Алгебра сокращение дробей 8 класс: ГДЗ по алгебре 8 класс дидактические материалы Жохов, Макарычев, Миндюк Просвещение ответы и решения онлайн Самостоятельные работы, Вариант 2. Задание: С-5(5). Сокращение дробей

Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе,  нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

   

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36  это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь —  значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а  при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

   

   

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

   

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

   

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе  — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

   

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

   

   

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

   

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

   

   

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

   

   

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

   

Сокращаем дробь на (x+2):

   

   

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

   

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

   

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

   

А как сокращать дроби вида

   

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

Умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». {2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

1. Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
2. Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
3. Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
4. В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами! 

Смотрите также:

1. Учимся упрощать рациональные выражения и дроби с помощью формул сокращённого умножения.
2. Дробно-рациональные выражения
3. Умножение и деление десятичных дробей
4. Метод узлов в задаче B5
5. Задача B5: площадь закрашенного сектора
6. Обход точек в стереометрии — 2

Ершова Голобородько 8 класс самостоятельные и контрольные работы ГДЗ

Здесь представлены ответы к самостоятельным и контрольным работам по алгебре и геометрии 8 класс Ершова Голобородько. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.

АЛГЕБРА

Рациональные дроби
С-1. Рациональные выражения. Сокращение дробей 1 2 3 4
С-2. Сложение и вычитание дробей 1 2 3 4 5
К-1. Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей 1 2 3 4 5 6 7 8
С-3. Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень 1 2 3 4 5
С-4. Преобразование рациональных выражений 1 2 3 4 5 6
С-5*. Все действия с рациональными выражениями (домашняя самостоятельная работа)

С-6. Обратная пропорциональность и ее график 1 2 3 4 5 6
К-2. Рациональные дроби 1 2 3 4 5 6 7 8
Квадратные корни
С-7. Арифметический квадратный корень 1 2 3 4 5 6
С-8. Уравнение х2 = а. Функция у = у[х 1 2 3 4 5 6
С-9. Квадратный корень из произведения, дроби, степени 1 2 3 4
К-3. Арифметический квадратный корень и его свойства 1 2 3 4 5
С-10. Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях 1 2 3 4
С-11. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 1 2 3
С-12*. Действия с квадратными корнями (домашняя самостоятельная работа)
К-4. Применение свойств арифметического квадратного корня 1 2 3 4 5 6 7 8
Квадратные уравнения
С-13. Неполные квадратные уравнения 1 2 3
С-14. Формула корней квадратного уравнения 1 2 3 4
С-15. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета 1 2 3 4
С-16*. Применение свойств квадратных уравнений (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Квадратные уравнения 1 2 3 4 5 6 7
С-17. Дробные рациональные уравнения 1 2 3 4 5
С-18. Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач 1 2 3 4 5 6
К-6. Дробные рациональные уравнения 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Неравенства
С-19. Свойства числовых неравенств К-7. Числовые неравенства и их свойства 1 2 3
K-7. 1 2 3 4 5 6
С-20. Линейные неравенства с одной переменной 1 2 3 4 5
С-21. Системы линейных неравенств 1 2
С-22*. Неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной 1 2 3 4 5
С-23. Степень с отрицательным показателем 1 2
К-9. Степень с целым показателем 1 2 3
К-10. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5

ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)

Четырехугольники
СП-1. Свойства и признаки параллелограмма 1 2 3 4
СП-2. Прямоугольник. Ромб. Квадрат 1 2 3 4
КП-1. Параллелограмм 1 2 3 4
СП-3. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 1 2 3
СП-4. Трапеция. Средняя линия трапеции 1 2 3 4
СП-5*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)
КП-2. Трапеция. Средние линии треугольника и трапеции 1 2 3 4 5
Теорема Пифагора
СП-6. Теорема Пифагора 1 2 3 4 5
СП-7. Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная 1 2 3 4
СП-8. Неравенство треугольника 1 2
СП-9*. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)
КП-3. Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6
СП-10. Решение прямоугольных треугольников 1 2 3 4
СП-11. Свойства тригонометрических функций 1 2 3
КП-4. Прямоугольный треугольник (итоговая контрольная работа) 1 2
Декартовы координаты на плоскости
СП-12. Координаты середины отрезка. 1 2 3 4
Расстояние между точками. Уравнение окружности
СП-13. Уравнение прямой 1 2 3 4 5 6 7
СП-14*. Декартовы координаты (домашняя самостоятельная работа)
КП-5. Декартовы координаты 1 2 3 4 5 6
Движение
СП-15. Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот 1 2 3
СП-16. Параллельный перенос 1 2 3
Векторы
СП-17. Понятие вектора. Равенство векторов 1 2
СП-18. Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы 1 2
СП-19. Действия с векторами в геометрической форме 1 2 3
СП-20. Скалярное произведение 1 2 3
СП-21*. Применение параллельного переноса и векторов к решению задач (домашняя самостоятельная работа)
КП-6. Векторы 1 2 3 4
КП-7. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5 6 7

ГЕОМЕТРИЯ (по учебнику Атанасяна)

Четырехугольники
СА-1.Свойства и признаки параллелограмма 1 2 3
СА-2.Прямоугольник. Ромб. Квадрат 1 2 3
СА-3*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)
КА-1. Четырехугольники 1 2 3
Площадь
СА-4.Площадь прямоугольника, квадрата 9 10
СА-5.Площадь параллелограмма, ромба, треугольника 11 12
СА-6.Площадь трапеции 13 14
СА-7.Теорема Пифагора 14 15
СА-8*. Площади. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)
КА-2. Площади. Теорема Пифагора 16 17 18
Подобные треугольники
СА-9. Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника 1 2 3 4 5 6
СА-10. Признаки подобия треугольников 1 2 3 4 5
КА-3. Подобие треугольников 1 2 3 4 5
СА-11. Применение подобия к решению задач 1 2 3
СА-12. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1 2 3 4
СА-13*. Подобие и его применение (домашняя самостоятельная работа)
КА-4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1 2 3 4
Окружность
СА-14. Касательная к окружности 1 2 3 4
СА-15. Центральные и вписанные углы 1 2 3 4 5
СА-16. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника 1 2 3 4
СА-17. Вписанная и описанная окружности 1 2 3 4 5
СА-18*. Задачи, связанные с окружностью (домашняя самостоятельная работа)
КА-5. Окружность 1 2 3 4 5
Векторы
СА-19. Сложение и вычитание векторов 1 2 3
СА-20. Умножение вектора на число 1 2 3
СА-21. Средняя линия трапеции 1 2 3 4
СА-22*. Векторы и их применение (домашняя самостоятельная работа)
КА-6. Векторы. Применение векторов к решению задач 1 2 3
КА-7. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5

Как решить Факториал числа. Таблица, Свойства, Примеры (2022)

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Факториал: определение

Факториал числа n — это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n, произносится «эн-факториал».

Факториал определен для целых неотрицательных чисел. Это значит, что вот так нельзя:

Число должно быть целое и положительное:

Формула факториала
n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Вычисляется факториал по формуле: путем умножения всех чисел от одного до значения самого числа под факториалом. Факторизация — это разложение функции на множители.

