Относительная погрешность измерения времени: Погрешности измерений физических величин

Содержание

Лабораторная работа № 1 «Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений»

План-конспект урока по теме «Лабораторная работа 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений »

Дата:

Тема: «Лабораторная работа 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений»

Цели:

Образовательная: научиться определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измерений в интервальной форме;

Развивающая: Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.

Воспитательная: Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.

Тип урока:

урок применения знаний и умений

Оборудование и источники информации:

Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015
Тетрадь для лабораторных работ и экспериментальных исследований по физике для 9 класса: пособие для учащихся учреждений общ.сред. образования с рус.яз.обучения / Л.А. Исаченкова [и др.]. Минск : Аверсэв, 2016, 2017.
металлический шарик на нитке длиной = 1 м, секундомер, штатив со стержнем, треугольник (рис. 261).

Структура урока:

Организационный момент (5 мин)
Актуализация знаний (10 мин)
Применение приобретенных знаний(12 мин)
Тренировочные упражнения(15 мин)
Итоги урока (3 мин)

Содержание урока

Организационный момент

Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны научиться определять опытным путем абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и представлять результат измерений в интервальной форме. А это значит, что Тема урока: Лабораторная работа 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений. ОПБ

Актуализация опорных знаний

Прямым называется измерение, при котором значение искомой величины находится непосредственно по шкале прибора. Результат любого измерения содержит погрешность. Систематическая погрешность связана в основном с несовершенством измерительного прибора и округлениями при отсчетах и вычислениях. При повторении измерений систематическая погрешность остается неизменной.

Случайная погрешность — это погрешность, которая от одного измерения к другому изменяется непредсказуемым образом. Для определения случайной погрешности необходимо провести серию повторных измерений.

Абсолютная погрешность Δt измерений промежутка времени равна:

Δt = (1)

Абсолютная систематическая погрешность определяется суммой предельной абсолютной погрешности прибора (секундомера) и абсолютной погрешности отсчета .

Значение берется из таблицы 4. Абсолютная погрешность отсчета равна половине цены деления шкалы секундомера. Если секундомер механический, то его стрелка от штриха к штриху движется скачками. Ее остановка между штрихами невозможна. Поэтому абсолютная погрешность отсчета для секундомера равна цене деления его шкалы.

Максимальное значение абсолютной случайной погрешности измерения промежутка времени

Где — среднее значение абсолютной случайной погрешности.

Коэффициент k зависит от числа повторных измерений. Например, при пяти повторных измерениях k = 3, при семи k = 2, при десяти и более — k = 1.

Относительная погрешность , определяет, какую часть в процентах от среднего значения измеряемой величины (промежутка времени) составляет значение абсолютной погрешности:

=100%. (3)

Окончательный результат записывается в интервальной форме:

t = <t>±Δt; = 100%.

Например, t = (5,0 ± 0,1) с, тогда

= 100%. = 2%.

Применение приобретенных знаний

К стержню штатива прикрепите нить с шариком (см. рис. 261).

Отведите шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила с вертикалью угол = 30° (определяется треугольником). Отпустите шарик и, одновременно нажав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток времени, через который шарик снова окажется в точке A.

Повторите опыт не менее 5 раз.

Тренировочные работы

Вычислите среднее значение промежутка времени:

Вычислите абсолютную случайную погрешность при каждом измерении и среднее значение при пяти измерениях х:

= ǀǀ;

………..

= ǀǀ;

= .

Определите максимальное значение случайной погрешности:

Определите абсолютную систематическую погрешность:

Предельную абсолютную погрешность секундомера найдите в таблице 4. Абсолютную погрешность отсчета определите как цену деления механического секундомера.

Вычислите абсолютную Δt погрешность прямого измерения промежутка времени:

Δt =

Вычислите относительную е, погрешность измерения:

=100%.

Запишите окончательный результат в интервальной форме:

t = <t>±Δt; = … 100%.

Таблица 4. Предельные абсолютные погрешности некоторых мер и приборов

Итоги урока

В ходе лабораторной работы мы определяли абсолютную и относительную погрешности прямых измерений . Установили, что из-за различных неточностей процесса измерения результаты измерений отличаются от теоретического значения. При оценке результатов измерения мы исходили из того, что измерения можно повторить многократно, при этом условия проведения измерений не должны изменяться. Из лабораторной работы мы видим, что многократное повторение измерений помогает найти величину, наиболее близко к теоретическому значению. Результат измерений мы представили в интервальной форме.

Относительная погрешность — это… Что такое Относительная погрешность?

Погре́шность измере́ния — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины

ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:

Средняя квадратическая погрешность:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X_meas. При этом равенство:

ΔX = | X_true − X_meas | ,

где X_true — истинное значение, а X_meas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X_meas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведенная погрешность — относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

где X_n — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

— если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X_n определяется равным верхнему пределу измерений;
— если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность — безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

Погрешность прямых измерений
Погрешность косвенных измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F(x₁,x₂…x_n), где x_i — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δx_i, тогда:

См. также

Литература

Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.

Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. — М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. — 704 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

Участник: Мингалеев Артур Эдуардович
Руководитель: Баскова Мария Аркадьевна

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с² и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

S₁ : S₂ : S₃ : … = 1 : 2 : 3 : … (при V₀ = 0)

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

S₁ : S₂ : S₃ = t₁² : t₂² : t₃² (2)

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

О_х: – F_тр+ mgsinα = ma

O_y: N – mgcosα = 0

и учитывая, что N = mgcosα; F_тр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

g =	a
	sinα – μcosα

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: F_тр = F_упр, F_тяж = N, т. е. F_упр = μF_тяж, тогда коэффициент трения равен

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение

g благодаря давлению жидкости

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρgh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρh, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м³.

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

Тогда период

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10^–11 (H ·м²)/кг²).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10³ м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10²⁴ кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение g_т = 9,823386 м/с².

Согласно формуле

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

В классе

На станции метро Кремлевская

На 36-м этаже небоскреба

R = 6370 км,

h = 0

R = 6370 км,

h = –16 м

R = 6370 км,

h = +120 м

9,8234

9,8231

9,8227

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

Я установил на краю стола штатив. У его верхнего конца укрепил с помощью муфты кольцо и подвесил к нему шарик на нити. Шарик должен висеть и свободно совершать колебания.
Нить я взял метровой длины для удобства вычислений.
Отклонив шарик на небольшое расстояние (5-8 см), я возбудил колебания маятника.
Измерил в пяти экспериментах время t 20 колебаний маятника и вычислил t_ср:

t_ср =	t₁ + t₂ + t₃ + t₄ + t₅
	5

Затем вычислил среднюю абсолютную погрешность измерения времени:

∆t_ср =	│t₁ – t_ср│ + │t₂ – t_ср│+ │t₃– t_ср│ + │t₄– t_ср│ + │t₅– t_ср│
	5

Вычислил ускорение свободного падения по формуле:

Таблица результатов измерений в классе

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	40,26	39,94	0,36	9,88924
2	20	39,20
3	20	40,30
4	20	40,18
5	20	39,78

Я определил относительную погрешность измерения времени εt.

ε =	∆t	=	∆t_и + ∆t_{отсчета}	=	1 с + 1 с	=	2 c	=	2 с	= 0,05 = 5%
	t		t		t		t_средн		39,94 с

Определил относительную погрешность измерения длины маятника:

εl =	∆l	=	∆l_и + ∆l_{отсчета}	=	половина цены деления + цена деления	=
	l		l		длина маятника

=	0,0005 м + 0,001 м	=	0,0015 м	=	0,0015 м	= 0,0015 = 0,15%
	l		l		1 м

Вычислил относительную погрешность измерения g:
εg = εl+ 2εt = 0,05 + 2 · 0,0015 = 0,053 = 5,3%
Определил абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения:
∆g = ε_gg_{средняя} = 0,053 · 9,73971 м/с² = 0,5162 м/с² ≈ 0,520

Итог моих измерений и вычислений:

9,37 ≤ g ≤ 10,41

Такие действия я проделал в казанском метрополитене, на станции метро Кремлевская и на 36-м этаже единственного в Казани небоскреба «Лазурные небеса».

Таблица результатов измерений на станции метро Кремлевская

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	31,80	31,71	0,042	9,96232
2	20	31,72
3	20	31,62
4	20	31,69
5	20	31,71

При измерениях в метро пришлось использовать длину нити 63,5 см.

Относительная погрешность измерения времени ε_t = 0,063 = 6,3%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,24%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 6,78%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,63 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,33 ≤ g ≤ 10,59

Таблица результатов измерений на 36-м этаже небоскреба «Лазурные небеса»

n	N	t, c	t_ср, с	Δt_ср, с	g, м/с²
1	20	28,59	28,57	0,10	9,85664
2	20	28,56
3	20	28,81
4	20	28,52
5	20	28,39

Здесь при измерениях пришлось длину нити еще сократить до 51 см.

Относительная погрешность измерения времени εt = 7%.

Относительная погрешность измерения длины маятника: ε_l = 0,29%

Относительная погрешность измерения g: ε_g = 7,58%

Абсолютную погрешность вычисления ускорения свободного падения составила: 0,75 м/с².

Итог моих измерений и вычислений:

9,11 ≤ g ≤ 10,61

Таблица сравнения теоретически полученных значений g (м/с²) и полученных экспериментально

	В классе	На станции метро Кремлевская	На 36-м этаже небоскреба
	R = 6370 км, h = 0	R = 6370 км, h = –16 м	R = 6370 км, h = +120 м
Теория	9,8234	9,8231	9,8227
Эксперимент	9,8892	9,9623	9,8566

3. Заключение

При подготовке к защите данной работы и в результате теоретического исследования, чтения разных книг и статей я узнал многое об ускорении свободного падения. Как уже упоминал, для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

Также я узнал, что расчеты различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли могут указывать на гравитационные аномалии.

Самое главное, я научился измерять g, различными способами, рассчитывать погрешности измерений, грамотно проводить эксперимент.

Считаю цель исследования достигнута. Средние значение ускорения свободного падения на различных высотах отличаются в зависимости от высоты над уровнем моря: при увеличении высоты значение g уменьшается, при углублении в недра Земли – увеличивается. Экспериментально полученные значения хорошо это показывают.

Погрешность измерений достаточно велика, но не превышает 10%. Уменьшить погрешность возможно путем проведения большего числа измерений: ни 5, а 20; большего числа колебаний: не 20, а 100. Также при расчетах можно учесть, что Казань находится примерно на уровне 250-300 м над уровнем моря.

В дальнейшем хотелось бы усовершенствовать экспериментальные установки, чтобы измерять ускорение свободного падения с большей точностью.

Планирую самостоятельно исследовать значения ускорения свободного падения в различных уголках земного шара.

Ещё раз о погрешности измерения временных интервалов цифровыми осциллографами или как турецкий султан 5 ppm лопатой мерил

Еще раз о погрешности измерения временных интервалов цифровыми осциллографами или как турецкий султан 5 ppm лопатой мерил

А.A. Дедюхин, АО «ПриСТ»

Есть такое понятие «медвежья услуга». Казалось бы, какое отношение оно имеет к метрологии и уж тем более к цифровым осциллографам? Да, вроде никакого, если речь не идет о тщеславии. Но не перевелись еще на земле русской «медведи и услуги», которые ради собственных амбиций, лишь бы на их рецензии обратили внимание, готовы обляпать «желтым и жидким» предмет своего давнего обожания…

Честно говоря, мне и раньше казалось, что Tektronix DPO-4000 серии как-то плохо измеряет временные интервалы, но некоторым к.т.н-ам удалось убедить меня в том, что он не просто плохо измеряет временные интервалы, а делает это ХУЖЕ ВСЕХ, по сравнению с другими осциллографами. Причем по сравнению не только с цифровыми осциллографами, но и с аналоговыми. Справедливости ради отметим, что это «ХУЖЕ ВСЕХ» он умудряется делать в пределах допустимой для него погрешности.

Действительно, в моих ранних математических выкладках сделаны небрежные ошибки (в оригинале они не будут исправлены, поскольку исправление приведет к искажению последующей логики). Можно было бы над этим посмеяться и забыть, но «медведям» хотелось правды и, исправляя мои ошибки, они вывели цифру 0,8% — это и есть погрешность измерения временных интервалов осциллографом Tektronix DPO-4000 серии (речь идет об интервале 0,1 мкс, при частоте дискретизации 2,5 Гвыб/с). Думать в радостной эйфории «разоблачения» о смысле цифр было невдомек.

Напомним, что одной из отличительных особенностей цифровых осциллографов является то, что они обеспечивают гораздо большую точность измерений, как по временной оси, так и по оси амплитуд, по сравнению с аналоговыми осциллографами. Однако, оказывается есть аналоговые осциллографы, разработки аж 1980 года, которые лучше измеряют временной интервал, чем DPO-4000 серии образца 2006 года. Это советский аналоговый осциллограф С1-108, имеющий погрешность измерения временного интервала 0,5%. Почет и слава Генеральному Конструктору этого изделия (имеется ввиду С1-108 , а не DPO-4000), к параметрам которого чрез 26 лет приблизился мировой лидер цифровых осциллографов. Даже TDS-2000 серии, имеющий погрешность измерения 0,645%, измеряет более точно, чем его «старший брат». А новый TDS-2000 с литерой «B» измеряет с той же, погрешностью, как и DPO-4000. Скопметр Fluke-192B способен измерить временной интервал 0,1 мкс с погрешностью 0,4%. Причем для всех перечисленных выше средств измерения речь идет именно об измерении интервала 0,1 мкс (или частота 10 МГц), и это определено и руководствами по эксплуатации на эти осциллографы (где приведены полные ТТД), и описаниями типа средств измерения (в которых приведены основные ТТД), которые являются частью сертификата утверждения типа средства измерения, и утвержденными методиками поверки, которые верифицируют все эти приборы как пригодные к использованию. Еще раз акцентирую внимание: как технические аргументы будут использоваться только материалы имеющие законное признание на территории России, а не «технические мысли производителя», иногда не совпадающие со здравым смыслом (об этом ниже). Ниже приведена таблица сравнительных характеристик разных типов осциллографов на основе руководящих документов и их погрешности измерения временного интервала 0,1 мкс.

Тип СИ	Погрешность измерения интервала 0,1 мкс	№ госреестра
С1-108	0.5% Kр > 5 нс	7866-80
Fluke-190 серии	0.41% при Kp=100 нс	27908-05
TDS-2000 серии	0.645% при Kp=100 нс	24018-02
TDS-2000B серии	0.81% при Kp=100 нс	32618-06
DPO-4000	0.8%	32619-06

Это расчетные погрешности измерения временного интервала 0,1 мкс. И из этого следует только один вывод — ПОЗОР DPO-4000, имеющему самую худшую погрешность измерения временных интервалов по сравнению с некоторыми бюджетными цифровыми осциллографами и некоторыми аналоговыми осциллографами. И большое спасибо к.т.н-ам — техническим директорам, сделавшим это «открытие» достоянием общественности!

Немного отклоняясь от темы «как измеряет Tektronix DPO-4000 серии» попробуем все-таки, наконец, выяснить – какую же все-таки погрешность измерения временного интервала декларирует производитель этого устройства, как плод своей «технической мысли »? Как уже ранее отмечалось, в РЭ (руководство по эксплуатации) нет ни слова про такой нужный параметр цифрового осциллографа как «погрешность измерения временного интервала», о чем в настоящий момент и идет речь. Но в РЭ есть ссылка на некую «принадлежность», под номером 071-1809-ХХ, которая называется «Справочник по техническим характеристикам DPO-4000», в которой и содержатся полные технические характеристики осциллографов серии DPO-4000. На странице 1-6 в таблице 1-2 (Table 1- 2: Horizontal and acquisition system specifications или «Характеристики системы сбора информации и тракта горизонтального отклонения»), где и должен быть указан этот параметр, опять нет ни слова про погрешность измерения временного интервала. Но зато в самой первой строчке таблицы 1-2 есть параметр «Long-term sample rate and delay time accuracy», что переводится как «Долговременная стабильность частоты дискретизации и погрешность времени задержки» (имеется ввиду генератора временной задержки) и даже указан параметр «±5 ppm over any ≥1 ms time interval», что означает ««±5 ppm для временных промежутков больше или равно 1 мс». Итак, в спецификации на осциллограф Tektronix DPO-4000 серии производитель вообще не нормирует такой параметр как «погрешность измерения временного интервала», а лишь указывает, что погрешность времени задержки генератора задержки составляет ±5 ppm, да и то, лишь при измерении временных интервалов более 1 мс (или частота сигнала ниже 1 кГц). Отыскать неофициальное упоминание об этой погрешности можно на сайте компании Tektronix http://www.tek.com/site/ps/0,,48-19032-SPECS_EN,00.html>http://www.tek.com/site/ps/0,,48-19032-SPECS_EN,00.html в рекламных материалах, где указана погрешность « 1/sample rate + 5 ppm * |Reading| + 0.4 ns ». Но реклама пусть остается рекламой, и не будем путать ее с метрологией. Тем более, что эти данные входят в противоречие с РЭ. Так в уже упомянутом документе под номером 071-1809-ХХ «Справочник по техническим характеристикам DPO-4000», есть раздел «Performance Verification» (по-русски «Поверка прибора»), а на странице 2-12 в параграфе «Check Sample Rate and Delay Time Accuracy» определен способ оценки частоты дискретизации и погрешности времени задержки. Так вот согласно этому параграфу, если при измерении временного интервала 80 мс погрешность составляет 10 ppm, то прибор исправен. Более чем странный факт — сначала производитель в РЭ указывает погрешность измерения 5 ppm, а потом в методике поверки заявляет, что если при измерении 5 ppm получается 10 ppm, то это даже очень хорошо. Просто прелестно! Вот оно главное отличие американской метрологии от нормальной! У них за океаном не только мили, фунты и баррели, но и чем хуже результат – тем лучше достоверность!

Но, отойдем от того, что пишет в РЭ производитель Tektronix, а как видно пишет он «что в голову взбрело» и обратимся к нормальной русской метрологии – все- таки Tektronix DPO-4000 серии включен в российский государственный реестр средств измерения и в ходе испытаний для целей утверждения типа СИ эти «заокеанские ляпы» при нормировании погрешностей должны быть устранены и приведены в полное соответствие для метрологического обеспечения на территории РФ. Итак, в описании типа на средства измерения DPO4032, DPO4034, DPO4054, DPO4104, включенные в госреестр под номером 32619-06, указанно:

пределы допускаемой абсолютной погрешности измерения временных интервалов, с

± (1 / F_д + 5 × 10^-6 × T_изм + 0,4 × 10^-9), где

F_д – частота дискретизации,
T_изм — измеряемый временной интервал.

Выводы:

Погрешность измерения временных интервалов осциллографов DPO4032, DPO4034, DPO4054, DPO4104 для России приведена выше (Острова Зеленого мыса, Никарагуа, Конго и прочие страны с их метрологией нас не интересуют).
Ограничения значений измеряемого временного интервала для России не предусмотрено.
Метод измерения временного интервала не определен, то есть данная погрешность справедлива как для метода задержанной развертки, так и для метода автоматических измерений.
РЭ, поставляемое в комплекте поставки с осциллографом Tektronix серии DPO-4000, не соответствует описанию типа на это СИ. Описание типа СИ содержит основные технические характеристики и после включения приборов в госреестр РФ, уважающие российских пользователей компании (например LeCroy) поставляют в Россию приборы с РЭ, полностью соответствующим российскими нормативным документам. Но, похоже, Tektronix хотел чихать на российскую метрологию, а в купе с полурусским пользовательским интерфейсом и отсутствующей в комплекте и обязательной, согласно описания типа СИ, методикой поверки (071-1808-00МП), и на всех российских пользователей.

Теперь вернемся опять к теме «как измеряет Tektronix DPO-4000 серии». Если сравнивать, как и раньше, Tektronix DPO-4054 с LeCroy WaveRunner 6050А, то погрешность измерения временных интервалов для WaveRunner 6050А определяется формулой согласно описания типа СИ и РЭ (№ госреестра 28222-04 ):

(0,06 × 10 × К_р / К_т + 10 × 10^-6 × T_изм + 5 пс), где

10 — количество делений по горизонтали,
К_р – установленное значение коэффициента развертки,
К_т – количество точек внутренней памяти,
T_изм — измеренный временной интервал.

Абсолютная погрешность измерения временного интервала 0,1 мкс составляет 1,8*10-11 секунд или относительная погрешность равна 0,018%. Для Tektronix DPO-4054 относительная погрешность измерения равна 0,801%. Или соотношение относительной погрешности измерения временного интервала 0,1 мкс (или 10 МГц) для осциллографов Tektronix DPO-4054 и LeCroy WaveRunner 6050А составляет 0,801 / 0,018 = 44,47 раза.

То есть теоретически, согласно нормативных документов, официально признанных на территории Российской Федерации, осциллограф LeCroy WaveRunner 6050А измеряет конкретный временной интервал 0,1 мкс в 44,47 раза лучше, чем Tektronix DPO-4054.

А теперь от теории перейдем к практике автоматических измерений. Почему к автоматическим измерениям? Не будем сильно пинать Tektronix DPO-4000, что он плохо измеряет методом задержанной развертки – там более менее все нормально, если не считать, что на временах задержки кратных 10, генератор задержки работает некорректно. Это нетрудно выявить, если подать временной маркер 10 мс и сдвинуть его на 10,0001 мс (по шкале генератора задержки), при этом сам сигнал на экране сдвинется всего на 50 нс, хотя должен сдвинуться на 100 нс, то есть в два раза меньше, чем положено. Так на рисунке 1 приведен пример измерения временного интервала 100 нс, между сигналом с положением задержки 10,0000 мс (белого цвета) и сигналом с положением задержки 10,0001 мс (желтого цвета). Разность по шкале генератора задержки составляет 100 нс, а значение измеренное по шкале осциллографа и с помощью курсорных измерений составляет порядка 55 нс.

