Содержание

Урок 12. медианы треугольника. биссектрисы треугольника. высоты треугольника - Геометрия - 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 12

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятие медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
  • Построение медианы, высоты, биссектрисы.
  • Точки пересечения медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.
  • Создание представления о замечательных точках в треугольнике.

Тезаурус:

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла.

Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника.

Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC.

AA1, BB1, CC1 биссектрисы ∆АВС

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Введём понятие медианы треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

BM – медиана треугольника ABC.

AA1, BB1, CC1– медианы ∆АВС.

В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

Введём понятие высоты треугольника.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

AH – высота треугольника ABC.

AH1, BH2, CH3– высоты ∆АВС.

В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE.

Докажем, что треугольники ABD и CED равны.

Дано:

АD – медиана ∆ABC.

AD = DE.

Доказать:

∆ABD = ∆CED.

Доказательство:

По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC.

∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов).

Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

Что и требовалось доказать.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.

Решение:

1.Нарисуем рисунок по условию задачи.

2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC.

∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25°

∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40°

3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°.

4.25° + 40° + ∠AOB = 180°.

5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°.

Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°.

Задача 2.

В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.

Решение:

1.По условию ∠СОD = 90°.

Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°.

2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ.

3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°.

4. 40° + 2∠МОВ = 90°.

∠МОВ = (90° – 40°):2 = 25°.

Ответ: ∠МОВ = 25°.

Урок геометрии для 7 класса на тему "Медиана, биссектриса и высота треугольника"

Шангина Ирина Евгеньевна, учитель математики ОУ СОШ № 11 г.Октябрьска Самарской области

Урок геометрии в 7 классе

Тема: Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Цель: ввести новые понятия высоты, медианы и биссектрисы треугольника, показать их применение при решении задач.

Задачи:

  • Ввести новые понятия высоты, медианы и биссектрисы треугольника.

  • Способствовать формированию устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.

  • Развивать логическое мышление учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная, работа в парах.

Оборудование и наглядность урока: магнитофон, кассета с записью музыки для проведения музыкальной паузы, рисунок 1, модели треугольников, изготовленные из плотного цветного картона, с закреплёнными в вершинах цветными тесёмками (для каждого ученика и учителя), чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот, которые пересекаются в вершине прямого угла, весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса – крыса, медиана – обезьяна, высота похожа на кота, портреты Л. Эйлера и Архимеда, на каждой парте 3 треугольника из цветного картона с изображением на них высот, медиан, биссектрис (аппликация).

Ход урока

  1. Организационный момент.

  2. Сообщение темы урока и постановка задач урока.

Рисунок 1

  • А что называется треугольником? (Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и соединённых попарно отрезками).

  • Сколько у него элементов? (6)

  • Назовите элементы треугольника. (Три стороны и три угла).

  • Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? {Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто – Рико и полуостровом Флорида}.

  • А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Зовётся он треугольник,
И с ним хлопот не оберётся школьник!

Преодолеть хлопоты – трудности, связанные с новыми понятиями – медиана, биссектриса и высота треугольника – нам сегодня помогут три мои ассистентки (ученицы этого класса, подготовленные учителем заранее).

III. Объяснение нового материала.

1. Медиана.

  • Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны ВС – точку М. Рис.2

  • Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ = МС.

Рисунок 2

Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

  • Сколько вершин у треугольника? (3).

  • Сколько у него сторон?

    (3).

  • Сколько медиан можно провести в треугольнике?(3).

  • “Проведите” три медианы на моделях треугольников. (Ассистентки контролируют правильность выполнения задания, помогают в случае необходимости).

  • Какое свойство медиан вы заметили? (В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке).

  • Эта точка называется центром тяжести треугольника.

  • Решим номер 114 из учебника (стр. 37) у доски.

№114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны. Рис. 3.

Дано:

АВС, А1В1С1,
АС=А1С1,
АМ=МС,
А1М11С1.

Доказать:

ВМ=В1М1.

Рисунок 3

Доказательство:

АВ = А1В1,

1.  АВС =  А1В1С1 А = А1,

АС = А1С1.

2. АС = А1С1,

АМ = МС,  АМ = А

1.

А1М1 = М1С1

3. А = А1,

АВ = А1В1,  АВМ = А1В1М1 ВМ = В1М1, ч.т.д.

АМ = А1М1

2. Высота.

Запись на доске: ВН  АС, Н  АС. Рис. 4.

Рисунок 4

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

  • Сколько высот имеет треугольник? (3).

  • “Постройте” все три высоты на модели вашего треугольника. (Ассистенты проверяют).

  • Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

  • У некоторых из вас модели прямоугольных треугольников. Где пересеклись их высоты? (В вершине прямого угла).

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске). Рис. 5.

Рисунок 5

.103. Начертите треугольник АВС, у которого угол В – тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.

Решение.

ВН1 АС, АН2 ВС, СН3 АВ. Рис. 6.

Рисунок 6

Конечно, геометрия – наука серьёзная, и учить её надо серьёзно и вдумчиво. Но и забавные стихи и весёлые “геометрические” зверята помогают учению.

Для музыкальной паузы девочки выбрали различные образы, которые помогут нам в запоминании новых понятий – медиана, биссектриса и высота

Первая ассистентка.

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом. Рис. 7.

Рисунок 7

(Стихи иллюстрируются весёлым рисунком).

Вторая ассистентка.

Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины,
Где находится сейчас. Рис. 8.

Рисунок 8

Третья ассистентка.

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам. Рис. 9.

Рисунок 9

3. Биссектриса.

Определение. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Запись на доске: АВК = СВК, К АС. Рис. 10.

Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

Рисунок 10

  • Сформулируйте свойство биссектрис треугольника. (В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке).

  • Решим задачу по готовому чертежу. Рис. 11.

Дано:

АВK,
АС – биссектриса угла А.

Доказать:

АВС = АКС.

Рисунок 11

Доказательство:

АС – биссектриса А  ВАС = КАС

АВ = АК (по условию)  АВС = АКС, ч.т.д.

АС – общая сторона

IV. Контроль усвоения учащимися нового материала.

1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.

