Вертикальные и смежные углы 7 класс: Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы - Геометрия

Содержание

Урок 6. смежные и вертикальные углы. аксиомы и теоремы — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие смежных и вертикальных углов
Свойства смежных и вертикальных углов
Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

Сумма смежных углов равна 180⁰.
Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180^о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180

о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180^о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90⁰, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180⁰ и ∠3+ ∠2= 180⁰. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____⁰

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180⁰. По условию задачи ∠АОК= 11⁰, то ∠ВОК+ ∠АОК= 180⁰

∠ВОК+ 11⁰= 180⁰

∠ВОК= 180⁰– 11⁰= 169⁰.

Ответ: ∠ВОК= 169⁰

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Варианты ответов:

112⁰
64⁰
116⁰
68⁰

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32

0+ 32⁰= 64⁰. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180⁰–∠COD= 180⁰– 64⁰=116⁰.

Ответ: 116⁰

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125⁰, ∠BMC= 115⁰.

∠BМD=____⁰.

Выделите верный ответ из списка:

60⁰; 30⁰; 75⁰; 90⁰

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180⁰. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180⁰–∠AMD= 180⁰-–125⁰= 55⁰. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 115⁰– 55⁰= 60

Верный ответ: 60⁰

Презентация «Смежные и вертикальные углы»

Слайд №2
	Цели: 13.07.2012 Ознакомить с понятием смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства; Научить строить угол, смежный с данным углом, изображать вертикальные углы, находить на рисунке вертикальные и смежные углы. 2 www.konspekturoka.ru
Слайд №3
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 3 Луч ОС делит < АОВ на два <АОС , <СОВ – смежные углы Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Изучение нового материала
Слайд №4
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 3 угла: < АОВ — развернутый <АОС , <СОВ – смежные углы Сколько углов изображено на рисунке? Изучение нового материала
Слайд №5
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 5 Да: < АОВ = <АОС + <СОВ Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами ? Изучение нового материала Как по- другому можно записать данное равенство? Так как < АОВ = 180° – развернутый угол, то <АОС + <СОВ = 180°
Слайд №6
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 6 Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°. <АОС + <СОВ = 180°
Слайд №7
	Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. а1 а2 b1 b2 A <(а1b1) и <(a2b2) — вертикальные 13.07.2012 7 www.konspekturoka.ru
Слайд №8
	Построение вертикальных углов S F 13.07.2012 8 www.konspekturoka.ru
Слайд №9
	Назовите вертикальные углы, изображённые на чертеже. 1 < BMA = <CME – вертикальные углы Вертикальные углы равны. 13.07.2012 9 www.konspekturoka.ru
Слайд №10
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 10 Назовите вертикальные углы, изображённые на чертеже. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 <1 и <2; <11 и <12; <3 и <10; <9 и <8; <4 и <6; <5 и <7.
Слайд №11
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 11 G F O H K 1360 ? Задача Вычислите градусные меры углов, изображённых на чертеже. <GOK = <FOH = 136°
Слайд №12
	A В М С Е ? ? ? ? Вычислите градусные меры углов, изображённых на чертеже, если один из углов на 500 больше другого. Задача Решение Пусть меньший угол х°, тогда больший угол х + 50(°) х х + 50° Если <АМВ = х, то <ВМС = х + 50° Так как сумма смежных углов равна 180°, то составим уравнение х + х + 50° = 180° 2х + 50° = 180° 2х = 180° — 50° 2х = 130° х = 130° : 2 х = 65° <АМВ = 65°, то <ВМС = 65° + 50° = 115° 13.07.2012 12 www.konspekturoka.ru
Слайд №13
	13.07.2012 www.konspekturoka.ru 13 Задача эти углы — ? АС ? ВЕ = М, сумма двух углов – 500 Решение Так как сумма двух углов – 500 , то это могут быть только вертикальные углы. <АМВ = 50° : 2 = 25° <ЕМС = <АМВ = 25°
Слайд №14
	Пример оформления задач При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Один из них равен 430. Найдите величины остальных углов. Дано: PF ? MK = O ? MOF = 43? Найти: ? FOK, ? KOP, ? MOP Решение: ?МОF и ?KOP вертикальные, значит, по свойству вертикальных углов, ?МОF = ?KOP , ?KOP = 43° 2. ?МОF + ?FOK = 180°, так как они смежные. Отсюда ?FOK = 180°- 43°= 137° 3. ?FOK и ?POM вертикальные, значит ?FOK = ?POM , ?POM =137° Ответ: 1370, 430, 1370 1 13.07.2012 14 www.konspekturoka.ru
Слайд №15
	Один из смежных углов на 320 больше другого. Найдите величину каждого угла. Дано: ?АОВ и ?ВОС смежные, ?АОВ — ?ВOС = 32°. Найти: ?АOВ , ?ВOС . Решение: Пусть ? ВОС = х, тогда ? АОВ = 32+х По свойству смежных углов составим уравнение x + (32?+x) = 180? 2x = 180? — 32? 2x = 148? x= 74? Значит ? ВОС = 74?, а ? АОВ = 32?+74?=106? Ответ: ? АОВ = 106?, ? ВОС = 74? Пример оформления задач 2 13.07.2012 15 www.konspekturoka.ru
Слайд №16
	13.07.2012 16 Ответить на вопросы: Какие углы называем смежными? Какие углы называем вертикальными? Назвать свойство смежных углов. Как построить смежные углы? Назвать свойство вертикальных углов. Как построить вертикальные углы? www.konspekturoka.ru

Урок геометрии в 7 классе. «Смежные и вертикальные углы»

Урок геометрии в 7 классе

Смежные и вертикальные углы

Цель урока: ввести понятие «смежных» и «вертикальных» углов; рассмотреть их свойства; научить учащихся строить такие углы, находить на рисунках вертикальные и смежные углы; сформировать умения и навыки применять полученные знания свойств углов при решении задач; воспитывать аккуратность при выполнении рисунков в тетрадях и на доске, трудолюбие; развивать мышление, память, самостоятельность в учебной деятельности.

Тип урока: усвоение новых знаний

Ход урока:

Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.
Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос по технологии «Микрофон»

Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
Какая фигура называется углом? Как обозначается угол?
Какой угол называется развернутым?
Какой луч называется биссектрисой угла?
Что такое градусная мера угла?
Какой угол называется острым? прямым? тупым?
Луч AD проходит между сторонами угла CAK. Найдите градусную меру угла CAK, если , .

Сообщение темы и цели урока.
Изучение нового материала.

Задание классу (один учащийся работает возле доски)

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

Рис. 1 рис. 2 рис. 3

Сколько углов изображено на каждом из этих рисунков?

На каждом рисунке по три угла, два из которых имеют общую сторону.

— понятие смежных углов

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными.

Какое свойство измерения углов можно применить к ним?

На 1 и 3 рисунках угол АОС равен сумме углов АОВ и ВОС.

Можно ли назвать градусную меру каких-то из изображенных углов?

На рис.1 угол АОС равен 180⁰.

Проанализируйте, то что вы видите на рис.1 и сделайте вывод.

Два угла имеют общую сторону, а две другие стороны образуют развернутый угол, т.е. их сумма 180⁰.

Строим смежные углы, аналогично рис.1 и записываем свойство:

AOB + BОС = 180⁰.

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180⁰.

Задание классу:

Учитель на доске строит произвольный острый угол .

Сколько углов, смежных с данным можно построить?
Даны два смежных угла и , = 30⁰. Найдите .
Если один из смежных углов тупой (прямой, острый), то каким будет второй угол?

— понятие вертикальных углов

Постройте в тетрадях две пересекающиеся в точке О прямые АВ и СМ.

Сколько получилось неразвернутых углов? Пусть один из тупых углов равен 130⁰. Найдите остальные три угла и сделайте вывод.

При пересечении двух прямых, сколько неразвернутых углов образуется?

Назовите их (

Назовите углы , которые не являются смежными ( .

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Задание классу:

Какой предмет домашней обстановки дает вам представление о вертикальных углах? (Ножницы)
Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых? (Две)

Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

( т.к. — смежные и их сумма равна 180⁰)

(т.к. — смежные и их сумма равна 180⁰)

— вертикальные углы

Закрепление новых знаний и умений учащихся.

Могут ли два смежных угла быть равными: 1) 36⁰ и154⁰; 2) 59⁰ и 121⁰; 3) 93⁰ и 77⁰? Ответ обоснуйте.
Верно ли утверждение, что для каждого угла можно построить только один: 1) вертикальный угол; 2) смежный угол?
Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если:

Сумма двух из них равна 98⁰;
Разность двух из них равна 58⁰;
Все углы равны между собой;
Сумма трех из них равна 286⁰.

Итоги урока
Домашнее задание № 61(а,б,г), 66(а)

Смежные и вертикальные углы. Геометрия. 7 класс

1. Смежные и вертикальные углы Геометрия 7 класс

СМЕЖНЫЕ И
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
ГЕОМЕТРИЯ 7 КЛАСС

2. Смежные углы

СМЕЖНЫЕ
УГЛЫ
А
С
О
В
АОВ и
АОС — смежные
Два угла, у которых одна сторона
общая, а две другие являются
продолжением друг друга, называются
смежными
Подумайте: существует ли какая-нибудь взаимосвязь между
этими углами?

3. Свойство смежных углов

СВОЙСТВО СМЕЖНЫХ УГЛОВ
А
С
О
АОВ + АОС =180º
В
Сумма смежных углов равна 180.
АОВ + АОС = СОВ, но
АОВ + АОС =180º
СОВ – развернутый, значит

4. итак: если углы смежные, то их сумма равна 180º

ИТАК: ЕСЛИ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ, ТО ИХ
СУММА РАВНА 180º
Прочитайте это свойство наоборот:
если сумма двух углов равна 180º, то
эти углы смежные.
Верно ли это предложение?
50º
+
130º
=
180º

5. Вертикальные углы

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
А
D
О
В
С
Два угла, у которых
вершина общая, а стороны
являются продолжением
друг друга, называются
вертикальными.
Как вы думаете, каким особым свойством
обладают вертикальные углы?
вертикальные углы равны
А как можно проверить, что две фигуры равны?

6. Вертикальные углы

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
А
D
О
В
С
?
Две фигуры называются
равными, если они
совпадают при наложении
Проверим равны ли
вертикальные углы?
А как проверить равенство , если
наложение выполнить невозможно?
Попробуем доказать, что вертикальные углы
равны, используя уже известные факты

7. Свойство вертикальных углов

СВОЙСТВО
ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ
Вертикальные углы равны
Дано:
АОС и
Доказать:
ВОD – вертикальные
АОС =
ВОD
Доказательство.
1.
АОС и АОD — смежные, зн.
АОС+
АОD =180º
2.
ВОD и
AOD — смежные, зн. ВОD+
AOD =180º
3. Следовательно,
АОС= ВОD
что и требовалось доказать.

