Содержание

Формулы периметра, Периметр

Периметр фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра.
Стандартное обозначение периметра в математике — буква P

Периметр треугольника

P = a + b + c

Периметр квадрата

Пусть длина стороны квадрата равна a. Квадрат имеет четыре равных стороны, поэтому периметр квадрата есть P = a + a + a +a или:

P = 4 ⋅ a

Периметр прямоугольника

Пусть длины сторон прямоугольника равны a иb.
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b или:

P = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b

Периметр параллелограмма

Пусть длины сторон параллелограмма равны a и b
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b, поэтому периметр параллелограмма есть:

P = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b

Как видно, периметр параллелограмма равен периметру прямоугольника.

Периметр ромба

P = 4 ⋅ a

Периметр равнобедренной трапеции

Пускай длины параллельных сторон трапеции a и b, а длины двух других сторон равна c(Как известно, равнобедренная трапеция имеет две равные стороны).

P = a + b + c + c = a + b + 2 ⋅ c

Периметр равностороннего треугольника

Как известно, равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны. Если длина стороны равна a, тогда
формула нахождения периметра есть P = a + a + a

P = 3 ⋅ a

Длина окружности(периметр круга)

Обозначим длину окружности буквой l.

$l = d \cdot \pi = 2\cdot r \cdot \pi$


Где:
$\pi = 3,14$
r радиус круга (окружности)
d диаметр круга.

Правильный многоугольник

$P = 2nb\sin\frac{\pi}{n}$

n число ребер(вершин).
$\pi = 3,14159265359$

www.math10.com

Формулы периметра.

Периметром геометрической фигуры — называют длину границы геометрической фигуры.

Формула периметра треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

Формулы периметра квадрата

Периметр квадрата равен произведению длины его стороны на четыре.

Периметр квадрата равен произведению длины его диагонали на два корня из двух.

где P — периметр квадрата,

a

— длина стороны квадрата,

d

— длина диагонали квадрата.

Формула периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу.

где P — периметр прямоугольника,

a, b

— длины сторон прямоугольника.

Формула периметра параллелограмма

Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу

где P — периметр параллелограмма,

a, b

— длины сторон параллелограмма.

Формула периметра ромба

Периметр ромба равен произведению длины его стороны на четыре.

где P — периметр ромба,

a

— длина стороны ромба.

Формула периметра трапеции

Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон.

где P — периметр трапеции,

a, c

— длины основ трапеции,

b, d

— длины боковых сторон трапеции.

Формулы периметра круга, длины окружности.

где P — периметр круга,

r

— радиус круга,

d

— диаметр круга,

π = 3.141592

.


Добавить комментарий

o-math.com

Периметр прямоугольника, квадрата и ромба

Периметр любой плоской геометрической фигуры равен сумме длин всех её сторон. Так как у прямоугольника, квадрата и ромба 4 стороны, то их периметры можно находить последовательным сложением четырёх длин, которым равны их стороны.

Рассмотрим нахождение периметра, с помощью последовательного сложения на примере трёх четырёхугольников:

Прямоугольник имеет две стороны по 3 см и две стороны по 5см, значит его периметр можно найти так:

P = AB + BC + CD + DA = 3 см + 5см + 3см + 5см = 16см

Квадрат и ромб имеют по 4 одинаковых стороны, значит их периметр будет равен сумме 4 одинаковых длин:

P = A1B1 + B1C1 + C1D1 + D1A1 =

= 3см + 3см + 3см + 3см = 12см – для квадрата

P = A2B2 + B2C2 + C2D2 + D2A2 =

= 3см + 3см + 3см + 3см = 12см – для ромба

Так как в каждом из данных четырёхугольников есть повторяющиеся длины (относящиеся к равным по длине сторонам), то находить периметр можно не только с помощью сложения, но и заменять одинаковые слагаемые их произведением.

Рассмотрим, сначала, изменения в нахождении периметра для прямоугольника:

P = 3см + 5см + 3см + 5см = 3см · 2 + 5см · 2 =

= (3см + 5см)2 = 8см · 2 = 16см

Из этого примера можно сделать вывод, что периметр прямоугольника равен сумме его смежных сторон, умноженной на 2. Общая формула:

P = (a + b)2

где P – это периметр прямоугольника, а a и b – его смежные стороны.

