Математик леонард 5 букв: Ответы на кроссворды и сканворды онлайн

ЭЙЛЕР — Что такое ЭЙЛЕР?

Слово состоит из 5 букв: первая э, вторая й, третья л, четвёртая е, последняя р,

Слово эйлер английскими буквами(транслитом) — eiler

Значения слова эйлер. Что такое эйлер?

Эйлер

ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-83), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Образование получил в Базельском ун-те (1724). Длительное время работал в России. Чл. Петерб. АН (1731), с к-рой был связан всю жизнь.

Демографический энциклопедический словарь. — 1985

ЭЙЛЕР (Euler), Леонард (15 ацр. 1707 – 18 сент. 1783) – швейцарский философ, математик, механик и физик; более 30 лет проработал в Петерб. академии наук…

Философская энциклопедия

Эйлер (Euler), Леонгардт, знаменитый математик и физик, род. 1707 в Базеле, ум. 3 сент. 1783 в СПБ.; ученик Бернульи, 1730 профессор математики в СПБ., 1740 — в Берлине, 1766 снова в СПБ., где вскоре ослеп.

Музыкальный словарь. — 2008

Эйлер Леонгард

Эйлер (Леонгард, Euler) — один из величайших математиков XVIII столетия, родился в 1707 г., в Базеле. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике…

Русский биографический словарь. — 1896-1918

Эйлер Леонгард (Euler) — один из величайших математиков XVIII стол., род. в 1707 г. в Базеле. Отец его, Павел Э., был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике, приобретенные под руководством Якова Бернулли (см.).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — 1890-1907

Эйлер, Леонард

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики…

ru.wikipedia.org

Эйлер Леонард (04.04.1707 — 18.09.1783) Эйлер Леонард (Euler Leonhard), род. 4.4.1707, Базель, Швейцария – 7(18).9.1783, Санкт-Петербург, Россия.. Математик…

www.math.ru

ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход.

Энциклопедия Кругосвет

Эйлер, Христофор

Эйлер (Христофор, 1743 — 1812) — третий сын Леонгарда Эйлера, артиллерист, родился в Берлине, скончался в Петербурге. Сначала был поручиком прусской артиллерии…

Русский биографический словарь. — 1896-1918

Эйлер, Христофор (1743—1812) — третий сын Леонгарда Э., артиллерист, родился в Берлине, скончался в Петербурге. Сначала был поручиком прусской артиллерии…

Большая биографическая энциклопедия. — 2009

Эйлер, Иоганн Альбрехт

Иоганн Альбрехт Эйлер — секретарь Императорской Академии наук, сын академика Эйлера и Катарины Гзель (дочки художника-эмигранта Георга Гзеля и внучки художницы Марии Мериан). Иоганн Альбрехт был старшим из тринадцати детей Леонарда Эйлера…

ru.wikipedia.org

Эйлер Иоганн Альбрехт (16.11.1734 — 06.09.1800) Эйлер Иоганн Альбрехт (Euler Johann Albrecht), род. 16(27).11.1734, Петербург — ум. 6(17).9.1800, там же..

www.math.ru

Эйлер (Иоанн-Альбрехт, 1734 — 1800) — старший сын Леонгарда Эйлера, математик и астроном, родился и скончался в Петербурге. С 1754 года был членом Берлинской Академии Наук и с 1758 г. наблюдателем Берлинской астрономической обсерватории.

Русский биографический словарь. — 1896-1918

Эйлер-Хельпин, Ханс Карл Август Симон фон

ЭЙЛЕР-ХЕЛЬПИН, ХАНС КАРЛ АВГУСТ СИМОН ФОН (Euler-Chelpin, Hans Karl August Simon Von), (1873–1964) (Швеция). Нобелевская премия по химии 1929 года (совместно с А.Гарденом).

Энциклопедия Кругосвет

Ханс Карл Август Симон фон Эйлер-Хельпин (швед. Hans Karl August Simon von Euler-Chelpin; 15 февраля 1873, Аугсбург, Германская империя — 6 ноября 1964, Стокгольм, Швеция) — шведский биохимик, член Королевской шведской АН. Потомок Леонарда Эйлера.

ru.wikipedia.org

Эйлер-Хельпин (Euler-Chelpin) Ханс Карл Август Симон фон (15.2.1873, Аугсбург, Германия, — 6.11.1964, Стокгольм), шведский биохимик, член Королевской шведской АН.

БСЭ. — 1969—1978

Круги Эйлера

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

ru.wikipedia.org

ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА, простая диаграмма, используемая в логике для демонстрации силлогизмов. Классы предметов изображаются в виде кругов, и утверждения типа «Некоторое а находится в b» представляется двумя пересекающимися кругами…

Научно-технический энциклопедический словарь

Русский язык

Э́йлер, -а: ме́тод Э́йлера, пери́од Э́йлера, постоя́нная Э́йлера, уравне́ния Э́йлера, фу́нкция Э́йлера, чи́сла Э́йлера.

Орфографический словарь. — 2004

1. эйзенахец
2. эйконал
3. эйкумена
4. эйлер
5. эйндховен
6. эйнхерий
7. эйнштейний

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера / Хабр

Посмотрев

профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог

является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А

вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».

Леонарда Эйлера называют самым продуктивным математиком за всю историю. Других выдающихся математиков вдохновляли его работы. Один из лучших физиков в мире, Ричард Фейнман, в своих знаменитых лекциях по физике назвал уравнение Эйлера «самой примечательной формулой в математике». Ещё один потрясающий математик, Майкл Атья, назвал эту формулу «…математическим аналогом фразы Гамлета — «быть или не быть» — очень короткой, очень сжатой, и в то же время очень глубокой».

Существует множество интересных фактов об уравнении Эйлера. Например, оно встречалось в некоторых эпизодах «Симпсонов».

Также уравнение Эйлера стало ключевым пунктом в уголовном деле. В 2003 году аспирант Калифорнийского технологического института Билли Коттрелл писал краской на чужих спортивных автомобилях уравнение Эйлера. На суде он сказал: «Я знал теорему Эйлера с пяти лет, и её обязаны знать все«.

Почему уравнение Эйлера так важно?

Вы имеете полное право задаться вопросом: почему Билли Коттрелл считал, что об уравнении Эйлера обязаны знать все? И был настолько в этом уверен, что начал писать его на чужих машинах? Ответ прост: Эйлер воспользовался тремя фундаментальными константами математики и применил математические операции умножения и возведения в степень, чтобы записать красивую формулу, дающую в результате ноль или минус один.

• Константа e связана со степенными функциями.
• Константа i является не вещественным, а мнимым числом, равным квадратному корню из минус единицы.
• Знаменитая константа π (пи) связана с окружностями.