Рисунок 1
(здесь и далее щелчок по изображению — увеличение)

Скорее всего, таких «жучков» в осциллографе превеликое множество, но пусть дилеры и инженеры Tektronix сами тестируют генератор задержки DPO-4000 на предмет где и насколько он врет, я лишь констатирую факт – местами врет. Для пользователя цифрового осциллографа метод задержанной развертки крайне неудобен из-за большого числа промежуточных операций с органами управления, а зачастую для некоторых сложных сигналов не применим вообще. Метод автоматических измерений быстр, прост и удобен в использовании, прогрессивен, дает рад преимуществ, например статистическую обработку результатов измерения.

Для практики измерения временного интервала используем генератор импульсов Г5-60, имеющий достаточно широкий диапазон установки, как длительности импульса, так и периода следования. Импульсные сигналы используем, что бы минимизировать явление гистерезиса 1 при измерении временного интервала. Измерения проведем как для однократного события, так и для измерений в режиме накопления статистики. При этом будем использовать собственные возможности осциллографов без привлечения дополнительных вычислительных устройств (типа внешних компьютеров) и без привлечения дополнительного программного обеспечения (собственной разработки или типа Excel, MatCad, MathLab и прочие), поскольку осциллограф для массового пользователя больше интересен как самостоятельное устройство.

На генераторе Г5-60 установим длительность импульса 12,3456 мс и период повторения импульсов 23,4567 мс. Проконтролируем эти параметры частотомером CNT-90 (а вдруг генератор импульсов испортился…) с опорой от внешнего рубидиевого источника. Результат контроля:
длительность импульса – 12,345600544 мс
повторения импульсов – 23,456402021 мс.

На рисунке 2 приведена осциллограмма измерения этого сигнала осциллографом DPO-4054 в режиме накопления статистики (ведь только методы математически статистики позволяют получить достоверные результаты!!!).

Рисунок 2

На рисунке 3 приведена осциллограмма измерения этого сигнала осциллографом LeCroy WaveRunner 6050A в режиме накопления статистики.

Рисунок 3

Определим абсолютную погрешность измерения для каждого осциллографа и соотношение погрешностей. Результаты сведем в таблицу 1.

Таблица 1
Модели	Длительность	Период
Результаты измерения
CNT-90, мс	12,345600544	23,456402021
DPO-4054, мс	12,35	23,46
WaveRunner 6050A, мс	12,3456120844	23,4564248236
Абсолютная погрешность измерения
DPO-4054, мс	0,0043994559999998	0,0035979790000020
WaveRunner 6050A, мс	0,0000115404000010	0,0000228026000002
Соотношение абсолютных погрешностей измерения
DPO-4054 и WaveRunner 6050A (разы)	381,2221	157,7881

Из рисунков 2 и 3 определим абсолютную погрешность для однократного измерения для каждого осциллографа и соотношение погрешностей. Результаты сведем в таблицу 2.

Таблица 2
Модели	Длительность	Период
Результаты измерения
CNT-90, мс	12,345600544	23,456402021
DPO-4054, мс	12,35	23,46
WaveRunner 6050A, мс	12,34561169	23,45642450
Абсолютная погрешность измерения
DPO-4054, мс	0,0043994559999998	0,0035979790000020
WaveRunner 6050A, мс	0,0000111460000003	0,0000224790000019
Соотношение абсолютных погрешностей измерения
DPO-4054 и WaveRunner 6050A (разы)	394,7116	160,0596

И если кому-то показалось, что мне показалось, что LeCroy WaveRunner в 200 раз измеряет лучше временной интервал в режиме автоматических измерений, чем Tektronix DPO-4054, то если он (она) православный – то может перекреститься, что бы больше не казалось, поскольку в этом конкретном случае LeCroy измеряет в 380 раз лучше, чем Tektronix. А если этот он (она) мусульманин, еврей, буддист или какой другой веры – то может совершить свой собственный обряд, чтобы то, что ему (ей) кажется, больше никогда не казалось…

Если усложнить задачу измерения временных интервалов, например, для импульсов большой скважности, то аутсайдер становится более чем явным. Для примера возьмем импульс длительностью 100 нс и периодом повторения 987,654 мс (контрольные значения частотомера 98,962 нс и 98,765506048 мс соответственно). Очевидно, что зафиксировать период этого сигнала осциллограф DPO-4000 может на развертке 20 мс. Результаты захвата и измерения периода и длительности приведены на рисунке 4.

Рисунок 4

Очевидно, что в силу большого значения коэффициента развертки, частота дискретизации уменьшилась до 50 Мвыб/с. В этом случае, если и можно говорить об какой-то достоверности измерения периода, то говорить о достоверном измерении длительности просто абсурдно – на глазок это около 8%. А форма этого импульса с использованием растяжки приведена на рисунке 5.

Рисунок 5

Осциллографы LeCroy для решения такого рода задач могут, в частности, использовать режим сегментированной развертки. В этом режиме сохраняется высокая частота дискретизации (до 5 Гвыб/с), обеспечивающая высокую достоверность измерения коротких длительностей, и одновременно обеспечивается измерений длинных временных периодов. На рисунке 6 приведена осциллограмма осциллографа LeCroy WaveRunner 6050A в режиме сегментированной развертки (2 сегмента) и результаты измерения временных параметров сигнала (Р1 – длительность импульса, Р2 – период повторения), ранее приведенного на рисунке 4 и 5.

Рисунок 6

Относительная погрешность измерения длительности импульса составляет 0,198%;
Относительная погрешность измерения периода повторения составляет 0,91 ppm.

Какое соотношение погрешностей измерения в этом случае оставим для анализа мужам, имеющим ученую степень. В этом режиме осциллографы LeCroy могут измерять настолько короткие импульсы, насколько позволяет частота дискретизации осциллографа, при этом период повторения может быть достоверно измерен, даже есл и он составляет минуты, часы и т.д. Результат измерения имеет разрешение 9 знаков.

Визуальный анализ формы импульса, отображаемого осциллографами LeCroy и Tektronix, сравнивать, по-моему, просто глупо….

Выше приведены достаточно простые примеры сигналов, но даже на их анализе можно понять, какой осциллограф, что и с какой достоверностью измеряет. Результаты получены для конкретных моделей осциллографов LeCroy и Tektronix, но очевидно, что для всей серии приборов подобного типа результаты если и будут отличаться, то не значительно.

Явление гистерезиса

Явление гистерезиса иногда может подпортить «впечатление» о достоверности измерения или статистики измерения того или иного временного параметра. Гистерезис (от греческого слова «hysteresis» — отставание) для цифрового осциллографа в режиме измерения временного интервала — это паразитное явление, связанное со скачкообразными изменениями на фронтах измеряемого сигнала и вызванное причинами хаотического характера. Причин, вызывающие нестабильность фронтов две. Первая причина — это аппаратные суммарные шумы трактов цифрового осциллографа, конечная разрядность АЦП осциллографа и так далее. Обычно эта причина и оценивается в спецификации как «погрешность измерения временного интервала». Вторая причина зависит от формы самого сигнала, определяется как «погрешность определения уровня 0,5U» и описывается формулой:

, где

a1 – угол образованный нарастающим фронтом сигнала и вертикальной линией шкалы в градусах;
a2 – угол образованный спадающим фронтом сигнала и вертикальной линией шкалы в градусах.

То есть, чем более пологий фронт имеет сигнал, тем больше суммарная погрешность измерения временного интервала и, наоборот – на крутом фронте явление гистерезиса практически не проявляется. Так на рисунке 7 изображена осциллограмма синусоидального сигнала. На первый взгляд сигнал «чистый» и не имеет видимых искажений. Но при растяжке сигнала (осциллограмма внизу) отчетливо видны искажения типа «ступенька». Положение этих «ступенек» хаотически изменяется и при измерениях, например периода, это приводит к хаотическому изменению опорного уровня, от которого начинает отсчитываться период сигнала. Поскольку цифровые осциллографы способны обеспечить измерения временных интервалов с разрешением порядка единиц ppm, то такие хаотические колебания опорного уровня приводят к увеличению разброса между минимальным и максимальным измеренными значениями.

Рисунок 7

При наблюдении прямоугольного сигнала с крутыми фронтами от того же источника, что и для рисунка 7, с той же частотой и амплитудой, что и на примере выше, видно, что гистерезис отсутствует (см. рисунок 8).

Рисунок 8

Очевидно, что для сигнала, приведенного на рисунке 8, разброс между минимальным и максимальным измеренными значениями временного интервала будет существенно меньше. Попробуем практически оценить влияние гистерезиса на достоверность измерения временных интервалов. Для этого используем двухканальный генератор Tabor 2572. Один канал генератора формирует синусоидальный сигнал частотой 10 МГц, а второй канал формирует прямоугольный сигнал той же частоты, амплитуды обоих сигналов одинаковы. Генератор запитан от внешней опорной частоты 10 МГц от рубидиевого источника. Одновременно оба сигнала подаем на два входа осциллографа LeCroy, включаем режим измерения частоты по 50% уровню для обоих сигналов и по результатам измерения частоты строим гистограммы, отдельно для каждого измерения, с целью анализа статистики измерений. Поскольку сигнал на вход осциллографа подается от одного источника, то временные параметры обоих сигналов (погрешность установки частоты и нестабильность частоты) имеют одни и те же параметры. Влиянием самого осциллографа для относительных измерений частот можно пренебречь. Такая схема включения позволяет исключить практически все мешающие факторы и определить только влияние формы входного сигнала на результаты измерений. Результаты праведен на рисунке 9.

Рисунок 9

На вход С1 подается синусоидальный сигнал, осциллограмма F1 – представляет гистограмму распределения значений измерений частоты сигнала С1. Результаты измерения частоты сигнала С1 отображаются в окне измерений Р1.

На вход С3 подается прямоугольный сигнал, осциллограмма F2 – представляет гистограмму распределения значений измерений частоты сигнала С3. Результаты измерения частоты сигнала С3 отображаются в окне измерений Р2.

Обе гистограммы F1 и F2 имеют одинаковый масштаб по горизонтали. Из беглого визуального анализа видно гистограмма F2 (прямоугольный сигнал) имеет более узкую форму, что свидетельствует от меньшем разбросе измеренных параметров, чем гистограмма F1 (синусоидальный сигнал). При этом диапазон гистограммы F1 составляет 77,3 кГц, а диапазон гистограммы F2 составляет уже 28,7 кГц. То есть разброс значений измерений для синусоидального сигнала почти в три раза больше, чем для прямоугольного сигнала. Это и есть наглядное паразитное влияние гистерезиса.

При анализе результатов измерений рисунка 9 видно, что средние значения частоты, как для синусоидального, так и для прямоугольного сигнала имеют практически одно и то же значение — 9,999983 МГц и 9,999977 МГц. Измерение среднего значения обоих гистограмм (наиболее вероятного результата) так же дает практически одинаковые результаты — 9,9999828 МГц и 9,9999776 МГц. Отсюда следуют выводы:

При одиночном измерении временного интервала, результаты для сигналов с меньшей крутизной фронта имеют большую погрешность измерения, чем для сигналов с большей крутизной фронта;
При измерении временных параметров периодического статического сигнала с использованием методов математической статистики, результат измерения не зависит от формы сигнала и паразитное хаотическое влияние гистерезиса исключается.

Литература:

Осциллограф универсальный С1-108. Техническое описание и инструкция по эксплуатации 2.044.117 ТО
ВНИИМС, описание типа на СИ с № госреестра 27908-05; осциллографы Fluke серии Fluke-190
ВНИИМС, описание типа на СИ с № госреестра 24018-02; осциллографы Tektronix серии TDS-1000/2000
ВНИИМС, описание типа на СИ с № госреестра 32618-02; осциллографы Tektronix серии TDS-1000B/2000B
ВНИИМС, описание типа на СИ с № госреестра 32619-06; осциллографы Tektronix серии DPO-4000
ВНИИМС, описание типа на СИ с № госреестра 28222-04; осциллографы LeCroy серии WaveRunner 6000

Автор: Дедюхин А.А.
Дата публикации: 23.01.2007

Погрешность измерений | КИПиА Портал

Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные

Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.

(1.2), где X — результат измерения; Х₀ — истинное значение этой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением

(1.3), где Х_д — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(1.4)

По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные.

Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:

первые — погрешностью градуировки шкалы или ее небольшим сдвигом;
вторые — старением элементов средства измерения.

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.

Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.

По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.

Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.

Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.

Погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:

(1.5), где X_н – номинальное значение меры; Х_д – действительное значение меры

Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:

(1.6), где X_п – показания прибора; Х_д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному

(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).

(1.7)

Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).

(1.8)

Предел допускаемой погрешности средств измерений – наибольшая без учета знака погрешность средства измерений, при которой оно может быть признано и допущено к применению. Данное определение применяют к основной и дополнительной погрешности, а также к вариации показаний. Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий, их погрешности также зависят от этих условий, поэтому погрешности средств измерений принято делить на основные и дополнительные.

Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.

Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Погрешности средств измерений подразделяются также на статические и динамические.

Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.

Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.

Факторы влияющие на погрешность измерений.

Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений

Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.

Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.

Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.

Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.

Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.

Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.

Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.

Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.

Шумы — любой сигнал не несущий полезной информации.

Оборудование

Генератор 1
Количество каналов	2
Диапазон рабочих частот	от 0,01 Гц до 80 МГц
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения частоты, %	± 0,001
Диапазон воспроизведения амплитуды сигналов: выходное сопротивление 50 Ом выходное сопротивление 1 Мом	от 10 мВ до 10 В от 20 мВ до 20 В
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения амплитуды сигналов (Uв): при уровне сигнала от 10 мВ до 19 В при уровне сигнала более 19 В	± (0,005∙Uв + 10 мВ) ± 0,025 Uв
Диапазон воспроизведения напряжения смещения постоянного тока (Uсм), В	± 10
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения напряжения смещения постоянного тока: при уровне менее 9,5 В при уровне равном и более 9,5 В	± (0,005∙Uсм + 10 мВ) ± 0,025∙Uсм
Генератор низкочастотный
Диапазон рабочих частот	от 0,001 Гц до 200 кГц
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения частоты (F)	± (25∙10-5∙F + 4 мГц)
Уровень гармонических составляющих воспроизводимого сигнала, дБ, не более	минус 98
Диапазон амплитуд воспроизводимых сигналов (U): однополярный выход: выходное сопротивление 50 Ом выходное сопротивление 1 МОм балансный выход: выходное сопротивление 50 Ом выходное сопротивление 1 Мом	от 5 мкВ до 14,4 В от 10 мкВ до 40,0 В от 10 мкВ до 28,8 В от 20 мкВ до 80,0 В
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения амплитуды сигнала	± (0,01∙U + 2 мкВ)
Диапазон воспроизведения напряжения смещения постоянного тока (Uсм), В	± 10
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения напряжения смещения постоянного тока	± (0,01∙Uсм + 2 мкВ)
Генератор СВЧ
Диапазон рабочих частот	от 250 кГц до 3 ГГц
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения частоты, %	± 1 10-4
Диапазон мощности воспроизводимого сигнала, дБм	от минус 120 до 10
Пределы допускаемой погрешности воспроизводимой мощности сигнала, дБ: при уровне мощности от 10 до минус 50 дБм в диапазоне частот: от 250 кГц до 2 ГГц от 2 до 3 ГГц при уровне мощности от минус 50 до минус 120 дБм в диапазоне частот: от 250 кГц до 2 ГГц от 2 до 3 ГГц	± 0,5 ± 0,6 ± 1,5 ± 2,5
Уровень гармонических составляющих воспроизводимого сигнала, дБ, не более	минус 30
Виды модуляции воспроизводимого сигнала	АМ, ЧМ, ФМ, ИМ
Диапазон воспроизведения коэффициента амплитудной модуляции (Кам), %	от 0 до 100
Пределы допускаемой погрешности воспроизведения Кам, %	± 0,5
Диапазон воспроизведения девиации частоты в диапазоне частот, МГц, не менее: от 10 МГц до 1 ГГц от 1 до 2 ГГц от 2 до 3 ГГц	1,0 2,0 4,0
Пределы допускаемой погрешности воспроизведения девиации частоты, %	± 0,5
Диапазон воспроизведения девиации фазы в диапазоне частот, рад., не менее: от 10 МГц до 1 ГГц от 1 до 2 ГГц от 2 до 3 ГГц	10,0 20,0 40,0
Пределы допускаемой погрешности воспроизведения девиации фазы, %	± 0,5
Длительность импульса импульсной модуляция, мкс, не менее	4,0
Период следования импульса импульсной модуляция, мкс, не менее	8,0
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения длительности импульса, %: при длительности импульса менее 1 мс при длительности импульса равном и более 1 мс	± 2,5 ± 1
Пределы допускаемой относительной погрешности установки периода следования импульса, %: при периоде следования импульса менее 10 мс при периоде следования импульса равном и более 10 мс	± 1 ± 0,5
Время нарастания фронта/спада импульсов, нс, не более: при периоде следования импульса: менее 1 мс равном и более 1 мс и менее 10 мс равном и более 10 мс	150 1500 15000
Генератор тактовых импульсов и сигналов прямоугольной формы
Диапазон рабочих частот	от 1 Гц до 2 ГГц
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения частоты, %	± 1∙10-4
Номинальные значения амплитуды воспроизводимого прямоугольного сигнала в диапазоне частот от 1 Гц до 250 МГц (выход CMOS), В	1,2; 1,8; 2,5; 3,3; 5
Диапазон амплитуды воспроизводимого прямоугольного сигнала в диапазоне частот от 1 Гц до 2 ГГц парафазный выход (Q и Ō)	от 100 мВ до 1 В
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения амплитуды сигнала (Uп): на выходе CMOS на выходе Q и Ō	± (2∙10-2 Uп + 20 мВ) ± (1∙10-2 Uп + 10 мВ)
Канал формирования аналогового сигнала
Количество дифференциальных каналов преобразования цифрового кода в напряжение	2
Количество разрядов кода преобразования, бит	16
Диапазон изменения значений выходного сигнала, В	от минус 11,1 до 11,1 В
Пределы допускаемой относительной погрешности воспроизведения выходного сигнала, не более, %	± 1,0
Пределы допускаемой нелинейности функции преобразования (интегральная нелинейность преобразования), не более %	± 0,003(или 2 или 5)
Время установления выходного сигнала до момента вхождения выходного аналогового сигнала в зону установления равную 5% от установленного значения, не более, мкс	5,0
Калибратор/мультиметр модели 2420
Диапазон воспроизводимого/измеряемого напряжения постоянного тока, В	от 0,001 до 60
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения/измерений напряжения постоянного тока (Uо): на пределе 200 мВ и 2 В на пределе 20 В на пределе 60 В	± (2∙10-4 Uо + 0,6 мВ) ± (2∙10-4 Uо + 2,4 мВ) ± (2∙10-4 Uо + 7,2 мВ)
Диапазон воспроизводимой/измеряемой силы постоянного тока	от 1 мкА до 3 А
Пределы допускаемой абсолютной погрешности воспроизведения/измерений силы постоянного тока (I): на пределе 1, 10, 100 мкА, 1, 10, 100 мА на пределе 1 А на пределе 3 А	± 0,001∙I ± (0,001∙I+ 900 мкА) ± (0,001∙I + 2,7 мА)
Максимальная мощность, Вт	60
Диапазон измерений электрического сопротивления	от 100 мОм до 200 МОм
Пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений электрического сопротивления: на пределе 20 Ом на пределе 200 Ом на пределе 2 кОм на пределе 20 кОм на пределе 200 кОм на пределе 2 МОм на пределе 20 МОм на пределе 200 Мом	± 23 мОм ± 170 мОм ± 1,70 Ом ± 15,0 Ом ± 170 Ом ± 2,50 кОм ± 23,0 кОм ± 670 кОм
Анализатор спектра
Диапазон рабочих частот	от 100 Гц до 3 ГГц
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений частоты	± 1∙10-3
Неравномерность амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), дБ: в диапазоне частот от 100 Гц до 10 МГц в диапазоне частот от 10 МГц до 3 ГГц	± 3,0 ± 2,5
Максимальная измеряемая мощность, не более	30 дБм (1 Вт)
Пределы допускаемой погрешности измерений мощности, дБ	± 1
Мультиметр
Диапазон измерений напряжения постоянного тока	от 100 мкВ до 1000 В
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений напряжения постоянного тока, %: на пределе 100 мВ на пределе 1, 10, 100, 1000 В	± 8,0∙10-3 ± 4,0∙10-3
Диапазон измерений напряжения переменного тока (среднеквадратичного значения)	от 1 мВ до 750 В
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений напряжения переменного тока, %: в диапазоне частот от 3 до 10 Гц в диапазоне частот от более 10 Гц до 20 кГц в диапазоне частот от более 20 до 100 кГц в диапазоне частот от более 100 до 300 кГц	± 1,1 ± 0,1 ± 0,65 ± 4,5
Диапазон измерений силы постоянного тока	от 1 мкА до 3 А
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений силы постоянного тока, %: на пределах 10 и 100 мА на пределе 1 А на пределе 3 А	± 0,015 ± 0,04 ± 0,1
Диапазон измерений силы переменного тока (среднеквадратичного значения)	от 100 мкА до 3 А
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений силы переменного тока, %: в диапазоне частот от 3 Гц до 10 Гц: на пределе 1 А на пределе 3 А в диапазоне частот от более 10 Гц до 5 кГц: на пределе 1 А на пределе 3 А	± 1 ± 3,5 ± 0,15 ± 0,65
Диапазон измерений электрического сопротивления	от 1 мОм до 100 МОм
Пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений электрического сопротивления: на пределе 100 Ом на пределе 1 кОм на пределе 10 кОм на пределе 100 кОм на пределе 1 МОм на пределе 10 МОм на пределе 100 Мом	± 4 мОм ± 20 мОм ± 200 мОм ± 2 Ом ± 30 Ом ± 1 кОм ± 150 кОм
Диапазон измерений частоты сигналов	от 3 Гц до 300 кГц
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений частоты сигналов, %: в диапазонах частот от 3 до 10 Гц и от 50 до 100 кГц в диапазоне частот от 10 Гц до 50 кГц в диапазоне частот от 100 до 300 кГц	± 0,5 ± 0,1 ± 1,5
4-х канальный дигитайзер
Диапазон рабочих частот	от 10 Гц до 50 МГц
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений частоты, %	± 0,1
Неравномерность АЧХ в диапазоне частот от 10 Гц до 50 МГц, дБ	± 3
Диапазон измерений напряжения постоянного и переменного тока: при входном сопротивлении 50 Ом при входном сопротивлении 1 Мом	от 25 мВ до 5 В от 25 мВ до 25 В
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений напряжения постоянного и переменного тока, %	± 0,5
Осциллограф
Полоса пропускания	от 0,01 Гц до 1 ГГц
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений частоты, %	± 0,1
Неравномерность АЧХ в диапазоне частот от 0,01 Гц до 1 ГГц, дБ	± 3 дБ
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений периода сигнала, %	± 0,1
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений длительности импульса, %	± 1,0
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений времени нарастания фронта/спада импульса, %	± 1,0
Пределы допускаемой относительной погрешности измерений амплитуды сигнала, %	± 5,0
Диапазон значений коэффициента развертки по вертикали	от 2 мВ/дел до 5 В/дел
Диапазон значений коэффициента развертки по горизонтали	от 500 пс/дел до 50 с/дел
Максимальное входное напряжение, В: среднеквадратичное значение пиковое значение	300 400
Анализатор логических уровней осциллографа
Диапазон задания порогового напряжения, В	± 8
Пределы допускаемой абсолютной погрешности задания порогового напряжения, мВ: в диапазоне от минус 8 минус 2 и от 5 до 8 В от минус 2 до 5 В	± 400 ± 200

Государственные первичные эталоны | ФГУП ВНИИФТРИ

Область применения

Основные области применения измерений времени и частоты: информатика и связь, наземная и космическая навигация, высокоточная геодезия, геодинамика, контроль за подвижками земной коры, фундаментальные физические исследования. Измерения частоты выполняются с наибольшей точностью по сравнению с другими видами измерений, поэтому многие величины, подлежащие измерению, преобразуют во временные или частотные для последующего точного измерения. Основываясь на этой идеологии, в настоящее время разрабатываются эталоны длины, электрического сопротивления и напряжения. Для решения различных научных и практических задач в стране эксплуатируются сотни тысяч различных высокоточных приборов, использующих время — частотные методы.

