Содержание

"Разложение многочлена на множители" (7-й класс)

Цели:

  • систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители;
  • способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
  • побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, вызвать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: экран, магнитная доска, набор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием теста.

Этап 1. Повторение

Задание 1. В парах выполняется задание теста

Тест

1. Разложение многочлена на множители – это:

А) представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов;

Б) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов;

В) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.

2. Завершить утверждение.

Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.

3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

А) вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки;

Б) сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;

В) вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.

4. Отметить знаком плюс верные выражения.

а) а2 + в2 – 2ав = ( а – в)2;

б) m2 + 2mn – n2 = (m – n)2;

в) 2pt – p2 – t2 = (p – t)2;

г) 2cd + c2 + d2 = (c + d)2.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана. (Слайд 2. Презентация)

Задание 2. На магнитной доске двое учеников выполняют задание

Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.

Метод разложения на множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Формулы сокращенного умножения

Способ группировки

20х3у2 + 4 х2у

a4 – b8

2bx – 3ay -6by + ax

b(a + 5) – c(a +5)

27b3 +a6

a2 + ab – 5a – 5b

15a3b + 3a2b3

x2+6x +9

2an -5bm-10bn + am

2y(x -5) +x(x – 5)

49m4 - 25n2

3a2 + 3ab -7a -7b

С остальными учащимися даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируя на экране.

Вынесение общего множителя (слайд 3)

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Группировка (слайд 4)

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения (слайд 5)

Группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. “Математическая эстафета”

Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8 заданиями (по два задания на каждую парту). Ученики, получившие листок, выполняют первые два задания и передают листок впереди сидящим ребятам. Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка с выполненными 8 заданиями. Побеждает та команда, в которой раньше решат 8 примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана (слайд 6).

Задания:

1 ряд

2 ряд

3 ряд

3a + 12b

16a2 + 8ab + b2

10a + 15c

2a + 2b + a2 + ab

3m – 3n + mn –n2

4a2 – 9b2

9a2 – 16b2

5a – 25b

6xy – ab – 2bx -3ay

7a2b – 14ab2 + 7ab

4a2 – 3ab + a – ag + 3bg –g

4a2 + 28 ab + 49 b2

m2 + mn – m – mg – ng + g

9a2 – 30ab + 25b2

b(a + c) + 2a + 2c

4a2 – 4ab +b2

2(a2 + 3bc) +a(3b+4c)

5a3c– 20acb – 10ac

2(3a2 + bc) + a(4b + 3c)

144a2 - 25b2

х2 – 3x – 5x + 15

25a2 + 70ab + 49b2

9a3b – 18ab2 – 9ab

9a2 – 6ac + c

2

Этап 2

На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов. Поэтому, чтобы решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательного применения. Здесь нужны не только знания, но и опыт.

Задание 4. Разложить многочлен на множители и указать, какие приемы использовались при этом

Пример 1. 36а6в3 – 96а4в4 + 64 а2в5.

Решение. 36а6в3 – 96а4в4 + 64 а2в5 = 4а2в3(9а4 – 24а2в + 16в2) = 4а2в3(3а2 – 4в)2

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2. а2 + 2ав + в2 – с2.

Решение. а2 + 2ав + в2 – с

2 = (а2 + 2ав + в2) – с2 = (а +в)2 – с2 = (а + в – с)(а +в +с).

Комбинировали два приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. у3 - 3у2 + 6у – 8.

Решение. у3 - 3у2 + 6у – 8 = (у3 – 8) - (3у2 – 6у) = (у – 2)(у2 + 2у + 4) – 3у(у – 2) = (у – 2)(у2 – у + 4).

Комбинировали три приема:

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

- вынесение общего множителя за скобки.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок (слайд 7).

  1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
  2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
  3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

Задание 5

Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах2 + вх + с = 0 (а0) – такие уравнения называются квадратными, мы начнем изучать в 8-м классе, решать задачи на делимость, доказывать тождества.