Впервые тождество Эйлера появилось в 1748 году в его книге

. Позже другие люди увидели, что эта формула связана с тригонометрическими функциями синуса и косинуса, и эта связь удивительна, ведь степенная функция стремится к бесконечности, а тригонометрические функции колеблются в интервале от — 1 до -1.

e в степени i, умноженного на ϕ (фи) = cos ϕ + i * sin ϕ

Показанные выше уравнения и графы могут показаться абстрактными, но они важны для квантовой физики и вычислений обработки изображений, и при этом зависят от тождества Эйлера.

1: число для счёта

Число 1 (единица) является основой нашей системы исчисления. С неё мы начинаем счёт. Но как мы считаем? Чтобы считать, мы используем цифры 0–9 и систему разрядов, определяющую значение цифры.

Например, число 323 означает 3 сотни, 2 десятка и 3 единицы. Здесь число 3 исполняет две разные роли, которые зависят от его расположения.

323 = (3*100) + (2*10) + (3*1)

Существует и другая система исчисления, называемая двоичной. В этой системе вместо 10 используется основание 2. Она широко применяется в компьютерах и программировании. Например, в двоичной системе:

1001 = (2³) + (0²) + (0¹) + (2⁰) = [9 в системе с основанием 10]

Кто создал системы исчисления? Как первые люди считали предметы или животных?

Как возникли наши системы исчисления? Как считали первые цивилизации? Мы точно знаем, что они не пользовались нашей разрядной системой. Например 4000 лет назад древние египтяне использовали систему исчисления с разными символами. Однако они комбинировали символы, создавая новый символ, обозначающий числа.

В то же время, но в другом месте ещё один социум обнаружил способ подсчёта, но в нём тоже использовались символы. Кроме того, основанием их системы исчисления было 60, а не 10. Мы используем их метод счёта для определения времени; поэтому в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут.

Тысячу лет спустя древние римляне изобрели римские числа. Для обозначения чисел они использовали буквы. Римская нотация не считается разрядной системой, потому что для многих значений нашей системы счисления в ней использовались разные буквы. Именно по этой причине для счёта они использовали абакус.

Древние греки тоже не использовали разрядную систему счисления. Греческие математики обозначали числа буквами. У них были специальные буквы для чисел от 100 до 900. Многие люди в то время считали греческие числа запутанными.

В то же самое время китайские математики начали использовать для расчётов небольшие бамбуковые палочки. Этот китайский способ счёта называют первой десятичной разрядной системой.

Однако самая уникальная система счёта использовалась индейцами майя. Их система счисления имела основание 20. Для обозначения чисел от 1 до 19 они использовали точки и линии. Чем же отличалась их система счисления? Для каждого числа они использовали изображения голов и отдельный символ нуля 0.

Рисунок 17: Система счисления майя с основанием 20, в которой числа обозначались головами

0: число для обозначения ничего

Некоторые цивилизации использовали пробелы, чтобы, например, отличать число 101 от 11. Спустя какое-то время начало появляться особое число — ноль. К примеру, в пещере в индийском городе Гвалиор археологи обнаружили на стене число 270, в котором был ноль. Самое первое зафиксированное использование нуля можно увидеть в Бодлианской библиотеке.

Примерно 1400 лет назад были записаны правила вычислений с нулём. Например, при сложении отрицательного числа и нуля получается то же отрицательное число. Деление на нуль не допускается, потому что если разделить на ноль, то мы получим число, которое может быть равно любому нужному нам числу, что должно быть запрещено.

Вскоре после этого многими людьми были опубликованы книги по арифметике, распространяющие использование индо-арабской записи чисел. Ниже показана эволюция индо-арабских чисел. В большинстве стран используется индо-арабская система чисел, но арабские страны до сих пор пользуются арабскими числами.

Пи (π): самое известное иррациональное число

Пи — самое популярное из известных нам иррациональных чисел. Пи можно найти двумя способами: вычислив соотношение длины окружности к её диаметру, или соотношение площади круга к квадрату его радиуса. Евклид доказал, что эти соотношения постоянны для всех окружностей, даже для луны, пенни, шины и т.д.

π = окружность / диаметр ИЛИ π = площадь круга / радиус²

Так как иррациональные числа наподобие пи бесконечны и не имеют повторений, мы никогда не закончим записывать пи. Оно продолжается вечно. Есть люди, запомнившие множество десятичных разрядов пи (нынешний рекорд — 70 000 цифр! Источник: «Книга рекордов Гиннесса» ).

На данный момент компьютеры смогли вычислить всего 2,7 триллиона разрядов пи. Может казаться, что это много, но на самом деле этот путь бесконечен.

Как я сказал выше, число пи нашёл Евклид. Но как поступали люди до Евклида, когда им нужно было найти площадь круга? Историки обнаружили вавилонскую глиняную табличку, в которой было записано отношение периметра шестиугольника к диаметру описанной вокруг него окружности. После вычислений полученное число оказалось равным 3.125. Это очень близко к пи.

Древние египтяне тоже близко подобрались к значению пи. Историки обнаружили документ, показывающий, как древние египтяне нашли число пи. Когда историки перевели документ, то нашли такую задачу:

Например, чтобы найти площадь поля диаметром 9 хета (1 хет = 52,35 метра), нужно выполнить следующее вычисление:

Вычесть 1/9 диаметра, а именно 1. Остаток равен 8. Умножить его на 8, что даёт нам 64. Следовательно, площадь будет равна 64 setjat (единица измерения площади).

Другими словами, диаметр равен 2r, а 1/9 радиуса равно (1/9 • 2r). Тогда если мы вычтем это из исходного диаметра, то получим 2r — (1/9 • 2r) = 8/9(2r). Тогда площадь круга равна 256/81 r². То есть пи равно почти 3,16. Они обнаружили это значение пи примерно 4000 лет назад.

Однако греческие математики нашли для вычисления пи способ получше. Например, Архимед предпочитал работать с периметрами. Он начал рисовать окружности, описывающие многоугольники разного размера. Когда он чертил шестиугольник, то рисовал окружность с диаметром 1. Затем он видел что каждая сторона шестиугольника равна 1/2, а периметр шестиугольника равен 1/2 x 6 = 3. Затем он увеличивал количество сторон многоугольника, пока он не становился похожим на круг. Работая со 96-сторонним многоугольником и применив тот же способ, он получил 2 десятичных разряда пи после запятой: 3 и 10/71 = 3,14084. Спустя много лет китайский математик Лю Ху использовал 3072-сторонний многоугольник и получил число 3,14159 (5 верных десятичных разрядов числа пи после запятой). После этого ещё один китайский математик Цзу Чунчжи провёл ещё более впечатляющую работу. Он работал со 24000-сторонним многоугольником и получил 3,1415926 — семь верных десятичных разрядов пи после запятой.

