Формула прямоугольного параллелепипеда: Как найти Объем Параллелепипеда?

Как найти Объем Параллелепипеда?

Понятие объема

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения объема (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, вина в бочке, земли в клумбе.

Два свойства объёма У равных тел равные объёмы. Если два тела одинаковы, и имеют равное количество единиц измерения — их объёмы равны. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы. Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Давайте вспомним, какие виды параллелепипедов бывают.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань которой называется параллелограмм.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а его боковые грани — это параллелограммы.

Какие бывают призмы:

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямоугольным параллелепипедом

называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты: V = a * b * h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

a	длина параллелепипеда
b	ширина параллелепипеда
h	высота параллелепипеда
P (осн)	периметр основания
S (осн)	площадь основания
S (бок)	площадь боковой поверхности
S (п.п.)	площадь полной поверхности
V	объем

Пример 1. Чему равен объем параллелепипеда со сторонами 9 см, 6 см, 3 см.

a = 9 см

b = 6 см

h = 3 см

V = a * b * h

V = 9 * 6 * 3 = 162 см3.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 162 см3.

Следствие 1 Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h

Из этого следствия выведем формулу нахождения площади основания параллелепипеда.

S осн = V : h

Пример 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объем равен 82 см3, а высота 8 см.

V = 82 см3

h = 8 см

V = S осн * h

S осн = V : h

S осн = 82 см3: 8 см = 10,25 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда равна 10,25 см2.

Следствие 2 Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. V = S осн * h

Пример 3. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковое ребро равно 5. Найдем объем призмы.

V = S * h = 12* a * b * h

a = 6

b = 8

h = 5

V = 1/2 * 6 * 8 * 5 = 120 см3.

Ответ: объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 120 см3.

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания.

• S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

Пример 4. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

S п.п. = 2(6 * 4 + 6 * 3 + 4 * 3) = 2 * (24 + 18 + 12) = 2 * 54 = 108 см2.

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно. В интернете есть много онлайн-калькуляторов, которые помогут вам быстро вычислить объем:

Задачи на самопроверку

Пользоваться онлайн-калькуляторами можно, когда вы уже натренировались в решении задачек и с закрытыми глазами можете вычислить объем любого параллелепипеда. Давайте разберем еще несколько примеров.

Задачка 1. Найдите объём параллелепипеда со сторонами 18 см, 10 см, 7 см.

Как решаем:

a = 18 см

b = 10 см

h = 7 см

Формула нахождения объема параллелепипеда:

V = a * b * h

Подставляем наши числа:

V = 18 * 10 * 7 = 1260 см3.

Ответ: объём параллелепипеда = 1260 см3.

Задачка 2. Найдите площадь основания параллелепипеда, если его объём = 120 см3, а высота — 15 см.

Как решаем:

V = 120 см3

h = 15 см

V = S осн * h

S осн = V : h

S осн = 120 см3: 15 см = 8 см2.

Ответ: площадь основания параллелепипеда = 8 см2.

Задачка 3. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина основания = 30 сантиметров, ширина = 12 см, а высота = 5 см.

Как решаем:

S п.п. = 2 (ab + ac + bc)

S п.п. = 2(30 * 12 + 30 *5 + 12 * 5) = 2 * (360 + 150 + 60) = 2 * 570 = 1140 см2.

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда = 1140 см2.

Пусть все необходимые формулы будут под рукой в нужный момент. Сохраняйте табличку-шпаргалку на гаджет или распечатайте ее и храните в учебнике.

V параллелепипеда	V = a * b * h
	V = S осн * h
S боковой поверхности	S б.п. = 2(ac + bc)
S полной поверхности	S п.п. = 2 (ab + ac + bc)
Диагональ параллелепипеда	d2 = a2+ b2 + c2

Что такое Прямоугольный Параллелепипед? Примеры, Свойства, Диагональ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

• основание;
• грани;
• ребра;
• диагонали;
• диагонали граней;
• высота.

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

 

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

 

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.


2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.


3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.


4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

На рисунке: ребро АА1 перпендикулярно основанию ABCD. АА1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания

Свойства прямого параллелепипеда:

 

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.


2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.


3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.


4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.


5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

 

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.


2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.


3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.


4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.


5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.


6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.


7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.


8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Применяем формулу:

d² = a² + b² + c²

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

d₁² = a² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

 

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.


2. Противолежащие грани параллельны друг другу.


3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.


4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.


5. Диагонали куба равны.


6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.


7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

D₁B = √26
BB₁ = 3
A₁D₁ = 4

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

По теореме Пифагора:
BD₁² = DD₁² + BD²
BD² = BD₁² – DD₁²
BD² = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD² = AD² + AB²
AB² = BD² — AD² = (√17)2 — 4² = 1
A₁B₁ = AB.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD² = AB²+AD²
BD² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁² = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AC₁= 15
C₁D₁ = 3
B₁C₁= 12

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Урок 32. объём прямоугольного параллелепипеда. единицы объёма — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок №32

Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма

Перечень рассматриваемых вопросов:

— куб;

— параллелепипед;

— элементы параллелепипеда;

— объём прямоугольного параллелепипеда, куба.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.

Единичный куб — куб, ребро которого равно линейной единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.

Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.

Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.

Найдём соотношение между единицами измерения объёма.

Так как 1 см = 10 дм, то 1 см³ = 1 000 мм³.

1 дм³ = 1000 см³ = 1 л

1 м³ = 1000 дм³

1 км³ = 1000000000 м³

В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.

На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.

Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.

Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.

Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.

V = 24 куб. единиц

Введём формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.

V = а · b · c = S · с

Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.

V = а³

Решим задачу.

Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см³, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.

Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.

6 дм = 60 см

Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:

с = 60 см – 5 см = 55 см

Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.

Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.