Описание:

Первый Государственный эталон единицы времени — секунды, единицы частоты — Герца и национальной шкалы времени (ГЭВЧ) был создан во ВНИИФТРИв 1967 г. Исключительно широкая область применения измерений времени и частоты в различных отраслях экономики, рост требований к точности ГЭВЧ со стороны потребителей обуславливает необходимость непрерывного совершенствования аппаратурного комплекса ГЭВЧ. С 1967 г. по настоящее время прошло шесть переаттестаций ГЭВЧ. В 2018 г. приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии № 600 от 02 апреля 2018 г. был утверждён ныне действующий эталон ГЭТ 1. Его основные метрологические характеристики (точность, стабильность, согласование шкал) по сравнению с характеристиками предыдущей аттестации (ГЭТ 1-98) были значительно (на два порядка) улучшены. Государственный первичный эталон состоит из непрерывно работающих аппаратурных комплексов основных технических средств и вспомогательных устройств.

Комплекс воспроизведения единиц времени и частоты состоит из двух метрологических цезиевых реперов частоты фонтанного типа, предназначенных для независимого воспроизведения единиц времени и частоты в соответствии с определением секунды в международной системе единиц. Кроме этого, в состав комплекса входит оптический репер частоты на холодных атомах стронция (87Sr), являющегося одним из наиболее вероятных претендентов на переопределение секунды СИ. Именно эти приборы определяют одну из основных метрологических характеристик эталона — неисключенную систематическую погрешность воспроизведения единиц времени и частоты.
Комплекс хранения национальной шкалы времени предназначен для хранения размеров единиц и шкал времени, проведения внутренних и внешних сличений эталона, формирования рабочих шкал времени и расчета национальной шкалы времени. Средства хранения на базе шестнадцати водородных стандартов частоты и времени активного типа определяют вторую важнейшую метрологическую характеристику — нестабильность частоты эталона при интервалах времени измерений 10÷30 суток.
Основными техническими средствами Комплекса передачи единиц времени, частоты и национальной шкалы времени UTC (SU) является приёмная аппаратура сигналов глобальных навигационных спутниковых систем, аппаратура дуплексных сравнений шкал времени по спутниковому каналу связи и перевозимые квантовые часы на базе транспортируемых водородных стандартов. Эта аппаратура определяет погрешность сличения с другими эталонами и погрешность передачи размера единиц вторичным и рабочим эталонам, рабочим средствам измерения времени и частоты.

Метрологические характеристики

Наименование характеристики, единица измерения	Значение
Диапазон измеряемых интервалов времени, с	1·10^-9–1·10⁸
Диапазон измеряемых частот, Гц	1,0∙10^-3—5,7∙10¹⁴
Номинальное значение частоты, при котором воспроизводятся единицы времени и частоты, Гц	9192631770
Относительное среднее квадратическое отклонение результата измерений при воспроизведении единиц времени и частоты при интервале времени наблюдений 1 сут	≤ 1·10^-15
Доверительные границы относительной неисключенной систематической погрешности воспроизведения единиц при уровне доверительной вероятности 0,99	≤ 5·10^-16
Относительная нестабильность частоты эталона (СКДО) при интервалах времени измерения 10 ÷ 30 сут и интервале времени наблюдений 1 год	≤ 1·10^-15
Пределы допускаемых смещений национальной шкалы времени UTC(SU) относительно шкалы Всемирного координированного времени UTC, нс	± 7

Анализ ошибок (без исчисления)

m		0,07 г
	=		= 0,002, или, если хотите, 0,2%
M		34,6 г

Выбор выражения относительного ошибки «как есть» (в виде дробей) или в процентах. Я предпочитаю работать используя их как дроби в расчетах, избегая необходимости постоянно умножаем на 100.Зачем делать ненужную работу?

Но при выражении окончательных результатов часто имеет смысл выразите относительную неопределенность в процентах. Это легко сделать, просто умножьте относительную погрешность на 100. Это 0,2%.

3. Абсолютная или относительная форма; который использовать.

При выборе формы необходимо руководствоваться здравым смыслом и здравым смыслом. использовать для представления ошибки при указании результата . Рассмотрим измерение температуры с помощью термометра, который, как известно, надежен для ± 0.5 градусов по Цельсию. Имеет ли смысл сказать, что это причины погрешность 0,5% при измерении точки кипения воды (100 градусов) но колоссальная погрешность в 10% при измерении холодной воды при температура 5 градусов? Конечно, нет! [А что, если температуры были выражены в градусах Кельвина? Казалось бы снизить процент ошибок до незначительности!] Ошибки и расхождения, выраженные в процентах, не имеют смысла для некоторых типов измерений. Иногда это связано с характером измерительный прибор, иногда характер измеряемого само количество или способ его определения.

Бывают также случаи, когда абсолютные ошибки неуместны и поэтому ошибки должны быть выражены в относительной форме.

Иногда как абсолютная, так и относительная погрешность необходимо для полной характеристики погрешности измерителя. Для Например, если пластмассовая измерительная линейка с возрастом равномерно сжимается, эффект может быть выражена в виде определяемой ошибки в процентах. Если половина миллиметра были стерты с нулевого конца палки, и это не было замечено или компенсировано, это лучше всего было бы выразить как абсолютная определенная ошибка.Очевидно, обе ошибки могут присутствовать в конкретной метрической палке. Производитель вольтметра (или другой электросчетчик) обычно дает свои гарантированные пределы ошибка как постоянная определенная ошибка плюс `процент ‘ ошибка.

Как относительная, так и дробная формы ошибки могут появляться в промежуточные алгебраические шаги при выводе уравнений ошибок. [Этот обсуждается в разделе H ниже.] Это просто вычислительный артефакта, и не имеет отношения к вопросу о том, какая форма имеет смысл для сообщения о размере и характере ошибки в данные и результаты.

G. ВАЖНОСТЬ ПОВТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Одного измерения количества недостаточно, чтобы передать какие-либо информация о качестве измерения. Вам может понадобиться сделайте повторные измерения, чтобы узнать, насколько стабильно измерения есть.

Если вы ранее выполняли этот тип измерения, с тем же инструмента, и определили неопределенность этого конкретного измерительный инструмент и процесс, вы можете обратиться к своему опыту оценить неопределенность.В некоторых случаях вы, возможно, знаете, из прошлого опыт, что измерение шкала ограничена , что в том, что его неопределенность меньше, чем наименьшее приращение, которое вы можете прочитать на шкале прибора. Такое измерение даст то же значение точно для повторных измерений одной и той же величины. Если вы знаете (из непосредственного опыта), что это масштаб ограничено, затем укажите его неопределенность как наименьшее приращение, которое вы можно читать по шкале.

Студентам этого курса не нужно становиться экспертами в области штрафов. детали статистической теории. Но они должны быть постоянно в курсе экспериментальных ошибок и сделайте все необходимое, чтобы выяснить насколько они влияют на результаты. Следует соблюдать осторожность, чтобы свести к минимуму ошибки. Размеры экспериментальных ошибок как в данных, так и в результатах должны определяться, когда это возможно, и количественно оцениваться выражая их как средние отклонения. [В некоторых случаях здравый смысл экспериментальное исследование может предоставить информацию об ошибках без использования сложной математики.]

Студент должен понимать, что полный рассказ об экспериментальном ошибки здесь не приводились, но будут выявлены позже. курсы и более продвинутые лабораторные работы.

H. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Важность оценки ошибок данных обусловлена тем, что ошибки данных распространяются через вычисления, чтобы произвести ошибки в результатах. Это размер влияния ошибок данных на результаты, что является наиболее важным. Необходимо приложить все усилия для определения разумных оценок ошибок для каждого важного экспериментальный результат.

Мы проиллюстрируем, как распространяются ошибки, сначала обсудив, как найти количество ошибок в результатах по учитывая, как ошибки данных распространяются через простые математические операции. Сначала рассмотрим случай детерминированных ошибок : те которые знали знак. Таким образом мы обнаружим определенные полезные правила для распространения ошибок, тогда мы сможем изменить правила, применяемые к другим мерам погрешности, а также к неопределенным ошибки.

Здесь мы разрабатываем математические правила для «конечные разности», алгебра чисел, имеют относительно небольшие вариации. Конечная различия — это отклонения от «истинных значений», вызванные экспериментальные ошибки.

Этот метод основан на фундаментальном принципе. В любом расчете мы хотим знать, сколько ошибка в одной входной переменной повлияет на результат вывода. В сложных расчетах, таких как в метеорологическом прогнозировании погоды компьютеры позволяют нам делать это непосредственно с каждой из многих входных переменных, что-то никто бы никогда не попытался сделать это «вручную».Это метод «грубой силы», но он необходим. В этой лаборатории уравнения будут намного проще и обычно уступают место алгебре и нескольким простым правилам.

Предположим, что экспериментальный результат вычисляется из суммы две величины данных A и B. Для этого обсуждения мы будем использовать a и b для представления ошибок в A и B соответственно. Данные количества написаны, чтобы явно показать ошибки:

(A + a) и (B + b)

Мы допускаем, что a и b могут быть либо положительными, либо отрицательный, при этом знаки находятся в символах «а» и «б».»Но мы должны подчеркнуть что мы здесь рассматриваем случай, когда знаки a и b определимы, и мы знаем, что это за знаки (положительные или отрицательные).

Результат сложения A и B для получения R выражается как уравнение: R = A + B. С явно включенными ошибками, это написано:

(А + а) + (В + б) = (А + В) + (а + б)

Результат с его ошибкой r, явно показанной, будет: (R + r):

(R + r) = (A + B) + (a + b)

Следовательно, ошибка R равна: r = a + b.

Мы заключаем, что определенная ошибка в сумме двух величин — это всего лишь сумма ошибок в этих количествах. Вы можете легко потренироваться сам случай, когда результат рассчитывается из разница двух величин. В этом случае определенная ошибка в результатом будет разница в ошибках. Обобщение:

Правило сумм для детерминированных ошибок. Когда добавляются два количества, их детерминированные ошибки добавляют.
Правило разницы для определенных ошибок. Когда вычитаются две величины, их определенные ошибки вычитаются.

Теперь рассмотрим результат, полученный умножением R = AB. С участием явно включены ошибки:

(R + r) = (A + a) (B + b) = AB + aB + Ab + ab или: r = aB + Ab + ab

Это не выглядит многообещающим для переделки по простому правилу. Тем не мение, когда мы выражаем ошибки в относительной форме , вещи выглядишь лучше.Если ошибка a мала относительно A, а b мала относительно B, то (ab) заведомо мала относительно AB, а также мал по сравнению с (aB) и (Ab). Поэтому мы пренебречь термином (ab) (выбросить), так как нас интересует только по ошибке оценивается до одной или двух значащих цифр. Сейчас мы выразить относительную ошибку в R как

r aB + bA a b
=
=
+
Р AB A B

Это дает нам очень простое правило:

Правило продукта для определенных ошибок.Когда две величины перемножаются, их относительных детерминированных ошибок доп.

Аналогичная процедура может быть проделана для отношения двух величины, R = A / B.

А + а А (А + а) В А (В + б)
–
–
r B + b Б (B + b) B Б (Б + б)
=
=
Р A / B A / B

(A + a) B — A (B + b) (а) Б — А (б) а б
=
≈
≈
–
A (B + B) AB А В

Приближение, сделанное на предпоследнем шаге, заключалось в пренебрежении b в знаменателе, который действителен, если относительные ошибки небольшой.Итак, результат:

Правило частного для определенных ошибок. Когда две величины разделены, относительная определенная ошибка частного — это относительная определенная ошибка числителя минус относительная определенная ошибка знаменателя.

Следствие правила продукта следующее:

Правило мощности для определенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная определенная ошибка в результате P умноженная на относительная определенная ошибка в Q.Это также верно для отрицательных степени, то есть относительная определенная ошибка в квадратном корне из Q составляет половину относительной детерминированной ошибки в Q.

Одним из примеров практического использования определенных ошибок является случай исправления результата, когда вы обнаруживаете, после завершения длительных измерений и вычислений, что в одном или нескольких измерениях была определенная ошибка. Возможно, шкала или метр были неправильно откалиброваны. Вы обнаруживаете это и определяете размер и знак ошибки в этом измерительном инструменте.Вместо того, чтобы повторять все измерения, вы можете составить уравнение детерминированной ошибки и использовать свои знания об ошибке калибровки для исправления результата. Как вы увидите в следующих разделах, обычно вам все равно придется составлять уравнение ошибки, так почему бы не использовать его для исправления обнаруженной ошибки, вместо того, чтобы повторять все вычисления?

I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ОШИБОК

Неопределенные ошибки имеют неизвестный знак. Если их распределение симметрично относительно среднего, тогда они несмещены относительно знака.Также, если неопределенные ошибки в разных величины не зависят друг от друга, их знаки имеют тенденции уравновешивают друг друга в вычислениях. [11]

Когда нас интересуют только пределы ошибки (или максимальная погрешность) мы должны предположить «наихудшую» комбинацию знаков. На случай, если вычитание, A — B, происходит наихудшее отклонение ответа когда ошибки либо + a и -b, либо -a и + b. В любом случае, максимальная ошибка будет (a + b).

В случае отношения A / B наихудшее отклонение ответ происходит, когда ошибки имеют противоположный знак, либо + a, и -b или -a и + b. В любом случае максимальный размер родственника ошибка будет (a / A + b / B).

Результаты операций сложения и умножения таковы: так же, как прежде. Таким образом, максимально неопределенных ошибки распространяются в соответствии со следующими правилами:

Правило сложения и вычитания для неопределенных ошибок.Абсолютно неопределенный ошибки доп.
Произведение и правило частного для неопределенных ошибок. Относительные неопределенные ошибки Добавить.

Следствие правила продукта следующее:

Правило мощности для неопределенных ошибок. Когда количество Q возводится в степень, P, относительная ошибка в результате P умноженная на относительную ошибку в Q. Это также верно для отрицательных степеней, то есть относительной ошибки в квадратный корень из Q составляет половину относительной ошибки в Q.

Эти правила применяют только при объединении независимых ошибки, то есть отдельные ошибки, не зависящие от каждого другое по размеру или знаку.

Можно показать (но не здесь), что эти правила также применяются достаточно хорошо для ошибок, выраженных в виде средних отклонений. В одним из недостатков этого является то, что оценки ошибок, сделанные таким образом, все еще чрезмерно консервативны в том, что они не полностью учитывают склонность терминов ошибок, связанных с независимыми ошибками, к компенсировать друг друга.Однако это будет незначительное исправление небольшое значение в нашей работе в этом курсе.

Правила распространения ошибок могут быть получены для других математических операции по мере необходимости. Например, правила для ошибок в триггере функции могут быть получены с использованием триггерных идентификаторов, используя приближения: sin ß = ß и cos ß = 1, действительно, когда ß мало. Правила для экспонент могут быть выведены также.

Когда математические операции комбинируются, правила могут быть последовательно применяется к каждой операции, и уравнение может быть алгебраически полученный [12], который выражает ошибку в результате с точки зрения ошибок в данных.Такое уравнение всегда можно составить в стандартную форму , в которой каждый источник ошибок появляется в только один срок. Пусть x представляет ошибку в x, y ошибку в y и т. Д. Тогда ошибка r в любом результате R, вычисленная любой комбинацией даны математические операции над значениями данных X, Y, Z и т. д. по:

r = (c _x) x + (c _y) y + (c _z) z … и т. д.

Это всегда можно алгебраически изменить на:

r / R = {C _x} (x / X + {C _y} (y / Y) + {C _z} (z / Z)… так далее.

Коэффициенты (c _x) и {C _x} и т. Д. в каждом семестре чрезвычайно важно, потому что они, наряду с размерами ошибок, определить, насколько каждая ошибка влияет на результат. Родственник размер членов этого уравнения показывает нам относительную важность источников ошибок. Дело не в относительном размере ошибок (x, y и т. д.), но относительный размер ошибок, который говорит нам их относительная важность.

Если это уравнение ошибки было получено из определенная ошибка правила, относительные ошибки в приведенных выше могут иметь + или — знаки. Коэффициенты также могут иметь знаки + или -, поэтому члены сами могут иметь знаки + или -. Следовательно, возможно условия, чтобы компенсировать друг друга.

Если это уравнение ошибки было получено из неопределенного значения ошибка правила, содержащиеся в нем меры погрешности по своей сути положительны.Коэффициенты также окажутся положительными, поэтому члены не могут компенсировать друг друга.

Удобно знать, что уравнение неопределенной ошибки может можно получить непосредственно из уравнения детерминированной ошибки, просто выбирая наихудший случай, т. е. принимая абсолютное значение каждый семестр. Это заставляет все термины быть положительными. Этот шаг сделано только после того, как уравнение детерминированной ошибки было полностью выведен в стандартном виде.

Уравнение ошибок в стандартной форме — один из самых полезных инструментов. для экспериментального дизайна и анализа. Он должен быть выведен (в алгебраическая форма) еще до начала эксперимента, как руководство к экспериментальная стратегия. Он может показать, какие источники ошибок преобладают, и которые незначительны, тем самым экономя время, которое можно потратить возня с неважными соображениями. Это может подсказать, как влияние источников ошибок может быть минимизировано соответствующим выбором размеров переменных.Он может сказать вам, насколько хорошо инструмент, необходимый для достижения желаемой точности в полученные результаты.

Учащийся, который пренебрегает выводом и использованием этого уравнения, может потратить весь лабораторный период с использованием инструментов, стратегии или ценностей недостаточно для требований эксперимента. И он может закончить вверх без малейшего представления почему результаты не такие хороши, какими должны были быть.

Заключительный комментарий для тех, кто хочет использовать стандартные отклонения в качестве неопределенные меры погрешности: поскольку стандартное отклонение получено из среднего значения квадратов отклонений , уравнение (7) необходимо изменить — каждый член уравнения (обе стороны) должен в квадрате:

(r / R) = (C _x) ² (x / X) + (C _y) ² (y / Y) + (C _z) ² (z / Z)

Это правило приводится здесь без доказательства.

J. ПРИМЕРЫ

Пример 1: Учащийся обнаруживает постоянное ускорение медленного движущийся объект с секундомером. Используемое уравнение: s = (1/2) при ². Время измеряется секундомером, расстояние — метровой палкой.


s = 2 ± 0,005 метра. Это 0,25%.
t = 4,2 ± 0,2 секунды. Это 4,8%.

Что такое ускорение и его расчетная погрешность?

Мы будем использовать заглавные буквы для измеряемых величин, строчные буквы для их ошибок.Решите уравнение для получения результата: a. А = 2С / Т ². Его уравнение неопределенной ошибки:

 
а т с
- = 2 - + -
А Т С

Фактор 2 во временном термине заставляет этот термин доминировать, так как применение Правило для ошибок в величинах, возведенных в степень, приводит к ошибке 4,8% за время, которое нужно удвоить, что дает ошибку более 9,5% в T ². Ошибка 1/4 процента из-за измерения расстояния явно ничтожно мало по сравнению с 9.5% погрешность из-за измерения времени, итак результат (ускорение) записывается: A = 0,23 ± 0,02 м / с ².

Пример 2: Результат рассчитывается по формуле R = (G + H) / Z, значения данных:

G = 20 ± 0,5
В = 16 ± 0,5
Z = 106 ± 1,0

Символ ± указывает на неопределенность этих ошибок. Расчет R требует как сложения, так и деления, и дает значение R = 3.40. Для расчета погрешности требуется как правило сложения и умножения, применяемые последовательно, в том же порядке, что и операции, выполняемые при вычислении самого R.

