Таблица чередующихся корней: Чередующиеся гласные в корне — таблица с примерами и исключениями

Следовательно, {S2k + 1} {S2k + 1} ограничено снизу. Поскольку {S2k + 1} {S2k + 1} — убывающая ограниченная снизу последовательность, по теореме о монотонной сходимости {S2k + 1} {S2k + 1} сходится. Точно так же четные члены {S2k} {S2k} образуют возрастающую последовательность, ограниченную сверху, поскольку

и

Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность {S2k} {S2k} также сходится. С

мы знаем, что

Полагая S = limk → ∞S2k + 1S = limk → ∞S2k + 1 и используя тот факт, что 1 / (2k + 1) → 0,1 / (2k + 1) → 0, заключаем, что limk → ∞S2k = S.limk → ∞S2k = S. Поскольку нечетные и четные члены в последовательности частичных сумм сходятся к одному и тому же пределу S, S, можно показать, что последовательность частичных сумм сходится к S, S, и, следовательно, чередующийся гармонический ряд сходится к S. С.

Также можно показать, что S = ln2, S = ln2, и мы можем написать

□

В более общем смысле, любой чередующийся ряд вида (3) (уравнение 5.13) или (4) (уравнение 5.14) сходится, пока b1≥b2≥b3≥ ⋯ b1≥b2≥b3≥ ⋯ и bn → 0bn → 0 (рисунок 5.18). Доказательство аналогично доказательству для знакопеременного гармонического ряда.

Теорема 5.13

Испытание чередующейся серии

Чередование серий формы

сходится, если

1. 0≤bn + 1≤bn0≤bn + 1≤bn для всех n≥1n≥1 и
2. limn → ∞bn = 0. limn → ∞bn = 0.

Это известно как испытание чередующейся серии.

Заметим, что эта теорема верна в более общем смысле, пока существует некоторое целое число NN такое, что 0≤bn + 1≤bn0≤bn + 1≤bn для всех n≥N.n≥N.

Пример 5.19

Конвергенция переменных серий

Для каждого из следующих чередующихся рядов определите, сходится он или расходится.

1. ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2
2. ∑n = 1∞ (−1) n + 1n / (n + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1n / (n + 1)

Решение

1. С
   1 (n + 1) 2 <1n2and1n2 → 0,1 (n + 1) 2 <1n2and1n2 → 0,
   ряд сходится.
2. Поскольку n / (n + 1) ↛0n / (n + 1) ↛0 при n → ∞, n → ∞, мы не можем применить тест чередующейся серии. Вместо этого мы используем n -й критерий дивергенции. С
   limn → ∞ (−1) n + 1nn + 1 ≠ 0, limn → ∞ (−1) n + 1nn + 1 ≠ 0,
   серия расходится.

КПП 5.18

Определите, сходится или расходится ряд ∑n = 1∞ (−1) n + 1n / 2n∑n = 1∞ (−1) n + 1n / 2n.

Остаток чередующейся серии

Трудно явно вычислить сумму большинства чередующихся рядов, поэтому обычно сумма приближается с использованием частичной суммы.При этом нас интересует количество ошибок в нашем приближении. Рассмотрим чередующуюся серию

, удовлетворяющий гипотезам теста чередующихся серий. Обозначим через SS сумму этого ряда, а {Sk} {Sk} — соответствующую последовательность частичных сумм. Из рисунка 5.18 видно, что для любого целого числа N≥1, N≥1 остаток RNRN удовлетворяет

Теорема 5.14

Остатки в чередующемся ряду

Рассмотрим чередующийся ряд вида

, который удовлетворяет гипотезам теста чередующихся серий. Пусть SS обозначает сумму ряда, а SNSN обозначает N-ю частичную сумму. Для любого целого числа N≥1, N≥1 остаток RN = S − SNRN = S − SN удовлетворяет условию

Другими словами, если выполняются условия теста чередующихся серий, то ошибка аппроксимации бесконечного ряда N-йN-й частичной суммой SNSN по величине не превосходит размер следующего члена bN + 1.bN + 1.

Пример 5.20

Оценка остатка чередующейся серии

Рассмотрим чередующуюся серию

Используйте оценку остатка, чтобы определить границу ошибки R10R10, если мы аппроксимируем сумму ряда частичной суммой S10.S10.

Решение

Из приведенной выше теоремы

| R10 | ≤b11 = 1112≈0,008265. | R10 | ≤b11 = 1112≈0,008265.

КПП 5.19

Найдите оценку для R20R20, аппроксимируя ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n с помощью S20.S20.

Абсолютная и условная сходимость

Рассмотрим ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an и связанный с ним ряд ∑n = 1∞ | an |. ∑n = 1∞ | an |. Здесь мы обсуждаем возможности взаимосвязи между сходимостью этих двух рядов. Например, рассмотрим переменный гармонический ряд ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n.n = 1∞ (−1) n + 1 / n. Ряд, члены которого являются модулями этих членов, является гармоническим рядом, поскольку ∑n = 1∞ | (−1) n + 1 / n | = ∑n = 1∞1 / n.∑n = 1∞ | ( −1) n + 1 / n | = ∑n = 1∞1 / n. Поскольку чередующийся гармонический ряд сходится, но гармонический ряд расходится, мы говорим, что чередующийся гармонический ряд демонстрирует условную сходимость.

Для сравнения рассмотрим ряд ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2.∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2. Ряд, члены которого являются модулями членов этого ряда, есть ряд ∑n = 1∞1 / n2.∑n = 1∞1 / n2. Поскольку оба этих ряда сходятся, мы говорим, что ряд ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n2 демонстрирует абсолютную сходимость.

Определение

Ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an демонстрирует абсолютную сходимость, если ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | сходится. Ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an демонстрирует условную сходимость, если ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, но ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | расходится.

Как показывает чередующийся гармонический ряд, ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an может сходиться, но ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | могут расходиться.Однако в следующей теореме мы покажем, что если ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | сходится, то n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.

Теорема 5.15

Абсолютная сходимость влечет сходимость

Если ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | сходится, то ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.

Проба

Предположим, что ∑n = 1∞ | an | ∑n = 1∞ | an | сходится. Мы покажем это, используя тот факт, что an = | an | an = | an | или an = — | an | an = — | an | и поэтому | an | + an = 2 | an || an | + an = 2 | an | или | an | + an = 0. | an | + an = 0. Следовательно, 0≤ | an | + an≤2 ​​| an |.0≤ | an | + an≤2 ​​| an |. Следовательно, при проверке сравнения, поскольку 2∑n = 1∞ | an | 2∑n = 1∞ | an | сходится, серия

сходится. Используя алгебраические свойства сходящихся рядов, заключаем, что

сходится.

□

Пример 5.21

Абсолютная и условная сходимость

Для каждого из следующих рядов определите, сходится ли ряд абсолютно, сходится условно или расходится.

1. ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / (3n + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / (3n + 1)
2. ∑n = 1∞cos (n) / n2∑n = 1∞cos (n) / n2

Решение

1. Мы видим, что
   ∑n = 1∞ | (−1) n + 13n + 1 | = ∑n = 1∞13n + 1∑n = 1∞ | (−1) n + 13n + 1 | = ∑n = 1∞13n + 1
   расходится при использовании теста сравнения пределов с гармоническим рядом. Фактически
   limn → ∞1 / (3n + 1) 1 / n = 13. limn → ∞1 / (3n + 1) 1 / n = 13.
   Следовательно, ряд не сходится абсолютно. Однако с
   13 (n + 1) +1 <13n + 1 и 13n + 1 → 0,13 (n + 1) +1 <13n + 1 и 13n + 1 → 0,
   ряд сходится. Можно заключить, что ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / (3n + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / (3n + 1) условно сходится.
2. Отметив, что | cosn | ≤1, | cosn | ≤1, чтобы определить, сходится ли ряд абсолютно, сравните
   ∑n = 1∞ | cosnn2 | ∑n = 1∞ | cosnn2 |
   с рядом ∑n = 1∞1 / n2.n = 1∞1 / n2. Поскольку ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 сходится, по результатам сравнения ∑n = 1∞ | cosn / n2 | ∑n = 1∞ | cosn / n2 | сходится, поэтому ∑n = 1∞cosn / n2∑n = 1∞cosn / n2 сходится абсолютно.

КПП 5.20

Определите, сходится ли ряд ∑n = 1∞ (−1) n + 1n / (2n3 + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1n / (2n3 + 1) абсолютно, сходится ли условно или расходится.

Чтобы увидеть разницу между абсолютной и условной сходимостью, посмотрите, что происходит, когда мы, , переставляем члены чередующегося гармонического ряда ∑n = 1∞ (−1) n + 1 / n. (n = 1∞ (−1 ) п + 1 / п. Мы показываем, что мы можем переставить члены так, чтобы новый ряд расходился. Конечно, если мы переставим члены конечной суммы, сумма не изменится. Однако, когда мы работаем с бесконечной суммой, могут происходить интересные вещи.

Начните с добавления достаточного количества положительных членов, чтобы получить сумму, превышающую некоторое действительное число M> 0.М> 0. Например, пусть M = 10, M = 10, и найдите такое целое число kk, что

(Мы можем это сделать, потому что ряд ∑n = 1∞1 / (2n − 1) ∑n = 1∞1 / (2n − 1) расходится до бесконечности.) Затем вычтем 1 / 2,1 / 2. Затем добавляйте больше положительных членов, пока сумма не достигнет 100. То есть найдите другое целое число j> kj> k такое, что

Затем вычтите 1 / 4,1 / 4. Продолжая таким образом, мы нашли способ переупорядочить слагаемые в чередующемся гармоническом ряду так, чтобы последовательность частичных сумм для переставленного ряда была неограниченной и, следовательно, расходилась.

Члены в чередующемся гармоническом ряду также можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к другому значению. В примере 5.22 мы показываем, как переставить члены, чтобы создать новый ряд, сходящийся к 3ln (2) /2.3ln (2) / 2. Отметим, что чередующиеся гармонические ряды можно переставить, чтобы создать ряд, сходящийся к любому действительному числу r; r; однако доказательство этого факта выходит за рамки этого текста.

В общем, любой ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an, который условно сходится, можно переупорядочить так, чтобы новый ряд расходился или сходился к другому действительному числу.Сходящийся ряд абсолютно не обладает этим свойством. Для любого абсолютно сходящегося ряда ∑n = 1∞an∑n = 1∞an значение ∑n = 1∞an∑n = 1∞an одинаково при любой перестановке слагаемых. Этот результат известен как теорема Римана о перестановке, что выходит за рамки этой книги.

Пример 5.22

Перестановка серии

Используйте тот факт, что

, чтобы переставить члены в чередующемся гармоническом ряду так, чтобы сумма преобразованного ряда была 3ln (2) / 2. 3лн (2) / 2.

Решение

Let

Поскольку ∑n = 1∞an = ln (2), ∑n = 1∞an = ln (2), в силу алгебраических свойств сходящихся рядов,

Теперь введем ряд ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn такой, что для всех n≥1, n≥1, b2n − 1 = 0b2n − 1 = 0 и b2n = an / 2.b2n = an / 2 . Тогда

Тогда, используя алгебраические предельные свойства сходящихся рядов, поскольку ∑n = 1∞an∑n = 1∞an и ∑n = 1∞bn∑n = 1∞bn сходятся, ряд ∑n = 1∞ (an + bn ) ∑n = 1∞ (an + bn) сходится и

Теперь, сложив соответствующие члены, anan и bn, bn, мы видим, что

Мы замечаем, что ряд справа от знака равенства представляет собой перестановку переменного гармонического ряда. Поскольку ∑n = 1∞ (an + bn) = 3ln (2) / 2, ∑n = 1∞ (an + bn) = 3ln (2) / 2, заключаем, что

Таким образом, мы нашли перестановку переменного гармонического ряда, обладающую желаемым свойством.

Раздел 5.5 Упражнения

Укажите, сходится ли каждый из следующих рядов абсолютно, условно или нет вообще.

∑n = 1∞ (−1) n + 1nn + 3∑n = 1∞ (−1) n + 1nn + 3

∑n = 1∞ (−1) n + 1n + 1n + 3∑n = 1∞ (−1) n + 1n + 1n + 3

∑n = 1∞ (−1) n + 11n + 3∑n = 1∞ (−1) n + 11n + 3

∑n = 1∞ (−1) n + 1n + 3n∑n = 1∞ (−1) n + 1n + 3n

∑n знак равно 1∞ (−1) N + 11n! ∑n = 1∞ (−1) N + 11n!

∑n знак равно 1∞ (−1) n + 13nn! ∑n = 1∞ (−1) n + 13nn!

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n − 1n) n∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n − 1n) n

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n + 1n) n∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n + 1n) n

∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2n∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2n

∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2n∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2n

∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2 (1 / n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2 (1 / n)

∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2 (1 / n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2 (1 / n)

∑n = 1∞ (−1) n + 1ln (1 / n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1ln (1 / n)

∑n = 1∞ (−1) n + 1ln (1 + 1n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1ln (1 + 1n)

∑n = 1∞ (−1) n + 1n21 + n4∑n = 1∞ (−1) n + 1n21 + n4

∑n = 1∞ (−1) n + 1ne1 + nπ∑n = 1∞ (−1) n + 1ne1 + nπ

∑n = 1∞ (−1) n + 121 / n∑n = 1∞ (−1) n + 121 / n

∑n = 1∞ (−1) n + 1n1 / n∑n = 1∞ (−1) n + 1n1 / n

∑n = 1∞ (−1) n (1 − n1 / n) ∑n = 1∞ (−1) n (1 − n1 / n) ( Подсказка: n1 / n≈1 + ln (n) / nn1 / n≈1 + ln (n) / n для больших n. ) n.)