8. Вертикальные углы равны

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ РАВНЫ
А верно ли обратное утверждение:
если углы равны, то они вертикальные?
45°
=
45 °
Но они не вертикальные

9. Подумай и ответь!

ПОДУМАЙ И ОТВЕТЬ!
Верно ли, что два угла с
общей вершиной –
вертикальные?
Могут ли при
пересечении двух
прямых получиться три
острых угла?
Три тупых угла?
Четыре прямых угла?

10. Проверь:

ПРОВЕРЬ:
Верно ли, что два угла с
общей вершиной –
вертикальные?
Могут ли при
пересечении двух
прямых получиться три
острых угла?
Три тупых угла?
Четыре прямых угла?
да
нет

11. Заполните пропуски в тексте:

ЗАПОЛНИТЕ ПРОПУСКИ В ТЕКСТЕ:
Сумма смежных углов …
Угол, смежный с прямым…
Угол, смежный с тупым …
Вертикальные углы…
Биссектриса делит угол …

12. Проверьте:

ПРОВЕРЬТЕ:
Сумма смежных углов равна 180°
Угол, смежный с прямым — прямой
Угол, смежный с тупым — острый
Вертикальные углы равны
Биссектриса делит угол пополам

13. Домашнее задание:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Урок по геометрии в 7 классе по теме «смежные и вертикальные углы»

Урок по геометрии в 7 классе по теме: «Смежные и вертикальные углы»

	ФИО (полностью): Куприянович Марина Олеговна
	Место работы: МБОУ СОШ № 1 г. Архангельск
	Должность: учитель
	Предмет: геометрия
	Класс: 7
	Тема и номер урока в теме: Смежные и вертикальные углы Первый урок по теме
	Базовый учебник: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных школ под редакцией Погорелова А.М.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятиями смежных и вертикальных углов и их свойствами

9. Задачи:

— обучающие: Сформировать понятия о смежных и вертикальных углах, умения строить смежные и вертикальные углы, познакомить с задачами, в которых используются определения и свойства смежных и вертикальных углов

-развивающие: развивать логическое мышление, память, речь учащихся, внимание, умения анализировать

-воспитательные: воспитывать аккуратность, умение работать в парах

Тип урока: изучение нового материала
Формы работы учащихся: фронтальная работа, индивидуальная, работа в парах
Необходимое техническое оборудование: ЭОР, ЦОР, проектор, интерактивная доска, компьютер для учителя
Структура и ход урока:

Организация деятельности
Активизация знаний
Изучение нового материала
Закрепление изученного материала
Домашнее задание
Подведение итогов урока

Таблица 1

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

№	Этап урока	Название используемых ЭОР (с указанием порядкового номера из Таблицы 2)	Деятельность учителя (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)	Деятельность ученика	Время (в мин.)
1	2	3	5	6	7
1	Организационный		Проверить готовность учащихся к уроку, сообщить тему, цель и задачи урока	Подготовиться к уроку	1- 2
2	Актуализация знаний		Объясняет условие написания диктанта Математический диктант Запиши единицы измерения углов Положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле Градусная мера развернутого угла равна Градусная мера прямого угла равна Угол, градусная мера которого меньше 90°, называется Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называется Для измерения углов используют	Выполняют математический диктант, в дальнейшем осуществляем парную проверку	3-5
3	Изучение нового материала	Смежные углы (слайд 1) (№ 3) Вертикальные углы (слайд 1) (№ 4)	Осуществляет показ видеофрагмента и просит обучающихся ответить на вопросы: какие углы называются смежными? какие углы называются вертикальными? Просит учащихся раскрыть алгоритм построения смежных и вертикальных углов	Прослушивают видеоролик, важные факты фиксируют в тетрадях определение смежных углов определение вертикальных углов	10
4	Закрепление изученного материала		Готовит перед уроком на доске чертежи Задает вопросы учащимся, а затем просит учащихся прокомментировать свой ответ по готовым чертежам<Приложение 1>	В тетрадях отвечают на вопросы учителя, а затем комментируют свое решение по просьбе учителя	5
5	Изучение нового материала	Смежные углы (слайд2) (№ 3) Вертикальные углы (слайд2) (№ 4)	Продолжает осуществлять показ видеофрагментов и предлагает учащимся выдвинуть гипотезу о сумме смежных углов и равенстве вертикальных В форме беседы доказывает теоремы <Приложение2 >	Просматривают видеофрагмент, делают предположения о смежных и вертикальных углах, фиксируют доказательство теорем в тетради	18
6	Закрепление изученного материала	Смежные и вертикальные углы и их свойства. П4 Смежные углы и их свойства. П3	Учитель читает задания теста, после выполнения заданий организует самопроверку обучающихся	Выполняют задания, осуществляют самопроверку	5
7	Подведение итогов		Задает домашнее задание: п. 14,15 стр. 21 – 22 № 1,7 стр. 26	Записывают домашнее задание	2

Приложение к плану-конспекту урока

Смежные и вертикальные углы

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

№	Название ресурса	Тип, вид ресурса	Форма предъявления информации (иллюстрация, презентация, видеофрагменты, тест, модель и т.д.)	Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
1	Смежные и вертикальные углы и их свойства. П4	практический	Интерактивная модель с автоматизированной проверкой ответа: на ввод ответа, выбор ответа	/card/8200/smezhnye-i-vertikalnye-ugly-i-ih-svoystva-p4.html
2	Смежные углы и их свойства. П3	практический	Интерактивная модель с автоматизированной проверкой ответа: на ввод ответа, выбор ответа	/card/7495/smezhnye-ugly-i-ih-svoystva-p3.html
3	Вертикальные углы	информационный	видеофрагмент	/dlrstore/7383a628-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
4	Смежные углы	информационный	видеофрагмент	/dlrstore/7383a626-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm

Приложение1 (к конспекту урока)

Задачи по готовым чертежам

На рисунке изображены прямые AD и BC пересекающиеся в точке О. Дополните записи:

ВОD и … — вертикальные

ВОD и … — смежные

СОD и … — вертикальные

СОD и … — смежные

На рисунке изображен угол МОК. Постройте

а)смежный с ним угол

б) вертикальный ему угол

3.Запишите пары смежных углов, изображенных на рисунке

Приложение 2. (к конспекту урока)

Т. Сумма смежных углов равна 180°

Дано: угол 1 и угол 2 – смежные углы

Доказать: сумма углов 1 и 2 равна 180°

Доказательство:

Как называется угол АВ? (развернутый)
Как проходит луч в? (между сторонами развернутого угла)
Что вы можете сказать о сумме углов 1 и 2? (равна 180°)
Теорема доказана

Т. Вертикальные углы равны

Дано: углы 1 и 2 – вертикальные

Доказать: углы 1 и 2 равны

Доказательство:

Назовите угол смежный с углами 1 и 2
Чему равна сумма смежных углов?
Сделайте вывод о величине углов 1 и 2
Теорема доказана

Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

∠ABD + ∠DBC = 2d,

где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:

Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:

∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3

Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.

Вертикальные и смежные углы

Смежные углы и их свойства.

Два угла, у которых одна сторона общая,

а две другие являются продолжением одна другой,

называются смежными

Углы АМВ и СМВ – смежные.

Сумма смежных углов равна 180 0

Два угла называются вертикальными ,

если стороны одного угла являются

продолжениями сторон другого.

Углы АОВ и МО N являются

вертикальными.

Построение вертикальных углов

Углы АОВ и МО N являются

вертикальными.

х+ 20

Тренировочные задания

Дано: АВС и СВ D – смежные,

АВС – CBD = 20 0

Найдите: АВС, СВ D

Угол АВС на 20 0 больше угла СВ D

Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

3х

Тренировочные задания

Дано: KLM и MLN – смежные,

KLM = 3 MLN

Найдите: KLM , MLD

Угол KLM в 3 раза больше угла MLN

Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

Прямые MN и КР пересекаются в точке О,

причем сумма углов КОМ и N ОР равна 134 0 .

Найдите величину угла КО N .

67 0

113 0

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

Тренировочные задания

Дано: PQR и RQS – смежные,

RQS = 0,8 PQR

Найдите: RQS , PQR

Угол RQS составляет 0,8 части угла PQR

Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

0,8х

Тренировочные задания

Дано: ( ab) и (bc) – смежные,

(bc) : (ab) = 4 : 5

Найдите: ( ab) , (bc)

X – 1 часть

( bc) = 4x

(ab) = 5x

Саврасова С.М., Ястребинецкий Г.А. «Упражнения по планиметрии на готовых чертежах»

5 х

4 х

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов. в 3 раза D Тренировочные задания «

Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точки О, принадлежащей прямой АВ, в разные полуплоскости проведены лучи ОС и О D, причем угол АО D в 3 раза больше угла АОС. Найдите угол АОС, если ВО D = 126 0 .

3x+126 = 180

126 0

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

в 3 раза

Тренировочные задания

в 3 раза Угол NOK в 3 раза больше угла D ОМ, а угол DOK на 12 0 больше угла NOK . Найдите угол СО N . M Р x O D С 3 x +12 Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов. 3 x на 12 0 N К Тренировочные задания «

в 3 раза

Угол NOK в 3 раза больше угла D ОМ, а угол DOK на 12 0 больше угла NOK . Найдите угол СО N .

3 x +12

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

3 x

на 12 0

Тренировочные задания

Углы АОМ и СОМ – смежные. ОК – биссектриса угла АОМ, причем угол АОК в 4 раза меньше, чем угол СОМ. Найдите угол КОМ.

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

в 4 раза

Тренировочные задания

118 0

Прямые А B и С D пересекаются в точке О.

ОК – биссектриса угла АО D , СОК = 118 0 .

Найдите угол ВО D .

62 0

56 0

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

Тренировочные задания

Найдите остальные углы

10 0

30 0

140 0

Математика. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова.

Тренировочные задания

Угол СО D на 61 0 больше угла КО D

Дано: СО D – КО D = 61 0

СО D – КОС = 53 0

Найти: СО D

Угол СО D на 53 0 больше угла КОС.

Тогда угол КОС на 53 0 меньше угла СО D

х+61

х+61 –53

Тесты . Геометрия 7-9 классы. Учебно-методическое пособие. П.И. Алтынов.

