Алгебра 7 класс функции: Функции, способы задания функций. график функции. — Алгебра — 7 класс

Не беспокойтесь о том, откуда взялась эта связь. {{\ mbox {st}}}} {\ mbox {components:}} \ left \ {{6, — 7,0} \ right \} \ hspace {0.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{10,3,4, — 4} \ right \} \]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы перейдем к соотношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \ (\ left ({6,10} \ right) \ ) и \ (\ left ({6, — 4} \ right) \). Список вторых компонентов, связанных с 6, будет: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым из них, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли даже одно значение в наборе первых компонентов с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточно, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве последнего комментария к этому примеру отметим, что если мы удалим первую и / или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас будет функция!

Итак, надеюсь, у вас есть хоть какое-то представление о том, что нам говорит определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройти собственно определение функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо более полезным для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели с четырьмя отношениями, которые мы указали до определения функции, и с отношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из некоторого уравнения.

Важно отметить, что не все отношения основаны на уравнениях! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для этого примера, и не было получено из какого-либо уравнения.Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Они не обязательно должны исходить из уравнений.

Однако, как уже было сказано, все функции, которые мы собираемся использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому давайте напишем определение функции, которая признает этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны указать, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с видами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \ (x \), который можно вставить в уравнение, даст ровно один \ (y \) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которые мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче понять, что оно означает.

Прежде чем мы исследуем это, обратите внимание, что мы использовали фразу «\ (x \), который может быть подключен» в определении.Это означает, что не все \ (x \) могут быть включены в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно в конце этого раздела, однако на данном этапе просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим, чтобы действительные числа были исключены из уравнения, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, с этими двумя примерами ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \ (x \) в какое-либо уравнение.

Далее, имея дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \ (x \), и \ (y \) будут действительными числами.Другими словами, мы на время забудем о том, что знаем что-либо о комплексных числах, пока будем заниматься этим разделом.

Хорошо, теперь давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, которые являются функциями, и уравнений, которые не являются функциями.

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \ (x \), подставим их в уравнение и решим для \ (y \), мы получим ровно одно значение для каждого значения \ ( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно на самом деле показать, что уравнение является функцией, поэтому в основном мы будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какое \ (x \) мы подставляем в уравнение и решаем для \ (y \), мы получим только одно значение \ (y \). Также обратите внимание, что значение \ (y \), вероятно, будет различным для каждого значения \ (x \), хотя это не обязательно.

Давайте начнем с того, что подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что произойдет.

Итак, для каждого из этих значений \ (x \) мы получили единственное значение \ (y \) из уравнения.Теперь этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \ (x \) мы подставляем в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить в уравнение все возможные значения \ (x \). Это просто невозможно физически. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \ (x \) после подключения мы сначала умножили \ (x \) на 5, а затем прибавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10 \ end {align *} \]

А теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Сначала мы возводили в квадрат значение \ (x \), которое мы подключили. Когда мы возводим в квадрат число, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Итак, похоже, что это уравнение также является функцией.

Обратите внимание, что получить одинаковое значение \ (y \) для разных \ (x \) — это нормально.2} & = 10 + 1 = 11 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {11} \ end {align *} \]

Теперь помните, что мы решаем для \ (y \), и это означает, что в первом и последнем случаях выше мы фактически получим два разных значения \ (y \) из \ (x \), и поэтому это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \ (x \), которые приведут к единственному \ (y \), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если даже одно значение \ (x \) дает более одного значения \ (y \), при решении уравнения не будет функцией. 2} = 4 \ hspace {0.2} = 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \, 2 \]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение круга. Круги никогда не бывают функциями.