∑n = 1∞ (−1) n + 1n (1 − cos (1n)) ∑n = 1∞ (−1) n + 1n (1 − cos (1n)) ( Подсказка: cos (1 / n) ≈1−1 / n2cos (1 / n) ≈1−1 / n2 для больших n.) n.)

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n + 1 − n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 (n + 1 − n) ( Подсказка: Рационализируйте числитель.)

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (1n − 1n + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 (1n − 1n + 1) ( Подсказка: Найдите общий знаменатель, затем рационализируйте числитель .)

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) −lnn) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 (ln (n + 1) −lnn)

∑n = 1∞ (−1) n + 1n (tan − 1 (n + 1) −tan − 1n) ∑n = 1∞ (−1) n + 1n (tan − 1 (n + 1) −tan −1n) ( Подсказка: Используйте теорему о среднем значении.)

∑n = 1∞ (−1) n + 1 ((n + 1) 2 − n2) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 ((n + 1) 2 − n2)

∑n = 1∞ (−1) n + 1 (1n − 1n + 1) ∑n = 1∞ (−1) n + 1 (1n − 1n + 1)

∑n = 1∞cos (nπ) n∑n = 1∞cos (nπ) n

∑n = 1∞cos (nπ) n1 / n∑n = 1∞cos (nπ) n1 / n

∑n = 1∞1nsin (nπ2) ∑n = 1∞1nsin (nπ2)

∑n = 1∞sin (nπ / 2) sin (1 / n) ∑n = 1∞sin (nπ / 2) sin (1 / n)

В каждой из следующих задач используйте оценку | RN | ≤bN + 1 | RN | ≤bN + 1, чтобы найти значение NN, которое гарантирует, что сумма первых NN членов переменного ряда ∑n = 1∞ (−1) n + 1bn∑n = 1∞ (−1) n + 1bn отличается от бесконечной суммы не более чем на данную ошибку. Рассчитайте частичную сумму SNSN для этого N.N.

[T] bn = 1 / n, bn = 1 / n, погрешность <10-5 <10-5

[T] bn = 1 / ln (n), bn = 1 / ln (n), n≥2, n≥2, ошибка <10−1 <10−1

[T] bn = 1 / n, bn = 1 / n, погрешность <10-3 <10-3

[T] bn = 1 / 2n, bn = 1 / 2n, ошибка <10-6 <10-6

[T] bn = ln (1 + 1n), bn = ln (1 + 1n), ошибка <10−3 <10−3

[T] bn = 1 / n2, bn = 1 / n2, ошибка <10-6 <10-6

Для следующих упражнений укажите, является ли каждое из следующих утверждений истинным или ложным. Если утверждение неверно, приведите пример, в котором оно неверно.

Если bn≥0bn≥0 убывает и limn → ∞bn = 0, limn → ∞bn = 0, то ∑n = 1∞ (b2n − 1 − b2n) ∑n = 1∞ (b2n − 1 − b2n) сходится абсолютно.

Если bn≥0bn≥0 убывает, то ∑n = 1∞ (b2n − 1 − b2n) ∑n = 1∞ (b2n − 1 − b2n) сходится абсолютно.

Если bn≥0bn≥0 и limn → ∞bn = 0limn → ∞bn = 0, то ∑n = 1∞ (12 (b3n − 2 + b3n − 1) −b3n) ∑n = 1∞ (12 (b3n − 2 + b3n − 1) −b3n) сходится.

Если bn≥0bn≥0 убывает и ∑n = 1∞ (b3n − 2 + b3n − 1 − b3n) ∑n = 1∞ (b3n − 2 + b3n − 1 − b3n) сходится, то ∑n = 1∞b3n −2∑n = 1∞b3n − 2 сходится.

Если bn≥0bn≥0 убывает и ∑n = 1∞ (−1) n − 1bn∑n = 1∞ (−1) n − 1bn сходится условно, но не абсолютно, то bnbn не стремится к нулю.

Пусть an + = anan + = an, если an≥0an≥0, и an — = — anan — = — an, если an <0.an <0. (Также an + = 0ifan <0an + = 0ifan <0 и an− = 0ifan≥0.) An− = 0ifan≥0.) Если ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится условно, но не абсолютно, то ни ∑n = 1∞an + ∑n = 1∞an + и ∑n = 1∞an − ∑n = 1∞an− сходятся.

Предположим, что anan — это последовательность положительных действительных чисел и что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится.

Предположим, что bnbn — произвольная последовательность единиц и минус единиц. Обязательно ли сходится ∑n = 1∞anbn∑n = 1∞anbn?

Предположим, что anan — это последовательность, такая что ∑n = 1∞anbn∑n = 1∞anbn сходится для любой возможной последовательности bnbn нулей и единиц. Сходится ли ∑n = 1∞an∑n = 1∞ абсолютно?

Следующая серия не удовлетворяет гипотезе испытания чередующейся серии, как указано.

В каждом случае укажите, какая гипотеза не выполняется. Укажите, сходится ли серия абсолютно.

∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2nn∑n = 1∞ (−1) n + 1sin2nn

∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2nn∑n = 1∞ (−1) n + 1cos2nn

1 + 12-13-14 + 15 + 16-17-18 + 1 + 12-13-14 + 15 + 16-17-18 + ⋯

1 + 12-13 + 14 + 15-16 + 17 + 18-19 + ⋯ 1 + 12-13 + 14 + 15-16 + 17 + 18-19 + ⋯

Покажите, что чередующийся ряд 1−12 + 12−14 + 13−16 + 14−18 + ⋯ 1−12 + 12−14 + 13−16 + 14−18 + ⋯ делает

не сходятся. Какая гипотеза теста чередующихся серий не выполняется?

Предположим, что an∑an абсолютно сходится.Покажите, что ряд, состоящий из положительных членов anan, также сходится.

Покажите, что знакопеременный ряд 23−35 + 47−59 + ⋯ 23−35 + 47−59 + ⋯ не сходится. Какая гипотеза теста чередующихся серий не выполняется?

Формула cosθ = 1 − θ22! + Θ44! −θ66! + ⋯ cosθ = 1 − θ22! + Θ44! −θ66! + ⋯ будет выведена в следующей главе. Используйте остаток | RN | ≤bN + 1 | RN | ≤bN + 1, чтобы найти границу ошибки оценки cosθcosθ с помощью пятой частичной суммы 1 − θ2 / 2! + Θ4 / 4! −θ6 / 6! + Θ8 / 8! 1 − θ2 / 2! + Θ4 / 4! −θ6 / 6! + Θ8 / 8! для θ = 1, θ = 1, θ = π / 6, θ = π / 6 и θ = π. θ = π.

Формула sinθ = θ − θ33! + Θ55! −θ77! + ⋯ sinθ = θ − θ33! + Θ55! −θ77! + ⋯ будет выведена в следующей главе. Используйте остаток | RN | ≤bN + 1 | RN | ≤bN + 1, чтобы найти оценку ошибки в оценке sinθsinθ с помощью пятой частичной суммы θ − θ3 / 3! + Θ5 / 5! −θ7 / 7! + Θ9 / 9! Θ − θ3 / 3! + Θ5 / 5! −θ7 / 7! + Θ9 / 9! для θ = 1, θ = 1, θ = π / 6, θ = π / 6 и θ = π.θ = π.

