Биссектриса в треугольнике: Свойство биссектрисы треугольника — подготовка к ЕГЭ по Математике

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

      На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

      Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

      Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Рис.2

      Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

      Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Рис.3

b = |AC|,   a = |BC|,   c = |AB|,   p = |BD|,   q = |DC|.

      Тогда

      Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

      Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

Рис.4

      Тогда справедлива формула:

      Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

      Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Рис.5

      Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

      Доказательство. Из рисунка 5 следует формула

|EB| = 2c cos α .

      Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

Рис.6

и воспользуемся теоремой косинусов:

      Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

      Следовательно,

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

      Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

Рис.7

Доказать, что выполнено равенство:

      Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

      Поскольку CE – высота, то

      Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

      Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Свойства биссектрисы угла треугольника abc: внутренней, внешней

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

• BD – биссектриса угла ABC;
• α = β.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

• СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• α = β.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD² = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:

8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD² = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Следовательно, AD ≈ 4,85 см.

Свойства биссектрисы треугольника | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: ВидеоурокиПланиметрияСправочные материалы

Елена Репина 2013-03-15 2015-11-24

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса  угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3.

Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
 — длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
 — стороны треугольника против вершин соответственно,
 — длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть

видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Автор: egeMax | комментария 2 | Метки: биссектриса

Биссектриса углов треугольника

См. также биссектриса угла.

БИССЕКТРИСА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам 

• Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.
  
  

• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины
  
  
• Биссектриса  любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника
  
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам
  
  
  

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают
  

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.

• В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой
  
  

• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный
  

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

Формулы нахождения биссектрисы угла

a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ — углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
c_a, c_b — отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

l_c — длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

где

l_co — длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r — радиус окружности, вписанной в треугольник

R — радиус описанной окружности
a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ — угол треугольника, противолежащий стороне c 
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон) 

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача.

Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC.

Решение.
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам.

Следовательно AB = AC.

 Биссектриса угла | Описание курса | Биссектриса внешнего угла 

   

Определение биссектрисы

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и лежащий на биссектрисе угла треугольника.

AL – биссектриса треугольника ABC

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, вписанной в треугольник.

\(I\) – точка пересечения биссектрис

Свойство биссектрисы треугольника

Отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих к этим отрезкам сторон треугольника.

$$ \frac{BL}{CL}=\frac{AB}{AC} $$

Свойство биссектрисы вписанного угла

Биссектриса угла, вписанного в окружность, делит пополам дугу, на которую он опирается. Хорды, стягиваемые дугами, которые стороны данного угла и его биссектриса высекают на окружности, также равны.

$$ \overset{\smile}{BW}=\overset{\smile}{CW}, \quad BW=CW $$

Теорема о трилистнике

Пусть биссектриса угла \(A\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность этого треугольника в точке \(W\), и пусть \(I\) – центр вписанной окружности треугольника \(ABC\). Тогда \(WB=WC=WI\). При этом \(AI\cdot WI =2Rr\), где \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\) соответственно.2=km; \quad lm=ab; $$ $$ l+k=m; \quad a_1+b_1=c. $$

Все формулы для треугольника

L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b — стороны треугольника

с — сторона на которую опущена биссектриса

d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 

---

---

 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α — угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b — катеты прямоугольного треугольника

с — гипотенуза

α, β — углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

---

---

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L — высота=биссектриса=медиана

a — одинаковые стороны треугольника

b — основание

α — равные углы при основании

β — угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

---

---

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

 

L — высота=биссектриса=медиана

a —  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 

---

---

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a , b — стороны треугольника

γ — угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

 

 

---

---

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 

---

---

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

 

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b. c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 

---

---

 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H — высота из прямого угла

a, b — катеты

с — гипотенуза

c₁ , c₂ — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β — углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

 

 

---

---

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c — стороны произвольного треугольника

α, β, γ — противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 

---

---

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 

---

---

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

 

 

a, b — катеты

c — гипотенуза

α, β — острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

 

 

---

---

Биссектриса — что это такое, свойства биссектрисы угла треугольника

Обновлено 22 июля 2021

1. Биссектриса — это…
2. Их количество в треугольнике
3. Точка их пересечения
4. Свойство основания биссектрисы
5. Биссектриса равнобедренного треугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком термине, как БИССЕКТРИСА.