Надеюсь, эти примеры позволили вам лучше понять, что такое функция.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функции . Обозначения функций будут широко использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому их важно понимать.2} — 5x + 3 \]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Важна часть «\ (\ left (x \ right) \)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \ (f \ left (x \ right) \) на самом деле не более чем действительно причудливый способ записи \ (y \). Если вы запомните это, вы можете обнаружить, что работать с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ умножение \ (f \) на \ (x \)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые люди допускают, когда впервые сталкиваются с функциями.2} — 5x + 3 \]

и спросите, каково его значение для \ (x = 4 \). В терминах обозначений функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \ (f \ left (4 \ right) \). Итак, когда в скобках есть что-то, кроме переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы действительно спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \ (x \). Вот \ (f \ left (4 \ right) \).2} — 5} \ right) \) Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left (3 \ right) \) и \ (g \ left (3 \ right) \) Показать решение

Итак, у нас есть две оценки функций, которые нужно выполнить, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно будет решить, какую функцию использовать для оценок. Главное здесь — обратить внимание на букву перед круглой скобкой. Для \ (f \ left (3 \ right) \) мы будем использовать функцию \ (f \ left (x \ right) \), а для \ (g \ left (3 \ right) \) мы будем использовать \ (g \ влево (х \ вправо) \).2} — 2 \ влево ({- 10} \ вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 \]

Убедитесь, что здесь вы правильно разбираетесь с негативными знаками. Теперь второй.

Мы достигли разницы. Напомним, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только реальные числа.2} — 2 \ влево (0 \ вправо) + 8 = 8 \]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как показывает этот, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы вставляем символы \ (x \) справа от знака равенства в скобки.2} — 2t + 8 \]

Обратите внимание, что в этом случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \ (t \) в качестве переменной.

А теперь давайте немного посложнее, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \ (f \ left ({t + 1} \ right) \). Этот работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \ end {выровнять *} \]

Оценка функций — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что несколько последующих разделов будут очень трудными для понимания и / или выполнения работы, если вы не имеете хорошего представления о том, как работает оценка функций.

Пока мы говорим об оценке функций, мы должны теперь поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если в то время мы не называли его функцией (или кусочной функцией).Вспомните математическое определение абсолютной величины.

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какой фрагмент вы используете, зависит от значения \ (x \).2} + 4} & {{\ mbox {if}} t \ le — 4} \\ {10} & {{\ mbox {if}} — 4 15} \ end {array}} \ right. \]

оценивают каждое из следующих действий.

1. \ (g \ left ({- 6} \ right) \)
2. \ (g \ left ({- 4} \ right) \)
3. \ (г \ влево (1 \ вправо) \)
4. \ (g \ left ({15} \ right) \)
5. \ (g \ left ({21} \ right) \)

Прежде чем приступить к оценкам, обратите внимание, что мы используем разные буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента.Это не повлияет на работу оценки. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \ (f \) для функции и \ (x \) для переменной, что вы не сможете решить любую проблему, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, и оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52 \]
c \ (g \ left (1 \ right) \) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо проводим. Мы знаем, что оцениваем функции / уравнения, подставляя номер переменной. В этом случае нет переменных. Это не проблема. Поскольку переменных нет, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и получаем следующее:

Опять же, как и со второй частью, нам нужно быть немного осторожнее с этой.В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства в нем. Затем, как и в предыдущей части, мы получаем

Не радуйтесь тому факту, что предыдущие две оценки имели одинаковое значение. Иногда это будет происходить.

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

Кусочные функции не так часто возникают в классе алгебры, однако они возникают в нескольких местах в более поздних классах, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к большему количеству математических классов.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подключить каждый \ (x \) к каждой функции. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и мы видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно взглянуть на это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно избавиться от пары определений.

Домен и диапазон

Область уравнения — это набор всех \ (x \), которые мы можем вставить в уравнение и получить действительное число для \ (y \). Диапазон уравнения — это набор всех \ (y \), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно имели в виду использовать уравнение в определениях выше вместо функций.Это действительно определения уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы также можем использовать определения функций.

Определение диапазона уравнения / функции для многих функций может быть довольно сложным, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Здесь нас гораздо больше интересует определение областей функций. Согласно определению, домен — это набор всех \ (x \), которые мы можем подключить к функции и получить действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 2} \ right) = 0 \ hspace {0,25in} x = — 5, \, \, x = 2 \ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \ (x = — 5 \) или \ (x = 2 \). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \ (x \) будут работать, поскольку они не дают деления на ноль. Тогда домен

В этом случае у нас не будет задач деления на ноль, так как у нас нет дробей.У нас действительно есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно позаботиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значения \ (x \), которых следует избегать. В этом случае напрямую получить домен будет так же просто. Чтобы избежать квадратного корня из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}} \) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x ² гарантированно будет положительным или нулевым, и добавление 4 к этому будет означать, что знаменатель всегда будет минимум 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это позаботиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется

Теперь мы можем фактически подставить любое значение \ (x \) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \ (x \) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем.2} — 16}} \) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно беспокоиться как о квадратном корне, так и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, поскольку это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \ (x \). Итак, чтобы квадратный корень оставался счастливым (, т.е. не было квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

Итак, по крайней мере, нам нужно потребовать, чтобы \ (x \ ge \ frac {1} {2} \), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 4, \, \, х = 4 \]

Теперь обратите внимание, что \ (x = — 4 \) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \ (x \) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \ (x = 4 \) удовлетворяет неравенству. Это означает, что можно подставить \ (x = 4 \) в квадратный корень, однако, поскольку это даст деление на ноль, нам нужно будет избегать этого.

Тогда домен для этой функции —

Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) — Mathplanet

Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.

Пример

$$ y = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ y = 2 + 7 = 9 $$

Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y.Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Функция — это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x.Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y. f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.

Пример

$$ f (x) = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

Функция линейна, если ее можно определить с помощью

$$ f (x) = mx + b $$

f (x) — значение функции.
м — уклон линии.
b — значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, в которой линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x — значение координаты x.

Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.

Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

Алгебраическая функция: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Таблицы

Одним из способов идентификации алгебраической функции является использование таблицы, которая может показать нам, существует ли один домен и один диапазон.Иногда функции добавляют к домену, чтобы получить диапазон, например x + 2. Иногда функции умножают домен, чтобы получить диапазон, например 3 x . Функции также могут вычитать или делить домен или использовать комбинацию операций для создания диапазона. Функция существует до тех пор, пока соблюдается правило «один пришел / один вышел».

Если алгебраическая функция требует добавить два к домену, мы можем создать таблицу для отображения функции:

Как видите, для каждого домена у нас есть один диапазон.Эти пары значений x и y называются упорядоченными парами , потому что мы упорядочиваем их ( x, y ).

Мы также можем превратить нашу таблицу в упорядоченные пары, чтобы показать функцию: (1,3), (4,6), (-2,0) и (-3, -1), где есть одна x — значение для каждого значения y .

Графики

Мы также можем использовать графики для идентификации функций путем нанесения упорядоченных пар в декартовую систему координат , где значения x расположены на горизонтальной линии, а значения y — на вертикальной линии.Место пересечения упорядоченных пар — это точка на графике. Если мы построим точки, мы получим прямую линию, поэтому функция x + 2 считается линейной функцией и может быть записана в функциональной записи как f (x) = x + 2. f (x) — это просто еще один способ записать y , который мы называем f-функцией . Это способ идентифицировать различные функции вместо того, чтобы вызывать их все y = …

Тест вертикальной линии

Мы знаем, что график является функцией, если он может пройти тест вертикальной линии .В этом тесте, если мы разместим вертикальную линию где-нибудь на графике, она пересечется только в одном месте. Если вертикальная линия пересекается в двух местах на графике, это противоречит правилу «один вход — один выход». Итак, это не функция.

Вот пример графика, который не является функцией.

Примеры функций

Как мы сказали в начале урока, существует много типов функций, таких как квадратичная функция и кубическая функция.2 — 3. Сначала создадим таблицу.

Домен может быть любым действительным числом, поэтому значение или домен x называется независимой переменной . Здесь мы будем использовать -2, -1, 0, 1 и 2 для домена.

Диапазон значений y называется зависимой переменной , потому что он зависит от того, что мы используем для члена x .

Записав числа в нашей таблице в виде упорядоченных пар, мы получим: (-2,1), (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1 ).Вы заметили, как мы повторили некоторые значения диапазона? Это приемлемо? ДА, потому что каждая упорядоченная пара имеет одно значение x и одно значение y . Значения y могут повторяться до тех пор, пока не повторяются значения x . Запомни один на вход / один на выход!

Теперь давайте построим график этой функции и воспользуемся тестом вертикальной линии, чтобы убедиться, что у нас все еще есть алгебраическая функция. 2.3 + x -2 и используйте следующие значения для домена: -2, -1, 0, 1 и 2.

Записав эти значения в виде упорядоченных пар, мы получим: (-2, -12), (-1, -4), (0, -2), (1, 0), (2, 8).