Сколько членов в cosθ = 1 − θ22! + Θ44! −θ66! + ⋯ cosθ = 1 − θ22! + Θ44! −θ66! + ⋯ необходимо для аппроксимации cos1cos1 с точностью не более 0,00001? 0,00001?

Сколько членов в sinθ = θ − θ33! + Θ55! −θ77! + ⋯ sinθ = θ − θ33! + Θ55! −θ77! + ⋯ необходимо для аппроксимации sin1sin1 с точностью не более 0,00001? 0,00001?

Иногда знакопеременный ряд ∑n = 1∞ (−1) n − 1bn∑n = 1∞ (−1) n − 1bn сходится к некоторой доле абсолютно сходящегося ряда ∑n = 1∞bn∑n = 1∞ млрд. руб. более быстрыми темпами. Учитывая, что ∑n = 1∞1n2 = π26, ∑n = 1∞1n2 = π26, находим 12 = 1−122 + 132−142 + ⋯ . 12 = 1−122 + 132−142 + ⋯. Какой из рядов 6∑n = 1∞1n26∑n = 1∞1n2 и S∑n = 1∞ (−1) n − 1n2S∑n = 1∞ (−1) n − 1n2 дает лучшую оценку π2π2 с использованием 10001000 терминов?

Следующие чередующиеся ряды сходятся к заданным кратным π.π. Найдите значение NN, предсказанное оценкой остатка, такое, что N-я N-я частичная сумма ряда точно аппроксимирует левую часть с точностью до заданной ошибки. Найдите минимальный NN, для которого выполняется граница ошибки, и дайте желаемое приблизительное значение в каждом случае. До 1515 знаков после запятой, π = 3,1415589793… .π = 3,1415589793….

[T] π4 = ∑n = 0∞ (−1) n2n + 1, π4 = ∑n = 0∞ (−1) n2n + 1, ошибка <0,0001 <0,0001

[T] π12 = ∑k = 0∞ (−3) −k2k + 1, π12 = ∑k = 0∞ (−3) −k2k + 1, ошибка <0.0001 <0,0001

[T] Ряд ∑n = 0∞sin (x + πn) x + πn∑n = 0∞sin (x + πn) x + πn играет важную роль в обработке сигналов. Докажите, что ∑n = 0∞sin (x + πn) x + πn∑n = 0∞sin (x + πn) x + πn сходится всякий раз, когда 0 Подсказка: Используйте формулу для синуса суммы углов.)

[T] Если ∑n = 1N (−1) n − 11n → ln2, ∑n = 1N (−1) n − 11n → ln2, то что равно 1 + 13 + 15−12−14−16 + 17 + 19 + 111−18−110−112 + ⋯? 1 + 13 + 15−12−14−16 + 17 + 19 + 111−18−110−112 + ⋯?

[T] Постройте ряд ∑n = 1100cos (2πnx) n∑n = 1100cos (2πnx) n для 0≤x <1.0≤x <1. Объясните, почему ∑n = 1100cos (2πnx) n∑n = 1100cos (2πnx) n расходится при x = 0,1.x = 0,1. Как ведет себя серия для других x? X?

[T] Постройте ряд ∑n = 1100sin (2πnx) n∑n = 1100sin (2πnx) n для 0≤x <10≤x <1 и прокомментируйте его поведение

[T] Постройте ряд ∑n = 1100cos (2πnx) n2∑n = 1100cos (2πnx) n2 для 0≤x <10≤x <1 и опишите его график.

[T] Переменный гармонический ряд сходится из-за сокращения его членов.Его сумма известна, поскольку отмену можно описать явно. Случайный гармонический ряд имеет вид ∑n = 1∞Snn, ∑n = 1∞Snn, где snsn — это случайно сгенерированная последовательность ± единиц ± 1, в которой значения ± 1 ± 1 имеют равную вероятность появления. Используйте генератор случайных чисел для получения 10001000 случайных ± 1 с ± 1 с и нанесите на график частичные суммы SN = ∑n = 1NsnnSN = ∑n = 1Nsnn вашей случайной гармонической последовательности для N = 1N = от 1 до 1000,1000. Сравните с графиком первых 1000–1000 частичных сумм гармонического ряда.

[T] Оценки ∑n = 1∞1n2∑n = 1∞1n2 можно ускорить , записав его частичные суммы как ∑n = 1N1n2 = ∑n = 1N1n (n + 1) + ∑n = 1N1n2 (n + 1) ∑n = 1N1n2 = ∑n = 1N1n (n + 1) + ∑n = 1N1n2 (n + 1) и вспоминая, что ∑n = 1N1n (n + 1) = 1−1N + 1∑n = 1N1n (n + 1) = 1−1N + 1 сходится к единице при N → ∞. N → ∞. Сравните оценку π2 / 6π2 / 6 с использованием суммы ∑n = 110001n2∑n = 110001n2 с оценкой с использованием 1 + ∑n = 110001n2 (n + 1) .1 + ∑n = 110001n2 (n + 1).

[T] Преобразование Эйлера переписывает S = ∑n = 0∞ (−1) nbnS = ∑n = 0∞ (−1) nbn как S = ∑n = 0∞ (−1) n2 − n −1∑m = 0n (нм) bn − m.S = ∑n = 0∞ (−1) n2 − n − 1∑m = 0n (нм) bn − m. Для знакопеременного гармонического ряда он принимает вид ln (2) = ∑n = 1∞ (−1) n − 1n = ∑n = 1∞1n2n.ln (2) = ∑n = 1∞ (−1) n −1n = ∑n = 1∞1n2n. Вычислите частичные суммы ∑n = 1∞1n2n∑n = 1∞1n2n, пока они не приблизятся к ln (2) ln (2) с точностью до 0,0001,0,0001. Сколько нужно терминов? Сравните этот ответ с количеством членов переменного гармонического ряда, необходимых для оценки ln (2) .ln (2).

[T] В тексте было сказано, что условно сходящийся ряд может быть преобразован так, чтобы сходиться к любому числу. Вот немного более простой, но похожий факт. Если an≥0an≥0 таково, что an → 0an → 0 при n → ∞n → ∞, но ∑n = 1∞an∑n = 1∞an расходится, то для любого числа AA существует последовательность snsn из ± 1 ± 1 такие, что ∑n = 1∞ansn → A.∑n = 1∞ansn → A. Покажем это для A> 0A> 0 следующим образом.

1. Рекурсивно определить snsn как sn = 1sn = 1, если Sn − 1 = ∑k = 1n − 1aksk
2. Объясните, почему в конечном итоге Sn≥A, Sn≥A и для любого мм больше этого n, n, A − am≤Sm≤A + am.A − am≤Sm≤A + am.
3. Объясните, почему из этого следует, что Sn → ASn → A при n → ∞.п → ∞.