Например:

• 3! = 1*2*3 = 6
• 4! = 1*2*3*4 = 24
• 5! = 1*2*3*4*5 = 120
• 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Мы видим, что 4! — это 3!*4
5! — это 4!*5
6! — это 5!*6

Формулы и свойства факториала

Чтобы узнать, как вычислять факториалы быстро — воспользуемся табличкой. Сохраняйте себе и решайте раньше остальных.

Запоминаем

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

11! = 39916800

12! = 479001600

13! = 6227020800

14! = 87178291200

15! = 1307674368000

16! = 20922789888000

17! = 355687428096000

18! = 6402373705728000

19! = 121645100408832000

20! = 2432902008176640000

21! = 51090942171709440000

22! = 1124000727777607680000

23! = 25852016738884976640000

24! = 620448401733239439360000

25! = 15511210043330985984000000

Факториалов в математике 9 класса — полно. Чтобы всегда быть готовым решить пример, запомните основные формулы:

• (n — 1)! = 1*2*3*4*5*…*(n — 2)(n — 1)
• n! = 1*2*3*4*5*…*(n — 2)(n — 1)n
• (n + 1)! = 1*2*3*4*5*…*(n — 2)(n — 1)n(n + 1)

С помощью формулы Стирлинга можно вычислить факториал многоразрядных чисел.

Такая формула дает результат с небольшой погрешностью.

Пример:

Рекуррентная формула

Примеры:

• 5! = 5*(5 — 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
• 6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 = 720

Для решения примеров обращайтесь к таблице.

Примеры умножения факториалов:

1. Пользуйтесь готовой таблицей 5! * 7! = 120 * 5040 = 604800


2. Или раскладывайте факториалы отдельно, если хотите потренироваться:
   5! = 1*2*3*4*5 = 4! * 5 =120
   7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 6! * 7 = 5040
   120 * 5040 = 604800

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Примеры решений

Давайте поупражняемся и решим пару примеров.

1. Сократите дробь:

Как решаем:

При сокращении факториалов, пользуйтесь свойством:
n! = (n — 1)! * n
100! = 99! * 100

Далее сокращаем по принципу сокращения обыкновенных дробей.

2. Вычислите значение выражения с факториалом: 8! + 5!

Как решаем:

Можно для решения факториалов воспользоваться таблицей и вычислить быстрее.

А можно потренироваться и разложить их:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 7!*8 = 5040 * 8 = 40320
5! = 1*2*3*4*5 = 4!*5 = 120
40320 + 120 = 40440
8! + 5! = 40440

3. Вычислите значение выражения:

Как решаем:

7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5! * 6 *7

Далее сокращаем все, что можем сократить (3*2=6, сокращаем числа 6) и получаем ответ.

4. Вычислите значение выражение:

Как решаем:

Вы уже знаете, как найти факториал — раскладываем 70 и 49:
70! = 1*2*3*…..*69 = 69! * 70
49! = 1*2*3*….49! * 48

Далее сокращаем все одинаковые множители.

5. Сократите дробь:

Как решаем:

Проводим разложение на множители при помощи формул сокращенного умножения (x+1)x(x-1) и сокращаем все одинаковые множители (x-1)!.

Если вы все еще считаете, что факториал бесполезен и не может помочь вам в жизни, то это не так. Он помогает легко вычислять вероятности (а это бывает нужно чаще, чем кажется). К тому же, комбинаторика необходима тем, кто собирается работать в IT. Поэтому решайте побольше задачек на факториалы, в мире будущего без них — никуда.

Как сократить дроби? Методы, примеры

Важный шаг, который мы делаем, решая дроби, — это приводим их к простейшей форме. Хоть мы и уменьшаем их для упрощения, значение дроби остается неизменным. Уменьшенная дробь эквивалентна исходной дроби. Фактически исходная дробь и уменьшенные дроби образуют пару эквивалентных дробей. В этом уроке мы научимся сокращать дроби тремя разными способами.

Как сократить дроби?

Сокращение дробей означает упрощение дроби, при котором мы делим числитель и знаменатель на общий делитель до тех пор, пока общий множитель не станет равным 1. Другими словами, дробь больше нельзя делить на одно и то же целое число, отличное от 1. Например, рассмотрим дробь 8/24. Вот пошаговый процесс уменьшения дроби.

• Шаг 1: Запишите множители числителя и знаменателя. Делители 8 равны 1, 2, 4 и 8, а множители 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24
• Шаг 2: Определите общие делители числителя и знаменателя. Общие делители чисел 8 и 24 равны 1, 2, 4 и 8
.
• Шаг 3: Делите числитель и знаменатель на общие делители, пока у них не останется общего делителя, кроме 1.Полученная таким образом фракция находится в восстановленной форме.

Начнем делить на 2: (8 ÷ 2) / (24 ÷ 2) = 4/12. Мы будем продолжать делить на 2, пока не сможем двигаться дальше. Итак, имеем (4 ÷ 2) / (12 ÷ 2) = 2/6 = (2 ÷ 2) / (6 ÷ 2) = 1/3. Следовательно, сокращенная форма 8/24 равна 1/3

.

Возьмем другой пример.

Пример: Уменьшите дробь, 10/20. Найдем общий делитель числителя и знаменателя. Повторяйте процесс до тех пор, пока не останется общих факторов.5 является общим делителем как 10, так и 20. Разделив числитель и знаменатель на 5, мы получим 10/20 = (10 ÷ 5) / (20 ÷ 5) = 2/4. Дробь уменьшается до 2/4 на первом шаге. Теперь 2 — это общий множитель 2 и 4. Уменьшая дробь дальше, (2 ÷ 2) / (4 ÷ 2) = 1/2. Следовательно, сокращенная форма 10/20 равна 1/2.

Давайте посмотрим на рисунок, приведенный ниже. Первый круг имеет 2 заштрихованные части из 8 полных частей, тогда как второй круг имеет только одну заштрихованную часть из 4 полных частей.Следует отметить, что заштрихованная часть одинакова в обоих кругах. Таким образом, мы можем сделать вывод, что 2 равные части из 8 равных частей равны 1 равной части из 4 равных частей.

Методы сокращения дробей

Сократить дробь означает максимально упростить дробь. Чтобы найти редуцированные формы дробей, мы просто упростим дробь до ее наименьшей формы. Давайте рассмотрим три простых метода сокращения дробей.

Метод эквивалентных дробей

Равные дроби имеют одинаковое значение независимо от их числителей и знаменателей. Ниже приведены шаги по уменьшению дробей методом эквивалентных дробей.

• Шаг 1: Найдите любой общий множитель числителя и знаменателя.
• Шаг 2: Разделите числитель и знаменатель на общий множитель.
• Шаг 3: Повторяйте тот же шаг в полученной дроби до тех пор, пока не останется общих делителей, отличных от 1.

Метод GCF

GCF (наибольший общий делитель) двух или более чисел — это наибольшее число среди всех общих делителей данных чисел. Ниже приведены шаги по уменьшению фракций методом GCF.

• Шаг 1: Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.
• Шаг 2: Разделите числитель и знаменатель на GCF. Полученная таким образом фракция является восстановленной фракцией.

Метод простой факторизации

Разложение на простые множители — это способ представить число как произведение его простых множителей. Ниже приведены шаги по уменьшению дробей методом простой факторизации.