На графике наши упорядоченные пары будут выглядеть так.

После применения теста вертикальной линии мы видим, что это действительно функция!

Краткое содержание урока

Алгебраическая функция — это уравнение, которое позволяет ввести значение в области или x -значение и выполнить математические вычисления для получения результата, который представляет собой диапазон , или . y -значение, специфичное для этого конкретного значения x .

Между доменом и диапазоном существует отношение «один вход / один выход».

Есть несколько способов показать функцию:

1. Используйте таблицу для вычисления значений диапазона из случайно выбранных значений домена. Домен — это независимая переменная. Диапазон — это зависимая переменная.
2. Перечислите домен и диапазон в виде упорядоченных пар ( x , y ).
3. Покажите функцию в виде графика. Если вертикальная линия может проходить через любую часть графика и касаться только одной точки, тогда график является функцией.Если вертикальная линия пересекает две точки, график не является функцией.

Алгебраических функций — GRE Math

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Примечания к редакции по математике Глава 12 — Алгебраические выражения (7-й класс)

Алгебраическое выражение — это комбинация константы и переменных.Мы используем такие операции, как сложение, вычитание и т. Д., Чтобы сформировать алгебраическое выражение.

У переменной нет фиксированного значения. Его можно изменять. Обозначается буквами a, y, p m и т. Д.

Константа имеет фиксированное значение. Любое число без переменной — константа.

Пример

1. 2x + 7

Здесь мы получили это выражение, умножив 2 и x, а затем прибавив к нему 7.

В приведенном выше выражении переменная — x, а константа — 7.

2. y ²

Мы получаем это умножением переменной y на себя.

Чтобы сформировать выражение, мы используем константу и переменные и разделяем их с помощью таких операций, как сложение, вычитание и т. Д. Эти части выражений, которые мы разделяем с помощью операций, называются Термины .

В приведенном выше выражении есть три члена: 4x, — y и 7.

Каждый член является продуктом его факторов. Как и в приведенном выше выражении, член 4x является произведением 4 и x. Итак, 4 и x — факторы этого члена.

Мы можем понять это, используя древовидную диаграмму.

Как вы можете видеть выше, некоторые из факторов являются числовыми, а некоторые — алгебраическими i.е. содержит переменную. Числовой коэффициент члена называется числовым коэффициентом члена.

В приведенном выше выражении

-1 — коэффициент при ab

2 — коэффициент при b ²

-3 — коэффициент ² .

Здесь, на приведенном выше рисунке, вы можете определить термины, переменные, константы и коэффициенты.

Подобные термины — это термины с одинаковыми алгебраическими множителями.У них должна быть одна и та же переменная с одинаковым показателем степени.

В отличие от терминов — это термины, которые имеют разные алгебраические факторы.

2x ² + 3x — 5 не содержит терм с той же переменной.

2a ² + 3a ² + 7a — 7 содержит два члена с одной и той же переменной, то есть 2a ² и 3a ² , поэтому они похожи на термины.

Замечание: Все выражения типа одночлена, двучлена и трехчлена также являются многочленами.

Если нам нужно добавить одинаковые термины, мы можем просто добавить их числовые коэффициенты, и результат также будет аналогичным термином.

Пример

Складываем 2x и 5x.

Решение

2x + 5x

= (2 × х) + (5 × х)

= (2 + 5) × x (с использованием закона распределения)

= 7 × x = 7x

Если нам нужно вычесть одинаковые члены, мы можем просто вычесть их числовые коэффициенты, и результат также будет аналогичным термином.

Пример

Вычтем 3p из 11p.

Решение

11–3 полюса

= (11-3) п.

= 8p

Если нам нужно добавить непохожие термины, нам просто нужно поставить знак добавления между терминами.

Пример

Складываем 9y, 2x и 3

Решение

Просто напишем так —

9лет + 2x + 3

Если нам нужно вычесть непохожие термины, нам просто нужно поставить знак минус между ними.

Пример

Вычтем 9y из 21.

Решение

Просто напишем так —

21–9лет

Чтобы добавить общие алгебраические выражения, мы должны расположить их так, чтобы сходные термины собрались вместе, затем упростить термины, и непохожие термины останутся такими же в результирующем выражении.