— Исчисление, том 2

Цели обучения

• Используйте тест чередующихся серий для проверки сходимости чередующихся серий.
• Оценить сумму переменного ряда.
• Объясните значение абсолютной и условной конвергенции.

До сих пор в этой главе мы в основном обсуждали ряды с положительными терминами. В этом разделе мы вводим чередующиеся серии — те серии, члены которых чередуются по знаку.В следующей главе мы покажем, что эти ряды часто возникают при изучении степенных рядов. После определения чередующихся серий мы вводим тест чередующихся серий, чтобы определить, сходится ли такой ряд.

Испытание чередующейся серии

Ряд, члены которого чередуют положительные и отрицательные значения, является чередующимся рядом. Например, серия

и

— это чередующиеся серии.

Определение

Любая серия, члены которой чередуются между положительными и отрицательными значениями, называется чередующейся серией.Переменный ряд можно записать в виде

или

Где для всех натуральных чисел n .

(1), показанная на (Рисунок), представляет собой геометрическую серию. Поскольку ряд сходится. Ряд (2), изображенный на (рис.), Называется переменным гармоническим рядом. Мы покажем, что в то время как гармонический ряд расходится, знакопеременный гармонический ряд сходится.

Чтобы доказать это, мы рассмотрим последовательность частичных сумм ((рисунок)).

Проба

Рассмотрим странные термины для С

Следовательно, это убывающая последовательность.Также

Следовательно, ограничено снизу. Поскольку — ограниченная снизу убывающая последовательность, по теореме о монотонной сходимости сходится. Точно так же четные члены образуют возрастающую последовательность, ограниченную сверху, потому что

и

Следовательно, по теореме о монотонной сходимости последовательность также сходится. С

мы знаем, что

Допуская и используя тот факт, что мы заключаем, что Поскольку нечетные члены и четные члены в последовательности частичных сумм сходятся к одному и тому же пределу, можно показать, что последовательность частичных сумм сходится к, и, следовательно, чередующийся гармонический ряд сходится к

Также можно показать, что и мы можем написать

□

В более общем смысле, любой чередующийся ряд формы (3) ((Рисунок)) или (4) ((Рисунок)) сходится до тех пор, пока и ((Рисунок)). Доказательство аналогично доказательству для знакопеременного гармонического ряда.

Испытание чередующейся серии

Переменный ряд формы

сходится, если

1. для всех и

Это известно как испытание чередующейся серии.

Заметим, что эта теорема верна в более общем смысле, пока существует такое целое число, что для всех

Определите, сходится ли ряд или расходится.

Подсказка

Уменьшается? Что такое

Абсолютная и условная сходимость

Рассмотрим ряд и связанный ряд Здесь мы обсуждаем возможности взаимосвязи между сходимостью этих двух рядов. Например, рассмотрим чередующийся гармонический ряд. Ряд, члены которого являются абсолютными значениями этих членов, является гармоническим рядом, поскольку поскольку чередующийся гармонический ряд сходится, но гармонический ряд расходится, мы говорим, что чередующийся гармонический ряд демонстрирует условную сходимость.

Для сравнения рассмотрим ряд. Ряд, члены которого являются абсолютными значениями членов этого ряда, и есть ряд. Поскольку оба ряда сходятся, мы говорим, что ряд демонстрирует абсолютную сходимость.

Как показывает чередующийся гармонический ряд, ряд может сходиться, но может расходиться. Однако в следующей теореме мы показываем, что если сходится, то сходится.

Абсолютная конвергенция подразумевает конвергенцию

Если сходится, значит сходится.

Проба

Предположим, что сходится. Мы показываем это, используя тот факт, что или, следовательно, или Следовательно, следовательно, с помощью сравнительного теста, поскольку сходится, ряд

сходится. Используя алгебраические свойства сходящихся рядов, заключаем, что

сходится.

□

Абсолютная и условная сходимость

Для каждого из следующих рядов определите, сходится ли ряд абсолютно, сходится условно или расходится.

Определите, сходится ли ряд абсолютно, сходится условно или расходится.

Серия абсолютно сходится.

Подсказка

Сначала проверьте абсолютную сходимость.

Чтобы увидеть разницу между абсолютной и условной сходимостью, посмотрите, что происходит, когда мы переставляем члены чередующегося гармонического ряда. Мы показываем, что мы можем переставить члены так, чтобы новый ряд расходился.Конечно, если мы переставим члены конечной суммы, сумма не изменится. Однако, когда мы работаем с бесконечной суммой, могут происходить интересные вещи.

Начните с добавления достаточного количества положительных членов, чтобы получить сумму, превышающую некоторое действительное число. Например, позвольте и найти такое целое число, что

(Мы можем это сделать, потому что ряд расходится до бесконечности.) Затем вычтите Затем добавьте больше положительных членов, пока сумма не достигнет 100. То есть найдите другое целое число, такое, что

Затем вычесть Продолжая таким образом, мы нашли способ переупорядочить члены в чередующемся гармоническом ряду так, чтобы последовательность частичных сумм для переставленного ряда была неограниченной и, следовательно, расходилась.

Члены в чередующемся гармоническом ряду также можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к другому значению. На (Рисунок) мы показываем, как переставить термины, чтобы создать новый ряд, который сходится к. Мы указываем, что чередующийся гармонический ряд может быть перегруппирован для создания ряда, сходящегося к любому действительному числу, однако доказательство этого факта невозможно объем этого текста.

В общем, любой ряд, который условно сходится, можно переупорядочить так, чтобы новый ряд расходился или сходился к другому действительному числу.Сходящийся ряд абсолютно не обладает этим свойством. Для любого ряда, который абсолютно сходится, значение одинаково при любой перестановке членов. Этот результат известен как теорема Римана о перестановке, что выходит за рамки этой книги.

Перестановка серии

Используйте тот факт, что

, чтобы переставить члены в чередующемся гармоническом ряду так, чтобы сумма преобразованного ряда была

Ключевые уравнения

• Переменная серия
  
  

Укажите, сходится ли каждый из следующих рядов абсолютно, условно или нет.

Не сходится при тестировании расхождения. Сроки не стремятся к нулю.

Условно сходится при проверке чередующихся серий, так как убывает. Совершенно не сходится по сравнению с р -серия

Абсолютно сходится по сравнению с лимитом к примеру.

Расхождения по результатам теста расхождения с

Не сходится.Сроки не стремятся к нулю.

Расхождения по тесту дивергенции.

Сходится при испытании чередующихся серий.

Условно сходится при испытании чередующихся серий. Абсолютно не сходится по предельному сравнению с р -серия,

Diverges; сроки не стремятся к нулю.

Сходится при испытании чередующихся серий. Абсолютно не сходится по предельному сравнению с гармоническими рядами.

( Подсказка: Рационализируйте числитель.)

( Подсказка: Найдите общий знаменатель, затем рационализируйте числитель.)

Абсолютно сходится по сравнению с серией p после применения подсказки.

( Подсказка: Используйте теорему о среднем значении.)

Сходится при проверке чередующихся серий, так как при больших значениях уменьшается до нуля. Абсолютно не сходится при сравнении предельных значений с гармоническими рядами после применения подсказки.

сходится абсолютно, т.к. являются членами телескопической серии.

Термины не стремятся к нулю. Серия расходится по тесту дивергенции.

Сходится при испытании чередующихся серий. Абсолютно не сходится по предельному сравнению с гармоническими рядами.

В каждой из следующих задач используйте оценку, чтобы найти значение, которое гарантирует, что сумма первых членов чередующегося ряда отличается от бесконечной суммы не более чем на заданную ошибку.Рассчитайте частичную сумму для этого

[T] ошибка

[T] ошибка

[T] ошибка

[T] ошибка

[T] ошибка

Для следующих упражнений укажите, является ли каждое из следующих утверждений истинным или ложным. Если утверждение неверно, приведите пример, в котором оно неверно.

Если убывает, а затем сходится абсолютно.

Если убывает и сходится условно, но не абсолютно, то не стремится к нулю.

Верно. Если одно сходится, то и другое должно сходиться, что подразумевает абсолютное схождение.

Предположим, что это сходящаяся последовательность положительных действительных чисел.

Предположим, что это произвольная последовательность единиц и минус единиц. Обязательно сходится?

Предположим, что это такая последовательность, которая сходится для всех возможных последовательностей нулей и единиц.Сходится абсолютно?

Следующая серия не удовлетворяет гипотезе испытания чередующейся серии, как указано.

В каждом случае укажите, какая гипотеза не выполняется. Укажите, сходится ли серия абсолютно.

Не уменьшается. Не сходится абсолютно.

Не чередуется. Может быть выражено как что расходится по сравнению с

Показать, что чередующийся ряд соответствует

не сходятся.Какая гипотеза теста чередующихся серий не выполняется?

Предположим, что абсолютно сходится. Покажите, что ряд, состоящий из положительных членов, также сходится.

Показать, что чередующиеся ряды не сходятся. Какая гипотеза теста чередующихся серий не выполняется?

Сколько членов необходимо для приблизительного вычисления с погрешностью не более

Сколько членов необходимо для приблизительного вычисления с погрешностью не более

Следующие чередующиеся ряды сходятся к заданным кратным значениям Найти значение, предсказанное оценкой остатка, так что частичная сумма ряда точно аппроксимирует левую часть с точностью до заданной ошибки.Найдите минимум, для которого сохраняется граница ошибки, и дайте желаемое приблизительное значение в каждом случае. С точностью до десятичных знаков,

[T] ошибка

[T] Серия играет важную роль в обработке сигналов. Показать, что сходится всякий раз, когда ( Подсказка: Используйте формулу для синуса суммы углов.)

[T] Если что такое

Частичная сумма такая же, как и для переменного гармонического ряда.

[T] Постройте ряд для и опишите его график.

Вот типичный результат. Верхняя кривая состоит из частичных сумм гармонического ряда. Нижняя кривая отображает частичные суммы случайного гармонического ряда.

Квадрат, куб, квадратный корень и кубический корень

Калькулятор квадрата, куба, квадратного корня и кубического корня

Квадрат, куб, квадратный корень и кубический корень для чисел с диапазоном 0-100

Число x	Квадрат x 2	Куб x 3	Квадратный корень x 1/2	Кубический корень x 1/3
1	1	1 908 1.000	1.000
2	4	8	1.414	1.260
3	9	27	1,732			2. 000	1,587
5	25	125	2,236	1,710
6	36	216	2.449	1,817
7	49	343	2,646	1,913
8	64	512	2,828	8		3.000	2.080
10	100	1000	3.162	2.154
11	121	1331	3.317	2,224
12	144	1728	3,464	2,289
13	169	2197	3,608 9036	2197	3,608 903	3,742	2,410
15	225	3375	3,873	2,466
16	256	4096	4.000	2,520
17	289	4913	4,123	2,571
18	324	5832	4,243 198368	9036	4,243 2,621			4,359	2,668
20	400	8000	4,472	2,714
21	441	9261	4. 583	2,759
22	484	10648	4,690	2,802
23	529	12167	835529	12167	8358359	12167	8358 903	8358	4,899	2,884
25	625	15625	5.000	2,924
26	676	17576		099	2,962
27	729	19683	5,196	3,000
28	784	21952	8 3,0	5,385	3,072
30	900	27000	5,477	3,107
31	961	29791	5.568	3,141
32	1024	32768	5,657	3,175
33	1089	35937	8358358 9036 903	5,831	3,240
35	1225	42875	5,916	3,271
36	1296	46656	000	3,302
37	1369	50653	6,083	3,332
38	1444	54872	8 6,13562 9036	54872	8 6,13562 9036 9036	6,245	3,391
40	1600	64000	6,325	3,420
41	1681	68921	6. 403	3,448
42	1764	74088	6,481	3,476
43	1849	79507	8 6,5578 9036 903	6,633	3,530
45	2025			6,708	3,557
46	2116	97336 6.782	3,583
47	2209	103823	6,856	3,609
48	2304	110592	8 9036 117 9036 903	7.000	3.659
50	2500	125000	7.071	3.684
51	2601	132651	141	3,708
52	2704	140608	7,211	3,733
53	2809	148877	2809	148877	2809	148877	8358 9036	8 9036 906	7,348	3,780
55	3025	166375	7,416	3,803
56	3136	175616	483	3,826
57	3249	185193	7,550	3,849
58	3364	195112	8	8 903 8358 903	7,681	3,893
60	3600	216000	7,746	3,915
61	3721	226981 7	3. 936
62	3844	238328	7.874	3.958
63	3969	250047	8 9036	8 9036 909	8.000	4.000
65	4225	274625	8.062	4.021
66	4356	287496 8.124	4,041
67	4489	300763	8,185	4,062
68	4624	314432	8 8,2358	314432	8 8,246		8,307	4,102
70	4900	343000	8,367	4,121
71	5041	357911		426	4,141
72	5184	373248	8,485	4,160
73	5329	389017	8358 9036	8 9036	8 903 836 908	8,602	4,198
75	5625	421875	8,660	4,217
76	5776	4389735 8. 718	4,236
77	5929	456533	8,775	4,254
78	6084	474552	8358 9036 9036	8,8328 903	8,888	4,291
80	6400	512000	8,944	4,309
81	6561	531441 9.000	4,327
82	6724	551368	9,055	4,344
83	6889	571787	8358358 9036 9062	9,110 9036	9,165	4,380
85	7225	614125	9,220	4,397
86	7396		63603556	9,434	4,465
90	8100	729000	9,487	4,481
91	8281	753571 93571	4,498
92	8464	778688	9,592	4,514
93	8649	804357	8 9036	8	9,695	4,547
95	9025	857375	9,747	4,563
96	9216	884736 9,836	798	4,579
97	9409		3	9,849	4,595
98	9604	941192	8	9. 950	4.626
100	10000	1000000	10.000	4,642

Загрузите и распечатайте квадрат, куб, квадратный корень

и кубический корень

Используйте расширение Engineering ToolBox Sketchup — для добавления кубических линий в модели Sketchup.