Для этого используем следующую формулу:

V = S · с = 1400 см² · 55 см = 77000 см³

Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см³ воды.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?

Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.

V = а³ = (3 см)³ = 27 см³

Ответ: 27 см³.

№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.

Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.

Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = 3 · а · b · c

Ответ: объём увеличится в три раза.

Презентация — Формула объема прямоугольного параллепипеда

Слайды и текст этой презентации

Слайд №1
	Формула объема прямоугольного параллепипеда

Слайд №2
	Найди площадь прямоугольника, если известно, что а=18 см, а b=7. S=18·7=126 (см2) – площадь прямоугольника. Ответ: 126 см2 а b S S=a·b
Слайд №3
	Прямоугольный ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Чтобы узнать ОБЪЕМ прямоугольного параллелепипеда нужно длину а умножить на ширину b и полученное произведение умножить на высоту с. Вершина Ребро Грань
Слайд №4
	Где: V – объем фигуры a — длина b — ширина c — высота V=a · b · c а b с V=S · c Если известна площадь ОСНОВАНИЯ, то объем можно найти так:
Слайд №5
	1 дм3 = 1000 см3 1 дм3 = 1 л 1 см 3 1 см 1 см 1 см 10 см 10 см 10 см 1 дм 3
Слайд №6
	Существуют и другие единицы измерения объема: 1 см3 = 1000 мм3 1 м3 = 1000 дм3 1 мм 3 1 м 3 1 км 3 Переведите следующие единицы объема: 5 дм3 = … см3 8 м3 = … дм3 19 см3 = … мм3 24 дм3 = … см3
Слайд №7
	1. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 9 см, ширина – 5 см, а высота 6 см. V=9·5 ·6=270 (см3) – объем параллелепипеда. Ответ: 270 см3 2. Найди объем куба, если его длина равна 8дм. V=8·8 ·8=512 (дм3) – объем параллелепипеда. Ответ: 512 дм3
Слайд №8
	1. Площадь дна песочницы равна 400 см2, а ее высота 2 дм. Каков объем песочницы? V=400 ·2=800 (дм3) – объем песочницы. Ответ: 800 дм3 2. Известно, что объем параллелепипеда 154 м3, его ширина 2 м, а длина 11 м. Найдите высоту параллелепипеда. с=154:2:11=7 (м) – высота параллелепипеда. Ответ: 7 м

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

Объем, Площадь поверхности, формулы объема

Стандартное обозначение объема есть V.2 \cdot h$

Площадь боковой поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Площадь полной поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$

---

Тест: объём и площадь поверхности

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

      Введем следующие обозначения:

      Используя эти обозначения, составим таблицу с формулами для вычисления объемов, площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности различных видов призм.

Призма	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб		V = a3, Sбок = 4a2, Sполн = 6a2, где  a – длина ребра куба.
Прямоугольный параллелепипед		V = abc, Sбок = 2ac + 2bc, Sполн = 2ac + 2bc +2ab, где  a, b  – длины ребер основания параллелепипеда, c — высота параллелепипеда.
Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ		Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, Sбок = 2ah + 2bh, Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед		Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, V = Sперпс, Sбок = Pперпс, Sполн = 2ab sin φ + Pперпс, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, c – длина бокового ребра параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.
Прямая призма		V = Sоснh, Sбок = Pоснh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где h — высота прямой призмы.
Правильная n – угольная призма		(см. раздел «правильные многоугольники»), V = Sоснh, Sбок = Pоснh = anh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где a – длина ребра основания правильной призмы, h — высота правильной призмы.
Произвольная призма		V = Sоснh, V = Sперпl, Sбок = Pперпl, Sполн = 2Sосн + Sбок, где l – длина бокового ребра призмы, h — высота призмы.

Куб

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = a3, Sбок = 4a2, Sполн = 6a2, где  a  – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = abc, Sбок = 2ac + 2bc, Sполн = 2ac + 2bc +2ab, где  a, b  – длины ребер основания параллелепипеда, c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, Sбок = 2ah + 2bh, Sполн = = 2ab sin φ + 2ah + 2bh, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = ab sin φ, V = Sоснh = abh sin φ, V = Sперпс, Sбок = Pперпс, Sполн = = 2ab sin φ + Pперпс, где a, b – длины ребер основания параллелепипеда, φ – угол между ребрами основания параллелепипеда, c – длина бокового ребра параллелепипеда, h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = Sоснh, Sбок = Pоснh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где h — высота прямой призмы.

Правильная n – угольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: (см. раздел «правильные многоугольники»), V = Sоснh, Sбок = Pоснh = anh, Sполн = 2Sосн + Sбок, где a – длина ребра основания правильной призмы, h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: V = Sоснh, V = Sперпl, Sбок = Pперпl, Sполн = 2Sосн + Sбок, где l – длина бокового ребра призмы, h — высота призмы.

      Замечание 1. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

      Замечание 2. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле. Формулы для нахождения объема параллелепипеда

Всем доброго дня! Зовут меня Иван, и я папа школьника, который не слишком силен в математике. Недавно сыну задали задание – найти объем параллелепипеда и немного покорпев над ним и так и не сумев решить задачку, он обратился ко мне. Школьных знаний в моей памяти осталось немного, а потому пришлось браться за учебники, перечитывать их и потом объяснять изученный материал сыну. Наверняка мой опыт окажется полезным и для других родителей и потому я и написал эту статью, в которой подробно рассказана информация по решению задач на объем этой геометрической фигуры.

Немного теории

Прежде чем я расскажу, как собственно найти объем и площадь параллелепипеда, и по какой формуле, давайте вместе вспомним, что же это за такое. У этой геометрической фигуры имеется три равнозначных трактовки:

1. Параллелепипедом считается многогранник с 6-ью гранями, особенность которых заключается в том, что любая – это параллелограмм.
2. Под термин попадает и шестигранник с 3-мя парами граней, которые будут параллельны друг дружке.
3. Параллелепипедом называется и призма, в основе которой будет параллелограмм.

Чаще всего исчислить объем требуется у параллелепипедов нескольких разных видов. Для каждого случая есть своя формула и свое решение и ниже я подробно объясню, как решать типовые задачи по исчислению объемов разных видов этой геометрической фигуры.

Переходим к практике

Как решить задачу на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда? Особенностью этого типа фигуры является то, что каждая ее грань – это прямоугольник. Если хотите понять, как выглядит прямоугольный параллелепипед – посмотрите на самую обычную коробку из-под обуви.

Чтобы решить задачку, сначала ищем значения двух сторон основания фигуры. Стороны имеют перпендикулярное расположение друг к другу и находятся по формуле: П-АхБ, где А – это длина, а Б – это ширина. Далее выясняем еще один ключевой параметр, а именно находим высоту. И затем переходим к вычислению объема, в котором рабочей будет такая формула: V=ПхН, то есть для получения объема нужно площадь основания умножить на высоту. Как найти высоту – тут стоит заглянуть в учебник по геометрии и выписать формулу по нахождению ребра фигуры.

Чтобы найти объем прямого параллелепипеда прямого, разберемся с тем, как выглядит эта конкретная фигура. Ее боковые грани – прямоугольники, перпендикулярные основанию, а потому объем будет вычисляться идентично задаче выше, но только следует учесть, что высотой будет выступать не ребро фигуры, а отрезок, соединяющий грани противоположные друг другу и перпендикулярный основе. Основание здесь параллелограмм и потому формула будет чуть сложней: П=АхБхsin(а). А, Б – это длина и ширина основания, а «а» – это угол, который они будут образовывать, пересекаясь.

Объём параллелепипеда

Разберемся с объемом наклонного типа фигуры. Грани этого типа фигуры не перпендикулярны ее основанию, а потому расчеты следует начать с нахождения высоты. Высоту умножаем на площадь основания и получаем объем, то есть формула у нас выглядит следующим образом: V=ПхН.

Остается узнать, как исчислить объем фигуры, грани которой квадратные. Такую фигуру чаще называют кубом, но в тоже время она является параллелепипедом, каждая грань которого – квадрат. А потому все ее ребра будут равны между собой. Формула вычисления объема будет максимально простой: нужно измерить ребра и результат исчислений возвести в 3-ю степень.

Вот так находится объем такой интересной геометрической фигуры как параллелепипед. Надеюсь, написанная мною короткая шпаргалка станет хорошим подспорьем для школьников и родителей в решении задач по геометрии и ни одну контрольную ваш ученик не напишет на плохую отметку!

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Объем параллелепипеда

Величина объема дает нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда нужно умножить его площадь основания на высоту.

В повседневной жизни, чаще всего для измерения объема жидкости, как правило, используют такую измерительную единицу, как литр = 1дм3.

Кроме этой единицы измерения для определения объема применяют:

Параллелепипед относится к простейшим трехмерным фигурам и поэтому найти его объем не представляет никаких сложностей.

Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. Т.е. для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, достаточно умножить все его три измерения.

Чтобы найти объем куба, нужно взять его длину и возвести в третью степень.

Определение параллелепипеда

А теперь давайте вспомним, что же такое параллелепипед и чем он отличается от куба.

Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями данного параллелепипеда. Поэтому логично, что параллелепипед имеет шесть граней, которые состоят из параллелограммов. Все грани этого многоугольника, которые расположены друг против друга, имеют одинаковые размеры.

Все ребра параллелепипеда и есть сторонами граней. А вот точки соприкосновения граней являются вершинами данной фигуры.

Задание:

1. Посмотрите внимательно на рисунок и скажите, что она вам напоминает?
2. Подумайте и дайте ответ, где в повседневной жизни вы можете столкнуться с такой фигурой?
3. Сколько ребер имеет параллелепипед?

Разновидности параллелепипедов

Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:

Прямоугольный;
Наклонный;
Куб.

К прямоугольным параллелепипедам относятся те фигуры, у которых грани состоят из прямоугольников.

Если же боковые грани не являются перпендикулярными его основанию, то перед вами наклонный параллелепипед.

Такая фигура, как куб, также является параллелепипедом. Его все без исключения грани имеют форму квадратов.

Свойства параллелепипеда

Изучаемая фигура имеет ряд свойств, о которых мы сейчас с вами узнаем:

Во-первых, противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;

Во-вторых, он симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;

В-третьих, если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.

В-четвертых, квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.

Историческая справка

За период разных исторических эпох в разных странах использовали различные системы измерения массы, длины и других величин. Но так как это затрудняло торговые отношения между странами, а также тормозило развитие наук, то появилась необходимость иметь единую международную систему мер, которая была бы удобна для всех стран.

Метрическая система мер СИ, которая устраивала большинство стран, была разработана во Франции. Благодаря Менделееву метрическая система мер была внедрена и в России.

Но многие профессии по сей день используют свои специфические метрики, иногда это дань традициям, иногда вопрос удобства. Так, например, моряки все еще предпочитают измерять скорость в узлах, а расстояние в милях – для них это традиция. А вот ювелиры всего мира отдают предпочтение такой единице измерения, как карат – и в их случае это и традиция и удобство.

Вопросы:

1. А кто знает, сколько метров в одной миле? А что такое один узел?
2. Почему единица измерения алмазов называется «карат»? Почему ювелирам исторически удобно измерять массу в таких единицах?
3. А кто помнит, в каких единицах измеряется нефть?

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.

Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:

1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.

2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.

3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.

Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры — это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед: объем

Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его — это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).

Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).

П = А*Б, где А — длина, Б — ширина.

Теперь делаем еще одно измерение — высоты заданной фигуры, которую назовем Н.

Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:

Объем параллелепипеда прямого

Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани — прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.

Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь — не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.

Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:

П = А * Б * sin(а), где А, Б — длина и, соответственно, ширина основания, а «а» — угол, который они образуют при своем пересечении.

Как найти объем параллелепипеда наклонного?

Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.

В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:

V = П*Н, где П — площадь основания, Н — высота.

Объем параллелепипеда с квадратными гранями

Куб — это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры — все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.

Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:

V = А³.

Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?

Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами прямоугольного параллелепипеда.

Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.

И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.

Параллелепипед — формулы, свойства, определение, примеры

Параллелепипед — это трехмерная форма, образованная шестью параллелограммами. Слово «параллелепипед» происходит от греческого слова parallelepipdon , что означает «тело, имеющее параллельные тела». Можно сказать, что параллелепипед связан с параллелограммом так же, как куб связан с квадратом. У параллелепипеда 6 граней в форме параллелограмма, 8 вершин и 12 ребер. Давайте разберемся в свойствах и различных формулах, связанных с площадью поверхности и объемом параллелепипеда, в следующих разделах.

Что такое параллелепипед?

Параллелепипед — это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых имеет форму параллелограмма. У него 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб, кубоид и ромбовид — все это частные случаи параллелепипеда. Куб — это параллелепипед, все стороны которого имеют форму квадрата. Точно так же кубоид и ромбовидные параллелепипеды с прямоугольными и ромбовидными гранями соответственно. На приведенном ниже рисунке мы можем наблюдать параллелепипед с длинами сторон «a», «b» и «c», а с высотой параллелепипеда — «h».

Свойства параллелепипеда

Есть определенные свойства параллелепипеда, которые помогают нам отличить его от других трехмерных форм. Эти объекты недвижимости перечислены ниже:

• Параллелепипед — это трехмерное твердое тело.
• У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
• Все грани параллелепипеда имеют форму параллелограмма.
• У параллелепипеда на каждой грани по 2 диагонали, которые называются диагоналями граней.Всего у него 12 диагоналей граней.
• Диагонали, соединяющие вершины, не лежащие на одной грани, называются диагональю тела или пространства параллелепипеда.
• Параллелепипед — призма с основанием в форме параллелограмма.
• Каждая грань параллелепипеда является зеркальным отображением противоположной грани.

Площадь параллелепипеда

Площадь поверхности параллелепипеда определяется как общая площадь, покрытая всеми поверхностями параллелепипеда.Площадь поверхности параллелепипеда выражается в квадратных единицах, например, в ² , см ² , м ² , фут ² , ярд ² и т. Д. Площадь параллелепипеда может быть двух типов. :

• Площадь боковой поверхности
• Общая площадь

Площадь боковой поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности параллелепипеда определяется как площадь боковой или боковой поверхности параллелепипеда.Чтобы вычислить LSA параллелепипеда, нам нужно найти сумму площадей, покрытых 4 боковыми гранями.

Общая площадь параллелепипеда

Общая площадь поверхности параллелепипеда определяется как площадь всех граней параллелепипеда. Чтобы вычислить TSA параллелепипеда, нам нужно найти сумму площадей, покрытых 6 гранями.

Площадь поверхности параллелепипеда, формула

Формула для расчета площади боковой поверхности и общей площади поверхности параллелепипеда имеет вид,
LSA параллелепипеда = P × H

TSA параллелепипеда = LSA + 2 × B = (P × H) + (2 × B)

где,

• B = Базовая площадь
• H = высота параллелепипеда
• P = периметр основания

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда определяется как пространство, занимаемое фигурой в трехмерной плоскости.Объем параллелепипеда выражается в кубических единицах, например, в ³ , см ³ , м ³ , фут ³ , ярд ³ и т. Д.

Формула объема параллелепипеда

Объем параллелепипеда можно рассчитать, используя площадь основания и высоту. Формула для вычисления объема параллелепипеда имеет вид
. V = Ш × В
где,

• B = Базовая площадь
• H = высота параллелепипеда

Часто задаваемые вопросы о параллелепипеде

Что означает параллелепипед?

Параллелепипед представляет собой трехмерную фигуру с 6 гранями в форме параллелограмма, 12 ребрами и 8 вершинами.Параллелепипед часто называют призмой с основанием в форме параллелограмма. Куб, кубоид и ромбоид — все это частные случаи параллелепипеда с гранями в форме квадрата, прямоугольника и ромба соответственно.

Что такое объем параллелепипеда?

Объем параллелепипеда — это емкость, форма или общее пространство, занимаемое в трехмерной плоскости. Объем параллелепипеда в кубических единицах, как в ³ , см ³ , фут ³ , в ³ и т. Д.

Какова общая площадь параллелепипеда?

Общая площадь параллелепипеда — это площадь, покрытая всеми гранями параллелепипеда. Выражается в квадратных единицах, например: ² , м ² , см ² , фут ² и т. Д.

Какова площадь боковой поверхности параллелепипеда?

Площадь боковой поверхности параллелепипеда — это площадь или область, покрытая всеми боковыми или боковыми поверхностями параллелепипеда.Он выражается в квадратных единицах с использованием таких единиц, как квадратные дюймы, квадратные метры, квадратные футы и т. Д.

Что такое формулы параллелепипеда?

Формулы, связанные с параллелепипедом, представлены как,

• LSA параллелепипеда = P × H
• TSA параллелепипеда = (P × H) + (2 × B)
• Объем параллелепипеда = Ш × В

где B — площадь основания, H — высота параллелепипеда, а P — периметр основания.

Что такое прямоугольный параллелепипед?

Прямоугольный параллелепипед — это тип параллелепипеда, все шесть граней которого имеют прямоугольную форму, а длина параллельных ребер одинакова.

Какая форма у параллелепипеда?

Параллелепипед — это трехмерная фигура, все стороны которой имеют форму параллелограмма. Противоположные грани параллелепипеда — зеркальные отражения друг друга.

Формула прямоугольного параллелепипеда — определение, свойства и факты

Параллелепипед — греческое слово, обозначающее объект, имеющий параллельную плоскость.

По сути, он обрамлен шестью сторонами параллелограмма, чтобы создать трехмерную фигуру или призму, которая имеет основание параллелограмма. Мы можем охарактеризовать это как угодно, но только не как многогранник, в котором три набора параллельных граней объединены, образуя трехмерную фигуру с шестью гранями. Куб, кубоид и ромбовид — три его необычных случая. Прямоугольный параллелепипед имеет все шесть граней прямоугольной формы.

Итак, в основном, формула прямоугольного параллелепипеда имеет три следующие категории:

• Формула объема прямоугольного параллелепипеда и

• Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

На этой странице мы поймем эти две формулы подробно вместе с наглядными примерами.

Что такое прямоугольный параллелепипед?

Параллелепипед, все шесть граней которого имеют прямоугольную форму, становится прямоугольным параллелепипедом. Это трехмерная структура, в которой длины всех параллельных ребер равны друг другу.

Определение прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, также известный как шестигранник, каждая из которых является параллелограммом.

Шестигранник с тремя наборами параллельных граней и призма с основанием в виде параллелограмма.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

• Прямоугольный параллелепипед — это трехмерная сплошная фигура.

• Кроме того, любую из трех его сторон можно просматривать одновременно.

• Он состоит из трех наборов из четырех параллельных кромок, и кромки в каждом наборе имеют одинаковые размеры.

• Кроме того, диагональ каждой грани называется диагональю грани.

• При наблюдении со стороны каждое лицо кажется зеркальным отражением противоположного лица.

• Его форма указывает на призму с основанием параллелограмма.

• Ранее назывался шестигранным многогранником.

• Кроме того, три пары параллельных граней образуют шестигранник.

Теперь давайте разберемся с формулой прямоугольного параллелепипеда в деталях:

Формула прямоугольного параллелепипеда

Из приведенного выше текста мы понимаем, что прямоугольный параллелепипед — это прямоугольная форма в трехмерном пространстве.Формально он считался многогранником, все грани которого имеют прямоугольную форму.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Из приведенного выше прямоугольного параллелепипеда мы видим, что основание параллелепипеда имеет форму параллелограмма, поэтому формула площади основания прямоугольного параллелепипеда представляет собой площадь параллелограмма, которая равна :

Площадь основания прямоугольного параллелепипеда = длина x высота = axb

Кроме того, площадь основания является произведением периметра основания указанной выше формы на высоту шести параллелограммов, обращенных призмы, которая определяется как:

LSA = периметр основания прямоугольного параллелепипеда x высота (h)

Помимо площади боковой поверхности, общая площадь поверхности складывается из LSA и удвоенной площади основания.Математически мы можем записать это утверждение как:

TSA = LSA + 2 * Площадь основания

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

В точке, когда все шесть граней параллелепипеда имеют прямоугольную форму, это что угодно, только не прямоугольный параллелепипед. . Это что угодно, только не трехмерный коробчатый дизайн. Длина всех параллельных ребер здесь эквивалентна. Основание призмы здесь прямоугольной формы. Типичный пример, который вы можете найти в реальной жизни, — это коробка из-под обуви прямоугольной формы.

Ниже показан прямоугольный параллелепипед длиной l, шириной w и высотой h.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Мы знаем, что формула прямоугольного объема:

V = l * w * h

Мы замечаем, что приведенная выше формула также является формулой объема прямоугольного параллелепипеда.

Аналогично, мы можем записать формулу объема прямоугольного параллелепипеда следующим образом:

V = S * H ​​

Здесь

S — площадь нижней грани, а

H = высота прямоугольного параллелепипеда

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

Итак, мы понимаем, что с помощью трех измерений прямоугольной коробки мы можем найти объем прямоугольного параллелепипеда.{2}} \]

Теперь давайте посмотрим на пример прямоугольного параллелепипеда с решениями:

Калькулятор прямоугольного параллелепипеда

Предположим, что основание параллелепипеда имеет противоположные стороны размером 6 дюймов и 15 дюймов и высоту параллелепипеда 8 дюймов. Итак, сколько будет стоить покраска его стен снаружи по цене 1,3 индийской рупии за квадратный дюйм?

Решение:

Здесь

Периметр основания составляет 6 дюймов, а высота — 8 дюймов, тогда мы вычислим площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

LSA = Периметр основания × высота

LSA = 2 * (6 + 15) × 8

LSA = 336 кв.inch

Теперь стоимость покраски стен снаружи составит:

Площадь боковой поверхности (LSA) × стоимость квадратного дюйма

Стоимость покраски стен = 336 × 1,3 = Rs. 436.8 / —

Интересные факты о прямоугольном параллелепипеде

Для плоскости симметрии подшипников параллелепипеда возможны следующие два случая:

Имеет четыре прямоугольные грани

Имеет ромбические грани, говоря о гранях, две смежные грани равны, а другая два края — это пары, являющиеся зеркальным отображением друг друга.

Заключение

Итак, что такое прямоугольный параллелепипед? Хорошо! Говоря определенным термином, все шесть граней параллелепипеда являются параллелограммами. На этом рисунке все пары противоположных сторон равны.

Это означает, что каждый параллелепипед однозначно связан с тетраэдром и наоборот, потому что любая пара противоположных ребер тетраэдра определяет две параллельные плоскости, по одной через каждое из его ребер.

Формулы объема и поверхности

Объем выражает количество чего-то (например, воды), которое нам нужно заполнить в форме.Космические фигуры имеют только объем. Плоские фигуры (треугольники, квадраты) не имеют объема.
Стандартное обозначение для тома — V.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед имеет 6 прямоугольных граней.
Если стороны прямоугольника внизу — это и b, а высота параллелепипеда равна c (третье ребро прямоугольного параллелепипеда).
Формула объема:

$ V = а \ cdot b \ cdot c $

Площадь поверхности = $ 2 (a \ cdot b + a \ cdot c + b \ cdot c) $

Куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, грани и ребра которого равны.2 $

Параллелепипед

Параллелепипед образован 6 параллелограммами. Если площадь дна A и высота параллелепипед — h.
Формула объема:

$ V = A \ cdot h $

Пирамида

Пирамида — это фигура с многоугольным основанием (треугольник, квадрат, прямоугольник), соединенное с одной точкой, называемой вершиной.
Пусть высота (расстояние между вершиной и основанием) пирамиды будет h а площадь базы — А.2 \ cdot h $

Площадь боковой поверхности = $ \ pi \ cdot r \ cdot l $

Общая площадь правильного кругового конуса — это площадь боковой поверхности + площадь дна.

Общая площадь поверхности = $ \ pi \ cdot r (r + l) $

Сфера

Сфера — это поверхность полностью круглого шара. 2 $

Цилиндр

Круглый цилиндр — это фигура, имеющая два одинаковых и параллельных круглых основания.2 \ cdot h $

---

Площадь криволинейной поверхности цилиндра:

Площадь изогнутой (боковой) поверхности = $ 2 \ cdot \ pi \ cdot r \ cdot h $

---

Общая площадь поверхности = площадь изогнутой (боковой) поверхности + площадь двух круглых концов:

Общая площадь поверхности = $ 2 \ cdot \ pi \ cdot r (h + r) $

---

Тест: объем и площадь поверхности

исчислений — Прямоугольный параллелепипед наибольшего объема для данной площади поверхности S

Исчисление — Прямоугольный параллелепипед наибольшего объема для данной площади поверхности S — Обмен математическими стеками

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 года, 1 месяц назад

Просмотрено 7к раз

$ \ begingroup $

Я пытаюсь найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема для данной площади поверхности S, используя метод Лагранжа.

Я попытался решить самостоятельно, но при x = y = z = a я получаю не максимальную громкость, а минимальную громкость.

Я прикрепил процедуру, выполненную мной, на прилагаемом изображении. Пожалуйста, помогите мне здесь.

Создан 13 сен.

Ситаншу Ситаншу

12711 серебряный знак1212 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

Не пытайтесь выполнить тест второй производной в связи с методом Лагранжа.{3/2} $$ с равенством тогда и только тогда, когда параллелепипед является кубом с заданной площадью поверхности.

Создан 13 сен.

Кристиан БлаттерChristian Blatter

217k1313 золотых знаков161161 серебряный знак414414 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

, ваша процедура верна, если бы не небольшие дифференциальные ошибки в $ \ frac {dz} {dx} и \ frac {dz} {dy} $, которые, в свою очередь, привели к неправильным значениям.3} \\ \ end {matrix} $$ используя их, двойные дифференциальные значения функции V, которые вы получите, будут $$ V_ {xx} = — a \; \; \; \; V_ {yy} = — a \; \; \; V_ {xy} = — а / 2 $$ Я не стал писать для них выражения, так как они были довольно длинными

Создан 20 сен.

$ \ endgroup $ 0 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

производных — найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, вписанного в эллипсоид

производных — найти объем наибольшего прямоугольного параллелепипеда, вписанного в эллипсоид — Mathematics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 года, 2 месяца назад

Просмотрено 2k раз

$ \ begingroup $

эта проблема связана с частичным дифференцированием, и мне нужно найти наибольший объем с помощью дифференцирования. 2} = 1 $, найти объем вписанного в него наибольшего прямоугольного прямоугольного параллелепипеда.2}}
долларов, если я использую $ V = xyz $, я получил $ \ frac {abc} {3 \ sqrt3}

долларов

это изображение представляет собой уравнение? если кто-нибудь добрый, пожалуйста, объясните мне, используя это изображение, спасибо!

Создан 15 авг.

fiksxfiksx

1,9559 серебряных знаков1010 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Объем параллелепипеда действительно равен $ V = xyz $.2z}. $$ Примечание: после нахождения $ f_x $ корень был заменен на $ z $.

Создан 15 авг.

Фаррухота

30.2k22 золотых знака1515 серебряных знаков4949 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 13 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Расчет объема прямоугольника

Описание:

Онлайн-калькулятор позволяет рассчитать объем прямоугольника по его длине, ширине и высоте.

volume_rectangle онлайн

---

Описание:

Калькулятор может рассчитать в режиме онлайн объем прямоугольного параллелепипеда , другими словами, вычислить объем прямоугольного кубоида . Объем прямоугольного параллелепипеда определяется формулой `(L * l * h)`, где L — длина, ширина с одной стороны и h по высоте. Калькулятор объема поддерживает как числовые, так и буквальные выражения.

Калькулятор объема может рассчитать объем прямоугольного параллелепипеда по переменным числовые, возвращаются точные и приблизительные результаты.

Таким образом, вычисляя объем прямоугольного кубоида , длина которого равна 3, ширина равна 2, а высота равна 4, вычисляется по следующей формуле volume_rectangle (`3; 2; 4`).

Калькулятор объема может выполнять символьные или буквальные вычисления.Чтобы вычислить, например, объем прямоугольного параллелепипеда длиной x, шириной x + 1 и высотой `x / 2`, введите следующую формулу volume_rectangle (`x; 1 + x; x / 2`), после вычисления возвращается результат.

Онлайн-калькулятор позволяет рассчитать объем прямоугольника по его длине, ширине и высоте.

---

Синтаксис:

прямоугольник_объема (длина; ширина; высота)

---

Примеры:

volume_rectangle (`3; 2; 4`), возвращает 24 Рассчитать онлайн с помощью volume_rectangle (объем прямоугольного параллелепипеда)

Правильная формула параллелепипеда.Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы. Урок: прямоугольный параллелепипед

либо (эквивалент) многогранник с шестью гранями, которые являются параллелограммами. Шестиугольник.

параллелограммов, из которых параллелепипед составляет граждан этого параллелепипеда, стороны этих параллелограммов составляют ребер параллелепипеда , а вершины параллелограммов — вертеров параллелепипеда . У Par Allepipeda каждая грань параллелограмм .

Как правило, любые 2-е противоположные грани выделяют и называют их основаниями параллелепипеда , а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда . Ребра параллелепипеда, не относящиеся к основанию, имеют боковых ребер .

Две грани параллелепипеда, имеющие общую кромку, — это смежных , а те, которые не имеют общих ребер, — напротив .

Отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие 1-й грани, равен диагонали параллелепипеда .

Длина ребер прямоугольного параллелепипеда, которые не параллельны, составляют линейных размеров ( замеров ) Поллолеппеда. Прямоугольный параллелепипед 3 линейных размера.

Типы параллелепипедов.

Есть несколько типов параллелепипедов:

Прямой Это параллелепипед с ребром, перпендикулярным плоскости фундамента.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения имеют одинаковое значение, составляет куба .Каждая из граней куба равна квадратам .

Произвольный параллелепипед. Объем и соотношения в наклонном параллелепипеде в основном определяются векторной алгеброй. Количество параллелепипеда равно величине смешанного произведения трех векторов, которые определяются тремя сторонами параллелепипеда (которые исходят из одной вершины). Соотношение между длинами стороны параллелепипеда и углов между ними показывает утверждение, что определитель грамма данных трех векторов равен квадрату их смешанного произведения.

Свойства параллелепипеда.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Каждый сегмент с концами, который принадлежит поверхности параллелепипеда и проходит через его середину, диагонально, он делится на две равные части. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в 1-й точке и делят ее на две равные части.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и имеют одинаковые размеры.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это такой прямой параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что предметы вокруг нас имеют форму параллелепипеда. Их можно различить по цвету, иметь много дополнительных деталей, но если отбросить эти тонкости, можно сказать, что например шкаф, ящик и т. Д., имеют примерно такой же вид.

С концепцией прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Посмотри вокруг и скажи, где ты видишь прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь это как раз такая форма! Такой же формы есть кирпич, спичечный коробок, деревянный брус, и даже сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь прохладная комната — самая яркая интерпретация этой геометрической фигуры.

Задача: А какие примеры параллелепипедов можно назвать?

Давайте внимательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед.А что мы видим?

Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются краями прямоугольного параллелепипеда;

Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда — это стороны его граней, а вершины параллелепипеда — вершины граней.

Задача:

1. Как называется каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерять параллелограммы? 3.Дайте определение противоположным граням.

Виды параллелепипеда

Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но они также могут быть прямыми и наклонными, а прямо вобще и делятся на прямоугольные, непрямые и кубические.

Задача: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от Кубы?

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает рядом существенных свойств:

Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической формы равен сумме квадратов трех основных параметров: высоты, ширины и длины.

Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.

В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называется кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.

Задача

1. Ровны ли грани прямоугольного параллелепипеда? Если они есть, то покажите их на картинке. 2. Из каких геометрических фигур состоит грань прямоугольного параллелепипеда? 3.В каком месте есть равные грани друг относительно друга? 4. Назовите количество пар равных граней этой фигуры. 5. Найдите ребра в прямоугольном параллелепипеде, обозначив его длину, ширину и высоту. Сколько ты их посчитал?

Задание

Чтобы красиво оформить подарок маме на день рождения, Таня взяла коробку в виде прямоугольного параллелепипеда. Размер этой коробки 25см * 35см * 45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня разбудила ее красивой бумагой, стоимость которой составляет 3 гривны за 1 дм2.Сколько нужно потратить на упаковочную бумагу?

А вы знаете, что знаменитый иллюзионист Дэвид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Они не ели эти 44 дня, а только пили воду. По своему желанию Дэвид взял только письменные принадлежности, подушку, матрас и носовые платки.

Призма называется параллелепипедом , если ее основания являются параллелограммами. См. Рис.1 .

Номинальная стоимость всех участков:

Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Связанные грани параллелепипеда — Две грани, имеющие общий край.

Противоположные грани параллелепипеда — грани, не имеющие общих ребер Ребембера.

Противоположные вершины параллелепипеда — Две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда — Разрез, соединяющий противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания, то параллелепипед называется прямым .

Прямой параллелепипед, в основе которого лежат прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой представляют собой квадраты, называется куба .

Параллелепипед — Призма, служащая основанием параллелограмма.

Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости фундамента.

Прямоугольный параллелепипед — Прямоугольный параллелепипед, основанием которого являются прямоугольники.

Кубик — прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой — параллелограммы; Таким образом, у параллелепипеда шесть граней, и все они параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; Все они пересекаются в одной точке и делятся пополам. За основу может быть принято любое лицо; Объем равен работе Квадратное основание по высоте: V = SH.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого представляют собой прямоугольники, называют прямыми.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней — прямоугольники, называют прямоугольными. См. Рис.2 .

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (H): V = sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, существует формула V = ABC. где а, б, в — ребра.

Диагональ (D) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением D 2 = A 2 + B 2 + C 2 .

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольников.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней являются прямоугольниками.

Все заданные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех измерений (трех ребер, имеющих общую вершину).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называют кубом. Все ребра куба равны; Объем (V) куба выражается формулой V = A 3 , где a — реберный куб.