Пример

Упростите выражение: 12p ² — 9p + 5p — 4p ² — 7p + 10

Решение

Сначала мы должны переставить термины.

12 пол. ² — 4 пол. ² + 5 пол. — 9 пол. — 7 пол. + 10

= (12-4) п ² + (5-9-7) п + 10

= 8p ² + (- 4-7) p + 10

= 8p ² + (–11) p + 10

= 8p ² — 11p + 10

Вычитая алгебраическое выражение из другого алгебраического выражения, мы должны расположить их в соответствии с похожими условиями, а затем вычесть их.

Вычитание аналогично сложению обратной величины.

Пример

Вычтем 4ab– 5b ² — 3a ² из 5a ² + 3b ² — ab

Решение

1. Выражения с одной переменной

Если мы знаем значение переменной в выражении, мы можем легко найти числовое значение данного выражения.

Пример

Найдите значение выражения 2x + 7, если x = 3.

Решение

Мы должны положить значение x = 3.

2x + 7

= 2 (3) + 7

= 6 + 7

= 13

2. Выражения с двумя или более переменными

Чтобы найти значение выражения с двумя переменными, мы должны знать значения обеих переменных.

Пример

Найдите значение y ² + 2yz + z ² , если y = 2 и z = 3.

Решение

Подставляем значение y = 2 и z = 3.

y ² + 2yz + z ²

= 2 ² + 2 (2) (3) + 3 ²

= 4 + 12 + 9

= 25

Есть так много формул, составленных с использованием алгебраических выражений.

Формулы периметра

1. Периметр равностороннего треугольника = 3l, где l — длина стороны равностороннего треугольника на l, а l — переменная величина, которая может изменяться в зависимости от размера равностороннего треугольника.

2. Периметр квадрата = 4l, где l = длина стороны квадрата.

3. Периметр правильного пятиугольника = 5l, где l = длина стороны пятиугольника и так далее.

Формулы площади

1. Площадь квадрата = a ² , где a — сторона квадрата

2. Площадь прямоугольника = l × b = lb, где длина прямоугольника равна l, а его ширина — b

3. Площадь треугольника = 1/2 × b × h, где b — основание, а h — высота треугольника.Здесь, если мы знаем значения переменных, указанных в формулах, мы можем легко вычислить значение количества.

Пример

Каков периметр квадрата, если сторона квадрата 4 см?

Решение

Периметр квадрата = 4л

l = 4 см

4 × 4 = 16 см

1. Если мы обозначим натуральное число через n, то его преемником всегда будет (n + 1).Если n = 3, то n + 1 будет 3 + 1 = 4.

2. Если мы обозначим натуральное число через n, то 2n всегда будет четным числом, а (2n + 1) всегда будет нечетным числом. Если n = 3, то 2n = 2 (3) = 6 (четное число), n = 3, тогда 2n + 1 = 2 (3) + 1 = 7 (нечетное число)

3. Если мы расположим числа, кратные 5, в порядке возрастания, то мы можем обозначить их как 5n. Если нам нужно проверить, каким будет термин 11 ^-й в этой серии, то мы можем проверить его с помощью 5n. n = 11, поэтому 5n = 5 (11) = 55.

Геометрический узор

Число диагоналей, которые мы можем провести из одной вершины любого многоугольника, равно (n — 3), где n — количество сторон многоугольника.

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины шестиугольника?

Количество диагоналей будет (n -3).

Число сторон шестиугольника равно 8, поэтому (n — 3) = (8-3) = 5

Что такое алгебра? (Краткое введение …)

Ниже приводится краткое изложение всех тем, которые вы ожидаете увидеть в типичном классе по алгебре средней школы (то есть по алгебре I или алгебре II).

Все темы подробно освещены в нашем онлайн-курсе алгебры.

Онлайн-курс предусматривает следующее:

• Полные лекции — Предназначены для повышения ваших результатов на тестах.
• 150+ HD Video Library — Больше не нужно тратить время на поиски на YouTube.
• Доступен 24/7 — Больше никогда не беспокойтесь о пропущенном уроке.
• Практические тесты — Убедитесь, что вы готовы к следующей викторине, тесту или выпускному экзамену.

Обзор тем по алгебре

Обзор тем по алгебре

Следующие разделы содержат ссылки на наши полные уроки по всем темам, перечисленным ниже.