Спустя тысячу лет немецкий математик Людольф Цейлен работал со 2⁶²-сторонним многоугольником и получил 35 десятичных разрядов пи. Это число, названное Людольфовым, было высечено на его могильном камне.

В 1706 году англичанин Джон Мэчин, долгое время работавший профессором астрономии, использовал формулу сложения, чтобы доказать, что пи равно

Не беспокоясь о том, как откуда взялась эта формула, Мэчин начал постоянно ею пользоваться, а затем записал показанный ниже ряд. Это был самый большой на то время шаг в количестве разрядов пи.

Однако первое упоминание пи появилось в 1706 году. Преподаватель математики Уильям Джонс написал книгу и впервые предложил пи для измерения окружностей. Так пи впервые появилась в книгах!

В 1873 году Уильям Шэнкс воспользовался формулой Джона Мэчина и получил 707 десятичных разрядов пи. Эти цифры написаны в комнате пи парижского Дворца открытий. Однако позже математики выяснили, что верными являются только 527 разрядов.

С другой стороны, более интересный способ нахождения пи обнаружил Буффон. Его эксперимент основывался на случайном разбрасывании иголок для оценки пи. Он нарисовал на доске несколько параллельных линий на расстоянии D и взял иголки длиной L. Затем он случайным образом начал бросать иголки на доску и записывал долю иголок, пересекавших линию.

А после этого другой математик по имени Ладзарини подбросил иголку 3408 раз и получил шесть десятичных разрядов пи с соотношением 355/113. Однако если бы одна иголка не пересекла линию, он получил бы только 2 разряда пи.

e: история экспоненциального роста

— это ещё одно знаменитое иррациональное число. Дробная часть

тоже бесконечна, как и у пи. Мы используем число e для вычисления степенного (экспоненциального) роста. Другими словами, мы используем

, когда видим очень быстрый рост или уменьшение.

Один из величайших, а возможно и лучший математик Леонард Эйлер открыл число e в 1736 году и впервые упомянул это особое число в своей книге Mechanica.

Чтобы разобраться в экспоненциальном росте, мы можем использовать историю об изобретателе шахмат. Когда он придумал эту игру, то показал её властителю Севера. Царю понравилась игра и он пообещал, что отдаст автору любую награду. Тогда изобретатель попросил нечто очень простое: 2⁰ зерна на первую клетку шахматной доски, 2¹ зерна на вторую клетку доски, 2² зерна — на третью, и так далее. Каждый раз количество зерна удваивалось. Царь Севера подумал, что просьбу будет выполнить легко, но он ошибался, потому то на последнюю клетку нужно было бы положить 2⁶³ зёрен, что равно 9 223 372 036 854 775 808. Это и есть экспоненциальный рост. Он начался с 1, постоянно удваивался, и через 64 шага вырос в огромное число!

Если бы изобретатель шахмат выбрал линейное уравнение, например 2n, то получил бы 2, 4, 6, 8, … 128… Следовательно, в дальней перспективе экспоненциальный рост часто намного превышает полиномиальный.

Кстати, 9 223 372 036 854 775 808–1 — это максимальное значение 64-битного целого числа со знаком.

Число e открыл Эйлер. Однако Якоб Бернулли тоже работал с числом e, когда вычислял сложный процент, чтобы заработать больше денег. Если вложить 100 долларов под 10% дохода, то как будет расти эта сумма? Во-первых, это зависит от того, как часто банк рассчитывает проценты. Например, если он рассчитывает один раз, то мы получим в конце года 110 долларов. Если мы передумаем и будем брать проценты каждые 6 месяцев, то в этом случае мы получим больше 110 долларов. Дело в ттом, что процент, полученный за первые 6 месяцев, тоже получит свой процент. Общая сумма будет равна 110,25 долларов. Можно догадаться, что мы можем получить больше денег, если будем забирать деньги каждый квартал года. А если мы будем делать временной интервал всё короче, то окончательные суммы будут продолжать расти. Такой бесконечный сложный процент сделает нас богатыми! Однако наш общий доход стремится к ограниченному значению, связанному с e.

Бернулли не называл число 2,71828 именем e. Когда Эйлер работал с 2,71828, он возвёл экспоненциальную функцию e в степень x. Свои открытия он изложил в книге The Analysis of Infinite.

В 1798 году Томас Мальтус использовал экспоненциальную функцию в своём эссе, посвящённом пищевому дефициту будущего. Он создал линейный график, показывающий производство пищи и экспоненциальный график, показывающий население мира. Мальтус сделал вывод, что в дальней перспективе экспоненциальный рост победит, и мир ждёт серьёзный дефицит пищи. Это явление назвали «мальтузианской катастрофой». Ньютон тоже использовал эту модель, чтобы показать, как охлаждается чашка чая.

Мнимость числа: i, квадратный корень -1

Долгое время для решения своих задач математикам было достаточно обычных чисел. Однако в какой-то момент для дальнейшего развития им потребовалось открыть нечто новое и загадочное. Например, итальянский математик Кардано пытался разделить число 10 на 2 части, произведение которых было бы равно 40. Чтобы решить эту задачу, он записал уравнение: x (10-x) = 40. Когда он решил это квадратное уравнение, то получил два решения: 5 плюс √-15 и 5 минус √-15, что в то время не имело никакого смысла. Этот результат был бессмысленным, потому что по определению квадратного корня ему нужно было найти число, квадрат которого был бы отрицательным. Однако и положительное, и отрицательное числа в квадрате имеют положительное значение. Как бы то ни было, он нашёл своё уникальное число. Однако первым математиком, назвавшим √-1 (квадратный корень из минус единицы) мнимым числом

, был Эйлер.

Лейбниц дал такой комментарий о мнимом числе √-1:

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием.

Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить мнимые числа. Сложение, вычитание и умножение просты, а деление немного сложнее. Вещественные и мнимые части складываются по отдельности. В случае умножения i

будет равно -1.

После Эйлера математик Каспар Вессель представил мнимые числа геометрически с создал комплексную плоскость. Сегодня мы представляем каждое комплексное число a + bi как точку с координатами (a,b).

В викторианскую эпоху многие относились к мнимым числам с подозрением. Однако ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон покончил с этими сомнениями, определив комплексные числа применительно к кватернионам.

Самое красивое уравнение: тождество Эйлера

Тождество Эйлера связывает экспоненциальную функцию с функциями синуса и косинуса, значения которых колеблются от минус единицы до единицы. Чтобы найти связь с тригонометрическими функциями, мы можем представить их в виде бесконечного ряда, истинного для всех значений

Рисунок 39: открытие тождества Эйлера

Эйлер никогда не записывал это тождество в явном виде, и мы не знаем, кто впервые записал его. Тем не менее, мы связываем его с именем Эйлера в знак почтения перед этим великим первопроходцем математики.