а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ______________, называется ___________ треугольника.

(Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника).
б) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом _____________.

(Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом единственный).

2. Верны ли следующие утверждения? (В случае “нет” напишите верный ответ).

а) В любом треугольнике можно провести три медианы. (Да).
б) Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника. (Не всегда).
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (Да).

  • Работа в парах. На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом – высоты, на третьем – биссектрисы.

  • Покажите треугольник с изображением высот. (Фиолетовые и красные).

  • Поднимите треугольник, на котором изображены медианы. (Синие, жёлтые и оранжевые).

  • Покажите треугольник с изображением биссектрис. (Зелёные, чёрные).

(Учащиеся поднимают треугольники).

  • Центр тяжести треугольника, его ортоцентр и точка пересечения биссектрис треугольника называются (особыми) замечательными точками треугольника.

Замечательные точки есть у треугольника.
Точка первая – она
Чувством гордости полна:
Медианы в ней пересекаются,
Центром тяжести та точка называется.
Ортоцентр – вторая точка,
Архимед её открыл,
Все высоты в ней встречаются,
Удивив учёный мир.
Третья точка – тоже важная
Биссектрисы всех углов,
Бросив вызов свой отважный,
В ней “сошлись”, не тратя слов.
Эйлер точки все заметил,
Свойства новые открыл, -
Так на радость школьникам
Возникла новая ветвь математики -
Геометрия треугольника.

  • С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (Медиана, биссектриса, высота).

V. Подведение итогов урока.

1. Домашнее задание. Стр. 33 – 34, № 101, 102, 106.

2. Выставление оценок и их комментирование.

Литература.

  1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7 – 8 классы. М., Просвещение, 1985 г.

  2. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии. 7 класс. Альхова З.Н., Саратов, Лицей, 2000 г.

  3. http://www.etudes.ru/ru/forums/topic.php?post=84&

Свойства биссектрис треугольника (Геометрия 7 класс)

Свойство 1

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности.

Свойство 2

Если CD - биссектриса угла C ? ABC, то 

Свойство 3

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении a + bc, считая от вершины: 

Свойство 4

Биссектриса угла C вычисляется по формулам: 

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим свойства серединного перпендикуляра.  Начнем со свойства серединного перпендикуляра к отрезку.

Теорема.

(Свойство серединного перпендикуляра к отрезку).

I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

II) И обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

I)

Дано:

AB- отрезок, C — середина AB,

m — серединный перпендикуляр к AB,

M∈m.

Доказать: AM=BM.

Доказательство:

1. Если точка M совпадает с точкой C.

Так как AC=BC по условию, то и AM=BM.

2. Если точка M не совпадает с точкой C.

Рассмотрим треугольники ACM и BCM

  

то есть треугольники ACM и BCM — прямоугольные.

AC=BC (по условию), CM — общий катет.

Следовательно, ∆ ACM=∆ BCM (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.

Что и требовалось доказать.

II) Дано: AB — отрезок, C — середина AB,

m — серединный перпендикуляр к AB,

AK=BK.

Доказать: K∈m.

Доказательство:

Так как AK=BK (по условию), то треугольник AKB — равнобедренный с основанием AB (по определению). Так как C — середина AB, то KC — медиана треугольника AKB.

По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является также его высотой, то есть

  

Что и требовалось доказать.

Вывод:

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Медианы биссектрисы и высоты треугольника. | План-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему:

Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.

Тема урока: «Медиана, биссектриса и высота треугольника»

Цели.

1) Познакомить с понятиями “медиана, биссектриса и высота треугольника”.

2) Научить распознавать в треугольнике медиану, биссектрису и высоту и применять эти понятия при решении задач.

3) Сформировать умение строить медиану, биссектрису и высоту.

4) Воспитывать у учащихся потребность к обоснованию своих высказываний.

5) Развивать эстетические навыки: красоту, точность и аккуратность построения.

6) Развивать интеллектуальные навыки: сравнение, классификация, анализ.

7) Развивать коммуникативные навыки.

8) Воспитывать диалоговую культуру.

9) Воспитывать любовь к предмету.

Оборудование урока: экран, проектор, ноутбук, презентация, чертежные инструменты, раздаточный материал.

План урока.

  1. Организационный момент.
  2. Геометрический марафон.
  3. Изучение нового материала.
  4. Закрепление полученных знаний.
  5. Итог урока. Задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент

Объявить тему, проверить готовность к уроку, раздать листы контроля, открыть слайд №1.

II. Проверка изученного ранее материала

1. Геометрический марафон.

Задание учащимся: необходимо сопоставить фигуру, появляющуюся на экране, с её названием (слайд № 2) и записать соответствующую букву в клетку листа контроля.

2) Взаимопроверка (слайд №3).

3) На слайде №2 указать термины, которые будут использованы при изучении нового материала: перпендикулярные прямые, отрезок, биссектриса, треугольник, луч, прямой угол, прямая.

Напомнить построение биссектрисы угла.

Вспомнить понятие перпендикуляра (слайд № 4).

Вспомнить, что означает запись:

Учитель дает задание классу (одновременно идет иллюстрация слайда).

В тетрадях построить прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой.

Построить прямую т, проходящую через точку А, и перпендикулярную прямой а.

Построить отрезок АН (та = Н) – перпендикуляр.

Вспомните определение перпендикуляра и ответить на вопрос “Сколько перпендикуляров можно провести из данной точки А к данной прямой а?” 

III. Изучение нового материала

1) Введение понятия биссектрисы треугольника (слайд № 6).

На доске чертежи трёх треугольников в которых проведена биссектриса, медиана и высота. Попросить детей определить на каком из них проведена биссектриса. (С этим заданием дети должны справиться т.к. понятие биссектрисы угла у них уже есть).

Вместе формулировать определение биссектрисы треугольника. Использовать материал из курса 6 класса информатики. Определение понятия. Определение понятия – это перечисление всех существенных признаков объекта в связном предложении.

Уточнить, что луч ВК – это биссектриса угла АВС и точка К лежит на стороне, противолежащей углу В треугольника АВС.