Это понятие широко применяется в геометрии. И каждый школьник в России знакомится с ним уже в 5 классе. А после эта величина часто используется для решения различных задач.

Биссектриса — это…

Итак,

Биссектриса – это луч, который выходит из вершины треугольника и делит ее ровно на две части.

Также под биссектрисой принято понимать и длину отрезка (что это?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на противоположной от этой вершины стороне.

Есть еще понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольника) пополам:

Само понятие БИССЕКТРИСА пришло к нам из латинского языка. И название это весьма говорящее. Оно состоит из двух слов – «bi» означает «двойное, пара», а «sectio» можно дословно перевести, как «разрезать, поделить».

Вот и получается, что само слово БИССЕКТРИСА – это «разрезание пополам», что собственно и отражается в определении термина, который мы только что привели.

А сейчас задачка на закрепление материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком изображена биссектриса. Подумали? Правильно, на втором.

На первом луч, выходящий из угла АОВ, явно не делит его пополам. На втором это соотношение углов более очевидно, а потому можно предположить, что луч ОД является БИССЕКТРИСОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов это утверждать сложно.

Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортир. Это такой инструмент в виде полусферы из металла или пластмассы. Вот как он выглядит:

Хотя есть еще вот такие варианты:

Наверняка у каждого такие были в школе. И пользоваться ими весьма просто. Надо только ровненько совместить основание транспортира (прямоугольная линейка) с основанием треугольника, а после на полусфере отметить значение, которое соответствует размеру угла.

И точно по такой же схеме можно поступить наоборот – имея транспортир, начертить угол необходимого размера. Чаще всего – от 0 до 180 градусов. Но на втором рисунке у нас транспортир, который помогает начертить градусы от 0 до 360.

Количество биссектрис в треугольнике

Но вернемся к нашей главной теме. И ответим на вопрос – сколько БИССЕКТРИС есть в треугольнике?

Ответ в общем-то логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник – три угла. А соответственно, и биссектрис в нем будет тоже три – по одной на каждую вершину.

Снова посмотрим на наши рисунки. В данном случае наглядно видно, что у треугольника АВС (именно так в геометрии обозначается эта фигура – по наименованию ее вершин) три БИССЕКТРИСЫ. Это отрезки AD, BE и CF.

На чертежах БИССЕКТРИСЫ обозначатся следующим образом. Видите одинарные выгнутые черточки между отрезками АС /AL1 и АВ/AL1? Так обозначаются углы. А то, что они оба обозначены одинаковыми черточками, говорит о том, что углы равны. А значит, отрезок AL1 является БИССЕКТРИСОЙ.

То же самое относится и к углам между АВ/DL2 и ВС/BL2. Они обозначены одинаковыми двойными черточками. А значит, отрезок BL2 – биссектриса. А углы АС/CL3 и ВС/CL3 обозначены тройными черточками. Соответственно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

Пересечение биссектрис треугольника

Как можно было заметить по приведенным выше рисункам, у биссектрис треугольника есть одно важное свойство. А именно:

Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром!

Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает никаких исключений. Другими словами, вот такого быть не может:

Если вы видите такую картину, то перед вами точно не БИССЕКТРИСЫ. Во всяком случае, минимум один отрезок таковой не является. А может и все три.

А есть еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.

Центр пересечения биссектрис в треугольнике является центром окружности, который списан в эту фигуру.

Это свойство биссектрис на самом деле не только выглядит интересно на чертежах. Оно часто помогает в решение сложных задач.

Свойство основания биссектрисы

У каждой БИССЕКТРИСЫ есть основание. Так называют точку пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.

И с этим основанием связана одна весьма интересная теорема. Она гласит, что

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точкой основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух прилежащих сторон.