Тренировочные задания

одного из смежных углов и другого составляют

в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

одного из смежных углов и другого составляют

в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

х-180

11 x

Один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше суммы трех остальных углов. Найдите эти четыре угла.

x+1 1х = 36 0

в 11 раз

Тренировочные задания

на 280 0 x+280 P O x K Математика. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова. N Тренировочные задания «

Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 280 0 больше четвертого угла.

Найдите эти четыре угла.

x+ х +280= 36 0

на 280 0

x+280

Тренировочные задания

Найди на чертеже для угла 1

вертикальный угол и щелкни по нему мышкой.

умница!

Найди на чертеже для угла 3 смежный угол и щелкни

по нему мышкой.

молодец!

Найди на чертеже для угла 1 вертикальный угол и

щелкни по нему мышкой.

умница!

SNY, MNF

44 0

L М N, CMF

L М N, CML

Смежные углы !

L М N, NMF

Смежные углы !

DFR, NFM

NFR, NFM

Смежные углы !

SNM, YNF

LMC, NMF

73 0

63 0

RFN, DFM

Найди пары вертикальных углов и щелкни по ним мышкой

Найти все углы, образованные при пересечении

двух прямых, если сумма углов OLA и VLZ равна 124 0.

OLA =

Сумма трёх углов 1, 2, 3,

образовавшихся при

пересечении двух

прямых равна 325 0 .

OLZ =

ZLV=

ALV=

2. Найти углы .

AOC =

50 0

Найдите углы.

70 0

BOD =

1 =

COE =

2 =

COD =

Дополнительные, дополнительные, вертикальные и смежные углы — стенограмма видео и урока

дополнительных углов

Хорошо, дальше идет дополнительных углов. Когда говорят, что пара углов является дополнительной, это означает, что эти два угла в сумме составляют 180 градусов. Как выглядит угол 180 градусов? Это похоже на прямую линию. Это прямая линия. Итак, если два угла дополняют друг друга, значит, вместе они образуют прямую линию. Например, два угла 115 и 65 являются дополнительными, поскольку в сумме они составляют 180, образуя прямую линию.

Если вас попросят проверить, являются ли два угла дополнительными, просто проверьте, дают ли они в сумме 180.

Если, с другой стороны, вас попросят найти угол, который дополняет другой угол, вы должны взять 180 и вычесть угол, чтобы найти дополнительный угол. Например, чтобы найти дополнительный угол к 95, вы берете 180 и вычитаете из него 95. Получаем 180 — 95 = 85. Итак, 85 и 95 — дополнительные углы.

вертикальных углов

В-третьих, давайте поговорим о вертикальных углах. Вертикальные углы противоположны друг другу, когда у вас есть пара пересекающихся линий. Представьте себе перекресток. Две ваши дороги образуют четыре угла, четыре угла. Если вы находитесь в одном углу, то вертикальный угол — это не угол рядом с вами, а диагональный угол. Чтобы попасть под вертикальный угол, нужно пройти перекресток по диагонали. Итак, если вы обозначили углы один, два, три и четыре вот так, то ваши вертикальные углы будут равны одному и трем, а также двум и четырем.Видите, как один и три находятся друг напротив друга? Это не углы, которые находятся рядом друг с другом. То же самое с двумя и четырьмя.

Итак, если вас просят найти угол, вертикальный по отношению к другому углу, вам нужно искать угол, который является противоположным, а не рядом с вашим углом. У вас могут быть только вертикальные углы, если у вас есть две прямые линии, пересекающие друг друга.

Смежные углы

Четвертые, смежных углов являются соседними углами.Пара углов, которые примыкают друг к другу, находятся рядом друг с другом. Эти два угла не обязательно должны образовывать какой-либо особый угол; они просто должны быть рядом друг с другом. Возвращаясь к нашему помеченному перекрестку, углы один и два смежны. Таковы два и три, три и четыре, и четыре и один. Все эти пары углов расположены рядом друг с другом. Углы один и три не находятся рядом друг с другом и, следовательно, не являются смежными углами. Если вас попросят найти пару смежных углов, просто найдите два угла, которые находятся рядом друг с другом.

Краткое содержание урока

Итак, что вы узнали? Вы узнали, что дополнительных углов — это два угла, которые в сумме составляют 90 градусов, дополнительных углов — это два угла, которые в сумме составляют 180 градусов, вертикальных углов — это противоположные углы на пересечении двух прямых линий и смежных углы — это два угла, которые расположены рядом друг с другом.

Результаты обучения

Изучите этот урок, имея в виду следующие цели:

Определите, являются ли два угла дополнительными или дополнительными
Различия между вертикальными и смежными углами
Найдите дополнительные, дополнительные, вертикальные и смежные углы

Прилегающие и вертикальные углы | Вертикально противоположные углы

Мы не можем представить нашу жизнь без изучения форм, и мы изучаем различные формы, углы и треугольники в геометрии.Геометрия — важный раздел математики. Здесь мы собираемся обсудить углы, которые также являются одной из важных частей математики. Угол образован двумя лучами, соединяющимися в точке, имеющей один общий конец. Существует несколько типов углов, таких как острый угол, тупой угол, прямой угол и т. Д. Кроме того, эти типы углов делятся на пару углов, таких как дополнительные углы, дополнительные углы, линейная пара углов, противоположные углы, смежные углы и т. Д. С помощью материалов, представленных ниже, мы поможем вам узнать о смежных углах.

Смежные углы

Углы, которые имеют общее плечо и вершину, называются смежными углами. Более того, углы, которые образуются бок о бок, также называются смежными углами. Основная часть этих углов в том, что они никогда не перекрывают друг друга.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенных выше рисунках мы показали, какие типы углов называются смежными углами. На рис. 2 angle c и angled примыкают друг к другу, потому что у них есть общая вершина и одно общее плечо, образующее два разных угла.На рис. 1 угол x и угол y не являются смежными углами, потому что у них нет общего плеча и общей вершины, чтобы образовать два разных угла.

Тем не менее, если вы где-то запутались, у нас есть один лучший пример с двумя кусочками пиццы. Когда два кусочка пиццы помещаются в коробку рядом друг с другом, углы обоих ломтиков находятся в центре коробки. Во всей пицце очень много других пар смежных углов. У каждого кусочка пиццы есть два возможных разных смежных угла, прикрепленных друг к другу.

Далее, соседние углы можно разделить на две части.

Дополнительные углы
Дополнительные углы

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 90 °. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, угол становится прямым.

Точно так же, когда две линии пересекаются и образуют четыре противоположных угла, эти углы называются противоположными углами. Следовательно, дополнительные углы также называются противоположными углами.

Два угла считаются дополнительными, если сумма обоих углов составляет 180 °. Когда два дополнительных угла примыкают друг к другу, они называются дополнительными углами.

Соответствующие углы:

В соответствующих углах две линии пересекаются другой линией, и совпадающие углы называются соответствующими углами. Давайте обсудим с помощью фигуры.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке AB и CD параллельны друг другу, с которыми пересекаются RS.Пересекающаяся линия образует углы, которые являются углами ROB и OPD. Теперь Angle ROB и angle OPD — это соответствующие углы. Помните, что соответствующие углы также всегда равны друг другу.

Ниже приведены некоторые основные формы, с помощью которых мы попытались помочь вам лучше понять прилегающие углы.

Треугольник:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке треугольника есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем уточнить это так, что угол ABP и прилегающий угол PBO могут быть вместе, чтобы получить угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Кроме того, угол AOB и прилегающий к нему угол AOC могут быть объединены для образования угла 180 градусов, который называется дополнительными углами. Угол APB и угол BPO также являются примерами смежных (дополнительных) углов в указанном выше треугольнике.

Квадрат:

(изображение будет загружено в ближайшее время)

На приведенном выше рисунке квадрата есть много примеров дополнительных углов и дополнительных углов, и мы можем уточнить его, как угол GBO и прилегающий к нему угол FBO могут быть объединенными, чтобы сформировать угол 90 градусов, чтобы сформировать дополнительный угол.Точно так же угол GOA и прилегающий к нему угол EOA также могут быть объединены для образования дополнительного угла, имеющего угол 90 градусов. В то время как угол BFO и прилегающий к нему угол CFO могут быть объединены для образования Дополнительного угла (образующего угол 180 градусов). Точно так же угол CHO и прилегающий к нему угол DHO могут быть объединены, чтобы образовать угол 180 градусов, чтобы образовать дополнительный угол на приведенном выше рисунке квадрата.

Как найти отсутствующий прилегающий угол?

Выше мы обсуждали прилегающий угол на примерах.Теперь мы обсудим, как вычислить значение смежного угла через другой заданный угол с помощью числовых значений. Давайте обсудим:

Например — Найдите значения x на рисунке ниже.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Решение — На рисунке выше угол AOB = 90 ° (прямой угол)

Тогда угол AOB + 40 ° = 90 °

Угол AOB = 90 ° — 40 ° = 50 °

Таким образом, мы вычислили значение недостающего соседнего угла. Но это пример дополнительных смежных углов.

Возьмем один пример дополнительных углов.

Например — Найдите значение y на данном рисунке:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На рисунке выше угол POQ = 180 ° (прямой угол)

Тогда угол ROP = 100 ° (данный )

Угол ROQ = y

Угол y = угол POQ — угол POR

= 180 ° — 100 °

= 80 °

Следовательно, вычисляется значение y.

Вертикально противоположные углы

Когда две линии пересекаются друг с другом в одной точке и углы, противоположные друг другу, образуются с помощью этих двух пересекающихся линий, тогда углы называются вертикально противоположными углами.Эти углы всегда равны друг другу.

Вы поймете это более четко с помощью рисунка, приведенного ниже:

(изображения будут загружены в ближайшее время)

На рисунке выше линии PQ и RS пересекаются друг с другом и образуют четыре разных угла, таких как угол b, м, н и а. В этом случае угол m & n и угол b & a вертикально противоположны друг другу.

Теперь вы можете подумать, насколько вертикально противоположные углы равны друг другу.Обсудим, насколько вертикальные углы противоположны друг другу.

Давайте возьмем для примера приведенный выше рисунок. В этом случае

m + b = 180 ° (линейная пара углов)

b + n = 180 ° (линейная пара углов)

Теперь из приведенного выше уравнения ясно, что m = n. Таким образом, доказано, что вертикально противоположные углы равны.

Как найти недостающий вертикальный угол?

Если упоминаются два угла из четырех, и вам нужно вычислить оставшиеся два угла, взгляните на приведенный ниже пример.

Например — Найдите значения x и y на рисунке ниже.