Правило сложения гласит, что абсолютные ошибки в G и H складываются, поэтому погрешность в числителе 1,0 / 36 = 0,28.

Правило деления требует, чтобы мы использовали относительно (дробные ошибки). Относительная погрешность числителя равна 1,0 / 36 = 0,028.Относительная ошибка знаменателя равна 1,0 / 106 = 0,0094. Относительная погрешность в знаменателе добавляется к числителю, чтобы получить 0,0374, что является относительной погрешностью в R.

Если требуется абсолютная ошибка в R, это (0,0374) R = 0,0136. Результат с ошибкой может быть выражен как:

Пример 3: Напишите уравнение с определенным значением ошибки например 1.

Мы выполняем те же действия, но представляем ошибки символически.Пусть N представляет числитель, N = G + H. Определенная ошибка в N тогда g + h. Относительная погрешность числителя (g + h) / N. Относительная ошибка знаменателя равна z / Z. Относительная ошибка в R будет тогда:

р г + ч з г з - = ————— - - = ——— + ——— - - R G + H Z G + H G + H Z r G g H h z - = ——— - + ——— - - - R G + H G G + H H Z

Это уравнение имеет стандартную форму ; каждая ошибка, g, h и z появляется в только один член , этот член, представляющий вклад этой ошибки в ошибку в R.

Пример 4: Выведите уравнение неопределенной ошибки для этого та же формула, R = (G + H) / Z.

Вот где окупается наша предыдущая работа. Посмотрите на уравнение детерминированной ошибки из примера 3 и перепишите его. для наихудшего случая знаков сроков. Это эквивалентно превращению всех терминов в стандарта формируют уравнение положительное:

r G g H h z - = ——— - + ——— - + - R G + H G G + H H Z

Пример 5: Пример 2 доработки, на этот раз с использованием неопределенной ошибки уравнение, полученное в примере 4.

Ввод значений:

 

г 20 0,5 16 0,5 1
- = ————— ——— + ———————— + ———
Р 20 + 16 20 20 + 16 16 106


г 20 0,5 16 0,5 1
- = —— ——— + —— ——— + ———
36 20 36 16 106 рэнд


р
- = 0,555 (0,025) + 0,5 (0,031) + 0,0094
р


р
- = 0,014 + 0,014 + 0,0094 = 0,0374
р

Это меньше 4%.

Пример 6: Результат R вычисляется по формуле R = (G + H) / Z, с теми же значениями данных, что и в предыдущем примере.После завершения эксперимента обнаруживается, что значение Z был на 0,05 меньше из-за систематической ошибки измерительный инструмент. Результат был получен путем усреднения больших объемов данных, и задача пересчета поправки к каждому значению устрашающе. Но это не обязательно Используйте эту информацию, чтобы исправить результат.

Посмотрите на определенное уравнение ошибки :

r G g H h z - = ——— - + ——— - - - R G + H G G + H H Z

-0.Ошибка 05 по Z представляет собой относительную ошибку -0,05 / 106. в Z. Предполагая нулевую определенную ошибку в G и H, мы имеем:

r / R = — (z / Z) = — (- 0,05 / 106)

Итак: r = (0,05 / 106) (0,338) = 0,0001594

Пример 7: Необходимо получить плотность длинного медного стержня. Его длина измеряется метровой палкой, диаметр — микрометром. штангенциркуль и его масса с электронными весами.


L = 60,0 ± 0.1 см (0,17%)
D = 0,632 ± 0,002 см (0,32%) [Таким образом, ошибка в D ² составляет 0,64%]
m = 16,2 ± 0,1 г (0,006%)

Площадь поперечного сечения πr ² = πD ²/4. Таким образом, плотность равна = m / v = 4m / LπD ². Относительная погрешность результата (плотности) должна быть не более (0,17% + 0,64% + 0,006% = 0,816%) или около 0,8%. Это написано:

плотность = 8,606 ± 0,07 г / см ³

Справочник дает 8.87 г / см ³ как плотность меди. Экспериментальное расхождение составляет 0,26, что говорит о том, что что-то не так. Студент, взявший эти данные, возможно, ошибся при измерении. Может быть, это была не чистая медь, а медный сплав. Если это ошибка при измерении, измерение диаметра является наиболее правильным. скорее всего подозреваю.

К. ЦЕЛИ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Хороший способ завершить эту главу — подумать о том, что цели студентов в лаборатории должны быть.Первокурсник лаборатория , а не , как исследовательская лаборатория, но мы надеемся что студент узнает о некоторых проблемах, методы, инструменты и цели исследователей-физиков.

Эксперименты в лаборатории первокурсников делятся на несколько категорий. В каждом случай ниже, мы указываем, за что должен отвечать студент быть.

1. Для измерения фундаментальной физической величины.

Студент разрабатывает экспериментальную стратегию для получения максимальной точный результат на имеющемся оборудовании.Студент должен понимать работу оборудования и исследовать присущих эксперименту неопределенностей достаточно полно, чтобы утверждать пределы погрешности данных и результата (ов) с уверенностью, что «истинные» ценности (если бы они были известны) не лежали бы за пределами заявленные пределы погрешности.

2. Подтвердить или проверить известный закон или принцип.

В этом случае недостаточно сказать «Закон был (или не был) проверено.»Экспериментатор должен указать, какой погрешностью ограничивает проверка выполняется, и для каких ограничений диапазона данных, условия эксперимента и т. д. Слишком легко делать чрезмерные обобщения. Студент в лаборатории для первокурсников не проверяет закон, скажем, F = ma, для — все возможных случаев, в которых может применяться этот закон. В ученик вероятно, исследовал закон в более ограниченном случае гравитационная сила у поверхности земли, действующая на небольшой масса падает с расстояния один-два метра.Студент следует указать эти ограничения. Не следует широко утверждать «проверили закон Ньютона». Еще хуже было бы заявить чтобы «доказал закон Ньютона».

3. Исследовать явление, чтобы сформулировать закон или отношение, которое лучше всего его описывает.

Здесь недостаточно найти закон, который «работает», но показать, что найденный вами закон лучше отражает данные, чем другие законы, которые вы можете проверить.Например, у вас может быть график экспериментальные данные, которые «выглядят» как некоторая степень x. Вы найдете мощность, которая кажется подходящей. Другой студент говорит, что это «похоже» на экспоненциальная функция от x. Экспоненциальная кривая проверена и кажется подходить. Итак, какое соотношение «правильное» или «лучшее»? Вы можете быть в состоянии чтобы показать, что один из них лучше соответствует данным. Один может быть более физически значимым в контексте более крупного картина установленных законов и теории физики.Но может быть так ни один из них не является явно лучшим представлением данных. В в этом случае вам следует изменить эксперимент таким образом, чтобы он может окончательно решить между двумя конкурирующими гипотезами.

Читатель вашего отчета очень внимательно рассмотрит «результаты». и выводы «, в котором представлены ваши утверждения о результат эксперимента. Читатель также будет следить за тем, вы обосновали свои претензии конкретной ссылкой на данные вы взяли в эксперименте.Ваши претензии должны быть подтверждены данные и должны быть разумными (в пределах ограничений эксперимент). Это проверка вашего понимания эксперимента, вашего суждения при оценке результатов, и вашего умение общаться.

L. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ ошибок — это не деятельность «постфактум»; это пронизывает весь экспериментальный процесс от дизайна эксперимента до сбор данных для окончательного анализа результатов. И это не «нарезанный» метод или набор рецептов для «расчета ошибки.»Хотя существуют статистические математические критерии, которые лежат в основе всего процесса, глубокое понимание и суждение и здравый смысл должен быть задействован в эксперименте, чтобы правильно оценить динамическое взаимодействие источников ошибок. В экспериментатор должен понимать физику, имеющую отношение к эксперимент, чтобы сделать это должным образом. Экспериментатор должен упражнение здравый смысл и здравый смысл в выборе экспериментальных стратегий для улучшить результаты, и в выборе методов определения эффекта экспериментальных неопределенностей.Когда анализ ошибок рассматривается как «бессмысленный» расчетный процесс, грубейшие ошибки анализа и может произойти интерпретация.

ПРИЛОЖЕНИЕ I. МЕРЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Размер экспериментальной неопределенности в наборе измерений может выражаться по-разному, в зависимости от того, насколько «консервативно» ты хочешь стать.

1. Пределы погрешности.

Попытка указать весь диапазон, в котором все замеры будут врать.На практике один указывает диапазон в пределах в которых лежат измеренные значения.

2. Среднее отклонение.

среднее отклонение набора измерений от его среднее значение находится путем суммирования отклонений n измерений, затем разделив сумму на (n-1). Эта мера описывает «разброс» набора измерений.

Когда кто-то хочет сделать выводы о том, насколько далеко оценочное среднее может отклоняться от «истинного» среднего значения родительского распределения, используйте среднее отклонение от среднего .К вычислите его, сложите отклонения n измерений, затем разделите эту сумму на n (n-1) ^1/2. Эта мера выражает качество вашей оценки среднего. Это мера, которую мы неопределенность назовите (или ошибкой) в среднем.

Это последнее определение автоматически включает два математических исправления, необходимые для того, чтобы сделать выводы о родителях распределение из конечной выборки данных, и одно для исправления Дело в том, что вы использовали только образец small .

3. Стандартное отклонение.

Стандартное отклонение стало «стандартным» методом для выражая неопределенность, потому что это подтверждается развитая математическая модель. К сожалению, это только уместно, когда экспериментатор (а) имеет большие выборки данных, и (б) знает, что распределение данных действительно гауссово, или почти гауссовский. Поэтому его редко используют в лаборатории для первокурсников. оправдано — что-то вроде того, как кувалдой раскололи грецкий орех.

ПРИЛОЖЕНИЕ II. РАСЧЕТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТАНДАРТНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

Правила распространения ошибок для элементарных алгебраических операции могут быть пересмотрены для применения, когда стандартные отклонения используется в качестве меры ошибки для случайных (неопределенных) ошибок:

При добавлении независимо измеренных величин или вычтенный, стандартное отклонение результата — это квадратный корень из суммы квадратов стандартных отклонений величин.
При перемножении независимо измеренных величин или разделенное, относительное (дробное или процентное) стандартное отклонение результата — квадратный корень из суммы квадратов относительные стандартные отклонения величин.

Их сложно писать. Простая основная идея: это:

При использовании стандартных отклонений правила сложения средних отклонения модифицируются следующим образом: вместо простого суммирования меры ошибок, вы возводите их в квадрат, суммируете квадраты и затем берете квадратный корень из суммы.Это называется «квадратурным суммированием».

Стандартные отклонения лучше? Слишком много элементарных лаборатория в руководствах подчеркивается, что стандартное отклонение является единственным стандартным способом экспресс меры погрешности. Однако из стандартных статистическая теория, согласно которой при очень небольшом количестве измерений сами оценки ошибок будут иметь низкую точность. Неопределенность из оценка ошибки, сделанная из n частей данных, составляет

100
процентов
[2 (n-1)] ^1/2

Таким образом, нам пришлось бы усреднить 51 независимое значение, чтобы получить ошибку 10%. в определении ошибки.Нам потребуется 5000 измерений чтобы получить погрешность, оцените до 1%. Если бы было всего 10 измерений сделано, погрешность стандартного отклонения составляет около 24%. Вот почему мы постоянно подчеркивали, что оценки ошибок 1 или 2 значащих цифр достаточно, когда выборки данных небольшие.

Это лишь одна из причин, почему использование стандартного отклонения в элементарная лаборатория редко бывает оправданной. Как часто нужно принимать больше, чем несколько измерений каждой величины? Можно ли вообще взять достаточно измерений, чтобы определить характер ошибки распределение? Это гауссово или что-то еще? Обычно один не знает.Если он не близок к гауссовскому, весь аппарат обычных правил статистической ошибки для стандартного отклонения должны быть модифицированным. Но правила максимальной погрешности, пределов погрешности и средняя ошибка достаточно консервативна и надежна, чтобы все еще можно надежно использовать даже для небольших образцов.

Однако, когда три или более разных количества вносят вклад в В результате более реалистичная мера ошибки получается при использовании метод «сложения в квадратуре», описанный в начале этого раздел.

Точно так же, как это плохой тон — отображать более значимые цифры, чем оправдано, или претендовать на большее значение для результатов, чем подтверждено экспериментом, поэтому использовать статистические методы и меры погрешности для выражения результатов когда данные не подтверждают эти меры погрешности или математические правила, используемые для их получения. Это подразумевает большее качество значение для результатов, чем может иметь место, и граничит с научное мошенничество.

ПРИЛОЖЕНИЕ III. ВАЖНОСТЬ НЕЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ Алгебраические уравнения распространения ошибок

Алгебраические правила для распространения неопределенных ошибок являются одним из способов вывести правильные уравнения ошибок, но должны использоваться с осторожностью. Вот пример, иллюстрирующий ловушку, которую вы должны избегать.

Студент хочет вычислить уравнение ошибки для эффективного сопротивления R, из двух резисторов X и Y, в параллели. Уравнение для параллельных резисторов:

1 1 1 - = - + - R X Y

Студент решает это для R, получая:

XY R = ————— X + Y

Ошибка знаменателя по правилу сумм равна x + y.Продолжать, мы должны использовать правило частного, которое требует относительно ошибка меры. Таким образом, студент переводит ошибку в знаменателе в относительная форма, (x + y) / (X + Y). Остальное касается продуктов и частных, так что относительная определенная ошибка в R оказывается равной быть:

г х у х + у - = - + - - ————— R X Y X + Y

Следующий шаг требует некоторой алгебры, чтобы преобразовать это в стандартный формы, но не будем тратить зря усилия, поскольку это уравнение уже неправильно!

Почему? Уравнение11 имеет X и Y в числителе и знаменатель. Следовательно, числитель и знаменатель не являются независимый . Правило частного недействительно, если числитель и знаменатель не независимы.

Чтобы избежать этой ошибки, делайте все, что необходимо для алгебры. переставьте исходное уравнение так, чтобы применение правил никогда не потребует объединение ошибок для независимых величин. Фактически, форма уравнения 10 является идеальной отправной точкой для всех его операций (+ и /) связаны с независимыми величинами.

Чтобы сделать это правильно, начните с уравнения. 10 (в которых каждый количество появляется только один раз, и нет никаких сомнений в том, что каждый операция независима). Относительная ошибка в 1 / X определяется правило частного (0 — x / X), которое просто -x / X. Ошибка в 1 / X составляет следовательно (-x / X) (1 / X) = -x / X ². Точно так же ошибка в y — это -y / Y ², а в r — -r / R ². Наконец, используя правило сложения ошибок, результат:

2 2 r x y r R x R r R x R y —— = —— + ——, или - = - - + - -, или r = - - + - -

2 2 2 Р Х Х Y Y X X Y Y R X Y Или, используя уравнение.11, правая часть может быть выражена через только измеренные величины.

г Y x X y - = ——— - + ——— -

R X + Y X X + Y Y

УПРАЖНЕНИЯ

В следующих ситуациях учитывайте здравый смысл. физические принципы, чтобы определить, какой из них наиболее осмысленный способ описания ошибки: как абсолютное ошибка или дробная ошибка, неопределенная ошибка или определенная ошибка, точная мера или точный один.Подтвердите свои ответы, изложив свою аргументацию.

(1) Партия пластиковых измерительных стержней изготовлена точно, но через год после выхода с завода пластик изрядно сжался равномерно в среднем на 2 мм.

(2) Острие ножей механических весов (используемых для взвешивания объекты) затупились.

(3) Винт быстрой / медленной настройки точного механического секундомера. неправильно настроен.

(4) Опоры конического подшипника в механическом электрическом вольтметр расшатался так, что стрелка подшипника очень свободно ограниченный.

(5) Влияние (небольшое) сопротивления воздуха на измерение ускорение свободного падения в эксперименте с падающим телом.

(6) (a) Влияние неконтролируемой и неизмеряемой лаборатории температура на тонком механическом инструменте, который делает измерения ежедневно в течение многих месяцев. (б) Влияние температуры на приборе, если эксперимент длился 60 секунд.

(7) Влияние сопротивления воздуха на период маятника.

(8) Влияние очень нечистого спирта, используемого в качестве жидкости в определение плотности твердого тела по принципу Архимеда. [The твердое вещество взвешивается при погружении в жидкость и формула для результат содержит плотность жидкости.]

В следующей группе упражнений примите следующие данные: A = 10, B = 2, C = 5, D = 20. В каждом случае формула для результат, R. Вычислите числовое значение R. Найдите определите уравнение ошибки в каждом случае, а затем используйте его для ответьте на заданный конкретный вопрос.

(9) Уравнение: R = (C — B) / A. Используйте уравнение детерминированной ошибки, чтобы найти, каким было бы значение R, если бы B было на самом деле 2,1 вместо из 2. Проверьте свой ответ прямым подсчетом.

r c - b a - = ————— - - R C - B A

Подсказка: Фактически без записи всей детерминированной ошибки уравнение, мы можем записать член этого уравнения, который дает вклад из-за ошибки в B.

r -B b - = ————— -, R C - B B

только из-за ошибки в B.

(10) Уравнение: R = (C / A) — C — 5. Используйте уравнение ошибки, чтобы найти R, если C был изменен на 4.7. Проверить ответ прямым подсчетом.

(11) Уравнение: R = (D ² C ²) -3 / (D — А) ². Найдите, как R меняется, если D меняется на 22, A меняется на 12 и C меняется на 5.3 (все сразу).

(12) Уравнение: R = D sin [(A — C) / 3B]. Найдите, как R меняется, если C увеличивается на 2%. Помните, что аргументы триггерных функций всегда в радианах .

(13) Уравнение: R = exp [(C — B) / D] Найдите, как R изменяется, если B уменьшается на 2% и D увеличивается на 4 единицы. Это стандартное обозначение: exp (x) означает то же, что и e ^x. Здесь e — это, конечно, база натуральные логарифмы.

Эта последняя группа вопросов носит более общий характер и требует внимательного отношения к ней. мысль и анализ всех возможностей.Обязательно учтите это в самом общем контексте, учитывая все возможные меры погрешности: неопределенные, определенные, относительные и абсолютный. Утверждения могут быть верными для одного типа ошибок. мера и ложь для других. Если да, укажите это в своем отвечать.

(14) Ученик говорит: «Когда два измерения математически вместе, ошибка в результате всегда больше, чем ошибка любого из измерений ». Обсудите это утверждение. критически.

(15) Другой студент говорит: «Когда два измерения имеют ошибку 2%, и они используются в уравнении для вычисления результата, результат будет иметь ошибку 4% «. Обсуди критически.

(16) Еще один студент говорит: «Когда несколько измерений используется для расчета результата, ошибка в результате никогда не может быть меньше, чем ошибка худшего измерения ». Обсуди, критически.

(17) Еще один студент говорит: «Когда используются несколько измерений вычислить результат, а погрешность единицы в 10 раз больше как следующий худший, вы можете пренебречь всем, кроме худшего один в уравнении распространения ошибки.»Обсуди критически.

КОНЕЦЫ

1. Некоторые из лучших способов анализа ошибок:

Янг, Хью Д. Статистическая обработка экспериментальных Данные. McGraw-Hill 1962.
Baird, D. C. Эксперименты, введение в теория измерений и план экспериментов. . Второе издание. Прентис-Холл, 1988.
Тейлор, Джон Р. Введение в анализ ошибок. Книги университетских наук, 1962.
Майнерс, Гарри Ф., Эппенштейн и Мур. Лаборатория Физика. Wiley, 1969 год.
Swartz, Clifford E. Используемая математика, в течение первых двух лет колледж науки. Прентис-Холл, 1973 г. Американский институт Physics, 1996. В главе 1 обсуждается анализ ошибок на уровне подходит для первокурсника.
Шварц, Клиффорд Э. и Томас Майнер. Введение в обучение Физика, Справочник. Американский институт физики, 1977. В главе 2 этой ценной книги рассказывается об анализе ошибок. что полностью соответствует моей философии по данному вопросу. Обсуждаются три уровня обработки ошибок.
1. Значимые цифры — первое приближение к анализу ошибок. (Но такой, который не подходит для лабораторных работ по физике в бакалавриате.)
2. Абсолютные и процентные ошибки — второе приближение к ошибке анализ.Это уровень, который мы подробно обсуждали выше. Шварц и Майнер говорит: «[Эти] правила … часто бывают удовлетворительными. вводные лабораторные работы, это единственные действующие правила.
3. Кривые распределения данных — третье приближение к анализу ошибок. Это включает использование стандартных отклонений в качестве меры погрешности и правила их совмещения. Я не могу удержаться от цитаты из этой книги:
  Использование этого третьего приближения к анализу ошибок оправдано только при соблюдении определенных экспериментальных условий и требований.Если формализм применяется вслепую, как это часто бывает, можно требовать высокой точности когда его вообще нет. Ситуация усугубляется легким наличие статистических программ на многих ручных калькуляторах. Просто введите несколько чисел, нажмите клавиши и стандартные отклонения и корреляции упадет до 10 незначительных цифр.

2. В некоторых книгах такие ошибки называются «случайными ошибками». Это плохое имя, потому что неопределенные ошибки в измерениях не являются полностью случайными согласно математическому определению random.Я также видел их называют «случайными ошибками». Некоторые другие синонимы к слову неопределенный Ошибки бывают: случайные, ошибочные и статистические.

3. Величина количества — это его размер безотносительно к его величине. алгебраический знак.

4. Среднее отклонение правильнее было бы назвать «средним абсолютное отклонение «или» среднее абсолютное отклонение «, поскольку это среднее абсолютных значений отклонений, а не сами отклонения.[Среднее значение отклонений симметричной распределение будет нулевым.]

5. В статистическом исследовании неопределенностей слова «средний» и «означает» не используются как полные синонимы. Когда ссылаясь на среднее значение набора данных измерений, всегда используется слово «средний», а не «средний». При обращении к в других процессах усреднения слово «среднее» предпочтительнее. Возможно, это различие в использовании призвано избежать создания неуклюжего имени. как «среднее отклонение от среднего».»