Звучит несколько тяжеловато, но на деле выглядит весьма просто. Отношение отрезков на основании биссектрисы – это ВК/КС. А отношение прилежащих сторон – это АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит вот так:

ВК/КС = АВ/АС

Интересно, что для данной теоремы будет справедливо и другое утверждение:

ВК/АВ = КС/АС

Ну, как часто бывает в математике – это правило работает и в обратном направлении. То есть, если вы знаете длины все сторон и их соотношения равны, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА, А соответственно, будет проще рассчитать размер угла треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Для начала напомним, что такое равнобедренный треугольник.

Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть имеет равные «бедра»).

Так вот в таком треугольнике БИССЕКТРИСА имеет весьма интересные свойства.

Она одновременно является еще и медианой (что это?), и высотой.

Эти понятия нам также знакомы по школьному курсу. Но если кто забыл, мы обязательно напомним:

1. Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.
2. Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.

А в равностороннем треугольнике или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны) все три биссектрисы являются высотами и медианами. И плюс ко всему, их длины равны.

Вот и все, что нужно знать о таком понятии, как БИССЕКТРИСА. До новых встреч на страницах нашего блога.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

биссектрис в треугольнике

Серединный перпендикуляр

В серединный перпендикуляр стороны треугольника — это линия, перпендикулярная стороне и проходящая через его середину.

Три серединных перпендикуляра сторон треугольника встречаются в одной точке, называемой центр окружности . Точка пересечения трех или более линий называется точкой параллелизма. Итак, центр описанной окружности — это точка совпадения серединных перпендикуляров треугольника.

Здесь, О это центр описанной окружности Δ Икс Y Z .

Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника. (См. Теорему о центре окружности.) То есть Икс О знак равно Y О знак равно Z О . Круг, нарисованный с центром описанной окружности и радиусом, равным этому расстоянию, проходит через все три вершины и называется описанный круг .Это наименьший круг, в который можно вписать треугольник.

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника для острых треугольников, на гипотенузе для прямоугольных и лежит вне треугольника для тупых треугольников. Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, если это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пример 1:

Дома Натхи, Хирена и Джо представляют собой три неколлинеарных точки на координатной плоскости.Если они хотят встретиться в общем месте, так что каждому придется проехать одинаковое расстояние от своего дома, как вы выберете место встречи?

Поскольку точки, представляющие дома, не коллинеарны, эти три точки образуют треугольник.

Теперь, если вы рассматриваете центр описанной окружности треугольника, он будет равноудален от вершин. То есть, если центр описанной окружности треугольника, образованного тремя домами, выбран в качестве точки встречи, то каждый из них должен будет пройти одинаковое расстояние от своего дома.

Пример 2:

Найдите значение Икс .

Здесь, О точка совпадения трех серединных перпендикуляров сторон Δ K L M .

Так, О — центр описанной окружности треугольника.

Центр описанной окружности равноудален от вершин.Потом, О M знак равно О K .

То есть, 6 Икс + 1 знак равно 19 .

Решить для Икс .

6 Икс + 1 — 1 знак равно 19 — 1 6 Икс знак равно 18 6 Икс 6 знак равно 18 6 Икс знак равно 3

Биссектриса угла

В биссектриса угла угла треугольника — это прямая линия, которая делит угол на два равных угла.

Три биссектрисы углов треугольника встречаются в одной точке, называемой стимулятор .

Здесь, я это стимул Δ п Q р .

Центрирующий центр находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника. То есть, п я знак равно Q я знак равно р я . Круг, нарисованный с центром в центре и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех трех сторон и называется окружать или вписанный круг треугольника.Этот круг — самый большой круг, который поместится внутри треугольника.

В равностороннем треугольнике центр окружности и центр описанной окружности будут одинаковыми.

Пример 3:

У Мисти есть треугольный участок заднего двора, на котором она хочет построить бассейн. Как ей найти самый большой круглый бассейн, который можно построить там?

Самый большой из возможных круглых бассейнов будет иметь такой же размер, как и самый большой круг, который можно вписать в треугольный задний двор.Самый большой круг, который можно вписать в треугольник, — это вписанная окружность. Это можно определить, найдя точку совпадения биссектрис углов каждого угла заднего двора, а затем сделав круг с этой точкой в ​​качестве центра и кратчайшим расстоянием от этой точки до границы в качестве радиуса.