ЭЙЛЕР И ЕГО КРУГИ

1МКОУ Нижнекарачанская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

1. Введение ……………………………………………………………. 3

2. Немного истории: Эйлер, кто он? ………………………………….. 3

3. Действия с множествами ………………………………………….. . 4

4. Математическая шкатулка: — ——————————————- 5

5. Заключение ………………………………………………………… 8

6. Литература …………………………………………………………… 9

Основатель теории групп сканворд 5 букв. Теория групп — наука о совершенстве

Теория групп

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия

Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Топологические

Группа Ли

Ортогональная группа O(n)

Специальная унитарная группа SU(n)

G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Группа Лоренца

Группа Пуанкаре

См. также «Физический портал»

Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами , и их свойства.

Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.

История

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m , которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770-1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений.

Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons ). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если у алгебраического уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории.Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions ) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудами последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Краткое описание теории

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В эрлангенской программе Феликса Клейна изучение геометрии было связано с изучением соответствующих групп преобразований. Например, если заданы фигуры на плоскости, то группой движений выясняется их равенство.

Определение . Группой называется множество элементов (конечное или бесконечное), на котором задана операция умножения , которая удовлетворяет следующим четырём аксиомам:

Замкнутость группы относительно операции умножения. Для любых двух элементов группы существует третий, который является их Граф свободной группы порядка 2 произведением:

Ассоциативность операции умножения . Порядок выполнения умножения несущественен:

Существование единичного элемента . В группе существует некоторый элемент E , произведение которого с любым элементом A группы даёт тот же самый элемент A :

Существование обратного элемента . Для любого элемента A группы существует такой элемент A −1 , что их произведение даёт единичный элемент E :

Аксиомы группы никак не регламентируют зависимость операции умножения от порядка сомножителей. Поэтому, вообще говоря, изменение порядка сомножителей влияет на произведение. Группы, для которых произведение не зависит от порядка сомножителей, называют коммутативными или абелевыми группами. Для абелевой группы

Абелевы группы довольно редко встречаются в физических приложениях. Чаще всего группы, имеющие физический смысл, являются неабелевыми :

Конечные группы небольшого размера удобно описывать при помощи т. н. «таблицы умножения». В этой таблице каждая строка и каждый столбец соответствует одному элементу группы, а в ячейку на пересечении строки и столбца помещается результат операции умножения для соответствующих элементов.

Ниже приведён пример таблицы умножения (таблицы Кэли) для группы состоящей из четырёх элементов: (1, −1, i, −i) в которой операцией является обычное арифметическое умножение:

Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и −1 являются они сами, а элементы i и −i являются обратными друг для друга.

Если группа имеет бесконечное число элементов, то она называется бесконечной группой.

Когда элементы группы непрерывно зависят от каких-либо параметров, то группа называется непрерывной, или группой Ли. Также говорят, что группа Ли — это группа, множество элементов которой образует гладкое многообразие. С помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений.

Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств . Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп — фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Группа называется циклической , если она порождена одним элементом a , то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na , где n — целое число). Математическое обозначение: .

Говорят, что группа действует на множестве , если задан гомоморфизм из группы

в группу всех перестановок множества . Для краткости часто записывают как или .

Примеры групп

Простейшей группой является группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элемента 1. Элемент 1 является единичным элементом группы и обратным самому себе:

Следующий простой пример — группа с обычной арифметической операцией умножения, которая состоит из элементов (1, -1). Элемент 1 является единичным элементом группы, оба элемента группы обратны самим себе:

Группой относительно обычной арифметической операции умножения является множество, состоящее из четырёх элементов (1, -1, i, -i). Единичным элементом здесь является 1, обратными элементами для 1 и -1 являются они сами, а элементы i и -i являются обратными друг для друга.

Группой является два поворота пространства на 0° и 180° вокруг одной оси, если произведением двух

поворотов считать их последовательное выполнение. Эта группа обычно обозначается C 2 . Она изоморфна (то есть тождественна) приведённой выше группе с элементами 1 и -1. Поворот на угол 0°, поскольку он

является тождественным, обозначен в таблице буквой E.

Группу вместе с тождественным преобразованием E образует операция инверсии I, которая меняет направление каждого вектора на обратное. Групповой операцией является последовательное выполнение двух инверсий. Эта группа обычно обозначается S 2 . Она изоморфна приведённой выше группе C2 .

По аналогии с группой C2 можно построить группу C 3 , состоящую из поворотов плоскости на углы 0°, 120° и 240°. Можно сказать, что группа C 3 является группой поворотов, переводящих правильный треугольник сам в себя.

Элементы группы C3

Если к группе C 3 прибавить отражения треугольника относительно трёх его осей симметрии (R1 , R2 , R3 ), то мы получим полную группу операций, которая переводит треугольник сам в себя. Эта группа называется

D3 .

Элементы группы D3

Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и . Но бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения математиков.

Эварист Галуа (1811–1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса.

Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.

Здесь ему впервые улыбается счастье — он встречает учителя, который смог оценить его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара о Эваристе просты: «Он работает лишь в высших областях математики».

И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты. В 1829 году была опубликована его заметка «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.

Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.

В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на конкурс Парижской академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии — Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в «Общество друзей народа» и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из Нормальной школы.

14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии, состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов, среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.

Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Через день он скончался.

Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не доставляли автору такой широкой известности.

В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец, мечту Галуа.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», — так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было ученому.

«…Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, — вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций».

Здесь надо обязательно обратить внимание на слова «сгруппировать математические операции». Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.

В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию «установлением определенного остова понятий». Но какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

«В математике, как в любой другой науке, — писал Галуа, — есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания».

Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, — решение алгебраических уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

«Группа, — пишет А. Дальма, — это совокупность предметов, имеющих определенные общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве «предметов» могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве «предметов» выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе».

Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить «основные черты» той или иной теории, и так как, по сути дела, все они совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.

Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство. Теория групп — это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.

Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы в теории относительности.

Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп — это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.

Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну) симметрии. Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве.

И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю.

Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком и заканчиваться знаком (это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю.

Приглашаю вас на свой миникурс по теории групп, который я назвал «Школьная теория групп».

Я считаю, что теорию групп нужно изучать в средних классах — примерно тогда же, когда вводится символьное обозначение (буквы x,y,z и т.п.) Потому что ступень абстракции, ведущая к общему понятию группы от систем остатков по данному модулю (с одной стороны) и перестановок (с другой), не выше, чем ступень абстракции от чисел 3,4,5 к символам. Перестановки же легко понять и освоить уже во втором-третьем классе, точно так же, как и системы остатков по данному модулю.

В миникурсе я ликвидирую пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы.

Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов).