6. См. Laboratory Physics Майнерса, Эппенсейна и Мура. для получения более подробной информации о среднем отклонении и других показателях дисперсии.

7. Это относительно новое обозначение средних значений, на мой взгляд, более аккуратное. и легче читается, чем старые обозначения ставить черту над В.

8. Хорошее обсуждение см. В Laboratory Physics by Майнерс, Эппенштейн и Мур. Там (на стр.36) вы найдете параллельный расчет среднего отклонения и стандарта отклонение, и обсуждение того, как они сравниваются как меры ошибка.

9. Гауссово распределение, иногда называемое «нормальной кривой» ошибки »имеет уравнение:

 
                                        2
                         - [(X - ) / 2 с]

f (X) = C e где — среднее значение измерения X, а s — стандартное отклонение измерений.C — масштабирование постоянный. f (X) — количество измерений, попадающих в диапазон значений от X до X + x, где x мало. Это знаменитый «колоколообразная кривая» статистики.

10. См. Meiners et. др., которые комментируют: «Это означает, что для многих целей, мы можем использовать среднее отклонение … вместо среднеквадратичное отклонение. Это преимущество, потому что средний отклонение вычислить легче, чем стандартное отклонение «.

11.Независимые ошибки — это те, для которых ошибка одной индивидуальное измерение не зависит от ошибок в других измерения. Никакая ошибка не влияет на другие или математически определяется из других.

12. Вместо этого можно использовать исчисление.

Этот документ принадлежит доктору Дональду Э. Симанеку, © 1996, 2017. Университет Лок-Хейвена, Лок-Хейвен, Пенсильвания, 17745. Коммерческое использование запрещено без разрешения автора. Документ может быть свободно используется инструкторами и бесплатно распространяется среди студентов, поэтому пока включено это уведомление об авторских правах.

Отзывы и предложения по дополнениям и улучшениям приветствуются по адресу адрес, показанный справа.

Вернитесь к документам и ссылкам по физике.
Вернитесь на страницу Дональда Симанека.

Видео с вопросом: Расчет относительной погрешности в процентах

Стенограмма видео

В эксперименте скорость звуковые волны на Земле на уровне моря при температуре 21 градус Цельсия — это 333 метров в секунду.Найдите относительную ошибку в процентах в измерение с использованием принятого значения 344 метра в секунду. Дайте ответ до одного знака после запятой место.

Итак, в этом сценарии мы говорим об измерении скорости звуковых волн там, где при определенных условиях, на уровне моря и при определенной температуре, мы измеряем звуковую волну скорость 333 метра в секунду. Мы можем назвать эту измеренную скорость 𝑠 суб м.И мы должны сравнить это с принятую скорость звука, назовем ее 𝑠 sub a, 344 метра в секунду на такая же высота и температура. Зная эти ценности, мы хотим вычислить относительную погрешность в процентах в нашем измерении. Чтобы помочь нам в этом разобраться, мы можем вспомните уравнение для относительной погрешности измеренного значения в процентах. Это равно величине принятое значение минус измеренное значение, все деленное на принятое значение, а затем умножить на 100 процентов.

Мы можем применить это отношение к наш сценарий, заменив 𝑠 sub a на принятое значение и 𝑠 sub m на измеренное значение. И это дает нам это выражение. А когда мы вычитаем 333 метра на во второй из 344 мы получаем в числителе значение 11 метров в секунду. Обратите внимание, что эти единицы, метры в секунду, отменить. И когда мы вычисляем 11 деленное на 344 умножаем на 100 процентов до одного десятичного знака, получаем результат 3.2 процентов. Это относительная погрешность в процентах. в нашем измерении.

источников ошибок в научных экспериментах

Все научные эксперименты содержат ошибки, поэтому важно знать типы ошибок и способы их вычисления. (Изображение: NASA / GSFC / Chris Gunn)

Научные лаборатории обычно просят вас сравнить ваши результаты с теоретическими или известными значениями. Это поможет вам оценить свои результаты и сравнить их с ценностями других людей.Разница между вашими результатами и ожидаемыми или теоретическими результатами называется ошибкой. Допустимая величина ошибки зависит от эксперимента, но допустимая погрешность составляет 10%. Если имеется большая погрешность, вас попросят повторить процедуру и определить любые ошибки, которые вы могли допустить, или места, где они могли быть внесены. Итак, вам необходимо знать различные типы и источники ошибок, а также способы их расчета.

Как рассчитать абсолютную погрешность

Один из методов измерения погрешности — вычисление абсолютной погрешности , которую также называют абсолютной погрешностью.Этот показатель точности указывается в единицах измерения. Абсолютная ошибка — это просто разница между измеренным значением и истинным значением или средним значением данных.

Абсолютная ошибка = измеренное значение — истинное значение

Например, если вы измеряете силу тяжести 9,6 м / с ², а истинное значение составляет 9,8 м / с ², то абсолютная ошибка измерения составляет 0,2 м / с ². Вы можете сообщить об ошибке со знаком, поэтому абсолютная ошибка в этом примере может быть -0.2 м / с ².

Если вы измеряете длину образца три раза и получаете 1,1 см, 1,5 см и 1,3 см, то абсолютная погрешность составляет +/- 0,2 см, или вы бы сказали, что длина образца составляет 1,3 см (среднее значение). +/- 0,2 см.

Некоторые люди считают абсолютную погрешность мерой точности вашего измерительного прибора. Если вы используете линейку, которая сообщает длину с точностью до миллиметра, вы можете сказать, что абсолютная погрешность любого измерения, сделанного с помощью этой линейки, составляет 1 мм или (если вы уверены, что можете видеть между одной отметкой и следующей) ближайший 0.5 мм.

Как рассчитать относительную ошибку

Относительная ошибка основана на значении абсолютной ошибки. Он сравнивает, насколько велика ошибка, с величиной измерения. Так, погрешность в 0,1 кг может быть незначительной при взвешивании человека, но довольно ужасной при взвешивании яблока. Относительная ошибка — это дробная часть, десятичное значение или процент.

Относительная ошибка = абсолютная ошибка / общее значение

Например, если ваш спидометр показывает, что вы едете со скоростью 55 миль в час, когда вы действительно едете со скоростью 58 миль в час, абсолютная ошибка составляет 3 мили в час / 58 миль в час или 0.05, которое можно умножить на 100%, чтобы получить 5%. Относительная ошибка может быть отмечена знаком. В этом случае спидометр отключен на -5%, потому что записанное значение ниже истинного значения.

Поскольку определение абсолютной ошибки неоднозначно, в большинстве лабораторных отчетов требуется процентная ошибка или процентная разница.

Как вычислить процент ошибки

Наиболее частым вычислением ошибки является ошибка процентов , которая используется при сравнении результатов с известным, теоретическим или принятым значением.Как вы, наверное, догадались из названия, процент ошибки выражается в процентах. Это абсолютная (без отрицательного знака) разница между вашим значением и принятым значением, деленная на принятое значение, умноженная на 100% для получения процента:

% ошибка = [принято — экспериментально] / принято x 100%

Как рассчитать процентную разницу

Другая распространенная ошибка вычисления называется процентной разницей . Он используется, когда вы сравниваете один экспериментальный результат с другим.В этом случае ни один результат не обязательно лучше другого, поэтому процентная разница — это абсолютное значение (без отрицательного знака) разницы между значениями, деленное на среднее значение двух чисел, умноженное на 100% для получения процента:

% разница = [экспериментальное значение — другое значение] / среднее x 100%

Источники и типы ошибок

Каждое экспериментальное измерение, независимо от того, насколько тщательно вы его проводите, содержит некоторую неопределенность или ошибку. Вы измеряете в соответствии со стандартом, используя прибор, который никогда не может полностью воспроизвести стандарт, плюс вы человек, поэтому вы можете вносить ошибки в зависимости от своей методики.Три основные категории ошибок — это систематические ошибки, случайные ошибки и личные ошибки. Вот что это за типы ошибок и распространенные примеры.

Систематические ошибки

Систематические ошибки влияют на все выполняемые вами измерения. Все эти ошибки будут иметь одинаковое направление (больше или меньше истинного значения), и вы не сможете их компенсировать, взяв дополнительные данные.
Примеры систематических ошибок

Если вы забудете откалибровать весы или немного отклонитесь от калибровки, все измерения массы будут иметь одинаковую величину.Некоторым приборам требуется периодическая калибровка в течение всего эксперимента, поэтому неплохо сделать пометку в лабораторной записной книжке, чтобы увидеть, повлияла ли калибровка на данные.
Другой пример — измерение объема по мениску (параллакс). Скорее всего, вы каждый раз читаете мениск точно так же, но это никогда не бывает совершенно правильным. Другой человек может получить такое же значение, но посмотреть на мениск под другим углом и получить другой результат.Параллакс может возникать при других типах оптических измерений, например, при измерении с помощью микроскопа или телескопа.
Дрейф инструмента — частый источник ошибок при использовании электронных инструментов. По мере того, как инструменты нагреваются, измерения могут измениться. Другие распространенные систематические ошибки включают гистерезис или время запаздывания, связанные либо с реакцией прибора на изменение условий, либо с колебаниями прибора, который не достиг равновесия. Обратите внимание, что некоторые из этих систематических ошибок являются прогрессирующими, поэтому данные со временем становятся лучше (или хуже), поэтому трудно сравнивать точки данных, полученные в начале эксперимента, с данными, полученными в конце.Вот почему рекомендуется записывать данные последовательно, чтобы можно было выявить постепенные тенденции, если они возникают. Вот почему лучше брать данные каждый раз, начиная с разных образцов (если применимо), а не всегда следовать одной и той же последовательности.
Отсутствие учета переменной, которая оказывается важной, обычно является систематической ошибкой, хотя это может быть случайная ошибка или искажающая переменная. Если вы обнаружите влияющий фактор, это стоит отметить в отчете, и это может привести к дальнейшим экспериментам после выделения и контроля этой переменной.

Случайные ошибки

Случайные ошибки возникают из-за колебаний экспериментальных условий или условий измерения. Обычно эти ошибки небольшие. Чем больше данных, тем меньше эффект случайных ошибок.
Примеры случайных ошибок

Если ваш эксперимент требует стабильных условий, но большая группа людей топчет по комнате во время одного набора данных, будет внесена случайная ошибка. Сквозняки, перепады температуры, разница в освещении и темноте, электрические или магнитные шумы — все это примеры факторов окружающей среды, которые могут привести к случайным ошибкам.
Также могут возникать физические ошибки, поскольку образец никогда не бывает полностью однородным. По этой причине лучше тестировать с использованием разных участков образца или проводить несколько измерений, чтобы уменьшить количество ошибок.
Разрешение прибора также считается типом случайной ошибки, потому что измерение одинаково вероятно выше или ниже истинного значения. Пример ошибки разрешения — измерение объема с помощью химического стакана, а не градуированного цилиндра. В стакане будет большая погрешность, чем в цилиндре.
Неполное определение может быть систематической или случайной ошибкой, в зависимости от обстоятельств. Неполное определение означает, что двум людям может быть трудно определить точку, в которой измерение завершено. Например, если вы измеряете длину с помощью эластичной веревки, вам нужно вместе со сверстниками решить, когда веревка будет достаточно натянутой, но не растягивая ее. Если во время титрования вы ищете изменение цвета, может быть трудно сказать, когда это на самом деле происходит.

Персональные ошибки

При написании лабораторного отчета вы не должны ссылаться на «человеческий фактор» как на источник ошибки.Скорее, вы должны попытаться определить конкретную ошибку или проблему. Одна из распространенных личных ошибок — эксперимент с предвзятым мнением о том, будет ли гипотеза поддержана или отвергнута. Еще одна распространенная личная ошибка — это отсутствие опыта работы с оборудованием, когда ваши измерения могут стать более точными и надежными после того, как вы узнаете, что делаете. Другой тип личной ошибки — это простая ошибка, при которой вы могли использовать неправильное количество химического вещества, непоследовательно рассчитать время эксперимента или пропустить шаг в протоколе.

Связанные сообщения

Новая мера точности, основанная на ограниченной относительной ошибке для прогнозирования временных рядов

Abstract

В прошлом было предложено много мер точности для сравнений прогнозов временных рядов. Однако многие из этих мер страдают от одной или нескольких проблем, таких как плохая устойчивость к выбросам и зависимость от масштаба. В этой статье, обобщая обычно используемые меры точности, делается специальный обзор симметричной средней абсолютной погрешности в процентах.Кроме того, для решения общих проблем существующих мер предлагается новая мера точности, называемая непересчитанной средней ограниченной относительной абсолютной ошибкой (UMBRAE), которая сочетает в себе лучшие характеристики различных альтернативных мер. Сравнительная оценка предлагаемых и связанных мер была проведена как с синтетическими, так и с реальными данными. Результаты показывают, что предложенная мера с выбираемым пользователем эталоном работает так же или лучше, чем другие меры по выбранным критериям. Хотя общепризнано, что не существует единой наилучшей меры точности, мы предполагаем, что UMBRAE может быть хорошим выбором для оценки методов прогнозирования, особенно в тех случаях, когда измерения основаны на среднем геометрическом относительных ошибок, таких как среднее геометрическое относительное абсолютное отклонение. , являются предпочтительными.

Образец цитирования: Chen C, Twycross J, Garibaldi JM (2017) Новая мера точности, основанная на ограниченной относительной ошибке для прогнозирования временных рядов. PLoS ONE 12 (3): e0174202. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174202

Редактор: Чжун-Кэ Гао, Тяньцзиньский университет, КИТАЙ

Поступила: 21.08.2016; Одобрена: 6 марта 2017 г .; Опубликовано: 24 марта 2017 г.

Авторские права: © 2017 Chen et al.Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Доступность данных: Данные прогнозирования M3-Competition доступны с пакетом R «Mcomp» (https://CRAN.R-project.org/package=Mcomp).

Финансирование: Чао Чен частично финансировался Школой компьютерных наук Ноттингемского университета.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили, что конкурирующих интересов не существует.

Введение

Прогнозирование всегда было привлекательной областью исследований, поскольку оно играет важную роль в повседневной жизни. Прогнозирование временных рядов как одна из самых популярных областей исследований вызывает особую озабоченность исследователей [1–5]. Было проведено множество сравнительных исследований с целью определения наиболее точных методов прогнозирования временных рядов [6].Однако результаты исследований показывают, что эффективность методов прогнозирования зависит от используемой меры точности [7]. Различные меры точности были предложены как лучшие для использования в последние десятилетия. Однако многие из этих мер обычно неприменимы из-за таких проблем, как бесконечность или неопределенность при определенных обстоятельствах, что может привести к вводящим в заблуждение результатам. Критерии, необходимые для измерения точности, были подробно рассмотрены Армстронгом и Коллопи [6] и дополнительно обсуждены Филдсом [8] и Клементсом и Хендри [9].Как уже говорилось, хорошая мера точности должна обеспечивать информативное и четкое резюме распределения ошибок. Критерии должны также включать надежность, валидность конструкции, вычислительную сложность, защиту от выбросов, независимость от масштаба, чувствительность к изменениям и интерпретируемость. Многие исследователи полагают, что ни одна мера не может превзойти все другие по этим критериям [6, 10, 11].

Эволюцию показателей точности можно увидеть по показателям, используемым в основных сравнительных исследованиях методов прогнозирования.Среднеквадратичная ошибка (RMSE) и средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE) могут рассматриваться как самые ранние и самые популярные меры точности. Они были основными мерами, использованными в оригинальном M-Competition [12]. Несмотря на хорошо известные проблемы, такие как их высокая чувствительность к выбросам, они все еще широко используются [13–15]. При использовании этих мер точности часто можно получить небольшие и кажущиеся хорошими ошибки, такие как 0,1 по RMSE и 1% по MAPE. Wei et al. [16] использовали RMSE в качестве показателя эффективности в своих исследованиях по прогнозированию цен на акции.Полученная средняя ошибка составила 84, и было заявлено, что она превосходит некоторые другие предыдущие модели. Однако без сравнения ошибку 84 как число интерпретировать непросто. Фактически, среднее колебание используемых фондовых индексов составило 83, что меньше ошибки предложенной ими модели. Аналогичный случай можно найти и в отношении MAPE. Исфаханипур и Агамири [17] предложили модель с ошибкой 1,3%, что кажется хорошим. Тем не менее, эта ошибка была больше, чем среднее дневное колебание курса акций, которое составляло примерно 1.2%. Плохая интерпретация здесь в основном связана с отсутствием сопоставимого эталона, используемого для измерения точности.

Армстронг и Коллопи [6] рекомендовали использовать относительные абсолютные ошибки в качестве потенциального решения вышеуказанной проблемы. Меры точности, основанные на относительных ошибках, такие как средняя относительная абсолютная ошибка (MRAE), могут обеспечить лучшую интерпретацию того, насколько хорошо оцениваемый метод прогнозирования работает по сравнению с эталонным методом. Однако, когда ошибка теста мала или равна нулю, относительная ошибка может стать очень большой или бесконечной.Это может привести к неопределенному среднему значению или, по крайней мере, к искажению результата. Таким образом, Армстронг и Коллопи предложили метод, названный «победителем», чтобы преодолеть эту проблему путем обрезки крайних значений. Однако этот процесс также добавит сложности расчетам, и необходимо указать соответствующий уровень обрезки [18].

Точно так же MAPE также может быть бесконечным или неопределенным из-за нулей в знаменателе [19]. Симметричная средняя абсолютная процентная ошибка (sMAPE) была впервые предложена Армстронгом [20] как модифицированная MAPE, которая может быть простым способом решения проблемы.Затем он был использован в M3-Competition в качестве альтернативы первичной мере MAPE [7]. Однако Гудвин и Лоутон [21] указали, что sMAPE не так симметричен, как следует из его названия. Фактически, это больше наказывало заниженную оценку, чем завышенную. Таким образом, использование sMAPE в M3-Competition впоследствии подверглось широкой критике со стороны исследователей [22]. В неопубликованном рабочем документе Чен и Янг [23] определили модифицированный sMAPE, названный msMAPE, добавив дополнительный компонент к знаменателю sMAPE.Добавленный компонент может эффективно избежать раздувания sMAPE, вызванного нулевыми наблюдениями. Однако это не решает проблему асимметрии для sMAPE.

Hyndman и Koehler [18] предложили среднюю абсолютную масштабированную ошибку (MASE) в качестве общеприменимого измерения точности прогнозирования без проблем, наблюдаемых в других измерениях точности. Однако в этой мере все же может преобладать одна большая ошибка, хотя в большинстве случаев можно было избежать бесконечных и неопределенных значений [24].Давыденко и Файлдс [24] предложили измененную версию MASE, средней относительной MAE (AvgRelMAE), которая использует среднее геометрическое для усреднения относительной эффективности корректировок по временным рядам. Хотя среднее геометрическое подходит для усреднения эталонных соотношений [25], пригодность AvgRelMAE по-прежнему зависит от его компонентного показателя RelMAE для каждого временного ряда.

В этом документе предлагается новая мера точности для решения упомянутых выше проблем. В частности, вводя новую определенную ограниченную относительную абсолютную ошибку, новая мера может решить проблему асимметрии sMAPE, сохраняя при этом другие его свойства, такие как независимость от масштаба и устойчивость к выбросам.Кроме того, мы полагаем, что новая мера улучшает интерпретируемость на основе относительных ошибок с выбираемым эталоном, чем sMAPE, который использует процентные ошибки, основанные на значениях наблюдений. Учитывая, что [6] утверждал, что меры, основанные на относительных ошибках, являются наиболее надежными, мы полагаем, что наша оценка надежна в этом смысле.

Обзор мер точности

Многие меры точности были предложены для оценки эффективности методов прогнозирования за последние пару десятилетий.Таблица наиболее часто используемых показателей была приведена в обзоре 25-летнего прогнозирования временных рядов [1]. Также был проведен подробный обзор мер точности Hyndman и Koehler [18]. В этом разделе мы в основном сосредотачиваемся на новых идеях или новых показателях, которые были введены с 2006 года.

Для временного ряда с n наблюдений, пусть Y _t обозначает наблюдение во время t и F _t обозначает прогнозы Y _t.Тогда ошибку прогноза e _t можно определить как ( Y _t –F _t ). Обозначим ошибку прогноза в момент времени t , полученную некоторым эталонным методом. То есть где прогноз на момент времени t эталонным методом.

Меры в зависимости от масштаба

Меры, основанные на абсолютных или квадратичных ошибках, также известны как меры, зависящие от масштаба, поскольку их масштаб зависит от масштаба данных.Они полезны при сравнении методов прогнозирования на одном и том же наборе данных. Однако их не следует использовать в наборах данных разных масштабов. Наиболее часто используемыми мерами, зависящими от масштаба, являются средняя абсолютная ошибка (MAE), среднеквадратическая ошибка (MSE) и RMSE: (1) (2) (3)

MAE

упоминалась в самых ранних публикациях по прогнозированию в качестве основного показателя эффективности моделей прогнозирования [26]. Как показано в уравнении 1, MAE непосредственно вычисляет среднее арифметическое абсолютных ошибок.Следовательно, это очень легко вычислить и понять. Однако это может привести к необъективным результатам, если в наборах данных существуют очень большие выбросы. В частности, даже одна большая ошибка иногда может преобладать над результатом MAE.

MSE, который вычисляет среднее арифметическое квадратов ошибок, использовался в первом M-Competition [12]. Однако позже его использование подверглось широкой критике как неуместное [6, 27]. MSE более уязвима для выбросов, поскольку придает дополнительный вес большим ошибкам. Кроме того, квадрат ошибок отличается по шкале от исходных данных.Таким образом, RMSE, который является квадратным корнем MSE, часто предпочтительнее MSE, поскольку он находится в том же масштабе, что и данные. Однако RMSE также чувствителен к прогнозированию выбросов [28].