Пример 4:

Найдите длину J О .

Здесь, О точка совпадения трех биссектрис угла Δ L M N а значит, и есть стимулятор.Центрирующий центр находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника. То есть, J О знак равно ЧАС О знак равно я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника Δ ЧАС О L , поэтому можно найти длину третьей стороны.

Здесь, О точка совпадения трех биссектрис угла Δ L M N а значит, и есть стимулятор.Центрирующий центр находится на одинаковом расстоянии от сторон треугольника. То есть, J О знак равно ЧАС О знак равно я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника Δ ЧАС О L , поэтому можно найти длину третьей стороны.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину ЧАС О .

ЧАС О знак равно ( L О ) 2 — ( ЧАС L ) 2 знак равно 13 2 — 12 2 знак равно 169 — 144 знак равно 25 знак равно 5

С J О знак равно ЧАС О , длина J О также равно 5 единицы.

Биссектриса треугольника

Биссектриса угла треугольника — это отрезок прямой, который делит пополам один из углов при вершине треугольника и заканчивается на соответствующей противоположной стороне.

Есть три биссектрисы угла (B _a , B _b и B _c ), в зависимости от угла, под которым он начинается. Мы можем найти длину биссектрисы по этой формуле:

Три биссектрисы угла треугольника встречаются в одной точке, которая называется центром ( I ).Эта точка всегда находится внутри треугольника.

Центр вписанной окружности ( I ) треугольника — это центр вписанной окружности (также называемой вписанной окружностью ).

Радиус (или дюйма в радиусе ) вписанной окружности можно найти по формуле:

Взаимосвязь между радиусом R центра описанной окружности O (точка, где сходятся срединные перпендикуляры сторон треугольника) и радиусом r центра окружности I (точка совпадения биссектрис углов) это:

Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице.Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

Triangle-total.rar или Triangle-total.exe

Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

Теорема о биссектрисе угла

Теорема о биссектрисе угла утверждает, чем в треугольнике Δ ABC , соотношение между длиной двух сторон, прилегающих к вершине (сторона AB и сторона BC ), относительно одной из ее биссектрис ( B _b ) равно отношению между соответствующими сегментами, где биссектриса угла делит противоположную сторону (сегмент AP и сегмент PC ).

Другими словами, биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Итак, по теореме о биссектрисе угла :

Кроме того, но не включенного в эту теорему, также верно, что:

Процедура нахождения уравнения биссектрисы угла основана на следующем:

• Если у нас есть уравнения двух линий , которые пересекают в одной точке :
• Тогда биссектриса угла , лежащая на стороне от начала координат (где пересекаются две прямые), может быть определена с помощью уравнения:

Примечание : в треугольнике эти две линии будут проходить через две стороны, которые образуют угол, разделенный на биссектрису.

Упражнение

Пусть ABC de — треугольник, в котором a = 3 см, b = 4 см и c = 2 см. Найдите биссектрисы B _a , B _b y B _c .

РЕШЕНИЕ:

Мы собираемся решить это упражнение, используя формулу биссектрисы угла:

Поскольку мы уже знаем, что измеряют все стороны треугольника, нам нужно только найти полупериметр ( s ):

Затем мы можем подставить значения в формулу биссектрисы угла:

Следовательно, B _a = 2.45 см , B _b = 1,47 см и B _c = 3,32 см .

Теорема о биссектрисе угла

— определение, доказательство, формула, примеры

Теорема о биссектрисе угла утверждает, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника. Биссектриса угла — это луч, который делит заданный угол на два равных угла. В этом коротком уроке мы сосредоточимся на самой важной теореме о биссектрисе угла.Чтобы быть более точным, мы узнаем о доказательстве теоремы о биссектрисе угла, примерах теоремы о биссектрисе угла, теореме треугольника и биссектрисе, о том, как построить биссектрису угла, и других интересных свойствах и фактах вокруг биссектрисы угла.

Что такое теорема о биссектрисе угла?

Теорема о биссектрисе угла треугольника утверждает, что в треугольнике биссектриса любого угла делит противоположную сторону в соотношении сторон, содержащих угол.Рассмотрим рисунок ниже.