Алексей Савватеев

Геометрия — классическая Евклидова, Лобачевского, проективная и сферическая — не получает достаточного внимания в программах современных мат.факультетов (не говоря уже о школах). В то же время она наглядна и на редкость красива. Многие утверждения визуально очевидны и в то же время неожиданные (почему самолёт, летящий из Иркутска в Лиссабон, стартует сперва в направлении Норильска?) За 8 лекций слушатели ознакомятся с начальными сведениями в этой области математики, берущей своё начало более двух тысячелетий назад. Закончим мы гораздо более сложным материалом, непосредственно выводящим на современные разделы науки. Будут затронуты основы теории групп и алгебр Ли.

Алексей Савватеев

Теория Галуа — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определенные вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми. Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению классических задач: какие фигуры можно построить циркулем и линейкой? какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Алексей Савватеев

Алексей Савватеев, Алексей Семихатов

Вопрос науки

Зачем математики придумывают всё новые неразрешимые задачи? Зачем нужна современная математика? Среди ученых нет ни одного, кто разбирался бы во всех областях современных математических наук. А математики придумывают все новые и новые неразрешимые задачи, и потом десятилетиями бьются над ними. Зачем все это? И какое отношение математика имеет к нашей жизни? Гость программы доктор физико-математических наук Алексей Савватеев. Беседует Алексей Семихатов.

Александр Буфетов

Анатолий Вершик

Лишь недавно, и, как всегда одновременно и независимо, нескольким группам математиков понадобилось по разным поводам систематически изучать случайно выбранные подгруппы данной группы. Для докладчика этим поводом стала задача: найти инвариантные относительно сопряжения меры на решетке всех подгрупп данной группы. Эта задача важна для теории представлений (фактор-представления некоторых групп), и для самой теории динамических систем (вполне несвободные действия). Другие поводы — асимптотика чисел Бетти на локально симметрических пространствах, действия групп на деревьях, теория блужданий на случайных однородных пространствах и, по-видимому, это не всё. Доклад будет посвящен общим понятиям, разбору фундаментального примера, а именно, — что такое случайная подгруппа симметрической группы — конечной и бесконечной, и, наконец, объяснению того, как все это связано с теорией характеров.

Евгений Смирнов

Группы отражений являются дискретной группой движений пространства постоянной кривизны (сфера, евклидово или гиперболическое пространство), которая порождается множеством отражений. Группы отражений появляются удивительно часто в различных алгебраических задач.

Иван Аржанцев

В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.

Михаил Тёмкин

Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.

Иван Лосев

В лекциях вводятся основные сведения из теории представлений конечных групп, объясняется подход Вершика и Окунькова к представлениям симметрических групп, рассказывается о том, что происходит в положительной характеристике и при чем тут алгебры Ли. Курс должен быть понятен студентам, начиная с первого курса, хорошо освоившим курс алгебры.

Проблема семи мостов Кёнигсберга — это… Что такое Проблема семи мостов Кёнигсберга?

Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах (нем. Königsberger Brückenproblem) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году немецким и русским математиком Леонардом Эйлером.

История

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя».

Решение задачи по Леонарду Эйлеру

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

_→_ → →

Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение в транспортных и коммуникационных системах (например, для изучения самих систем, составления оптимальных маршрутов доставки грузов или маршрутизации данных в Интернете).

Нетрадиционные решения задачи

«Решение» Кайзера

На карте старого Кёнигсберга был ещё один мост, появившийся чуть позже и соединявший остров Ломзе с южной стороной. Своим появлением этот мост обязан самой задаче Эйлера-Канта. Произошло это при следующих обстоятельствах.

Император Вильгельм был известен своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали Кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению, Кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли.

Кайзер положил листок на стол, взял перо и написал следующее: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который назвали «мостом Кайзера». А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.

См. также

Литература

Топ 10 великих математиков — Топ 10 мира

1. Карл Фридрих Гаусс

Карл Фридрих Гаусс считается «Королем математиков» и его часто называют «величайшим математиком со времен античности» и «выдающимся математиком». Он родился 30 апреля 1777 года в Нижней Саксонии, Германия, и сделал свое первое математическое открытие, когда еще был подростком. Гаусс был вундеркиндом. В своем воспоминании о Гауссе Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен пишет, что когда Гауссу едва исполнилось три года, он исправил математическую ошибку, допущенную его отцом, и что когда ему было семь лет, он уверенно решил  задачу  арифметического ряда быстрее, чем кто-либо другой в своем классе из 100 учеников. К 12 годам он уже посещал гимназию и критиковал геометрию Евклида. В возрасте 24 лет, он опубликовал свою книгу «Disquisitiones Arithmeticae», которая сегодня считается одной из самых влиятельных книг по математике, когда-либо написанной, и которая заложила основы современной теории чисел. Среди прочего в книге содержалось четкое изложение метода модульной арифметики Гаусса и первое доказательство закона квадратичной взаимности  

Гаусс никогда не публиковал большую часть своих работ. Вместо этого он сосредоточился на переработке и улучшении своих теорем. Его открытие неевклидова пространства было найдено в стопке записей после его смерти. Некоторые из его наиболее заметных вкладов в математику — это распределение Гаусса, закон Гаусса, оптика Гаусса и алгоритм Гаусса-Ньютона. Хотя он внес вклад практически во все области математики, теория чисел всегда была любимой областью Гаусса, и он утверждал, что «математика — королева наук, а теория чисел — королева математики». Его влияние также заметно в алгебре, астрономии, теории чисел, статистике, дифференциальной геометрии, геодезии и теории матриц. 

2. Евклид

Евклид был греческим математиком и также известен как отец геометрии. О нем известно очень немного и сохранилось очень мало оригинальных ссылок на Евклида, поэтому мало что известно о его жизни. Вероятно, он родился в 325 г. до н.э., хотя место и обстоятельства его рождения и смерти неизвестны и могут быть оценены только приблизительно относительно других людей, упомянутых с ним. Его главной работой является «Начала»  именно в этой работе Евклида был заложен фундамент современной математики в том виде в котором мы сейчас ее знаем. «Начала» выступали в качестве основного учебника для преподавания математики (особенно геометрии ) со времени ее публикации до конца 19-го века. Большая часть его работ вращалась вокруг теории чисел и геометрии. Он оказал наибольшее влияние на развитие математики.

3. Леонард Эйлер

Эйлер родился в Швейцарии в 1707 году и был самым влиятельным математиком 18-го века. Он внес заметный вклад в теорию графов, топологию, аналитическую теорию чисел и исчисление бесконечно малых. За свою жизнь он опубликовал более 900 работ. Многие из его открытий были использованы при решении реальных проблем. Работы Эйлера на латинских квадратах составляют основу судоку. 