Показатели, основанные на процентах

Чтобы не зависеть от масштаба, общий подход заключается в использовании процентных ошибок, основанных на значениях наблюдений. Двумя примерами измерения, основанными на процентных ошибках, являются MAPE и sMAPE, определенные как: (4) (5)

Следует отметить, что абсолютные значения используются в знаменателе sMAPE, определенном в этой статье.Это определение отличается, но эквивалентно определению Макридакиса [10] и Макридакиса и Хибона [7], когда прогнозы и фактические значения неотрицательны. Абсолютные значения в знаменателе позволяют избежать отрицательного sMAPE, как указано Хайндманом и Келером [18].

MAPE использовался в качестве одного из основных критериев точности в исходном M-Competition [12]. Однако процент ошибок может быть чрезмерно большим или неопределенным, если целевой временной ряд имеет значения, близкие или равные нулю [19].Более того, Армстронг [20] указал, что MAPE имеет смещение в пользу оценок, которые ниже фактических значений. Это было проиллюстрировано крайностями: «прогноз 0 никогда не может отличаться более чем на 100%, но нет предела ошибкам на высокой стороне» . Макридакис [10] обсудил проблему асимметричности MAPE на другом примере, который включает два прогноза с разными фактическими значениями. Однако мы полагаем, что пример Макридакиса выходит за рамки идеи Армстронга в 1985 году. Насколько мы понимаем, мы полагаем, что предположение относительно асимметричной проблемы MAPE, описанной Армстронгом [20], таково: i) оценки неотрицательны. пока фактическое значение положительное; ii) диапазон прогнозирования асимметричен, 0 — это нижняя граница для нижних оценок, в то время как верхняя граница для верхних оценок отсутствует; iii) ошибки для нижних оценок и верхних оценок должны быть симметричными (крайний случай: 0, поскольку худшая нижняя оценка должна иметь ту же абсолютную ошибку, что и худшая верхняя оценка, которая является бесконечной).

sMAPE может производить симметричные ошибки в асимметричном диапазоне прогнозирования, как указано в приведенном выше предположении. Однако более естественно рассматривать свойство симметрии в симметричном диапазоне прогнозов для нижних и верхних оценок. Таким образом, sMAPE широко критиковался как асимметричная мера [21, 22]. Независимо от проблемы асимметричности, преимущество sMAPE состоит в том, что у него нет проблемы MAPE из-за чрезмерно большого или бесконечного размера. Кроме того, из-за определенных границ ошибок sMAPE более устойчив к выбросам, поскольку он придает меньшее значение выбросам по сравнению с другими показателями, не имеющими границ для ошибок.

Относительные меры

Другой подход к измерению точности, чтобы быть независимыми от масштаба, — использовать относительные ошибки, основанные на ошибках, произведенных эталонным методом (например, наивным методом). Наиболее часто используемыми такими показателями являются MRAE и средняя геометрическая относительная абсолютная ошибка (GMRAE): (6) (7)

MRAE может дать более четкое представление об улучшении производительности по сравнению с эталонным методом. Однако MRAE имеет такое же ограничение, что и MAPE, в том смысле, что он также может быть чрезмерно большим или неопределенным, когда он близок к нулю или равен нулю.

GMRAE является предпочтительным, поскольку общепризнано, что среднее геометрическое больше подходит для усреднения относительных величин, чем среднее арифметическое [6, 8]. Согласно альтернативному представлению GMRAE, показанному выше в уравнении 7, ключевым шагом для расчета GMRAE является вычисление среднего арифметического значений коэффициентов ошибок в логарифмическом масштабе. Это делает GMRAE более устойчивым к выбросам по сравнению с MRAE, в которой используется среднее арифметическое исходных коэффициентов ошибок. Однако GMRAE по-прежнему чувствителен к выбросам.В частности, в GMRAE может доминировать не только один большой выброс, но и очень маленькая ошибка, близкая к нулю. Это связано с тем, что нет ни верхней, ни нижней границы для коэффициентов ошибок с логарифмической шкалой, используемых GMRAE. Также следует отметить, что ошибки нуля, как в e _t, так и должны быть исключены из анализа. Таким образом, GMRAE может быть недостаточно информативным.

Вместо того, чтобы использовать среднее значение относительных ошибок, можно также использовать относительное значение средних ошибок, полученных с помощью базовой меры.Например, если базовым показателем является RMSE, относительное RMSE (RelRMSE) определяется как: (8)

RelRMSE — это широко используемый показатель, предложенный Armstrong и Collopy [6], где RMSE ^* обозначает RMSE , полученный эталонным методом. Подобные меры, такие как RelMAE и RelMAPE, могут быть легко определены. Их также называют относительными мерами. Преимуществом относительных мер является их интерпретируемость [18]. Однако выполнение относительных мер ограничивается составной мерой.Например, RelMAPE также не определен, когда MAPE не определен. Кроме того, в RelMAPE легко могут преобладать очень большие выбросы, поскольку MAPE не устойчив к выбросам. Таким образом, нет смысла вычислять RelMAPE, если MAPE, как компонент, искажен.

Еще одним недостатком относительных показателей является то, что они доступны только при наличии нескольких прогнозов по одному и тому же ряду [18]. Как связанная идея относительных мер, MASE не имеет вышеуказанной проблемы. Это определяется как: (9)

В MASE абсолютная ошибка | e _t | для каждого наблюдения масштабируется по средней в выборке ошибка MAE ^** создан эталонным методом (например,грамм. одношаговый наивный метод или сезонный наивный метод для сезонных данных). Таким образом, MASE не будет генерировать бесконечные или неопределенные значения, за исключением несущественного случая, когда все исторические данные равны. Однако MASE по-прежнему уязвима для выбросов [24]. Более того, следует предположить, что разница между периодами временного ряда является стационарной, так что коэффициент масштабирования является последовательной оценкой масштаба ряда.

Для сравнения методов прогнозирования по нескольким временным рядам, MASE эквивалентен средневзвешенному арифметическому относительному среднему значению [24]: (10) где m обозначает количество временных рядов, n _i обозначает количество наблюдений для временных рядов i ^th и.Как указали Давыденко и Файлдс [24], использование среднего арифметического отношений MAE приводит к смещению в сторону завышения точности эталонного метода. Они предложили меру AvgRelMAE в качестве альтернативы MASE, основанную на среднем геометрическом для усреднения масштабированных величин.

(11)

Следует отметить, что AvgRelMAE использует вне выборки в качестве коэффициента масштабирования, в то время как MASE использует в выборке . Хотя было показано, что AvgRelMAE имеет много преимуществ, таких как интерпретируемость и надежность [24], он по-прежнему имеет ту же проблему с MASE, поскольку они основаны на RelMAE.Как упоминалось выше, точность RelMAE ограничена точностью MAE. Поскольку в MAE могут преобладать экстремальные выбросы, отношение MAE r _i не обязательно представляет собой целесообразное сравнение методов прогнозирования, основанных на ошибках большинства прогнозов для времени i ^th. серии.

Новая мера точности

Критерии полезной меры точности подробно описаны в литературе [6, 8, 9, 11].Как было рассмотрено в предыдущем разделе, было предложено множество мер с различными преимуществами и недостатками. Однако большинство этих мер страдают от одной или нескольких проблем. В этом разделе мы предлагаем новую меру точности, которая использует преимущества других мер, таких как sMAPE и MRAE, без их общих проблем. В частности, ожидается, что предлагаемая мера будет обладать следующими свойствами: (i) информативность: она может обеспечить информативный результат без необходимости исправлять ошибки; (ii) Устойчивость к выбросам: вряд ли можно доминировать с помощью одного выброса прогнозов; (iii) Симметричный: завышенные и заниженные оценки обрабатываются справедливо; (iv) Независимость от масштаба: его можно применять к наборам данных в различных масштабах; (v) Интерпретируемость: ее легко понять и можно получить интуитивно понятные результаты.

В обзоре выше упоминалось, что sMAPE устойчив к выбросам из-за определенной ограниченной ошибки. Мы хотели бы предложить новую меру, аналогичную sMAPE, без ее проблем. Поскольку относительные ошибки являются более общими, чем процентные ошибки при предоставлении интуитивно понятных результатов, мы используем относительную абсолютную ошибку (RAE) в качестве основы для получения нашей новой меры.

(12)

Поскольку RAE не имеет верхней границы, она может быть слишком большой или неопределенной, если она мала или равна нулю.Эту проблему легко решить, добавив | e _t | к знаменателю RAE, который вводит ограниченный RAE (BRAE): (13)

В BRAE добавленное | e _t | может гарантировать, что знаменатель будет не меньше числителя. Это означает, что максимальная ошибка BRAE равна 1, а минимальная ошибка равна 0, когда | e _t | равно нулю. Из-за верхней границы BRAE мера точности, основанная на BRAE, будет более устойчивой к прогнозированию выбросов.Можно заметить, что проблема асимметричности sMAPE также была решена в BRAE путем добавления | e _t | а не | F _t | к знаменателю. Кроме того, мера, основанная на BRAE, более подходит, чем sMAPE, для данных прерывистого спроса, которые имеют множество наблюдений с нулевым значением. Чтобы избежать проблемы неопределенности, BRAE определяется как 0,5 для особого случая, когда | e _t | и оба равны нулю.

На практике часто используется одношаговый наивный метод, где. Однако следует отметить, что наивный метод не обязательно является эффективным эталоном. Например, когда большинство методов прогнозирования обычно дают гораздо меньшие ошибки, чем простой метод, BRAE будет иметь ту же проблему, что и мера на основе процентной ошибки, указанная выше. Таким образом, предпочтительнее использовать в качестве эталона надлежащим образом конкурентный метод, чтобы BRAE получала значение около 0,5.

На основе BRAE мера, называемая средней ограниченной относительной абсолютной ошибкой (MBRAE), может быть определена как: (14)

Хотя MBRAE подходит для сравнения методов прогнозирования, это масштабированная ошибка, которую нельзя напрямую интерпретировать как нормальный коэффициент ошибок, отражающий размер ошибки.Фактически, процесс расчета GMRAE также содержит среднее значение коэффициента ошибок в логарифмическом масштабе, которое трудно интерпретировать. Но эта проблема решается путем преобразования логарифмической ошибки в нормальное соотношение с экспоненциальной функцией. Точно так же можно преобразовать MBRAE для получения более интерпретируемого показателя, который называется немасштабированным MBRAE (UMBRAE): (15)

С помощью UMBRAE эффективность предлагаемого метода прогнозирования можно легко интерпретировать с точки зрения средней относительной абсолютной ошибки на основе BRAE следующим образом: когда UMBRAE равно 1, предлагаемый метод работает примерно так же, как эталонный тест. метод; когда UMBRAE <1, предлагаемый метод работает примерно (1– UMBRAE ) * на 100% лучше, чем эталонный метод; когда UMBRAE > 1, предлагаемый метод примерно ( UMBRAE −1) * 100% хуже, чем эталонный метод.

В целом UMBRAE информативен и не требует исправления крайних ошибок. В то же время, основываясь на ограниченных ошибках, UMBRAE устойчив к выбросам. Он также симметричен и, очевидно, не зависит от масштаба. Тест, используемый UMBRAE, можно выбрать там, где можно легко применить наивный метод. Конкурентный тест предпочтительнее для получения более интуитивных результатов. Насколько нам известно, UMBRAE ранее не предлагалась. Мы предлагаем его как общеприменимую меру точности для прогнозирования временных рядов.UMBRAE будет особенно полезен в тех случаях, когда не ожидается, что эффективность методов прогнозирования будет зависеть от прогнозирования выбросов.

Оценка и результаты

В этом разделе оценивается производительность UMBRAE. Наивный метод используется в качестве эталона для UMBRAE. Такие свойства, как надежность и чувствительность, были хорошо изучены в исследовании Армстронга и Коллопи [6]. В их исследовании MAPE и MRAE были оценены как приемлемые с точки зрения надежности и хорошие с точки зрения чувствительности.На самом деле эти свойства, особенно надежность, нелегко исследовать. Например, в тестах на надежность, если ожидается, что методы прогнозирования будут иметь одинаковые рейтинги при их оценке с помощью надежной меры точности, эти методы прогнозирования сами должны стабильно работать с разными временными рядами. Такие методы прогнозирования сложно найти в реальном мире. Таким образом, в нашем исследовании эти свойства не рассматриваются. Вместо этого предполагается, что UMBRAE, основанный на относительных ошибках, также будет надежным и чувствительным к изменениям ошибок.Следовательно, наша оценка будет в основном сосредоточена на ожидаемых свойствах, упомянутых в предыдущем разделе. Для сравнения в нашей оценке также рассматриваются другие общие меры, упомянутые в разделе обзора. Вначале сравнения проводятся с синтетическими временными рядами, чтобы специально изучить требуемые свойства. Затем используются данные M3-Competition с временными рядами 3003 [7], чтобы продемонстрировать, как эти меры работают с реальными данными.

Оценка на синтетических данных

В сравнительном исследовании используются три группы данных синтетических временных рядов.Эти синтетические данные не предназначены для представления реальных данных. Скорее, они выбраны для того, чтобы четко показать недостатки мер точности с точки зрения требуемых свойств. В синтетических оценках средняя одношаговая наивная ошибка используется для масштабирования ошибок для MASE.

Одним из наиболее желаемых свойств меры точности является способность противостоять выбросам. Таким образом, первая группа синтетических данных предназначена для проверки того, устойчива ли мера точности к единственному выбросу прогноза.Как показано на рис. 1, Y _t — это объективный временной ряд с 10 наблюдениями, которые генерируются случайным образом в соответствии с нормальным распределением (среднее значение = 300, sd = 100). — это ряд прогнозов Y _t. В частности, не имеет явных выбросов прогнозов, а ошибки прогнозов, измеренные MAPE, составляют примерно 10%. Остальные три прогноза такие же, как за исключением того, что все они имеют выбросы прогнозов для восьмого наблюдения.Хотя при оценке эффективности метода прогнозирования также следует учитывать иногда возникающие большие ошибки, предполагается, что один большой выброс не должен существенно влиять на производительность в целом. Однако результаты на рис. 1 показывают, что ошибки, о которых сообщают некоторые меры точности, в значительной степени определялись одним выбросом прогноза. Наихудшим является RMSE, где его ошибка для стала примерно в 36 раз больше, чем ее ошибка для. Хотя MASE был масштабирован на основе MAE, на самом деле он выполняет те же функции, что и MAE, при работе с выбросами прогнозирования.Ошибки, представленные MAE и MASE для обоих, были искажены примерно в 15 раз больше, чем для. Напротив, sMAPE, GMRAE и UMBRAE менее чувствительны к этому единственному выбросу прогнозов. UMBRAE сообщает о наименьших различиях для четырех временных рядов.

Рис. 1. Оценка устойчивости показателей точности к одному выбросу прогноза.

A: Синтетические данные временных рядов, где Y _t — это целевой ряд и прогнозы. Единственная разница между ними — это их прогнозы по наблюдению Y ₈.B: Результаты оценки одного выброса прогноза, которые показывают, что UMBRAE менее чувствительна, чем другие меры, к одному выбросу прогноза.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174202.g001

Вторая группа данных временных рядов создана для оценки того, «справедливо» ли обрабатываются завышенные и заниженные оценки с помощью мер точности. Как показано на рис. 2, Y _t — это тот же временной ряд, который использовался при оценке устойчивости к единичным прогнозируемым выбросам.В этом сценарии делает 10% -ную ошибку завышенной оценки для всех наблюдений в Y _t, в то время как делает 10% заниженную оценку. Результаты на рис. 2 показывают, что все меры точности, кроме sMAPE, дали одинаковую ошибку для и. sMAPE дает большую ошибку, что указывает на то, что он налагает более серьезные штрафы на заниженные оценки, чем за завышенные.

Рис. 2. Оценка симметрии показателей точности завышенным и заниженным.

A: Синтетические данные временных рядов, где Y _t — это целевой ряд и прогнозы.делает 10% завышенную оценку для всех наблюдений Y _t, при этом занижая оценку на 10%. B: Результаты симметричной оценки, которые показывают, что UMBRAE и все другие меры точности, кроме sMAPE, являются симметричными.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174202.g002

Давыденко и Файлдс [24] предложили другой сценарий для исследования свойства симметрии мер. В этом сценарии ожидается, что вознаграждение за улучшение эталона уравновесит штраф, назначенный за снижение эталона на ту же величину.Мы также используем это, чтобы проверить нашу меру UMBRAE. Предположим, что временной ряд содержит только два наблюдения ( и ) и есть один метод прогнозирования, который нужно сравнить с другим эталонным методом. Для эталонного метода он делает прогнозы f с ошибками ( y — f ) равными 1 и 2 соответственно. Напротив, метод прогнозирования дает ошибки 2 и 1 соответственно. Как ожидаемый результат, метод прогнозирования имеет ошибку 1, измеренную UMBRAE на основе эталонного метода.Таким образом, UMBRAE также является симметричным для этого случая.

Обычно проблема измерения точности, зависящая от масштаба, связана с их способностью оценивать эффективность прогнозирования по рядам данных в различных масштабах. Показатели точности, основанные на процентах или относительных соотношениях, явно подходят для выполнения таких оценок, и для этого не делается никаких синтетических данных. Однако проблема зависимости от масштаба также существует в пределах ряда данных. Таким образом, третья группа синтетических данных, показанная на рис. 3, предназначена для оценки свойства показателей точности, относящихся к данным в разных масштабах в пределах одного временного ряда.В этом наборе данных Y _t — это временной ряд, сгенерированный последовательностью Фибоначчи от 2 до 144. Как и прогнозы до Y _t, все значения прогноза установлены на 20 % завышенной ошибки соответствующего наблюдения Y _t. Напротив, имеет ту же среднюю абсолютную ошибку, что и, но его ошибки находятся в разных процентных масштабах от 1440% до 0,2%. В частности, имеет ту же абсолютную ошибку, что и.Например, имеет ту же абсолютную ошибку, что и 28,8. Как показано на рис. 3, MAE, RMSE, MASE и даже GMRAE не показывают никакой разницы между двумя прогнозами. Однако MRAE и MAPE дали существенно разные результаты для этих двух случаев. Измеренные ими погрешности для примерно в десять раз больше, чем для. Напротив, UMBRAE и sMAPE дают умеренную разницу для двух прогнозов.

Оценка с данными M3-Competition

M-Competitions — это хорошо известные эмпирические исследования, в которых используются различные данные временных рядов реального мира для сравнения эффективности методов прогнозирования.В этом исследовании мы используем данные M3-Competition [7], которые содержат 3003 временных рядов, для оценки предлагаемой нами меры. Данные прогноза доступны в пакете R «Mcomp», поддерживаемом Hyndman. Пакет «Mcomp» для R доступен на веб-сайте Hyndman: http://robjhyndman.com/software/mcomp/. Из 24 методов прогнозирования в M3-Competition 22 используются в нашей оценке, поскольку их прогнозы доступны для всех временных рядов 3003. Поскольку одношаговый наивный метод используется во многих измерениях точности в качестве эталона, он также указан в результатах как метод прогнозирования.В качестве альтернативной версии MASE, AvgRelMAE, который использует среднее геометрическое для усреднения ошибок по временным рядам, также включен в эту оценку. Чтобы упростить результаты, ошибки измеряются только на первых шести горизонтах прогнозирования по временным рядам 3003, которые доступны для всех 22 методов прогнозирования.

Результаты приведены в таблице 1. Можно заметить, что ошибки MAE и RMSE представляют собой относительно большие числа, что бессмысленно без сравнения. UMBRAE может давать интерпретируемые результаты, в которых метод прогнозирования с ошибкой <1 может считаться лучше, чем эталонный метод с точки зрения средней относительной абсолютной ошибки, основанной на BRAE.Как показывают результаты, наивный метод, который является эталоном, используемым UMBRAE, имеет ошибку 1. Ошибки других методов прогнозирования, измеренных UMBRAE, все меньше 1. Это указывает на то, что эти методы прогнозирования лучше, чем наивный метод. . Однако MRAE дает противоположный результат, в котором наивный метод оценивается как лучший. Следует отметить, что все ошибки, за исключением ошибки для простого метода, измеренные AvgRelMAE, меньше 1, тогда как все ошибки, измеренные MASE, намного больше 1.Коэффициент ранговой корреляции различных показателей показан в таблице 2. Корреляция между RMSE или MRAE и другими показателями чрезвычайно мала. Напротив, UMBRAE показывает существенно высокое согласие с большинством других показателей, где средняя ранговая корреляция Спирмена составляет 0,516. В частности, UMBRAE имеет чрезвычайно высокие корреляции с GMRAE и AvgRelMAE, которые составляют 0,995 и 0,990 соответственно.

Чтобы исключить влияние выбросов и экстремальных ошибок, мы также используем усеченные средства для оценки мер точности.В нашем исследовании используется уровень обрезки 3%. Как показано в Таблице 3, большинство ошибок, измеренных с помощью MAE, RMSE, MASE, MRAE и MAPE, имеют значительные различия по сравнению с ошибками без обрезки, показанными в Таблице 1. Ранжирование методов прогнозирования, сделанных с помощью этих показателей, также претерпело значительные изменения. Напротив, ошибки и рейтинги, измеренные другими показателями, претерпевают меньшие изменения. В частности, значение UMBRAE довольно инвариантно для обрезки, где различия появляются только после третьего десятичного знака для большинства методов прогнозирования.Также можно заметить, что рейтинг, сделанный UMBRAE в Таблице 3, остается таким же, как и в Таблице 1. В целом, все меры, кроме MRAE, имеют аналогичные рейтинги. Как показано в Таблице 3, ранговые корреляции между UMBRAE и другими показателями в среднем намного выше, как показано в Таблице 4.

Чтобы показать распределения ошибок аналогично тому, как это сделано в [24], мы используем в качестве примера ошибки, полученные с помощью метода прогнозирования ForecastPro. На рисунках 4–11 показаны распределения восьми основных измерений ошибок, используемых в девяти измерениях точности, упомянутых в этой статье.На каждом рисунке верхний график показывает оценку плотности ядра ошибок, иллюстрирующую его распределение, а нижний график показывает диаграмму с квадратами и усами, на которой более четко выделяются выбросы. Из этих рисунков видно, что распределение измерений ошибок, используемых в UMBRAE, более равномерно, с меньшим количеством выбросов, чем в других измерениях.

Обсуждение

Рис. 1 показывает, что MRAE и MAPE могут легко определяться одним выбросом прогноза. Это связано с тем, что они основаны на среднем арифметическом, и для одиночной ошибки не определена верхняя граница.На практике слабое сопротивление прогнозированию выбросов может привести к неверным результатам. Это можно проиллюстрировать нашей оценкой данных M3-Competition. Как показано в таблице 1, рейтинг MRAE значительно отличается от других показателей. Это говорит о том, что наивный метод работает лучше всего, в то время как почти все другие меры точности показывают, что наивный метод хуже всего. Изучая данные прогнозирования, мы можем обнаружить, что результаты, измеренные MRAE, серьезно искажены чрезвычайно большими относительными абсолютными ошибками, тогда как наивные ошибки малы.Что касается среднего геометрического, GMRAE продемонстрировала значительную устойчивость к выбросам прогнозов. Однако одним из недостатков мер, основанных на среднем геометрическом, является то, что прогнозы с нулевой ошибкой должны быть исключены. Таким образом, эти меры могут быть недостаточно информативными. Напротив, из-за определенных ограниченных ошибок мы показали, что UMBRAE может работать так же хорошо, как GMRAE, в сопротивлении прогнозированию выбросов. Фактически, ошибки и рейтинги, предоставленные UMBRAE, заметно коррелируют с теми, которые измеряются GMRAE, особенно в таблицах 3 и 4, где исключены крайние ошибки.Таким образом, для случаев, когда предпочтительны такие меры, как GMRAE, UMBRAE может быть альтернативной мерой, поскольку ее намного проще использовать без необходимости исправлять ошибки.

На рис. 4–11 также можно заметить, что все меры точности, кроме AvgRelMAE (см. Рис. 7), GMRAE (см. Рис. 8) и UMBRAE (см. Рис. 11), имеют сильно асимметричные распределения с длинными хвостами, включая чрезвычайно большие выбросы прогнозов. Хотя неопределенные и нулевые ошибки (0,5%) были обрезаны, GMRAE по-прежнему содержит около 10.2% прогнозируемых выбросов, включая некоторые большие логарифмически преобразованные ошибки, такие как -10,76 и 8,08. Хотя ограниченные ошибки, используемые sMAPE (см. Рис. 10) и UMBRAE, также содержат некоторые выбросы, очень больших ошибок нет. В частности, UMBRAE следует симметричному распределению и дает только около 3% выбросов, что не окажет существенного влияния на результат.

Следует отметить, что UMBRAE не всегда предоставляет ту же информацию, что и GMRAE. Например, для временного ряда с миллионом наблюдений, если метод прогнозирования и эталонный метод дают ошибки ( y — f ), которые составляют e и e * в соответствии со стандартным нормальным распределением, UMBRAE и GMRAE оба будут примерно 1.Однако, если метод прогнозирования дает ошибки в 2 e , значение GMRAE будет примерно 2, как и можно было ожидать. Но UMBRAE выдаст ошибку примерно 1,67, что меньше 2. Это связано с тем, что ограниченная ошибка, используемая UMBRAE, не будет слишком увеличиваться, когда ошибка e удваивается для случаев, когда | e | намного больше, чем | e * |. Другими словами, UMBRAE не присвоит дважды худшему прогнозу ошибку двойной значимости, когда прогноз намного хуже, чем большинство других прогнозов.Фактически, это ключевая стратегия UMBRAE по противодействию выбросам. Кроме того, вышеупомянутое ожидание ошибки 2 основано на оценке с помощью «относительной средней ошибки». Однако можно утверждать, что «средняя относительная ошибка» не обязательно совпадает с «относительной средней ошибкой». Это может быть более или менее отражено в синтетическом тесте, показанном на рис. 3. Более подробное обсуждение этого будет дано позже в этом разделе с точки зрения независимости от масштаба. Мы считаем, что указанная выше проблема не отменяет использование UMBRAE на практике.

Одна из распространенных проблем, связанных с мерой точности, заключается в том, является ли она симметричной. Два разных случая использовались для оценки свойства симметрии для мер точности. С нашей точки зрения, первый случай касается симметрии в абсолютной величине, которая касается того, можно ли справедливо трактовать одни и те же завышенные и заниженные оценки с помощью меры. Как показано на рис. 2, только sMAPE не является симметричным по абсолютной величине (из-за используемых асимметричных ограниченных ошибок). UMBRAE решила эту проблему с помощью определения симметричных ограниченных ошибок.Второй случай, по сути, касается симметрии относительной величины, где ожидается, что меры дадут результат 1 для усреднения двух относительных ошибок N и. Обычно мера, использующая среднее арифметическое, не должна быть симметричной по такой относительной величине. Однако UMBRAE, который использует среднее арифметическое для части расчетов, показал симметричный результат. Это связано с тем, что UMBRAE не работает напрямую с исходными коэффициентами ошибок. Исходные относительные ошибки были преобразованы в ограниченные относительные ошибки для UMBRAE перед вычислением среднего арифметического.Фактически, это очень похоже на процесс расчета GMRAE, который основан на среднем геометрическом. В результате для UMBRAE не проблема использовать среднее арифметическое. На рисунках 8 и 11 показано, что обе ошибки, используемые GMRAE и UMBRAE, имеют симметричное распределение.

Необходимо (или, по крайней мере, очень желательно), чтобы мера точности не зависела от масштаба при оценке методов прогнозирования для данных в разных масштабах. Обычно показатели, основанные на процентах или соотношениях в одном и том же диапазоне, считаются независимыми от масштаба.Однако мы утверждаем, что недостаточно, чтобы эти проценты или отношения находились в одном и том же диапазоне. Чтобы быть действительно независимыми от масштаба, эти проценты или отношения ошибок также должны быть тесно связаны с масштабом данных для конкретных наблюдений. В противном случае они могут привести к неверным результатам. Например, в таблице 1 ошибка MASE для наивного метода составляет 2,134. Это несколько сбивающий с толку результат, который можно интуитивно интерпретировать как указание на то, что наивный метод работает хуже, чем сам наивный метод! Фактически, это означает, что наивный метод дает в среднем меньшие ошибки для данных прогнозирования, чем его ошибки для данных в выборке .Напротив, AvgRelMAE не имеет этой проблемы, поскольку он использует среднюю ошибку на вне выборки в качестве коэффициента масштабирования. Рис. 3 показывает, что MASE не может различить разницу между двумя прогнозами, которые явно различаются, учитывая процент ошибок при разных наблюдениях. Это связано с тем, что каждая ошибка, используемая MASE в разных наблюдениях, масштабируется одним и тем же коэффициентом масштабирования. GMRAE также не прошла эту оценку. Мы замечаем, что это связано с тем, что GMRAE, по сути, имеет ту же проблему, что и MASE.Каждую отдельную ошибку GMRAE также можно рассматривать как ошибку масштабирования на основе согласованного коэффициента масштабирования GMAE *, который представляет собой среднее геометрическое значение ошибок теста e *. В соответствии с вышеизложенным мы заключаем, что MASE, AvgRelMAE и GMRAE относительно независимы от масштаба, поскольку они предполагают, что коэффициент масштабирования является согласованной оценкой. Напротив, UMBRAE не зависит от масштаба и тесно связан с коэффициентами ошибок при наблюдениях. Таким образом, он может разумно показать разницу между двумя прогнозами в отношении процентов ошибок.

Еще одно важное свойство меры точности — ее интерпретируемость. Как показано в таблице 1, числовые ошибки, измеренные с помощью MAE и RMSE, не имеют интуитивного значения без сравнений и поэтому были оценены как «удовлетворительные». Для сравнения, показатели, которые приводят к ошибкам в процентах или соотношениях на основе эталонного показателя, более интерпретируемы. Контрольный показатель, используемый для измерения точности, также важен для его интерпретируемости. В таблице 1 ошибки, измеренные MAPE, представляют собой небольшие ошибки около 10%.Однако эти небольшие ошибки менее значимы без сравнений. Это потому, что эти небольшие проценты основаны на исходных значениях наблюдений. Таким образом, они не обязательно указывают на хорошую производительность. Напротив, ошибки, измеренные UMBRAE, более интерпретируемы. Ошибка 0,77 означает, что метод прогнозирования работает примерно на 23% лучше, чем эталонный метод.

Как показано в Таблице 5, меры точности оцениваются по ключевым критериям, рассматриваемым в этой статье.Меры считаются менее информативными, если необходимо исключить неопределенные или нулевые ошибки. Свойство симметрии оценивается как в абсолютной, так и в относительной величине, как обсуждалось выше. Показатели оцениваются как относительно независимые от масштаба, поскольку они предполагают, что коэффициент масштабирования является непротиворечивой оценкой. Меры относительной точности считаются более интерпретируемыми, чем другие меры, поскольку они могут обеспечить более интуитивные результаты с точки зрения производительности без дополнительных сравнений.sMAPE оценивается как неудовлетворительная интерпретируемость, поскольку его ошибка, имеющая диапазон (0,200), не так проста, как MAPE, для понимания.

Таким образом, мы показываем, что UMBRAE (i) информативен и использует все доступные ошибки; (ii) может работать так же хорошо, как GMRAE, противостоять выбросам прогнозов без необходимости обрезать прогнозы с нулевой ошибкой; (iii) является симметричным как по абсолютной, так и по относительной величине; (iv) не зависит от масштаба; (v) интерпретируем и может дать интуитивно понятный результат. Таким образом, UMBRAE объединяет лучшие характеристики различных альтернативных мер в одну новую меру.Таким образом, мы считаем, что UMBRAE представляет собой интересную новую меру, поскольку она представляет собой простую, гибкую, легкую в использовании и понимаемую меру, устойчивую к выбросам. Кроме того, можно выбрать эталон прогнозирования для расчета UMBRAE, и идеальным выбором должен быть метод прогнозирования, который будет превосходить по эффективности. Как хорошо известный эталон, наивный метод можно легко применить по умолчанию, чтобы показать, является ли метод прогнозирования в целом хорошим или нет.

Заключение

Мы предложили новую меру точности UMBRAE, основанную на ограниченных относительных ошибках.Как обсуждалось в обзоре sMAPE, одним из преимуществ ограниченной ошибки является то, что она придает меньшее значение выбросам, поскольку не имеет проблемы с чрезмерно большими или бесконечными. Оценка предложенной меры наряду с соответствующими мерами была произведена как на синтетических, так и на реальных данных. Мы показали, что UMBRAE сочетает в себе лучшие черты различных альтернативных мер, не имея их общих недостатков. UMBRAE с возможностью выбора эталонного теста может предоставить информативный и интерпретируемый результат, основанный на ограниченной относительной ошибке.Он менее чувствителен к прогнозированию выбросов, чем другие показатели. Он также симметричен и не зависит от масштаба. Хотя общепризнано, что не может быть какой-либо единственной наилучшей меры точности, мы полагаем, что UMBRAE является хорошим выбором для общего использования при оценке эффективности методов прогнозирования. Поскольку в нашем исследовании UMBRAE работает так же, как GMRAE, без необходимости обрезать прогнозы с нулевыми ошибками, мы особенно рекомендуем UMBRAE в качестве альтернативной меры в тех случаях, когда GMRAE предпочтительнее.

Хотя мы показали, что UMBRAE имеет много преимуществ, как описано выше, его статистические свойства не были хорошо изучены. Например, неясно, как UMBRAE отражает свойства распределений ошибок. Более того, одним из возможных основных недостатков UMBRAE является то, что ограниченная ошибка, используемая UMBRAE, достигнет максимального значения 1.0, когда эталонная ошибка () равна нулю, даже если прогноз хороший. Это может привести к смещенной оценке, особенно когда эталонный метод дает большое количество нулевых ошибок.Хотя этот недостаток может не иметь отношения к большинству реальных данных, в будущем мы хотели бы решить эту проблему.

Вклад авторов

Концептуализация: CC.
Обработка данных: CC.
Формальный анализ: CC JT JMG.
Финансирование: JT JMG.
Расследование: CC JT JMG.
Методология: CC JT JMG.
Администрация проекта: JT JMG.
Программное обеспечение: CC.
Надзор: JT JMG.
Подтверждение: CC JT JMG.
Визуализация: CC JT JMG.
Написание — первоначальный черновик: CC JT JMG.
Написание — просмотр и редактирование: CC JT JMG.

Список литературы

1. Де Гуджер JG, Hyndman RJ. 25 лет прогнозирования временных рядов. Международный журнал прогнозирования.2006. 22 (3): 443–473.
2. Гао З.К., Цзинь Н.Д. Направленная взвешенная комплексная сеть для характеристики хаотической динамики из временных рядов. Нелинейный анализ: приложения в реальном мире. 2012. 13 (2): 947–952.
3. Гао З.К., Ян YX, Фанг ПК, Цзоу И, Ся Си, Ду М. Комплексная многомасштабная сеть для анализа экспериментальных многомерных временных рядов. Письма еврофизики. 2015; 109 (3): 30005.
4. Гао З. К., Смолл М., Куртс Дж. Комплексный сетевой анализ временных рядов.Письма еврофизики. 2016; 116 (5): 50001.
5. Гао З.К., Цай Цюй, Ян YX, Данг В.Д., Чжан СС. График многомасштабной горизонтальной видимости с ограниченной проницаемостью для анализа нелинейных временных рядов. Научные отчеты. 2016; 6: 35622. pmid: 27759088
6. Армстронг Дж. С., Коллопи Ф. Меры погрешности для обобщения методов прогнозирования: эмпирические сравнения. Международный журнал прогнозирования. 1992. 8 (1): 69–80.
7. Макридакис С., Хибон М.M3-Competition: итоги, выводы и последствия. Международный журнал прогнозирования. 2000. 16 (4): 451–476.
8. Файлдс Р. Оценка методов экстраполяционного прогнозирования. Международный журнал прогнозирования. 1992. 8 (1): 81–98.
9. Клементс М.П., Хендри Д.Ф. Об ограничениях сравнения среднеквадратических ошибок прогнозов. Журнал прогнозирования. 1993. 12 (8): 617–637.
10. Макридакис С. Меры точности: теоретические и практические аспекты.Международный журнал прогнозирования. 1993. 9 (4): 527–529.
11. Армстронг Дж. С., Филдес Р. Переписка по выбору показателей погрешности для сравнений между методами прогнозирования. Журнал прогнозирования. 1995. 14 (1): 67–71.
12. Макридакис С., Андерсен А., Карбон Р., Филдес Р., Хибон М., Левандовски Р. и др. Точность методов экстраполяции (временных рядов): результаты конкурса прогнозирования. Журнал прогнозирования. 1982. 1 (2): 111–153.
13.Olaofe ZO. 5-дневные прогнозы скорости и мощности ветра с использованием многоуровневой рекуррентной нейронной сети (LRNN). Устойчивые энергетические технологии и оценки. 2014; 6: 1–24.
14. Свалина И., Гальзина В., Луич Р., Шимунович Г. Адаптивная сетевая система нечеткого вывода (ANFIS) для прогнозирования: случай близких индексов цен. Экспертные системы с приложениями. 2013. 40 (15): 6055–6063.
15. Бояджиоглу М.А., Авчи Д. Адаптивная сетевая система нечеткого вывода (ANFIS) для прогнозирования доходности фондового рынка: пример Стамбульской фондовой биржи.Экспертные системы с приложениями. 2010. 37 (12): 7908–7912.
16. Wei LY, Chen TL, Ho TH. Гибридная модель, основанная на адаптивной сетевой системе нечеткого вывода для прогнозирования фондового рынка Тайваня. Экспертные системы с приложениями. 2011. 38 (11): 13625–13631.
17. Исфаханипур А., Агамири В. Адаптированная нейро-нечеткая система вывода на основе непрямого подхода База нечетких правил TSK для анализа фондового рынка. Экспертные системы с приложениями. 2010. 37 (7): 4742–4748.
18.Hyndman RJ, Koehler AB. Еще один взгляд на меры точности прогнозов. Международный журнал прогнозирования. 2006. 22 (4): 679–688.
19. Макридакис С.Г., Уилрайт С.К., Хайндман Р.Дж. Прогнозирование: методы и приложения. Серия Wiley в управлении. Wiley; 1998.
20. Армстронг JS. Меры точности. В кн .: Долгосрочное прогнозирование: от хрустального шара к компьютеру. Публикация Wiley-Interscience. Wiley; 1985. с. 346–354.
21. Гудвин П., Лоутон Р.Об асимметрии симметричного МАПО. Международный журнал прогнозирования. 1999. 15 (4): 405–408.
22. Орд К. Комментарии к M3-Competition Введение, некоторые комментарии и оценочная таблица. Международный журнал прогнозирования. 2001. 17 (4): 537–541.
23. Чэнь З., Ян Ю. Оценка показателей точности прогнозов; 2004. Доступно по адресу: https://www.researchgate.net/publication/228774888_Assessing_forecast_accuracy_measures.
24. Давыденко А, Филдес Р.Измерение точности прогнозирования: случай субъективных корректировок прогнозов спроса на уровне SKU. Международный журнал прогнозирования. 2013. 29 (3): 510–522.
25. Флеминг П. Дж., Уоллес Дж. Дж. Как не обмануть статистику: как правильно подвести итоги тестов. Коммуникации ACM. 1986. 29 (3): 218–221.
26. Райт Д. Д., Кэпон Дж., Пейдж Р., Кирога Дж., Тасин А. А., Томасини Ф. Оценка методов прогнозирования для поддержки принятия решений. Международный журнал прогнозирования.1986. 2 (2): 139–152.
27. Чатфилд С. Яблоки, апельсины и среднеквадратичная ошибка. Международный журнал прогнозирования. 1988. 4 (4): 515–518.
28. Армстронг JS. Оценка методов прогнозирования. В кн .: Принципы прогнозирования: Справочник для исследователей и практиков. т. 30. Springer США; 2001. с. 443–472.

Распространение ошибки — Chemistry LibreTexts

Распространение ошибки (или распространение неопределенности) определяется как влияние на функцию неопределенности переменной.Это статистический расчет на основе расчетов, предназначенный для объединения неопределенностей от нескольких переменных, чтобы обеспечить точное измерение неопределенности.

Введение

В каждом измерении присутствует некоторая неопределенность, и не все погрешности равны. Следовательно, возможность правильно комбинировать неопределенности из разных измерений имеет решающее значение. Неопределенность в измерениях возникает по-разному: изменчивость инструментов, разные наблюдатели, различия в выборках, время суток и т. Д.Обычно ошибка выражается в стандартном отклонении (\ (\ sigma_x \)) измерения.

Каждый раз, когда вычисление требует для решения более одной переменной, необходимо распространение ошибки для правильного определения неопределенности. Например, допустим, мы используем спектрофотометр UV-Vis для определения молярной поглощающей способности молекулы по закону Бера: A = ε l c. Поскольку по крайней мере две переменные имеют неопределенность, зависящую от используемого оборудования, необходимо применить формулу распространения ошибки для измерения более точной неопределенности молярной поглощающей способности.Этот пример будет продолжен ниже, после вывода.

Вывод точной формулы

Предположим, что для проведения определенного эксперимента требуется несколько инструментов. Каждый из этих инструментов имеет различную вариабельность своих измерений. Результаты каждого инструмента представлены в виде: a, b, c, d … (для упрощения, в данном выводе будут использоваться только переменные a, b , и c ) . Желаемый конечный результат — \ (x \), так что \ (x \) зависит от a, b, и c .Можно написать, что \ (x \) является функцией этих переменных:

\ [x = f (a, b, c) \ label {1} \]

Поскольку каждое измерение имеет неопределенность относительно его среднего значения, можно записать, что неопределенность dx _i i -го измерения \ (x \) зависит от неопределенности i -го измерения a, b, и c:

\ [dx_i = f (da_i, db_i, dc_i) \ label {2} \]

Общее отклонение \ (x \) затем получается из частной производной x по каждой из переменных:

\ [dx = \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {\ delta {a}} \ right) _ {b, c} da, \; \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {\ delta {b}} \ right) _ {a, c} db, \; \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {\ delta {c}} \ right) _ {a, b} dc \ label {3} \]

Отношение между стандартными отклонениями x и a, b, c и т. Д.2 \ label {4} \]

Перекрестные термины:

\ [\ left (\ dfrac {\ delta {x}} {da} \ right) \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {db} \ right) da \; db, \; \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {da} \ right) \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {dc} \ right) da \; dc, \; \ left (\ dfrac {\ delta {x}) } {db} \ right) \ left (\ dfrac {\ delta {x}} {dc} \ right) db \; dc \ label {5} \]

Квадратные члены из-за природы возведения в квадрат всегда положительны и поэтому никогда не исключают друг друга. Напротив, перекрестные термины могут нейтрализовать друг друга из-за возможности того, что каждый член может быть положительным или отрицательным.Если da, db, и dc представляют случайные и независимые неопределенности, примерно половина перекрестных членов будет отрицательной, а половина положительной (это в первую очередь связано с тем, что переменные представляют собой неопределенность относительно среднего значения). Фактически, сумма перекрестных членов должна приближаться к нулю, особенно при увеличении \ (N \). 2} {N -1} \ label {7} \]

Предыдущий шаг создал ситуацию, когда Equation \ ref {7} может имитировать уравнение стандартного отклонения.2_c \ label {9} \]

Таким образом, конечный результат достигнут. Уравнение \ ref {9} показывает прямую статистическую связь между несколькими переменными и их стандартными отклонениями. В следующем разделе приведены выводы для общих вычислений с примером того, как был получен вывод.