• Шаг 1: Найдите простую факторизацию числителя и знаменателя.
• Шаг 2: Сократите общие делители числителя и знаменателя.
• Шаг 3: Уберите оставшиеся числа в числителе и знаменателе, чтобы найти уменьшенную дробь.

Дроби в числовой строке

Мы уже знаем, как представлять целые числа на числовой прямой. Мы также можем показать дроби на числовой прямой и определить эквивалентные дроби на числовой прямой с помощью следующего примера и шагов.

• Шаг 1: Нарисуйте 6 линий, на концах которых отмечены два целых числа.
• Шаг 2: Разделите каждую числовую строку на равные части, как показано на рисунке.Например, начиная с первой числовой строки, мы видим, что она разделена на две равные части и деление отмечено дробью 1/2. Точно так же вторая числовая строка делится на три равные части, а деления отмечены дробями 1/3 и 2/3. Точно так же для всех числовых строк деления отмечены дробями.
• Шаг 3: После этого шага мы можем легко идентифицировать эквивалентные дроби, проверяя их длину от нуля. Например, мы можем идентифицировать дроби 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8 как эквивалентные дроби, потому что, если мы посмотрим на их длину (расстояние) от 0, мы обнаружим, что они имеют одинаковую длину.Точно так же 1/3 и 2/6 являются эквивалентными дробями, потому что они представляют одинаковое расстояние на числовой прямой.
• Шаг 4: Таким образом, с помощью этого метода можно легко отметить и идентифицировать эквивалентные дроби на числовой прямой.

Как сократить дроби с переменными?

Переменные — это такие буквы, как a, b, c, x, y, z и т. д., которые появляются в математическом выражении и представляют неизвестные значения. Дроби могут иметь переменные вместе с числами.Чтобы уменьшить дробь с переменными, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Сгруппируйте похожие термины вместе. Например, в дроби (8а — а + 2а)/(12а). Сгруппируем подобные члены a. Упрощая числитель, получаем 9а. Теперь дробь уменьшается до 9a/12a
.
• Шаг 2: Найдите общие множители и сократите их. 9а / 12а = (3 × 3 × а) / (3 × 4 × а). Отменив общие множители и упростив, получим дробь, уменьшенную до 3/4
.

Советы и рекомендации по сокращению дробей

Итак, теперь вы знаете три способа приведения дроби к простейшей форме.Вот несколько приемов, которые помогут вам быстро сократить дроби. Следуйте этим советам и рекомендациям, сводя дроби к их простейшей форме.

• Если числитель или знаменатель дроби является простым числом, то дальнейшее упрощение дроби невозможно.
• Дробь, в числителе которой 1, не может быть сокращена дальше.
• Чтобы уменьшить неправильную дробь, сначала запишите ее как смешанную дробь и следуйте тому же методу упрощения правильной дроби.

Темы, связанные с сокращением дробей

Часто задаваемые вопросы о сокращении дробей

Как сократить большие дроби?

Для приведения больших дробей делим числитель и знаменатель крупной дроби на общие простые множители, чтобы привести ее к простейшему виду. Еще один простой способ сократить большие дроби — разделить числитель и знаменатель на их GCF. Это делает расчет быстрее и проще.

Как сократить смешанные дроби?

Смешанные дроби можно сократить после преобразования в неправильную дробь. Это можно сделать, используя формулу: \(\dfrac{(\text{Whole}\times\text{Знаменатель})+\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}}\). После преобразования смешанной дроби в неправильную дробь ее можно при необходимости сократить. Например, \(5\dfrac{3}{7}=\dfrac{(5\times 7)+3}{7}=\dfrac{38}{7}\). Другой способ сокращения смешанных дробей состоит в том, чтобы разделить целое число и сократить только дробную часть смешанной дроби.Например, чтобы уменьшить \(3\dfrac{4}{8}\), мы сохраним 3 отдельно и уменьшим 4/8 до 1/2, так что окончательная уменьшенная дробь будет \(3\dfrac{1}{ 2}\)

Почему GCF используется в сокращении дробей?

При сокращении дробей мы используем НОД для деления числителя и знаменателя, потому что НОД (наибольший общий множитель) — это наибольшее число, которое делит числитель и знаменатель, поэтому дроби становится легче сокращать. Другие общие множители числителя и знаменателя меньше, и поэтому для уменьшения дроби требуется больше времени и действий.Например, сократим дробь: 12/18. GCF 12 и 18 равен 6. Таким образом, мы можем использовать 6, чтобы разделить числитель и знаменатель всего за один шаг. (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3

Как дроби приводятся к наименьшему члену?

Чтобы привести дробь к простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Например, уменьшим 16/64. Наибольший общий делитель 16 и 64 равен 16. Итак, мы разделим числитель и знаменатель на 16.(16 ÷ 16) / (64 ÷ 16) = 1/4. Следовательно, сокращенная форма 16/64 равна 1/4.

Как уменьшить дроби?

Для приведения дроби к простейшей форме используются следующие шаги:

• Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
• Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Полученная таким образом фракция имеет простейшую форму.

Как проще всего сократить дробь?

Один из самых простых способов привести дробь к простейшей форме — это разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий множитель (НОД).

Как сокращать дроби с помощью показателей?

Чтобы сократить дроби с показателями степени, примените правила возведения степени к числителю и знаменателю. Например, (a/b) ⁿ = a ⁿ /b ⁿ , где «a» и «b» — числитель и знаменатель соответственно, а «n» — показатель степени дроби. После вычисления дроби с использованием правил экспоненты приведите дробь к простейшей форме. Например, уменьшим (2/4) ³ . Это можно сократить и записать как (1/2) ³ , а затем, используя правила экспоненты, это можно записать как 1 ³ /2 ³ = 1/8.

Что такое неправильная дробь?

Дробь, у которой числитель больше знаменателя, называется неправильной дробью. Например, 7/4

Как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь?

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель. Затем мы записываем частное как целое число, остаток как новый числитель, а знаменатель остается прежним. Например, чтобы преобразовать 26/7 в смешанную дробь, мы разделим 26 на 7.2+12z}\\ &= \frac{(z+6)(z+11)}{3(z-11)(z+11)} \times \frac{24z(z-11)}{2z(z+6)}\\ &= \frac{1}{3} \times \frac{24}{2}\\ &= 4 \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{3a + 9}{14} \div \dfrac{7a + 21}{a + 3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{3a + 9}{14} \div \frac{7a + 21}{a + 3} & = \frac{3(a + 3)}{14} \div \frac{7(a + 3)}{а + 3}\\ & = \frac{3(a + 3)}{14} \div 7\\ & = \frac{3(a + 3)}{14} \times \frac{1}{7}\\ &= \фракция{3(а + 3)}{98} \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{a^{2} — 5a}{2a + 10} \times \dfrac{4a}{3a + 15}\)

\начать{выравнивать*} \frac{{a}^{2} — 5a}{2a + 10} \times \frac{4a}{3a + 15} & = \frac{a(a — 5)}{2(a + 5)} \times \frac{4a}{3(a + 5)}\\ & = \frac{[a(a — 5)][4a]}{[2(a + 5)][3(a + 5)]} \\ & = \ гидроразрыва {4a ^ 2 (а — 5)} {6 (а + 5) ^ 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: \(a \ne -5\). 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: \(p \ne 0\).