Он сделал очень важный вклад в бесконечное исчисление, алгебру, тригонометрию и теорию графов. Некоторые из его открытий были использованы при решении задач реального мира, которые впоследствии были использованы в рядах Фурье и диаграммах Венна. Он также широко известен своими работами в области гидродинамики, механики и оптики. Его работы также повлияли на другого великого математика Жозефа-Луи Лагранжа. Именно Эйлер ввел концепцию функции и греческую букву Сигма для суммирования.

В дань уважения Леонарду Эйлеру и его вкладу в математику  Пьер-Симон Лаплас, известный французский астроном и математик, написал: «Читайте Эйлера, читайте его снова и снова, он мастер всех нас». 

4. Архимед

Архимед родился в 287 г. до н.э. и считается одним из величайших математиков всех времен. Он заложил основы нескольких важных математических концепций, лежащих в основе современной математики. Архимед предвосхитил современное исчисление, применяя понятия бесконечно малых. Он использовал метод исчерпания, чтобы доказать множество геометрических теорем, таких как площадь круга, площадь поверхности и площадь под параболой. Он также вывел точную аппроксимацию числа Пи методом исчерпания. Его вычисления числа Пи оставались единственным известным способом для вычисления окружности круга в течение нескольких столетий, и именно так он повлиял на раннюю математику. 

5. Карл Густав Джейкоб Якоби

Карл Густав Якоби был одним из выдающихся математиков 19-го века. Его формулировка теории  эллиптических функций, возможно, является его величайшим вкладом в эту область. Якоби также сыграл важную роль в исследованиях дифференциальных уравнений и рациональной механики (теория Гамильтона-Якоби). Более того, он внес фундаментальный вклад в механическую динамику и теорию чисел. В 1851 году Якоби умер после перенесенной инфекции оспы. В его честь назван кратер на Луне.

6. Пифагор

Пифагор жил между 570 и 495 г. до н.э. Благодаря теореме Пифагора, почти каждый школьник знаком с его именем. Его работы позже повлияли на других великих умов, таких как Евклид и Платон. Многие считают его одним из первых великих математиков. Он основал пифагорейский культ, чтобы активно изучать и развивать математику. Теорема Пифагора используется в современных измерениях, хотя некоторые сомневаются в том, что Пифагор действительно изобрел эту теорему. 

7. Бернхард Риман

Бернхард Риман был немецким математиком, который внес большой вклад в теорию чисел и дифференциальную геометрию. Он родился в Брезеленце и вырос в бедности. Под большим влиянием своего учителя и великого математика Пертера Густава Дирихле Риман посвятил большую часть своей работы ему и даже использовал свой принцип для разработки своей знаменитой теоремы о отображении. Он основал риманову геометрию и многие математические задачи, названные в его честь. Некоторые из его математических уравнений были позже использованы Эйнштейном в его общей теории относительности. Его знаменитая статья 1859 года о функции подсчета простых чисел, содержащая первоначальное утверждение гипотезы Римана, считается одной из самых влиятельных в аналитической теории чисел.  Своим новаторским вкладом в дифференциальную геометрию Риман заложил основы математики общей теории относительности. Многие считают его одним из величайших математиков всех времен.

8. Жозеф Луи Лагранж

Джозеф Лагранж был одним из самых заметных учеников легендарного математика Леонарда Эйлера. Вклад Лагранжа в области математики не имеет себе равных. Он был одним из основателей  вариационного исчисления. Он также изобрел свой собственный способ решения дифференциальных уравнений путем изменения параметров. Помимо математики, он также сделал важные наблюдения в области механики, разработав механику Лагранжа.

9. Готфрид Вильгельм Лейбниц

Лейбниц и Ньютон оба провозглашены изобретателем исчисления. Но это нотация Лейбница, которая используется во всем мире сегодня. Позднее математики расширили его работу в исчислении бесконечно малых. Он также реструктурировал двоичную систему счисления, которая впоследствии стала основой современных компьютеров. Лейбниц также ввел знак интеграла.

10. Иссак Ньютон

Хотя Ньютон сделал несколько принципиально новых открытий в области физики и астрономии, он также считается одним из величайших математиков в истории человечества. Ньютон был одним из пионеров классической механики, он также внес важный вклад в область оптики. Но, пожалуй, наиболее важными из его открытий являются универсальная гравитация и законы движения. Он одним из первых подтвердил гелиоцентрический модель нашей солнечной системы.

Математическая игра, посвященная Леонардо Эйлеру «Математический калейдоскоп», для учащихся 5-ых классов

Цель игры:

– активизация творческих и интеллектуальных способностей учащихся 5-ых классов;

– развитие когнитивных процессов, включающих восприятие, внимание, воображение, память, мышление, речь.

Планируемые результаты:

Предметные УУД:

– Расширить кругозор учащихся;

– Познакомить с жизненным путём и трудами известного математика Леонардо Эйлера;

– Повысить познавательный интерес к предмету математика.

Метапредметные УУД

коммуникативные:

– общаться и взаимодействовать с партнерами по совместной деятельности или обмену информацией;

– учитывать разные мнения и стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве;

– умение работать в группе, устанавливать рабочие отношения;

регулятивные:

– осуществлять взаимный контроль и оказывать взаимопомощь;

– адекватно, самостоятельно оценивать правильность своего действия;

– научить осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата;

познавательные:

– формировать умение устанавливать аналогии, структурировать знания;

– формировать умения работать с информаций и находить её.

Личностные УУД

– Вызвать заинтересованность в изучении математики;

– Умение работать в коллективе и находить согласованные решения;

– Планировать свои действия в соостветствии с учебным заданием;

– Развивать способность с самообразованию, саморазвитию;

– Активизировать творческие способности;

– Развивать находчивость и смекалку;

– Развивать навыки самостоятельной работы,эмоциональной сферы, анализасвоей работы;

– Воспитывать российскую гражданскую идентичность: патриотизм, уважение к Отечеству.

Оборудование: карточки для регистрации команд, компьютер с проектором и экраном, презентация, бланки оценки команд, задания для команд, бланки ответов команд.

Участники игры: команды от классов – по 5 человек, имеющие название, девиз и выбравшие капитана.

Ход игры:

Заставка – слайд 1.

Учитель: «Именно математика даёт надежнейшие правила: тому, кто им следует – тому не опасен обман чувств». Это высказывание великого математика Леонардо Эйлера, которому посвящена эта игра – слайд 2.

Ведущий 1: Леонард Эйлер — математик, физик, механик и астроном. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук – слайд 3.

Ведущий 2: Периоды жизни. 15 апреля 1707 года родился Леонардо Эйлер.

20 октября 1720 года он стал студентом факультета искусств Базельского университета.

4 июня 1724 года произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра.

5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покидает Швейцарию, по совету братьев Бернулли его пригласили стать адъюнктом по физиологии в Санкт-Петербурге.

