Биссектриса равностороннего треугольника | Треугольники
Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?
Теорема 1
(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
Проведем биссектрису BF.
По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.
Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2
(свойство биссектрис равностороннего треугольника
Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.
В треугольниках ABF, BCD и CAK:
- AB=BC=CA (по условию)
- ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника)
- ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).
Значит, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.
Что и требовалось доказать.
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.
1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.
В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.
BF — биссектриса, BF=l.
По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.
Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса
Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:
2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.
В правильном треугольнике ABC центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.
Отсюда,
Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна
через радиус описанной окружности —
ее свойства и формула, как обозначается и какова длина
Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой.
Суть понятия
Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» — две, «сектио» — разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части.Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.
Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.
Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной. Причем начало обозначения записывается именно из вершины.
[warning]Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.[/warning]
Свойства
Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:
- Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон
- Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
- Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.
Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.
Это интересно! Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр
Длина
Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:
- величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
- длины сторон, которые образуют этот угол.
Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).
Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство
Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:
- известны значения всех сторон фигуры.
При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).
[warning]Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой.[/warning]
Частные случаи
Биссектриса прямоугольного треугольника имеет все общие свойства. Но следует отметить частный случай, который присущ только ей: при пересечении отрезков, основания которых являются вершинами острых углов прямоугольного треугольника, между лучами получается 45 град.
Биссектриса равнобедренного треугольника также имеет свои особенности:
- Если основание этого отрезка – вершина, противолежащая основанию, то она является и высотой, и медианой.
- Если отрезки проведены из вершин углов при основании, то их длины равны между собой.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Урок геометрии, изучаем свойства биссектрисы
Свойства биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника: ее свойства и формула, как обозначается и какова длина
Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой….
Суть понятия
Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» две, «сектио» разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части.
Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.
Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.
Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной. Причем начало обозначения записывается именно из вершины.
Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.
Свойства
Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:
- Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон, которые составляют пространство между лучами.
- Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
- Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.
Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.
Это интересно! Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр
Длина
Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:
- величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок,
- длины сторон, которые образуют этот угол.
Для решения поставленной задачи используется формула, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.
Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).
Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство
Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:
- известны значения всех сторон фигуры.
При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).
Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о приключениях этой прямой.
Частные случаи
Биссектриса прямоугольного треугольника имеет все общие свойства. Но следует отметить частный случай, который присущ только ей: при пересечении отрезков, основания которых являются вершинами острых углов прямоугольного треугольника, между лучами получается 45 град.
Биссектриса равнобедренного треугольника также имеет свои особенности:
- Если основание этого отрезка – вершина, противолежащая основанию, то она является и высотой, и медианой.
- Если отрезки проведены из вершин углов при основании, то их длины равны между собой.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Урок геометрии, изучаем свойства биссектрисы
Свойства биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника и ее свойства
Биссектриса треугольника обладает рядом свойств. Если правильно их использовать, можно решать задачи разного уровня сложности. Но даже имея данные обо всех трех биссектрисах, нельзя построить треугольник.Что такое биссектриса
Изучение свойств треугольников и решение задач, связанных с ними – интересный процесс. Он позволяет развивать одновременно и логику, и пространственное мышление. Одной из важных составляющих треугольника является биссектриса. Биссектриса является отрезком, который выходит из угла треугольника и делит его на равные части.
Во многих задачах по геометрии в условиях есть данные о биссектрисе, при этом требуется найти значение угла либо длину противоположной стороны и так далее. В других задачах необходимо найти параметры самой биссектрисы. Чтобы определить правильный ответ любой из задач, связанных с биссектрисой, нужно знать ее свойства.
Свойства биссектрисы
Во-первых, биссектриса – это геометрическое место точек, которые удалены на равные расстояния от сторон, прилегающих к углу.
Во-вторых, биссектриса треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, которые будут пропорциональны прилегающим сторонам. К примеру, есть треугольник АБС, в нем из угла Б выходит биссектриса, которая соединяет вершину угла с точкой М на прилегающей стороне АС. После проведения анализа, получим формулу: АМ/МС=АБ/БС.
В-третьих, точка, являющаяся пересечением биссектрис из всех углов треугольника, выступает как центр окружности, вписанной в данный треугольник.
В-четвертых, если две биссектрисы одного треугольника равны, значит, данный треугольник является равнобедренным.
В-пятых, если есть данные обо всех трех биссектрисах, то нельзя выполнить построение треугольника, даже если воспользоваться циркулем.
Нередко для решения задачи биссектриса неизвестна, необходимо найти ее длину. Чтобы решить задачу, нужно знать угол, из которого она выходит, а также длины сторон, прилегающих к нему. В таком случае длина биссектрисы равняется удвоенному произведению прилегающих сторон на косинус угла, поделенное пополам на сумму длинприлегающих сторон.
