Содержание

Сокращение Алгебраических дробей

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:


Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.


Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

 
  1. Определите общий множитель.

  2. Сократите коэффициенты.

  3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:


Пример сокращения дроби со степенями и буквами:


  1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2

  2. Всегда делим на наименьшее значение в степени

  3. Вычитаем: 3 — 1
 

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя ✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.


Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

  2. Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.


Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

  2. b3 и b делим на b.

  3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

 

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

  • сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
  • сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
❌ Так нельзя ✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.


Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:


Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).


Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

 
  1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

  2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

  3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

  4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.


Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.


Как решаем:

 
  1. Выносим общий множитель 6

  2. Делим 42/6

  3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.
 

Пример 2.


Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности
(a-b)2 = a2 — 2ab — b2
Разность квадратов a2 – b2 = (a – b)(a+b)
Куб суммы (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности (a-b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)(a2— ab+b2)
Разность кубов a3 — b3 = (a — b)(a2+ ab+b2)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:


Применяем формулу квадрата разности (a-b)2 = a2 — 2ab — b2 и сокращаем одинаковые многочлены.


Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:


Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

  • Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
  • Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
  • Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
  • Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
  • Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
  • Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
  • Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно — Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Урок 8. основное свойство дроби. сокращение дробей — Алгебра — 8 класс

Тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби при этом не изменится

a/b = ac/bc,


где a, b, c – натуральные числа
Основное свойство дроби выполняется не только для натуральных, но и для любых значений переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю

a/b = ac/bc,


где a, b, c – любые числа,
b ≠ 0, c ≠ 0.
Рассмотрим пример: 1/5 . Умножим числитель и знаменатель дроби на отрицательное число

(1 • (-2))/(5 • (-2)) = (- 2)/(-10) = 2/10


Равенство верно и в том случае, если на месте переменных в формуле основного свойства дроби находятся многочлены, причём в знаменателе должны быть – ненулевые многочлены

a/b = ac/bc,


где
a, b, c – многочлены,
b и c – ненулевые многочлены.

Основное свойство рациональной дроби:


если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Пример
(x + 1)/(x — 4)
умножим данную в условии дробь на один и тот же многочлен
(x + 1)/(x — 4) = ((x + 1)(x — 2))/((x — 4)(x — 2)) — верно для всех x, кроме x = 2 и x = 4
Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных.
На практике основное свойство рациональной дроби полезно в следующих случаях:
— для приведения рациональных дробей к новому знаменателю;
— для сокращения рациональных дробей.
Пример 1.
Требуется привести дробь (x)/(2y) к знаменателю 6y2
Решение:
Исходную дробь умножим на дополнительный множитель

(x • 3y)/(2y • 3y)=(3yx)/(6y2)


ОТВЕТ. Получена дробь, равная исходной и имеющая заданный знаменатель.
Пример 2.
Найти значение дроби (x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) при x = 17

(x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x

+ 4) =
= x — 2


ОТВЕТ. Значение заданной дроби при x = 17 равно 15.
Пример 3.
Построить график функции y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x)

y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x) =
= (x(x2 — 9))/(x(x + 3)) =
= (x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
=(x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
= x — 3


Получено уравнение линейной функции.
Графиком такой функции является прямая, проходящая через точки с координатами (3; 0) и (0; -3).
(x3 — 9x)/(x2 + 3x) = x – 3 верно для всех допустимых значений переменных, то есть для всех x, кроме x = 0 и x = — 3

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.


Сокращение дробей. Алгебра 8 класс. ИДЗ 2 ЗАДАНИЕ 5

Просмотр содержимого документа
«Сокращение дробей. Алгебра 8 класс. ИДЗ 2 ЗАДАНИЕ 5»

8 класс Алгебра ИДЗ 2 Задание 5

Вариант 1

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 3

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 4

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 5

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 6

Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

Вариант 7

Сократите дробь: а) в)

Вариант 8

Сократите дробь: а) в)

Вариант 9

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 10

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 11

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 12

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 13

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 14

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 15

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 16

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 17

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 18

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 19

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 20

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 21

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 22

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 23

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 24

Сократите дробь: а) б) в)

Вариант 25

Сократите дробь: а) б) в)

сокращение рациональных дробей 8 класс

На тему: «Рациональные дроби. Сокращение дробей»

Ход занятия

  1. Организационный момент

Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учеников к занятию, организация внимания, формулирование правил работы на уроке:

Учитель: Здравствуйте ребята! Напомним правила работы на уроке:

1 правило: не выкрикивать, не перебивать и слушать друг друга;

2 правило: выполнив задание, подними руку и дождись когда тебя спросят;

3 правило: быть активными и помогать друг другу.

  1. Постановка цели и задач урока

(Слайд1)

Учитель: Как сказал французский писатель и литературный критик Анатоль Франс: «Учиться можно весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

(Слайд 2)

С этим девизом мы и начнем урок! Выполним устно задание и соберем «Математический пазл».

(Слайд 3)

Для этого нам необходимо устно найти значение выражения и открыть соответствующую часть картинки.

Учащиеся устно выполняют вычисления, сообщают свои ответы учителю. Результатом выполнения этого задания станет красочная подсказка на интерактивной доске, с помощью которой учащиеся формулируют тему, цель и задачи урока.

Учитель: Как вы думаете, что это? А какая цель урока?

Учитель: Математику не зря называют «царицей наук», ей больше, чем какой — либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств всех математиков – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Вы уже знакомы с рациональными дробями и умеете с ними работать. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете, а я вам в этом помогу.

  1. Оперирование знаниями и способами деятельности в стандартных и нестандартных ситуациях

  1. Работа с интерактивными моделями

Для начала вспомним, какую дробь называют рациональной? Приведите пример. Что означает, сократить дробь? Что необходимо сделать, чтобы сократить дробь? А какие способы разложения на множители вы знаете?

Применим на практике все правила, которые вы только что озвучили. Для этого обратимся к планшетам. В электронном учебнике перейдем в каталог, в содержании выберем первый параграф и перейдем в интерактивные модели «Сократи дробь и расшифруй слово».

Кто готов продемонстрировать свои результаты? Какое слово было зашифровано? Все познакомились со значением этого слова? Молодцы!

  1. Работа в парах

Ребята, а что мы свами делаем каждый день, перед тем как начать урок? Правильно, мы здороваемся друг с другом. А вы знаете, что здороваться, как и «Здравия желаю» , повелось с древних времен и считалось жестом уважения при приветствии. Выражение произошло от слова «здравствовать» — быть здоровым, благополучно существовать. Речевое приветствие «Здравствуйте» является повелительной формой глагола, которая сформировалась к концу 17 века из описательных оборотов, типа «повелеваю тебе здравствовати» , «здравия тебе желаю» и т. д. «Здравствуйте же многие лета» – находили же в рукописи 1057 года, это самое древнее дошедшее до нас пожелание нашего предка.

