Разработка урока выражения с переменными 7 класс: Конспект урока по алгебре на тему "Выражения с переменными" (7 класс)

Содержание

Конспект урока по алгебре на тему «Выражения с переменными» (7 класс)

7 класс

УРОК № 4. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения (22 часа)

Тема. Выражения с переменными.

Цель. Ввести понятия «переменная», «выражение с переменной», «числовое значения выражения с переменной; формировать умение находить значение выражения с переменной, используя различные формы записи («если …, то …» таблица).

Ход урока.

Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация опорных знаний.

1. Теоретический опрос фронтально.

Что называется числовым выражением?

2. Для чего в записи числового выражения присутствуют скобки?

3. Когда числовое выражение имеет смысл? Приведите пример такого выражения.

4. Когда числовое выражение не имеет смысла? Приведите пример такого выражения.

5. Что называется значением числового выражения?

6. Каков порядок выполнения действий при нахождении значения числового выражения?

7. Как выразить 15% в виде обыкновенной и десятичной дроби?

2. Устная работа.

1. Назовите числовые выражения, не имеющие смысла:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Найдите значение числового выражения.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

Объяснение нового материала.

Выражения с переменными.

1. Мотивация изучения.

При решении многих практических задач удобно для обозначения различных чисел использовать буквы.

Например, если a и b – длины сторон прямоугольника, то выражение a ∙ b показывает способ вычисления его площади и т.д.

2. Определение.

Если в числовом выражении некоторые (или все) входящие в него числа заменить буквами, то получим выражение с переменными (переменной).

Определение 1. Выражения с переменными – выражения, состоящие из переменных, чисел и знаков действий. (записать в тетрадь)

Пример 1. ;.

3. Нахождение значения выражения с переменной.

Определение 2. Чтобы найти значения выражения с переменной надо:

1) Подставить вместо переменных их значения;

2) Найти числовое значение.

Пример 2. Найти значение выражения 2х + 3у, если х = , у = 0,5.

2х + 3у, если х = , у =

1) ; 2) ; 3) . Ответ: .

4. Допустимые значения переменных.

Определение 3. Допустимыми значениями называют те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Пример 3. Найдите допустимые значения переменной:

1) 3х – 27. Ответ: х – любое число.

2) ; Для этого найдем, при каком значении х знаменатель обращается в нуль:

7х – 14 ≠ 0, х ≠ 2. Ответ: х – любое число, кроме 2.

3) ,

Ответ: а – любое число, кроме ± 9.

Формирование умений и навыков.

1. Найдите значение выражения х + 3,2 при х = – 6,8; – 3,2; .

1) если х = – 6,8, то – 6,8 + 3,2 = – 3,6;

2) если х = – 3,2, то – 3,2 + 3,2 = 0;

3) если х = , то .

Уч.с.9 № 21. Найдите значения выражений 10 – 2у и 10 + 2у и запишите их в соответствующие клетки таблицы:

–3

–1

10 – 2у

–2

10 + 2у

Уч. с.10 № 24(б). Вычислите значение выражения , если:

б) если х = – 3,6, у = 5, то .

Уч.с.10 № 26(б). Известно, что при некоторых значениях х и у значение выражения х – у равно 0,7. Какое значение принимает при тех же х и у выражение: б) у – х.

б) если х – у = 0,7, то у – х = – (х – у) = – 0,7.

Уч.с.10 № 29. Опытное поле разбили на два участка. Площадь первого участка а га, а второго b га. С каждого гектара первого участка собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка собрали 40 ц пшеницы. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите при а = 120, b = 80.

S₁ = а га, собрали по 32 ц с каждого га

? ц

S₂ = b га, собрали по 40 ц с каждого га

Решение.

32a + 40b, если а = 120, b = 80, то

32 ∙ 120 + 40 ∙ 80 = 3840 + 3200 = 7040 (ц). Ответ: 7040 ц.

Подведение итогов урока.

Что называется выражением с переменной?
Может ли выражение состоять из одной буквы? А числа?
Как найти значение выражения с переменной при определенном значении переменной?
Какие способы записи можно использовать при нахождении значения выражения с переменной?

Домашнее задание. п. 2 (выучить теорию). № 20, 24(а,в), 26(а,в), 30.

7 класс

УРОК № 4. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема. Выражения с переменными.

1. Устная работа.

1. Назовите числовые выражения, не имеющие смысла:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Найдите значение числового выражения.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2.Формирование умений и навыков.

1. Найдите значение выражения х + 3,2 при х = – 6,8; – 3,2; .

№ 21, 24(б), 26(б), 29.

7 класс

УРОК № 4. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема. Выражения с переменными.

1. Устная работа.

1. Назовите числовые выражения, не имеющие смысла:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Найдите значение числового выражения.

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Формирование умений и навыков.

1. Найдите значение выражения х + 3,2 при х = – 6,8; – 3,2; .

№ 21, 24(б), 26(б), 29.

Конспект урока по алгебре на тему «Выражения с переменными» (7 класс)

Сценарий

урока алгебры, 7 класс

Тема: Выражения с переменными.

Цель: обеспечение усвоения учащимися понятия «выражение с переменными»

Задачи:

проверить знания учащихся по теме “Числовые выражения”,
ввести понятия «выражение с переменной», «числовое значение выражения с переменной», « допустимые значения переменной»;
формировать умение находить значение выражения с переменной;
развивать умение анализировать и систематизировать знания;
формировать умение высказывать и аргументировать свою точку зрения, вступать в учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Формируемые УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Регулятивные: умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки. Планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предположение.

Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Предметные результаты:

Знать:

определение понятия «выражение с переменной»,
определение понятия «числовое значение выражения с переменной»,
определение понятия «допустимые значения переменных»

Уметь:

выявлять выражение с переменной;
выполнять в выражениях с переменной числовые подстановки и производить соответствующие вычисления;
находить допустимые значения переменных;
находить значение выражения с переменной, используя табличную форму записи.

Метапредметные результаты:

развитие алгоритмического мышления;
овладение навыками дедуктивных и индуктивных рассуждений

Тип урока: открытие новых знаний и умений.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный; по внешним признакам деятельности – беседа, демонстрация, упражнения; по источнику получения: словесные, наглядные, практические.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Дидактические средства: собственная презентация, фрагмент видеоурока, учебник, карточки с заданиями, маршрутный лист.

Структура и ход урока:

Время

Организационный момент

Дидакт. задача:

подготовить обучающихся к работе на урок

Приветствует учеников, задаёт вопросы об эмоциональном настрое перед началом урока. Определяет готовность ребят к уроку, выясняет количество отсутствующих, организует внимание.

Определяют свою готовность к уроку и настроение перед его началом

Коммуникат: уважительное отношение ко сверстникам, учителю.

Личностные: формирование навыков самоорганизации.

Регулятивные: контроль и оценка собственной готовности к деятельности на уроке

Проверка домашнего задания

Дидакт.задача: установить правильность и осознанность выполнения дом.задания, устранить в ходе проверки пробелы

-Откройте тетради с домашней работой, какое задание вызвало затруднение?

Предлагает примеры №5 и №7 проверить самостоятельно (ответы в маршрутных листах), а задачу №15 объяснить ученику у доски

Проверяют примеры, слушают задачу.

№5

а)-3,8;б)3,2; в) -5,4; г)-6; д)-36;

е)0,09; ж)-200; з)-80; и)0,8

№7

а)2,4; б)6; в)9,6; г)26,6

№15

40 – 3(4 + 5)

Коммуникат:

умение слушать собеседника.

Личностные: формирование навыков самоорганизации.

Регулятивные: контроль и оценка процесса результата действий

Актуализация знаний

Дидакт.задача:проверить знания обучающихся

Организует устную работу, предлагает ответить на вопросы с целью актуализации знаний

-Что изучали на предыдущем уроке?

-Что называется числовым выражением?

-Что называется значением числового выражения?

-Когда числовое выражение не имеет смысла?

Отвечают на вопросы учителя.

-Числовые выражения.

-Выражение, содержащее числа, знаки действий, скобки

-Число, которое получается в результате выполнения действий.

-Если в выражении встречается деление на нуль.

Познавательные: структуирование знаний.

Коммуникативные: умение слушать собеседника, аргументировать свое мнение.

Личностные: нравственно-этического оценивания усваимого усваимого материала

Мотивация и целеполагание

Дидакт.задача:организовать и направить на постановку и достижение цели и задач учебной деятельности обучающихся

Предлагает выполнить устный счет (слайд 1)

-Почему не можем найти значение последнего выражения?

-Как в 6 классе мы называли такие выражения?

-Такие выражения будем называть выражения с переменными.

Предлагает самостоятельно сформулировать тему и цель урока.

-Откройте тетради, запишите дату, «классная работа» и тему нашего урока (запись на доске)

Выполняют устный счет

1)9,2; 2)1,6; 3)45;

4)-20; 5)0; 6)2,9; 7)340; 8)450;

9)не имеет смысла;

10)-6,35; 11)?

Последнее выражение вызывает затруднение

-Это не числовое выражение.

-Буквенные.

Формулируют тему и цель урока.

Выполняют записи в тетради.

Познавательные: действия постановки и решения проблем, развитие умения формулировать тему, цель и задачи урока

Коммуникативные: умение слушать собеседника, аргументировать свое мнение.

Регулятивные: выработка у обучающегося внутренней готовности к учебной деятельности.

Личностные: действия смыслообразования

Усвоение новых знаний

Дидакт.задача: дать обучающимся конкретное представление об изучаемых фактах, основной идее изучаемого материала; добиться от обучающихся восприятия, осознания, первичного обобщения и систематизации новых знаний, усвоения обучающимися способов, путей, средств получения знаний, оперирование ими.

Организует работу по открытию новых знаний.

1.Демонстрирует видеоролик «Выражения с переменными». Предлагает провести аналогию с числовыми выражениями, чтобы обучащиеся самостоятельно сформулировали определение «выражение с переменными»

Демонстрирует слайд 2, 3

2.Предлагает подготовленному ученику 1 объяснить у доски как находить значение выражения с переменными

3. Предлагает подготовленному ученику 2 объяснить понятие допустимые значения переменных.

1.Просматривают ролик.

Отвечают на вопросы:

-Сходства: содержат числа, знаки действий, скобки.

-Различия: содержат переменную

-Выражения с переменными – выражения, содержащие числа, знаки действий, скобки, буквы (переменные)

Выполняют записи в тетради.

2.Чтобы найти значение выражения с переменными надо: 1)подставить вместо переменных их значения; 2)найти значение числового выражения.

Например: -2а + 3в

если а = 0,5, в = 1, то -2 ∙ 0,5 + 3∙1 = 2

3. Найдем значение выражения , при х = 2, 0, 1

если х = 2, то = 6;

если х = 0, то 0;

если х = 1, то не имеет смысла, т. к. делить на 0 нельзя

Вывод: при х 1 выражение имеет смысл, а при х = 1 – не имеет

Допустимыми значениями называют те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Познавательные: актуализация сведений из личного опыта, развитие грамотности, развитие познавательной активности.

Коммуникативные: развитие диалогической речи, принятие позиции других участников образовательного процесса, умение слушать собеседника.

Регулятивные: управление собственной деятельности.

Личностные: умения применять знания на практике.

Проверка понимания обучающимися нового материала

Дидакт.задача:

установить, осмысли ли обучающиеся содержание новых понятий, устранить обнаруженные пробелы.

Предлагает обсудить и дополнить выступления учеников.

—Чем отличаются эти два выражения?

-При любых значениях переменных имеет смысл первое выражение? Второе? Почему?

-Что такое допустимые значения переменной?

Анализируют выступления учеников, дополняют, исправляют ошибки, отвечают на вопросы

Познавательные:действия постановки и решения проблем; структурирование знаний; развитие логического мышления.

Регулятивные:

контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Коммуникативные:

умение слушать собеседника;умение аргументировать свое мнение, убеждать и уступать

Личностные:

действие смыслообразования

Динамическая пауза

Дидакт.задача: сберечь здоровье обучающихся, выработать положительное отношение к ЗОЖ.

Проводит игру.

1.На карточках записаны выражения, если выражение с переменной – поднимают руки, если нет – приседают.

2.На карточках записаны числовые выражения, если выражения имеют смысл при любой переменной – качают головой, если нет – садятся.

Выполняют необходимые действия

Коммуникативные:

формирование уважительного отношения к одноклассникам и учителю.

Личностные:

психологическая готовность учащихся к работе и формирование навыков эффективного отдыха.

Регулятивные:

контроль и оценка собственной готовности к деятельности на уроке.

Закрепление нового материала

Дидакт.задача:

закрепить у обучающихся знания и умения, необходимые для самостоятельной работы по новому материалу

1. Работа с учебником.

Выполнить задание №19, а) на доске 1 ученик, проговаривая вслух; б) на доске 2 ученик самостоятельно.

№30 (самостоятельно со взаимопроверкой)

1 ученик у доски.

2.Работа в парах по карточкам и на мультимедийной доске с последующей взаимопроверкой

Заполнить таблицу:

3.Самостоятельная работа (слайд 4)

Предлагает проверить (слайд 5) и оценить, используя маршрутный лист

4. Выполнить устно №37

1.Выполняют на доске и в тетрадях:

а) 4х – 12

если х = 7, то 16;

если х = 0, то -12;

если х = -5, то -32.

б) 2,8 – 0,5у

если у = 3, то 1,3;

если у = 0, то 2,8;

если у = -6, то 5,8.

2.Заполняют таблицу, производят взаимопроверку, оценивают, используя маршрутный лист.

3.Самостоятельно выполняют задания, оценивают

Познавательные:

действия исследования, поиска и отбора необходимой информации, ее структурирования; моделирования изучаемого содержания; логические действия и операции; способы решения задач.

Регулятивные:

планирование своей деятельности для решения поставленной задачи,

контроль полученного результата, коррекция полученного результата.

Личностные:

умение применять знания на практике,

развитие внимания, возможность самостоятельно осуществлять деятельность обучения.

Коммуникативные:

умение работать в коллективе.

Подведение итогов урока

Дидакт. задача: обобщить и систематизировать изученный на уроке материал

Задает вопросы с целью обобщения и систематизации изученного материала:

—Что называется выражением с переменной?

-Буквы какого алфавита используются?

-Как найти значение выражения с переменными?

-Что такое область допустимых значений?

Отвечают на вопросы

Познавательные:

построение речевого высказывания в устной форме.

Коммуникативные:

умение слушать и вступать в диалог, формулирование и аргументация своего мнения.

Личностные:

умение выделить главное на уроке, подвести итог своей работе, сделать выводы

Информация о выполнении домашнего задания

Дидакт. задача: сообщить обучающимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения

Сообщает учащимся домашнее задание, проводит инструктаж по выполнению.

Задание из учебника п.2, №20, 22 (аналогично заданиям в классе), задача №29(составить выражение по условию задачи)

Знакомятся с домашним заданием, записывают в дневники.

Регулятивные: планирование своей деятельности по выполнению домашней работы.

Личностные:

формирование навыков самоорганизации

Рефлексия учебной деятельности

Дидакт.задача: сформировать у обучающихся умение анализировать результаты своей учебной деятельности.

-Какую цель ставили в начале урока? Выполнили? На уроке я работал..? Урок для меня показался. .? Материал урока мне был..? Домашнее задание мне кажется..?

Выставляет оценки каждому ребенку с учетом самостоятельной работы, работы в парах, работы на уроке.

-Оцените свое настроение в конце урока аплодисментами.

Отвечают на вопросы учителя, Знакомятся с оценками. Аплодируют.

Познавательные:

построение речевого высказывания в устной форме.

Регулятивные:

контроль и оценка своей деятельности в рамках урока.

Коммуникативные:

умение слушать и вступать в диалог.

Краткий анализ работы детей на уроке

Атмосфера урока была не только рабочей, но и доброжелательной, дружелюбной.

Ребята активно работали на уроке, причем задействован был каждый ребенок. Обучающиеся без ошибок решили все примеры устного счета, самостоятельно сформулировали тему и цель урока, ответили на все вопросы учителя по новой теме, два ученика грамотно изложили новый материал, хотя один ученик допустил ошибку при объяснении, на замечание учителя отреагировал адекватно.

Темп урока был плотный, быстрый, но обучающиеся не устали из-за частой смены деятельности.

Задания для самостоятельной работы и работы в парах были понятны, доступны и особого затруднения у обучающихся не вызвали.

Урок достиг цели, ученики усвоили материал. В конце урока каждый обучающийся получил оценку – «отлично» и «хорошо».

Ребята покинули кабинет в хорошем настроении.

Учитель: Задкова О.С.

Методическая разработка урока по теме «Выражения с переменными» — Уроки, конспекты — Математика — Методическая копилка — Международное сообщество педагогов «Я

Тема урока: Выражения с переменными.

Тип урока: Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.

Место и роль урока в изучаемой теме: первый урок по теме.

Цели урока: формировать и совершенствовать сведения о выражениях с переменными.

Задачи урока:

Образовательные: познакомить с понятиями выражение с переменными, значение выражения с переменными, формула, учить различать выражения, которые не имеют смысла.

Развивающие: способствовать формированию вычислительных навыков учащихся, умению чётко и ясно излагать свои мысли, задавать вопросы.

Воспитательные: способствовать выявлению и раскрытию способностей учащихся; воспитывать познавательную активность учащихся; прививать самостоятельность и любознательность.

Планируемые результаты:

1. Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; ориентироваться на успех в учебной деятельности.

2. Предметные: уметь составлять выражения с переменными, находить значение буквенного выражения при известном значении переменной, составлять выражения с переменной для решения задач, записывать формулы.

3. Метапредметные:

регулятивные: уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета сделанных ошибок; высказывать свое предположение.

коммуникативные:— уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое знание от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Формы работы обучающихся: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

5. Дидактические средства:

· для учителя – презентация; УМК «Алгебра». 7 класс, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворов; под ред. С.А. Теляковского.

· для учащихся – тетрадь, учебник, УМК «Алгебра». 7 класс, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворов; под ред. С.А. Теляковского.

Структура урока:

1. Организационный этап. Мотивация к учебной деятельности.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Сообщение темы урока. Определение целей урока.

4. Открытие нового знания, способа действия.

5. Первичное закрепление нового знания.

6. Включение нового в активное использование в сочетании с ранее изученным, освоенным.

6. Домашнее задание.

7. Итог урока. Рефлексия.

Весь текст материала находится в приложенном файле

Выражения с переменными

Вопросы занятия:

· ввести понятие «выражение с переменными»;

· ввести понятие «область определения выражения».

Материал урока

Вспомним, что на прошлом уроке мы говорили о числовых выражениях и значениях числовых выражений.

Числовым выражением называется запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Значением числового выражения называется число, которое получается при выполнении всех действий числового выражения.

Определение.

Буквенным выражением называется запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Строчные буквы латинского алфавита чаще всего используют при записи буквенных выражений.

Следует также знать, что и одна буква является буквенным выражением.

Давайте решим задачу.

Велосипедист двигается со скорость 15 километров в час. Какой путь он проедет за время t?

Известно, что путь можно найти скорость умножив на время. Тогда путь, который проедет велосипедист, будет равен 15t.

Теперь, если нам нужно будет узнать, какое расстояние проехал велосипедист, например, за 3 часа, мы подставим в выражение 15 ∙ t вместо буквы t число 3, то есть найдём значение выражения при t = 3, и получим 45 километров.

В нашем случае буква t называется переменой, а само выражение – выражением с переменной.

То есть, переменная – это буква, входящая в буквенное выражение, которая может принимать различные значения.

Например,

Если мы в выражение с переменной вместо переменной подставим число, то получим числовое выражение.

Например,

Теперь, прежде, чем перейти к решению упражнений, вернёмся к выражению 15t, которое мы получили при решении первой задачи. Здесь переменная t может принимать только положительные значения, так как время не может быть отрицательным, и это множество значений называется областью определения выражения 15t.

Таким образом, важно помнить, что в область определения любого выражения могут входить только те значения переменных, при которых получается числовое равенство, имеющее смысл.

А сейчас давайте решим некоторые упражнения.

Пример.

Следующее упражнение.

Пример.

И последнее упражнение.

Пример.

Урок 40. выражение с двумя переменными — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок № 40. Выражение с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Что такое переменная?
В каких выражениях может быть две переменных?
Как находить значение переменной?
Как изменяется результат при изменении одного из компонентов?

Глоссарий по теме:

Выражение – это запись одно или нескольких математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) при помощи цифр и знаков.

Переменная – это буквенное обозначение.

Обязательная литературы и дополнительная литература:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 11.

2. Математика. 3 класс. Часть 2. / Л. Г. Петерсон. – М.: Ювента, 2013 – 96 с.: ил. с. 65-69.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В начале урока учитель сказал: «К доске пойдёт Петя».

В середине урока учитель сказал: «К доске пойдёт Серёжа». А незадолго до конца урока он сказал: «К доске пойдёт Таня».

Во всех этих предложениях меняется только имя ученика. Имя здесь переменное. Если обозначить имя буквой х, можно записать предложение: «К доске пойдёт х». Вместо х можно подставить имя любого ученика класса.

Под переменной будем понимать буквенное обозначение.

Имена Петя, Серёжа, Таня являются значениями переменной.

Рассмотрим задачи.

1) У Тани 3 розы и 5 пионов. Сколько цветов у Тани?

2) У Тани 3 розы и 4 пионов. Сколько цветов у Тани?

3) У Тани 3 розы и 2 пионов. Сколько цветов у Тани?

Эти задачи можно объединить в одну:

У Тани 3 розы и п пионов. Сколько цветов у Тани?

Выражение 3 + п является решением задачи, в которой п = 5, 4, 2.

п – это переменная

Буквенные выражения называют выражения с переменной потому, что буква принимает разные значения.

Буквенное выражение может содержать две и более переменных.

Буквенные обозначения используются в формулах, например формула площади прямоугольника:

S = a ∙ b

Формула периметра прямоугольника

Р = ( a + b) ∙ 2

Формула периметра треугольника

Р = a + b + c

Разбор тренировочных заданий

№1. Найдите значение выражения:

а + b, если а = 56, b = 37

Ответ: 56 + 37 = 93

№2. Вставьте в таблицу пропущенные числа:

Значение переменной с	Значение выражения с ∙ 4
12
13
14

Таблица должна быть с числами:

Значение переменной с	Значение выражения с ∙ 4
12	48
13	52
14	56

№3. Найдите и выделите цветом по вертикали и горизонтали в филворде название компонента, которым является переменная

67 – а;
с + 43;
17 ∙ d;
81 : b.

В таблице нужно выделить слова: вычитаемое; слагаемое; множитель; делитель.

№4. Сравните выражения и подчеркните правильное высказывание:

1. 16 ∙ х (больше, меньше, равно) 16 + х

2. у + у + у + у + у (больше, меньше, равно) у ∙ 5

Ответ: больше; равно.

Выражения с переменными. 7-й класс

Цели урока: познакомить с понятиями выражение с переменными, значение выражения с переменными, формула, учить различать выражения, которые не имеют смысла.

Вид урока: комбинированный урок.

Оборудование: карточки для индивидуального опроса, карточки для игры «Математическое лото», презентация.

Ход урока

I. Инициация.

А) Проверка готовности к уроку.

Б) Приветствие.

II. Домашнее задание.

с.7 № 25, 31, 44.

III. Актуализация знаний.

А) Проверка домашнего задания.

№ 25

840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31

НОД (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040.

Ответ: 26040.

№ 28

120=23*3*5

280=23*5*7

320=26*5

НОД (120, 280, 320)=23*5=40

40>30, 40 (уч.) – в первом классе.

Ответ: 40 учащихся.

№ 8

1 способ

х=3,2*200/1000; х=0,64.

0,64 (%) – жира

х=2,5*200/1000; х=0,5.

0,5 (%) – белка

х=4,7*200/1000; х=0,94.

0,94 (%) – углеводов

2 способ

1л=1000г

1000/200=5 (раз) – уменьшился объем молока

3,2:5=0,64 (%) – жира
2,5:5=0,5 (%) – белка
4,7:5=0,94 (%) – углеводов

Ответ: 0,64 %,0,5 %, 0,94 %.

№ 18

а) 28+15; б) 6*3; в) 3-8,7; г) 0,8:0,4.

Б) Индивидуальные карточки.

К-1.

Найти НОД чисел 24 и 34.
Найти значение выражения: а) 69,95+27,8; б) 54,5-6,98.

К-2.

Найти НОД чисел 27 и 19.
Вычислить: а) 85-98,04; б) 65,7*13,4.

К-3.

Найти НОД чисел 17 и 36.
Вычислить: а) 0,48*5,6; б) 67,89-23,3.

В) Математическое лото.

Выполнить действия и получить изображение.

8,5-7,3	5,6+0,9	2,5-(3,2+1,8)
4,7*12,3	2*9,5+14	6,1*(8,4:4)
65:1,3	(10-2,7):5	(6,4+7):2

1,2	6,5	-2,5
57,81	33	12,81
50	1,46	6,7

IV. Формирование новых понятий и убеждений.

1. Новый материал.

Выражения с переменными

Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за 3 ч пройдет 70*3 км, за 4 ч – 70*4 км, за 5 ч – 70*5 км, за 5,5 ч – 70*5,5 км.

– А какое расстояние пройдет автомобиль за t часов? Вообще за t ч он пройдет 70t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 70t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 70t называют переменной, а само выражение 70t – выражением с переменной.

Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и в см. Тогда его площадь равна ав см2. Выражение ав содержит две переменные а и в. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и в. Например:

если а = 8 и в = 11, то ав = 8-11 = 88;

если а = 25 и в = 4, то ав = 25-4=100.

Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и 6=11, число 100 есть значение этого выражения при а = 25 и 6 = 4.

Некоторые выражения не имеют смысл при некоторых значениях переменной, а другие имеют смысл при всех значениях переменных. Примерами могут служить выражения

х(х + 1), ау – 4.

Выражения с переменными используются для записи формул. Рассмотрим примеры.

Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е. m=2n.

Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значениями переменной m будут четные числа. Формулу m= 2n называют формулой четного числа.

Формулу m= 2n + 1, где n – целое число, называют формулой нечетного числа.

Аналогично формуле четного числа можно записать формулу числа, кратного любому другому натуральному числу.

Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: m=3n, где n – целое число.

V. Применение полученных знаний на практике.

Выполнение №№ 19-24 по учебнику.

Резерв №26.

VI. Рефлексия.

Что называется выражением c переменными?
Что такое значение выражения с переменной?
Приведите примеры выражения с переменными.

Выражения с переменными. Буквенные равенства и неравенства.

Выражениями с переменными называются выражения содержащие переменные.

В качестве переменных в выражениях используются буквы, поэтому их также называют буквенными выражениями. Буквенные выражения могут содержать как несколько букв, так и одну букву.

Например:

В задачах и примерах буквенные выражения используются для вычисления выражений с заданными переменными. То есть вместо букв надо подставить заданные значения:

Вычислить выражение

Подставляем в выражение значения вместо букв:

Произведения с переменными записывают без знака умножения (·):

Если в выражениях участвует деление, такие выражения записывают в виде дроби:

Соответственно выражение в предыдущем примере можно записать следующим образом:

Давайте рассмотрим ещё один пример:

при x = 2

Если в выражении встречается несколько раз одна и та же буква (переменная), то ей соответствует одно и то же значение.

В таком случае решение будет следующим:

Буквенными равенствами или равенствами с переменными называют выражения, которые содержат буквы (переменные).

В предыдущей статье мы рассматривали свойства числовых равенств и приводили выражение:

Это и есть пример буквенного равенства.

Буквенные равенства применяют, например, для записи различных физических или математических формул:

Например, вычисление периметра треугольника:

При подстановке численных значений переменных получаются верные или неверные числовые равенства.

Пример:

Это равенство верно при y = 4. А при y = 5 это равенство неверно.

Буквенные равенства обладают теми же свойствами, что и числовые.

Буквенными неравенствами называют неравенства с переменными.

Пример:

Это равенство будет верно при n = 10, и неверным при n = 2.

Спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

переменных: изучение выражений и уравнений

Цифровой интерактивный инструмент: «Запуск в выражения и уравнения» (дополнительно)
Интерактивная доска ИЛИ подключение к компьютеру/проектору (дополнительно)
Интернет-соединение (опционально)
Компьютеры для небольших групп и/или всех учащихся (по желанию)
Планирование поездки на Амазонку: использование переменных для представления чисел и записи выражений для печати
Изучение Амазонки: перевод реальной ситуации из словесной задачи в уравнение для печати
Ключ ответов для приключений в выражениях и уравнениях

Примечание: Урок включает в себя как интерактивные, так и распечатанные компоненты, но был разработан, чтобы стать значимым опытом обучения независимо от того, используются онлайн-компоненты или нет.

ВВЕДЕНИЕ В НОВЫЙ МАТЕРИАЛ

Шаг 1: Начните урок, сказав учащимся, что они будут описывать самую большую среду обитания в мире — океан. Спросите учащихся: Какие угрозы существуют для форм жизни в этой среде обитания? Какие существуют решения для борьбы с этими угрозами?

Шаг 2 : Сообщите учащимся, что в 2002 году Ирландия внедрила решение по борьбе с количеством мусора в океане: они начали взимать плату в размере 0 евро.15 налогов за каждую пластиковую сумку для покупок, которую покупатели использовали в магазинах. (Евро стоит примерно столько же, сколько американский доллар, и его знак — евро, а не доллар.)

Спросите: Если покупателю требуется 1 пластиковый пакет для покупок, сколько налогов он заплатит за пластиковый пакет? (0,15 евро) 2 полиэтиленовых пакета? (0,30 евро) 3 полиэтиленовых пакета? (0,45 евро) Спросите учащихся, есть ли какой-то общий способ, с помощью которого они могут рассчитать налог, который покупатель уплатит за любое количество пластиковых пакетов, которые они используют? Пусть пары обсудят, а затем поделятся своими мыслями с классом. На этом этапе можно и нужно предлагать словесные описания, а не выражения или уравнения (пример: умножить количество сумок, которые они используют, на 0,15 евро).

Шаг 3: Определите переменную , независимую переменную, и зависимую переменную для учащихся.

переменная : неизвестное или изменяющееся значение
независимая переменная : переменная, значение которой не зависит от значения другой переменной; произвольно выбранное значение (часто представленное x )
зависимая переменная : переменная, значение которой зависит от значения независимой переменной (часто представленной y )

В ситуации, описанной выше, попросите учащихся определить независимую переменную и зависимую переменную.Затем предложите им обсудить в парах, почему количество использованных мешков является независимой переменной, а общая сумма взимаемого налога является зависимой переменной. Предложите учащимся поделиться своими мыслями с классом.

Шаг 4: Определите выражение, уравнение, и алгебраическое уравнение :

выражение : математическая фраза, включающая числа, операторы и/или переменные (примеры: 7; b + 2; 40 xy )
уравнение : оператор, который показывает два равных выражения (примеры: 23 + 7 = 30; 9 = 9)
алгебраическое уравнение : уравнение, включающее переменные (примеры: 0.8 + с = 40; 6 ч = г )

Сообщите учащимся, что часто независимым переменным присваивается буква x , а зависимым переменным присваивается буква y . Однако если они хотят представить значения другими буквами, например, b для сумок и t для налогов, это также часто делается. Попросите учащихся обсудить взаимосвязь между количеством использованных сумок и взимаемым налогом и напишите уравнение, связывающее эти два значения.

Шаг 5: Модель для учащихся, как решить уравнение ( y = 0,15 x ) для заданного количества мешков. Затем попросите учащихся отработать этот навык с другими значениями x .

Шаг 6: Сообщите учащимся, что Ирландии пришлось потратить деньги, чтобы ввести новый налог и обеспечить его соблюдение. Каждый год Ирландия должна платить 350 000 евро за выполнение плана. Какое алгебраическое уравнение могло бы представить сумму денег, потраченную на выполнение плана в течение заданного количества лет? ( y = 350 000 евро x , где x – количество лет, в течение которых действует план).Попросите учащихся изменить свое уравнение, включив в него фиксированную стоимость установки плана. ( y = 350 000 евро x + 1 200 000 евро, где x – количество лет, в течение которых выполнялся план). Затем попросите учащихся попрактиковаться в решении уравнения с различными значениями x .

Шаг 7: Сообщите учащимся, что Ирландия увеличила налог на пластиковые пакеты до 0,22 евро в 2007 году. Предположим, у семьи есть бюджет в размере 100 евро, который можно еженедельно тратить на продукты. Какое уравнение может представить сумму денег, которую семья может потратить на продукты, по отношению к количеству пластиковых пакетов, которые они используют для продуктов? ( y = 100 евро – 0 евро.22 x ) Предложите учащимся решить это уравнение для различного количества пластиковых пакетов.

РУКОВОДЯЩАЯСЯ ПРАКТИКА и НЕЗАВИСИМАЯ ПРАКТИКА

Шаг 8: Смешивайте и подбирайте из перечисленных ниже цифровых и печатных материалов в зависимости от потребностей вашего класса и технологических возможностей.

Эти увлекательные материалы знакомят учащихся с реальными сценариями исследований — от астронавта, отправляющегося в космос, до биолога, плывущего по реке Амазонка.Это подчеркивает ценность математики в реальных ситуациях и карьере, в которых выражения и уравнения являются необходимыми инструментами для решения проблем.

Модуль 1 цифрового интерактивного инструмента : Переменные в выражениях и уравнениях.
Планирование поездки на Амазонку: использование переменных для представления чисел и записи выражений
Изучение Амазонки: перевод реальной ситуации из словесной задачи в уравнение

Скажите учащимся, что еще один фактор, волнующий ученых, — это изменения уровня моря.Индивидуально или в составе класса они могут посещать приливы и текущий веб-сайт, чтобы определить и написать уравнения для изменений уровня моря в различных регионах мира за определенное количество лет. Затем они могут решить уравнения, чтобы определить изменение уровня моря за определенное количество лет в этих районах.

Влияние всестороннего раннего вмешательства по алгебре в третьем классе на JSTOR

Абстрактный

В исследовании изучалось влияние продолжительного комплексного раннего вмешательства по алгебре в третьем классе.Авторы делятся и обсуждают ответы учащихся на письменные предварительные и последующие оценки, которые касались их понимания нескольких важных идей в области ранней алгебры, включая математическую эквивалентность и уравнения, обобщающую арифметику и функциональное мышление.

Информация о журнале

Официальный журнал Национального совета учителей математики (NCTM), JRME является ведущим научно-исследовательским журналом в области математического образования и посвящен интересам учителей и исследователей на всех уровнях — от дошкольного до колледжа.

Информация об издателе

Национальный совет учителей математики является общественным голосом математического образования, обеспечивающим видение, лидерство и профессиональное развитие для поддержки учителей в обеспечении обучения математике самого высокого качества для всех учащихся. NCTM, насчитывающая почти 90 000 членов и 250 филиалов, является крупнейшей в мире организацией, занимающейся улучшением математического образования в классах от дошкольного до 12 класса.«Принципы и стандарты школьной математики» Совета представляют собой руководство по совершенствованию математического образования и призывают всех учащихся заниматься более сложной математикой. NCTM стремится к постоянному диалогу и конструктивному обсуждению со всеми заинтересованными сторонами того, что лучше всего подходит для учащихся нашей страны.

Права и использование

Этот предмет является частью коллекции JSTOR.
Условия использования см. в наших Условиях использования
Copyright 2015 Национальный совет учителей математики, Inc.
Запросить разрешения

Что такое распределительная собственность: 5 эффективных примеров использования в классе

Что такое распределительная собственность ? Также известный как распределительный закон умножения, это одно из наиболее часто используемых свойств в математике.

Когда вы что-то распространяете, вы делите это на части. В математике свойство дистрибутивности помогает упростить сложные задачи, поскольку оно разбивает выражения на сумму или разность двух чисел.

В соответствии с этим принципом, умножение суммы двух слагаемых на число даст нам точно такой же результат, как и умножение каждого слагаемого по отдельности на число, а затем их сложение.

Понимание распределительного свойства

Для выражений в форме a(b+c) распределительное свойство показывает нам, как решать их с помощью:

внутри
Сложение продуктов вместе

Как насчет PEMDAS? Что случилось с первой оценкой того, что находится внутри скобок?

Если ваши ученики задаются вопросом, почему вы не следуете тому порядку операций, которому их учили в прошлом, они не ошибаются.

Однако, когда алгебраические выражения имеют круглые скобки, содержащие переменные — количество, которое может измениться в контексте математической задачи, обычно представленное одной буквой — выполнение этой операции невозможно.

Распределительное свойство умножения над сложением

Независимо от того, используете ли вы распределительное свойство или следуете порядку операций, вы получите один и тот же ответ. В первом примере ниже мы просто оцениваем выражение в соответствии с порядком операций, упрощая сначала то, что было в скобках.

Используя закон распределения, мы:

Умножаем или распределяем внешний член на внутренние члены.
Объедините похожие термины.
Решите уравнение.

Давайте используем сценарий из реальной жизни в качестве примера распределительного свойства.

Представьте, что у одной ученицы и двух ее друзей есть по семь ягод клубники и четыре клементина. Сколько всего фруктов у всех трех учеников?

В их пакетах для завтрака — или в скобках — у каждого из них по 7 клубник и 4 клементина.Чтобы узнать общее количество кусочков фруктов, им нужно умножить все это на 3.

Когда вы разбиваете это число, вы умножаете 7 клубник и 4 клементина на 3 учеников. Итак, у вас получится 21 клубника и 12 клементинов, всего 33 фрукта.

Распределительное свойство умножения на вычитание

Подобно предыдущей операции, выполнение распределительного свойства с вычитанием следует тем же правилам, за исключением того, что вы находите разность вместо суммы.

Примечание : не имеет значения, плюсовая операция или минусовая. Оставьте то, что в скобках.

Распределительное свойство с переменными

Помните, что мы говорили об алгебраических выражениях и переменных? Распределительное свойство позволяет нам упростить уравнения при работе с неизвестными значениями.

Используя закон распределения с задействованными переменными, мы можем изолировать x :

Умножить или распределить внешний член на внутренние члены.
Объедините похожие термины.
Расположите термины так, чтобы константы и переменные находились по разные стороны от знака равенства.
Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание : При изоляции переменных (см. третий шаг) то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать и с другой. Чтобы исключить 12 с левой стороны, вы должны добавить по двенадцать и к левой, и к правой стороне. То же самое касается умножения и деления: чтобы изолировать x , разделите каждую сторону на 4.

Распределительное свойство с показателями степени

Показатель степени представляет собой сокращенную запись, указывающую, сколько раз число умножается само на себя. Когда задействованы круглые скобки и показателей степени, использование распределительного свойства может значительно упростить выражение.

Расширьте уравнение.
Умножьте (распределите) первые числа каждого набора, внешние числа каждого набора, внутренние числа каждого набора и последние числа каждого набора.
Объедините похожие термины.
Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание . На втором этапе используйте метод FOIL (первое, внешнее, внутреннее, последнее) для распределения каждого выражения.

Распределительное свойство с дробями

Решение алгебраических выражений с дробями выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Выполните шаги, описанные ниже, чтобы увидеть, как это делается.

Надеемся, что этот пошаговый процесс поможет вашим учащимся понять, как и почему свойство дистрибутивности может пригодиться при упрощении дробей и комплексных чисел.

Определите дроби. Используя свойство распределения, вы в конечном итоге превратите их в целые числа.
Для всех дробей найдите наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее число, в которое могут точно вписаться оба знаменателя. Это позволит вам добавлять дроби.
Умножьте каждый член уравнения на НОК.
Изолировать переменные, добавляющие или вычитающие одинаковые термины по обе стороны от знака равенства.
Объедините похожие термины.
Решите уравнение и при необходимости упростите его.

Примечание : На шагах два и три мы находим НОК и используем его для умножения дробей, чтобы упростить их и избавиться от них. Нужна быстрая переподготовка? См. статью в нашем блоге о том, как умножать дроби.

Разнообразные свойства

Помимо распределительного свойства, существуют и другие часто используемые свойства, такие как ассоциативное свойство и коммутативное свойство.

Давайте посмотрим на ассоциативное свойство:

Ассоциативное свойство относится к группированию элементов вместе.Это правило гласит, что то, как числа (или целые числа) сгруппированы в математической задаче, не изменит результат.

Дополнительный пример:

a + (b +c) = (a + b) + c или 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Пример в умножении:

5×4×2 = (5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40

Это свойство работает с умножением, сложением, вычитанием и делением.

Различные способы изучения распределительной собственности

1.Prodigy

Prodigy — это адаптивная игровая обучающая математическая платформа, которую любят более миллиона учителей и 150 миллионов учащихся по всему миру! Он предлагает соответствующий учебной программе контент по всем основным математическим темам для 1-8 классов, в том числе инструкции:

Использование свойства распределения для раскрытия и решения выражений
Заполнение пропущенных чисел в эквивалентных выражениях с помощью свойства распределения

Использование Prodigy Math Game может помочь учащимся изучать и практиковать математику не только бегло говоря, но и переходя на второй и третий уровни DoK. Ответив на такие вопросы, как приведенный выше, учащиеся получат массу удовольствия, пока будут практиковать распределительное свойство.

Хотите дополнить уроки математики увлекательной игровой платформой для обучения и мощными инструментами для учителей?

Зарегистрируйтесь сейчас, чтобы получить бесплатную учетную запись учителя

2. Словесные задачи

Распределяющее свойство может быть не применимо к повседневной жизни, но давайте посмотрим на это в действии через некоторые словесные задачи!

У Лиама разносторонний музыкальный вкус. Просматривая музыку на своем телефоне, друзья Лиама находят песни трех разных жанров: поп, металл и кантри.Металлических песен в шесть раз больше, чем поп-песен, и кантри-песен в 11 раз больше, чем поп-песен. Если x представляет собой количество поп-песен, сколько всего песен у Лиама в телефоне? Напишите выражение. Упрощать.

Чтобы получить количество металлических песен, умножьте количество поп-песен на пять — 5x . Чтобы получить количество кантри-песен, умножьте количество поп-песен на 11 — 11x . Поскольку вы знаете, что x — это количество поп-песен, вы можете написать выражение как:

Школьный тренер по футболу снабжает свою команду новой формой: майкой, парой шорт и щитками для голеней.Одна футболка стоит 15 долларов, пара шорт — 11 долларов, а комплект щитков — 8 долларов.

Сколько стоит форма на одного товарища по команде? Напишите выражение и упростите.

Сколько всего будет стоить, если в команде 11 игроков? Напишите выражение и упростите.

3. Массивы

Наглядные или практические манипуляции помогают учащимся разобраться в математике и конкретизировать абстрактные понятия. Они особенно полезны для углубления понимания вашими учащимися свойства распределения.

Используйте предметы, картинки, цифры — что угодно! — в строках и столбцах как полезный способ представления математических выражений, таких как 4×5 и 5×9. Взгляните на приведенный ниже пример на Indulgy:

Разбивая выражения на маленькие кусочки, учащиеся могут решать более крупные и сложные математические задачи. Вот где распределительная собственность помогает.

Если ребенок не может ответить на 45, используйте массивы меньшего размера и перепишите выражение как 4(3+2) или 4(3)+4(2). Это четыре строки по три плюс четыре строки по два , что равно массиву четыре строки по пять .

Заключительные мысли о свойстве распределения

Как одно из наиболее часто используемых свойств, важно научиться выполнять и применять свойство распределения. Без него очистка скобок была бы невозможна.

Включив ресурсы EdTech, массивы или математические задачи, учащиеся должны увидеть практическое практическое применение свойства распределения.

Был ли один пример более эффективным для привлечения учащихся и углубления их понимания? Есть только один способ узнать это — попробовать!

Prodigy Math Game — это игровая платформа для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и учащимся. В соответствии с учебными планами англоязычного мира ваша бесплатная учетная запись учителя дает вам доступ к инструментам, которые помогают с дифференциацией, мотивацией и оценками.

Зарегистрируйте бесплатную учетную запись

Качели 2: Урок в 3 актах для 6-го класса Выражения и уравнения

Моя борьба:

Я провожу много уроков. Большая часть этой работы сосредоточена на том, чтобы поставить мышление ученика в центр математического класса, а не учебники. Я работаю с учителями над созданием открытых уроков с низким полом и высоким потолком, чтобы у всех учащихся была возможность играть и заниматься математикой.

Обычно у меня это хорошо получается. Но есть несколько содержательных нитей, которые вызывают у меня беспокойство. Стандарты решения уравнений 6-го класса, которые требуют, чтобы учащиеся рассуждали и решали уравнения с одной переменной , всегда вызывали у меня стресс, потому что мне сложно вовлекать учащихся в сценарии, которые заставляют их использовать такие простые уравнения для описания реальных задач.

Кроме того, прогрессии утверждают, что «в дополнение к построению и решению уравнений с одной переменной учащиеся используют уравнения с двумя переменными для выражения отношений между двумя величинами, которые изменяются вместе….Работая с такими уравнениями, учащиеся начинают понимать динамическое понимание переменных, понимание того, что они могут обозначать любое число из некоторой области. » (выделено мной)

(Примечание: стандарты 6.EE можно найти здесь, а документ по прогрессу для выражений и уравнений — здесь.)

Развивать динамическое понимание переменных? Это сложная задача, потому что большая часть контекста, который я вижу в учебниках, кажется натянутой. Сложно создать необходимую интеллектуальную потребность для создания, анализа и оценки структуры и полезности уравнения.Это часто имеет место, потому что учебники тратят страницы и страницы, обучая (обучая?) детей решать уравнения, не предлагая им создавать свои собственные или обдумывать структуру уравнений, которые им даны.

Вот две страницы (из примерно 12) из учебника по решению уравнений для 6 класса:

Практически невозможно освободить мышление учащегося из тисков этой структуры урока. Это определенно не приведет к достижению целей, изложенных в последовательности, в которой учащимся предлагается развить динамическое понимание переменных.

Мой вопрос:

Как мы предлагаем учащимся по-настоящему разобраться с уравнением таким образом, чтобы привлечь учащихся:

, чтобы понять, как структура уравнения моделирует контекст, и
, чтобы глубже погрузиться в смысл взаимосвязей между переменными?

Вместо того, чтобы учить студентов, как использовать свойства равенства, чтобы сначала решить «одношаговые» уравнения (что, кстати, похоже на использование базуки, чтобы убить таракана), мне интересно, есть ли способ начать исследование решения уравнений, предлагая учащимся сначала испытать динамическую связь между переменными.

Я думаю:

Меня вдохновил новый урок математики в 3 актах от Грэма Флетчера под названием «Качели». Он создал этот урок для учеников начальной школы. Вот Акт 1:

Ключевой вопрос звучит так: Сколько кирпичей потребуется, чтобы сбалансировать девочку?

Акт 2: вес девушки (60 фунтов) и вес каждого кирпича (5 фунтов) разделены. Учащиеся занимаются математикой.

А затем в Акте 3 открывается большое открытие:

Мне пришло в голову, что если мы переставим эти акты, мы сможем создать возможность для шестиклассников составить уравнение и обдумать возможные решения.По мере того, как учащиеся оценивают обоснованность решений, они будут постоянно думать о контексте переменных и структуре уравнения (и воплощать математическое упражнение 2).

Чтобы уточнить, вот набросок того, что я думаю о Акте 1:

Показать видео Акта 3 как Акт 1.
Спросите учащихся, что они замечают и удивляются.
Учащиеся заметят, что вес 12 кирпичей равен весу девочки.
Они будут задаваться вопросом: Сколько весит девушка? Сколько весит каждый кирпич?

Теперь это пара связанных переменных, связанных вместе уравнением! Учащиеся могут сделать вывод, что г = 12 б , и проанализировать значение переменных и коэффициента 12 в контексте задачи.Уравнение становится Актом 2: это инструмент, который позволяет им описывать возможные решения.

Кроме того, по мере того, как учащиеся оценивают вес девушки или вес кирпичей, они будут решать уравнение и создавать свои собственные решения в виде пар координат. Эти пары координат могут быть нанесены на график, и дальнейшие исследования взаимосвязи могут быть раскрыты. (Например, кажется пропорциональным.)

После выполнения оценок учащиеся могут попытаться определить разумную область и диапазон (не обязательно используя эти слова). Например, если каждый кирпич весит один фунт, девочка весит всего 12 фунтов. Это не имеет контекстуального смысла. Следовательно, «1» не является разумным входным значением (доменом) для «b».

После подробного обсуждения уравнения (а также его таблицы и графика), изображения Грэма из акта 2, показывающие вес девушки, могут быть использованы в качестве большого доказательства того, что из многих возможных решений (5, 60) является решением в этом контексте. .

Мое приглашение:

Вот урок Desmos, который я создал:

https://учитель.desmos.com/activitybuilder/custom/59053e7beea92c4f782eb9a2

Это не идеально. Он нуждается в вашей помощи. Обратная связь приветствуется.

Кроме того, какие еще ресурсы вы используете, чтобы заставить учащихся 6-го (и 7-го) класса задуматься об уравнениях, равенстве и динамической взаимосвязи между переменными? Как вы ставите мышление ученика (а не учебник) в центр обсуждения?

Связанные

Переменные выражения | Определение, примеры решений, вопросы

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на «почему», стоящем за «что». Учащиеся могут изучить огромное количество интерактивных рабочих листов, визуальных материалов, симуляций, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Запишитесь на БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие уже сегодня! и участвуйте в LIVE онлайн-классе Cuemath со своим ребенком.

Введение в выражения переменных

Джеймс и Натали играли со спичками и придумали составить из них узоры из чисел.

Джеймс взял 4 спички и составил число \(4\)

Натали добавила еще 3 спички, чтобы сформировать узор из двух \(4\) спичек.

Затем Джеймс снова добавил еще 3 спички, чтобы сформировать узор из трех \(4\) s.

Внезапно Натали засомневалась, сколько нужно спичек, чтобы составить узор из десяти \(4\)?

Из существующего узора они поняли, что им нужно \(4+ 9 (3)\) палочек, чтобы сделать это, так как им нужен узор из десяти \(4\)с.

Из этого они сделали вывод, что им нужно \(4+(n-1)3\) палочек, чтобы составить узор из \(n\) числа \(4\) палочек.

Здесь \(4+(n-1)3\) называется алгебраическим выражением.

Определение переменной, константы, члена и коэффициента

Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.

В приведенном выше примере \(n\) является переменной, и здесь она может принимать значения \(1,2,3,…\)

Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.

Символ, имеющий фиксированное числовое значение, называется константой.

Все числа являются константами.

Некоторые примеры констант: \(3, 6, \dfrac{-1}{2}, \sqrt{5}\) и т. д.

Термин представляет собой переменную сам по себе (или) сам по себе константу (или) он может быть комбинацией переменных и констант посредством операции умножения или деления. 2, \dfrac{-2}{3}y, \sqrt{5m},\) и т. д.
Здесь числа, на которые умножаются переменные, равны \(3, \dfrac{-2}{3} \) и \(5\), которые называются коэффициентами .
CLUEless по математике? Узнайте, как CUEMATH Учителя объяснят вашему ребенку Переменные выражения с помощью интерактивных симуляций и рабочих листов, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!
Исследуйте живые, интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы ваш ребенок стал экспертом по математике. Запишитесь на БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!
Переменное выражение (алгебраическое выражение)
Переменное выражение (или) алгебраическое выражение представляет собой комбинацию терминов с помощью таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. д.
Пример выражения переменной
Пример выражения переменной (или) алгебраического выражения: \(5x + 7\)
Вычисление выражения переменной
Чтобы оценить выражение переменной по заданному значению, мы просто подставляем это значение в выражение и упрощаем его. {-1} +2y+3z\)

Аналитический центр
Всякий ли полином многочлен?
Является ли каждый многочлен многочленом?
Деятельность по вычислению переменных выражений
Это действие над переменными выражениями.
Отсюда вы можете выбрать одно из заданных выражений переменных и указать значение(я) для его переменной(й).
Затем вы можете оценить и ввести значение решения переменного выражения в соответствии с введенными вами значениями.
Не беспокойтесь, если вы введете неверный ответ на выражение.
Он покажет вам пошаговое объяснение правильного ответа.
Помогите своему ребенку получить более высокие баллы с помощью собственного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath.Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попробуйте пройти тест сейчас.
Решенные примеры

В мешке \(25\) апельсинов. Напишите переменное выражение (алгебраическое выражение) для количества апельсинов в \(x\) количестве мешков.
Решение:
Количество апельсинов в одном пакете = \(25\)
Количество мешков = \(x\)
Таким образом, количество апельсинов в \(x\) пакетах = \(25x\)
Требуемое выражение переменной \(= 25x \)

Оценить данное выражение переменной для \(a = 7; b = -3\) и \(c = 2\)
\[6ab + 7bc + 9ca\]
Решение:
Данное алгебраическое выражение равно \(6ab + 7bc + 9ca\)
Замените приведенные ниже значения в приведенном выше выражении:
.
\(а = 7; \;b = -3; \; с = 2\)
\[\begin{align}6ab \!+\! 7bc \!+\! 9ca&\!=\! 6(7)(-3) \!+\! 7(-3)(2) \!+\! 9(2)(7)\\[0.3cm]&\!=\!\!-\!126\!-\!42\!+\!126\\[0.3cm]&\!=\!\!-\!42\end{выравнивание}\ ]
\[6ab + 7bc + 9ca = — 42 \]

Укажите правильный(е) вариант(ы).
\(4x+5\) это …
(а) моном
(б) Биномиальный
(с) Трехчлен
(г) Многочлен
Решение:
\(4x+2\) имеет два монома \(4x\) и \(5\) и, следовательно, является биномом.2-3x+2\) в \(x=2\)

Практические вопросы

Важные темы
Ниже приведен список тем, тесно связанных с переменными выражениями. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.
Образцы олимпиад по математике
IMO (Международная олимпиада по математике) — конкурсный экзамен по математике, проводимый ежегодно для школьников.Это побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения конкуренции.
Вы можете скачать БЕСПЛАТНЫЕ образцы работ по классам ниже:
Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, нажмите здесь
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1.
Как написать переменное выражение?
Переменное выражение зависит от условия.
Для примера, «\(3\) больше, чем \(x\)» можно записать как переменное выражение \(x+3\)
«\(7\) меньше суммы \(a\) и \(b\)» можно записать как переменное выражение \(a+b-7\)
2.Что такое пример переменной?
Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.
Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.
Дополнительную информацию можно найти в разделе «Определение переменной, константы, члена и коэффициента» на этой странице.
3. Какие существуют 3 типа переменных?
3 типа переменных:
Независимые переменные
Зависимые переменные
Контролируемые переменные
4.Всегда ли выражения должны иметь переменную?
Нет, выражение не обязательно должно иметь переменную.
Например, такие константы, как \(2, -3, \dfrac{-3}{4}\), также называются выражениями.
5. Как определить переменную?
Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.
Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.
6. Что такое переменная? Привести пример.
Символ, который не имеет фиксированного значения, в математике называется переменной. Может принимать любое значение.
Некоторые примеры переменных в математике: \(a,b,x,y,z,m,\) и т.д.
Работа с символическими выражениями — Мэннинг
Из книги «Математика для программистов» Пола Орланда
Эта статья относится к
●      Моделирование алгебраических выражений как структур данных в Python
●      Написание кода для анализа, преобразования или вычисления алгебраического выражения
●      Построение структуры данных из элементов и комбинаторов
Скидка 40% на Математика для программистов . Просто введите fccorland в поле кода скидки при оформлении заказа на сайте manning.com.
В Python и других языках мы часто думаем о функциях как о мини-программах. Это автономные наборы инструкций, которые принимают некоторые входные данные, выполняют с ними определенные упорядоченные вычисления и идентифицируют некоторое результирующее значение как выходное. С точки зрения функционального программирования мы рассматриваем функции как данные, относительно которых мы можем что-то вычислять. Вы уже видели ряд функций, которые принимают другие функции в качестве входных данных или производят функции в качестве выходных данных.
Как вычислить факты о функциях? Скажем, у нас есть математическая функция вроде
.
Мы можем легко перевести это на Python:
из математики импортировать грех защита f(x): вернуть (3*х**2 + х) * грех(х)
Можем ли мы написать программу, чтобы узнать, зависит ли результат f(x) от x , в отличие от g(x) = 7 , которое не зависит? Можем ли мы определить, содержит ли оно функцию тригонометрического синуса? Еще один вопрос, который мы могли бы задать, заключается в том, можно ли разложить выражение по правилам алгебры. В этом случае это может: f(x) может быть эквивалентно записано как 3 x ² sin( x ) + x sin( x ). Если бы мы могли написать функцию для расширения алгебраического выражения, мы могли бы изобразить это так:
.
Рис. 1. Можем ли мы написать функцию «расширения», которая расширяет математическое выражение в соответствии с правилами алгебры?
Эти гипотетические программы должны будут проверять тело функции, а не просто вычислять его.В этой статье я покажу вам, как это сделать, используя широко применимый подход, называемый символическим программированием . Суть заключается в моделировании алгебраических выражений как структур данных, а не в их прямом переводе в код Python, и тогда они более поддаются манипулированию.
В книге «Математика для программистов » вы увидите, как можно расширить то, что мы рассматриваем в этой главе, для автоматизации процессов с исчисления. Например, получение производной функции требует проверки формы входной функции и применения некоторых правил для определения выходного выражения для выходной функции.
Рисунок 2: Цель состоит в том, чтобы написать производную функцию на Python, взяв выражение для функции и вернув выражение для ее производной.
Давайте начнем с другого взгляда на алгебраические выражения, рассматривая их как структурированные наборы символов, а не процедурные вычисления.
Моделирование алгебраических выражений
Давайте рассмотрим функцию f ( x ) = (3 x ² + x ) sin( x ) и посмотрим, как мы можем разбить ее на части.Как только мы концептуально выполним это упражнение, мы увидим, как перевести наши результаты в код Python.
Первое наблюдение состоит в том, что « f » — произвольное имя для этой функции. Например, правая часть этого уравнения расширяется одинаково независимо от того, как вы ее называете. По этой причине мы сосредоточимся только на выражении , определяющем функцию, которая в данном случае равна (3 x ² + x ) sin( x ).Выражение — это набор математических символов — чисел, букв, операций — объединенных определенным образом. Наша первая цель — смоделировать эти символы и способы их составления в Python.
Разбиение выражения на части
Мы можем начать моделировать алгебраические выражения, разбив их на более мелкие выражения. Есть только один осмысленный способ разбить выражение (3 x ² + x ) sin( x ) на произведение 3 x ² + 7 x и sin ).
Рисунок 3: Осмысленный способ разбить алгебраическое выражение на два меньших выражения.
В отличие от этого, мы не можем разделить это выражение по знаку плюс. Мы могли бы понять выражения по обе стороны от знака плюс, если бы попытались, но результат не эквивалентен исходному выражению.
Рисунок 4. Не имеет смысла разбивать выражение вокруг знака плюс. Исходное выражение не является суммой 3 x ² и x · sin( x ).
Если мы посмотрим на выражение 3 x ² + x , его можно разбить на сумму: 3 x ² и x. Обычный порядок операций говорит нам, что 3 x ² есть произведение 3 и x ² , а не 3 x , возведенное в степень 2.
Умножение и сложение называются операциями в арифметике, но в этой статье мы будем думать о них более абстрактно.Они позволяют взять два (или более) алгебраических выражения и соединить их вместе, чтобы получить новое, большее алгебраическое выражение. Точно так же они являются допустимыми местами, где мы можем разбить существующее алгебраическое выражение на более мелкие. В терминологии функционального программирования функции, объединяющие меньшие объекты в более крупные, подобные этой, часто называют комбинаторами . Вот некоторые из комбинаторов, подразумеваемых в нашем выражении.
3 x ² является произведением выражений «3» и « x ²»
x ² — это степень — одно выражение « x », возведенное в степень другого выражения «2».
Выражение sin( x ) является приложением функции . Учитывая выражение «sin» и выражение « x », sin( x ) является новым выражением.
Переменная « x », число «2» или имя функции «sin» не могут быть далее разбиты. Чтобы отличить их от комбинаторов, их называют элементами . Урок здесь заключается в том, что хотя «(3 x ² + x ) sin( x )» — это всего лишь набор символов, напечатанных на этой странице, символы комбинируются определенным образом для передачи математического значения.
Построение дерева выражений
Элементов «3», « x «, «2» и «sin», а также комбинаторов сложения, умножения, возведения в степень и применения функции достаточно, чтобы перестроить все выражение (3 x ² + x ) sin( x ). Давайте пройдемся по шагам и нарисуем структуру, которую мы в итоге построим.
Одной из первых конструкций, которые мы можем составить, является x ² , которая объединяет x и 2 с степенным комбинатором.
Рисунок 5. Объединение x и 2 с комбинатором степени для представления большего выражения x ² .
Хорошим следующим шагом является объединение x ² с числом 3 с помощью комбинатора произведений, чтобы получить выражение 3 x ² :
Рисунок 6: Комбинация числа 3 со степенью для моделирования продукта 3 x ² .
Эта конструкция состоит из двух слоев: один из входов комбинатора произведений сам является комбинатором.По мере того, как мы добавляем больше терминов выражения, оно становится еще глубже. Следующим шагом является добавление элемента «x» к 3 x ² с помощью комбинатора суммы, представляющего операцию сложения.
Рисунок 7. Объединение выражения 3 x ² с элементом x с комбинатором суммы для получения 3 x ² + x .
Наконец, нам нужно использовать комбинатор приложений функций, чтобы применить «sin» к «x», а затем комбинатор произведений, чтобы объединить sin( x ) с тем, что мы построили.
Рисунок 8: Полная картина, показывающая, как построить (3 x ² + x ) · sin( x ) из элементов и комбинаторов.
Вы можете узнать структуру, которую мы построили, как дерево . «Корнем» дерева является комбинатор продуктов, из которого выходят две ветви. Каждый комбинатор, появляющийся дальше по дереву, добавляет дополнительные ветви, пока вы не достигнете элементов, которые являются «листьями» и не имеют ветвей.Любое алгебраическое выражение, построенное с использованием чисел, переменных и именованных функций в качестве элементов и операций в качестве комбинаторов, соответствует определенному дереву, которое раскрывает его структуру. Следующее, что мы можем сделать, это построить такое же дерево в Python.
Преобразование дерева выражений в Python
Мы можем думать о каждом комбинаторе как о функции, которая принимает одно или несколько выражений в качестве входных данных и возвращает новое выражение в качестве выходных данных. На практике также полезно думать о комбинаторе как о именованном контейнере, который содержит его входные данные.Например, результатом применения степенного комбинатора к 90 196 x 90 197 и 2 должен быть некоторый объект, который содержит как 90 196 x 90 197, так и 2 в качестве данных. Для выражения мощности, такого как x ² , x называется основанием, а 2 называется показателем степени. Класс Python, оборудованный для хранения базы и экспоненты, может выглядеть так:
.
мощность класса(): def __init__ (я, база, экспонента): self.base = база self.exponent = показатель степени
Затем мы могли бы написать Power("x",2) на Python, чтобы представить выражение x ² . Вместо использования необработанных строк и чисел я создам специальные классы для представления чисел и переменных.
Номер класса(): def __init__(я, число): self.number = число Переменная класса(): def __init__(я,символ): self.symbol = символ
Это может показаться излишним, но полезно уметь отличать Variable("x") , что означает букву «x», интерпретируемую как переменную, от строки «x», которая является просто строкой.Используя эти три класса, мы можем смоделировать выражение x ² как
.
Мощность (переменная ("x"), число (2))
Каждый из наших комбинаторов может быть реализован как класс с соответствующим именем, в котором хранятся данные любых выражений, которые он объединяет. Например, комбинатор произведений может быть классом, в котором хранятся два выражения, предназначенные для перемножения.
класс Продукт(): def __init__(я, exp1, exp2): себя.exp1 = exp1 self.exp2 = exp2
Произведение 3 x ² можно выразить с помощью этого комбинатора следующим образом.
Произведение(Число(3),Мощность(Переменная("x"),Число(2)))
После введения остальных классов, которые нам нужны, мы можем смоделировать все исходное выражение, а также практически бесконечный список других возможностей.
Сумма класса(): def __init__(self, *exps): #<1> себя.опыты = опыты
Мы допускаем сумму любого количества терминов, что означает, что мы можем одновременно сложить два или более выражений.
Объект Function хранит строку, которая является его именем, например «sin».
Комбинатор Apply хранит функцию и аргумент, к которому она применяется.
Я использовал дополнительные пробелы, чтобы сделать структуру выражения более понятной.
Это точное представление исходного выражения: ( 3 x ² + x ) sin( x ).Под этим я подразумеваю, что мы могли бы посмотреть на этот объект Python и увидеть, что он описывает алгебраическое выражение, а не другое. Для другого выражения, например
Применить (Функция («cos»), Сумма (Мощность (Переменная («x»), Число («3»)), Число (-5)))
Мы можем внимательно прочитать его и увидеть, что оно представляет собой другое выражение: cos( x ³ + −5). В следующих упражнениях вы можете попрактиковаться в переводе некоторых алгебраических выражений на язык Python и наоборот.Вы увидите, что набирать все представление выражения может быть утомительно. Хорошая новость заключается в том, что после кодирования на Python ручная работа заканчивается. Следующее, что мы увидим, это то, как писать функции Python для автоматической работы с нашими выражениями.
Упражнения
Упражнение: Нарисуйте выражение ln ( y ^z ) в виде дерева, построенного из элементов и комбинаторов из этого раздела.
Решение: Самым внешним комбинатором является «Применить». Применяемая функция — « ln », натуральный логарифм, а аргумент — y ^z. В свою очередь, y ^z является степенью с основанием y и показателем степени z . Результат выглядит так:
Рисунок: Структура выражения ln ( y ^z ).
Упражнение: Переведите выражение из предыдущего упражнения в код Python. Напишите это и как функцию Python, и как структуру данных, построенную из элементов и комбинаторов.
Решение: Вы можете думать о ln ( y ^z ) как о функции двух переменных: y и z . Он переводится непосредственно на Python (где ln называется log):
из журнала импорта математики защита f(y,z): журнал возврата (y**z)
Дерево выражений строится следующим образом:
Применить(Функция("ln"), Мощность(Переменная("y"), Переменная("z")))
Упражнение: Какое выражение представлено произведением(Число(3),Сумма(Переменная(« y «),Переменная(« z «))) ?
Решение: Это представляет 3·( y + z ). Обратите внимание, что скобки необходимы из-за порядка операций.
Упражнение: Реализуйте комбинатор « Частное », представляющий одно выражение, разделенное на другое. Как вы представляете следующее выражение?
Решение: Комбинатор частных должен хранить два выражения: верхнее выражение называется числителем , а нижнее выражение называется знаменателем .
Класс Частное (Выражение): def __init__(я,числитель,знаменатель): self.numerator = числитель self.знаменатель = знаменатель
Образец выражения представляет собой частное суммы a + b с числом 2:
Частное(Сумма(Переменная("a"),Переменная("b")),Число(2))
Упражнение: Реализуйте комбинатор « Difference », представляющий одно выражение, вычитаемое из другого. Как можно представить выражение b ² – 4 ac ?
Решение: Комбинатор Difference должен хранить два выражения, и он представляет второе, вычитаемое из первого.
Разница классов (выражение): защита __init__ (я, exp1, exp2): self.exp1 = exp1 self.exp2 = exp2
Выражение b ² – 4 ac является разностью выражений b ² и 4 ac , и оно представлено следующим образом.
Разница( Мощность (переменная ('b'), число (2)), Продукт (Число (4), Продукт (Переменная ('a'), Переменная ('c'))))
Упражнение: Реализуйте комбинатор «Отрицательный», представляющий отрицание выражения. Например, отрицание x ² + y равно −( x ² + y ). Представьте последнее выражение в коде, используя новый комбинатор.
Решение: Комбинатор Negative — это класс, содержащий одно выражение.
класс Отрицательный(): защита __init__ (я, опыт):
Чтобы инвертировать x ² + y , мы передаем его конструктору Negative.
Отрицательное(Сумма(Мощность(Переменная("x"),Число(2)),Переменная("y")))
Упражнение: Добавьте функцию с именем «sqrt», представляющую квадратный корень, и используйте ее для кодирования следующей формулы:
Решение: Чтобы не печатать, мы можем заранее назвать наши переменные и функцию квадратного корня.
А = переменная ('а') B = переменная ('b') C = переменная ('c') Квадрат = Функция («Квадрат»)
Затем нужно перевести алгебраическое выражение в соответствующую структуру элементов и комбинаторов. На самом высоком уровне вы можете видеть, что это частное суммы (сверху) и произведения (снизу).
Частное( Сумма( Отрицательный (Б), Применять( площадь, Разница( Мощность (B, Число (2)), Продукт (Число (4), Продукт (A, C))))), Продукт (Число (2), А))
Мини-проект: Создайте абстрактный базовый класс с именем Expression и сделайте от него наследование всех элементов и комбинаторов.Например, class Variable() должен стать class Variable(Expression) . Затем перегрузите арифметические операции Python +, -, * и / для создания объектов Expression. Например, код 2 * Variable(«x») + 3 должен давать: Sum(Product(Number(2), Variable("x")), Number(3)) .
Решение: См. исходный код.
Использование символического выражения
Для функции, которую мы изучали до сих пор, мы записали функцию Python, которая ее вычисляет:
защита f(x): возврат (3*x**2 + x)*sin(x)
Как сущность в Python, эта функция хороша только для одного: возвращать выходное значение для заданного входного значения x. Значение «f» в Python не позволяет особенно легко программно ответить на вопросы, которые мы задавали в начале статьи, например, зависит ли «f» от своих входных данных, содержит ли «f» тригонометрическую функцию или что тело «f» выглядело бы, если бы оно было расширено алгебраически. В этом разделе мы увидим, что, переведя выражение в структуру данных на Python, построенную из элементов и комбинаторов, мы можем ответить на все эти и другие вопросы.
Поиск всех переменных в выражении
Понятно, что выходное значение f(x) зависит от входного значения , а для сравнения g(x) = 7 — нет.Некоторые случаи сложны, например h(x) = x − x , p(x) = 4x ² – (2x + 1)(2x − 1) или q(x) = sin(x) ² + cos(x) ², которые также не зависят от значения x (понимаете, почему?), но мы не будем на них сосредотачиваться. Давайте зададим более общий вопрос: для заданного выражения какие различные переменные появляются в нем? Мы можем написать функцию Python different_variables , которая принимает выражение (имеющее в виду любой из наших элементов или комбинаторов) и возвращает набор Python, содержащий переменные.
Если наше выражение представляет собой элемент, например z или 7, то ответ ясен. Выражение, которое является только переменной, содержит одну отдельную переменную, но выражение, которое является только числом, вообще не содержит переменных. Мы ожидаем, что наша функция будет вести себя соответствующим образом:
>>> отличные_переменные(переменная("z")) {'г'}
Ситуация усложняется, когда выражение строится из некоторых комбинаторов, например y · z + x ² .Человеку легко прочитать все переменные, такие как y , z и x , но как их извлечь из выражения в Python? Это комбинатор Sum, представляющий сумму y · z и x ^z . Первое выражение в сумме имеет y и z , а второе имеет x и z . Сумма содержит все переменные в этих двух выражениях.
Это предполагает, что мы должны использовать рекурсивное решение: отличительных_переменных для комбинатора — это собранные отличительных_переменных для каждого из содержащихся в нем выражений. В конце строки находятся переменные и числа, которые, очевидно, содержат либо одну переменную, либо ноль. Чтобы реализовать функцию different_variables , нам нужно обработать регистр каждого элемента и комбинатора, который является допустимым выражением.
определение различных_переменных (exp): если isinstance (exp, Variable): набор возврата (exp.symbol) elif isinstance (выражение, число): вернуть набор() elif isinstance (exp, Sum): набор возврата().union(*[distinct_variables(exp) для exp в exp.exps]) elif isinstance (exp, Product): вернуть отдельные_переменные (exp.exp1).union (различные_переменные (exp.exp2)) elif isinstance (exp, Power): вернуть отдельные_переменные (exp.base).union (различные_переменные (exp.exponent)) elif isinstance (exp, Apply): вернуть отдельные_переменные (exp.argument) еще: поднять TypeError("Недопустимое выражение.")
Как и ожидалось, наше f_expression содержит только переменную x :
>>> отдельные_переменные (f_expression) {'Икс'}
Если вы знакомы с древовидной структурой данных, вы узнаете, что это рекурсивный обход дерева выражений. К тому времени, когда эта функция завершила работу, она вызвала 91 360 уникальных_переменных 91 361 для каждого выражения, содержащегося в целевом выражении, которое является всеми узлами в дереве. Это гарантирует, что мы увидели каждую переменную и получили правильные ответы, которые ожидали. В упражнениях в конце раздела вы можете использовать аналогичный подход, чтобы найти все числа или все функции.
Вычисление выражения
Теперь у нас есть два представления одной и той же математической функции f(x) .Одной из них является функция Python, f, которая удобна для оценки функции при заданном входном значении x . Новым является эта древовидная структура данных, которая описывает структуру выражения, определяющего f(x) . Оказывается, последнее представление имеет лучшее из обоих миров — мы также можем использовать его для вычисления f(x) , лишь немного поработав.
Механически вычисление функции f(x) , скажем, при x = 5 означает подстановку значения 5 для x везде, а затем выполнение арифметических действий для получения результата. Если бы выражение было f(x) = x , подстановка x = 5 дает нам f(5) = 5. Другой простой пример: g(x) = 7, где подстановка 5 вместо x не имеет никакого эффекта — в правой части нет появления x, и результат g (5) равен 7.
Код для вычисления выражения в Python похож на код, который мы написали для поиска всех переменных. Вместо того, чтобы смотреть на набор переменных, которые появляются в каждом подвыражении, нам нужно оценить каждое подвыражение, затем комбинаторы сообщают нам, как объединить эти результаты, чтобы получить значение всего выражения.
Исходные данные, которые нам нужны, — это значения, которые необходимо вставить, и переменные, которые они заменят. Например, выражение с двумя разными переменными, такими как z(x,y) = 2 xy ³, требует двух значений, чтобы получить результат, например x = 3 и y = 2. В информатике терминологии, они называются привязками переменных . С их помощью мы можем оценить подвыражение y ³ как (2) ³, что равно 8.Еще одно подвыражение — 2 x , которое оценивается как 2 · (3) = 6. Эти два выражения объединяются с помощью комбинатора произведения, и значение всего выражения представляет собой произведение 6 и 8, или 48.
Когда мы будем транслировать эту процедуру в код Python, я покажу вам несколько иной стиль, чем в предыдущем примере. Вместо того, чтобы иметь отдельную функцию «оценки», мы можем добавить метод оценки к каждому классу, представляющему выражение. Чтобы обеспечить это, мы можем создать абстрактный базовый класс Expression с абстрактным методом оценки и наследовать от него все виды выражений.Вот базовый класс Expression с методом оценки.
из abc импортировать ABC, abstractmethod Выражение класса (ABC): @абстрактный метод def оценить (я, ** привязки): проходят
Поскольку выражение может содержать более одной переменной, я настроил его так, чтобы вы могли передавать привязки переменных в качестве аргументов ключевого слова. Например, привязки {x : 3, y : 2} означают «замените 3 на x и 2 на y .” Это дает нам хороший синтаксический сахар при вычислении выражения. Если z представляет выражение 2 xy ³, то, когда мы закончим, мы сможем выполнить следующее.
>>> z.evaluate(x=3,y=2) 48
Пока у нас есть только абстрактный класс. Нам нужно сделать так, чтобы все наши классы выражений наследовались от Expression. Например, экземпляр Number — это выражение, так как число само по себе, например «7», является допустимым выражением.Независимо от предоставленных привязок переменных, число вычисляется само по себе.
Номер класса (выражение): def __init__(я, число): self.number = число def оценить (я, ** привязки): вернуть собственный номер
Например, вычисление Number(7).evaluate(x=3,y=6,q=-15) или любое другое вычисление в этом отношении возвращает основное число: семь.
Обработка переменных также проста. Если мы смотрим на выражение Variable («x»), нам нужно только свериться с привязками и посмотреть, какое число установлено для переменной «x». Когда мы закончим, мы сможем запустить Variable(«x»).evaluate(x=5) и получить в результате 5. Если мы не можем найти привязку для «x», значит, мы не можем завершить оценку и нам нужно вызвать исключение. Вот обновленное определение класса Variable:
.
переменная класса (выражение): def __init__(я,символ): self.symbol = символ def оценить (я, ** привязки): пытаться: вернуть привязки [self.symbol] Кроме: поднять KeyError("Переменная '{}' не привязана.".format(собственный.символ))
Разобравшись с элементами, нам нужно обратить внимание на комбинаторы. (Обратите внимание, что мы не будем рассматривать объект Function как отдельное выражение, потому что такая функция, как «sin», не является отдельным выражением. Ее можно вычислить, только если ей задан аргумент в контексте комбинатора Apply. ) Для комбинатора, такого как Product, правило, используемое для его оценки, простое: вычислить оба выражения, содержащиеся в продукте, а затем перемножить результаты.В продукте не нужно выполнять подстановку, но мы передадим привязки к обоим подвыражениям, если одно из них содержит переменную.
Класс Продукт (Выражение): def __init__(я, exp1, exp2): self.exp1 = exp1 self.exp2 = exp2 def оценить (я, ** привязки): вернуть self.exp1.evaluate(**bindings) * self.exp2.evaluate(**bindings)
С помощью этих трех классов, дополненных методами оценки, мы теперь можем вычислять любое выражение, построенное из переменных, чисел и произведений.Например:
>>> Продукт (переменная ("x"), переменная ("y")). оценить (x = 2, y = 5) 10
Точно так же мы можем добавить метод «вычислить» к комбинаторам «Сумма», «Степень», «Разность» или «Частное». Как только мы оцениваем их подвыражения, имя комбинатора сообщает нам, какую операцию мы используем для получения общего результата. Комбинатор «Применить» работает несколько иначе и заслуживает особого внимания. Нам нужно динамически просмотреть имя функции, такое как «sin» или «sqrt», и придумать рецепт для вычисления ее значения.Это можно сделать несколькими способами, но я решил хранить словарь известных функций в качестве данных в классе Apply. В качестве первого прохода мы можем сообщить нашему оценщику о трех именованных функциях:
_function_bindings = { "грех": math.sin, "cos": math.cos, "лн": math.log } класс Применить (Выражение): def __init__(я,функция,аргумент): self.function = функция self.argument = аргумент def оценить (я, ** привязки): вернуть _function_bindings[self.function.name](self.argument.evaluate(**bindings))
Вы можете попрактиковаться в написании остальных методов «вычисления» самостоятельно или найти их в исходном коде. Как только вы полностью реализовали их все, вы сможете оценить наше f_expression.
>>> f_expression.evaluate(x=5) -76,71394197305108
Результат здесь не важен, важно лишь то, что он такой же, как и у обычной функции Python f(x).
>>> ф(х) -76,71394197305108
Оснащенные функцией оценки, наши объекты Expression могут выполнять ту же работу, что и соответствующие им обычные функции Python.
Расширение выражения
С нашими структурами данных выражений можно делать и многое другое. В упражнениях вы можете попробовать создать еще несколько функций Python, которые по-разному манипулируют выражениями. Я пока покажу вам еще один пример, о котором упоминал в начале статьи: расширение выражения.Под этим я подразумеваю взятие любого произведения или степени сумм и их выполнение.
Соответствующее правило алгебры — это дистрибутивное свойство сумм и произведений. Это правило гласит, что произведение вида ( a + b ) c равно ac + bc и, аналогично, x(y + z) = xy + xz . Например, наше выражение (3 x ² + x )sin( x ) равно 3 x ² sin( x ) + x 9 , который называется развернутой формой первого произведения.Вы можете использовать это правило несколько раз, чтобы расширить более сложные выражения, например:
Как видите, расширение короткого выражения, такого как ( x + y ) ³, может потребовать большого объема записи. Помимо расширения этого выражения, я также немного упростил результат, переписав, например, некоторые продукты, которые выглядят как xyx или xxy как x ² y . Затем я еще больше упростил число , объединив аналогичные термины , отметив, что имеется по три суммированных копии каждого из x ² y и y ² x 70197 6 1 90 90 9 6 1 90 90 9 6 1 . 2 y и 3 y ² x .В этом примере я буду смотреть только на то, как сделать расширение — вы можете реализовать упрощение в качестве упражнения.
Мы можем начать с добавления абстрактного метода расширения к базовому классу Expression.
Выражение класса (ABC): ... @абстрактный метод определение расширения (сам): проходят
Если выражение является переменной или числом, оно уже раскрыто. В этих случаях метод расширения возвращает сам объект. Например:
Номер класса (выражение): ... определение расширения (сам): вернуть себя
Суммы уже считаются расширенными выражениями, но отдельные члены суммы не могут быть расширены. Например, 5 + a(x + y) — это сумма, в которой первый член, 5, полностью расширен, а второй член, a(x + y) , — нет. Чтобы расширить сумму, нам нужно расширить каждое из условий и просуммировать их.
Сумма класса (выражение): ... определение расширения (сам): return Sum(*[exp.expand() для exp в self.exps])
Та же процедура работает для применения функции. Мы не можем расширить сам Apply, но мы можем расширить аргументы функции. Это расширяет выражение вроде sin (x(y + z)) до sin (xy + xz) .
класс Применить (Выражение): ... определение расширения (сам): return Применить (self.function, self.argument.expand())
Настоящая работа начинается, когда мы расширяем продукты или мощности, когда структура выражения полностью меняется. Например, a(b + c) — это произведение переменной на сумму двух переменных, а его расширенная форма — ab + ac , сумма двух произведений двух переменных каждая. Чтобы реализовать распределительный закон, мы должны рассмотреть три случая: первый член произведения может быть суммой, второй член может быть суммой или ни один из них не может быть суммой. В последнем случае расширение не требуется.
Класс Продукт (Выражение): ... определение расширения (сам): расширенный1 = я.exp1.expand() #<1> расширенный2 = self.exp2.expand() if isinstance(expanded1, Sum): #<2> return Sum(*[Product(e,expanded2).expand() для e в extended1.exps]) elif isinstance(expanded2, Sum): #<3> return Sum(*[Product(expanded1,e) for e in extended2.exps]) еще: вернуть продукт (расширенный1,расширенный2) #<4>
Сначала раскройте оба условия продукта
Если первый член произведения равен Сумма , возьмите произведение, умножив каждое из его членов на второй член произведения. Вызовите расширение результата в случае, если второе слагаемое произведения также равно Сумма .
Если второй член произведения равен Сумма , умножьте каждый из его членов на первый член произведения.
В противном случае ни один член не является суммой , и распределительный закон не нужно вызывать.
После реализации всех этих методов мы можем протестировать функцию расширения. При соответствующей реализации __repr__ (см. упражнения) вы можете увидеть его в действии в интерактивном сеансе.Он правильно расширяет (a + b)(x + y) до ax + ay + bx + на :
>>> Произведение(Сумма(A,B),Сумма(Y,Z)).expand() Произведение(Сумма(Переменная("a"),Переменная("b")),Сумма(Переменная("x"),Переменная("y")))
и наше выражение (3 x ^x
6 x x ) расширяется правильно до 3 x ² Sin ( x Sin ( x ):
>>> f_expression Сумма(Продукт(Продукт(3,Мощность(Переменная("x"),2)),Применить(Функция("sin"),Переменная("x"))),Продукт(Переменная("x"),Применить( Функция ("грех"), Переменная ("х"))))
На данный момент мы написали несколько функций Python, которые выполняют за нас алгебру , а не только арифметику. Этот вид моделирования выражений называется символическим программированием или, точнее, компьютерной алгеброй . Есть много забавных приложений, и вы можете узнать о них больше в книге.
Если вы хотите узнать больше об этой книге, ознакомьтесь с ней в нашей браузерной программе для чтения liveBook здесь.
Цели
по алгебре I — проект Connected Mathematics
Цели по алгебре I — проект Connected Mathematics Переключить инструменты специальных возможностей
Домой
Математика
Математические цели по единицам
Алгебра I Цели
Думая математическими моделями
Линейные и нелинейные отношения:
Распознавание и моделирование закономерностей в двумерных данных.
Представление шаблонов данных с помощью графиков, таблиц, словесных описаний и алгебраических выражений
Исследовать природу линейных функций в контекстах
Используйте математические модели, чтобы ответить на вопросы о линейных отношениях
Запись линейных функций на основе вербальной, числовой или графической информации
Анализ и решение линейных уравнений
Модели ситуаций с неравенствами, выраженными как ситуации «максимум» и «минимум»
Исследовать природу обратного изменения в контекстах
Используйте математические модели, чтобы ответить на вопросы об отношениях обратной вариации
Сравните отношения обратной вариации с линейными отношениями
Анализ данных:
Измерение вариаций данных и силы связи в двумерных данных.
Использование данных для прогнозирования
Подгонка линии к данным, показывающим линейный тренд, и измерение близости соответствия
Анализ графиков рассеяния двумерных данных для определения силы линейной связи между двумя переменными
Неформальное использование коэффициентов корреляции для описания силы линейной связи, иллюстрируемой диаграммами рассеяния
Использование стандартного отклонения для измерения изменчивости одномерных распределений
Различать категориальные и числовые переменные
Используйте двусторонние таблицы и анализ частот ячеек и относительных частот, чтобы решить, связаны ли две переменные
В поисках Пифагора
Теорема Пифагора:
Понимать и применять теорему Пифагора.
Разработка стратегий нахождения расстояния между двумя точками на координатной сетке
Объясните доказательство теоремы Пифагора
Используйте теорему Пифагора и ее обращение для решения множества задач
Используйте теорему Пифагора, чтобы найти уравнение окружности с центром, расположенным в начале координат
Действительные числа:
Поймите, что множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
Интерпретация квадратных и кубических корней чисел с использованием соответствующих геометрических представлений
Отношение площади квадрата к длине стороны квадрата
Оценка значений квадратных корней
Оценка значений кубических корней
Соотнесите объем куба с длиной ребра куба
Сравнить числа, которые могут быть представлены в виде дробей (рациональные числа), с числами, которые не могут быть представлены в виде дробей (иррациональные числа), и признать, что множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел
Представление рациональных чисел в виде дробей и конечных десятичных дробей или повторяющихся десятичных дробей
Признать, что иррациональные числа не могут быть представлены в виде дробей и являются непрерывающимися, неповторяющимися десятичными числами
Признать, что квадратный корень из целого числа, не являющегося квадратом, иррационален
Найдите иррациональные числа в числовой строке
Использовать и понимать свойства рациональных и иррациональных чисел
Растет, Растет, Растет
Экспоненциальные функции:
Исследуйте проблемные ситуации, в которых две или более переменных имеют экспоненциальную связь друг с другом.
Определение ситуаций, которые можно смоделировать с помощью экспоненциальной функции
Определить характер изменения (коэффициент роста/убывания) между двумя переменными, представляющими экспоненциальную функцию в ситуации, таблице, графике или уравнении
Представление экспоненциальной функции с помощью таблицы, графика или уравнения
Установите связи между моделями изменения в таблице, графике и уравнении экспоненциальной функции
Сравните скорость роста/убывания и коэффициент роста/убывания экспоненциальной функции и узнайте, какую роль каждый из них играет в экспоненциальной ситуации
Определите коэффициент роста/убывания и начальное значение в проблемных ситуациях, таблицах, графиках и уравнениях, представляющих экспоненциальные функции
Определите, представляет ли экспоненциальная функция закономерность роста (возрастания) или затухания (убывания) из уравнения, таблицы или графика, представляющего экспоненциальную функцию
Определение значений независимых и зависимых переменных из таблицы, графика или уравнения экспоненциальной функции
Использование экспоненциального уравнения для описания графика и таблицы экспоненциальной функции
Предсказать точку пересечения оси Y из уравнения, графика или таблицы, представляющей экспоненциальную функцию
Интерпретировать информацию, которую представляет точка пересечения по оси Y экспоненциальной функции
Определить влияние фактора роста и начального значения экспоненциальной функции на график функции
Решайте задачи об экспоненциальном росте и убывании из различных предметных областей, включая науку и бизнес, с помощью уравнения, таблицы или графика
Обратите внимание, что одно экспоненциальное уравнение может моделировать разные контексты
Сравнение экспоненциальной и линейной функций
Эквивалентность:
Развивать понимание эквивалентных экспоненциальных выражений.
Запись и интерпретация экспоненциальных выражений, представляющих зависимую переменную в экспоненциальной функции
Разработайте правила работы с рациональными показателями и объясните, почему они работают
Запись, интерпретация и работа с числовыми выражениями в экспоненциальном представлении
Напишите и интерпретируйте эквивалентные выражения, используя правила для показателей и операций
Решать задачи, связанные с показателями степени, включая экспоненциальное представление
Лягушки, блохи и окрашенные кубики
Квадратичные функции:
Исследуйте проблемные ситуации, в которых две переменные находятся в квадратичной зависимости.
Определение ситуаций, которые можно смоделировать квадратичными функциями
Определить закономерность изменения двух переменных, представляющих квадратичную функцию в ситуации, таблице, графике или уравнении
Определение значений независимых и зависимых переменных в квадратичной функции из таблицы, графика или уравнения
Представление квадратичной функции с помощью таблицы, графика и уравнения
Установите связь между уравнением квадратичной функции, ее графиком и закономерностями изменения в ее таблице
Использовать квадратное уравнение для описания характеристик его графика и таблицы
Определить, будет ли квадратичная функция иметь максимальную или минимальную точку, и предсказать максимальную или минимальную точку из уравнения, графика или таблицы
Предсказать x — и y -отрезков из уравнения, графика или таблицы квадратичной функции
Предсказать линию симметрии по уравнению, графику или таблице квадратичной функции
Интерпретировать информацию о том, что точки пересечения x и y , а также максимальная или минимальная точка представляют
Используйте уравнение, график и таблицу для решения задач, связанных с квадратичными отношениями
Обратите внимание, что одно квадратное уравнение может моделировать разные контексты
Сравните линейные, квадратичные и экспоненциальные функции
Эквивалентность:
Развивать понимание эквивалентных квадратных выражений.
Написать и интерпретировать квадратное выражение для представления зависимой переменной в квадратичной функции
Используйте площадную модель для понимания Распределительного свойства
Использовать Распределительное Свойство для записи эквивалентных квадратных выражений в расширенной или факторизованной форме
Выберите и интерпретируйте соответствующее эквивалентное квадратичное выражение (в факторизованной или расширенной форме) для предсказания точек пересечения x и y , максимальной или минимальной точки и линии симметрии для графика квадратичной функции
Бабочки, вертушки и обои
Преобразования:
Описать типы преобразований, которые связывают точки движениями отражений, вращений и перемещений; и методы идентификации и создания симметричных плоских фигур.
Распознавание свойств преобразования отражения, вращения и перемещения
Изучение методов использования жестких преобразований движения для создания симметричных конструкций
Использование правил координат для базовых преобразований жесткого движения
Конгруэнтность и сходство:
Понимать конгруэнтность и сходство и изучать необходимые и достаточные условия для установления конгруэнтных и подобных фигур.
Признать, что две фигуры конгруэнтны, если одна получена из другой посредством последовательности преобразований отражения, поворота и/или переноса
Признать, что две фигуры подобны, если одна может быть получена из другой с помощью последовательности отражений, поворотов, перемещений и/или расширений
Используйте преобразования для описания последовательности, демонстрирующей соответствие между цифрами
Использование преобразований для изучения минимальных условий измерения для установления конгруэнтности треугольников
Использование преобразований для изучения минимальных условий измерения для установления подобия треугольников
Свяжите свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущими, и сумму углов любого треугольника со свойствами преобразований
Использование свойств конгруэнтных и подобных треугольников для решения задач о формах и измерениях
Скажи это символами
Эквивалентность:
Развитие понимания эквивалентных выражений и уравнений.
Модели ситуаций с символическими операторами
Распознавать, когда два или более символических оператора представляют один и тот же контекст
Используйте свойства действительных чисел, например. распределительное свойство для записи эквивалентных выражений
Определить, являются ли математически эквивалентными различные символьные выражения
Интерпретировать информационные эквивалентные выражения, представленные в данном контексте
Определите, какое эквивалентное выражение или уравнение следует использовать для ответа на конкретные вопросы или принятия решений
Описать связь между объемами цилиндров, конусов и сфер, имеющих одинаковую высоту и радиус, с помощью алгебраических уравнений
Решение линейных уравнений с использованием скобок
Определить, имеет ли уравнение конечное число, бесконечное число или отсутствие решений
Развить понимание и некоторую беглость при факторизации квадратных выражений;
Решение квадратных уравнений путем факторизации
Знать, как и когда использовать символы для отображения отношений, обобщений и доказательств
Функции:
Развитие понимания конкретных функций, таких как линейные, экспоненциальные и квадратичные функции.
Развивать умение идентифицировать и представлять отношения, выраженные в контексте проблемы с соответствующими функциями, и использовать эти отношения для решения проблемы
Анализ уравнений для определения моделей изменений в таблицах и графиках, которые представляет уравнение
Связать части символического оператора или выражения с основными свойствами отношения и с контекстом проблемы
Определить характеристики графика (пересечения, максимумы и минимумы, форма и т. д.).) уравнения, глядя на его символическое представление
Это в системе
Линейные уравнения:
Развитие понимания линейных уравнений и систем линейных уравнений.
Распознать линейные уравнения с двумя переменными в стандартной форме, Ax + By = C
Знайте, что линейное уравнение вида Ax + By = C имеет бесконечно много решений ( x , y ), и график этих решений всегда представляет собой прямую линию
Признать, что форма линейных уравнений Ax + By = C эквивалентна форме y = m x + b для линейных уравнений
Продолжать развивать навыки решения линейного уравнения с двумя переменными графическим и алгебраическим методами.
Осознайте, что решение системы линейных уравнений — это нахождение значений переменных, которые одновременно удовлетворяют всем уравнениям в системе.
Развитие навыков решения систем линейных уравнений графическими и алгебраическими методами, в частности:
Графические решения отдельных уравнений
Запись уравнений системы в эквивалентной форме y = m x + b ;
Использование линейных комбинаций уравнений системы для исключения одной переменной
Признать, что системы линейных уравнений в форме может иметь
ровно одно решение, представленное точкой (точками) пересечения линий, представленных уравнениями;
бесконечно много решений, представленных одной линией, представляющей каждое уравнение; или
нет решений, представленных двумя параллельными линиями
Стратегический выбор графических и символьных методов для использования в конкретной системе линейных уравнений
Научитесь свободно обращаться с символами при решении систем линейных уравнений
Решить простую систему, состоящую из линейного уравнения и квадратного уравнения с двумя переменными символьно и графически
Решение задач, связанных с системами линейных уравнений
Линейные неравенства:
Развивать понимание графических и символьных методов решения линейных неравенств с одной и двумя переменными.
Распознавать различия между строгим < и включительно ≤ неравенством
Продолжать развивать навыки решения линейного неравенства с двумя переменными графическим и алгебраическим методами.
Формировать умение решать системы линейных неравенств графическими и символьными методами, а именно:
Графическое решение каждого отдельного неравенства и нахождение области допустимых точек, удовлетворяющих обоим неравенствам
Решение неравенств для поиска пар чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам
Стратегически выбирать среди графических и символических методов, которые следует использовать для конкретной системы линейных неравенств
Решение задач, связанных с линейными неравенствами или системами линейных неравенств
Функциональное соединение
Функции:
Функция понимания.
Описать домен и диапазон функций
Используйте нотацию f ( x ) для описания и работы с функциями
Построение обратных функций
Анализ скорости изменения функции с использованием графиков
Определить контексты и графики ступенчатых и кусочно определенных функций
Анализ полиномиальных функций и их графиков
Выявление, анализ и решение задач, связанных с арифметическими и геометрическими последовательностями
Сравнение арифметических и геометрических последовательностей с линейными и экспоненциальными функциями
Распознавать и решать проблемы, используя специальные виды функций
Эквивалентность:
Понимать эквивалентность алгебраических выражений и функций.
Соединить выражения для функций, графики которых связаны переносом и/или растяжением
Разработать и использовать вершинную форму для построения графика квадратичных функций и решения квадратных уравнений
Соединение полиномиальных выражений и графиков полиномиальных функций, которые они определяют, для определения максимальных/минимальных точек, точек пересечения и решений уравнений
Используйте завершение квадрата для записи квадратичных уравнений в форме эквивалентных вершин Разработайте квадратную формулу для решения уравнений
Разработка комплексных чисел и операций
Разработка алгоритмов сложения, вычитания и умножения многочленов
.