Теперь рассмотрим нахождение периметра для квадрата и ромба, с заменой одинаковых слагаемых их произведение:

P = 3см + 3см + 3см + 3см = 3см · 4 = 12см

Это значит, что периметр квадрата или ромба равен длине его стороны умноженной на 4. Общая формула:

P = a · 4

где P – это периметр квадрата или ромба, а a любая из четырёх сторон.

naobumium.info

Формулы периметра.

Формула периметра треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

P = a + b + c

Формулы периметра квадрата

Периметр квадрата равен произведению длины его стороны на четыре.

P = 4a

Периметр квадрата равен произведению длины его диагонали на два корня из двух.

P = 2√2 d

где P — периметр квадрата,

a — длина стороны квадрата,

d — длина диагонали квадрата.

Формула периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу.

P = 2(a + b)

где P — периметр прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формула периметра параллелограмма

Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу

P = 2(a + b)

где P — периметр параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма.

Формула периметра ромба

Периметр ромба равен произведению длины его стороны на четыре.

P = 4a

где P — периметр ромба,
a — длина стороны ромба.

Формула периметра трапеции

Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон.

P = a + b + c + d

где P — периметр трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции.

Формулы длины окружности.

где P — длина окружности,

r — радиус окружности,

d — диаметр окружности,

π = 3.141592.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Периметр квадрата и прямоугольника. Способы определения и примеры решения. :: SYL.ru

Часто на просторах интернета можно найти насмешки по поводу того, как знания по математике — интегралы, дифференциалы, тригонометрические функции и прочие разделы предмета — не помогают облегчить жизнь человека. Такие шутки напрасны, ведь как выручает умение правильно рассчитывать периметр квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур в строительных работах. Расход материала: плитки, обоев, напольного покрытия — не определить без понимания элементарных математических формул и геометрических фигур.

Свойства квадрата

Любые вычисления в математике базируются на свойствах объекта. Чтобы ответить на вопрос: «Чему равен периметр квадрата?» — рекомендуется вспомнить отличительные характеристики этой фигуры.

  1. Равенство всех сторон.
  2. Наличие четырех углов величиной 90 градусов.
  3. Параллельность сторон.
  4. Поворотная симметрия. При вращении фигуры ее вид остается неизменным.
  5. Возможность описать и вписать окружность.
  6. Диагонали при пересечении делят друг друга пополам.
  7. Площадь фигуры характеризует заполненное квадратом место в двухмерном пространстве.
  8. Периметр фигуры не что иное, как сумма длин его сторон.
  9. Из предыдущего свойства вытекает, что единицами измерения величины периметра будут единицы длины: м, см, дм и другие.

Для подсчета плинтусов для завершения ремонта в квадратном помещении, необходимо знать длину комнаты. Для этого необходимо посчитать ее периметр.

Периметр

В переводе с греческого языка слово означает «измерять вокруг». Термин применим ко всем замкнутым фигурам: квадрату, окружности, прямоугольнику, треугольнику, трапеции и прочим. Знания по определению периметра элементарных фигур необходимы для решения сложных геометрических задач с объектами неправильной формы. Например, для расчета плинтусов в комнату планировкой типа «Г», или как еще называют, «сапожком», потребуется определить периметр квадрата и прямоугольника. Ведь форма помещения состоит из этих элементарных фигур.

Общепринятое обозначение такой величины – буква Р. Каждой фигуре с учетом ее свойств присуща своя формула для определения периметра.

Свойства прямоугольника

  1. Равенство противоположных сторон.
  2. Равенство диагоналей.
  3. Возможность описать окружность.
  4. Высоты прямоугольника равны его сторонам.
  5. Сумма углов равна 360 градусов, и все углы прямые.
  6. Параллельность противоположных сторон.
  7. Перпендикулярность прилегающих сторон.
  8. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов его сторон.
  9. Пересекаясь, диагонали делят друг друга пополам.
  10. Невозможность вписать в фигуру окружность.

Периметр квадрата

В зависимости от установленных (известных) параметров квадрата, существуют разные формулы для определения его периметра. Простой задачей является расчет периметра при установленной длине его стороны (с). В этом случае Р=с+с+с+с или 4*с. Например, длина стороны квадрата 7 см, тогда периметр фигуры буде 28 см (4*7).