(изображения будут загружены в ближайшее время)

Решение — На рисунке выше 75 ° + x = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда x = 180 ° — 75 ° = 105 °

Аналогично 105 ° + y = 180 ° (линейная пара углов)

Тогда y = 180 ° — 105 ° = 75 °

Отсюда вычисляются недостающие значения.

Теоретическое описание прилегающих углов и вертикальных углов:

1.Смежные углы — Смежные углы — это два угла, которые имеют общее плечо и общую вершину.

Вертикальные углы — две линии пересекаются друг с другом и образуют углы. Противоположные углы называются вертикально противоположными углами.

2. Смежные углы — есть два типа смежных углов.

Вертикальные углы — Вертикальный угол не имеет типов.

Рабочие листы по дополнительным, вертикальным и прилегающим углам

Загрузить рабочие листы «Дополнительные, дополнительные, вертикальные и прилегающие углы»

Нажмите кнопку ниже, чтобы получить мгновенный доступ к этим рабочим листам премиум-класса для использования в классе или дома.

Загрузить сейчас

Эта загрузка предназначена исключительно для участников Helping With Math Premium!

Чтобы загрузить эту коллекцию листов, нажмите кнопку ниже, чтобы зарегистрироваться (это займет всего минуту), и вы вернетесь обратно на эту страницу, чтобы начать загрузку!

Запишите меня

(Уже зарегистрированы? Нажмите здесь, чтобы войти)

Редактировать рабочие листы

Редактирование коллекций листов доступно исключительно для участников Helping With Math Premium.

Чтобы отредактировать эту коллекцию листов, нажмите кнопку ниже, чтобы зарегистрироваться (это займет всего минуту), и вы вернетесь прямо на эту страницу, чтобы начать редактирование!

Зарегистрироваться сейчас

(Уже зарегистрированы? Нажмите здесь, чтобы войти)

Этот рабочий лист могут редактировать Премиум-участники с помощью бесплатного онлайн-программного обеспечения Google Slides. Нажмите кнопку Изменить выше, чтобы начать.

Определение:

В геометрии угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, которые встречаются в одной общей конечной точке.

Резюме:

Понятие углов очень важно, потому что оно связано во всех геометрических фигурах с углами и во всех параллельных линиях, пересекающих друг друга.

Когда две прямые линии пересекаются, они образуют пары углов. В этом рабочем листе мы рассмотрим четыре пары углов, а именно: дополнительный , дополнительный , vertica l и смежные углы .

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ

Дополнительные углы — это углы, образующие прямую линию или то, что мы называем линейной парой.Линейная пара имеет угол 180 градусов. Таким образом, если у вас есть 2 угла, которые при сложении равны 180 градусам, у вас есть дополнительные углы.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УГЛЫ

Дополнительные углы — это углы, как и само название, дополняющие друг друга. Это углы, образующие угол в 90 градусов.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

Вертикальные углы — это пара несмежных углов, образованных двумя линиями, пересекающими друг друга.

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ

Смежные углы — это углы, которые имеют одну и ту же вершину и лежат на одной стороне, но не перекрываются.

Рабочие листы дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углов

Это фантастический пакет, который включает в себя все, что вам нужно знать о дополнительных, дополнительных, вертикальных и прилегающих углах на 15+ страницах с углубленным изучением. Это готовые к использованию рабочие листы по математике для 7-го класса, выровненные по основному принципу.

Каждая готовая к использованию коллекция рабочих листов включает 10 заданий и руководство по ответам. Не преподаете общие базовые стандарты? Не волнуйся! Все наши рабочие листы полностью редактируются, поэтому их можно адаптировать к вашей учебной программе и целевой аудитории.

Примеры ресурсов

Щелкните любое из изображений в качестве примера ниже, чтобы просмотреть его в увеличенном виде.

Еще больше заданий по математике

УПРАВЛЯЮЩИЕ СОЕДИНЕНИЯ ДЛЯ БЕТОННЫХ СТЕНОК — ЭМПИРИЧЕСКИЙ МЕТОД

ВВЕДЕНИЕ

Бетонная кладка — популярный строительный материал, поскольку присущие ему свойства удовлетворяют разнообразные потребности как внешних, так и внутренних стен.Хотя эти атрибуты являются основной причиной популярности бетонной кладки, их характеристики не следует воспринимать как должное. Как и все строительные системы, проектные решения существенно влияют на эксплуатационные характеристики бетонной стеновой системы. Правильное применение мер по борьбе с трещинами, включая при необходимости контрольные швы, может помочь обеспечить удовлетворительные характеристики бетонной кладки.

Обратите внимание, что меры по контролю за трещинами для облицовки бетонной кладкой отличаются от рекомендаций, представленных ниже.Для получения более подробной информации читатель отсылается к TEK 10-4 «Контроль трещин в бетонном кирпиче и других облицовках из бетонной кладки» (ссылка 3).

Деформационные швы, такие как контрольные швы, являются одним из методов снятия горизонтальных растягивающих напряжений из-за усадки бетонных блоков кладки, раствора и, при его использовании, раствора. По сути, они представляют собой вертикальные плоскости ослабления, встроенные в стену, чтобы уменьшить ограничение и допускать продольное перемещение из-за ожидаемой усадки, и расположены там, где могут возникать концентрации напряжений.Разрыв соединения достигается заменой всего или части вертикального строительного шва минимумом подкладочного стержня и герметика. Это обеспечивает герметичность сустава при небольших движениях. Следует прекратить усиление стыков и другое горизонтальное усиление на контрольных стыках, если оно не требуется для конструктивных целей, поскольку оно будет действовать для ограничения горизонтального движения.

Когда требуются контрольные швы, бетонная кладка требует только вертикальных контрольных швов. Когда материалы с разными характеристиками движения, такие как бетонная кладка и кладка из глины, используются в одном и том же виде, при проектировании необходимо учитывать разницу в перемещениях.Обычно армирование стыка используется в общем стыке между ними, чтобы распределять силы и удерживать любые образующиеся трещины плотно закрытыми. Другой вариант — обеспечить горизонтальную плоскость скольжения между двумя материалами, чтобы компенсировать дифференциальное движение. Более подробную информацию см. В разделе «Детали бандажей из глины и бетона», TEK 5-2A (ref. 1).

Контрольные швы обычно требуются в обнаженных бетонных стенах из каменной кладки, где эстетическое растрескивание при усадке может ухудшить внешний вид стены и ограничить проникновение влаги или воздуха.Усадочные трещины в бетонной кладке не являются структурной проблемой. Кроме того, стены с адекватным горизонтальным армированием могут не требовать контрольных швов, так как армирование эффективно уменьшает ширину усадочных трещин. См. TEK 10-3, Контрольные стыки для бетонных стен — альтернативный инженерный метод (ссылка 2), для получения дополнительной информации.

Фундаментные стены традиционно не включают контрольные швы из-за проблем с гидроизоляцией шва, чтобы выдерживать гидростатическое давление.Кроме того, поскольку фундаментные стены подвергаются относительно постоянным условиям температуры и влажности, растрескивание при усадке в стенах ниже уровня земли имеет тенденцию быть менее значительным, чем в стенах выше уровня.

В данном TEK основное внимание уделяется растрескиванию, не относящемуся к конструкции, в результате изменения внутреннего объема бетонной кладки. Возможное растрескивание в результате приложенных извне расчетных нагрузок из-за ветра, давления грунта, сейсмических сил или дифференциальной осадки фундамента контролируется соображениями конструктивного проектирования, которые здесь не рассматриваются.Если внешние нагрузки являются проблемой в сочетании с изменением внутреннего объема, при проектировании следует учитывать комбинированные эффекты этих воздействий на растрескивание.

РАЗМЕЩЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩЕГО СОЕДИНЕНИЯ

При необходимости контрольные швы должны быть расположены там, где изменения объема в кладке из-за усадки при высыхании, карбонизации или изменений температуры могут вызвать напряжение в кладке, которое превысит ее прочность на растяжение.На практике это может быть сложно определить, поскольку некоторые движения обратимы, быстры или постепенны, но в следующих разделах представлены несколько методов, которые помогут найти управляющие суставы.

Кроме того, следует позаботиться о том, чтобы обеспечить стыки в местах концентрации напряжений, таких как (см. Рисунок 1a для неармированной кирпичной кладки и Рисунок 1b для армированной кирпичной кладки):

при изменении высоты стен,
при изменениях толщины стенок, например, при гребнях труб и воздуховодов и пилястрах,
на (выше) деформационных швах в фундаментах и перекрытиях,
в деформационных швах (сверху и снизу) в крышах и полах, опирающихся на стену,
возле одной или обеих сторон дверных и оконных проемов (см. Следующий подраздел, Управляющие соединения в проемах) и
рядом с углами стен или пересечений на расстоянии, равном половине расстояния между контрольными швами.

Также необходимо учитывать влияние размещения управляющих швов на распределение нагрузки в стене. Например, размещение управляющих шарниров на концах перемычек может нарушить действие дуги. Следовательно, может быть разумным спроектировать перемычку так, чтобы она выдерживала полный вес стены над ней в дополнение к любым наложенным нагрузкам.