\(\dfrac{24a — 8}{12} \div \dfrac{9a — 3}{6}\)

\начать{выравнивать*} \frac{24a — 8}{12} \div \frac{9a — 3}{6} & = \frac{8(3a — 1)}{12} \div \frac{3(a — 1)}{6}\\ & = \frac{2(3a — 1)}{3} \times \frac{2}{a — 1}\\ & = \frac{[2(3x — 1)][2]}{[3][a — 1]} \\ & = \ гидроразрыва {4 (3а — 1)} {3 (а — 1)} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: \(a \ne 1\).{2} + 2a}{5} \div \frac{2a + 4}{20} & = \frac{a(a + 2)}{5} \div \frac{2(a + 2)}{20}\\ & = \frac{a(a + 2)}{5} \times \frac{10}{a + 2}\\ & = \frac{[a(a + 2)][10]}{[5][a + 2]} \\ & = \frac{10a}{5} \\ & = 2а \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{p^{2} + pq}{7p} \times \dfrac{21q}{8p + 8q}\)

\начать{выравнивать*} \frac{p^{2} + pq}{7p} \times \frac{21q}{8p + 8q} & = \frac{p(p + q)}{7p} \times \frac{21q}{8(p + q)}\\ & = \frac{[p(p + q)][21q]}{[7p][8(p + q)]} \\ & = \frac{21pq}{56p} \\ & = \ гидроразрыва {3q} {8} \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{5ab — 15b}{4a — 12} \div \dfrac{6b^{2}}{a + b}\)

\начать{выравнивать*} \ frac {5ab — 15b} {4a — 12} \ div \ frac {6b ^ {2}} {a + b} & = \ frac {5b (a — 3)} {4 (a — 3)} \ div \frac{6b^{2}}{a + b}\\ & = \frac{5b}{4} \times \frac{a + b}{6b^{2}} \\ & = \frac{[5b][a + b]}{[4][6b^{2}]} \\ & = \frac{30b^{3}}{4(a + b)} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: \(a \ne -b\). 2} \конец{выравнивание*}

Обратите внимание на ограничение: \(p \ne 0\).

Упрощение дробей — ChiliMath

Дробь считается «упрощенной», если она выражена младшим членом . Это означает, что единственный общий делитель между числителем и знаменателем равен 1, и никакой другой.

МЕТОДЫ УПРОЩЕНИЯ ДРОБЕЙ

Способ 1: упрощение дробей путем многократного деления

• Продолжайте делить числитель и знаменатель на общий делитель до тех пор, пока не останется единственный общий делитель 1.

• Хотя нет правильного способа, какой общий делитель использовать в начале, я бы предложил использовать первые пять (5) простых чисел в порядке возможного общего делителя:

2, 3, 5, 7, 11 , …

Метод 2: упрощение дробей с использованием наибольшего общего делителя

• Найдите наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

• Разделите верхние и нижние числа дроби на GCF, чтобы сократить до наименьшего члена.

• Вы можете найти GCF либо с помощью проб и ошибок , когда числа относительно малы, либо с помощью простой факторизации.

---

Это простая иллюстрация, показывающая, что дробь \Large{8 \over {12}} приводится к простейшей форме. Вы видите закономерность?

Давайте рассмотрим еще несколько примеров с подробными пояснениями.

---

Примеры упрощения дробей

Пример 1 : Упростите приведенную ниже дробь.

Упрощение с использованием метода 1: метод повторного деления

Очевидно, что 1 — не единственный общий делитель между числителем и знаменателем. Поскольку они оба четные числа, они должны делиться на 2.

• Разделите верх и низ на 2. Вот что у нас получилось.

Выходная дробь после деления верхней и нижней части на 2 равна \Large{2 \over 4}. Мы можем остановиться здесь? Еще нет! Их все еще можно уменьшить вторым делением на 2.

• Снова разделите верхнее и нижнее число на 2. Ответ будет \Large{1 \over 2} (как простейшая форма \Large{4 \over 8}, потому что только делитель числителя и знаменателя равен 1.

Упрощение с использованием метода 2: метод наибольшего общего фактора

В приведенном выше решении с повторным делением мы упростили \Large{4 \over 8}, разделив его числитель и знаменатель два раза на число 2. Но подождите! Есть ли ярлык? Некоторые из вас, возможно, заметили, что использование общего делителя 4 может упростить его за один шаг!

На самом деле наибольший общий делитель (НОД) этой дроби равен 4, потому что это НАИБОЛЕЕ БОЛЬШОЕ число, которое без остатка делит числитель и знаменатель.Поскольку числа невелики, GCF можно определить методом проб и ошибок.

---

Пример 2 : Упростите приведенную ниже дробь.

Упрощение с использованием метода 1: метод повторного деления

Начните упрощать, используя первые несколько простых чисел (2, 3, 5, 7, 11 и т. д.).

• Разделите верхнее и нижнее числа на первое простое число, равное 2.

• У нас все еще есть общий делитель! Разделите верх и низ на следующее большее простое число, равное 3.После этого шага мы должны получить окончательный ответ.

Упрощение с использованием метода 2: метод наибольшего общего фактора

Чтобы найти наибольший общий делитель, мы собираемся разложить каждое число на простые множители. Затем определите общие факторы между ними. Наконец, умножьте общие множители, чтобы получить требуемый GCF, который может упростить дробь.

Поскольку GCF = 6, используйте это число, чтобы разделить числитель и знаменатель, чтобы получить ответ за один шаг.

---

Пример 3 : Упростите приведенную ниже дробь.

Упрощение с использованием метода 1: метод повторного деления

Мы можем начать тестировать числа 2, 3, 5 и т. д., чтобы упростить это. Но есть очевидный делитель, который выделяется! Поскольку оба числа заканчиваются нулем, они должны делиться на 10.

Теперь 2 нельзя разделить на оба, поэтому попробуйте 3.

Упрощение с использованием метода 2: метод наибольшего общего фактора

Разложите каждое число на простые множители и получите произведение общих множителей, чтобы получить необходимый НОД.

Упростите данную дробь за один шаг, используя делитель GCF = 30.

---

Пример 4 : Упростите приведенную ниже дробь.

Решение:

Разделить числитель и знаменатель на общий делитель 3.

---

Пример 5 : Упростите дробь.

Решение:

Упростить, используя метод повторного деления.

• Разделить числитель и знаменатель на 3, два раза !

---

Пример 6 : Упростите приведенную ниже дробь.

Решение:

Упростите эту дробь методом наибольшего общего множителя.

• Найдите GCF, разложив на простые множители числитель и знаменатель. Определите общие факторы. Перемножьте их вместе, чтобы получить требуемый GCF.

• После определения GCF разделите числитель и знаменатель, чтобы получить окончательный ответ.

---

Пример 7 : Упростите приведенную ниже дробь.

Решение:

Найдите наибольший общий делитель между числителем и знаменателем и используйте это число, чтобы упростить дробь.

• Разделить числитель и знаменатель на GCF = 21.

---

Практика с рабочими листами

---

Вас также может заинтересовать:

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Деление дробей
Равные дроби
Обратная дробь

Операции с алгебраическими дробями

Операции с алгебраическими дробями

Многие приемы упростят вашу работу при выполнении операций с алгебраическими дробями. При просмотре примеров обратите внимание на этапы каждой операции и любые методы, которые сэкономят ваше время.

Сокращение алгебраических дробей

К привести алгебраическую дробь к наименьшим членам, сначала разложить числитель и знаменатель; затем уменьшить (или разделить) общие множители.

Пример 1

Уменьшить.

Предупреждение: Не уменьшайте с помощью знака сложения или вычитания, как показано здесь.

Умножение алгебраических дробей

Чтобы умножить алгебраические дроби, сначала разложите числители и знаменатели, которые являются полиномами; затем уменьшите, где это возможно. Перемножьте оставшиеся числители вместе и знаменатели вместе. (Если вы правильно сократили, ваш ответ будет в сокращенной форме.)

Пример 2

Умножить.

Деление алгебраических дробей

Чтобы разделить алгебраические дроби, инвертировать вторую дробь и умножить.Помните, уменьшать можно только после инвертирования.

Пример 3

Разделить.

Сложение или вычитание алгебраических дробей

К прибавить или вычесть алгебраические дроби, имеющие общий знаменатель, просто сохранить знаменатель и сложить (сложить или вычесть) числители. Уменьшите, если возможно.

Пример 4

Выполните указанную операцию.

К прибавить или вычесть алгебраические дроби, имеющие разные знаменатели, сначала найти наименьший общий знаменатель (НОД), заменить каждую дробь эквивалентной дробью с общим знаменателем, а затем объединить каждый числитель. Уменьшите, если возможно.

Пример 5

Выполните указанную операцию.

Если существует общий переменный множитель с более чем одним показателем степени, используйте его наибольший показатель степени.

Пример 6

Выполните указанную операцию.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, часто необходимо разложить знаменатели на множители и действовать следующим образом.

Пример 7

Выполните указанную операцию.

Иногда проблема требует уменьшения того, что кажется конечным результатом.Подобная проблема находится в следующем примере.

Пример 8

Выполните указанную операцию.

Обзор

фракций: сокращение фракций | Пурпурная математика

Пурпурная математика

В дальнейшем иногда будет полезно помнить, что дроби могут обозначать деление. Например, ¹ / ₃ может означать «один, разделенный на три», а также «одна часть из трех частей».На самом деле, давайте перейдем к делу; запомните это предложение: «Дроби — это деление».

Вы знаете, что любое число, деленное само на себя, равно 1. Вы используете этот факт, когда сокращаете дроби. Если вы можете преобразовать часть данной дроби в форму, умноженную на 1, то вы можете игнорировать эту часть, потому что умножение на 1 ничего не меняет.

Справка по математике.ком

Например, вот как можно найти и использовать форму 1, чтобы уменьшить ⁴ / ₈ :

Чтобы быть предельно ясным, смысл нахождения общего множителя (в данном случае 4-х) состоит в том, чтобы позволить вам преобразовать часть дроби в 1. Поскольку ⁴ / ₄ = 1, то то, что я сделал выше, было следующим:

---

Предупреждение: обратите внимание, как я перешел от дроби с произведениями (в числителе и знаменателе):

…до произведения дробей:

Этот переключатель в порядке, пока вы умножаете:

… но это совсем НЕ, если вы добавляете. Например:

Левая часть выше, представляющая дробь, содержащую сложение, равна ⁵ / ₆ , а правая часть выше, будучи сложением, содержащим дроби, равна 1 ¹ / ₂ , так что эти два выражения не являются одним и тем же значением. Просто помните: дроби умножать намного проще, чем складывать. Теперь вернемся к делу…

---

В дополнение к методу отмены, который я использовал выше (с розовыми единицами), вы, возможно, также видели одно из следующих сокращений для отмены:

Любой из этих форматов подходит. Последние два, вероятно, самые простые для вашей рукописной домашней работы; первый легче для набора.

---

Если у вас есть обычный (научный, деловой и т. д.) калькулятор, который может обрабатывать дроби, вы можете ввести дробь, а затем нажать кнопку «равно», чтобы получить уменьшенную дробь. Если у вас есть графический калькулятор с командой дроби, вы можете ввести дробь как деление (поскольку ⁴ / ₈ означает «четыре разделить на восемь»), а затем преобразовать в дробную форму. Проверьте свое руководство.

Если ваш калькулятор не может обрабатывать дроби или если знаменатель слишком велик для калькулятора, вот как вы можете выполнить сокращение вручную.

• Привести к простейшей форме.

Я возьму свой калькулятор и листок бумаги и разложу числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число). Ниже показано быстрое сокращение для получения простой факторизации каждого из этих чисел в суммированном делении (по простым числам) 2940:

.

Чтобы найти факторизацию, я просто прочитал простые множители снаружи перевернутого деления.Из вышеизложенного я вижу, что 2940 размножаются как 2×2×3×5×7×7.

---

Филиал

---

Далее я умножу знаменатель на число 3150:

.

Таким образом, 3150 делят как 2×3×3×5×5×7.

Теперь я могу уменьшить дробь, сократив общие множители:

---

В следующем разделе рассматриваются смешанные числа и неправильные (или «вульгарные») дроби….

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/fraction.htm

Сложение и вычитание дробей с помощью пошагового решения математических задач

Вы много раз сталкивались с дробями с самого начала изучения математики. Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах.Однако арифметические дроби состоят строго из чисел. Теперь мы изучим действия над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЗНАКОВЫЕ ЧИСЛА

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Разложите числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Упростите алгебраические дроби.

алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.

При изучении арифметики вам сказали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме. Для дроби, до которой вы «уменьшили», разделив числитель и знаменатель на 4. Дробь нельзя уменьшить, потому что никакое число (кроме 1) не будет делить и числитель, и знаменатель. Упрощая дроби таким образом, вы использовали следующее определение.

Дробь в представляет собой упрощенную (или сокращенную) форму , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).

Дробь, представленная в упрощенной форме, поскольку числитель 2 и знаменатель 3 не имеют общего делителя, кроме единицы.

Для получения упрощенной формы дроби применяется следующее правило.

Чтобы упростить дробь , полностью разложите числитель и знаменатель, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.

Дробь , однако, не в упрощенной форме, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 2.

Далее делим на общие множители, получаем

Помните, множитель, разделенный сам на себя, равен 1.

Теперь разделите на общий множитель (x + 2) как в числителе, так и в знаменателе, чтобы получить

Мы можем разделить только общие факторы, а не общие термины.

В таком выражении, как у некоторых студентов возникает соблазн разделить тройки.Обратите внимание, что это неправильное , поскольку они являются терминами , а не факторами.

Обратите внимание, что даже если мы смогли разложить числитель и знаменатель на множители, мы все равно не можем разделить, поскольку у них нет общих множителей. Данная дробь уже в упрощенном виде.

Тот факт, что для данной дроби может потребоваться любой из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность владения факторингом.

Решение Здесь вы можете использовать «пробы и ошибки» для числителя и «группировку» для знаменателя.