Показать построение биссектрисы угла.

Сказать, что отрезок ВК называют биссектрисой треугольника и попросить учащихся попытаться дать определение биссектрисы треугольника. Затем открыть формулировку на слайде. Задать вопрос: “Сколько биссектрис можно построить в треугольнике?”.

Попросить учащихся выполнить построение биссектрис треугольника в тетрадях.

2) Введение понятия медианы (слайд № 5).

Попросить учащихся показать тот треугольник, где проведена медиана. При затруднении сказать, что medium с английского языка значит  - средний.

Уточнить, чем является в треугольнике АВС точки М и В.

Сказать, что отрезок ВМ называют медианой и попросить учащихся попытаться дать определение этому отрезку. Затем открыть формулировку на слайде.

Задать вопрос: “Сколько медиан можно построить в треугольнике?”.

Попросить одного из учащихся прокомментировать построение медианы.

Всем учащимся выполнить построение медиан в тетради. 

Мнемоническое правило

Медиана — обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

4) Введение понятия высоты треугольника (слайд №7).

а) Учитель показывает построение перпендикуляра из вершины. В на прямую, содержащую сторону АС; говорит, что отрезок ВК называют высотой треугольника АВС и просит учащихся попытаться дать определение высоты треугольника.

Затем открывает формулировку на слайде.

Задает вопрос: “Сколько высот можно построить в треугольнике?”.

Учащиеся выполняют построение высот в тетради.

б) Дать задание построить высоты в тупоугольном треугольнике в тетрадях. Здесь возникает проблемная ситуация: как провести высоту из вершины острого угла треугольника.

Показать построение (слайд №8).

в) Дать задание построить высоты в прямоугольном треугольнике.

- Как провести высоты из вершин острых углов треугольника (слайд №9).

Мнемоническое правило

Высота

Похожа на кота,

Который, выгнув спину,

И под прямым углом

Соединит вершину

И сторону хвостом.

5) Рефлексия определений (понятий).

а) Назвать элемент и дать его определение (слайд №10, №11).

IV. Закрепление полученных знаний. (Решение задач)

V. Итог урока. Д/З106,110, 114.

Проверочная работа.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Фамилия _________________________________________________7 класс ___

1. Выпишите названия указанных элементов.

2. В треугольнике АСK проведена медиана СМ. Найдите периметр треугольника СМK, если СK = 15 см, АK = 20 см, СМ = 12 см.

а)

AA1 — _________

CC1 —_________

б)

MM1 — _________

KK1 — __________

в)

РР1 — __________

ОО1 — _________

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Фамилия _________________________________________________7 класс ___

1. Выпишите названия указанных элементов.

2. В треугольнике АСK проведена медиана СМ. Найдите периметр треугольника СМK, если СK = 20 см, АK = 24 см, СМ = 15 см.

а)

FE — ___________

KP — ___________

б)

MN — ___________

AD — ___________

в)

BO — ___________

CE — ___________

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Фамилия _________________________________________________7 класс ___

1. Выпишите названия указанных элементов.

2. В треугольнике ОВМ проведена биссектриса ВЕ. Найдите ∠ ОЕВ, если ∠ ВОЕ = 70°, а ∠ ОВМ = 80°.

а)

ВВ1 — ___________

CC1 — ___________

б)

PP1 — ___________

DD1 — __________

в)

MM1 —  _________

EE1 — ___________

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Фамилия _________________________________________________7 класс ___

1. Выпишите названия указанных элементов.

2. В треугольнике АСK проведена медиана СМ. Найдите периметр треугольника СМK, если СK = 20 см, АK = 24 см, СМ = 15 см.

а)

FE — ___________

KP — ___________

б)

MN — ___________

AD — ___________

в)

BO — ___________

CE — ___________

Биссектрисы треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Биссектрисы треугольника

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 133, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 154, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 214, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 230, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 346, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 535, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 626*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 691, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Медианы,биссектрисы и высоты треугольника(презентация по геометрии,7 класс)

Просмотр содержимого документа
«Медианы,биссектрисы и высоты треугольника(презентация по геометрии,7 класс)»

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Найдите равные треугольники

70 

80 

6

4

4

6

4

6

80 

70 

80 

4

4

6

6

Ответ : Красный и синий

Медиана треугольника

.

А

.

М

АМ – медиана треугольника

Определение :

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника .

Биссектриса треугольника

.

А

.

К

АК – биссектриса треугольника

Определение :

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника .

Высота треугольника

.

А

.

Н

АН – высота треугольника

Определение :

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника .

Высота треугольника

С

А

С

В

А

В

А – тупой С - прямой

Сколько треугольников изображено на рисунке? Проведите общую для всех этих треугольников высоту. Для какого из треугольников высота расположена вне его?

В

А

С

D

 ADB

1. Докажите, что  АВD =  СВD , если ВD – медиана треугольника АВС и  1 =  2.

В

2

1

С

А

D

2. Докажите, что  АВD =  СВD , если ВD – биссектриса треугольника АВС и АВ = СВ .

В

С

А

D

Треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

1. Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

2. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Отрезок, соединяющий
вершину треугольника с
серединой противоположной
стороны, называется медианой
Отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий
вершину треугольника с точкой
противоположной стороны,
называется биссектрисой
треугольника
А
А
Перпендикуляр,
проведенный из
вершины треугольника к
прямой, содержащей
противоположную
сторону, называется
перпендикуляром
А
М
АМ – медиана
А1
АА1 – биссектриса
Н
АН - высота

3. Средняя линия треугольника

В
Средней линией треугольника
называется отрезок, соединяющий
середины двух его сторон.
КМ – средняя линия
К
Средняя линия треугольника параллельна
одной из его сторон и равна половине этой
стороны
М
КМ АВ
А
С
1
КМ АВ
2

4. Cерединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку называется
прямая, проходящая через середину данного отрезка и
перпендикулярна к нему
а
А
а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему
m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ,
О – середина отрезка АВ
МЄm
АМ = ВМ
m
М
А
В
О
В

5. Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке
m AB,
В
n BC ,
n
m
p AC
m, n, p пересекаются в точке О
O
С
А
p

6. Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
СК – биссектриса
С
АМ – биссектриса
ВР – биссектриса
О – точка пересечения биссектрис
М
Р
А
О
К
В

7. Точка пересечения высот треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
ВК АС
В
СР АВ
АМ ВС
Р
О – точка пересечения высот
О
А
К
М
С

8. Точка пересечения медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины
С
Р
А
О
К
ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС
О – точка пересечения медиан
СО : КО = 2 : 1
АО : МО = 2 :1
ВО : РО = 2 : 1
М
В
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется
равнобедренным, если две его
стороны равны
Равносторонний треугольник
Треугольник, все стороны
которого равны, называется
равносторонним
В
А
В
С
АВ = ВС
А
С
АВ = АС = ВС

10. Свойства равнобедренного треугольника

С
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны

В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию,
является медианой и высотой
А
К
АС = ВС
В
СК - биссектриса
АК = КВ, СК АВ
1. Высота равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является
медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является
высотой и биссектрисой.

11. Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов
прямой, называется прямоугольным
В
АВ и АС – катеты
ВС - гипотенуза
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
А
С
ВС² = АВ² + АС²

12. Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90°
В
Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы
30°
С
А

Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30°

CB = 1 AB
2
Если CB =
1
2
AB, то

13. Признаки равенства треугольников

I признак
По двум сторонам и
углу между ними
В
А
II признак
По стороне и
прилежащим к ней
углам
B
P
М
С
К
N
Если
AB = KM,
AC = KN,
то ∆ABC = ∆KMN
А
C
К
Если
AB = KP, BC = PK,
то ∆ABC = ∆KPN
III признак
По трем сторонам
B
N
А
M
C
K
Если АВ = КМ,
АС = KN, BC = MN,
то ∆АВС = ∆KNM
N

14. Признаки равенства прямоугольных треугольников

В
М
А
С
К
N
По двум катетам
По катету и прилежащему
острому углу
Если АВ = КМ, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
Если AB = KM,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и острому
углу
Если ВС = MN,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и катету
Если ВС = МN, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN

15. Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
В
АВ
АС
ВС
А
С

16. Сумма углов треугольника равна 180°

A

Угол, смежный с каким-нибудь углом
треугольника, называется внешним

C
B
О
16

17. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним



(

2
1
3
4
17

18. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
2. Если два треугольника равны, то треугольник равнобедренный

19. Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько
равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые,
пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой
равные между собой отрезки
А1 А2 = А2А3 = А3 А4
А1
В1
А2
В2
А3
В3
А4
а
В4
b
Проведем параллельные прямые
В 1В 2 = В 2В 3 = В 3В 4

20. Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого
В1
В
С
А

k – коэффициент подобия
∆АВС ∞ ∆ A1 B1 C1
А1
С1
АВ
ВС
СА
k
А1В1 В1С1 С1 А1

21. Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то
такие треугольники подобны
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны
Р
Если
Если

=


АВ
= АС
АВ
АС
ВС
∆АВС


КР
КМ
то ∆АВС
∞ ∆КРМРМ
В
∆АВС ∞ ∆КРМ
А
С
К
М

22. Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
В
BC
sin A
AB
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
cos A
С
А
AC
AB
Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
tgA
BC
AC

23. Основное тригонометрическое тождество

sin² x + cos² x = 1
Теорема о площади треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними
1
S ab sin C
2
a
C
b

24. Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
C
а
B
b
c
A
a
b
c
sin A sin B sin C

25. Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
C
а
b
B
A
c
с a b 2ab cos C
2
2
2

26. № 9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ

дайте в градусах.
Решение:



Ответ: 66°
В
123°
А
С

27. №9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:




Ответ: 74°
С
D
А
В

28. №9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в

градусах.
Решение:
В
А
С

Пусть

х + 2х = 90°
х = 30°
Ответ: 30°

29. № 24 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника

Решение:
А
1
1
1
2
2
СК АВ
АС ВС
36 64 5
2
2
2
К
С
Ответ: 5
В

30. № 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А.

Решение:
С
28
I способ:
Внешний угол треугольника равен
сумме двух углов треугольника, не
смежных с ним. Следовательно


Ответ: 40°
68
А
В
II способ:

Сумма углов треугольника равна 180°.
Следовательно


Ответ: 40°

31. № 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.

Решение:
Достроим треугольники АВС и ВАD.
D
В
∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу
между ними)
AO = OB, DO = OC по условию,

следовательно
О
DB = AC
∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и
углу между ними)
А
С
AO = OB, DO = OC по условию,

следовательно
АD = ВC
Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом
∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.

32. №25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.

Так как М и N середины сторон АВ и
ВС, то MN – средняя линия ∆АВС
Решение:
С
следовательно
MN || АС.
Так как MN || АС,
то
соответственные),

N
следовательно
∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)
Что и требовалось доказать
А
М
В

33. № 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.

Решение:
M
P
L
K
∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(
∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам
(
∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам
(углы при вершине P прямые,
Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то
MP LP
LP 2 KP MP
LP KP
Что и требовалось доказать.

Теорема треугольника и биссектрисы

An биссектриса угла угла треугольника делит противоположную сторону на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

По теореме о биссектрисе угла

B D D C знак равно А B А C

Доказательство:

Рисовать B E ↔ ∥ А D ↔ .

Продлевать C А ¯ встречаться B E ↔ в точке E .

По теореме о боковом разветвлении

C D D B знак равно C А А E --------- ( 1 )

Углы ∠ 4 а также ∠ 1 - соответствующие углы.

Так, ∠ 4 ≅ ∠ 1 .

С А D ¯ биссектриса угла ∠ C А B , ∠ 1 ≅ ∠ 2 .

Посредством Теорема об альтернативном внутреннем угле , ∠ 2 ≅ ∠ 3 .

Следовательно, по транзитивному свойству ∠ 4 ≅ ∠ 3 .