1. Решить уравнения:

1. Решить уравнения:

а) х2 – 15х + 56 = 0

Решение.

х2 – 7х – 8х + 56 = 0,

2 – 7х) – (8х – 56) =0,

Х(х – 7) – 8(х – 7) = 0,

(Х – 7)(х – 8) = 0,

Х=7, х=8

б) х2 + 10х + 21 = 0

Решение.

х2 + 10х + 25 – 4 = 0

(х + 5)2 – 4 = 0

(х + 5 -2)(х +5 +2) = 0

(х +3)(х + 7) = 0

х = -3, х = -7.

При разложении многочлена на множители мы увидели полный квадрат и таким образом применили еще один прием разложения на множители: метод выделения полного квадрата.

Этап 3

Задание 6. Самостоятельная работа

Разложить на множители, используя различные способы.

Вариант 1

Вариант 2

3 – 125ав2

63ав3 – 7а2в

а2 – 2ав + в2 – ас + вс

m2 + 6mn + 9n2 – m – 3n

(с – а)(с + а) – в(в – 2а)

(в – c)(в + c) – а(а + 2c)

х2 – 3х + 2

х2 + 4х + 3

х4 + 5х2 + 9

х4 + 3х2 + 4

Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью экран (слайд 9).

Подведение итогов урока

Провести фронтальный обзор основных этапов урока; отметить, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки, группировки, использование формул сокращенного умножения, познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценить работу учащихся и ориентировать в домашнем задании (слайд 10).

Домашнее задание

  1. Если вы получили оценку “2” или “3” –  № 998 (а, в), 1002, 1004.
  2. “4” – № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а).
  3. “5”–  № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а), 1089 (а, в).

urok.1sept.ru

Разложение на множители, разбор основных заданий

По сути, здесь приведены основные формулы сокращенного умножения. Но формулы представлены так, что именно из суммы получено произведение. Чаще всего именно так приходится работать с формулами, будь то сокращение дробей, решение неравенств методом интервалов и т.п.

 

Основные способы разложения многочлена на множители

 

 1. Вынесение общего множителя за скобку

 

2. (формула разности квадратов)

 

3. (формула квадрата суммы/разности)

 
4. (формула суммы/разности кубов)

 

5. (формула куба суммы/разности)

 

6. Способ группировки

Например, 

7.  ,

где – корни  уравнения

 

Пример 1.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 2.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 3.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 4.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 5.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 6.
Сократить дробь:.

Решение: + показать

Чтобы сократить дробь, следует разбить на множители числитель и\или знаменатель. Применяем способ группировки (п.6) (а также формулу “разность квадратов”, п.2) к числителю:
 

Пример 7.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

Пример 8.
Сократить дробь:

Решение: + показать

Для полного квадрата (п.3) первым трем слагаемым числителя не хватает коэффициента 2 перед вторым слагаемым. Представим как , что, кстати, еще и поможет нам в дальнейшем выйти на разность квадратов (п.2):
 

Пример 9.
Разложить на множители: .

Решение: + показать

 

egemaximum.ru

Зачем раскладывать на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.

Например, x2+ 14x + 45  — многочлен представлен в виде суммы одночленов. После разложения на множители многочлен примет вид
\((x + 5) (x + 9)\), где \(x + 5\) и \(x + 9\) являются множителями.

Пример:

задание. Разложить число \(36\) на два множителя различными способами.
Решение:

36 = 2⋅18;36 = 3⋅12;36 = 4⋅9.

 

Для разложения многочлена на множители используют такие способы:

 

1. вынесение общего множителя за скобки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен \(7a – 7b\).
Решение: \(7a – 7b = 7(a – b)\).
Вынесли общий множитель за скобки, получили произведение двух множителей: \(7\) и \(a-b\).

2. Применение формул сокращённого умножения.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 9x2−25y2=32x2−52y2=(3x)2−(5y)2=(3x−5y)(3x+5y).