В первом случае все понятно, но как найти периметр квадрата, зная его площадь? И тут все предельно ясно. Поскольку площадь фигуры определяется умножением одной стороны на другую, а у квадрата все стороны равны, необходимо извлечь корень из известной величины. Пример: есть квадрат с площадью 25 дм2. Корень из 25 равен 5 – эта величина характеризует длину стороны квадрата. Теперь, подставляя найденную величину — 5 дм2 — в первоначальную формулу периметра, можно решить задачу. Ответом будет значение в 20 дм. То есть 4 умножили на 5, получили искомую величину.

Квадрат и окружность

Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.

Первый вариант – нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС – это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с2=32 . В формуле обозначение с – это длина стороны треугольника и квадрата; 3 – известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.

Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.

Периметр прямоугольника

Самая элементарная формула определения периметра прямоугольника через известные величины его сторон выглядит так: Р=2(а+b), где а и b — длины сторон фигуры.

Диагональ прямоугольника аналогично квадрату делит фигуру пополам, образуя прямоугольный треугольник. Однако задача усложняется тем, что стороны этого треугольника неравные. В случае с известной величиной одной из сторон и диагонали, вторую можно найти, следуя теореме Пифагора: д222, где а и в – стороны фигуры, а д – диагональ.

Если неизвестна ни одна из сторон, тогда в дело вступают знания тригонометрии: синусы, косинусы и другие функции.

Нахождение периметра по описанной окружности и известному диаметру сводится к тому, что диаметр равен длине диагонали фигуры. Дальше решение задачи определяется по наличию известных величин. Если даны углы, тогда через тригонометрические функции. Если дана сторона, ответ будет найден через теорему Пифагора.

Прямоугольник и тригонометрические функции

Для наглядности приведен пример решения задачи. Дано: прямоугольник АВСД; длина диагонали (d) 20 см; угол ф – 30°. Найти периметр фигуры.

Из тригонометрии необходимо вспомнить следующее: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Синус 30° (существуют таблицы, по которым можно определить значения тригонометрических функций для правильных углов) равен 1/2. Получается 1/2 = отношению в к d. Неизвестная величина в будет равна d/2=20/2=10 см.

Для расчета периметра следует найти вторую сторону фигуры. Можно через теорему Пифагора, так как известны длины гипотенузы и одного из катетов или опять через отношение сторон для косинуса угла.

Косинус угла ф выражается как отношение прилежащего катета к гипотенузе и равен √3/2.

√3/2=n/d, n=(d*√3)/2 или 10*√3. После извлечения корня из 3, получаем длину стороны треугольника: 10*1,73=17,3 см.

Периметр равен 2(17,3+10)=2*27,3=54,6 см.

Периметр и отношение сторон

В школьной программе встречаются задачи по геометрии, когда длины сторон прямоугольника выражены их отношением друг к другу. Рассмотрение решения подобной задачи представлено ниже.

Известно, что сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть его периметр, равен 84 см. Отношение длины (д) к ширине (ш) – 3:2. Найти стороны фигуры.

Решение: пусть длина будет 3х, а ширина 2х, согласно соотношению из условия задачи. Формула периметра прямоугольника с полученными данными длин сторон будет следующей: 3х+3х+2х+2х = 84. Далее, 10х = 84, х=8,4 см. Подставив х в выражение длины и ширины прямоугольника, можно найти искомые величины. Длина будет: 3*8,4 = 25,2 см; ширина: 2*8,4 = 16,8 см.

Статья посвящена решению наиболее часто встречаемых задач в школьной программе. И это далеко не все способы нахождения периметра квадрата и прямоугольника.

www.syl.ru

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника

Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. В этой статье, на примере задач, мы приведем формулы для нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.

Периметр квадрата

Определение 1

Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех равных сторон, все углы которой прямые (рис. 1).

Пример 1

Найти периметр квадрата, если его сторона равняется $α$.

Решение.

Так как все 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим

$P=α+α+α+α=4α$

Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину его стоны умножить на $4.$

Периметр прямоугольника

Определение 2

Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, все углы которой прямые (рис. 2).

Пример 2

Найти периметр прямоугольника, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

Решение.

Так как противоположные стороны равняются между собой, то

$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$

Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

Периметр параллелограмма

Определение 3

Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).

Пример 3

Найти периметр параллелограмма, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

Решение.

Так как противоположные стороны равняются между собой, то

$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$

Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

Периметр трапеции

Определение 4

Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).

Пример 4

Найти периметр трапеции, если его стороны равняются $α$, $β$, $γ$ и $δ$.

Решение.

По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

$P=α+β+γ+δ$

Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить все длины его сторон.

Периметр ромба

Определение 5

Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого все стороны равны между собой (рис. 5).