В 1733 году 26-летний Леонард Эйлер женился на дочери живописца Екатерине Гзель. В 1736 году издано двухтомное сочинение «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении».

В 1741 году в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком. Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию.

В июне 1741 г. Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

В 1757 году ученый впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения – слайд 4.

Ведущий 1: 30 апреля 1766 года Эйлер получает разрешение на выезд из Берлина в Россию. 1771 год – сгорела библиотека со множеством трудов Леонардо Эйлера, но в течение некоторого времени он восстанавливает утраченные труды по памяти.

В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию, удалил с левого глаза катаракту. Вся операция заняла 3 минуты, и Эйлер снова стал видеть! Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать — лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Эйлер нарушил эти наставления и на следующий день начал писать свои труды дальше, окончательно потеряв зрение.

В 1773 году умерла жена Эйлера.

В сентябре 1783 г. учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с А. И. Лекселем об недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю» и потерял сознание. Через несколько часов, не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг. «Эйлер перестал жить и вычислять». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлеру — Петербургская Академия» – слайд 5.

Ведущий 2: Начинаем игру. Представление команд. Конкурс «Исторический». Необходимо разгадать кроссворд «Труды Леонарда Эйлера». (Приложение) – слайд 6. (время 10 минут). Ответы сдаются в жюри.

Ведущий 1: Проверим, как вы справились с кроссвордом – слайд 7.

Ведущий 2: Конкурс «анаграммы». Анаграмма – это способ перестановки букв, в результате которого можно получить новое слово или сочетание слов – слайд 8. (время 5 минут). Ответы сдаются в жюри.

Ведущий 1: Проверим, как вы справились с анаграммами – слайд 9.

Ведущий 2: Конкурс «Ребусы» – слайд 10. (время 5 минут). Ответы сдаются в жюри.

Ведущий 1: Проверим, как вы справились с ребусами – слайд 10.

Ведущий 2: Конкурс «Задачный» – слайд 11 (время 10 минут). Ответы сдаются в жюри.

Ведущий 1: Проверим, как вы справились с задачами – слайд 12-13.

Ведущий 2: Хочется уделить особое внимание решению задачи № 4.

Ведущий 1: Уважаемые учащиеся, существует множество приемов и способов решения нестандартных логических задач. Часто при решении задачи используются рисунки, что делает решение задачи более простым и наглядным. Одним из таких наглядных и удобных способов решения задач является метод кругов Эйлера. Этот метод позволяет решать задачи с громоздким условием и со многими данными.

Ведущий 2: Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, очень часто предлагаются на математических олимпиадах. Подобные задачи часто имеют практический характер, что важно в современной жизни. Они заставляют задумываться и подходить к решению какой-нибудь проблемы с разных сторон. Учат выбирать из множества способов наиболее простой и легкий.

Подведение итогов: поздравление победителей – слайд 14.

Учитель: Наша игра закончилась. Пусть это только игра, но ведь и Эйлер, и Архимед, и Ковалевская, и Пифагор тоже сначала были детьми. Возможно, что через десятилетия, столетия, тысячелетия и ваши имена будут прославлены. Желаем вам и дальше успешно осваивать просторы науки математики.

Приложения к игре.

Список литературы:

1. Математика. 5-9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И. В. Фотина. – Волгоград: Учитель, 2011.

2. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учебное пособие для 5-6 кл. – М.: Просвещение, 1999.

3. Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях. 5-8 классы / авт.-сост. Ю.В. Щербакова, И. Ю. Гераськина. – М.: Издательство «Глобус», 2010.

4. В презентации к игре использовано изображение: https://yandex.ru/images/search?p=2&text=%D0%BB%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%BE%20%D1%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80&img_url=http%3A%2F%2Fimg6.mynet.com%2Fha7%2Fl%2Fleonhard-euler5.jpg&pos=78&rpt=simage. Дата обращения: 02.02.2017

Математический Леонхард — Ответы на кроссворд

Уточните результаты поиска, указав количество букв.Если определенные буквы уже известны, вы можете указать их в виде шаблона: «CA ????».

Какие лучшие решения для математического

Мы нашли 1 решений для Mathematical Leonhard . Лучшие решения определяются по популярности, рейтингам и частоте запросов. Наиболее вероятный ответ на разгадку — EULER .

Сколько решений есть у математического Леонхарда?

С crossword-solver.io вы найдете 1 решение. Мы используем исторические головоломки, чтобы найти наиболее подходящие ответы на ваш вопрос. Мы добавляем много новых подсказок ежедневно.

Как я могу найти решение для математического Леонхарда?

С нашей поисковой системой для решения кроссвордов у вас есть доступ к более чем 7 миллионам подсказок.Вы можете сузить круг возможных ответов, указав количество содержащихся в нем букв. Мы нашли более 1 ответов для математического Леонарда.

Поделитесь своими мыслями

Обратная связь

© 2020 Авторские права: кроссворд-решатель.io

Леонард Эйлер — Биография, факты и изображения

Жил 1707 — 1783.

Леонард Эйлер был одним из величайших математиков в истории: он не только создал выдающуюся математику, но и произвел ее с невероятной скоростью, опубликовав больше, чем любой другой математик до или после него. Если качество продукции, умноженное на количество продукции, равно величию, то Эйлер — величайший математик всех времен.

Его работа охватывала всю математику, почти всю физику и значительную часть астрономии.Поразительная доля всех исследований в области математики и физических наук, проведенных между 1730 и 1780 годами, была исключительно работой Эйлера. Хотя он полностью ослеп в возрасте 64 лет, его замечательный математический процесс продолжался непрерывно — фактически, он увеличивался.

Объявления

Начало

Леонард Эйлер (произносится как «масленка») родился 15 апреля 1707 года в городе Базель, Швейцария. Его матерью была Маргарита Брукер, а отцом — Поль Эйлер.Леонард был старшим из их четверых детей.

Мать Леонарда была дочерью пастора. Его отец был пастором в кальвинистской церкви. Отец Леонарда изучал математику в университете, пока учился на богословскую степень, и был другом семьи Бернулли, известной своими математическими способностями.

Леонхард вырос в городе Риэн, примерно в 7 км от Базеля, недалеко от границы Швейцарии с Францией и Германией. Его школа в Риэне была не особенно хорошей, поэтому отец давал ему дополнительные уроки математики — Леонхард был достаточно заинтересован в предмете, чтобы получить свои собственные учебники по математике для работы.

Подобно Карлу Фридриху Гауссу, родившемуся через 70 лет после него, Леонхард проявил необычные способности в умственной арифметике, выполняя сложные вычисления в своей голове. У него также была феноменальная память: когда ему предлагали, он мог легко читать длинные стихи, а его знание фактов, научных и математических данных было энциклопедическим.

Стать математиком

В возрасте 13 лет, в 1720 году, Леонард поступил в Базельский университет, получив диплом магистра философии через три года.В его диссертации были проанализированы философские работы двух математических гениев, Исаака Ньютона и Рене Декарта.

Его отец надеялся, что Леонард пойдет по его стопам и станет кальвинистским пастором, но частные уроки у Иоганна Бернулли показали, что Леонард был наделен удивительными математическими талантами. Бернулли был, вероятно, величайшим практикующим математиком в то время. Он также был хорошим другом отца Леонхарда, и они обсуждали замечательные способности Леонарда к математике.В результате Леонарду разрешили еще три года изучать математику под руководством Бернулли. Итак, Леонхард следовал математическому, а не духовному призванию. Тем не менее, он оставался искренне религиозным на протяжении всей своей жизни.

Российская Академия

Леонард Эйлер изо всех сил пытался стать профессором Базельского университета, но безуспешно.

17 мая 1727 года он прибыл в столицу России Санкт-Петербург, где его друг Даниэль Бернулли работал математиком в Императорской Российской Академии наук.

Брат Даниэля Николай умер в прошлом году от лихорадки в России, и Даниэль тосковал по дому, желая, чтобы у него были швейцарские коллеги. Иоганн Бернулли, отец Даниэля, отправил Эйлера в Санкт-Петербург с подарками — чаем, кофе и бренди, которых так жаждал Даниэль.

Обладая необычайным талантом к изучению языков, Эйлер быстро овладел русским языком. Начав работу в качестве исследователя физиологии, он вскоре начал работать в более подходящей области физики, став профессором физики в 1730 году.

В 1733 году Бернулли вернулся в Швейцарию. Эйлер, которому сейчас 26 лет, заменил его на посту старшего кафедры математики. Вскоре Эйлер также стал главой отдела географии.

Леонард Эйлер

География могла быть, по крайней мере, частично ответственна за проблемы со зрением Эйлера, которые начались, когда ему был 31 год. Он сильно напрягал глаза, работая над картированием России, и в 1740 году он потерял правый глаз.

В Санкт-Петербурге Эйлер подружился с Кристианом Гольдбахом, известным еще не доказанной гипотезой Гольдбаха, которая гласит, что каждое четное число больше 2 может быть выражено как сумма двух простых чисел.

Леонард Эйлер, математика и естественные науки

Эйлер блестяще работал во всех областях математических и физических наук. Он является автором более 800 статей и книг в этих областях. Фактически, его работа составляет внушительную долю всех научных исследований, проведенных в 1700-х годах.Клиффорд Трусделл, физик и историк науки, наблюдал:

Клиффорд Трусделл

Беглые очерки науки идиота, 1984

Таким образом, ясно, что любое краткое изложение, подобное этому, может представить лишь несколько капель из великого океана достижений Эйлера.

Проблема Базеля

Первое по-настоящему крупное открытие в математике Эйлер сделал в 1735 году, когда он решил проблему Базеля, которая десятилетиями терпела поражение в усилиях лучших математиков. Проблема заключалась в том, чтобы найти точное значение суммирования обратных квадратов целых чисел до бесконечности. (Сегодня математики описали бы проблему как нахождение дзета-функции 2.)

Каждый последующий член в ряду меньше, чем его предшественник, и математики уже знали, что сумма сходится к определенному значению, но никто не смог найти это значение точно.

Эйлер решил проблему Базеля, доказав, что, когда число членов бесконечно растет, ряд сходится к равному:

Это открытие сделало Эйлера звездой математического мира.

Механика

Эйлер сделал следующий шаг к суперзвезде в 1737 году, когда он опубликовал Mechanica , большой шаг вперед в математике движения, который стал возможным благодаря собственным нововведениям Эйлера в математическом анализе. Эйлер описал бы анализ как математику бесконечного и бесконечно малого.Сегодня мы могли бы описать анализ примерно и несколько неполно как сложное исчисление, имеющее дело с пределами и непрерывностью.

В Mechanica Эйлер использовал анализ, чтобы выразить открытия, которые Исаак Ньютон представил 50 лет назад в Principia , более математически изощренным и полезным способом.

Законы движения Эйлера

После Mechanica Эйлер продолжил работу над законами движения. В то время как законы Ньютона применялись к частицам точечных размеров, Эйлер вывел новые законы, которые можно было применить к твердым телам с реальными размерами, разработал принципы линейного и углового момента и вывел знакомые дифференциальные уравнения движения для твердых тел, которые сегодня являются описывается как уравнение Ньютона.

Анализ бесконечности

В 1748 году Эйлер выпустил книгу Introductio in analysin infinitorum , которую, как и большинство его работ, он написал простой и элегантной латынью. Его название на английском языке: Introduction to the Analysis of the Infinite . Вероятно, это лучший современный учебник по математике. В нем очень подробно рассматривается анализ, изучение математических функций через бесконечные процессы, особенно бесконечные ряды, которые были чем-то вроде специализации Эйлера.

Основы дифференциального исчисления

Эйлер внес огромное количество других вкладов в математику, математику, которая безраздельно господствует в физических науках, достигнув вершины с Institutiones Calculi дифференциал функций. Книга Эйлера была основой всей будущей работы в этой области.

Язык математики

Эйлер ввел или популяризировал многие математические термины, с которыми мы знакомы сегодня.

• Он популяризировал использование греческой буквы π для обозначения математической константы, которая выражается отношением длины окружности к ее диаметру, что с шестью значащими цифрами составляет 3,14159
• Он назначил букву е, которую сегодня часто называют числом Эйлера, чтобы обозначить жизненно важную математическую константу, значение которой с шестью значащими цифрами составляет 2,71828
• Он ввел обозначение f (x) для обозначения функции x
• Он ввел букву i для обозначения √-1
• Он обнаружил равенство, которое многие математики считают самым прекрасным из когда-либо обнаруженных, — тождество Эйлера, которое связывает пять самых важных чисел в математике, три из которых Эйлер назвал или популяризировал именем:

• Тождество Эйлера возникло как конкретный пример успеха Эйлера в определении экспоненциальной функции для комплексных чисел и его открытия ее взаимосвязи с тригонометрическими функциями.

Многогранная формула Эйлера

Многогранная формула Эйлера, одно из первых великих открытий в топологии, уступает только тождеству Эйлера в математической красоте. Формула применима к выпуклым многогранникам, которые представляют собой формы с прямыми краями и плоскими гранями. Для фигуры с V вершинами, E ребрами и F гранями формула говорит:

Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Конечно, если вы подставите эти числа в формулу Эйлера, вы получите ожидаемый ответ 2.

 "Леонард Эйлер."Известные ученые. Famousscientists.org. 20 января 2017 г., Web.
.