Здесь AD — биссектриса A. Согласно теореме о биссектрисе угла \ (\ dfrac {BD} {DC} = \ dfrac {AB} {AC} \).

Определение биссектрисы угла

Биссектриса угла — это линия или луч, разделяющий треугольник и угол на две равные части. Основные аспекты биссектрисы угла заключаются в том, что любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла, а биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника в соотношении смежных сторон.

Как построить биссектрису угла?

Чтобы геометрически построить биссектрису угла, нам потребуются линейка, карандаш, циркуль и транспортир, если указана мера угла. Любой угол можно разделить пополам с помощью биссектрисы угла. Выполните последовательность шагов, указанную ниже, чтобы построить биссектрису угла.

• Шаг 1: Нарисуйте любой угол, скажем ∠ABC.
• Шаг 2: Взяв B за центр и любой подходящий радиус, нарисуйте дугу, чтобы пересечь лучи BA и BC, скажем, в точках E и D соответственно.
• Шаг 3: Теперь, взяв D и E в качестве центров и с радиусом более половины DE, нарисуйте дугу, чтобы пересечь друг друга в F.
• Шаг 4: Нарисуйте луч BF. Этот луч BF является искомой биссектрисой угла ABC.

Доказательство теоремы о биссектрисе угла

Утверждение теоремы о биссектрисе угла: В треугольнике биссектриса любого угла делит противоположную сторону в соотношении сторон, содержащих угол.Посмотрим на доказательство этого.

Нарисуйте луч CX, параллельный AD, и продолжите BA, чтобы пересечь этот луч в точке E.

Согласно основной теореме пропорциональности, если линия проводится параллельно одной стороне треугольника, чтобы пересечь две другие стороны в разных точках, две другие стороны делятся в одинаковом соотношении.

В \ (\ Delta CBE \) DA параллелен CE.

\ (\ dfrac {BD} {DC} = \ dfrac {BA} {AE} \; \; \; \; \; \; \ cdots (1) \)

Теперь нам осталось доказать, что AE = AC.

Отметим углы на рисунке выше.

Поскольку DA параллелен CE, мы имеем

1. ∠1 = ∠2 (соответствующие углы)
2. ∠3 = ∠4 (альтернативные внутренние углы)

Поскольку AD — биссектриса BAC, имеем ∠1 = ∠3.

Итак, можно сказать, что ∠2 = ∠4.

Поскольку стороны, противоположные равным углам, равны, AC = AE.

Замените AC вместо AE в уравнении (1).

\ (\ dfrac {BD} {DC} = \ dfrac {BA} {AC} \)

Значит доказано.

Формула теоремы биссектрисы угла

Теорема о биссектрисе угла треугольника гласит: «В треугольнике биссектриса угла любого угла будет делить противоположную сторону в соотношении сторон, содержащих угол». то есть формула биссектрисы угла:

\ (\ dfrac {\ text {BD}} {\ text {DC}} = \ dfrac {\ text {AB}} {\ text {AC}} \)

Самый простой способ запомнить теорему о биссектрисе треугольника —

Связанные темы

Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с теоремой о биссектрисе угла.

Часто задаваемые вопросы по теореме о биссектрисе угла

Какова формула биссектрисы угла?

Пусть AD — биссектриса A в ΔABC. Согласно теореме о биссектрисе угла \ (\ dfrac {BD} {DC} = \ dfrac {AB} {AC} \).

Чем похожи теорема о боковом разветвлении и теорема о биссектрисе угла?

Единственное сходство между теоремой о разделителе сторон и теоремой о биссектрисе угла состоит в том, что обе теоремы связывают пропорции сторон треугольника.

Что такое обратное к теореме о биссектрисе угла?

Если AD нарисован в Δ ABC таким образом, что \ (\ dfrac {BD} {DC} = \ dfrac {AB} {AC} \), то AD делит ∠A пополам.

Как найти биссектрису треугольника?

Выполните шаги, указанные ниже, чтобы разделить ∠PQR пополам.

1. Пусть Q будет центром, и с любым радиусом нарисуйте дугу, пересекающую луч \ (\ overrightarrow {QP} \) и \ (\ overrightarrow {QR} \), скажем, в точках E и D соответственно.
2. Теперь, принимая D и E за центры и одинаковый радиус, нарисуйте дуги, пересекающие друг друга, скажем, в F.<< DE - это не строка. Пожалуйста, проверьте. Кроме того, я предполагаю, что радиус должен быть таким же, как на шаге 1 >>
3. Нарисуйте луч \ (\ overrightarrow {QF} \).

Здесь \ (\ overrightarrow {QP} \) — биссектриса угла ∠PQR.

Как решить задачу о биссектрисе угла?

Мы решаем задачу о биссектрисе угла, используя теорему треугольника и биссектрисы.

Когда можно использовать теорему о биссектрисе угла?

Теорема о биссектрисе угла используется, когда мы знаем биссектрису угла и длину сторон треугольника.

Когда биссектриса угла построена для прямого угла, какова мера двух углов?

Биссектриса угла делит или составляет два конгруэнтных угла для любого заданного угла. То же самое применимо и к прямому углу. Прямой угол составляет 90 °. Построив биссектрису угла, мы получим два равных угла по 45 ° каждый.

4.21: Биссектриса углов в треугольниках

Построение и свойства биссектрис, разрезающих углы пополам.

Теорема о биссектрисе угла

Биссектриса угла разрезает угол ровно пополам. Одним из важных свойств биссектрис угла является то, что если точка находится на биссектрисе угла, то точка находится на равном расстоянии от сторон угла. Это называется теоремой о биссектрисе угла .

Другими словами, если \ (\ overrightarrow {BD} \) делит пополам \ (\ angle ABC \), \ (\ overrightarrow {BA} \ perp FD \ overline {AB} \) и \ (\ overrightarrow {BC } \ perp \ overline {DG} \), затем \ (FD = DG \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

Верно и обратное утверждение этой теоремы.

Теорема биссектрисы угла Converse : Если точка находится внутри угла и равноудалена от сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Когда мы строим биссектрисы для углов треугольника, они пересекаются в одной точке. Эта точка называется центром треугольника.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

Что если бы вам сказали, что \ (\ overrightarrow {GJ} \) — это биссектриса угла \ (\ angle FGH \)? Как бы вы нашли длину \ (FJ \) с учетом длины \ (HJ \)?

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Достаточно ли информации, чтобы определить, является ли \ (\ overrightarrow {AB} \) биссектрисой угла \ (\ angle CAD \)? Почему или почему нет?

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

Решение

Нет, потому что \ (B \) не обязательно равноудалён от \ (\ overline {AC} \) и \ (\ overline {AD} \).{\ circ} \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Находится ли \ (Y \) на биссектрисе угла \ (\ angle XWZ \)?

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

Решение

Если \ (Y \) находится на биссектрисе угла, то \ (XY = YZ \) и оба сегмента должны быть перпендикулярны сторонам угла. Из маркировки мы знаем \ (\ overline {XY} \ perp \ overrightarrow {WX} \) и \ (\ overline {ZY} \ perp \ overrightarrow {WZ} \). Во-вторых, \ (XY = YZ = 6 \). Итак, да, \ (Y \) находится на биссектрисе угла \ (\ angle XWZ \).

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

\ (\ overrightarrow {MO} \) — биссектриса угла \ (\ angle LMN \). Найдите меру \ (x \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

Решение

\ (LO = ON \) по теореме о биссектрисе угла.

\ (\ begin {align *} 4x − 5 & = 23 \\ 4x & = 28 \\ x & = 7 \ end {align *} \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

\ (\ overrightarrow {AB} \) — биссектриса угла \ (\ angle CAD \). Найдите недостающую переменную.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Решение

\ (CB = BD \) по теореме биссектрисы угла, поэтому мы можем составить и решить уравнение для \ (x \).

\ (\ begin {align *} x + 7 & = 2 (3x − 4) \\ x + 7 & = 6x − 8 \\ 15x & = 5 \\ x & = 3 \ end {align *} \)

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 5.3.

Словарь

Срок	Определение
биссектриса угла	Биссектриса угла — это луч, разделяющий угол на два равных меньших угла.
Теорема о биссектрисе угла	Теорема о биссектрисе угла утверждает, что если точка находится на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла.
Теорема биссектрисы угла Converse	Обратное утверждение теоремы о биссектрисе угла гласит, что если точка находится внутри угла и равноудалена от сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
инкубатор	Центр центра — это точка пересечения биссектрис угла в треугольнике.

Дополнительные ресурсы

Видео: Примеры: поиск неизвестных значений с использованием свойств биссектрисы угла

Задания: Биссектрисы в треугольниках Вопросы для обсуждения

Учебные пособия: биссектриса, медиана, высота над уровнем моря Учебное пособие

Практика: биссектрисы в треугольниках

Реальный мир: биссектрисы

Отношение

: стороны треугольника к сегментам, разрезанным биссектрисой угла

Соотношение: стороны треугольника к сегментам, разрезанным биссектрисой угла

---

---

---

Биссектриса угла треугольника .

---

Разведка

Постройте любой треугольник. Постройте угол биссектрису в треугольнике и проведите отрезок по углу биссектриса от вершины до пересечения с противоположной боковая сторона.

Нажмите здесь для эскиза GSP, чтобы изучить эти соотношения.

---

ДОКАЗАТЬ

Биссектриса угла треугольника делит противоположной стороны на сегменты, пропорциональные соседние стороны.

То есть для любого треугольника ABC биссектриса угла при C делит противоположную сторону на сегменты длина x и y такая, что

Подсказка

---

Добавочный номер

Докажите, что биссектриса экстерьера угол треугольника делит противоположную сторону снаружи на отрезки, пропорциональные соседним сторонам.

То есть внешняя биссектриса угла в точке C внешне разделяет сторону AB в точке M, так что

Совет: нарисуйте AE параллельно CD.

Добавочный номер

Дан набор треугольников, у всех одинаковые база AB. Каково геометрическое место вершины C в соотношении стороны, смежные с C, равно 1? Доказательство?

Добавочный номер

Дан набор треугольников, у всех одинаковые база AB. Каково геометрическое место вершины C в соотношении стороны, смежные с C, , а не , равно 1? Доказательство?

Постройте эскиз GSP, чтобы нарисовать это геометрическое место.Нажмите здесь чтобы увидеть анимацию GSP.

---

Вернуться к EMAT 6600 Страница

---

---

Теорема биссектрисы угла

(определение, примеры и видео) // Tutors.com

Содержание

1. Определение биссектрисы угла
2. Как построить биссектрису угла
3. Теорема о биссектрисе угла
4. Соотношения и пропорции
5. Примеры биссектрисы угла
6. Биссектриса треугольника

Определение биссектрисы угла

Теорема о биссектрисе угла помогает найти неизвестные длины сторон треугольников, потому что биссектриса угла делит сторону, противоположную этому углу, на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Как построить биссектрису угла

Нарисуйте △ ABC на листе бумаги. Внутренние углы A, B, C имеют противоположные стороны a, b, c.

Возьмите какой-нибудь линейный объект и поместите одну конечную точку в ∠A. Другой конец должен пересекать сторону a. Разделите ∠A на два равных угла. Вы разделили ∠A.

Линейный объект — это биссектриса угла . Когда он пересекал сторону a, противоположную A, он разделил △ ABC на два меньших треугольника и разделил сторону a надвое.

Замените объект нарисованным отрезком линии или лучом. Там, где биссектриса угла пересекает сторону a, обозначьте эту точку D. Биссектриса угла теперь является отрезком прямой AD и создает два меньших треугольника, △ ACD и △ ABD. Сторона А теперь состоит из двух отрезков, CD и DB.

Теорема о биссектрисе угла

Вот одна из версий теоремы о биссектрисе угла:

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону внутреннего угла на два сегмента, которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника.

Биссектриса угла AD разрезает сторону a на два отрезка, CD и DB. CD и DB относятся к сторонам b (CA) и c (BA) в той же пропорции, как CA и BA относятся друг к другу. △ ACD и △ ABD, образованные биссектрисой угла, также пропорциональны.

Соотношения и пропорции

Коэффициенты сравнения значений. Вы можете установить отношения между сторонами CA и BA и линейными сегментами CD и DB. Пропорции сравнить соотношения; вы можете узнать, равны ли два соотношения.

Для △ ABC с биссектрисой AD, сторонами CA и BA и стороной a, разделенной на CD и DB, мы можем установить отношения между сторонами и отрезками линии и сравнить их:

CDDB = CABA

Линейный сегмент CD (от биссектрисы AD) имеет такое же отношение к линейному сегменту DB, как и сторона треугольника CA к стороне BA.

Будьте осторожны, чтобы правильно установить передаточные числа. CD — это меньший из двух отрезков прямой, поэтому он является числителем нашего отношения. DB — это более длинный отрезок линии.Таким образом, CD относится к DB, как короткая сторона треугольника CA, к длинной стороне треугольника BA.

Появляются и другие соотношения. Сравните отрезки стороны, разделенной биссектрисой, с остальными сторонами:

CDCA = DBBA

Связь двух сторон нового, меньшего CDA такая же, как и двух сторон нового, меньшего DBA. Они в одинаковых пропорциях.

Примеры биссектрисы угла

Как узнать, что отрезок прямой, идущий от внутреннего угла, является биссектрисой? Проверьте передаточные числа .

Предположим, нам говорят, что отрезок AD разделяет сторону a на CD и DB длиной 10 см и 30 см. Нам также сообщают, что сторона CA составляет 30 см, а сторона BA — 90 см. Посмотрите, пропорциональны ли соотношения друг другу:

CDDB = CABA

1030 = 3090

Мы видим, что 1030 — это то же отношение, что и 3090, поэтому AD — это биссектриса угла.

Биссектриса треугольника

Использование теоремы о биссектрисе угла для поиска неизвестной стороны

Если мы знаем длину исходных сторон a и b, мы можем использовать теорему о биссектрисе угла, чтобы найти неизвестную длину стороны c.Биссектриса угла делит сторону a на CD и DB (общая длина стороны a, CB).

Предположим, что эти длины:

CD = 10

ДБ = 20

CA = 25

Вспомните наши соотношения и подставьте значения:

CDCA = DBBA

1025 = 20BA

Используя перекрестное умножение (25 × 20 = 500) и затем деление (50010), мы получаем BA = 50 метров.

---

Краткое содержание урока

Теперь вы можете определить теорему о биссектрисе угла, использовать соотношения и пропорции, чтобы убедиться, что угол является биссектрисой, использовать теорему об угловой биссектрисе, чтобы найти неизвестные длины сторон треугольников, и определить биссектрису угла, оценив длины сторон треугольников. стороны треугольника.

Следующий урок:

Как найти пропорции

Биссектриса угла, перпендикулярная основанию в равнобедренном треугольнике

В другой задаче мы видели, что в равнобедренном треугольнике высота до основания от вершины также является биссектрисой угла. Здесь мы покажем обратное: биссектриса угла перпендикулярна основанию в равнобедренном треугольнике. Это означает, что биссектриса угла также является высотой до основания.

Задача

Треугольник ΔABC равнобедренный, | AB | = | AC |.AD делит угол ∠CAB пополам. Покажите, что AD перпендикулярно BC: AD⊥BC

Стратегия

В этом доказательстве и во всех подобных задачах, связанных со свойствами равнобедренного треугольника, мы используем ту же базовую стратегию. мы используем равные треугольники, чтобы показать, что две части равны. Поскольку это равнобедренный треугольник, у нас по определению две равные стороны.

И, используя теорему об основных углах, у нас также есть два конгруэнтных угла. Затем мы берем данную линию — в данном случае биссектрису угла при вершине — в качестве общей стороны и используем одно дополнительное свойство или данный факт, чтобы показать, что треугольники, образованные этой линией, совпадают.

Здесь дополнительным данным фактом является то, что прямая представляет собой биссектрису угла, поэтому ∠DAC ≅ ∠DAB, и отсюда легко следует, что ΔDAC конгруэнтно ΔDAB, используя постулат Side-Angle-Side.