Наиболее распространенное приветствие в русском языке – «здравствуйте», в английском … , в немецком …

Работая в парах, выполните умножение на карточках. Используя найденные ответы и данные таблицы, узнайте, как это приветствие звучит на других языках.

Оставшийся ответ соответствует арабскому языку.

  1. Индивидуальная работа (тестовые задания)

Сегодня на уроке вы повторили понятие рациональной дроби, закрепили навыки разложения на множители и сокращения дробей. А теперь пришло время оценить ваши знания. И помогут нам в это наши планшеты. Я попрошу вас перейти в раздел контроль, выбрать тест «Сокращение дробей» и приступить к его выполнению. По завершению работы заполните карточку «Результаты теста», которая лежит у каждого на столе.

  1. Формулирование и разъяснение домашнего задания

Математика – удивительная наука. Изучать математику можно весело! Вот и домашнее задание я подготовила необычным и интересным. На ваших столах лежит материал с тремя заданиями. Ваша задача выполнить одно задание по выбору, пользуясь инструкцией, раздобыть интересную информацию и познакомить нас с ней на следующем уроке.

  1. Рефлексия

А в завершении урока, я попрошу вас заполнить рефлексионную карту следующим образом: напротив каждого понятия поставьте знак «+», если вам данное понятие сегодня было хорошо известно, «!» — данное понятие необходимо повторить, «-» — мне не известно это понятие, я буду его изучать.

Мне было очень приятно с вами работать, вы молодцы! Спасибо за урок!

Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Вы уже знакомы с основным свойством дроби. Давайте вспомним его:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится.

Иначе говоря, при любых a, b и c верны равенства

Хотелось бы сразу уточнить, что деление числителя и знаменателя на одно и то же число называется сокращением дроби.

Равенство,  справедливо и не только при натуральных, но и при любых значениях переменных a, b и c при которых знаменатель не равен нулю.

Рациональные дроби  тоже можно преобразовывать таким же образом.

Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.

Основное свойство рациональной дроби сводится к тому, что:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например

 

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной. Такие равенства называют тождествами.

Определение:

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Равенство

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители.

Задание

Сократить дробь.

Решение:

Задание

Привести дробь к указанному знаменателю.

Решение:

Итоги:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Как репетитор по математике оптимизирует задания на дроби

Несмотря на удаленность выпускных экзаменов ЕГЭ, ГИА, сентябрь – очень сложный и ответственный месяц. Обычно репетитор по математике набирает в сентябре какое-то количество новых учеников и приходится в экстренном порядке догонять, повторять или вообще учить с нуля. Сложная работа. Такие ученики приносят репетитору, как правило, целый букет самых разных проблем, требующих незамедлительного решения. Типичный случай: 7 класс полностью или частично провален, а то немногое, что было усвоено, почти полностью стерлось из памяти за лето. Но текущие отметки нужны. Что делать? Какую методику выбирает репетитор по математике для сентябрьской работы с не самым сильным восьмиклассником? Остановимся на алгебре и теме «сокращение дробей» (8 класс).

Конечно, навыки преобразования дробей за один урок не получить. Тем более если формулы сокращенного умножения не очень хорошо усвоены в 7 классе (или забыты). Рассмотрим именно такой случай. С каких заданий репетитору начинать? Многие преподаватели советуют на время оставить в покое 8 класс всецело посвятить уроки 7 классу. Безусловно, это нужно сделать, но возникает проблема острой нехватки времени. Как она может быть решена толковым репетитором математики? Наибольший расход часов имеет практика решения примеров на раскрытие скобок и разложение многочленов на множители. Причем большую его часть репетитор и ученик тратят на оформление, на письмо. Сил тоже уходит немало.

Возникает вопрос: «Как минимизировать временные затраты и оптимально быстро повторить 7 класс внутри текущего материала за 8 класс?».

В определенный момент работы со своим подопечным репетитор по математике с успехом может применить методику интегрированных заданий: несколько в одном. Что предлагают учебники по теме «сокращение дробей»? Однотипные конструкции, в которых нужно создавать скобки, а не раскрывать. Например, сократите:

Репетитор по математике, идущий по такому стандарту, с должной методической направленностью тренирует умение работать с многочленами «в одну сторону». А именно умение разложить их на множители. Я всегда говорил, что практически любое упражнение можно оптимизировать под те или иные цели. Так и здесь. Если репетитор поставит вместо числителя выражение , а вместо знаменателя выражение , то одним выстрелом убьет двух зайцев. Полученная дробь окажется ценной не только для тренировки умения создавать и сокращать скобки, но и раскрывать их в разных типовых комбинациях. На дополнительных скобках репетитор математике оптимизирует дробь для широкомасштабного повторения:

Как репетитор по математике провоцирует ошибку?

Один из способов научить ребенка не допускать те или иные ошибки — создать благоприятные условия для их возникновения. Иными словами провоцировать их. Как? Репетитор по математике находит некие комбинации действий и объектов, которые максимально приближены к стандартам выполнения тех или иных операций. Ищутся и вносятся изменения в кажущиеся ученику «мелочи», маскирующие ошибку. Если в предыдущем примере репетитор по математике вместо различных поставит одинаковые скобки, то в половине случаев вызовет у ученика желание их сократить:

Достаточно редкое и уникальное задание. Нелегко подобрать числитель со знаменателем, с равными скобками, с разными способами их раскрытия, да еще и так, чтобы на финальной стадии решения дробь сокращалась!!!! Пользуйтесь!

Надо понимать, что методика оптимизированного сокращения ориентирована на ученика определенного вида. Репетитор должен чувствовать, кому из подопечных можно предлагать такие условия, а кому они противопоказаны. Если у ребенка слабая моторика, он застревает в преобразующих операциях внутри числителя и знаменателя уже на старте, путается, забывает вернуться к главной части алгоритма, медленно думает и медленно пишет, то репетитору математики придется отказаться от приема вовсе или уменьшить количество скобок.

Если скорость более-менее нормальная, то эффект от выполнения такого рода задач окажется фантастическим. Причина в том, что обращение к целой группе навыков репетитор по математике осуществляет на минимальном суммарном объеме записей. Для того, чтобы охватить еще больше операций в одном примере, можно дополнительно оптимизировать знаменатель. Заметьте, что выражение разложимо на скобки (x+7)(x-3) Тогда помимо формульного раскрытия репетитор напомнит про метод «фонтанчика». Увлекаться оптимизацией не стоит, ибо встает та же проблема увеличения количества производимых операций. Ученик может просто в них утонуть.

Для снижения вероятности попасть в клубок длинного алгоритма репетитору по математике придется следить за тем, чтобы объекты (дроби) аккуратно располагались друг под другом на листе бумаги и не разрывались переносами с одной строчки на другую. решать оптимизированные номера на паузах. Только не МХАТовских. Их репетитор по математике заполняет напоминаниями о том, что именно сделано учеником, а что именно нужно сделать после сделанного.

Очень важно, какими словами репетитор описывает этапы длинного алгоритма. Главное не спускаться на описание отдельных компонентов и действий. Только глобальные фразы типа: «мы раскрыли скобки», «теперь соберем подобные слагаемые», «Собрали? Разложим числитель на множители». Кстати, фраза «соберем подобные слагаемые» более точно отражает происходящие, чем «приведем подобные слагаемые». Была бы моя воля – переписал бы все учебники.

Александр Николаевич, репетитор по математике — Москва. Автор заданий..

8 класс Алгебра. Тема «Рациональные дроби»

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

ISBN К 22.14я721 ISBN

ДК 373:512 К 22.14721 49 49 аа, аьяа Маа.. 7 9 /.М.. М : Э, 2018. 128. (. ). ISBN 978-5-04-093533-8, 7 9-. П ё -. П,. П 7 9-,, -. ДК 373:512 К 22.14я721 ISBN 978-5-04-093533-8 аа.м., 2018 О. ООО «Иаь «Э»,

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

КАЛЕНДАРНО — ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

КАЛЕНДАРНО — ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ урока тема урока 1 Повторение за курс 6 класса. Решение 2 Повторение за курс 6 класса. Положительные и отрицательные числа. 3 Повторение за курс 6 класса. Пропорции.

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Образовательный минимум по алгебре

Приложение 2 Тема: Алгебраические выражения Образовательный минимум по алгебре Порядок выполнения арифметических действий Сложение и вычитание — действия первой ступени Умножение и деление — действия второй

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 класса

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7 класса Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 класса разна на основе Примерной программы основного общего образования (базовый уровень)

Подробнее

Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА МАЛЫЙ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Методическая разработка для учащихся 8 и 9 классов заочного отделения МОСКВА

Подробнее

Итоговый тест по алгебре 7 класс

Итоговый тест по алгебре 7 класс Вариант 1 Базовый уровень А1. Найдите значение выражения: 7,8 6,3+7,8 13,7 1)156 2)78 3)-78 4) 146. А2. Решите уравнение: 5у-3,5=2у+5,5 1)5. 2)-3. 3) 3. 4) 4. А3. Упростите

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

Учебник: Алгебра (Дорофеев Г.В.) гг.

Класс 9.3.1, 9.3.2 (база) Учебник: Алгебра (Дорофеев Г.В.) 2018-2019 гг. Тема модуля: «Уравнения и системы уравнений» Основные теоретические сведения, необходимые для успешного выполнения теста: 1. Понятие

Подробнее

3x x 2 + x = 0.

4.. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений. В предыдущем пункте метод замены переменной был использован для разложения многочлена на множители. Данный метод широко применяется для

Подробнее

Тригонометрические уравнения

И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Тематическое планирование

Количество часов Наименование разделов и тем Тематическое планирование Планируемые образовательные результаты 1 Линейное уравнение с одной переменной 2 Целые выражения 15 Распознавать числовые выражения

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Рабочая программа по алгебре в 7 классе разработана на основе Примерной программы основного общего образования по математике, по учебнику алгебра автора А.Г. Мордкович, с учѐтом

Подробнее

Примеры и комментарии

72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ АЛГЕБРА 7 КЛАСС К учебнику Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Всего 102 часа (3 часа в неделю) урока Тема урока 1. Числовые выражения Колво часо

Подробнее

11 супер забавных заданий для упрощения дробей

Ученики должны упростить дроби с 3-го класса. Они просто продолжают появляться снова и снова. Некоторые темы появляются один или два раза, а затем исчезают, но это не относится к упрощенным дробям. Я помню один конкретный момент с упрощающими дробями, который действительно запомнил меня. Я работал с 8-м классом лаборатории математики, и когда они решали уравнения, им приходилось упрощать ответ. Они завершили этот очень сложный процесс, а когда дошли до него, они не помнили, как упростить дробь.Я немного расстроился и сказал одному ученику: «Почему ты продолжаешь изучать этот навык снова и снова? Почему ты не понимаешь, как это запомнить? » Возможно, это не лучший подход, но я был справедливо озадачен. Итак, сегодняшняя статья посвящена упрощению дробей с помощью одиннадцати увлекательных заданий, которые дадут студентам много практики и, надеюсь, помогут закрепиться навсегда!

Многие студенты испытывают недостаток эффективности в обучении. Концепции не закрепляются в их сознании.Упрощающие дроби необходимо закрепить, иначе студентам придется учить его десятки раз. Для того, чтобы процесс цементирования произошел, студентам необходимо много практиковаться в течение довольно продолжительного периода времени. Я подготовил набор заданий, которые могут помочь учащимся на начальных этапах обучения или спустя годы помочь ученикам запомнить упрощенные дроби.

Перечень действий упрощающих дробей:

Лабиринт

Раскраска

Игра на выбывание

Домино с упрощенными дробями

Флипчарт, 6 вопросов

Skittles Fractions

Номер Rock Video

Пак-Ман

Футбольный онлайн-матч

Катапульта

Викторина

Погрузимся в

Давайте посмотрим, какие занятия и как они могут работать в вашем классе.Каждое задание работает для разных частей урока. Некоторые из них идеально подходят для начала урока, а другие — для повторения. Ознакомьтесь с ними и посмотрите, как эти занятия лучше всего подойдут для ваших учеников в классе.

Отзывы о математических лабиринтах, которые я получаю на протяжении многих лет, были очень положительными. Студенты очень положительно на них реагируют. На самом деле кажется, что они не осознают, сколько практики они получают, когда проходят лабиринт. Я использую лабиринты как способ начать каждое занятие, а затем ученики приходят и проверяют их вместе со мной.Если у них есть ошибка, они возвращаются на свое место и исправляют ее. Это дает мне возможность общаться с каждым учеником каждый день.

Этот набор лабиринтов представляет собой набор из 3 лабиринтов, в которых учащиеся будут упрощать дроби и выбирать правильный путь. Я использую его со своими учениками в классе математической лаборатории в 7 и 8 классах, а также со студентами специального образования. Это работает и для других классов. Это легкий способ заставить студентов практиковаться.

Если вы хотите испытать бесплатный упрощающий лабиринт дробей сегодня, вам следует полностью присоединиться к клубу «Лабиринт месяца».Как только вы подтвердите свой адрес электронной почты, вы получите упрощенный лабиринт дробей, отправленный прямо на ваш почтовый ящик. Затем, как участник Лабиринта месяца, вы будете получать БЕСПЛАТНЫЙ новый математический лабиринт, который будет отправляться вам каждый месяц прямо на почту, а также простые в использовании советы и идеи, которые помогут сделать математическое время незабываемым. Надеюсь увидеть тебя там!

Да, хочу! Запишитесь в клуб «Лабиринт месяца»!

Не могу дождаться встречи с вами там.

Раскраски дают учащимся небольшой отдых и могут побудить их к работе.Я стараюсь сделать так, чтобы картинки не были слишком большими и они просто раскрашивали несколько минут. Некоторые из моих учеников очень положительно отзываются об этом виде деятельности, и мне приятно, что я могу найти занятия для всех типов учеников.

В этом упражнении по раскраске для упрощения дробей учащиеся раскрашивают 20 вопросов и две картинки. Он оформлен на тему динозавров и очень причудлив. Это просто еще одна возможность показать студентам, что математика не обязательно должна быть утомительным занятием.

Когда вам нужно провести обзор со всем классом, лучше всего подойдет игра на выбывание. В нем учащиеся ответят на 16 вопросов, и вы сможете узнать, что они знают. Я всегда играю в эту игру с индивидуальными досками, чтобы каждый ученик показывал работу и свои ответы. Самое интересное в этой игре заключается в том, что студенты получают баллы, а также есть бонусы, которые можно зарабатывать по пути. Буквально на этой неделе, когда я спросил своих учеников, какое их любимое занятие в моем классе, несколько учеников сказали, что им больше всего нравятся игры на выбывание.

Иногда я захожу в кладовку математических манипуляторов в школе и вижу домино, стоящее на полке. Кто знает, когда они были куплены и с какой целью. Но потом я вижу подобные занятия из Runde’s Room, и мне не терпится использовать эти одинокие домино. В этом посте она показывает идеи использования домино для упрощения и сравнения дробей (вам нужно немного прокрутить страницу вниз, чтобы добраться туда). Какая прекрасная возможность сыграть в домино в увлекательной игровой форме! Детям нравится играть в домино.

Когда я думаю о том, как работает математика, мне кажется, что это серия вопросов.Но учащиеся, испытывающие трудности с математикой, часто не знают, какие вопросы задавать. Эта серия вопросов помогает студентам понять, что им нужно знать, когда они упрощают дроби. Мне нравится, как автор формулирует вопросы, и если ученики смогут задавать эти типы самостоятельно, они добьются гораздо большего успеха. Вы также можете бесплатно загрузить якорную диаграмму или флип-книгу в этом сообщении в блоге. Проверить это.

Каждый день, когда я забираю двух своих маленьких мальчиков из детского сада, они идут за стойку регистрации и просят конфетку кегельбан.Просить эту маленькую конфету каждый день было здорово для обоих моих мальчиков. У одного из них задержка речи, а у другого — довольно застенчивый, так что это отличный способ попрактиковаться в том, чтобы о чем-то просить и благодарить. Судя по всему, Skittles можно использовать по-разному. Один из них — даже помочь студентам попрактиковаться в сокращении дробей. Это упражнение на фракции Skittles из Teaching with a Mountain View отлично работает в качестве упреждающего набора. Вам просто понадобится небольшая пачка кеглей на ребенка и этот бесплатный рабочий лист.Это упражнение также работает с другими типами конфет, если вы не фанат Skittles. Или, если вы не хотите использовать конфеты, вы можете проделать то же самое с счетчиками динозавров или цветными ластиками. Варианты бесконечны, ну, в разумных пределах бесконечны.

Музыка может помогать людям запоминать вещи. Видео, подобные этому, могут помочь студентам запомнить процесс, если они слушают музыку снова и снова. Вы можете проигрывать песню, когда ученики входят в комнату или когда они работают. Чем больше они это слышат, тем лучше они это запомнят.Студенты любят музыку. И всякий раз, когда музыка может показаться дрянной, я просто владею сыром и хожу с ним. Я понял, что гораздо веселее, когда не относишься к себе слишком серьезно.

Когда я был ребенком, я любил Pac-Man. Преследовать призраков и пытаться очистить доску было весело и тогда, и сейчас. В этой версии игры от Sheppard Software на призраках есть фракции, и вы должны съесть нужное привидение в нужное время. Мне нравится, когда вы можете найти такие занятия, когда ученики просто хотят играть в них снова и снова.Они много попрактиковались в концепции и в то же время развлекались.

Одной из приятных особенностей этой упрощающей онлайн-игры в футбол на дроби является то, что ученики могут играть друг против друга. Иногда мне нравится устраивать дружеские соревнования. Эта игра дает детям несколько упрощающих задач, а затем они пытаются забить гол. Какое идеальное занятие для быстрых финишеров или в качестве центрового. ЦЕЛЬ!!!!!!

Благодаря природе этой концепции упрощения дробей, вы можете найти широкий спектр бесплатных онлайн-игр, в которые можно поиграть.Эта игра с дробями катапульты от Fractions4Kids похожа на другие, которыми я поделился выше, и имеет привлекательную графику. Животные кидаются друг в друга вещами, на которые дети, кажется, любят смотреть. Студенты получают возможность попрактиковаться в упрощении дробей и одновременно сыграть в игру. Вы даже можете взять все три онлайн-игры, о которых я рассказал в этом посте, и устроить упрощенный турнир по дробям.

В своем классе я использовал Quizizz несколькими способами. Если вы не знакомы с Quizizz, это онлайн-игра-викторина, в которой учащиеся отвечают на вопросы и соревнуются друг с другом, как в Kahoot.Один из способов, который мне нравится использовать в качестве упражнения для студентов, чтобы пройти игру викторины после их разминки. Не все студенты заканчивают ее каждый день, но большинство студентов заканчивают ее, а функция отчетов в программе позволяет мне узнать, как они справляются. На платформе Quizizz есть много хороших отчетов, чтобы вы могли увидеть, как дела у класса по каждому вопросу и в целом. Кроме того, вы можете найти множество практических викторин, таких как этот упрощающий набор дробей, созданный другими учителями для ваших учеников.

Попробуй одно

В этом посте мы рассмотрели множество занятий. Некоторые из них могут работать в вашем классе лучше, чем другие. Моя задача — найти что-то новое, чтобы попробовать и посмотреть, как все пойдет. Студенты очень ценят вашу готовность пробовать новое. Не обязательно постоянно обновлять все, но некоторые новшества могут иметь большое значение. Имейте в виду, что ученикам нужно практиковать этот навык рано и часто. Им понадобится упростить дроби на долгие годы.

Большое спасибо за чтение. До скорого!

Математическая игра: упрощение дробей

Урок математики: упрощение дробей

На этом уроке учащиеся приведут дроби в простейшую форму. Они могут сделать это, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число (это называется общим множителем). Если хотя бы одно число в дроби является простым числом, дробь сокращена до самых простых выражений.

Большинство вопросов имеют графическое изображение, представляющее дробь.Студенты должны определить, какая дробь отображается, а затем переписать ее в простейшей форме. По остальным вопросам им будет предложено несколько дробей, и они должны будут выбрать, какая из них будет (или нет) уменьшена. Есть еще и набор словесных задач.

Хотя мы рассматриваем I Know It как веб-сайт с практическими занятиями по математике, учащиеся рассматривают его как занимательную (но сложную) математическую игру. В правой верхней части экрана есть счетчик очков. Когда они ответят правильно, мультипликационный персонаж танцует милый маленький танец.Если ученику нужна дополнительная помощь, он или она может нажать кнопку «подсказка» в левом нижнем углу. Если на вопрос дан неправильный ответ, на экране появится подробное объяснение.

Для учащихся, испытывающих трудности с чтением, или для учащихся ESL / ELL в правом верхнем углу есть значок динамика. Когда вы нажимаете на нее, вопрос читается вслух четким голосом.

Мы надеемся, что в нашей интерактивной игре учащимся будет интересно потренироваться в сокращении дробей. Попробуйте! И не забудьте просмотреть больше наших математических игр для 3-го класса.

Игра бесплатно вместо членства

Вы можете бесплатно пройти урок в области выше, однако вы можете быть ограничены только 25 вопросами. Чтобы получить доступ к уроку полностью, вам необходимо быть участником этого веб-сайта.

Участники могут создавать учетные записи учащихся, просматривать результаты выполненных уроков, изменять настройки урока и получать доступ к отчетам об успеваемости учащихся.

Когда учащиеся входят в систему со своими учетными записями, уровни успеваемости маскируются. Они просто увидят «Уровень A», «Уровень B», «Уровень C» и т. Д.В интерфейсе учащихся есть большие, легко читаемые значки, которые помогают учащимся легко находить свои задания.

Уровень

Мы классифицировали этот урок как урок уровня C, который может быть подходящим для 3, 4 или 5 классов.

Выравнивание общего ядра

3.NF.3
Число и операции: дроби
Учащиеся должны понимать, что дроби равны, если они представлены полосами с цифрами одинакового размера или если они расположены в одной точке числовой прямой.

Возможно, вас заинтересует…

Эквивалентные дроби (уровень C)
В этом упражнении учащиеся найдут эквивалентные дроби. Вопросы включают графические полосы с номерами, иллюстрации с разделенными фигурами, ленточные диаграммы, а также вопросы с отсутствующими числителями.

Неправильные дроби в смешанные числа (уровень D)
Неправильные дроби в смешанные числа
Попрактикуйтесь в преобразовании смешанных чисел в неправильные дроби. Существуют как стандартные числовые задачи, так и задачи со словами.

Поиск эквивалентных дробей и простейшей формы

Демонстрация

Просмотрите словарный запас и то, что учащиеся знают об эквивалентных дробях.Покажите модели эквивалентных дробей и объясните, что, хотя числители и знаменатели в дробях различаются, дроби представляют собой одно и то же количество, что означает, что они эквивалентны.

Используйте модели, чтобы показать дроби 1/2 и 2/4, или нарисуйте их для учащихся. Попросите учащихся указать, что они знают о дробях. Приведите их к выводу, что на чертеже 2/4 фигур вдвое больше, чем на чертеже 1/2, но они представляют такое же количество.

Проверьте, что числа, умноженные на единицу, равны одному и тому же числу.Попросите учащихся привести несколько примеров единицы в виде дроби, например: 3/3, 4/4, 2/2. Напишите 1/2 x 2/2 = 2/4 и покажите, что числитель и знаменатель удвоены, чтобы показать новую дробь. Объясните, что это еще один способ найти эквивалентные дроби.

Умножьте числитель и знаменатель на то же число, чтобы найти эквивалентную дробь. Или разделите числитель и знаменатель на одно и то же число. Важно записывать дроби как «сложенные», а не рядом. Это поможет ученикам при умножении и делении.

Покажите несколько примеров:

3/12 x 4/4 = 12/48
3/12 (знак деления) 3/3 = 1/4
Все эти дроби эквивалентны, потому что они называют одно и то же количество: 1 / 4

После нескольких примеров предложите учащимся придумать правило для этого принципа. Они должны быть в состоянии сказать вам, что если вы умножите или разделите числитель и знаменатель на одно и то же число, новая дробь будет эквивалентна исходной дроби. Единственный раз, когда это не сработает, — это если ученики умножат на ноль.

Объясните, что иногда дроби нужно переименовывать, чтобы с ними было легче работать. Подчеркните, что дроби по-прежнему будут равны или эквивалентны, но числитель и знаменатель будут отличаться от исходной дроби.

Чтобы упростить дроби, найдите общий множитель, который равномерно разделит числитель и знаменатель. Например, покажите студентам эту дробь: 12/18

Найдите множители числителя и знаменателя. Множители 12 равны 2, 3, 4 и 6.Множители 18 — это 2, 3, 6 и 9. Общие делители — 2, 3 и 6.

Чтобы упростить дробь, разделите на 6, так как 6 является наибольшим общим делителем. Покажите учащимся, как делить дробь: 12/18 (знак деления) 6/6 = 2/3

Объясните, что дробь имеет простейшую форму, если 1 является единственным общим делителем числителя и знаменателя. Попросите учащихся определить, является ли эта дробь простейшей формой.
2/3 — простейшая форма 12/18.

Чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения, объясните, что учащиеся могут делить на любой общий множитель, и продолжать до тех пор, пока он не станет наименьшим числом, или они могут разделить на наибольший общий множитель.Например, ученики могут разделить дробь 12/18 на 2/2, а затем разделить на 3/3, чтобы показать дробь в простейшей форме. Или студенты могут разделить 12/18 на 6/6 и показать дробь 2/3 за один шаг.

Обсудите значение слова эквивалент и то, что делает дроби эквивалентными. Попросите студентов написать в своих дневниках, как они могут найти эквивалентные дроби. Попросите их ответить на вопрос: как узнать, что у вас есть дробь в простейшей форме?

Иллюстративная математика

Задача

Сара узнала, что для преобразования дроби в десятичную она может использовать стандартный алгоритм деления и разделить числитель на знаменатель.Она заметила, что для некоторых дробей, таких как $ \ frac {1} {4} $ и $ \ frac {1} {100} $, алгоритм завершается на разряде сотых. Для других дробей, таких как $ \ frac {1} {8} $, ей нужно было перейти на тысячные доли, прежде чем остаток исчезнет. Для других дробей, таких как $ \ frac {1} {3} $ и $ \ frac {1} {6} $, десятичная дробь не заканчивается. Сара задается вопросом, какие дроби имеют завершающие десятичные знаки и как она может определить, сколько десятичных знаков в них.

  1. Преобразуйте каждую из следующих дробей в десятичные числа, чтобы помочь Саре найти закономерности с помощью десятичных преобразований: $$ \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {5}, \ frac {1} {6}, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {11}, \ frac {1} {12}, \ frac {1} {15}.$
  2. Какие дроби в списке имеют завершающие десятичные знаки (десятичные дроби, которые в конечном итоге заканчиваются нулями)? Что общего у знаменателей?
  3. Какие дроби в списке имеют повторяющиеся десятичные знаки? Что общего у знаменателей?
  4. Какие дроби $ \ frac {p} {q} $ (в сокращенном виде), по вашему мнению, имеют завершающие десятичные представления? Как вы думаете, какие десятичные представления повторяются?

Комментарий IM

Цель этой задачи — преобразовать некоторые дроби в десятичные, а затем сделать предположения о том, какие дроби имеют завершающие десятичные разложения (а также длину этих десятичных знаков).Учитель может пожелать больше сосредоточиться на процессе преобразования и меньше на определении того, какие дроби имеют завершающие или повторяющиеся десятичные представления. В этом случае требуется только часть (a), а ключ заключается в том, что все остатки, которые появляются в алгоритме деления в долгое время, меньше делителя: это означает, что десятичная дробь должна либо заканчиваться (когда есть остаток от 0), либо повторяться (когда мы дважды видим один и тот же ненулевой остаток). Другие части этой задачи рассчитывают на дополнительный уровень структуры, а именно определение того, какие дроби имеют завершающие десятичные знаки, а какие — повторяющиеся десятичные знаки.

Дроби в этом списке были выбраны намеренно, чтобы многие из их десятичных разложений были знакомы и не требовали обширных вычислений. Те, которые потребуют работы, повторяются или быстро прекращаются. По усмотрению учителя, для проверки работы можно использовать калькулятор. Однако для учащихся важно получить опыт работы с алгоритмом деления в столбик. n \ times \ frac {a} {b} $ — целое число для некоторого положительного целого числа $ n $.n $ равны 2 и 5, поэтому это означает, что $ b $ может иметь только простые множители 2 и / или 5. Этот аргумент выходит за рамки стандарта 7-го класса и больше подходит для стандарта 8.NS.1, но он важен для учителю необходимо знать об этой структуре на случай, если она возникнет в ходе обсуждения: некоторые идеи в этом направлении представлены в решении.

Стандарты математической практики сосредотачиваются на природе учебного опыта, уделяя внимание процессам мышления и привычкам ума, которые учащиеся должны развивать, чтобы достичь глубокого и гибкого понимания математики.Определенные задания поддаются демонстрации учащимися конкретных практик. Практики, которые можно наблюдать во время исследования задачи, зависят от того, как обучение разворачивается в классе. Хотя возможно, что задачи могут быть связаны с несколькими практиками, комментарий подробно осветит одну связь с практикой. Возможные связи вторичной практики могут быть обсуждены, но не с такой степенью детализации.

Стандарт математической практики 8, Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях, освещает работу учащихся, когда они вычисляют, вычисляют или манипулируют числами и / или символами.В этом задании семиклассники ищут закономерности, учитывая общие черты и ограничения, и осмысливают свои наблюдения. По мере того, как учащиеся переводят данные дроби в десятичные, они будут искать закономерности, чтобы определить, какие дроби имеют завершающие или повторяющиеся десятичные разложения. Они заметят, что десятичная дробь завершается, когда остается ноль, и повторяется, когда они обнаруживают, что повторяют одни и те же вычисления снова и снова. Студенты могут копнуть немного глубже, чтобы различать сходства и различия знаменателей завершающих и повторяющихся десятичных разложений.По мере того как учащиеся строят предположения о том, что они наблюдают, их следует поощрять проверять больше примеров. После изучения множества примеров и поиска регулярности они могут прийти к выводу, что простые множители знаменателей дробей с завершающимися десятичными знаками равны 2 и / или 5. В то время как, когда знаменатель имеет простой делитель, отличный от 2 или 5, десятичная дробь повторяется. .

Математическая карточная игра, избавляющая от жалости на дроби

Мой старший сын любит любые игры, связанные с математикой, а когда он был моложе, она любила играть в математические карточные игры, такие как «Десятки, пойди, рыбачь» и «Сделай десять».Когда он начал изучать дроби, мы начали играть в карточную игру с дробями. Эта математическая карточная игра учит детей дробям, помогая им узнать и распознать, какие дроби можно сократить. Поскольку дробное сокращение включает деление, оно также помогает им практиковать простые навыки деления. Беспроигрышный вариант.

Карточная игра — отличный способ приблизиться к изучению дробей. Убрав карандаш и бумагу и сосредоточившись на развлечениях, дети, которые могут беспокоиться о математике, могут немного расслабиться.И могу ли я признать, что это отличный способ для родителей освежить свои математические навыки? Кхм.

Готовы играть?

Что вам понадобится:

Колода карт с удаленными лицевыми картами (, например, валет, королева, короли, джокеры, ).

Как играть:

1. Перемешайте карты и раздайте всю колоду между 2 игроками лицевой стороной вниз.

2. Каждый игрок переворачивает свою верхнюю карту и кладет ее в центр стола.Числа образуют дробь, где меньшая карточка используется в числителе, а большее число — в знаменателе. ( тузов засчитываются как 1 ) Например, если карты 4 и 8, дробь составляет 4/8, независимо от того, у кого 4, а у кого 8.

3. Как только карты открываются, игроки пытаются быстро определить, можно ли уменьшить дробь. Например, 4/8 можно уменьшить до ½.

4. Как только игрок определяет, можно ли уменьшить дробь, он шлепает карты.Игрок, первым шлепнувший карты, получает первые фишки при решении задачи сокращения дроби. Если он правильно уменьшает дробь, карты остаются у себя, добавляя их в конец своей стопки, чтобы потом снова сыграть. Если игрок ошибается, карты остаются у другого игрока.

5. Если дробь не может быть уменьшена, игроки продолжают добавлять новые карты до тех пор, пока они не сформируют новую дробь, которую можно уменьшить. Игрок, выигравший эту руку, получает верхние карты, а также накопленные стопки.

6. Когда один игрок собрал все карты, игра окончена.

Советы по игре:

Заранее определите, может ли игрок хлопнуть по картам или , когда он распознает дробь, может быть уменьшен или только до тех пор, пока он не вычислит уменьшенную дробь.

Поскольку цель игры заключалась в отработке сокращения дробей, для меня было разумным дать моему сыну время, чтобы вычислить уменьшенную дробь после того, как он хлопнул по картам, я позволил ему потратить столько времени, сколько ему нужно, чтобы вычислить вытащить эти 4/8 = ½ после удара по картам.На его лице появлялась широкая улыбка каждый раз, когда он узнавал сокращаемую дробь раньше меня. Это придало ему уверенности и настойчивости, чтобы продолжать идти.

Понравилась игра? Посмотреть другие математические карточные игры:

Fiverton, он же «Five or Ten»

Математическая головоломка со звездой

Еще одна игра на дроби с возможностью печати

или узнайте о дробях, сделав дробные файлы cookie!

Или получите более 100 математических карточных игр здесь:

Хотите, чтобы ваши дети любили отключение от сети?

Подпишитесь на нашу рассылку и в качестве благодарности получите 10 ожидающих игр, в которые дети могут играть в любое время в любом месте.

Ваш адрес электронной почты * никогда * не будет передан или продан третьим лицам. Нажмите здесь, чтобы посмотреть нашу политику конфиденциальности.

Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея

Результаты обучения

  • Определите наименьший общий знаменатель двух дробей
  • Преобразование двух дробей в эквивалентные дроби на ЖК-дисплее
  • Сложить две дроби с разными знаменателями

В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем.Но как мы можем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить четверть и одну копейку? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно. Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс один десятицентовик, вы меняете их на ту же единицу — центы. Одна четверть равна [латексу] 25 [/ латексу] центов, а одна десятицентовая монета равна [латексу] 10 [/ латексу] центов, таким образом, сумма составляет [латекс] 35 [/ латекс] центов. См. Изображение ниже.

Вместе четверть и десять центов стоят [латекс] 35 [/ latex] центов или [latex] \ frac {35} {100} [/ latex] доллара.


Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовывать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем. Что касается монет, когда мы конвертируем их в центы, знаменатель будет [латекс] 100 [/ латекс]. Поскольку в одном долларе [латекс] 100 [/ latex] центов, [latex] 25 [/ latex] центов — это [latex] \ frac {25} {100} [/ latex] и [latex] 10 [/ latex] центов — это [латекс] \ frac {10} {100} [/ latex]. Итак, мы добавляем [latex] \ frac {25} {100} + \ frac {10} {100} [/ latex], чтобы получить [latex] \ frac {35} {100} [/ latex], то есть [латекс] 35 [/ латекс] центов.

Вы попрактиковались в сложении и вычитании дробей с общим знаменателем. Теперь давайте посмотрим, что вам нужно делать с дробями с разными знаменателями.
Сначала мы будем использовать дробные плитки для моделирования поиска общего знаменателя для [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] \ frac {1} {3} [/ latex].

Начнем с одной плитки [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и плитки [latex] \ frac {1} {3} [/ latex]. Мы хотим найти общую дробную плитку, которую мы можем использовать для точного сопоставления как [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], так и [latex] \ frac {1} {3} [/ latex].
Если мы попробуем кусочки [latex] \ frac {1} {4} [/ latex], [latex] 2 [/ latex] из них точно совпадут с [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] кусок, но они не совсем соответствуют куску [latex] \ frac {1} {3} [/ latex].


Если мы попробуем кусочки [латекса] \ frac {1} {5} [/ latex], они не будут полностью покрывать кусок [латекса] \ frac {1} {2} [/ latex] или [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex] кусок.


Если мы попробуем кусочки [latex] \ frac {1} {6} [/ latex], то увидим, что ровно [latex] 3 [/ latex] из них покрывают [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] кусок, и ровно [latex] 2 [/ latex] из них покрывают [latex] \ frac {1} {3} [/ latex] кусок.


Если бы мы попробовали кусочки [latex] \ frac {1} {12} [/ latex], они тоже подействовали бы.


Плитка даже меньшего размера, такая как [латекс] \ frac {1} {24} [/ latex] и [latex] \ frac {1} {48} [/ latex], также точно покрывает [латекс] \ frac Элемент {1} {2} [/ latex] и кусок [latex] \ frac {1} {3} [/ latex].

Знаменатель наибольшего куска, покрывающего обе дроби, является наименьшим общим знаменателем (ЖКД) этих двух дробей. Итак, наименьший общий знаменатель для [латекса] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] \ frac {1} {3} [/ latex] равен [latex] 6 [/ latex].

Обратите внимание, что все плитки, покрывающие [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] \ frac {1} {3} [/ latex], имеют нечто общее: их знаменатели являются общими кратными of [latex] 2 [/ latex] и [latex] 3 [/ latex], знаменатели [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] \ frac {1} {3} [ /латекс]. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей — [латекс] 6 [/ латекс], поэтому мы говорим, что [латекс] 6 [/ латекс] является наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей [латекс] \ frac { 1} {2} [/ latex] и [латекс] \ frac {1} {3} [/ latex].

Выполнение упражнения по манипуляции математикой «Поиск наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять ЖК-дисплей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Чтобы найти ЖКД двух дробей, мы найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК-дисплея мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Пример

Найдите ЖК-дисплей для фракций: [latex] \ frac {7} {12} [/ latex] и [latex] \ frac {5} {18} [/ latex]

Решение:

Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
Перечислите простые числа [latex] 12 [/ latex] и простые числа [latex] 18 [/ latex], выровняв их по столбцам, когда это возможно.
Обрушьте колонны.
Умножьте множители.Продукт — LCM. [латекс] \ text {LCM} = 36 [/ латекс]
LCM [latex] 12 [/ latex] и [latex] 18 [/ latex] — это [latex] 36 [/ latex], поэтому ЖК-дисплей [latex] \ frac {7} {12} [/ латекс] и [латекс] \ frac {5} {18} [/ latex] — 36. ЖК-дисплей [латекс] \ frac {7} {12} [/ latex] и [латекс] \ frac {5} {18} [/ latex] равен 36.

Чтобы найти ЖКД двух дробей, найдите НОК их знаменателей. Обратите внимание на то, что шаги, показанные ниже, аналогичны шагам, которые мы предприняли для поиска LCM.

Найдите наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей

  1. Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
  2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставив простые числа в столбцах.
  3. Обрушьте колонны.
  4. Умножьте множители. Произведение — это НОК знаменателей.
  5. НОК знаменателей — это ЖКД дробей.

Пример

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: [latex] \ frac {8} {15} [/ latex] и [latex] \ frac {11} {24} [/ latex]

Показать решение

Решение:
Чтобы найти ЖКД, мы находим НОК знаменателей.
Найдите НОК [латекс] 15 [/ латекс] и [латекс] 24 [/ латекс].


LCM [латекс] 15 [/ латекс] и [латекс] 24 [/ латекс] — это [латекс] 120 [/ латекс]. Итак, ЖК-экран [latex] \ frac {8} {15} [/ latex] и [latex] \ frac {11} {24} [/ latex] равен [latex] 120 [/ latex].

Ранее мы использовали дробные плитки, чтобы увидеть, что ЖК-дисплей [latex] \ frac {1} {4} \ text {и} \ frac {1} {6} [/ latex] — это [latex] 12 [/ latex] . Мы видели, что три [латекса] \ frac {1} {12} [/ latex] куска точно покрывают [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] и два [латекса] \ frac {1} {12} [/ latex] детали точно покрывают [латекс] \ frac {1} {6} [/ latex], поэтому

[латекс] \ frac {1} {4} = \ frac {3} {12} \ text {и} \ frac {1} {6} = \ frac {2} {12} [/ latex].


Мы говорим, что [latex] \ frac {1} {4} \ text {и} \ frac {3} {12} [/ latex] являются эквивалентными дробями, а также что [latex] \ frac {1} {6} \ text {и} \ frac {2} {12} [/ latex] — эквивалентные дроби.

Мы можем использовать свойство Equivalent Fractions Property, чтобы алгебраически преобразовать дробь в эквивалентную. Помните, что две дроби эквивалентны, если имеют одинаковое значение. Свойство эквивалентных дробей повторяется ниже для справки.

Свойство эквивалентных дробей

Если [латекс] a, b, c [/ latex] — целые числа, где [latex] b \ ne 0, c \ ne 0, \ text {then} [/ latex]

[латекс] \ frac {a} {b} = \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c} \ text {и} \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c} = \ frac { а} {b} [/ латекс]

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала нужно преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.Давайте посмотрим, как заменить [latex] \ frac {1} {4} \ text {и} \ frac {1} {6} [/ latex] на эквивалентные дроби со знаминателем [latex] 12 [/ latex] без использования моделей.

Пример

Преобразуйте [латекс] \ frac {1} {4} \ text {и} \ frac {1} {6} [/ latex] в эквивалентные дроби со знаменателем [латекс] 12 [/ latex], их ЖК-дисплей.

Решение:

Найдите ЖК-дисплей. ЖК-экран [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] и [латекс] \ frac {1} {6} [/ latex] — это [latex] 12 [/ latex].
Найдите число, на которое нужно умножить [латекс] 4 [/ латекс], чтобы получить [латекс] 12 [/ латекс]. [латекс] 4 \ cdot \ color {красный} {3} = 12 [/ латекс]
Найдите число, на которое нужно умножить [латекс] 6 [/ латекс], чтобы получить [латекс] 12 [/ латекс]. [латекс] 6 \ cdot \ color {красный} {2} = 12 [/ латекс]
Используйте свойство «Эквивалентные дроби» для преобразования каждой дроби в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] [латекс] \ frac {1} {6} [/ latex]

[латекс] \ frac {1 \ cdot \ color {красный} {3}} {4 \ cdot \ color {красный} {3}} [/ latex] [латекс] \ frac {1 \ cdot \ color {красный} {2}} {6 \ cdot \ color {красный} {2}} [/ латекс]

Упростите числители и знаменатели. [латекс] \ frac {3} {12} [/ latex] [латекс] \ frac {2} {12} [/ latex]

Полученные дроби не уменьшаем. Если бы мы это сделали, мы бы вернулись к нашим исходным дробям и потеряли бы общий знаменатель.

Преобразование двух дробей в эквивалентные дроби с их ЖК-дисплеем в качестве общего знаменателя

  1. Найдите ЖК-дисплей.
  2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖК-дисплей.
  3. Используйте свойство Equivalent Fractions Property, чтобы умножить числитель и знаменатель на число, которое вы нашли на шаге 2.
  4. Упростите числитель и знаменатель.

Пример

Преобразуйте [латекс] \ frac {8} {15} [/ latex] и [latex] \ frac {11} {24} [/ latex] в эквивалентные дроби со знаменателем [latex] 120 [/ latex], их ЖК-дисплеем.

Показать решение

Решение:

ЖК-экран [латекс] 120 [/ латекс]. Начнем с шага 2.
Найдите число, на которое нужно умножить [latex] 15 [/ latex], чтобы получить [latex] 120 [/ latex]. [латекс] 15 \ cdot \ color {красный} {8} = 120 [/ латекс]
Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120. [латекс] 24 \ cdot \ color {красный} {5} = 120 [/ латекс]
Используйте свойство Equivalent Fractions. [латекс] \ frac {8 \ cdot \ color {красный} {8}} {15 \ cdot \ color {красный} {8}} [/ latex] [латекс] \ frac {11 \ cdot \ color {красный} {5}} {24 \ cdot \ color {красный} {5}} [/ латекс]
Упростите числители и знаменатели. [латекс] \ frac {64} {120} [/ latex] [латекс] \ frac {55} {120} [/ латекс]

В нашем следующем видео мы покажем еще два примера того, как использовать метод столбца, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей.

Навыки интерактивной математики для восьмого класса

1. Математические дроби AAA.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Уроки с несколькими дробями для восьмиклассников.Темы включают дроби, дроби и десятичные дроби, а также дроби, десятичные дроби и проценты. ПОДРОБНЕЕ
2. Добавить похожие дроби.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Добавление одинаковых дробей с помощью круговых диаграмм. ПОДРОБНЕЕ
3. Добавление дробей.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Сложение с тем же знаменателем. ПОДРОБНЕЕ
4.Преобразование десятичных знаков в дроби или смешанные числа.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Потренируйтесь переводить дроби / смешанные числа в десятичные. При необходимости дается дополнительная практика. (3 уровня) ПОДРОБНЕЕ
5. Игра на дроби.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Практикуйтесь в работе с отношениями между дробями и способами их объединения. Постарайтесь переместить все маркеры в правую часть игрового поля, используя как можно меньше карточек.ПОДРОБНЕЕ
6. Фракционный покер.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Выберите все эквивалентные дроби, чтобы начать игру. В каждой руке может быть от 2 до 5 эквивалентных дробей. ПОДРОБНЕЕ
7. Задачи с дробями.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Вот несколько примеров сложных задач с дробными словами. Мы проиллюстрируем, как можно использовать блочные модели (ленточные диаграммы), чтобы помочь вам визуализировать проблемы с дробными словами с точки зрения предоставленной информации и данных, которые необходимо найти.Включены пошаговые решения. ПОДРОБНЕЕ
8. Деление на фракции.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении, делении и дробях для умножения и деления рациональных чисел. ПОДРОБНЕЕ
9. Умножение на дроби.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении, делении и дробях для умножения и деления рациональных чисел.ПОДРОБНЕЕ
10. Наименьший общий знаменатель.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Попрактикуйтесь в определении наименьшего общего знаменателя. ПОДРОБНЕЕ
11. Наименьшие члены.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Запишите дроби наименьшим числом. ПОДРОБНЕЕ
12. Пропорции.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Решающие пропорции.ПОДРОБНЕЕ
13. Футбол на выбывание.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Играйте в футбол, тренируя математические навыки. Решите все математические задачи, чтобы выстрелить, а затем заблокировать выстрел противника. Не забудьте уменьшить количество ответов (только дроби). ПОДРОБНЕЕ
14. Spy Guys Interactive — неправильные дроби и смешанные числа.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Посмотрите видео и ответьте в разных местах Урок 2.Это видео включает разделы, в которых учащихся просят вводить ответы. ПОДРОБНЕЕ
15. Вычитание дробей.

Щелкните изображение, чтобы увеличить
Вычитание с тем же знаменателем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *