также взаимосвязь между умножением и делением, чтобы понять и объяснить, почему процедуры деления дробей имеют смысл. Учащиеся используют эти операции для решения задач. Учащиеся расширяют свое прежнее понимание числа и порядка чисел на полную систему рациональных чисел, которая включает в себя отрицательные рациональные числа и, в частности, отрицательные целые числа.Они рассуждают о порядке и абсолютном значении рациональных чисел и о расположении точек во всех четырех квадрантах координатной плоскости.
     
  3. Учащиеся понимают использование переменных в математических выражениях. Они пишут выражения и уравнения, соответствующие заданным ситуациям, оценивают выражения и используют выражения и формулы для решения задач. Учащиеся понимают, что выражения в разных формах могут быть эквивалентны, и они используют свойства операций для перезаписи выражений в эквивалентных формах.Учащиеся знают, что решениями уравнения являются значения переменных, которые делают уравнение верным. Учащиеся используют свойства операций и идею сохранения равенства обеих частей уравнения для решения простых одношаговых уравнений. Учащиеся составляют и анализируют таблицы, например, таблицы величин, находящихся в эквивалентных соотношениях, и используют уравнения (например, 3 90 216 x 90 217 = 90 216 y 90 217 ) для описания взаимосвязей между величинами.
     
  4. Опираясь на свое понимание чисел и укрепляя его, учащиеся начинают развивать свои способности к статистическому мышлению.Учащиеся понимают, что распределение данных может не иметь определенного центра и что разные способы измерения центра дают разные значения. Медиана измеряет центр в том смысле, что это примерно среднее значение. Средние показатели центрируются в том смысле, что это значение, которое приняла бы каждая точка данных, если бы сумма значений данных была перераспределена поровну, а также в том смысле, что это точка баланса. Учащиеся признают, что показатель изменчивости (межквартильный размах или среднее абсолютное отклонение) также может быть полезен для обобщения данных, поскольку два очень разных набора данных могут иметь одно и то же среднее значение и медиану, но различаться по своей изменчивости.Учащиеся учатся описывать и обобщать наборы числовых данных, выявляя кластеры, пики, пробелы и симметрию с учетом контекста, в котором данные были собраны.

    Учащиеся 6-го класса также продолжают свою работу с площадями в начальной школе, рассуждая о взаимосвязях между формами для определения площади, площади поверхности и объема. Они находят площади прямоугольных треугольников, других треугольников и специальных четырехугольников, разлагая эти фигуры, переставляя или удаляя части и связывая фигуры с прямоугольниками.Используя эти методы, учащиеся обсуждают, разрабатывают и обосновывают формулы площадей треугольников и параллелограммов. Учащиеся находят площади многоугольников и поверхности призм и пирамид, разлагая их на части, площадь которых они могут определить.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.