3. Метод группировки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.
Решение: 35ab+7a−5b−1=(35ab−5b)+(7a−1)=5b(7a−1)+(7a−1)=(7a−1)(5b+1).

 

Умение раскладывать на множители необходимо для преобразования выражений, при сокращении алгебраических дробей, решении уравнений и неравенств.

Пример:

задание. Упростить выражение.
Решение: 25−a2(5+a)(13−a)=52−a2(5+a)(13−a)=(5−a)(5+a)(5+a)(13−a)=5−a13−a

— в числителе применили формулу «разность квадратов»;
— сократили дробь на выражение \(5+ а\).

Пример:

задание. Решить уравнение:

4x2+8x−x−2=0;(4x2−x)+(8x−2);x(4x−1)¯+2(4x−1)¯=0;(4x−1)¯(x+2)=0;

4x−1=0;4x=1;x1=0,25; или x+2=0;x=−2;x2=−2.

Ответ: \(-2;0,25\)

— сгруппировали;
— вынесли общие множители за скобки в каждой скобке;
— вынесли общие множители слагаемых за скобки.

 

Подробнее перечисленные выше способы рассмотрим далее, в отдельных темах.

www.yaklass.ru

Разложение многочлена на множители. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Вход на портал Вход на портал Регистрация Начало Поиск по сайту ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Обновления Подписка Я+ Новости Переменка Отправить отзыв
  • Предметы
  • Алгебра
  • 7 класс
  1. Что такое разложение на множители

  2. Вынесение общего множителя за скобки

  3. Способ группировки

  4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения

  5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

  6. Сокращение алгебраических дробей

  7. Тождества

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2019 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

www.yaklass.ru

Разложение многочлена на множители 7 класс

Тема урока: Разложение многочлена на множители

Цели урока:

·         формирование  представления о разложении многочлена на множители

·         формирование способности к разложению многочлена на множители в простейших случаях

·         развитие логического мышления, алгоритмической культуры на уровне, необходимом для дальнейшего обучения;

·         овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения задач различного типа;

·         воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Задачи урока:

·         повторить и закрепить формулы сокращенного умножения, алгоритм умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен;

·         тренировать вычислительные навыки, способность к анализу и решению задач;

·         сформировать способность к разложению многочлена на множители;

·         приобретение математических знаний и умений;

·         овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;

·         освоение компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентированной и профессионально-трудового выбора.

Тип урока: «открытие нового» знания

Оборудование: компьютер, интерактивная доска

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ход урока.

 

 

1.      Самоопределение к деятельности (организационный момент).

 

Приветствие, пожелание успеха в работе на уроке.

Учащиеся высказывают пожелания себе и друг другу перед уроком.

 

2.      Изучение нового материала.

На последних уроках мы говорили о преобразованиях выражений.

С какими преобразованиями мы работали на последнем уроке?

( раскрытие скобок)

Какие приемы (правила) мы при этом использовали?

(-формулы сокращенного умножения

-умножение одночлена на многочлен

-умножение многочлена на многочлен)

Для подготовки к изучению новой темы я провожу:

                                     Актуализацию знаний, умений и навыков.

№1

Вместо многоточия запишите букву, число или одночлен.

  1. …2 – b2 = (a - …)(a + …)
  2. (a + …)2 = …2 + 2…b + b2
  3. (m - …)2 = m2 – 20m + …2
  4. (5 + …)2 = … + … + 81
  5. 472 – 372 = (47 - …)(… + 37)
  6. (… - 3m)(… + 3m) = a2 – 9m2
  7. 612 = 360 + … + 1
  8. 712 + 292 + 2∙71∙29 = (…+ …)2 = …2

Проверяем работу (слайд №2).

№2

Работа в парах.

У вас на столах лежат карточки, на которых написаны выражения. Составьте из них верные равенства (найдите пары равных выражений). Можно делать вспомогательные записи в тетрадях.

1.      3x + 3y = 3(x +y)

2.      ab – a2b = ab(a – b)

3.      9 – 36a2 = (3 – 6a)(3 + 6a)

4.      m2 – 4 = (m – 2)(m + 2)

5.      a2 – 12a + 36 = (a – 6)2

6.      m2 + 4m + 4 = (m + 2)2

7.      a4 – 1 = (a – 1)(a + 1)(a2 + 1)

8.      2ax + 2ay + 3bx + 3by = (2a + 3b)(x + y)

9.      (x2 + 2x + 4) – b2 = (x + 1 – b)(x + 1 + b)

10.  x2 + 4x – y2 + 6y – 5 = (x + y – 1)(x – y + 5)

Проверяем получившиеся равенства.

 

Организую затруднения в индивидуальной деятельности.

На интерактивной доске выписаны получившиеся равенства. По какому принципу вы можете сгруппировать полученные равенства?

Учащиеся разбивают получившиеся равенства на три группы.

1 группа: умножение одночлена на многочлен

2 группа: применение формул сокращенного умножения

3 группа: умножение многочлена на многочлен

Найдите выражение, которое можно записать в разные группы.

          Выражение №9

Почему?

         Можно умножить многочлен на многочлен, а можно применить формулы сокращенного умножения.

Итак, одно и тоже выражение мы можем преобразовать используя разные приемы.

Можно ли поменять местами левую и правую части этих равенств?

         Да.

Учащиеся на доске меняют местами части равенств.

Как называются выражения, записанные в левом столбике?

         Многочлены.

А в правом?

         Произведение многочленов.

Как мы можем назвать действие, которое надо выполнить, чтобы перейти от многочлена к произведению многочленов?

         Разложение многочлена на множители.

Запишите в тетрадях тему урока «Разложение многочлена на множители».

Что значит разложить многочлен на множители?

         Преобразовать многочлен в произведение двух или нескольких многочленов.

Включаю детей в ситуацию выбора метода решения.

Существует целый ряд приемов для разложения многочленов на множители. С некоторыми из них мы уже знакомы. Но есть и новые для вас.

Начнем с уже известных вам приемов (слайд №3).

  1. Вынесение за скобки общего множителя.

3x + 3y = 3(x +y)

ab – a2b = ab(a – b)

  1. Применение формул сокращенного умножения.

     9 – 36a2 = (3 – 6a)(3 + 6a)

     m2 – 4 = (m – 2)(m + 2)

     a2 – 12a + 36 = (a – 6)2

     m2 + 4m + 4 = (m + 2)2

     a4 – 1 = (a – 1)(a + 1)(a2 + 1)

 

Постановка учебной задачи.

Сегодня мы будем говорить об уже известных преобразованиях, но для более сложных выражений.

 В чем же будет сложность, а значит и что-то новое.

Подойдут ли известные нам приемы для преобразования выражения 8.

Нет.

Можем вынести за скобки общий множитель у всех четырех слагаемых?

Нет.

Построение проекта выхода из затруднения.

А что же делать? Какие будут у вас предложения? (слайд №4)

Можно вынести общий множитель у первого и второго слагаемых, а затем у третьего и четвертого слагаемых.

2ax + 2ay + 3bx + 3by = 2a(x + y) + 3(x + y) =

А теперь можно еще раз вынести общий множитель

                                   = (x + y)(2a + 3b)

Говорят, что мы выполнили группировку слагаемых и способ так и называется – группировка членов многочлена.

Обратите внимание на то, что нам пришлось выносить за скобки не только одночлены, но и многочлен.

Добавим еще один пример в новый прием.

15ac + 15bc + 8a + 8b = 15c(a + b) + 8(a + b) = (a + b)(15c + 8)

Что же новое добавилось?

Вынесение за скобки общего множителя, если этот множитель многочлен.

В каком новом приеме разложение многочлена на множители это используется?

В разложении многочлена на множители с помощью группировки членов многочлена.

Рассмотрим теперь пример 9. Чтобы разложить на множители это выражение надо увидеть, что три слагаемых можно свернуть по формуле квадрат суммы

x2 + 2x + 1 – b2 = (x + 1)2 – b2 =

затем применить формулу разность квадратов

= (x + 1 – b)(x + 1 + b)

Какие же преобразования мы выполняли для разложения этого многочлена на множители?

Группировка

Формулы сокращенного умножения

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители мы выполнили уже не одно преобразование. Такой прием так и называется – применение различных способов разложения многочленов на множители.

Давайте еще раз перечислим приемы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители (слайд №5)

Вынесение общего множителя за скобки

Применение формул сокращенного умножения

Способ группировки

Применение нескольких приемов

 

3.Физкультминутка. (слайд №6)

Вверх рука, вниз рука

Потянулись мы слегка

Быстро поменяли руки,

Нам сегодня не до скуки.

Крутим-вертим головой.

Разминаем шею….стой.

А теперь встряхнулись лихо

И на стул садимся тихо.

 

4. Первичное закрепление.

Никаких общих правил, помогающих установить, какие способы и в каком порядке применять, не существует. Более того, разложение многочлена на множители не всегда возможно.

Сегодня на уроке мы остановимся на первых двух приемах.

 

№3 (слайд №7)

Представьте выражение в виде произведения

a)      (a + b)a + (a + b)c = (a + b)(     )

б)  (a + b)x - (a + b)y = (a + b)(     )

в)  2x(a + b) + (a + b) = (a + b)(     )

г)  (a + b)3x – 2y(a + b) = (a + b)(     )

 

 

№459авд

№460авд

№469авд

 

5. Самостоятельная работа с самопроверкой. (слайды №8,9)

А теперь проверим, как вы поняли новую тему. Я предлагаю вам сыграть в игру «Найди код».

№4

Побывал Басик у Баба Яги. Говорила Яга, что не выберется Басик из её избушки, потому что поставила она на дверь замок кодовый. Нужно набрать на замке шесть цифр. А чтобы найти эти цифры на выписать номера заданий на новую тему. Помогите Басику открыть кодовый замок.

  1. 3b2 – 3b
  2. 3x(a + b) + y(a + b)
  3. a(b – c) + 3(c – b)
  4. 21a + 28y
  5. a(2a – b)(a + b) – 3a(a + b)2
  6. x2y2 – 1
  7. 225 – 144d2
  8. 64 + 16z + z2
  9. (a + 4)2 – (b + 2)2
  10. (t – 7)2 – 100

 

 

Найдите задания, в которых встречается новое понятие. Выпишите номера выбранных ответов.

235910

 

 

При воспроизведении интерактивной лекции акцентирую внимание на ключевых моментах. Останавливаю восп

infourok.ru

7 класс. Алгебра. Разложение многочлена на множители способом группировки. - Разложение многочлена на множители. Способ группировки .

Комментарии преподавателя

 

На данном уроке мы изучим второй метод разложения многочлена на множители – метод группировки, он базируется на ранее изученном методе вынесения общего множителя за скобки. Мы дадим общее рекомендации касательно решения задач и решим несколько примеров, простых и более сложных. Кроме того, решим вычислительные задачи.

 

Вспом­ним, что мно­го­член – это сумма од­но­чле­нов, а од­но­член – это про­из­ве­де­ние сте­пе­ней и чисел. Если у мно­го­чле­на есть общий член, то мы вы­но­си­ли его за скоб­ки, таким об­ра­зом рас­кла­ды­ва­ли мно­го­член на мно­жи­те­ли. Это был пер­вый метод раз­ло­же­ния мно­го­чле­на на мно­жи­те­ли.

Но у мно­го­чле­на может и не быть об­ще­го мно­жи­те­ля, в таком слу­чае мы будем ис­кать его толь­ко у груп­пы чле­нов. Таким об­ра­зом, мы раз­би­ва­ем мно­го­член на груп­пы и в каж­дой груп­пе вы­но­сим общий мно­жи­тель. Далее воз­мож­но, что у всех групп об­ра­зу­ет­ся общий      мно­жи­тель, и мы смо­жем его вы­не­сти.

При­мер 1:

.

Оче­вид­но, что об­ще­го мно­жи­те­ля у дан­но­го мно­го­чле­на нет. Зна­чит, нам нужно его раз­бить на груп­пы таким об­ра­зом, чтобы в каж­дой груп­пе был общий мно­жи­тель, и кроме того по­ста­рать­ся раз­бить так, чтобы после вы­не­се­ния общих мно­жи­те­лей в груп­пах об­ра­зо­вал­ся общий мно­жи­тель для всех групп.

Сгруп­пи­ру­ем пер­вый со вто­рым и тре­тий с чет­вер­тым:

.

Об­ра­тим вни­ма­ние на тот факт, что груп­пы можно объ­еди­нять по-раз­но­му, но лучше груп­пи­ро­вать те члены, где оче­вид­но есть общий мно­жи­тель.

Рас­смот­рим пер­вый при­мер с дру­гой сто­ро­ны, сгруп­пи­ру­ем пер­вый член с тре­тьим, а вто­рой с чет­вер­тым:

.

Видим, что при таком ва­ри­ан­те груп­пи­ров­ки вы­ра­же­ние по­лу­ча­ет­ся такое же, как и в пер­вом слу­чае.

При­мер 2:

;

сгруп­пи­ру­ем пер­вый с чет­вер­тым и вто­рой с тре­тьим:

;

в дан­ном при­ме­ре также можно про­ве­рить, есть ли дру­гие ва­ри­ан­ты груп­пи­ров­ки, на­при­мер, сгруп­пи­ро­вать пер­вый член с тре­тьим и вто­рой с чет­вер­тым.

При вы­бо­ре групп сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на такой мо­мент. После вы­бо­ра пер­вой груп­пы нужно про­ве­рить, есть ли общий мно­жи­тель во вто­рой груп­пе, и если его нет, то груп­пи­ро­вать нужно иначе.

При­мер 3:

.

Сгруп­пи­ру­ем край­ние члены между собой, а сред­ние между собой:

.

&nbs

www.kursoteka.ru

Разложение многочлена на множители способом группировки

Способ группировки – это способ разложения многочлена на множители, применяемый в тех случаях, когда члены многочлена не имеют общего множителя. Разложение способом группировки проходит в три этапа:

  1. Группируем с помощью скобок члены многочлена, имеющие общий множитель
  2. Выносим общий множитель каждой группы за скобки
  3. Выносим за скобки общий множитель всех получившихся произведений. В данном случае общий множитель будет многочленом.

Рассмотрим многочлен:

x2 + ax + bx + ab

Его члены не имеют общего множителя, но мы можем сгруппировать их так, чтобы в каждой отдельной группе был общий множитель, который можно будет вынести за скобки:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) = x(x + a) + b(x + a)

Каждое получившееся произведение имеет общий множитель  x + a, который теперь тоже можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)

Таким образом:

x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b)

Заметим, что можно сгруппировать слагаемые иначе:

x2 + ax + bx + ab = (x2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b)

В обоих случаях группировки мы пришли к тому, что в нашем выражении появился общий многочленный множитель, который можно вынести за скобки:

x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)

x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a)

Обратите внимание, что разница в начальной группировке членов не повлияла на результат разложения многочлена на множители.

Примеры разложения многочлена на множители

Пример 1. Представьте выражение в виде произведения:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b)     б) x(x + y) + (x + y)

Решение:

а) 2a(a - b) + 3b(a - b) = (a - b)(2a + 3b)

б) x(x + y) + (x + y) = (x + y)(x + 1)

Пример 2. Разложите на множители:

а) 3x + 3y + z(x + y)     б) 2(a + b) + ac + bc

Решение:

а) 3x + 3y + z(x + y) = (3x + 3y) + z(x + y) =
= 3(x + y) + z(x + y) = (x + y)(3 + z)

б) 2(a + b) + ac + bc = 2(a + b) + (ac + bc) =
= 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c)

naobumium.info

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о