Поскольку углы ∠ 3 а также ∠ 4 находятся конгруэнтный , треугольник Δ А B E является равнобедренный треугольник с участием А E знак равно А B .

Замена AE к AB в уравнении ( 1 ),

C D D B знак равно C А А B

Пример:

Найдите значение Икс .

По теореме треугольник-угол-биссектриса,

А B B C знак равно А D D C .

Заменять.

5 12 знак равно 3.5 Икс

Крест умножить.

5 Икс знак равно 42

Разделите обе стороны на 5 .

5 Икс 5 знак равно 42 5 Икс знак равно 8,4

Значение Икс является 8,4 .

Перпендикулярные биссектрисы - определение, построение, свойства

Серединный перпендикуляр - это прямые, которые делят данный отрезок ровно на две половины, образующие 90 градусов в точке пересечения.Перпендикулярные биссектрисы проходят через середину отрезка прямой. Их можно построить с помощью линейки и циркуля. Они составляют 90 ° с обеих сторон отрезка линии, который делится пополам.

Определение биссектрисы перпендикуляра

Серединный перпендикуляр - это линия или отрезок, который делит данный отрезок на две части равного размера. Термин «пополам» используется для описания равного деления. Перпендикулярные биссектрисы пересекают отрезок прямой, который они делят пополам, и составляют четыре угла по 90 ° каждый с обеих сторон.Перпендикуляр - это линия или отрезок, составляющий угол 90 ° с другим отрезком или отрезком. На рисунке ниже серединный перпендикуляр делит отрезок AB пополам на две равные половины.

Конструкция перпендикулярно-биссектрисы

Серединные перпендикулярные линии на отрезке прямой можно легко построить с помощью линейки и циркуля. Построенный срединный перпендикуляр делит данный отрезок на две равные части точно в его средней точке и образует два конгруэнтных отрезка.Выполните следующие действия, чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку прямой.

Шаг 1: Нарисуйте отрезок XY любой подходящей длины.
Шаг 2: Возьмите циркуль и с центром X в центре и шириной более половины отрезка XY нарисуйте дуги над и под отрезком линии.
Шаг 3: Повторите тот же шаг с Y в центре.
Шаг 4: Обозначьте точки пересечения буквами «P» и «Q».
Шаг 5: Соедините точки «P» и «Q». Точка, в которой средний перпендикуляр пересекает отрезок XY, является его средней точкой.Обозначьте это как «О».

Серединный перпендикуляр к треугольнику

Перпендикулярные биссектрисы треугольника - это прямые или отрезки, которые делят стороны треугольника пополам и перпендикулярны сторонам. Необязательно, чтобы они проходили через вершину треугольника, но проходили через середину сторон. Серединные перпендикуляры сторон треугольника перпендикулярны в середине сторон треугольника.Точка, в которой пересекаются все три срединных перпендикуляра, называется центром описанной окружности треугольника. У треугольника может быть три серединных перпендикуляра (по одной с каждой стороны). Шаги построения серединного перпендикуляра треугольника показаны ниже.

  • Нарисуйте треугольник и обозначьте вершины как A, B и C.
  • С центром B и радиусом более половины BC нарисуйте дуги выше и ниже отрезка BC. Повторите тот же процесс без изменения радиуса с центром C.
  • Обозначьте точки пересечения дуг как X и Y соответственно и соедините их. Это серединный перпендикуляр к одной стороне треугольника BC.
  • Повторите тот же процесс для сторон AB и AC. Все три серединных перпендикуляра образуют угол 90 ° в середине каждой стороны.

Серединный перпендикуляр равностороннего треугольника после построения показан ниже. XY, HG и PQ - серединные перпендикуляры сторон BC, AC и AB соответственно.

Свойства перпендикулярной биссектрисы

Серединный перпендикуляр может делить пополам отрезок прямой, прямую или стороны треугольника. Ниже перечислены важные свойства серединного перпендикуляра.

Серединный перпендикуляр,

  • Делит линейный сегмент или прямую на два конгруэнтных сегмента.
  • Делит стороны треугольника на равные части.
  • Они составляют угол 90 ° с линией, которую делят пополам.
  • Они пересекают отрезок прямой точно в его средней точке.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике называется его центром описанной окружности.
  • В остром треугольнике они встречаются внутри треугольника, в тупом треугольнике они встречаются вне треугольника, а в прямоугольных они встречаются в гипотенузе.
  • Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от обоих концов отрезка, который они делят пополам.
  • Может быть только один для данного сегмента линии.

Темы, связанные с перпендикулярными биссектрисами

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с серединными перпендикулярами.

Часто задаваемые вопросы о биссектрисе, перпендикулярной

Что такое серединный перпендикуляр?

Перпендикулярные биссектрисы - это отрезки прямой, которые делят пополам отрезок прямой на два равных или равных отрезка. Они делят отрезок прямой точно по его середине.Серединный перпендикуляр составляет 90 ° с отрезком, который они делят пополам.

Как построить перпендикулярные биссектрисы с помощью прямого края и циркуля?

Серединные перпендикуляры строятся с помощью линейки и циркуля с использованием следующих шагов:

  • Нарисуйте отрезок AB любой длины с помощью прямого края или линейки.
  • С помощью циркуля с центром A и радиусом более половины AB нарисуйте дуги выше и ниже отрезка AB.
  • Повторите вышеуказанный шаг с буквой B в центре.
  • Отметьте точки пересечения как P и Q.
  • Соедините точки P и Q прямой кромкой.
  • Прямая, соединяющая точки P и Q, является серединным перпендикуляром к данному отрезку прямой, составляющим с ним 90 °.

Может ли серединный перпендикуляр всегда быть медианой треугольника?

Серединный перпендикуляр может быть серединой треугольника только в случае равностороннего треугольника.Медиана - это отрезок прямой, соединяющий вершину одной стороны треугольника с серединой его противоположной стороны. Если средний отрезок пересекает противоположную сторону ровно под 90 °, то можно сказать, что медиана - это серединный перпендикуляр. Следовательно, середина треугольника может быть серединным перпендикуляром, только если она составляет 90 градусов со стороной, противоположной ей.

Каковы свойства серединного перпендикуляра?

Серединный перпендикуляр - это прямые или отрезки, которые разделяют данный отрезок прямой или сторону треугольника или хорду круга на две равные части.Свойства серединных перпендикуляров следующие.

Серединный перпендикуляр,

  • Разделите линейный сегмент на совпадающие сегменты.
  • Делит стороны треугольника на две равные части.
  • Они пересекают отрезок прямой или сторону треугольника точно в его средней точке.
  • Они составляют 90 градусов в средней точке, где он касается отрезка линии, который он делит пополам.
  • Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от обоих концов отрезка, который они делят пополам.
  • Может быть только один для данного сегмента линии.
  • Встретьтесь в точке треугольника, называемой центром описанной окружности.
  • В остром треугольнике они встречаются внутри треугольника, в тупом треугольнике они встречаются вне треугольника, а в прямоугольных они встречаются в гипотенузе.

Что такое теорема о серединном перпендикуляре?

Теорема о срединном перпендикуляре утверждает, что любая точка на срединном перпендикуляре всегда равноудалена обоим концам отрезка, к которому она перпендикулярна.

В чем разница между биссектрисами и биссектрисами?

Серединный перпендикуляр делит отрезок прямой на две равные половины, а биссектриса угла делит данный угол на два равных угла. Например, серединный перпендикуляр к отрезку линии размером 10 единиц составляет два отрезка по 5 единиц каждый, тогда как биссектриса угла для данного угла в 60 градусов делит угол пополам и составляет два угла по 30 градусов каждый.

Что такое серединный перпендикуляр треугольника?

Прямые, разделяющие стороны треугольника на два конгруэнтных отрезка, называются срединными перпендикулярами треугольника.У треугольника может быть три серединных перпендикуляра. Все они встречаются в точке, называемой центром окружности. Необязательно, чтобы они проходили через вершину треугольника до середины его противоположной стороны. Иногда серединный перпендикуляр начинается из точки, удаленной от вершины, и пересекает противоположную сторону точно в ее средней точке. В равностороннем треугольнике медианы треугольника перпендикулярны биссектрисам, так как они составляют 90 градусов со своими противоположными сторонами.

Каковы свойства серединного перпендикуляра хорды?

Серединный перпендикуляр к хорде:

  • Делит хорду окружности пополам.
  • Делает 90 градусов с хордой.
  • Проходит через центр круга.

Сколько перпендикулярных биссектрис можно построить для прямой?

Для прямой может быть только один серединный перпендикуляр. Это потому, что у линии может быть только одна средняя точка. Это верно, потому что серединный перпендикуляр проходит через середину прямой или отрезка.

Quia - геометрические термины для 7-го класса

9023 окружности в самолете которые находятся на одинаковом расстоянии от центра
A B
угол два луча с общей конечной точкой
острый угол угол менее 90 градусов
тупой угол тупой угол угол более 90 градусов
прямой угол угол измерения 90 градусов
прямой угол угол 180 градусов
смежные углы разделяют вершину и одну сторону
дополняют друг друга углов сумма размеров двух углов составляет 90 градусов
дополнительных углов сумма измерений двух углов составляет 180 градусов
разносторонний треугольник нет конгруэнтных сторон
равнобедренный треугольник не менее двух конгруэнтных сторон
равносторонний треугольник три конгруэнтных стороны
прямоугольный треугольник один прямой угол
острый треугольник три острых угла
тупой треугольник одна тупая параллель 9023 9023 9023 9023 9023 9023 в одной плоскости, но не пересекаются. ромб параллелограмм с 4 конгруэнтными сторонами
квадрат параллелограмм с 4 прямыми углами и 4 конгруэнтными сторонами
правильный многоугольник все стороны конгруэнтны и все стороны конгруэнтны
радиус сегмент, у которого одна конечная точка находится в центре, а другая конечная точка на окружности
диаметр сегмент, который проходит через центр окружности с обеими конечными точками на окружности
центральный угол угол с вершиной в центре окружности
хорда сегмент, оба конца которого находятся на окружности
дуга часть окружности
полукруг полукруг
циркуль геометрический инструмент, используемый для рисования окружностей и дуг
вписанный многоугольник многоугольник, стороны которого являются хордами окружности
линий, пересекающих перпендикулярные линии образовывать прямые углы
биссектриса перпендикуляра прямая th at перпендикулярна сегменту в его средней точке
биссектриса сегмента линия, проходящая через середину сегмента

Теорема о биссектрисе угла: доказательство и пример - стенограмма видео и урока

Доказательство теоремы

Мы все хотели, чтобы теорема была верной.Но так ли это? Нам нужно немного запачкать руки, чтобы узнать. Для начала давайте немного расширим нашу биссектрису угла AD. Теперь давайте добавим линию, параллельную AB, которая достигает точки C и пересекает нашу расширенную биссектрису. Мы обозначим эту точку F.

Мы с трудом узнаем старый бедный треугольник ABC. Это печально, я знаю. Но это то, чего хотел треугольник. И, поверьте мне, если мы хотим доказать, что AB / BD = AC / CD, нам нужно разбить несколько яиц. Что ж, под разбиванием яиц я подразумеваю добавление строк и прочего.

Хорошо, пора начать собирать кусочки вместе. Мы знаем, что угол BAD равен углу DFC. Почему? Если AB и FC параллельны, то это альтернативные внутренние углы, а альтернативные внутренние углы равны. Это означает, что угол DFC также равен углу CAD. Помните, что BAD и CAD равны из-за биссектрисы угла.

Если мы посмотрим на треугольник ACF ниже, у нас есть два равных угла, что делает его равнобедренным треугольником. Итак, AC = FC. Я сказал тебе, что нам придется разбить несколько яиц, чтобы раскрыть это дело.И мы еще не там. Но мы близки.

AC = FC

Давайте посмотрим еще на два угла. Угол ADB соответствует углу CDF. Почему? Это вертикальные углы. И вертикальные углы совпадают.