Упражнения: чередующиеся серии — Ximera

Упражнения, относящиеся к чередующимся рядам и абсолютной или условной сходимости.

Да Нет, это не так чередование Нет, слагаемые не уменьшаются Нет, слагаемые не уходят в ноль

Примеры вопросов викторины

Для каждого ряда ниже определите, сходится ли он абсолютно (A), сходится ли условно (C), либо расходится (D). Покажите, как вы использовали тесты сходимости для приду к вашему ответу.

I: C, II: D, III: D I: C, II: A, III: C I: A, II: C, III: A I: D, II: C, III: D I: C, II: D, III: C I: C, II: A, III: A

II: сходится абсолютно. Ряд абсолютно сходится при прямом сравнении с -серия с.

III: сходится условно. Ряд сходится по критерию знакопеременного ряда. потому что уменьшается до as и чередуется по значению между и.Однако для всех большой, поэтому при прямом сравнении с гармоническим рядом этот ряд не совсем сходящийся. Поэтому сходимость условна.

Для каждого ряда ниже определите, сходится ли он абсолютно (A), сходится ли условно (C), либо расходится (D). Покажите, как вы использовали тесты сходимости для приду к вашему ответу.

I: D, II: D, III: D I: D, II: A, III: C I: C, II: C, III: A I: A, II: C, III: D I: D, II: D, III: C I: D, II: A, III: A

II: расходится. Сериал расходится потому (потому что). По предельному сравнению по теореме, это означает, что серия имеет то же поведение, что и-серия с, что означает он расходится.

III: сходится условно. Ряд сходится, потому что это сумма два сходящихся ряда: один с членами (который является сходящимся рядом чередующийся тест серии, потому что уменьшается до нуля) и второй с членами (которые является сходящейся-серией). Однако ряд не совсем сходится, потому что для, который является суммой расходящихся -серий с и абсолютно сходящиеся чередующиеся -серии с. Таким образом, ряд условно сходится.

Какой из следующих интервалов содержит значение бесконечного ряда

Функция положительна и уменьшается до нуля, поэтому с помощью теста чередующихся серий мы знайте, что частичные суммы чередуются выше и ниже фактического значения суммы. В в частности, если мы называем значение суммы, то и так далее.Последние два неравенства вместе подразумевают, что принадлежит интервалу.

Образцы вопросов к экзамену

Определите, сходятся ли следующие ряды абсолютно (A), сходятся ли условно (C), или расходятся (D). Для полного доверия не забудьте объяснить свои доводы и укажите, какие тесты использовались.

оба A один A, другой C один A, другой D оба C один C, другой D оба D

Альтернативное капельное орошение с частичной корневой зоной улучшает эффективность использования воды и азота сладко-восковой кукурузы с азотным фертигацией

1.

Ран, М. Ю. Текущая ситуация и меры противодействия эксплуатации и использованию региональных водных ресурсов в Китае. J. Sichuan Normal Univ. (Естественные науки) 24 , 416–419 (2015).

Google Scholar

11.{n-1} \ over n} = {1 \ over1} + {- 1 \ over2} + {1 \ over3} + {- 1 \ over4} + \ cdots = {1 \ over1} — {1 \ over2} + {1 \ over3} — {1 \ over4} + \ cdots. \]

В этой серии размеры термов уменьшаются, то есть \ (| a_n | \) образует убывающую последовательность, но этого не требуется в чередующейся серии. Однако, как и в случае с положительными термальными рядами, когда члены действительно имеют уменьшающийся размер, их легче анализировать, что гораздо проще, чем положительные термальные ряды. Рассмотрим наглядно, что происходит в чередующемся гармоническом ряду, показанном на рисунке 11.4.1. Поскольку размеры членов \ (a_n \) уменьшаются, частичные суммы \ (s_1 \), \ (s_3 \), \ (s_5 \) и так далее образуют убывающую последовательность, ограниченную снизу величиной \ ( s_2 \), поэтому эта последовательность должна сходиться. Точно так же частичные суммы \ (s_2 \), \ (s_4 \), \ (s_6 \) и т. Д. Образуют возрастающую последовательность, ограниченную сверху значением \ (s_1 \), поэтому эта последовательность также сходится. Поскольку все частичные суммы с четными номерами меньше, чем все суммы с нечетными номерами, и поскольку «скачки» (то есть члены \ (a_i \)) становятся все меньше и меньше, две последовательности должны сходиться к одному и тому же значению. , что означает, что вся последовательность частичных сумм \ (s_1, s_2, s_3, \ ldots \) ​​также сходится.{n-1} a_n \) сходится.

Проба

Нечетные пронумерованные частичные суммы, \ (s_1 \), \ (s_3 \), \ (s_5 \), и так далее, образуют невозрастающую последовательность, потому что \ (s_ {2k + 3} = s_ {2k + 1} -a_ {2k + 2} + a_ {2k + 3} \ le s_ {2k + 1} \), поскольку \ (a_ {2k + 2} \ ge a_ {2k + 3} \). {n-1} a_n.{п-1} а_н. \) В зависимости от того, является ли \ (N \) нечетным или четным, второе будет больше или меньше первого.

Пример 11.4.2

Приближают чередующиеся гармонические ряды к одному десятичному знаку.

Раствор

Нам нужно примерно перейти к точке, в которой следующий член, который нужно добавить или вычесть, будет \ (1/10 \). Сложив первые девять и первые десять членов, мы получим примерно \ (0,746 \) и \ (0,646 \). Они находятся на расстоянии \ (1/10 \) друг от друга, но неясно, как будет округлено правильное значение.п а_н \) и др.

Авторы и авторство

оценок по алгебре для корней

Хотя следующий процесс якобы предназначен для нахождения наименьших верхних и наибольших нижних интегральных границ для действительных корней полиномиальных уравнений, у него есть приятное побочное преимущество — пары последовательных целых чисел, между которыми находится действительный корень. также обнаруживаются при нахождении этих границ. По этой причине в следующих примерах я буду указывать как на границы, так и на пары целых чисел, которые «улавливают» действительные корни. Общая информация: Как вы, возможно, уже догадались, поиск корней (или решений) уравнения обычно не является тривиальным процессом. В настоящий момент нас интересует поиск корней (или решений) полиномиального уравнения. Теперь многочлены являются одним из самых основных алгебраических выражений, поскольку нет экспонент, логарифмов, дробей с переменными в знаменателе или переменных под радикалами. (полином — это алгебраическое выражение, в котором показатели переменных являются целыми числами, а в знаменателе нет переменных) Однако найти решения полиномиальных уравнений непросто. Решениями полиномиальных уравнений могут быть действительные или мнимые числа. Прямо сейчас мы займемся только реальными решениями. Напомним, что если действительное число r является решением полиномиального уравнения P (x) = 0, то P (r) = 0. 2 + x — 2 будет касаться оси x, где x = 1. Обратите внимание, что мы говорим, что график касается оси x в точке x = r. Это означает, что он может либо проходить через ось, либо нет, но график будет соприкасаться с осью x. Никакие старые границы не годятся : Иногда бывает полезно найти границы действительных корней многочлена. Это означает, что мы ищем число, которое больше всех корней (верхняя граница) и число, которое меньше всех корней (нижняя граница) . На самом деле это довольно просто для многочленов, с которыми мы столкнемся в этом классе, потому что я могу просто выбрать действительно большое число, скажем 1000000, и вычислить, что ни один корень не будет больше 1 миллиона. Точно так же я могу предположить, что ни один корень не будет меньше -1000000, и, вероятно, буду прав. Но знание того, что график коснется оси x где-то в интервале (-1000000, 1000000), на самом деле не дает много полезной информации о местоположении корней. Хотелось бы, чтобы расположение корней было более конкретным. Наименьшая верхняя граница и наилучшая нижняя граница Что действительно помогло бы, так это если бы мы могли определить МАЛЕНЬКИЙ верхнюю границу и НАИЛУЧШУЮ нижнюю границу , чтобы корни были ограничены наименьшим возможным интервалом. Если корни оказываются иррациональными, тогда не существует наименьшей верхней границы, потому что сам корень является непрерывным, неповторяющимся десятичным числом, поэтому мы не можем найти число, которое будет находиться рядом с ним на числовой строке.Итак, мы идем на компромисс и ищем верхнюю границу LEAST INTEGER (LUB) и нижнюю границу GREATEST INTEGER (GLB) , которые мы можем найти. (Напомним, что целые числа: {…..- 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….}) Чтобы помочь нам определить границы действительных корней, мы воспользуемся теоремой из вашего текста: ТЕОРЕМА ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ НАСТОЯЩИХ КОРНЕЙ Рассмотрим полиномиальное уравнение f (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 +….. + a 1 x + a 0 = 0 , где все коэффициенты являются РЕАЛЬНЫМИ числами, а n положительным. 1. Если мы используем синтетическое деление для деления f (x) на x — B, где B> 0, и мы получим третью строку, не содержащую отрицательных чисел, то B будет верхней границей для действительных корней f (x). = 0, 2. Если мы используем синтетическое деление для деления f (x) на x — b, где b <0, и мы получим третью строку, в которой числа поочередно положительные и отрицательные, тогда b будет нижней границей для действительных корней. функции f (x) = 0.(При определении того, чередуются ли знаки в третьей строке, нули игнорируются.) ВНИМАНИЕ! Число может не пройти тест на нижнюю границу, но все равно будет нижней границей. Однако, если число проходит проверку нижней границы, оно ЯВЛЯЕТСЯ нижней границей. Мы используем эту теорему очень систематически, чтобы найти первое положительное целое число, удовлетворяющее условию оценки сверху.То есть мы пробуем 1, затем 2, затем 3 (и так далее), пока не найдем первое действующее положительное целое число. Чтобы найти нижнюю границу, мы делаем то же самое. Попробуйте -1, затем -2, затем -3 (и так далее), пока мы не найдем первое отрицательное целое число, удовлетворяющее условию нижней границы. Вот пример: Определите верхнюю границу наименьшего интеграла и нижнюю границу наибольшего интеграла для действительных корней многочлена x 4 — 3 x 2 + x — 12 = 0 Как было сказано ранее, мы будем использовать синтетическое деление, чтобы сначала попробовать 1, затем 2 и так далее, пока не найдем FIRST POSITIVE INTEGER , который проходит проверку верхней границы.Для консолидации синтетического деления будут показаны только третьи строки каждого этапа синтетического деления Поскольку последняя строка не содержит отрицательных чисел, мы можем объявить, что 3 — это верхняя граница наименьшего целого, которую мы можем найти с помощью этой теоремы. Теперь поищем наибольшую нижнюю границу. В этом случае мы ищем FIRST NEGATIVE INTEGER , который проходит проверку верхней границы. Мы будем пробовать, -1, -2 и так далее, пока последняя строка синтетического деления не поменяется знаками.Опять же, чтобы закрепить синтетическое разделение, будут показаны только третьи строки каждого этапа синтетического разделения Поскольку в последней строке чередуются положительные и отрицательные значения, мы можем объявить, что — 3 — это наибольшая нижняя граница интеграла, которую мы можем найти с помощью этой теоремы . ПРИМЕЧАНИЕ. Не всегда верхняя и нижняя границы будут аддитивно инвертировать друг друга. РАСПОЛОЖЕНИЕ НАСТОЯЩИХ КОРНЕЙ МЕЖДУ ПОСЛЕДУЮЩИМИ Целыми числами Мы можем почерпнуть еще одну полезную информацию из этих двух таблиц.Для этого мы обратимся к теореме о расположении. ТЕОРЕМА МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ Пусть f (x) будет многочленом, все коэффициенты которого являются действительными числами. Если a и b — действительные числа, такие что f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, то уравнение f (x) = 0 имеет по крайней мере один действительный корень между a и b. Из таблиц видим следующее: P (0) = — 12 П (1) = — 13 П (2) = — 6 П (3) = 45 П (-1) = — 15 П (-2) = — 10 П (-3) = 39 P (2) и P (3) имеют противоположные знаки, поэтому согласно теореме о местонахождении, уравнение P (x) = 0 имеет по крайней мере один НАСТОЯЩИЙ корень между 2 и 3.Также существует настоящий корень между -3 и — 2. Примечание: Обычно мы заинтересованы в нахождении действительных корней между последовательными целыми числами по двум причинам. Во-первых, с целыми числами легче работать с нецелыми рациональными числами. (как вы думаете, почему это так?) Во-вторых, нас интересуют последовательные целые числа, потому что последовательные целые числа ближе друг к другу, чем непоследовательные, поэтому они «захватывают корень» в более узком интервале.Например, поскольку P (3) и P (-1) имеют противоположные знаки, существует ловушка корня между -1 и 3. Однако P (2) и P (3) также имеют противоположные знаки, поэтому есть ловушка корня между 2 и 3. Поскольку [2,3] определяет меньший интервал, чем [-1,3], интервал [2,3] предоставляет более полезную информацию о корне, если нам когда-либо понадобится его искать (а вы просто знай кто будет). И последнее замечание: Почему мы не находим границ мнимым корням, а также реальным корням? Это потому, что у мнимых чисел нет свойства порядка, которое применяется к набору действительных чисел. Это означает, что концепция <и> не имеет значения для мнимых чисел.Было бы неплохо, если бы мы могли сказать, что все корни <НАИМЕНЕЕ ВЕРХНЕЙ ОГРАНИЧЕНИЯ (LUB), но это утверждение не имеет значения для мнимых корней. Итак, лучшее, что мы можем сказать, это то, что все НАСТОЯЩИЕ корни - это GLB. Вы должны признать, что это интересный материал, не так ли? © 1999 Jo Steig