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): арифметические вычисления распространения ошибок
Тип	Пример	Стандартное отклонение (\ (\ sigma_x \))
Сложение или вычитание	\ (х = а + Ь — с \)	\ (\ sigma_x = \ sqrt {{\ sigma_a} ^ 2 + {\ sigma_b} ^ 2 + {\ sigma_c} ^ 2} \ label {10} \)
Умножение или деление	\ (x = \ dfrac {a x b} {c} \)	\ (\ dfrac {\ sigma_x} {x} = \ sqrt {\ left (\ dfrac {\ sigma_a} {a} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {\ sigma_b} {b} \ right) ^ 2+ \ влево (\ dfrac {\ sigma_c} {c} \ right) ^ 2} \) (11)
Экспоненциальная	\ (х = а ^ у \)	\ (\ dfrac {\ sigma_x} {x} = y (\ dfrac {\ sigma_a} {a}) \) (12)
Логарифмический	\ (х = \ журнал (а) \)	\ (\ sigma_x = 0.434 (\ dfrac {\ sigma_a} {a}) \) (13)
Антилогарифмический	\ (х = антилогарифм (а) \)	\ (\ dfrac {\ sigma_x} {x} = 2.303 ({\ sigma_a}) \) (14)

Где \ (a \), \ (b \) и \ (c \) — измеренные переменные из эксперимента, а \ (\ sigma_a \), \ (\ sigma_b \) и \ (\ sigma_c \) — стандартные отклонения этих переменных.

Сложение, вычитание и логарифмические уравнения приводят к абсолютным стандартным отклонениям , тогда как умножение, деление, экспоненциальные и антилогарифмические уравнения приводят к относительным стандартным отклонениям.

Вывод арифметического примера

Точная формула распространения ошибки в уравнении \ (\ ref {9} \) может использоваться для получения арифметических примеров, приведенных в таблице \ (\ PageIndex {1} \). 2}} \ label {11} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Продолжая пример из введения (где мы вычисляем молярную поглощающую способность молекулы), предположим, что у нас есть концентрация 13.2}} \]

\ [\ dfrac {\ sigma _ {\ epsilon}} {\ epsilon} = 0.10237 \]

Как указано в примечании выше, уравнение 11 дает относительное стандартное отклонение или процент от переменной ε . Используя закон Бера, ε = 0,012614 L моль ^-1 см ^-1 Следовательно, \ (\ sigma _ {\ epsilon} \) для этого примера будет 10,237% от ε , что составляет 0,001291.

С учетом значащих цифр окончательный ответ будет:

ε = 0.013 ± 0,001 л моль ^-1 см ^-1

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Если вам дано уравнение, которое связывает две разные переменные, и учитывая относительную неопределенность одной из переменных, можно определить относительную неопределенность другой переменной с помощью исчисления. В задачах неопределенность обычно выражается в процентах. Допустим, мы измеряем радиус очень маленького объекта. Проблема может заключаться в том, что погрешность измерения этого радиуса составляет 5%.

Решение

Чтобы на самом деле использовать этот процент для расчета неизвестных неопределенностей других переменных, мы должны сначала определить, что такое неопределенность. Неопределенность в расчетах определяется как:

(dx / x) = (∆x / x) = неопределенность

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Давайте еще раз посмотрим на пример радиуса объекта. Если мы знаем, что неопределенность радиуса составляет 5%, неопределенность определяется как (dx / x) = (∆x / x) = 5% = 0,05.

Теперь мы готовы использовать исчисление для получения неизвестной неопределенности другой переменной.2) \ nonumber \]

Где c — постоянная величина, r — радиус, а V (r) — объем.

Решение

Первым шагом к обнаружению неопределенности объема является понимание данной нами информации. 2} \ nonumber \]

Теперь мы можем отменить переменные, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе, чтобы получить:

\ [\ dfrac {∆V} {V} = \ dfrac {2∆r} {r} = 2 \ left (\ dfrac {∆r} {r} \ right) \]

Мы сузили уравнение, так что осталось ∆r / r.Нам известно значение погрешности для ∆r / r, равное 5% или 0,05. Подставляя это значение для ∆r / r, получаем:

\ dfrac {∆V} {V} = 2 (0,05) = 0,1 = 10 \% \]

Неопределенность объема 10%. Этот метод можно использовать и в химии, а не только в биологическом примере, показанном выше.

Ошибка измерения — A Plus Topper

Ошибка измерения

Любые измерения, выполненные с помощью измерительного прибора , являются приблизительными.
Если вы измеряете один и тот же объект два раза в разное время, эти два измерения могут быть не совсем одинаковыми.Разница между двумя измерениями называется вариацией в измерениях.
Другое слово для этой вариации — или неопределенности измерения — это «ошибка ». Эта «ошибка» не то же самое, что «ошибка». Это не значит, что вы получили неправильный ответ. Погрешность измерения — это математический способ показать неопределенность измерения. Это разница между результатом измерения и истинным значением того, что вы измеряли.

Точность измерительного прибора определяется наименьшей единицей измерения.Говорят, что точность такая же, как наименьшее дробное или десятичное деление на шкале измерительного прибора.

Способы выражения погрешности измерения

:
1. Наибольшая возможная ошибка:
Поскольку никакое измерение не является точным, измерения всегда проводятся до «ближайшего чего-то», независимо от того, указано это или нет. Максимально возможная погрешность при измерении считается равной половине этой единицы измерения.Например, вы измеряете длину 3,4 см. Поскольку измерение производилось с точностью до десятых долей, максимально возможная ошибка будет составлять половину одной десятой или 0,05.
2. Интервалы допуска:
Ошибка измерения может быть представлена интервалом допуска (предел погрешности). Машины, используемые в производстве, часто устанавливают интервалы допусков или диапазоны, в которых измерения продукта будут допустимыми или приемлемыми, прежде чем они будут признаны дефектными.
Чтобы определить интервал допуска при измерении , прибавьте и вычтите половину точности измерительного прибора из измерения.
Например, если измерение, выполненное с помощью метрической линейки, составляет 5,6 см, а точность линейки составляет 0,1 см, то интервал допуска в этом измерении составляет 5,6 ± 0,05 см или от 5,55 см до 5,65 см. Любые измерения в этом диапазоне «допускаются» или воспринимаются как правильные.
Точность — это мера того, насколько близок результат измерения к «истинному», «фактическому» или «принятому» значению. (Насколько близок ваш ответ к принятому значению?)
Допуск — это самый большой допустимый диапазон отклонений.(Сколько ошибок в ответе происходит или допустимо?)
3. Абсолютная ошибка и относительная ошибка:
Ошибка измерения может быть представлена фактической величиной ошибки или соотношением, сравнивающим ошибку с размером измерения.
Абсолютная ошибка измерения показывает, насколько велика ошибка на самом деле, а относительная ошибка измерения показывает, насколько велика ошибка по отношению к правильному значению.
Абсолютные ошибки не всегда указывают на то, насколько серьезной может быть ошибка.Если вы измеряете футбольное поле и абсолютная погрешность составляет 1 см, погрешность практически не имеет значения. Но если вы измеряете небольшую деталь машины (<3 см), абсолютная погрешность в 1 см очень значительна. Хотя обе ситуации показывают абсолютную погрешность в 1 см, значимость ошибки сильно различается. По этой причине более полезно выражать ошибку как относительную ошибку. Мы будем работать с относительной ошибкой.

Абсолютная ошибка:
Абсолютная ошибка — это просто величина физической ошибки в измерении.

Например, если вы знаете, что длина составляет 3,535 м ± 0,004 м, тогда 0,004 м является абсолютной ошибкой.
Абсолютная ошибка положительна.
На простом английском языке: Абсолютная погрешность — это разница между измеренным значением и фактическим значением. (Абсолютная погрешность будет иметь ту же метку, что и измеренная величина.)
Относительная ошибка:
Относительная ошибка — это отношение абсолютной ошибки измерения к принятому измерению. Относительная ошибка выражает «относительный размер ошибки» измерения по отношению к самому измерению.
Когда принятое или истинное измерение — , известное , относительная ошибка находится с использованием

, что считается мерой точности.

На простом английском языке:
4. Процент ошибки:
Ошибка измерения также может быть выражена как процент ошибки. Процент ошибки определяется путем умножения относительной ошибки на 100%.

Способы повышения точности измерений
Выполните измерения с помощью прибора с высочайшим уровнем точности. Чем меньше единица или доля единицы на измерительном приборе, тем точнее прибор может производить измерения. Точность измерительного прибора определяется наименьшей единицей измерения, которую он может измерить.
Знайте свои инструменты! Применяйте правильные методы при использовании измерительного прибора и считывании измеренного значения. Избегайте ошибки, называемой «параллакс» — всегда снимайте показания, глядя прямо на измерительный прибор вниз (или вперед). Если смотреть на измерительный прибор под левым или правым углом, можно получить неверное значение.
Повторите одно и то же измерение несколько раз, чтобы получить хорошее среднее значение.
Измерение в контролируемых условиях . Если объект, который вы измеряете, может изменить размер в зависимости от климатических условий (разбухать или сжиматься), обязательно измеряйте его каждый раз в одних и тех же условиях. Это также может относиться к вашим измерительным приборам.
Примеры:
1. Собака Скитер весит ровно 36,5 фунтов. При взвешивании на дефектных весах он весил 38 фунтов.а) Каков процент погрешности измерения дефектной шкалы с точностью до десятых долей? (б) Если Милли, кошка, весит 14 фунтов на тех же дефектных весах, каков фактический вес Милли с точностью до десятых долей фунта
Ответ:
2. Фактическая длина этого поля составляет 500 футов. Измерительный прибор показывает, что длина составляет 508 футов.

Найдите:
(а) абсолютную ошибку в измеренной длине поля.
(б) относительная погрешность измерения длины поля.
(c) ошибка в процентах измеренной длины поля
Ответ:
3. Найдите абсолютную ошибку, относительную ошибку и процент ошибки приближения 3,14 к значению, используя TI-83 + / 84 + запись числа пи в качестве фактического значения.
Ответ:
Ошибка измерения | Безграничная статистика
Смещение
Систематические или предвзятые ошибки — это ошибки, которые неизменно дают результаты либо выше, либо ниже правильного измерения.
Задачи обучения
Контрастность случайных и систематических ошибок
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Систематические ошибки — это смещения в измерениях, которые приводят к ситуации, когда среднее значение многих отдельных измерений значительно отличается от фактического значения измеряемого атрибута в одном направлении.
Из-за систематической ошибки измеренное значение всегда меньше или больше истинного значения, но не то и другое вместе. Эксперимент может включать более одной систематической ошибки, и эти ошибки могут аннулировать друг друга, но каждая изменяет истинное значение только одним способом.
Точность (или достоверность) — это мера систематической ошибки. Если эксперимент точен или действителен, то систематическая ошибка очень мала.
К систематическим ошибкам относятся личные ошибки, инструментальные ошибки и ошибки метода.
Ключевые термины
систематическая ошибка : ошибка, которая постоянно дает результаты либо выше, либо ниже правильного измерения; ошибка точности
случайная ошибка : ошибка, которая представляет собой комбинацию результатов как выше, так и ниже желаемого измерения; ошибка точности
Точность : степень близости измерения величины к ее фактическому (истинному) значению
Два типа ошибок
При проведении измерений в экспериментах обычно бывает два разных типа ошибок: случайные (или случайные) ошибки и систематические (или смещенные) ошибки.
Каждому измерению присуща погрешность. Поэтому нам необходимо дать некоторое представление о надежности измерений и неопределенности результатов, рассчитанных на основе этих измерений. Чтобы лучше понять результат экспериментальных данных, следует рассмотреть оценку размера систематических ошибок по сравнению со случайными ошибками. Случайные ошибки связаны с точностью оборудования, а систематические ошибки связаны с тем, насколько хорошо было использовано оборудование или насколько хорошо контролировался эксперимент.
Низкая точность, высокая точность : Эта цель демонстрирует пример низкой точности (точки не находятся близко к центру цели), но высокой точности (точки расположены близко друг к другу). В этом случае систематической ошибки больше, чем случайной ошибки.
Высокая точность, низкая точность : Эта цель демонстрирует пример высокой точности (все точки находятся близко к центру цели), но низкой точности (точки не расположены близко друг к другу). В этом случае случайной ошибки больше, чем систематической.
Предвзятые или систематические ошибки
Систематические ошибки — это смещения в измерениях, которые приводят к ситуации, когда среднее значение многих отдельных измерений значительно отличается от фактического значения измеряемого атрибута. Все измерения подвержены систематическим ошибкам, часто нескольких разных типов. Источниками систематических ошибок могут быть несовершенная калибровка измерительных приборов, изменения в окружающей среде, мешающие процессу измерения, и несовершенные методы наблюдения.
Систематическая ошибка делает измеренное значение всегда меньше или больше истинного значения, но не то и другое вместе. Эксперимент может включать более одной систематической ошибки, и эти ошибки могут аннулировать друг друга, но каждая изменяет истинное значение только одним способом. Точность (или достоверность) — это мера систематической ошибки. Если эксперимент точен или действителен, то систематическая ошибка очень мала. Точность — это мера того, насколько хорошо эксперимент измеряет то, что он пытался измерить.Это трудно оценить, если у вас нет представления об ожидаемой стоимости (например, значение из учебника или рассчитанное значение из книги данных). Сравните полученное вами экспериментальное значение с литературным значением. Если он находится в пределах погрешности для случайных ошибок, то наиболее вероятно, что систематические ошибки меньше случайных ошибок. Если он больше, то нужно определить, где произошли ошибки. Когда приемлемое значение доступно для результата, определенного экспериментально, можно вычислить процентную ошибку.
Например, представьте, что экспериментатор измеряет период полного раскачивания маятника. Если их секундомер или таймер запускаются с 1 секундой на часах, то все их результаты будут отключены на 1 секунду. Если экспериментатор повторяет этот эксперимент двадцать раз (начиная с 1 секунды каждый раз), тогда будет процентная ошибка в вычисленном среднем значении их результатов; конечный результат будет немного больше истинного периода.
Категории систематических ошибок и способы их устранения
Личные ошибки : Эти ошибки являются результатом невежества, небрежности, предубеждений или физических ограничений экспериментатора.Ошибки этого типа можно значительно уменьшить, если вы знакомы с экспериментом, который проводите.
Инструментальные ошибки : Инструментальные ошибки связаны с несовершенством инструментов, с которыми работает аналитик. Например, мерное оборудование, такое как бюретки, пипетки и мерные колбы, часто доставляют или содержат объемы, немного отличающиеся от тех, которые указаны их градуировкой. Калибровка может устранить этот тип ошибки.
Ошибки метода : Этот тип ошибки часто возникает, если вы не задумываетесь о том, как управлять экспериментом.Для любого эксперимента в идеале у вас должна быть только одна управляемая (независимая) переменная. Часто это очень сложно выполнить. Чем больше переменных вы можете контролировать в эксперименте, тем меньше у вас будет ошибок метода.
Случайная ошибка
Случайные или случайные ошибки — это ошибки, которые представляют собой комбинацию результатов как выше, так и ниже желаемого измерения.
Задачи обучения
Объясните, как в эксперименте возникают случайные ошибки
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Из-за случайной ошибки измеренное значение становится как меньше, так и больше истинного значения; это ошибки точности.
Случайные ошибки возникают случайно, и их невозможно избежать.
Случайная ошибка возникает из-за факторов, которые мы не контролируем или не можем контролировать.
Ключевые термины
систематическая ошибка : ошибка, которая постоянно дает результаты либо выше, либо ниже правильного измерения; ошибка точности
случайная ошибка : ошибка, которая представляет собой комбинацию результатов как выше, так и ниже желаемого измерения; ошибка точности
Precision : возможность последовательного воспроизведения измерения
Два типа ошибок
При проведении измерений в экспериментах обычно бывает два разных типа ошибок: случайные (или случайные) ошибки и систематические (или смещенные) ошибки.
Каждому измерению присуща погрешность. Поэтому нам необходимо дать некоторое представление о надежности измерений и неопределенности результатов, рассчитанных на основе этих измерений. Чтобы лучше понять результат экспериментальных данных, следует рассмотреть оценку размера систематических ошибок по сравнению со случайными ошибками. Случайные ошибки связаны с точностью оборудования, а систематические ошибки связаны с тем, насколько хорошо было использовано оборудование или насколько хорошо контролировался эксперимент.
Низкая точность, высокая точность : Эта цель демонстрирует пример низкой точности (точки не находятся близко к центру цели), но высокой точности (точки расположены близко друг к другу). В этом случае систематической ошибки больше, чем случайной ошибки.
Высокая точность, низкая точность : Эта цель демонстрирует пример высокой точности (все точки находятся близко к центру цели), но низкой точности (точки не расположены близко друг к другу). В этом случае случайной ошибки больше, чем систематической.
Случайные или случайные ошибки
Из-за случайной ошибки измеренное значение становится меньше и больше истинного значения; это ошибки точности. Только случай определяет, больше или меньше значение. Считывание шкал весов, градуированного цилиндра, термометра и т. Д. Приводит к случайным ошибкам. Другими словами, вы можете взвесить блюдо на весах и каждый раз получать разный ответ просто из-за случайных ошибок. Их нельзя избежать; они являются частью процесса измерения.Неопределенности — это меры случайных ошибок. Это ошибки, возникающие в результате выполнения измерений на несовершенных инструментах, которые могут иметь только определенную степень точности.
Случайная ошибка возникает из-за факторов, которые мы не можем (или не контролируем) контролировать. Это может быть слишком дорого, или мы можем слишком игнорировать эти факторы, чтобы контролировать их каждый раз, когда проводим измерения. Возможно даже, что все, что мы пытаемся измерить, меняется во времени или является фундаментально вероятностным. Случайная ошибка часто возникает, когда инструменты работают на пределе своих возможностей.Например, цифровые весы часто показывают случайную ошибку в младшем разряде. Три измерения одного объекта могут показывать что-то вроде 0,9111 г, 0,9110 г и 0,9112 г.
Выбросы
В статистике выброс — это наблюдение, численно удаленное от остальных данных.
Задачи обучения
Объясните, как определить выбросы в распределении
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Отклонения могут возникать случайно, в результате человеческой ошибки или неисправности оборудования.Они могут указывать на ненормальное распределение или могут быть просто естественными отклонениями, возникающими в большой выборке.
Если не будет установлено, что отклонение не является значительным, неразумно игнорировать наличие выбросов.
Не существует строгого математического определения того, что является выбросом. Однако часто мы используем эмпирическое правило, согласно которому любая точка, расположенная дальше, чем на два стандартных отклонения выше или ниже линии наилучшего соответствия, является выбросом.
Ключевые термины
выброс : значение в статистической выборке, которое не соответствует шаблону, описывающему большинство других точек данных; в частности, значение, которое на 1,5 IQR превышает верхний или нижний квартиль
.
Линия наилучшего соответствия : Линия на графике, показывающая общее направление, в котором кажется, что движется группа точек.
линия регрессии : гладкая кривая, подобранная для набора парных данных в регрессионном анализе; для линейной регрессии кривая представляет собой прямую линию.
межквартильный размах : разница между первым и третьим квартилями; надежная мера дисперсии выборки.
Выбросы
В статистике выброс — это наблюдение, численно удаленное от остальных данных. Выбросы могут возникать случайно в любом распределении, но они часто указывают либо на ошибку измерения, либо на то, что популяция имеет распределение с «тяжелым хвостом». В первом случае их желают отбросить или использовать статистику, устойчивую к выбросам, тогда как во втором случае они указывают на то, что распределение искажено и что следует быть очень осторожными при использовании инструментов или интуиции, предполагающих нормальное распределение.
Если смотреть на линии регрессии, которые показывают, где попадают точки данных, выбросы далеки от линии наилучшего соответствия. У них есть большие «ошибки», где «ошибка» или невязка — это расстояние по вертикали от линии до точки.
Необходимо внимательно изучить выбросы. Иногда по тем или иным причинам их не следует включать в анализ данных. Возможно, выброс является результатом ошибочных данных. В других случаях выброс может содержать ценную информацию об исследуемой популяции и должен оставаться включенным в данные.Ключевым моментом является тщательное изучение причин, по которым точка данных является выбросом.
Выявление выбросов
Мы могли угадать выбросы, глядя на диаграмму рассеяния и линию наилучшего соответствия. Тем не менее, мы хотели бы получить некоторые рекомендации относительно того, как далеко должна быть точка, чтобы считаться выбросом. В качестве приблизительного практического правила мы можем пометить любую точку, которая расположена дальше, чем на два стандартных отклонения выше или ниже линии наилучшего соответствия, как выброс , как показано ниже.Используемое стандартное отклонение — это стандартное отклонение остатков или ошибок.
Статистические выбросы : На этом графике показана линия наилучшего соответствия (сплошная синяя), соответствующая точкам данных, а также две дополнительные линии (синяя пунктирная линия), которые представляют собой два стандартных отклонения выше и ниже линии наилучшего соответствия. Оранжевым цветом выделены все точки, иногда называемые «выпадающими», которые лежат в этом диапазоне; все, что находится за пределами этих линий — синие точки — можно считать выбросом.
Примечание: не существует строгого математического определения того, что является выбросом; Определение того, является ли наблюдение выбросом, в конечном итоге является субъективным делом.Вышеупомянутое правило — лишь одно из многих используемых правил. Другой часто используемый метод основан на межквартильном размахе (IQR). Например, некоторые люди используют правило [latex] 1.5 \ cdot \ text {IQR} [/ latex]. Это определяет выброс как любое наблюдение, которое падает [latex] на 1,5 \ cdot \ text {IQR} [/ latex] ниже первого квартиля, или любое наблюдение, которое падает [latex] на 1,5 \ cdot \ text {IQR} [/ latex] выше третий квартиль.
Если мы собираемся использовать правило стандартного отклонения, мы можем сделать это визуально на диаграмме рассеяния, нарисовав дополнительную пару линий, которые на два стандартных отклонения выше и ниже линии наилучшего соответствия.Любые точки данных, которые находятся за пределами этой дополнительной пары линий, помечаются как потенциальные выбросы.