Параллелепипедом называется призма, основания которого — параллелограммы. В этом случае все ребра будут параллелограммами .
Каждый параллелепипед можно рассматривать как призму трех разных направлений, так как в качестве оснований вы можете взять каждые две противоположные грани (для проклятых 5 граней ABCD и A «B» C «D» или Ava «B» и CDC «D» », или ВВ« С »и АДА« Г »).
Рассматриваемый корпус имеет двенадцать ребер, четыре равных и параллельных между собой.
Теорема 3. .Диагональ параллелепипеда пересекается в одной точке, которая совпадает с серединой каждого из них.
Параллелепипед ABCDA «B» C «D» (Damn 5) имеет четыре диагонали AC «, BD», Ca «, DB». Мы должны доказать, что середина двух из них, таких как AC и BD, совпадает. Это следует из того, что фигура ABC «D», имеющая равные и параллельные стороны AV и C «D», является параллелограммом.
Определение 7. . Прямой параллелепипед называется параллелепипедом, который является одновременно двумя прямыми призмами, то есть параллелепипедом, боковые ребра которого перпендикулярны плоскости основания.
Определение 8. . Прямоугольный параллелепипед называется прямым параллелепипедом, основанием которого является прямоугольник. При этом все его грани будут прямоугольными.
Прямоугольный параллелепипед представляет собой прямую призму, грань которой мы взяли за основу, так как каждое его ребро перпендикулярно грани Робрама, выходящей из одной вершины, и, следовательно, будет перпендикулярно плоскостям граней, определяемых этими ребра. В отличие от этой линии, но не прямоугольной, параллелепипед можно рассматривать как прямую призму только с одной стороны.
Определение 9. . Длина трех ребер прямоугольного параллелепипеда, из которых никакие два не параллельны между собой (например, три ребра, выходящие из одной вершины), называется его размерами. Два | прямоугольные параллелепипеды, имеющие соответственно равные размеры, очевидно, равны друг другу.
Определение 10. . Куб называется прямоугольным параллелепипедом, все три измерения которого равны друг другу, поэтому все его грани — квадраты. Два кубика, ребра которых равны друг другу, равны.
Определение 11. . Наклонный параллелепипед, в котором все ребра равны друг другу и углы всех граней равны или смещены, называют ромбоэдром.
Все края ромба — равные ромбы. (Форма ромбоэдра имеет некоторые кристаллы, имеющие большое значение, например, кристаллы Исландского Плопе.) В RhoBeedre вы можете найти такую ​​вершину (и даже две противоположные вершины), что все примыкающие к ней углы равны каждой из них. Другие.
Теорема 4. . Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Квадрат по диагонали равен сумме квадратов трех измерений.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA «B» C «D» (Проклятье 6) диагонали AC «и BD» равны, поскольку четырехугольник ABC представляет собой прямоугольник (прямой AV, перпендикулярный плоскости WVC «с» в котором Солнце »
Кроме того, AC «2 = BD» 2 = AB2 + AD «2 На основании теоремы о квадрате гипотенузы.Но на основании той же теоремы AD «2 = AA» 2 + + a «d» 2; отсюда имеем:
AU «2 = AB 2 + AA» 2 + A «D» 2 = AB 2 + AA «2 + AD 2.

Параллелепипедом называют четырехугольную призму, в основании которой расположены параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его оснований. На рисунке высота показана отрезком. Есть два типа параллелепипедов: прямые и наклонные. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения призме, а затем переносит их на параллелепипед.Мы тоже сделаем.

Напомню, призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основанию, если перпендикулярности нет — призма называется наклонной. Эта терминология наследует параллелепипед. Прямой параллелепипед — не что иное, как разновидность прямой призмы, боковой край которой совпадает с высотой. Сохранены определения таких понятий, как ребро, ребро и терапия, которые являются общими для всего семейства многогранников. Появляется понятие противоположных лиц.Par Allepipeda имеет 3 пары противоположных граней, 8 вершин ребер TI 12.

Диагональ параллелепипеда (диагональ призмы) — это отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий ни на одной из его граней.

Диагональное сечение — поперечное сечение параллелепипеда, проходящее через его диагональ и диагональ его основания.

Свойства наклонного параллелепипеда :
1) все его грани — параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
3) Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать ученику, репетитор по математике должен отрезать от параллельной опоры половину диагонального поперечного сечения и разбить его отдельно на 3 пирамиды. Их основы должны лежать в разных объектах исходного параллелепипеда. Репетитор математики найдет применение этому свойству в аналитической геометрии.Он используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Формулы объема параллелепипеда :
1), где — площадь основания, H — высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковой грани.
Репетитор по математике : Как известно, формула общая для всех призм, и если репетитор это уже доказал, нет смысла повторять то же самое для параллелепипеда. Однако при работе со средним учеником (слабая формула не пригодится) учителю рекомендуется действовать с точностью до наоборот.Призма следует оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3), где -базирование одной из шести треугольных пирамид, состоящих из параллелепипеда.
4) если, то

Площадь боковой поверхности параллелепипеда складывается из площадей всех его граней:
Полная поверхность параллелепипеда — это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади базы:.

О работе репетитора с наклонным параллелепипедом :
Задания на наклонный параллелепипед репетитор по математике часто не выполняет.Вероятность их появления на экзамене довольно мала, а дидактика неприлично скудна. Более-менее приличная задача по объему наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с расположением точки H — основания ее высоты. В этом случае учебник по математике может посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести пирамид (которые обсуждаются в свойстве номер 3), попытаться найти его объем и умножить на 6.

Если боковой край параллелепипеда имеет равные углы со сторонами основания, то H лежит на биссектрисе угла A ABCD основания.А если, например, ABCD — ромб, то

Репетитор по математике :
1) Грани параллелепипеда равные поверхности со стороной 2 см и острым углом. Найдите объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковая кромка 5 см. Перпендикулярное ему поперечное сечение представляет собой четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями длиной 6 см и 8 см.