Кроме того, не забудьте проверить наши обзоры, чтобы увидеть, какие мы из себя представляем.

8 Видео 204 Примеры

• Порядок действий
• Реальные числа
• Перевод алгебраических выражений
• Алгебраические свойства
• Умножение и деление
• Объединение одинаковых терминов
• Целые числа подряд
• Глава Test

11 Видео 198 Примеры

• Добавление одношаговых уравнений
• Одношаговое умножение уравнений
• Многоступенчатые уравнения
• Переменные на обеих сторонах
• Задачи с линейным словом
• Буквенные уравнения
• Абсолютное значение
• Линейные неравенства
• Неравенства абсолютных значений
• Проблемы со словами неравенства
• Глава Test

6 Видео 140 Примеры

• Упрощающие экспоненты
• Сложение экспонент
• Умножение на экспоненты
• Отрицательные экспоненты
• Научная запись
• Глава Test

5 Видео 105 Примеры

• Сложение и вычитание многочленов
• Умножение многочленов
• Метод фольги
• Проблемы со словом DRT
• Глава Test

10 Видео 192 Примеры

• Целочисленная факторизация
• Наибольший общий коэффициент
• Разница квадратов
• Трехчленный коэффициент единица
• Трехчленный коэффициент не один
Коэффициент
• по группировке
• Факторинговые кубики
• Решить факторинг
• Факторинг проблем со словами
• Глава Test

9 Видео 181 Примеры

• Рациональные выражения
• Умножение дробей
• На дробь
• Сложение дробей
• Длинный дивизион
• Пропорции
• Решение уравнений
• процентов
• Глава Test

8 Видео 123 Примеры

• Координатная плоскость
• Поиск перехватчиков
• Формула наклона
• Форма пересечения склонов
• Параллельно-перпендикулярные линии
• Форма углового откоса
• Графическое изображение линейных неравенств
• Глава Test

7 Видео 76 Примеры

• Метод построения графика
• Метод замещения
• Метод исключения
• Система неравенств
• Линейное программирование
• Нелинейные системы
• Глава Test

10 Видео 191 Примеры

• Квадратный корень
• Рациональные экспоненты
• Рационализация
• Умножение радикалов
• Сопряженная математика
• Решение радикальных уравнений
• Завершение площади
• Квадратичная формула
• Теорема Пифагора
• Глава Test

10 Видео 163 Примеры

• Взаимосвязи и функции
• Установить обозначение
• Линейная функция
• Центральная тенденция
• Эмпирическое правило
• Z-оценка
• Линия Best Fit
• Перестановки и комбинации
• Вероятность
• Глава Test

Общие вопросы

Почему алгебра так важна?

Алгебра тесно связывает наше понимание арифметики и позволяет нам изучать и решать неизвестные величины.Используя символы, переменные, выражения, уравнения и графики, мы можем решать задачи, связанные с неизвестными значениями. Что еще более важно, алгебра является краеугольным камнем всех будущих математических курсов, таких как геометрия, тригонометрия, исчисление и другие.

В чем разница между алгеброй 1 и 2?

Алгебра 1 дает студентам основу для всех будущих занятий по математике. Студенты познакомятся с переменными, уравнениями и методами решения, а также с общей темой упрощения или переписывания выражений.Алгебра 1 является обязательным курсом для Алгебры 2, поскольку он развивает и расширяет понимание учащимися уравнений и функций, исследуя более продвинутые методы или сложные темы.

Получите доступ ко всем курсам и более 150 HD-видео с подпиской

Доступны ежемесячные, полугодовые и годовые планы

Получить подписку сейчас

Еще не готовы подписаться? Испытайте Calcworkshop на нашем БЕСПЛАТНОМ курсе с лимитами

Весенние ноты

Заметки к уроку алгебры II

Эти примечания соответствуют Алгебре II Прентис Холла. Учебник издания Texas
.Roundrock ISD использует новую математику учебники будут использоваться с 2015 учебного года.

Я сохранил эти записи для родителей и студенты одинаково, поскольку основы алгебры не меняются.