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике биссектриса обладает теми же свойствами, что и в обычном. Но добавляется дополнительное свойство – биссектриса прямого угла образует при пересечении угол в 45 градусов. Более того, в равнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса, которая опущена на основание, будет также выступать как высота и медиана.
Как найти высоту равностороннего треугольника
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Свойства равносторонних треугольников | Блестящая вики по математике и науке
Во-первых, стоит отметить, что радиус описанной окружности ровно в два раза больше внутреннего радиуса, что важно, поскольку R≥2rR \ geq 2rR≥2r согласно неравенству Эйлера.Равносторонний треугольник обеспечивает случай равенства, как и в более сложных случаях, таких как неравенство Эрдоша-Морделла.
Если PPP — это любая точка внутри равностороннего треугольника, сумма расстояний до нее от трех сторон равна длине высоты треугольника:
Сумма трех цветных длин — это длина высоты, независимо от позиции P
.Равносторонний треугольник — также единственный треугольник, у которого могут быть как рациональные длины сторон, так и углы (при измерении в градусах).{\ circ} 15∘
Также стоит отметить, что помимо равностороннего треугольника на картинке выше, есть еще три треугольника с площадями X, YX, YX, Y и ZZZ (((с ZZZ наибольшим).). Они удовлетворяют соотношению 2X = 2Y = Z ⟹ X + Y = Z2X = 2Y = Z \ следует X + Y = Z 2X = 2Y = Z⟹X + Y = Z. Фактически, X + Y = ZX + Y = ZX + Y = Z верно для любого прямоугольника , описанного вокруг равностороннего треугольника, независимо от ориентации.
Отправьте свой ответ
Стороны прямоугольника ABCDABCDABCD имеют длины 101010 и 111111.Рисуется равносторонний треугольник так, чтобы ни одна точка треугольника не лежала за пределами ABCDABCDABCD. Максимально возможную площадь такого треугольника можно записать в виде pq − rp \ sqrt {q} -rpq −r, где p, q, p, q, p, q и rrr — положительные целые числа, а qqq — не делится на квадрат любого простого числа. Найдите p + q + r.p + q + r.p + q + r.
Равносторонние треугольники особенно полезны на комплексной плоскости, поскольку их вершины a, b, ca, b, ca, b, c удовлетворяют соотношению a + bω + cω2 = 0, a + b \ omega + c \ omega ^ 2 = 0, a + bω + cω2 = 0, где ω \ omegaω — это примитивный корень третьей степени из единицы, что означает ω3 = 1 \ omega ^ 3 = 1ω3 = 1 и ω ≠ 1 \ omega \ neq 1ω = 1. 2, PA2 = PB2 + PC2,
найдите величину ∠BPC \ angle BPC∠BPC в градусах.
Еще одним свойством равностороннего треугольника является теорема Ван Шутена:
Если ABCABCABC — равносторонний треугольник, а MMM — точка на дуге BCBCBC описанной окружности треугольника ABC, ABC, ABC, то
MA = MB + MC.MA = MB + MC.MA = MB + MC.
Используя теорему Птолемея о вписанном четырехугольнике ABMCABMCABMC, имеем
MA⋅BC = MB⋅AC + MC⋅ABMA \ cdot BC = MB \ cdot AC + MC \ cdot ABMA⋅BC = MB⋅AC + MC⋅AB
или
MA = MB + MC.□ MA = MB + MC. \ _ \ SquareMA = MB + MC. □
Вот пример, относящийся к координатной плоскости.
Покажите, что на плоскости нет равностороннего треугольника, вершины которого имеют целочисленные координаты.
Предположим, что на плоскости есть равносторонний треугольник, вершины которого имеют целые координаты.
Формула определения площади является рациональной, поэтому, если все три точки являются рациональными точками, площадь треугольника также рациональна.2a2 — целое число, а 3 \ sqrt {3} 3 — иррациональное число.
Получили противоречие. □ _ \ квадрат □
треугольников — равносторонний, равнобедренный, прямоугольный
Равносторонний треугольник
Если три стороны треугольника одинакового размера, треугольник равен , равносторонний треугольник .
Равносторонний треугольник Свойства:
1) Все стороны равны.
2) Углы каждого равностороннего треугольника равны 60 °.
3) Каждая высота также является средней и биссектрисой.
4) Каждая медиана — это также высота и биссектриса.
5) Каждая биссектриса — это также высота и медиана.
6) Если длина стороны равна , площадь равностороннего треугольника равна ¼a 2 √3
7) Высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника равны ½a√3
Равнобедренный треугольник
Если две стороны треугольника равны, получится равнобедренный треугольник , равнобедренный треугольник .
Свойства равнобедренного треугольника :
Высота до неравной стороны также является соответствующей биссектрисой и медианой,
но неверно для двух других высот.
Также верно, что медиана для неравных сторон также является биссектрисой и высотой, и
биссектриса между двумя равными сторонами — это высота и медиана.
Прямой треугольник
Треугольник с прямым углом (90 °) называется прямоугольным треугольником .
Самая длинная сторона прямоугольного треугольника (сторона, противоположная прямому углу) называется гипотенузой (или гипотенузой), а две короткие стороны — катетами . Высота каждой ноги совпадает с другой ногой.Формулы прямоугольного треугольника (см. Рисунок выше):
А + В = 90 °
Площадь прямоугольного треугольника задается формулой:
$ A = \ frac {1} {2} a \ cdot b $
c 2 = a 2 + b 2 ( теорема Пифагора )
n⋅c = a 2 Щелкните для доказательства Треугольник ABC похож на треугольник CBH, потому что у него один прямой угол, а угол B общий (два равных угла).
Следовательно, $ \ frac {c} {a} = \ frac {a} {n} $ или n⋅c = a 2
m⋅c = b 2 Щелкните для доказательства
Треугольники ABC похожи на треугольник ACH, потому что у них один прямой угол, а угол A общий (два равных угла).
Следовательно, $ \ frac {c} {b} = \ frac {b} {m} $ или m⋅c = b 2
h⋅c = a⋅b
a = c⋅sin (A) = c⋅cos (B)
b = c⋅sin (B) = c⋅cos (A)
Использование GSP
Использование GSPЗадание 4 Окружность треугольника К Мэнди Штайн
Задача 3.
ЦИРКУМЦЕНТР (C) треугольника равен точка на плоскости, равноудаленная от трех вершин треугольник. Поскольку точка, равноудаленная от двух точек, лежит на серединный перпендикуляр к отрезку, определяемому двумя точек, C находится на серединном перпендикуляре каждой стороны треугольник. Примечание: C может быть вне треугольника.
Постройте центр описанной окружности C и исследуйте его расположение для различных форм треугольников. Это центр описанной окружности (описанной окружности) треугольника.
Первый случай, который мы рассмотрим, это равносторонний треугольник.
Здесь мы замечаем, что центр описанной окружности находится внутри треугольник и описанный круг касаются всех трех вершин треугольника. Мы также замечаем, что все перпендикулярные биссектрисы проходят через вершины треугольника.
Далее мы рассмотрим острые треугольники. которые не равносторонние.
Глядя на эти фотографии, мы замечаем оба похожи на равносторонний треугольник. Центр окружности все еще внутри треугольника, и круг касается всех трех вершин треугольника.Однако мы замечаем, что срединный перпендикуляр не пересекают вершины треугольников.
Далее мы рассмотрим прямоугольные треугольники.
Глядя на эти фотографии, мы замечаем, что центр описанной окружности расположен на одной из сторон треугольника. Ни одна из серединных перпендикуляров не пересекает вершины.
Далее посмотрим на равнобедренный сустав справа треугольники.
Глядя на эти фотографии, мы замечаем, что C все еще находится на одной из сторон треугольника, а эта одна из сторон Серединный перпендикуляр пересекает вершину треугольника.
Далее мы рассмотрим тупые треугольники.
Глядя на эти изображения, мы замечаем, что C теперь находится за пределами треугольник. Ни одна из серединных перпендикуляров не пересекает вершины треугольника, но одна из серединных перпендикуляров близка до пересечения вершины на первом рисунке. Также появляется что по мере увеличения тупого угла описанная окружность становится больше.
Давайте рассмотрим еще несколько треугольников, чтобы исследовать эти вещи.
Во-первых, давайте посмотрим на пару тупых равнобедренных треугольников.
Смотрим на картинки тупых равнобедренных треугольников. Мы замечаем, что C находится вне треугольника и что один из перпендикуляров биссектриса пересекает вершину треугольника.
А теперь давайте посмотрим на еще несколько равнобедренных треугольников.
Эти графики подтверждают, что по мере увеличения тупого угла, круг тоже становится больше.
Объединяя всю эту информацию, можно выделить несколько вещи, которые мы узнали о центрах окружностей треугольников и окружностей треугольников.Описанная окружность всегда пересекает все вершины треугольника. Описанная окружность тупого треугольника становится больше по мере увеличения тупого угла. Окружность центра острого (включая равносторонний) треугольник находится внутри треугольника. Центр окружности прямоугольного треугольника находится на одной из сторон треугольника. В Центр описанной окружности тупого треугольника находится вне треугольника. В биссектрисы равностороннего треугольника пересекают все три вершины. Если прямоугольный треугольник равнобедренный, один из перпендикуляров биссектриса пересекает одну из вершин треугольника, в противном случае серединные перпендикуляры прямоугольного треугольника не пересекаются вершины.Если тупой треугольник равнобедренный, один из перпендикуляров биссектриса пересекает одну из вершин, иначе перпендикуляр биссектрисы тупого треугольника не пересекают вершины. Из двух последних наблюдений можно сделать вывод, что одно из биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются одна из вершин.
Возврат
🥇 ▷ Равносторонний треугольник: 【Свойства, периметр и площадь】
Равносторонний треугольник Что такое равносторонний треугольникРавносторонний треугольник — это треугольник с тремя сторонами равной длины.Следовательно, размеры его внутренних углов будут равны, и значение каждого из них будет составлять 60 °.
Равносторонний треугольникРавносторонний треугольник также определяется как правильный многоугольник с тремя сторонами и одновременно равносторонний (одинаковые углы).
По типам треугольников равносторонний треугольник относится к классу: «по сторонам» , а также равнобедренный треугольник и разносторонний треугольник.
Однако из всех типов треугольников равносторонний треугольник является наиболее известным и, возможно, наиболее изучаемым в школах из-за его свойств и применения.
Свойства равностороннего треугольникаМы рассмотрим основные свойства равностороннего треугольника , которые помогут нам решить эти типы задач.
Свойство 1:В равностороннем треугольнике заметные линии: медиана, биссектриса угла, высота и серединный перпендикуляр равны по отрезку и длине. См. Рисунок:
Свойство 2:Когда проводится какая-либо заметная линия: биссектриса угла, высота, медиана и перпендикулярная биссектриса в равностороннем треугольнике, они делят равносторонний треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора применима к любому из этих прямоугольных треугольников.
Свойство 3:В равностороннем треугольнике замечательные точки: Centroid, Incentre, Circuncentre и Orthocentre совпадают в одной и той же «точке», и выполняется, что расстояние от указанной точки до вершины в два раза превышает расстояние до вершины. база.
Давайте посмотрим:
Свойство 4:Если показанный рисунок выполнен:
— AB = BC; и
— m∠B = 60 °
Тогда при рисовании AC образующийся треугольник ABC представляет собой равносторонний треугольник .
Периметр равностороннего треугольникаПериметр треугольника определяется как сумма длин сторон.
Тогда вычислить периметр равностороннего треугольника будет легко, нам нужно только знать его сторону и сложить ее три раза, что будет той же стороной, умноженной на три, давайте посмотрим:
Из рисунка, длина стороны равностороннего треугольника равна «a»:
⇒ Периметр равностороннего треугольника = a + a + a
∴ Периметр равностороннего треугольника = 3a Площадь равностороннего треугольникаплощадь равностороннего треугольника (S) рассчитывается по следующему рисунку:
Мы знаем, что площадь треугольника равна ½ (основание x высота).В равностороннем треугольнике ABC стороны «a»:
⇒ S = ½.ah…. (1)
Поскольку «h» — это высота равностороннего треугольника, ее можно вычислить относительно стороны « a »и составляет:
h = a√3 / 2…. (2)
Заменяя (2) в (1), получаем:
∴ Площадь равностороннего треугольника = a²√3 / 4 Решение задачМы представляем серию задач равностороннего треугольника , решаемых шаг за шагом, где вы сможете оценить, как решаются эти типы задач треугольника.
Проблема 01На показанном рисунке высота BH составляет √3м. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника ABC.
Решение:Из данного графика мы сначала вычисляем значение «a» (сторона треугольника). У нас есть высота равностороннего треугольника, тогда применим формулу:
h = a√3 / 2; где: h = √3m
⇒ a = 2m
i) Расчет периметра: согласно теории периметр равен: 3.a
⇒ Периметр ΔABC = 3a = 3 (2 м)
∴ Периметр ΔABC = 6 м
(ii) Расчет площади: по формуле площади равностороннего треугольника:
A = a²√ 3/4
⇒ A = 2²√3 / 4
∴ Площадь ΔABC = √3m²
Как построить (нарисовать) равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой
Как построить (нарисовать) равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой — Открытый справочник по математикеНа этой странице показано, как построить равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой.Равносторонний треугольник — это треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Это начинается с заданного отрезок которая является длиной каждой стороны желаемого равностороннего треугольника.
Это работает, потому что ширина компаса не меняется между рисованием каждой стороны, гарантируя, что все они конгруэнтный (такой же длины). Это похоже на Конструкция под углом 60 градусов, потому что внутренние углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
Пошаговые инструкции для печати
Вышеупомянутая анимация доступна как распечатываемый лист с пошаговыми инструкциями, который можно использовать для изготовления раздаточных материалов или когда компьютер недоступен.
Проба
Изображение ниже — это окончательный рисунок выше.
| Аргумент | Причина | |
|---|---|---|
| 1 | PQ, PR и QR — все конгруэнтно AB, поэтому все они имеют одинаковую длину | Ширина компаса, установленная от AB для их рисования |
| 2 | Треугольник RPQ — равносторонний треугольник с заданной длиной стороны AB. | Все три стороны совпадают.См. Определение равностороннего треугольника. |
— Q.E.D
Попробуйте сами
Щелкните здесь, чтобы распечатать рабочий лист, содержащий две проблемы, которые можно попробовать. Когда вы перейдете на страницу, используйте команду печати браузера, чтобы распечатать столько, сколько хотите. Печатная продукция не защищена авторскими правами.Другие конструкции, страницы на сайте
Строки
Уголки
Треугольники
Правые треугольники
Центры треугольника
Окружности, дуги и эллипсы
Полигоны
Неевклидовы конструкции
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Формула площади равносторонних треугольников
Изображение предоставлено: Desmos
Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим, что такое равносторонний треугольник — треугольник с тремя равными длинами сторон и тремя равными внутренними углами по 60 ° каждый. А теперь давайте проясним одну вещь: площадь равностороннего треугольника составляет , а не периметр равностороннего треугольника. Это общая площадь поверхности треугольника.
Как вы знаете, существует много разных типов треугольников: прямоугольные, равнобедренные и равнобедренные. Опять же, в равностороннем треугольнике длины сторон равностороннего треугольника равны.
Чтобы определить площадь равностороннего треугольника, вы должны знать длину его сторон. Итак, прежде чем погрузиться в формулу площади равностороннего треугольника, давайте посмотрим, как найти длины сторон.
Как найти длины сторон равностороннего треугольника
Зная высоту треугольника, можно определить длины сторон.Определив длину стороны, вы можете определить площадь равностороннего треугольника.
Если вы разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных, вы увидите высоту равностороннего треугольника. Это делается путем разрезания равностороннего треугольника пополам от вершины вершины до середины одной стороны, чтобы сформировать биссектрису угла.
Изображение предоставлено: Desmos
Серединный перпендикуляр, прямая линия, образующая два угла 90 °, представляет высоту равностороннего треугольника, обозначенную высотой h .Создав эту биссектрису, мы разделили равносторонний элемент на два прямоугольных треугольника. Чтобы найти высоту, вы можете использовать теорему Пифагора:
Поскольку все стороны равностороннего треугольника одинаковы, сторона A = сторона C. А поскольку основание прямоугольного треугольника составляет половину длины стороны равностороннего треугольника, сторона A = сторона C / 2. Теперь давайте подставим высоту, основание и длину стороны C для гипотенузы, чтобы выделить значение h:
.Если вам известна только высота серединного перпендикуляра равностороннего треугольника, вы можете использовать эту формулу для определения длины каждой равной стороны:
Давайте применим эту формулу к треугольнику, в котором h = 9, чтобы найти длины сторон:
Теперь, когда мы знаем, как использовать высоту равностороннего треугольника для определения длины недостающей стороны, давайте узнаем, как найти площадь.
Формула площади равносторонних треугольников
Изображение предоставлено: Desmos
Рисунок выше представляет собой равносторонний треугольник. Для определения площади треугольника используется следующая формула:
Давайте воспользуемся этой формулой, чтобы определить площадь треугольника выше:
Освоение площади равносторонних треугольников
Равносторонние треугольники — это треугольники с тремя равными сторонами и углами, каждый из которых составляет 60 °.Когда вы создаете перпендикулярную биссектрису через вершину равносторонней стороны, вы формируете два прямоугольных треугольника. Вы можете использовать теорему Пифагора и высоту прямоугольных треугольников внутри равностороннего треугольника, чтобы определить недостающие длины сторон равностороннего треугольника.
Затем вы можете использовать формулу A = √3 / 4 (a²), чтобы определить площадь равностороннего треугольника. Знание того, как найти высоту и площадь треугольника с равными сторонами, значительно упрощает изучение других формул тригонометрии.