Пример 5

Найти периметр ромба, если его сторона равняется $α$.

Решение.

Так как все 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим

$P=α+α+α+α=4α$

Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину его стоны умножить на $4.$

Периметр многоугольника

Отметим, что все фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. Поэтому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.

Определение 6

$n$-угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из $n$ непересекающихся сторон и $n$ углов. (рис. 6).

Пример 6

Найти периметр $n$-угольника, если его стороны равняются $α_1$, $α_2$,…, $α_n$.

Решение.

По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

$P=α_1+α_2+⋯+ α_n$

Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить все длины его сторон.

Здесь можно выделить периметр правильного $n$-угольника, то есть $n$-угольника, у которого все стороны равняются между собой.

Пример 7

Найти периметр правильного $n$-угольника, если его сторона равняется $α$.

Решение.

Так как все $n$ сторон правильного $n$-угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим

$P=α+α+⋯+α+α$ — $n$ раз.

Следовательно

$P=nα$

Вывод: Для нахождения периметра правильного $n$-угольника надо длину его стороны умножить на $n$

Периметр эллипса

Здесь просто введем формулу, для вычисления периметра (или еще иначе длины) эллипса. Пусть нам дан эллипс, как на рисунке 7.

Тогда периметр эллипса равняется

$P=4\frac{πab+a-b}{a+b}$

spravochnick.ru

Формула как найти периметр и площадь квадрата и прямоугольника

Ответы и объяснения. Участник Знаний. Периметр квадрата=((2 радиуса окружности (это одна сторона квадрата)) *4 = (3,6*2) * 4 = 7,2 * 4 = 28,8. С (длина окружности) = 2?r = 2*?*3,6 =7,2?. Площадь квадрата S =a*a = a? = 7,2? = 51,84. Комментарии; Отметить нарушение. 3.7. 3 оценки. 3 оценки. Оцени!

Сказали выучить формулы :Площадь квадрата Площадь прямоугольника периметр квадрата периметр прямоугольника подскажите как найти это

Ответы и объяснения

Площадь квадрата S= a*a где а это сторона квадрата

Площадь прямоугольника S=а*b, где а и б стороны прямоугольника

Периметр квадрата P=4*a

Периметр прямоугольника P=(a+b)*2

    Комментарии Отметить нарушение

Площадь прямоугольника: длину умножить на ширину ( S=a×b)

Периметр квадрата: нужно сложить все стороны, или умножить одну сторону на 4 (P=a+a+a+a, или P=a×4)

Периметр прямоугольника: сложить все стороны ( P=a+b+a+b, или P=(a×2)+(b×2)

Площадь квадрата: (S=a×a) а-сторона квадрата

Формула как найти периметр и площадь квадрата и прямоугольника

Сказали выучить формулы :Площадь квадрата Площадь прямоугольника периметр квадрата периметр прямоугольника подскажите как найти это

Ответы и объяснения

Площадь квадрата S= a*a где а это сторона квадрата

Площадь прямоугольника S=а*b, где а и б стороны прямоугольника

Периметр квадрата P=4*a

Периметр прямоугольника P=(a+b)*2

    Комментарии Отметить нарушение

Площадь прямоугольника: длину умножить на ширину ( S=a×b)

Периметр квадрата: нужно сложить все стороны, или умножить одну сторону на 4 (P=a+a+a+a, или P=a×4)

Периметр прямоугольника: сложить все стороны ( P=a+b+a+b, или P=(a×2)+(b×2)

Площадь квадрата: (S=a×a) а-сторона квадрата

Формула как найти периметр и площадь квадрата и прямоугольника

Сказали выучить формулы :Площадь квадрата Площадь прямоугольника периметр квадрата периметр прямоугольника подскажите как найти это

Ответы и объяснения

Площадь квадрата S= a*a где а это сторона квадрата

Площадь прямоугольника S=а*b, где а и б стороны прямоугольника

Периметр квадрата P=4*a

Периметр прямоугольника P=(a+b)*2

    Комментарии Отметить нарушение

Площадь прямоугольника: длину умножить на ширину ( S=a×b)

Периметр квадрата: нужно сложить все стороны, или умножить одну сторону на 4 (P=a+a+a+a, или P=a×4)

Периметр прямоугольника: сложить все стороны ( P=a+b+a+b, или P=(a×2)+(b×2)

Площадь квадрата: (S=a×a) а-сторона квадрата

poiskvstavropole.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о