ОСЕНЬ СЕМЕСТР

Обзор

Урок 1 Родительские функции

Классные заметки

Родительские функции Рабочий лист

Урок 2 Домен и диапазон

Классные заметки

Домен и диапазон Рабочий лист

Урок 3 Преобразование функций

Классные заметки

Функция Рабочий лист преобразований

Урок 4 Обозначение функций и представление функций

Учебный класс Банкноты

Функция Рабочий лист обозначений и представлений

Урок 5 Обратные функции

Учебный класс Банкноты

Рабочий лист обратных функций

Обзор испытаний (осень 2014 г.)

Обзор ответов (осень 2014 г.)

Обзор теста (осень 2013)

Обзор ответов (осень 2013 г.)

Раздел 1 Инструменты алгебры

Урок 1 Часть 1 Свойства вещественных чисел

Урок 1 Часть 2

Урок 2 Алгебраические выражения

Урок 3 Решение уравнений

Урок 4. Решение неравенств

Урок 5. Абсолютные уравнения и неравенства

Урок 6. Вероятность

Глава 1 Откр.(падение 2013)

Глава 2 Функции, Уравнения и графики

Урок 1 Отношения и функции

Урок 2 Линейные уравнения

Классные заметки

Урок 3 Прямая вариация

Урок 4. Использование линейных моделей

Урок 5. Функции и графики абсолютных значений

Классные заметки

2014

Урок 2.5 Уравнения и функции абсолютных значений 2014

Классные заметки

Рабочий лист для сопровождения части 1

Урок 2.5 Преобразования абсолютных значений 2014

Учебный класс Банкноты

2014 г. Обзор теста абсолютного значения

2014 Обзор решений

Урок 6. Семейства функций

Классные заметки

Урок 7. Двухвариантные неравенства

Учебный класс Примечания Линейные неравенства

Учебный класс Примечания к абсолютному неравенству значений (вместе с 2.6)

2013 Обзор теста абсолютного значения

2013 Решения Absolute Value Review

Глава 2 Ред. (Отзыв за предыдущий год)

Обзор решений

Использование статистики Участок

Перевод абсолютных значений

Раздел 3 Линейные системы

Урок 1 Графические системы уравнений

Классные заметки

Урок 2 Алгебраическое решение систем

Учебный класс Банкноты

Урок 3 Системы неравенств

Классные заметки

Урок 4 Линейное программирование

Рабочий лист Переуступка

Учебный класс Банкноты

Урок 6. Системы с тремя переменными

Учебный класс Банкноты

Обзор разделов 2 и 3

2014-2015

Линейный Обзор систем — 2.2, 2.7 и Глава 3

Решения

2013-2014

Линейный Обзор систем — включает разделы из Глав 2 и 3

Решения

Глава 3 Ред. (отзыв за предыдущий год)

Глава 3 Ред. Дополнения

Глава 4 Матрицы

Урок 1 Организация данных в матрицы (примечания 2013 г.)

Урок 2 Сложение и вычитание матриц

Урок 3 Умножение матриц

4.2 и 4.3 Примечания к классу

Урок 5 Матрицы 2×2, определители и обратные

4,5 Классные заметки

Решение систем трех уравнений:

вручную и с методом исключения по Гауссу

Учебный класс Банкноты

Рабочий лист

Урок 4.6 3×3 Матрицы, детерминанты и инверсии

и калькулятор методы решения матриц

Примечания к классу — Матрицы 3×3, определители и инверсии

Глава 4 Обзор тестов Matrix (2014)

Обзор решений (2014)

Урок 5 и 6 Дет.Детерминанты (2009)

Урок 5 и 6, инв. Перевернутые (2009)

Урок 3.6 Системы уравнений с 3-мя переменными

Учебный класс Банкноты

Урок 7. Обратные матрицы и системы (примечания 2013 г.)

Примечания к классу — 4,6 и 4,7 вместе

Урок 8. Дополненные матрицы и системы (примечания 2013 г.)

Глава 4 Ред. (2009 г. обзор)

Обзор матриц — 2013

Решения (осень 2013 г.)

Раздел 5 Квадратичный Уравнения и функции

Последнее слово о гл.4

Урок 1 Моделирование данных с помощью квадратичных функций

Урок 2 Свойства Parabolas

Учебный класс Примечания к 5.1 и 5.2

Урок 3 Преобразование парабол

Классные заметки

Урок 4 Факторинг квадратичных выражений

Классные заметки

Схема факторинга

2013Глава 5.1-5.4 Обзор 2013 г.