Здесь (x + 2) — общий множитель, поэтому можно разделить и числитель, и знаменатель.

Обратите внимание, что числитель 2x + 5 можно записать как (2x 4- 5) * 1. Таким образом, при делении множителя (2x + 5) остается множитель 1.

Решение Проблемы этого типа требуют особого внимания, поскольку они являются распространенной причиной ошибок. На первый взгляд множители могут быть ошибочно приняты за общие, или дробь может быть ошибочно принята за уже упрощенную. Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, поскольку знаки не позволяют им быть идентичными. Если, однако, минус 1 факторизуется от одного из множителей, то есть подобные множители, и деление может быть выполнено.

Любые множители в виде a — b и b — a являются отрицательными по отношению друг к другу, таким образом, 2x — 3 и 3 — 2x являются отрицательными по отношению друг к другу.

Все это эквивалентные формы одного и того же выражения.Предпочтительной формой будет та, в которой используется наименьшее количество письменных знаков. Всегда проверяйте свой ответ, чтобы убедиться, что он эквивалентен форме, указанной в разделе ответов.

УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
2. Определить и разделить на все общие множители.
3. Запишите произведение в простейшей форме.

алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.

— это определение произведения двух дробей. На словах это означает «умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы использовали это правило много раз в арифметике, когда умножали дроби.

Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе.Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упрощать по мере умножения, поэтому ответ будет в упрощенной форме.

При умножении алгебраических дробей полностью разложите все числители и знаменатели, затем перед умножением разделите на все множители, общие для числителя и знаменателя.

Произведение остальных множителей числителя будет числителем ответа, а произведение остальных множителей знаменателя будет знаменателем ответа.

Опять же, помните, что общие факторы должны быть совершенно одинаковыми.

Мы будем использовать точку * для обозначения умножения, поскольку использование X можно спутать с переменной x.

Обратите внимание, что (x + 2) и (2 + x) одинаковы, но (x — 4) и (4 — x) являются отрицательными значениями друг друга. Опять же, есть много возможных форм для окончательных ответов. Приведенная здесь форма предпочтительнее, поскольку она содержит наименьшее количество знаков.

В этой проблеме много факторов. Будь осторожен!

ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Замените задачу на деление связанной с ней задачей на умножение.
2. Деление алгебраических дробей.

Деление дробей определяется с помощью умножения.

Чтобы разделить, умножить на величину, обратную делителю.

Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое , инвертируйте делитель и измените операцию на умножение.

Делитель следует за знаком. Не инвертируйте неправильную дробь.

Если знаменатель не указан, считается, что он равен 1.

После того, как задача на деление заменена на задачу на умножение, она завершается так же, как и в предыдущем разделе.

Опять же, обратите внимание, что инвертируется только дробь, следующая за знаком.

ПОИСК НАИМЕНЬШЕГО ОБЩЕГО знаменателя

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Полностью разложить знаменатель дроби на множители.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.

Правило сложения и вычитания дробей требует, чтобы объединяемые дроби имели одинаковый знаменатель.В качестве подготовки к выполнению этих операций мы теперь исследуем метод нахождения наименьшего общего знаменателя для любой группы дробей.

общий знаменатель лот двух или более дробей представляет собой выражение, которое содержит все множители знаменателя каждой дроби. Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель набора дробей иногда называют наименьшим общим кратным знаменателей.

Ментальная арифметика позволит вам найти наименьший общий знаменатель для небольших чисел. Если попросить прибавить , то легко получить наименьший общий знаменатель 12. Если спросить, как мы получили 12, мы просто знаем, что 12 — это наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6. Однако необходим более сложный метод. если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель числа

Решение Эта задача потребовала бы значительного количества предположений или возможностей тестирования, если бы у нас не было общего метода.

Мы могли бы получить общий знаменатель этих дробей, найдя произведение 12 х 14 х 15 х 18 = 45 360. Хотя это число является общим знаменателем, оно не является наименьшим общим знаменателем.

Рассмотрим определение. Из него мы знаем, что общий знаменатель этих чисел должен содержать все множители каждого из них. Другими словами, мы ищем наименьшее число, которое делится на 12, 14, 15 и 18.
Сначала полностью разложите каждое число.

Искомое число должно содержать (2)(2)(3), чтобы оно делилось на 12. Оно должно содержать (2)(7), чтобы делиться на 14, и так далее. Действуйте следующим образом:
Запишите множители первого числа 12.
(2)(2)(3)
Теперь посмотрите на множители следующего числа 14 и убедитесь, что нам нужно (2)(7). Но так как у нас уже есть 2, нам нужен только множитель (7). Это дает
(2)(2)(3)(7).
Теперь это число делится и на 12, и на 14. Делители следующего числа, 15, равны (3) и (5).Поскольку у нас уже есть 3, нам нужен только коэффициент 5, что дает
(2)(2)(3)(7)(5).
Теперь это число делится на 12, 14 и 15. Делители следующего числа, 18, равны (2)(3)(3). У нас уже есть 2 и одна 3. Следовательно, нам нужно еще 3.
(2)(2)(3)(7)(5)(3) = 1,260
Это число, 1,260, является общим знаменателем 12, 14 , 15 и 18, потому что он содержит все множители каждого и, следовательно, делится на каждый. Это наименьший общий знаменатель, потому что он содержит только те множители, которые необходимы для того, чтобы он делился на 12, 14, 15 и 18.

Обратите внимание, что 1260 значительно меньше, чем число, полученное простым нахождением произведения всех знаменателей.

Предыдущее обсуждение приводит к правилу получения наименьшего общего знаменателя для любого количества дробей, будь то числа или алгебраические выражения.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель двух или более дробей:
1. Полностью разложить каждый знаменатель на множители.
2. Запишите знаменатель первой дроби в разложенном виде как предлагаемый общий знаменатель.
3. Путем проверки определить, какие факторы второго знаменателя еще не входят в предлагаемый общий знаменатель, и включить их.
4. Повторите третий шаг для каждой фракции.

После освоения эта пошаговая процедура значительно упростит вашу работу.

Обратите внимание, что при нахождении наименьшего общего знаменателя мы не обращаем внимания на числитель. Это всего лишь знаменатель первой дроби.

При проверке второго знаменателя нам нужен дополнительный множитель (x — 2).Наименьший общий знаменатель равен (3x — 4)(2x + l)(x — 2).

Опять же, числители не влияют на то, каким будет наименьший общий знаменатель. Иногда наименьший общий знаменатель обозначается аббревиатурой LCD.

Обратите внимание, что x 2 является множителем в знаменателе первой дроби, но не во второй дроби.

Здесь у нас есть три знаменателя.

Решение
Первый знаменатель: 3(x + 2)
Второй знаменатель: 2(2)(3)
Третий знаменатель: 2(x + 3)(x + 2)
Предлагаемый общий знаменатель: 3( x + 2)
Изучив второй знаменатель, мы видим, что нам нужно включить множители (2) и (2). Теперь у нас есть 2(2)(3)(x + 2). Изучив третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2(2)(3)(x + 2)(x + 3) или 12(x + 2)(x + 3).

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ДРОИ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Понять фундаментальный принцип дробей.
2. Заменить дробь эквивалентной дробью.

При дальнейшей подготовке к сложению и вычитанию дробей мы должны иметь возможность заменить заданную дробь дробью с новым знаменателем, не изменяя значение исходной дроби.

называется фундаментальным принципом дробей .

Когда мы анализируем это утверждение, мы видим две эквивалентные дроби и отмечаем, что числитель и знаменатель умножены на одно и то же ненулевое число, a.

Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь , умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.

Почему выражение должно быть ненулевым?

Вы можете думать об этом процессе как об обратном сокращению дробей.

Решение Поскольку новый знаменатель находится в факторизованной форме, при проверке мы видим, что первоначальный знаменатель (2x + 3) был умножен на множитель (x — 4).Следовательно, исходный числитель (х + 1) также необходимо умножить на множитель (х — 4), что даст

.

Обратите внимание, что в окончательной форме дроби мы умножили множители в числителе, но оставили знаменатель в виде множителей. Это предпочтительный способ написания ответа.

Решение Поскольку исходный знаменатель (x — 3) был умножен на (2) и (x + 1), исходный числитель (2x + 1) также необходимо умножить на (2) и (x + 1).

Опять же, обратите внимание на форму ответа.

СЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
3. Применить правило сложения дробей.

Теперь мы готовы складывать алгебраические дроби, используя методы, описанные в двух предыдущих разделах.Следует вспомнить следующее правило из арифметики.

Сумма двух или более дробей, имеющих одинаковый знаменатель, равна сумме числителей над их общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило допускает только сумму дробей с одинаковым знаменателем. Другими словами, две или более дроби могут быть сложены только в том случае, если они имеют общий знаменатель. Правило сложения любых двух или более дробей потребует навыков, полученных в последних двух разделах, в дополнение к знанию комбинирования одинаковых терминов.

Чтобы сложить две или более дроби, выполните следующие действия:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) для всех дробей, используя метод, описанный в разделе 9-4.
Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем (раздел 9-5).
Шаг 3 Найдите сумму числителей и поместите эту сумму на наименьший общий знаменатель.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Эти четыре шага следует использовать при сложении дробей.

Не забудьте умножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение.

Этот ответ в сокращенной форме.

Опять же, не забудьте умножить числитель на то же выражение, на которое вы умножили знаменатель.

Всякий раз, когда знаменатели не имеют общих множителей, LCD является произведением знаменателей.

Здесь только первая дробь должна быть изменена по форме.

Сумма

Обратите внимание, что числитель 3x — 15 можно разложить как 3(x — 5), а множитель (x — 5) соответствует множителю в знаменателе.

Мы можем использовать меньше письменных шагов, если заметим, что «общий знаменатель» означает, что все дроби имеют один и тот же знаменатель, а если у всех один и тот же знаменатель, то знаменатель необходимо написать только один раз.Чтобы проиллюстрировать это, мы переработаем предыдущий пример.

Этот ярлык подходит, если вы не забываете умножать числители на необходимые коэффициенты.

Опять же, знаменатели не имеют общих множителей, поэтому LCD является произведением всех трех знаменателей.

ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
2. Применить правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Вычитание определяется в терминах сложения, поэтому метод вычитания алгебраических дробей будет таким же, как сложение алгебраических дробей, описанный в предыдущем разделе. Вы скоро поймете, почему мы представили их отдельно.

Разность любых двух дробей с одинаковым знаменателем равна разнице их числителей над их общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило совпадает с правилом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем.

Таким образом, шаги для вычитания дробей такие же, как и для сложения дробей.

Чтобы вычесть дроби:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель двух дробей.
Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем.
Шаг 3 Найдите разность числителей и поместите этот результат над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Очевидный вопрос: «Если эти две операции одинаковы, зачем изучать их по отдельности?» Ответ заключается в том, что вычитание порождает очень распространенную ошибку, которой ученик должен быть готов избежать.

Обратите внимание, что мы вычитаем весь числитель второй дроби. Поэтому будет хорошей практикой заключать весь числитель в круглые скобки со знаком вычитания перед ним.

Упомянутая ошибка часто возникает из-за того, что знак минус влияет на весь числитель второй дроби, а НЕ только на первый член.

Это произойдет, если вы не используете круглые скобки.

Стрелка указывает на ошибку, наиболее часто допускаемую при вычитании дробей. Лучший способ избежать этого — всегда использовать скобки

.

, и вы, скорее всего, не сможете правильно изменить знак.

Обратите внимание, мы заключили в скобки числитель второй дроби. Обратите внимание, что сначала мы умножили (x — 4) (2x — 1), а затем умножили (2×2 — 9x + 4) на -l.Умножать и менять знаки одновременно значит вызывать ошибку.

СЛОЖНЫЕ ДРОИ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Распознавание сложной дроби.
2. Упростите сложную дробь.

Дроби определяются как указанное частное двух выражений. В этом разделе мы представим метод упрощения дробей, в которых числитель, знаменатель или оба они сами состоят из дробей.Такие фракции называются сложными фракциями .

Таким образом, если числитель и знаменатель сложной дроби составлены из простых дробей, ее можно упростить, разделив числитель на знаменатель.

Обычно более эффективный метод упрощения сложной дроби включает использование основного принципа дробей. Умножаем и числитель, и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей сложной дроби.

Вспомните, что фундаментальный принцип дробей утверждает

Мы будем использовать фундаментальный принцип, чтобы снова упростить

ЖК-дисплей 3 и 4 равен 12. Таким образом,

Отдельные фракции

Этот ответ можно записать как смешанное число

Убедитесь, что каждый член как в числителе, так и в знаменателе умножается на ЖК-дисплей.

Нужен ЖКИ отдельных дробей, y не дробь.

УРАВНЕНИЯ, ИМЕЮЩИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ Дроби

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Применить метод решения дробных уравнений.
2. Определите, когда дробное уравнение не имеет решения.

В главе 2 мы столкнулись с уравнениями, в которых есть дроби.Однако все эти дроби имели числовые знаменатели. Теперь обсудим уравнения, в знаменателях которых есть дроби с переменными.

Метод решения этих уравнений будет таким же, как и в главе 2, но есть некоторые дополнительные предостережения, к которым вы должны быть готовы.

Вы можете вернуться к некоторым примерам в главе 3, чтобы освежить свою память.

Чтобы освежить вашу память, здесь повторяются шаги решения таких уравнений.
Во-первых: Исключите дроби, умножив каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Второй: упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Третье: Сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и числа арифметики с другой.
Четвертое: Разделить на коэффициент неизвестной величины.
Пятое: проверьте свой ответ.

Основное отличие решения уравнений с арифметическими дробями от уравнений с алгебраическими дробями заключается в проверке.Процесс проверки будет заключаться не только в том, чтобы найти возможную ошибку, но и в том, чтобы определить, есть ли у уравнения ответ.

Эта последняя возможность возникает потому, что с алгебраическими дробями мы умножаем на неизвестную величину. Эта неизвестная величина может быть на самом деле равна нулю, что сделает всю работу недействительной.

Помните, мы можем умножать каждую часть уравнения только на ненулевую величину.

Это означает, что ни (x — 1), ни (x + 1) не могут быть равны нулю. Если x = 1, то множитель (x — 1) равен нулю и у нас проблемы!

Поскольку деление на ноль невозможно, мы должны заключить, что x = 1 не является решением. А так как мы не ошиблись в вычислениях, то должны заключить, что это уравнение не имеет решения.
Правильный ответ: «нет решения».

Проверка необходима в алгебраических уравнениях. В противном случае вы могли бы проделать большую работу — не ошибитесь — и все равно упустить проблемы. Другими словами, x = 1 не является решением, поскольку дает утверждение, не имеющее смысла.

Помните, что проверка является чрезвычайно важным шагом, так как она определит, есть решение или нет.

Обратите внимание, что в этих примерах, когда у нас есть x 2 членов, они сокращаются, и мы остаемся с линейным уравнением. Если бы они не сокращались, в уравнении было бы член x 2 .Уравнение этого типа (квадратное) будет рассмотрено в главе 11.

Таким образом, x = -5 является решением.

Таким образом, 11 — это количество, на которое увеличился числитель.

ОБЗОР

Ключевые слова

• алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.
• Дробь представляет собой упрощенную форму , если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1.
• Общий знаменатель для двух или более дробей — это выражение, содержащее все множители знаменателей каждой дроби.
• наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.
• Фундаментальный принцип дробей есть
  
• Сложные дроби — это дроби, в которых числитель или знаменатель (или оба) содержат дробь.

Процедуры

• Чтобы упростить или сократить дроби до наименьшего члена, разложите числитель и знаменатель и разделите на все подобные множители.
• Чтобы умножить дроби, перед умножением умножьте все числители и знаменатели и разделите на все одинаковые множители.
• Чтобы разделить на дробь, переверните делитель, а затем умножьте.
• Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОД), сначала профакторизуйте все знаменатели, а затем найдите знаменатель, который содержит все множители каждого знаменателя, но не содержит ненужных множителей.
• Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.
• Чтобы сложить дроби, выполните следующие действия:
  1. Найдите наименьший общий знаменатель.
  2. Измените каждую дробь на эквивалентную дробь, в знаменателе которой будет ЖК-дисплей.
  3. Добавьте числители и поместите над ЖК-дисплеем.
  4. Упростите или сократите ответ.
• Чтобы вычесть дроби, действуйте как сложение, но объединяйте числители путем вычитания.
• Сложные дроби можно упростить, умножив числитель и знаменатель сложной дроби на ЖКД всех дробей в выражении.
• Чтобы решить уравнения, содержащие дроби, сначала удалите все дроби, умножив все уравнение на ЖК-дисплей участвующих дробей. Полученное уравнение затем решается, и решение должно быть проверено в исходном уравнении.

Упрощение дробей | Простой репетитор по математике

Что такое дробь?

Дробь представляет собой часть целого. Он описывает равные части объекта или группы, такие как половина, одна четвертая, две восьмых и т. д.Например, кусок пиццы — это часть всей пиццы.

Верхнее число (числитель) говорит нам, сколько частей у нас есть. Нижнее число (знаменатель) говорит нам об общем количестве частей, на которые разделен объект. В нашем примере у нас есть 3 куска (числитель), а пицца разделена на 4 куска (знаменатель).

Некоторые дроби эквивалентны. Эти дроби кажутся разными, но на самом деле они равны! Например, \frac { 4 }{ 8 } и \frac { 1 }{ 2 } являются эквивалентными дробями, поскольку они имеют одинаковый размер, как показано ниже.

\frac { 1 }{ 2 } является упрощенной формой \ frac { 4 }{ 8 }. Упрощение дробей означает, что мы хотим уменьшить дробь максимально простой форме. Мы поговорим о двух способах упрощения дроби.

Способ 1 упрощения дроби с общим числом

Мы можем упростить дроби, разделив и числитель, и знаменатель на общее число без остатка. Повторите процесс с другим числом, пока не достигнете наименьшего целого числа.

Пример: Упростить \frac { 64 }{ 72 }.

\frac { 48 }{ 72 } делится на 2 три раза, а затем делится на 3, чтобы получить \ frac { 2 }{ 3 }. Это самая простая форма дроби.

Это работает для всех дробей, которые нужно упростить. Другой Интересным способом сделать этот метод является лестница деления.

Сначала напишите 48 и 72 внутри перевернутого длинного символа деления. Это становится первой лестницей.

Затем придумайте общий делитель 64 и 72.Давайте использовать 2, так как 64 и 72 делятся на 2. Вы можете использовать другие более крупные общие множители, которые вы можете придумать. Разделите оба числа на два, запишите частные под символом деления и создайте еще один символ деления для второй лестницы.

Придумайте другие общие делители 32 и 36, которые можно использовать для деления обоих. Мы все еще можем использовать 2, так как оба числа четные. 2 — это число, с которого проще всего начать, когда вы делите четные числа, но вы можете использовать большие множители, отличные от 2, если это общий множитель числителя и знаменателя.Повторяйте процесс до тех пор, пока общие делители частного не будут равны 1.

Последние частные являются числителем и знаменателем сокращенной дроби. Лестница деления — один из самых простых и быстрых способов упростить дроби, если вы не можете придумать более крупные множители для деления числителя и знаменателя. Это также даст вам GCF чисел. Просто умножьте все коэффициенты, которые вы использовали для деления двух чисел.

2\quad \times \quad 2\quad \times \quad 2\quad \times \quad 3\quad =\quad 24

Метод 2. Упрощение дроби с наибольшим общим делителем

Разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (GCF).Есть два способа найти GCF: перечисление множителей двух числителей и знаменателя и разложение на простые множители.

Пример 1: Упростить \frac { 36 }{ 60 }.

Перечислите все делители чисел 36 и 60, затем найдите их GCF.

36\quad \rightarrow \quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 6,\quad 9,\quad 12,\quad 18,\quad 36

60\quad \rightarrow \quad 1,\четверка 2,\четверка 3,\четверка 4,\четверка 5,\четверка 6,\четверка 10,\четверка 12,\четверка 15,\четверка 20,\четверка 30,\четверка 60

Разделите числитель и знаменатель на их GCF.

Иногда перечисление множителей чисел для нахождения GCF немного утомительно. Использование простых факторизаций, таких как факторное дерево, проще для больших чисел.

Пример 2: Упростить \frac { 64 }{ 120 }.

Найдите GCF чисел 64 и 120, используя простую факторизацию. Давайте воспользуемся деревом множителей, чтобы перечислить все простые множители двух чисел.

Сначала найдите два множителя 64 и 120. Мы можем использовать 8 х 8 для 64 и 12 х 10 для 120.Запишите их в виде ветвей.

Вычтите 8, 12 и 10 для новых ветвей. Повторяйте процесс, пока не получите только их простые множители.

Перечислите простые делители чисел 64 и 120 и перечислите их общие простые делители. Произведение общих множителей есть их GCF.

Разделите 64 и 120 на 8, чтобы упростить дробь.

Упрощающие дроби всегда пригодятся особенно при получении высшей степени математики. Он будет использоваться чаще, чем другие математические понятия. Навыки факторизации необходимы упрощение дробей. Мы рекомендуем освоить основные факты умножения и подразделение, чтобы помочь вам с факторингом.