Рисунок 1a — Типичные места контрольных швов для неармированной кладки
Рисунок 1b — Типичные места контрольных швов для армированной кладки
Управляющие шарниры на проемах
Поскольку растрескивание происходит в самых слабых плоскостях, отверстия особенно уязвимы.Для проема шириной до 6 футов (1,83 м), не обернутого арматурой, с одной стороны проема следует разместить контрольный стык, как показано на Рисунке 2а. Обратите внимание на то, что шов огибает перемычку, и должен быть обеспечен допуск на движение (плоскость скольжения в виде гидроизоляции или другой разрыв сцепления) между перемычкой и кладкой. Поскольку перемычка не поддерживается сбоку снизу из-за плоскости скольжения, требуются управляющие соединения, способные обеспечить передачу нагрузки между панелями, такие как соединения, показанные на рисунках 3a, 3d, 3e, 3f, 3h и 3i.
На рисунке 2а непрерывное вертикальное усиление не может быть обеспечено в ячейке, смежной с проемом слева, поскольку пересечение горизонтальной части управляющего соединения (то есть плоскости скольжения) эффективно скрепит две части вместе, ограничивая относительное движение. Чтобы противостоять боковому движению вокруг плоскости скольжения, 24 дюйма. Усиление горизонтального шва (610 мм) может быть размещено в месте опоры перемычки и двумя рядами ниже. При использовании облицованных бетонной кладкой стальных балок над проемами вместо бетонной кладки или сборных перемычек очень важно, чтобы стальная балка не приваривалась к несущей плите (плитам), где должны быть выполнены определенные контрольные швы, так как это скрепит две секции вместе, сдерживая движение.
Когда плоскость скольжения под соединительной балкой используется для проемов размером более 6 футов (1,83 м), рекомендуется использовать контрольные соединения с обеих сторон проема, как показано на Рисунке 2b. Опять же, контрольный шов проходит под и вверх по краю перемычки, и необходимо предусмотреть допуск на перемещение между перемычкой и кладкой. Поскольку в нижней части перемычки отсутствует боковая опора, необходимо также предусмотреть возможность передачи нагрузки между панелями.
Альтернативой, чтобы избежать пересечения вертикальной арматуры с плоскостью скольжения, является размещение арматуры в следующей ячейке.Другой альтернативой является размещение управляющего стыка подальше от проема, если над, под и рядом с проемом размещена соответствующая растягивающая арматура, как описано ниже.
В стенах с вертикальной арматурой ячейка, примыкающая к проему, обычно заливается раствором и укрепляется, чтобы обеспечить прочную опору и дополнительную прочность для откосов. Использование того же типа деталей, что и для неармированной стены, потребовало бы, чтобы контрольный стык пересекал вертикальную арматуру, тем самым предотвращая движение и сводя на нет цель контрольного стыка.Однако, если проем полностью окружен арматурой, как показано на рис. 2c и 2d, зона вокруг проема укрепляется, и контрольные соединения могут быть размещены вдали от проема.
В качестве альтернативы продлению арматуры перемычки минимум на 12 дюймов (305 мм) за вертикальную арматуру, примыкающую к проему (рис. 2c), арматура шва может быть размещена в первых двух стыках раствора над проемом и продлена до контрольный стык с каждой стороны или можно использовать горизонтальную соединительную балку, как показано на рисунке 2d.
Для достижения наилучших результатов вертикальную арматуру следует размещать в ячейке, непосредственно примыкающей к проему. Однако из-за скопления в ячейке в этом месте вертикальное армирование иногда помещается во вторую ячейку от отверстия. В этом случае ячейка рядом с проемом должна быть залита раствором, как и ячейка, содержащая арматуру, чтобы обеспечить дополнительное сопротивление для крепления дверных или оконных рам. Эти детали могут также использоваться в неармированных стенах и стенах с использованием стальных перемычек, поскольку область, окружающая проем, усилена дополнительным армированием.
Устройства передачи сдвига, такие как предварительно отформованные прокладки или срезные шпонки (например, показанные на рисунках 3a, 3d, 3e, 3f, 3h и 3i), могут не потребоваться при использовании отверстий, обернутых арматурой в сегментах стены, предназначенных для противодействия приложенным боковым нагрузкам. непосредственно к ним плюс те, которые передаются из открывающейся вольера. Однако некоторые конструкторы включают устройства передачи сдвига, чтобы ограничить относительное движение между двумя панелями по обе стороны от контрольного стыка, тем самым уменьшая нагрузку на герметик для стыков и продлевая срок их службы.
Рисунок 2 — Управляющие соединения в отверстиях
КРИТЕРИИ УПРАВЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНОЙ
В других точках концентрации напряжений в стенах контрольные швы используются для эффективного разделения стены на несколько изолированных панелей. В таблице 1 перечислены рекомендуемые максимальные расстояния между этими контрольными соединениями на основе эмпирических критериев.Этот критерий был разработан на основе успешных исторических результатов в течение многих лет в различных географических условиях. Эмпирический метод является наиболее часто используемым методом определения местоположения контрольных швов и применим к большинству типов зданий.
Разработанный метод представлен в документе TEK 10-3 «Контрольные швы для бетонных стен — альтернативный инженерный метод», который основан на ограничении ширины трещины 0,02 дюйма (0,51 мм), поскольку водоотталкивающие покрытия могут эффективно противодействовать проникновению воды для трещин этот размер.Спроектированный метод обычно используется только в необычных условиях, например, в темных блоках в климате с большими перепадами температуры.
Положения данного TEK предполагают, что элементы, используемые в строительстве, соответствуют минимальным требованиям ASTM C90, Стандартные технические условия для несущих бетонных блоков (ссылка 4) и что минимальное количество горизонтального армирования обеспечивается между контрольными швами, как указано в Сноски 2 и 3 таблицы 1. Для блоков с номинальной высотой 8 дюймов (203 мм) минимальная заданная площадь армирования равна 0.025 дюйм² / фут (52,9 мм² / м) высоты соответствует горизонтальному расположению арматуры, как указано в таблице 2A. Он предназначен для предоставления наиболее простых рекомендаций для тех случаев, когда подробные характеристики изменения объема бетонной кладки не известны во время проектирования. Как указано в Таблице 1, сноске 1, местный опыт может оправдать корректировку расстояний между управляющими стыками, представленных в таблице.
Как и в случае облицовки бетонной кладкой, узлы бетонных блоков половинной высоты устанавливаются с большим процентным содержанием раствора, который, в свою очередь, имеет больший потенциал для усадки системы и, следовательно, потенциала растрескивания.Таким образом, предписывающие рекомендации по контролю трещин, подробно описанные в Таблице 1, увеличивают площадь горизонтального армирования и уменьшают максимальное расстояние между контрольными стыками в сборе половинной высоты по сравнению с узлами полной высоты. См. Таблицу 2B для получения информации о шаге горизонтальной арматуры в пересчете на 0,034 дюйма² / фут (72,0 мм² / м) высоты.
Чтобы проиллюстрировать эти критерии, рассмотрим склад высотой 20 футов (6,10 м) со стенами длиной 100 футов (30,48 м) и номинальной высотой CMU 8 дюймов (203 мм).В таблице 1 указано максимальное расстояние между управляющими швами меньшего из:
отношение длины к высоте 1½: 1, что соответствует 1½ x (20 футов) = 30 футов (9,14 м), или
контрольных швов через каждые 25 футов (7,62 м).
В этом примере максимальное расстояние в 25 футов (7,62 м) определяет отношение длины к высоте.
Для стен, содержащих каменные парапеты, при определении отношения длины к высоте следует рассматривать парапет как часть каменной стены, если он конструктивно соединен каменными материалами.
Таблица 1 — Эмпирическое контрольное расстояние между швами для бетонных стен из кирпича
Таблица 2A — Максимальный интервал горизонтальной арматуры для обеспечения 0,025 квадратных дюймов на фут высоты кладки (52,9 квадратных миллиметров на метр)
Таблица 2B — Максимальный интервал горизонтального армирования для обеспечения 0.034 квадратных дюйма на фут высоты кладки (72,0 квадратных миллиметра на метр)
СТРОИТЕЛЬСТВО
Общие детали управляющего шарнира показаны на рисунке 3. Соединения допускают свободное продольное перемещение, а некоторые также позволяют передавать поперечные или сдвиговые нагрузки вне плоскости. Хотя детали на Рисунке 3 показывают вертикальное армирование с каждой стороны контрольного стыка, стены, которые в противном случае не требуют вертикального усиления, не потребуют усиления на контрольных стыках.
Сдвиговые нагрузки вне плоскости могут передаваться с помощью срезной шпонки, как показано на рисунках 3a, 3d, 3e, 3f, 3h и 3i. На рисунках 3f и 3i показаны гладкие дюбели, размещенные поперек контрольного соединения для передачи сдвига. Дюбели обычно смазываются или помещаются в пластиковую втулку, чтобы предотвратить склеивание и обеспечить неограниченное продольное перемещение. На рис. 3h представлен вариант этого подхода, в котором один горизонтальный арматурный стержень соединительной балки проходит поперек управляющего соединения и аналогичным образом отсоединен, чтобы обеспечить продольное перемещение.
Управляющие стыки также могут быть выполнены с использованием створок, в которых размещается срезная шпонка предварительно отформованной прокладки управляющего стыка, как показано на Рисунке 3a. Прокладки обычно доступны либо из ПВХ, соответствующего ASTM D2287, Стандартным техническим условиям для нежестких винилхлоридных полимеров и сополимеров для формования и экструзии (ссылка 7), либо из резиновых смесей, соответствующих ASTM D2000, Стандартной системе классификации резиновых изделий в автомобильной промышленности. (Ссылка 8). При использовании в качестве срезной шпонки для передачи неплоскостных нагрузок между двумя панелями, разделенными контрольным соединением, материал прокладки должен быть испытан, чтобы определить его прочность и применимость в этом приложении.Эту информацию обычно можно получить у производителей предварительно отформованных прокладок.
Предварительно сформованная прокладка обеспечивает огнестойкость не менее двух часов. В тех случаях, когда блокирующее действие обеспечивается бетонными материалами, предоставляется четырехчасовая огнестойкость. Когда используется управляющий шарнир без шпонки, простым и экономичным способом создания огнестойкого управляющего шарнира является использование войлока из керамического волокна, как показано на Рисунке 3b. Поскольку между двумя панелями, разделенными этим соединением, не предусмотрена механическая блокировка, поперечные нагрузки не передаются через это соединение.См. TEK 7-1C, Рейтинг огнестойкости бетонных блоков каменной кладки (ссылка 5), для получения дополнительной информации о рейтингах огнестойкости бетонных блоков каменной кладки.
Когда передача внеплоскостных нагрузок между двумя панелями, разделенными контрольным соединением, не является критичным, или когда огнестойкость не является определяющей конструктивной особенностью, может использоваться контрольное соединение, показанное на рисунке 3c.
Когда конструкция требует конструкции управляющего соединения, которое обеспечивает номинальную огнестойкость и передачу нагрузки вне плоскости, можно использовать управляющие соединения, показанные на рисунках 3d и 3e.На рис. 3d показан срезной шпон, залитый цементным раствором. Для этого стыка предусмотрен механизм передачи нагрузки вне плоскости за счет заполнения смежных концов двух узлов растяжителя раствором или строительным раствором. Чтобы обеспечить продольное перемещение, укладывают строительную бумагу или другой материал, чтобы разорвать связь между раствором / раствором и одним из блоков кладки.
Управляющие сочленения, сконструированные из элементов особой формы, как показано на рисунке 3e, также могут использоваться для обеспечения огнестойкого управляющего сочленения и передачи нагрузки вне плоскости.Однако, прежде чем указывать эту конструкцию шва, наличие блоков такой формы следует уточнить у местных производителей бетонной кладки. При создании этого типа управляющего стыка следует проявлять осторожность, чтобы не допустить попадания излишков раствора в головное соединение двух управляющих стыковочных узлов, что потенциально может привести к склеиванию двух панелей.
Как упоминалось ранее, другой метод обеспечения передачи нагрузки вне плоскости между панелями по обе стороны от контрольного стыка заключается в размещении гладкого штифта поперек контрольного стыка, как показано на рисунках 3f и 3i.
Напоминание: очень важно, чтобы неструктурное армирование, такое как армирование горизонтальных швов, которое обычно используется только для контроля трещин, не должно проходить непрерывно через контрольный шов, поскольку это ограничит горизонтальное движение. Однако структурная арматура, такая как арматура соединительной балки на уровне пола и крыши, которая сопротивляется натяжению шнура диафрагмы, должна проходить непрерывно через контрольное соединение (см. Рисунок 3g).
На рис. 4 показаны детали поверхности типичного контрольного шва бетонной кладки.Чтобы обеспечить герметичность стыка от проникновения воздуха, воды и звука, используется герметик или другой подходящий герметик. Опорный стержень обеспечивает однородную основу для герметика. Хотя деталь, показанная на Рисунке 4a, считается типичной конструкцией, исследования показывают, что профиль соединения, показанный на Рисунке 4b, может обеспечивать улучшенные характеристики, поскольку плоский профиль снижает напряжения отслаивания в углах герметика. Глубина герметика должна составлять примерно ½ ширины шва, чтобы уменьшить деформацию герметика и, следовательно, продлить срок его службы.См. TEK 19-6A, Герметики для швов для бетонных стен (ссылка 6) для получения более подробной информации.
Если бетонная кладка используется в качестве подкладки для облицовки или в многослойных приложениях, учитывайте следующее:
Контрольные швы должны проходить через облицовку, когда слои жестко склеены, например, штукатурка, наносимая непосредственно на кирпичную кладку или для приклеенного шпона,
Контрольные швы
не должны проходить через облицовку, когда связь между двумя материалами является гибкой, например, закрепленный шпон с гибкими стяжками.Однако, в зависимости от типа облицовки, необходимо также уделять внимание борьбе с трещинами в облицовочном материале.
Рисунок 3 — Типовые детали управляющего шарнира
Рисунок 4 — Деталь поверхности управляющего шарнира (ref.6)
Список литературы
Детали бандажа из глины и бетона, TEK 5-2A. Национальная ассоциация бетонщиков, 2002.
Контрольные стыки для бетонных стен — альтернативный инженерный метод, TEK 10-3. Национальная ассоциация бетонщиков, 2003.
Контроль трещин в бетонном кирпиче и других облицовках из бетонной кладки, TEK 10-4. Национальная ассоциация бетонных масонств, 2001.
Стандартные спецификации для несущих бетонных блоков, ASTM C90-16a. ASTM International, 2016.
Рейтинг огнестойкости бетонных блоков кладки, TEK 7-1C. Национальная ассоциация каменщиков из бетона, 2009 г.
Герметики для швов для бетонных стен, TEK 19-6A. Национальная ассоциация бетонщиков, 2014.
Стандартные технические условия для нежестких винилхлоридных полимеров и сополимеров для формования и экструзии, ASTM D2287-12. ASTM International, 2012 г.
Стандартная система классификации резиновых изделий в автомобильной промышленности, ASTM D2000-18. ASTM International, 2018.
NCMA TEK 10-02D, доработка 2019 г.
NCMA и компании, распространяющие эту техническую информацию, не несут никакой ответственности за точность и применение информации, содержащейся в этой публикации.
7 видов ракурсов с картинками ~ BZU SCIENCE
Учиться о разных типах углов есть важно, потому что эти углы составляют основу геометрии.Когда две строчки пересекаются, они образуют угол в точке пересечения. Различные типы углов по их измерениям — острый угол, прямой угол, тупой угол. угол и угол отражения и т. д. Лучи, образующие угол, известны как стороны угла. Угол образуется пересечением двух прямых или изогнутые линии. Мы можем измерить эти углы в градусах. Весь поворот угол 360 градусов. Угол происходит от латинского слова Angulus.
Какой угол?
В самолете геометрии, фигура, образованная соединением двух лучей, называется углом.Эти два луча — стороны угла. Эти два луча имеют общую конечную точку. Это вершина угла. Используя углы, мы можем описать пространство между двумя строками. Эти две линии начинаются в одной и той же точке. Можно измерить углы в градусах. Мы используем транспортир для измерения углов. Можно измерить углы от 0 ° до 360 ° по окружности. Мы используем углы по всей геометрии. Если мы хотим изучать геометрию, мы должны уметь измерять и описывать углы.
Части уголка
Есть две основные части уголка.Как мы знаем, две линии соединяются вместе, образуя угол. Эти две линии известны как , руки . угла. Эти две линии встречаются в общей конечной точке. Это вершина угла.
Виды углов
Есть различные виды углов. Эти различные типы углов приведены ниже;
1. Острый угол
2. Тупой угол
3. Прямоугольный
4. Прямоугольник
5. Угол отражения
6.Полный угол
7. Нулевой угол
1. Острый угол
Острый угол — это небольшой угол. Острый угол имеет размер менее 90 градусов. Другими словами, угол, значение которого находится в диапазоне от 0 до 90 градусов, известен как острый угол.
2. Тупой угол
тупой угол — это больший угол. Угол, размер которого превышает 90 градусов. известен как тупой угол. Другими словами, угол, измерение которого находится в угол от 90 до 180 градусов известен как тупой угол.
3. Прямой угол
Угол с точным размером 90 ° — это прямой угол. Когда мы помещаем луч в На конце линии этот луч образует смежные углы. Если эти соседние углы равны, это прямые углы. Когда две пересекающиеся линии Эти две прямые, перпендикулярные друг другу, образуют прямые углы. Представлять под прямым углом, мы используем символ ∟. Углы коробки образуют прямые углы.
4. Прямой угол
Угол с точным размером 180 ° является прямым.Это в виде прямая линия. Ножки прямого угла назначаем в обратном порядке. направление.
5. Угол рефлекса
Рефлекс угол тоже большой угол. Измерение угла рефлекса больше чем 180 °, но менее 360 °. Это самый запутанный угол, потому что мы должны рисовать это на внешней стороне линии. Большинство детей делают ошибки, пока измерение углов рефлекса. Дети могут измерять углы рефлекса двумя способами. Во-первых, они могут измерить угол отражения, нарисовав круг.Во-вторых, они можно измерить внутренний угол. После измерения внутреннего угла они могут вычесть это с 360 °. Это даст угол отражения.
6. Полный угол
Другие названия полного угла — это полный угол или круглый угол. Полный угол имеет точное измерение 360 °. Это центральный угол всего круга. Чтобы сформировать полный угол, мы должны добавить два прямых угла или четыре прямых угла.
7. Нулевой угол
нулевой угол имеет размер 0 °.Начальное и конечное плечо нулевого угла равны в той же позиции. Другими словами, ножки нулевых углов находятся в то же направление.
Вы также можете люблю читать:
Разница между рациональными и иррациональными числами
Виды треугольников с картинками
Виды углов по парам
1. Прилегающие углы
Если два углы имеют общую сторону и общую вершину, это смежные углы. В смежные углы не перекрываются.
2. Дополнительные уголки
Если сумма двух углов составляет 90 °, эти углы дополняют друг друга. Например, если мы добавим 40 ° и 50 °, их сумма равна 90 °. Это дополнительные углы. Сумма 10 ° и 80 ° тоже 90 °. Следовательно, это тоже дополнительные углы.
3. Дополнительные уголки
Если сумма двух углов составляет 180 °, эти углы являются дополнительными. Когда мы присоединяемся дополнительные углы, получаем прямой угол. 150 ° и 30 ° являются дополнительными углов, потому что их сумма равна 180 °.
4. Вертикальные углы
Две линии после пересечения образуют четыре угла. Противоположные друг другу углы, разделяющие одну и ту же вершину вертикальны. Мы также можем назвать их вертикально противоположными углы. Вертикально противоположные углы равны. Используя концепцию вертикально противоположные углы, мы можем найти недостающие углы. Следовательно, мы можем говорят, что вертикально противоположные углы совпадают. Вертикальные углы состоят из пара несмежных углов.
5. Альтернативные внутренние углы
Когда transversal пересекает две параллельные линии, образует восемь углов.В этих ракурсах четыре угла образуются вне этих параллельных линий, и четыре угла образуются внутри этих параллельных линий. Пара углов внутри параллели линии, которые присутствуют на противоположных сторонах трансверсали, известны как чередовать внутренние углы. Если мы хотим легко запомнить эти углы, мы можем понять концепцию, что эти углы присутствуют на внутренней части перечеркнутые линии. Чередующиеся внутренние углы равны.
6. Альтернативные внешние углы
Как у нас обсуждалось в предыдущем определении, что, когда поперечный пересекает два параллельных прямых, он образует четыре внешних угла.Пара углов вне параллельные линии, которые присутствуют на противоположных сторонах трансверсали, являются известны как альтернативные внешние углы. Чтобы запомнить эти углы, мы должны поймите, что эти углы присутствуют на внешней стороне пересеченных линий. В чередующиеся внешние углы равны.
7. Соответствующие углы
Когда transversal пересекает две параллельные линии, образует разные углы. Углы которые присутствуют в совпадающих углах, называются соответствующими углами.В соответствующие углы равны.
Положительные и отрицательные углы
Положительный угол идет против часовой стрелки. Это означает, что он идет в противоположном направлении, как часы идут. Отрицательный угол идет по часовой стрелке. Это означает, что он идет в в том же направлении, что и часы.
Применение углов
Мы используем концепции различных типов углов в нашей повседневной жизни. Например, если мы Чтобы нарисовать стрелки на часах, мы должны использовать углы.Два пересекающиеся дороги тоже образуют углы. Лопасти вентилятора тоже делают углы. Мы также используем углы для навигации самолетов и кораблей. Мы нужно использовать углы для рисования различных форм, таких как треугольники, прямоугольники и квадраты.
Свойства уголков
Есть некоторые свойства этих углов. Изучив эти свойства, вы можете получить точное обзор разных видов углов.
1. Соответствующие углы всегда равный.
2. Угол образуется только при двух линии пересекаются.
3. Альтернативный интерьер и альтернативный внешние углы также равны.
4. Если сложить пару внутренних углов на той же стороне трансверсали получим дополнительный угол.
5. Как мы знаем, когда две линии пересекаются, они образуют вертикально противоположные углы. Эти углы тоже равны.
Типы углов викторины
После прочитав краткое объяснение различных типов углов, вы можете понять эти углы.Теперь вы должны провести быструю викторину. Эта быстрая викторина даст представление о том, поняли ли вы основные понятия углов или нет.
1. Меры двух углов. равны 30 ° и 60 °. Эти углы:
а. Дополнительные уголки
г. Уголок прямой
г. Вертикальные углы
г. Дополнительные уголки
2. Меры двух углов. равны 130 ° и 50 °. Эти углы:
а. Дополнительные уголки
г.Уголок прямой
г. Вертикальные углы
г. Дополнительные уголки
3. Угол, точный размер 90 ° известен как;
а. Угол прямой
г. Угол рефлекса
г. Острый угол
г. Уголок прямой
4. Угол, точный размер 180 ° известен как;
а. Угол рефлекса
г. Острый угол
г. Тупой угол
г.Уголок прямой
5. Угол, точный измерение 0 ° известно как;
а. Уголок прямой
г. Острый угол
г. Нулевой угол
г. Угол рефлекса
6. Угол 45 ° — а / ан;
а. Острый угол
г. Тупой угол
г. Уголок прямой
г. Угол рефлекса
7. Угол 130 ° — а / ан;
а.Острый угол
г. Нулевой угол
г. Угол рефлекса
г. Уголок прямой
Вам следует выберите правильные ответы на эти вопросы. После выбора правильных ответов на эти вопросы вы можете опубликовать эти ответы в поле для комментариев. Мы будем проверьте свои ответы, и мы выставим вам оценки на основе этих вопросов. В то время как выставляя оценки, мы также дадим обратную связь о ваших представлениях о типах углы.
открытых учебников | Сиявула
Математика
Наука
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 7A
Марка 7Б
7 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 7А
Граад 7Б
Граад 7 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 8A
класс 8Б
Оценка 8 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 8А
Граад 8Б
Граад 8 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 9А
Марка 9Б
9 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 9А
Граад 9Б
Граад 9 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 4A
Класс 4Б
Класс 4 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 4А
Граад 4Б
Граад 4 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Марка 5A
Марка 5Б
Оценка 5 (вместе A и B)
Африкаанс
Граад 5А
Граад 5Б
Граад 5 (A en B saam)
Пособия для учителя
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 6A
класс 6Б
6 класс (A и B вместе)
Африкаанс
Граад 6А
Граад 6Б
Граад 6 (A en B saam)
Пособия для учителя
Наша книга лицензионная
Эти книги не просто бесплатные, они также имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (брендированные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.Вы можете делать ксерокопии, распечатывать и распространять их сколько угодно раз. Вы можете скачать их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственным ограничением является то, что вы не можете адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, спонсорские логотипы и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.
Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.
CC-BY (версии без бренда)
Эти небрендированные версии одного и того же контента доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, трансформировать, модифицировать или дополнять их любым способом, с единственным требованием — дать соответствующую оценку Siyavula. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.
Родственные и вертикальные углы теории.Связанные углы
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы AOV и BREA связаны.
Сумма смежных углов 180 °
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 °.
Доказательства. Ра ду (см. Рис. 1) проходит между сторонами расширенного угла. Следовательно, ∠ AOV + ∠ BREA = 180 ° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то и соседние углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла. Углы AOV и COD, BOD и AOC, образованные пересечением двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательства. Рассмотрим вертикальные углы ВО и ХПК (см. Рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов AO и Cod. По теореме 1 ∠ AOs + ∠ Bod = 180 °, ∠ Cod + ∠ Bod = 180 °.
Отсюда делаем вывод, что ∠ ах = ∠ треска.
Следствие 1. Угол, прилегающий угол, является прямым углом.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые AC и BD (рис. 3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис. 3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными).Перпендикулярность прямых динамиков и Bd обозначается следующим образом: AC ⊥ BD.
Середина, перпендикулярная отрезку, называется прямой, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину.
En — перпендикулярно прямой
Рассмотрим прямую A и точку A, не лежащую на ней (рис. 4). Соедините точку сегмента с прямой точкой a. Отрезок AN называется перпендикуляром, проводимым из точки A в прямой A, если прямой An и перпендикуляр.Точка H называется основанием перпендикуляра.
Чертежный квадрат
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из любой точки, которая не лежит на прямой, вы можете проводить перпендикулярно этой прямой, причем только с одной.
Для проведения перпендикуляра на чертеже от точки к прямой используется набор для рисования (рис. 5).
Комментарий. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части сказано, что это дано.Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится, что это надо доказывать. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикали; Вывод — эти углы равны.
Всю теорему можно подробно выразить словами так, чтобы ее условие начиналось со слова «если», а заключением было слово «то». Например, теорему 2 можно подробно выразить так: «Если два угла вертикальные, то они равны.«
Пример 1. Один из соседних углов равен 44 °. Что еще?
Решение. Обозначим градус другого угла через X, тогда согласно теореме 1.
44 ° + x = 180 °.
Решая полученное уравнение, находим, что x = 136 °. Следовательно, другой угол равен 136 °.
Пример 2. Предположим, что на рисунке 21 угол наложения составляет 45 °. Каковы углы AO и AOS?
Решение. COD и AOG вертикальных углов, поэтому согласно теореме 1.2 они равны, то есть ∠ AOs = 45 °. Угол AOC, примыкающий к углу COD, означает, что теорема 1.
∠ AOC = 180 ° — ∠ Cod = 180 ° — 45 ° = 135 °.
Пример 3. Найдите смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение. Обозначим через x градус меньшего угла. Тогда степень большего угла будет кв.Поскольку сумма смежных углов равна 180 ° (теорема 1), то x + ЗХ = 180 °, где x = 45 °.
Итак, прилегающие углы равны 45 ° и 135 °.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов составляет 100 °. Найдите величину каждого из четырех углов.
Решение. Пусть задача соответствует задаче 2. Вертикальные углы COD к AO равны (теорема 2), что означает, что их меры степени равны. Следовательно, ∠ cod = ∠ ao = 50 ° (их сумма при условии 100 °).Угол БПК (тоже угол АОС) примыкает к углу ХПК, а значит, по теореме 1
∠ Бод = ∠ АОС = 180 ° — 50 ° = 130 °.
G L A V A I.
Основные понятия.
§ одиннадцать. Родственные и вертикальные углы.
1. Связанные углы.
Если продолжить в сторону некоторого угла за его вершину, мы получим два угла (черт 72): / И Солнце I. / TwD, у которых одна сторона самолета в целом, и два других компакт-диска AVI образуют прямую линию.
Два угла, у которых одна сторона является общей, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.
Связанные углы могут быть получены и таким образом: если луч идет из некоторой точки (не лежащей на этой линии), то мы получаем смежные углы.
Например, / АПД I. / FDV — углы смежные (блин 73).
Связанные углы могут иметь различные положения (особенности. 74).
Соседние углы в сумме составляют расширенный угол, поэтому при umma двух соседних углов равно 2 d.
Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный его прилегающему углу.
Зная величину одного из соседних углов, мы можем найти размер другого, загрязненного им угла.
Например, если один из смежных углов равен 3/5 d. , то второй угол будет равен:
2 г. — 3/5 г. = L 2/5 г. .
2. Вертикальные углы.
Если продолжить сторону угла до его вершины, мы получим вертикальные углы.На чертеже 75 углов EOF и aos по вертикали; Углы oo и co — тоже вертикальные.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла.
Пусть будет / 1 = 7/8 г. (Блин 76). Рядом с ним / 2 будет равно 2 д. — 7/8 г. , т.е. 1 1/8 д. .
Таким же образом можно вычислить, что равно / 3 И. / 4.
/ 3 = 2 г. — 1 1/8 г. = 7/8 г. ; / 4 = 2 г. — 7/8 г. = 1 1/8 г. (Блин 77).
Мы видим, что / 1 = / 3 I. / 2 = / 4.
Можно решить еще несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны друг другу.
Однако, чтобы убедиться, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассматривать отдельные числовые примеры, поскольку выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть ошибочными.
Убедиться в том, что справедливость свойств вертикальных углов необходима, путем рассуждений, доказательств.
Доказательство может быть проведено следующим образом (черт 78):
/ а +. / г. = 2 г. ;
/ б +. / г. = 2 г. ;
(так как сумма смежных углов равна 2 д. ).
/ а +. / г. = / б +. / г.
(Так как левая часть этого равенства равна 2 д. , а его правая часть также равна 2 д. ).
Это равенство включает такой же угол. из .
Если у нас будут равные значения равных равных, то останется равным. В итоге получится: / а. = / б., т.е. вертикальные углы равны между собой.
При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, то есть Dali определение вертикальных углов.
Тогда мы высказали суждение (одобрение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого приговора убедились доказательствами. Таких суждений, справедливость которых необходимо доказать, называют теоремами. . Таким образом, в этом параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также выразили и доказали теорему об их свойстве.
В будущем, изучая геометрию, нам постоянно придется встречаться с определениями и доказательствами теорем.
3. Сумма углов, имеющих общую вершину.
На чертеже 79. / 1, / 2, / 3 I. / 4 расположены на одной стороне прямой и имеют на ней общую вершину. В сумме эти углы составляют расширенный угол, т.е.
/ 1+ / 2+ / 3+ / 4 = 2 г..
На чертеже 80. / 1, / 2, / 3, / 4 I. / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т.е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4 г. .
Упражнения.
1. Один из соседних углов равен 0,72 d. Вычислите угол, составленный из биссектрис этих смежных углов.
2. Докажите, что биссектриса двух смежных углов образует прямой угол.
3. Докажите, что если два угла равны, то их смежные углы равны.
4. Сколько смежных углов на чертеже 81?
5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? Из двух дурацких углов? С прямого и глупого угла? Под прямым и острым углом?
6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине прилегающего к нему угла?
7.Если при пересечении двух прямых один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трех углов?
Какой прилегающий угол
Угол — это геометрическая форма (рис. 1), образованная двумя лучами Oa и OB (сторона угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

Связанные углы — Два угла, сумма которых составляет 180 °. Каждый из этих углов дополняет другой до расширенного угла.
Связанные углы — (Agles Adjacets) таковы, что имеют общую вершину и общую сторону. В основном под этим названием есть такие углы, что две другие стороны лежат в противоположных направлениях одной прямой, через которую проходит.
Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а другие стороны этих углов являются дополнительными полукругами.
рис. 2.
На рисунке 2 углы A1B и A2B смежны. У них общая сторона B, а стороны A1, A2 являются дополнительными полусупростыми.
рис. 3.
На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — это точка, не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. Они имеют общую сторону CD, а стороны CA и CB представляют собой дополнительные полукруглые прямые AB, поскольку точки A, B разделены начальной точкой C.
Теорема о смежных углах
Теорема: Сумма смежных углов составляет 180 °
Доказательство:
Прилегающие углы A1B и A2B (см.рис.2) Луч B проходит между сторонами A1 и A2 расширенного уголка. Следовательно, сумма углов A1B и A2B равна расширенному углу, то есть 180 °. Теорема доказана.

Угол, равный 90 °, называется прямым. Из теоремы о количестве смежных углов следует, что угол, прилегающий к прямому углу, также является прямым углом. Угол меньше 90 ° называется острым, а угол больше 90 ° — тупым. Поскольку сумма смежных углов составляет 180 °, это означает угол, прилегающий к острому углу — тупой угол.А соседний угол с дурацким углом — это острый угол.
Связанные углы — Два угла с общей вершиной, одна из сторон которых является общей, а остальные стороны лежат на одной прямой (не совпадают). Сумма смежных углов 180 °.
Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
Определение 1.1. Уголком называется фигура, состоящая из точки — вершины угла — и двух разных полукругов, исходящих из этой точки, сторон угла.
Например, угол Best на Figar будет учитывать первые две пересекающиеся прямые. При пересечении прямой образуют углы. Существуют особые случаи:
Определение 2. Если стороны угла являются дополнительной полусупростой прямой, угол называется расширенным.
Определение 3. Прямой угол — это угол в 90 градусов.
Определение 4. Угол меньше 90 градусов называется острым углом.
Определение 5. Угол больше 90 градусов и меньше 180 градусов называется тупым углом.
пересекающаяся прямая.
Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие лежат на одной прямой, называются смежными.
Определение 7. Углы, которые продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
Рис. 1:
связаны: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1.
по вертикали: 1 и 3; 2 и 4.
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусам.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы AO и Vos. Их сумма и есть подробный угол AOS. Следовательно, сумма этих смежных углов составляет 180 градусов.
Фиг.4

Связь математики с музыкой
«Обтекая искусство и науку, их взаимоотношения и противоречия, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что все два антипода ограничены и определяется всей творческой духовной деятельностью человека и тем, что все находится между ними, То, что человечество создало в области науки и искусства.»
Nigauses
Казалось бы, искусство очень отвлекает от математики. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — самая отвлекающая. вид искусства
Созвучие определяет удовольствие от звучания струны
В основе этой музыкальной системы лежали два закона, носящие имена двух великих ученых — Пифагора и Архитектора.Две звучащие струны определяют Connce, если их длины соотносятся как целые числа, образующие треугольное число 10 = 1 + 2 + 3 + 4, т.е. как 1: 2, 2: 3, 3: 4. Причем, чем меньше число n в уважение n: (n + 1) (n = 1,2,3), то что полученный интервал.
2. Частота колебания w, звучащего в струне, обратно пропорциональна ее длине L.
w = a: l,
где a — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.
Также предлагаю вашему вниманию забавную пародию на спор двух математиков =)
Геометрия вокруг нас
Геометрия в нашей жизни имеет важное значение.Благодаря тому, что оглядываясь вокруг, нетрудно заметить, что мы окружаем различные геометрические формы. Мы сталкиваемся везде: на улице, в классе, дома, в парке, в спортзале, в школьной столовой, в принципе, где бы мы ни были. Но сегодняшний урок — это соседний уголь. Поэтому давайте осмотримся и попробуем найти в этой среде уголки. Если внимательно посмотреть в окно, можно увидеть, что некоторые ветви дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно увидеть множество вертикальных углов.Приведите примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей среде.
Упражнение 1.
1. Вот, на столе на подставке для книг стоит книга. Какой угол он образует?
2. Но студент работает на ноуте. Какой угол вы здесь видите?
3. Под каким углом образуется фоторамка на подставке?
4. Как вы думаете, что возможно, чтобы два соседних угла были равны?
Задача 2.
Перед вами изобразим геометрическую фигуру.Что это за фигура, назовите ее? Теперь назовите все смежные углы, которые вы видите на этой геометрической фигуре.

Задание 3.
Перед вами изображение рисунка и картин. Внимательно рассмотрите их и скажите мне, какие уловки вы видите на картинке и какие ракурсы на картинке.

Решение задач
1) Два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а прилегающие к ним — как 7: 5. Необходимо найти эти углы.
2) Известно, что один из соседних углов больше 4 раз. Что такое смежные углы?
3) Необходимо найти соседние углы при условии, что один из них на 10 градусов больше второго.

Математический диктант для повторения ранее изученного материала
1) Выполните рисование: прямые a i B пересекаются в точке A. Обратите внимание на меньшие из образованных углов до числа 1, а остальные углы — последовательно числа 2,3,4; Первичный A — через A1 и A2, а прямой b — через B1 I B2.
2) Воспользовавшись сделанным шаблоном, введите желаемые значения и пояснения к проходам прохода в тексте:
а) Угол 1 и угол …. Связанные, потому что …
б) Угол 1 и угол …. Вертикальный, потому что …
в) если угол 1 = 60 °, то угол 2 = … потому что …
г) если угол 1 = 60 °, то угол 3 = … потому что …
Решите задачи:
1. Может ли сумма 3-х углов, образованная пересечением 2-х прямых, равняться 100 °? 370 °?
2.Найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальные углы. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он в три раза больше, чем прилегающий к нему.
4. Две прямые пересекаются вместе. В результате этого пересечения образовалось четыре угла. Определите величину любого из них при условии, что:
а) сумма двух углов по четыре 84 °;
б) разница двух углов 45 °;
в) один угол в 4 раза меньше второго;
D) Сумма трех из этих углов составляет 290 °.
Всего урока
1. Назовите углы, которые образуются при пересечении двух прямых?
2. Назовите все возможные пары углов на рисунке и определите их внешний вид.

Домашнее задание:
1. Найдите отношение градусов соседних углов, когда один из них на 54 ° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых линий, при условии, что один из углов равен сумме двух других прилегающих к нему углов.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует второй угол, который больше второго угла на 60 °.
4. Разница между двумя соседними углами составляет одну треть суммы этих двух углов. Определите значения 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма двух смежных углов обрабатываются как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница между двумя соседними составляет 25% от их суммы. Как соотносятся значения 2-х смежных углов? Определите значения 2-х смежных углов.
Вопросы:
Какой угол?
Какие бывают уголки?
В чем особенность прилегающих углов?
Предмет> Математика> Математика 7 класс
Начальные углы Информация
Дадим два произвольных луча. Оставим их друг на друге. Тогда
Определение 1.
Угол назовем двумя балками с одинаковым началом.
Определение 2.
Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.
Угол обозначается следующими тремя точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 1).
Определим теперь, какова величина угла.
Для этого нужно выбрать какой-то «опорный» угол, который мы будем брать за единицу. Чаще всего этот угол представляет собой угол, равный $ \\ FRAC (1) (180) $ частей развернутого угла. Такая величина называется градусом.0 $.
В дополнение к таким типам углов, которые описаны выше, типы углов могут быть разделены по отношению друг к другу, а именно вертикальные и смежные углы.
Связанные углы
Рассмотрим подробный угол $ COB $. Из его вершин будет вестись $ oa $. Этот луч будет разделен на два угла. Тогда
Определение 7.
Два угла будут называться смежными, если одна пара их сторон представляет собой подробный угол, а другая пара совпадает (рис.0 $.
Вертикальные углы
Рассмотрим развернутые углы $ AOB $ и $ MOC $. Совместим вершины между собой (то есть разбиваем точку $ o «$ на точку $ o $) так, чтобы никакие стороны этих углов не совпадали. Тогда
Определение 8.
Два угла назовем вертикальными, если пары их сторон представляют собой развернутые углы, а их значения совпадают (рис. 3).
В этом случае углы $ Moa $ и $ Boc $ вертикальные, а углы $ Mob $ и $ AOC $ также вертикальные.
Теорема 2.
Вертикальные углы между собой.
Доказательства.
Рассмотрим рисунок 3. Докажите, например, что угол $ Moa $ равен углу $ Boc $.
В процессе изучения курса геометрии понятия «угол», «вертикальные углы», «прилегающие углы» встречаются довольно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определить?
Родственные углы — определение понятия
Термин «смежные углы» характеризует два угла, образованные общей балкой, и два дополнительных полукруга, лежащих на одной прямой.Все три луча выходят из одной точки. Суммарная полувозрастность одновременно является стороной как одного, так и второго угла.
Связанные углы — основные свойства
1. Основываясь на формулировке смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует детализированный угол, градус которого равен 180 °:
Если μ и η — смежные углы, то μ + η = 180 °.
Зная один из соседних углов (например, μ), легко вычислить градус второго угла (η), используя выражение η = 180 ° — μ.
2. Это свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, который является прилегающим прямым углом, также будет прямым.
3. Рассматривая тригонометрическую функцию (SIN, COS, TG, CTG), основанную на формулах для соседних углов μ и η, верно следующее:
sinη = sin (180 ° — μ) = sinμ,
cosη = cos (180 ° — μ) = -COSμ,
tGη = TG (180 ° — μ) = -tgμ,
ctgη = CTG (180 ° — μ) = -CTGμ.

Связанные углы — примеры
Пример 1.
Треугольник с вершинами m, p, q равен Δmpq. Найдите углы, смежные углы ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
Продлим каждую сторону треугольника прямо.
Зная, что соседние углы дополняют друг друга до расширенного угла, выясняем, что:
рядом с углом ∠QMP будет ∠LMP,
рядом с углом ∠mpq будет spq,
, относящееся к углу ∠pqm, будет HQP.

Пример 2.
Значение одного соседнего угла — 35 °. Каков градус второго прилегающего угла?
Два смежных угла в сумме образуют 180 °.
Если ∠μ = 35 °, то соседний ∠η = 180 ° — 35 ° = 145 °.
Пример 3.
Определите значения смежных углов, если известно, что градус одного из нижних в три раза больше градусов другого угла.
Обозначим значение одного (меньшего) угла через — ∠μ = λ.
Тогда по условию задачи значение второго угла будет равно ∠η = 3λ.
Исходя из основных свойств прилегающих углов, μ + η = 180 ° следует за
λ + 3λ = μ + η = 180 °,
λ = 180 ° / 4 = 45 °.
Следовательно, первый угол ∠μ = λ = 45 °, а второй угол ∠η = 3λ = 135 °.

Умение апеллировать к терминологии, а также знание основных свойств прилегающих углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.
главная »Этажи» Родственные и вертикальные углы теории.