Review Solutions (осень 2013 г.)

Урок 5 Квадратные уравнения

Урок 8 Квадратичная формула

Учебный класс Примечания к 5.5 и 5,8

Радикалы

Урок 6 Комплексные числа

Классные заметки

Урок 7 Завершение Площади

Классные заметки

Решение квадратичных неравенств

Классные заметки

Рабочий лист решения квадратичных неравенств и квадратичных слов Проблемы

Глава 5B Review (осень 2014 г.)

Решения (осень 2014 г.)

Архив обзор

Глава 5 Обзор Часть 1 2010

Обзор главы 5 Часть 2 2010

Осенний финал 2014

Отзыв

Решения

Осенний финал 2013

Отзыв

Решения

Обзор осени 2010 г. :

Осенний финал Отзыв

ПРУЖИННЫЙ СЕМЕСТР

C глава 6 Полиномы и полиномиальные функции

Урок 6-1 Полиномиальные функции

Классные заметки

Урок 6-2 Многочлены и линейные множители

Классные заметки

Урок 6-3 Деление многочленов

Классные заметки

Урок 6-4 Решение полиномиальных уравнений

ClassNotes

Урок 6-5 / Урок 6.6 Часть I Теоремы о полиномиальных функциях

Классные заметки

Урок 6-5 / Урок 6.6 Часть II Нахождение корней кубических функций

Классные заметки

Урок 6-8. Биномиальная теорема

Ch 6 Обзор 2015

Ch 6 Обзор решений 2015

Ch 6 Обзор 2011

Раздел 7 Радикальные функции и рациональные показатели

Урок 7-8 Графики функций квадратного корня

Примечания к классу (2015)

Рабочий лист

Урок 7-1 Корни и радикальные выражения

Урок 7-2 Умножение и деление радикальных выражений

Примечания к уроку 7-1 и 7-2

Урок 7-3 Биномиальные радикальные выражения

Классные заметки

Урок 7-4 Рациональные экспоненты

Классные заметки

Урок 7-5 Решение квадратного корня и других радикальных уравнений

Классные заметки

Урок 7-6. Функция Операции

Урок 7-7 Обратные отношения и функции

Урок 7-8 Построение графика квадратного корня и другой радикальной функции

Глава 7 Обзор (весна 2015)

Глава 7 Решения (весна 2015 г.)

Урок 7.1-7.4 Обзор 2011 г.

гл. 7 Обзор 2011

Глава 8 Экспоненциальные и логарифмические функции

Урок 8-1 Изучение экспоненциальных моделей

Классные заметки

Урок 8-2 Модели экспоненциальных функций

Классные заметки

Рабочий лист Модели экспоненциальных функций

Урок 8.2-Б Графики экспоненциальных функций

Классные заметки

Рабочий лист графиков экспоненциальных функций

Глава 8.1-8.2Review (весна 2015 г.)

Решения (весна 2015 г.)

Гл.8-а и Глава 7 Спиральный обзор 2014

Решения

Урок 8-3 Логарифмические функции как обратные

Классные заметки

Урок 8-4 Свойства логарифмов

Классные заметки

Урок 8-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Классные заметки

Примеры, относящиеся к приложениям логарифмирования

Рабочий лист логарифмов

Урок 8-6 Натуральные логарифмы

Глава 8B Обзор 2015

Решения 2015

гл.8 Отзыв 2011

Глава 9 Рациональное Функции

Урок 9-1. Обратная вариация

Классные заметки

Урок 9-2. Семейство реципрокных функций

Классные заметки

Урок 9-3. Рациональные функции и их графики

Классные заметки

Графики Рабочий лист рациональных функций

Урок 9-4. Рациональные выражения

Классные заметки

Рациональный Обзор тестирования функций (2015)

Решения (2015)

Урок 9–5. Сложение и вычитание рациональных выражений

Классные заметки

Урок 9-6. Решение рациональных уравнений

Классные заметки

Проблемы применения рациональных уравнений

Классные заметки

Рабочий лист приложений Rational Equation

Глава 9B 2015

Глава 9B Решения 2015 г.

Гл.9-А Обзор 2014

2014 Обзор Решения

Глава 9B Обзор испытаний 2014 г. 9,4-9,6

Решения 2014

гл.