Теперь посмотрим на эти два маленьких треугольника выше - ADB и FDC - где у нас есть два совпадающих угла. Мы хотим быть уверены, что совпадают прямые углы - A к F, D к D и B к C. Это означает, что мы можем утверждать, что треугольник ADB похож на треугольник FDC из-за сходства угла и угла.Подобные треугольники пропорциональны друг другу. Да, теперь все точки соединяются, не так ли? Таким образом, мы можем сказать, что AB / BD = FC / CD.

AB / BD = FC / CD ... это выглядит знакомо, не так ли? Если бы это уравнение было в линейке, оно было бы похоже на нашу теорему, но, возможно, у него фальшивые усы. А ты помнишь, что такое ФК? AC! Итак, если мы поменяем местами, мы получим AB / BD = AC / CD.

Мы только что доказали нашу теорему? Мы сделали. Мы классные детективы? Довольно много.

Примеры

Итак, это все необходимое доказательство этой теоремы о биссектрисе угла.Как это выглядит на практике? Вот треугольник XYZ с биссектрисой XS:

Треугольник XYZ

Допустим, мы знаем, что XY равно 10, а XZ равно 12. Если YS равно 5, что такое ZS?

Согласно теореме о биссектрисе угла, эти стороны и отрезки пропорциональны друг другу следующим образом: XY / YS = XZ / ZS. Давайте просто подключим то, что мы знаем, и решим. Это 10/5 = 12/ x . Итак, 10 x = 12 * 5.12 * 5 равно 60. Разделите это на 10, чтобы получить 6. Итак, ZS равно 6. Спасибо, теорема о биссектрисе угла!

Мы также можем использовать теорему, чтобы определить, является ли прямая биссектрисой угла или нет. Рассмотрим этот треугольник, MNO:

. Треугольник МНО

Мы знаем, что MO - 21, NO - 28, MP - 15, а NP - 20. Является ли OP биссектрисой? Если да, то МО / МП = НЕТ / НП. Давайте проверим это. Это 21/15 = 28/20. Если мы перемножим крест-накрест, получим 21 * 20 = 15 * 28.

21 * 20 равно 420. А 15 * 28? Также 420. Итак, OP - биссектриса угла. Дело закрыто.

Краткое содержание урока

В общем, мы проделали здесь хорошую детективную работу. Мы рассмотрели теорему о биссектрисе угла . Эта теорема утверждает, что биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника. В треугольнике ниже это AB / BD = AC / CD.

Затем мы использовали теорему, чтобы найти недостающую длину в треугольнике с биссектрисой угла.Мы также использовали теорему, чтобы определить, является ли прямая в треугольнике биссектрисой или нет.

Результаты обучения

По завершении этого урока вы сможете:

  • Описывать теорему о биссектрисе угла
  • Обобщите, как доказать теорему о биссектрисе угла
  • Используйте эту теорему, чтобы найти недостающую длину стороны или определить, является ли прямая биссектрисой угла

Математика, 7 класс, Построения и углы, Классифицирующие треугольники

Найдите следующих студентов, которыми они поделятся во время обсуждения «Способы мышления».

  • Учащиеся, которые понимают, как размеры углов в треугольнике связаны друг с другом
  • Учащиеся, которые могут решить задачу-задание и объяснить, почему угловые измерения в треугольнике в сумме составляют 180 °
  • Учащиеся, понимающие рисунок о длинах сторон треугольника и объясните свой вывод
  • Студенты, которые знают, что прямоугольный треугольник имеет два дополнительных угла, но также видят обратное утверждение: если треугольник имеет дополнительные углы, это прямоугольный треугольник

Математическая практика 3: Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.

Учащиеся могут строить предположения и делать обобщения о свойствах треугольников на основе многих случаев, которые они видели.

Математическая практика 6: Заботьтесь о точности.

Найдите учащихся, которые используют несколько примеров из интерактивного эскиза треугольников, чтобы увидеть, что сумма углов в треугольниках всегда составляет ровно 180 °, и которые понимают, что это происходит из-за повышенной точности эскизов. Кроме того, из-за точности измерений ученики увидят, что трудно быть точными - например, добиться того, чтобы все три угла были точно 60 ° или все три стороны имели одинаковую длину.

Математическая практика 8: Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.

У студентов есть соответствующие инструменты для стратегического использования в набросках, но опытные студенты будут подходить к наброскам систематически, а не пробовать что-то наугад. Эти студенты будут искать и проверять гипотезы. Обратите внимание на студентов, которые могут строить догадки о треугольниках, видя общие характеристики.

Ответ

  • Схема:

Поскольку линия a и линия b параллельны, ∠1 ≅ ∠4 и ∠2 ≅ ∠5.Сумма углов 1 и 2 является суммой размеров углов 4 и 5 (дополнительный угол к углу 3): m∠1 + m∠2 = m∠4 + m∠5. Сумма углов 3, 4 и 5 составляет 180 °, потому что они образуют прямой угол, поэтому размеры углов 1, 2 и 3 также составляют 180 °.

Время работы

Перечислите свои выводы о свойствах треугольников. Приведите примеры, иллюстрирующие ваши выводы.

  • Почему сумма углов в треугольнике равна 180 °?

Эта цифра может помочь вам объяснить ваши мысли.Обратите внимание, что линии a и b параллельны.

(7 класс) Блок 5: 2D-геометрия через обучение в стране чудес

Класс 7, Блок 4: 2D-геометрия - это третий математический блок в математической серии 7-го класса. Этот пакет соответствует ожиданиям по программе математики Онтарио 2005 года для 7-го класса: геометрия. С помощью этого пакета ученики строят связанные линии и практикуются в классификации треугольников и четырехугольников. Учащиеся исследуют различные линии, такие как параллельные, перпендикулярные и пересекающиеся линии.Студенты также изучают геометрические свойства треугольников и четырехугольников и используют эти свойства для их сортировки и классификации. Студенты также узнают и практикуют построение биссектрис углов и серединных перпендикуляров. Студенты также изучают взаимосвязь между площадью и периметром, а также соответствующую длину сторон.

Каким общим ожиданиям отвечает этот пакет?

Общие ожидания, которые адресованы этому пакету:

- Построение связанных линий и классификация треугольников, четырехугольников и призм.

- Развивайте понимание сходства и различайте сходство и совпадение.

Какие уроки включены в этот пакет

Этот пакет содержит 14 уроков. На этих уроках учащиеся либо учатся определять биссектрисы, конгруэнтные и подобные формы, либо геометрические свойства четырехугольников, либо работать с углами и линиями.

Урок 5.1: Изучение углов

Урок 5.2: Изучение линий

Урок 5.3: Построение линий

Урок 5.4: Построение линий

Урок 5.5: Биссектрисы угла и линии

Урок 5.6: Биссектрисы угла и линии

Урок 5.7: Обзор концепций

Урок 5.8: Геометрические свойства

Урок 5.9: Изучение форм

Урок 5.10: Создание треугольников

Урок 5.11: Конгруэнтные формы

Урок 5.12: Конгруэнтные формы

Урок 5.13: Подобные формы

Урок 5.14: Обзор концепций

Какие действия включены в этот пакет?

Этот пакет включает 31 задание, которое помогает студентам практиковаться и соответствовать всем конкретным и общим ожиданиям, которые адресованы этому модулю.Каждый урок сопровождается одним или двумя упражнениями, в которых учащиеся практикуют навыки, рассматриваемые на каждом уроке. Также есть много возможностей для самостоятельной практики.

Какие экзамены включены в этот пакет?

В этом пакете есть несколько ключей ответа. Эти ключи ответов содержат неоткрытые вопросы с ответами, но открытые ответы не содержат ответов. В этот пакет также включены два назначения:

Назначение 5.1: Биссектрисы

Задание 5.2: Плакаты знаний

В этом пакете представлены пять рубрик, а также контрольные списки критериев успеха и восемь карточек выхода.

Есть вопросы? Обеспокоенность?

Я здесь, чтобы помочь! Если у вас есть какие-либо вопросы об этом устройстве или любом из моих устройств, оставьте мне вопрос на вкладке «Вопросы и ответы» ниже. Или вы можете написать мне по электронной почте: [email protected]

Есть запрос на продукт?

Заполните эту форму Google, чтобы запросить изготовление продукта.

Другие блоки математической серии 7 класса:

Блок 1: Коэффициенты, кратные и порядок операций

Блок 2: Коэффициенты и проценты

Блок 3: Управление данными

Блок 4: Создание паттернов

Блок 6 : Целые числа и соотношения

Блок 7: Выражения и уравнения

Блок 8: 2D-фигуры

Блок 9: Дроби

Найдите обучение в стране чудес в социальных сетях:

Следуйте за мной в социальных сетях, чтобы быть первым, кто знать о выпусках новых продуктов, розыгрышах и конкурсах.

Обучение в стране чудес на Facebook

Условия использования:

Этот продукт можно использовать только в классе покупателя. Если вы хотите поделиться этим ресурсом с другим коллегой или родителем, пожалуйста, приобретите дополнительную лицензию по сниженной цене. Этот продукт нельзя размещать в Интернете, полностью или частично, без разрешения «Обучение в стране чудес». Этот продукт не может быть изменен и продан как новый продукт.

Примечание: Этот ресурс по-прежнему соответствует учебной программе по математике Онтарио 2005 года.Этот ресурс в конечном итоге будет обновлен, чтобы отразить изменения в учебной программе по математике Онтарио 2020 года. Этот ресурс БУДЕТ частью серии игр Wonderland Math.

Медианы и биссектрисы углов

Медианы высот и биссектрисы углов

Так же, как существуют специальные имена для особых типов треугольников, существуют специальные имена для специальных линейных сегментов внутри треугольников. Разве это не особенное?

Каждый треугольник имеет три основания (любая из его сторон) и три высоты (высоты).Каждая высота - это перпендикулярный отрезок от вершины к ее противоположной стороне (или продолжению противоположной стороны) (рис. 1).

Рисунок 1 Три основания и три высоты для одного и того же треугольника.


Высота иногда может совпадать со стороной треугольника или иногда может встречаться с расширенным основанием за пределами треугольника. На рисунке 2 AC - это высота до базы BC , а BC - высота до базы AC .

Рисунок 2 В прямоугольном треугольнике каждый отрезок может служить высотой.

На рисунке 3 AM - высота до базы BC .

Рисунок 3 Высота тупого треугольника.



Интересно отметить, что в любом треугольнике три линии, содержащие высоты, встречаются в одной точке (рис. 4).

Рисунок 4 Три линии, содержащие высоты, пересекаются в одной точке,

, который может находиться или не находиться внутри треугольника.


Медиана в треугольнике - это отрезок линии, проведенный от вершины до середины ее противоположной стороны. В каждом треугольнике по три медианы. На рисунке 5 E является средней точкой BC . Следовательно, BE = EC . AE - это медиана Δ ABC.

Рисунок 5 Медиана треугольника.

В каждом треугольнике три медианы пересекаются в одной точке внутри треугольника (рис. 6).

Рисунок 6 Три медианы встречаются в одной точке внутри треугольника.

Биссектриса угла в треугольнике - это сегмент, проведенный из вершины, которая делит пополам (разрезает пополам) этот угол при вершине. В каждом треугольнике есть три биссектрисы. На рисунке это биссектриса угла в Δ ABC.

Рисунок 7 Биссектриса угла.

В каждом треугольнике три биссектрисы угла пересекаются в одной точке внутри треугольника (рис. 8).

Рисунок 8 Три биссектрисы угла пересекаются в одной точке внутри треугольника.

В общем, высоты, медианы и биссектрисы - это разные сегменты. Однако в некоторых треугольниках они могут быть одними и теми же сегментами. На рисунке можно доказать, что высота, рассчитанная из угла при вершине равнобедренного треугольника, является медианной, а также биссектрисой угла.

Рис. 9 Высота, рассчитанная по углу при вершине равнобедренного треугольника.

Пример 1: На основании разметки на рисунке 10 назовите высоту Δ QRS, назовите медиану Δ QRS, и назовите биссектрису угла Δ QRS .

Рис.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *