Функции свойства функции тест: Тест. Алгебра. Свойства функций

Глобальный график максимальных и минимальных значений: Для функции, изображенной выше, абсолютный максимум происходит дважды при [latex] y = 16 [/ latex], а абсолютный минимум — при [latex] (3, -10) [/ latex] .

График достигает абсолютного максимума в двух местах, [latex] x = -2 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex], потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в домене. функции. Абсолютный максимум — координата y , которая равна [латекс] 16 [/ латекс].

График достигает абсолютного минимума при [latex] x = 3 [/ latex], потому что это самая низкая точка в области графика функции. Абсолютный минимум — координата y , которая равна [латекс] -10 [/ латекс].

Кусочные функции

Кусочная функция определяется несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к отдельным интервалам ввода

Цели обучения

Практика построения графиков кусочных функций и определение их областей и диапазонов

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной записи, где тело функции представляет собой массив функций и связанных поддоменов.
• Абсолютное значение, [латекс] \ left | x \ right | [/ latex] — очень распространенная кусочная функция. Для действительного числа его значение равно [latex] -x [/ latex], когда [latex] x <0 [/ latex], и его значение равно [latex] x [/ latex], когда [latex] x \ geq0 [/ latex ].
• Кусочные функции могут иметь горизонтальные или вертикальные пробелы (или и то, и другое) в своих функциях. Горизонтальный зазор означает, что функция не определена для этих входов.
• Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не включена в интервал, т.е.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена.

Ключевые термины

• поддомен : домен, который является частью более крупного домена.
• абсолютное значение : для действительного числа — его числовое значение без учета знака; формально [latex] -1 [/ latex] умноженное на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
• кусочная функция : функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

В математике, кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей домена. Кусочные функции определяются с использованием общепринятой функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных интервалов. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы».

Графические кусочные функции

Пример 1: Рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения:

[латекс] \ displaystyle \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex] меньше нуля, используется первая функция [latex] (- x) [/ latex], которая отменяет знак входного значения, делая выходные значения положительными. Допустим [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f (x) = | x | [/ latex], некоторые примеры упорядоченных пар [latex] (x, | x |) [/ latex ]:

[латекс] \ displaystyle (-2,2) \\ (-1,1) \\ (-0,5,0,5) [/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex], больших или равных нулю, используется вторая функция [latex] (x) [/ latex], делая выходные значения равными входным значениям.Вот некоторые примеры упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2,2) \ (1,1) \ (0,5,0,5) [/ латекс]

После нахождения и построения некоторых упорядоченных пар для всех частей («частей») функции результатом является V-образная кривая функции абсолютного значения, представленной ниже.

Кусочная функция: абсолютное значение: Кусочная функция, [латекс] \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right. [/ latex], является графиком функция абсолютного значения.2 [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle f (-2) = 4 \\ f (-1) = 1 \\ f (0) = 0 \ f (1) = 1 [/ latex]

Эти точки удовлетворяют первой части функции и создают следующие упорядоченные пары:

[латекс] \ displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) [/ латекс]

Для средней части (части), [latex] f (x) = 3 [/ latex] (постоянная функция) для области [latex] 1

[латекс] \ Displaystyle (1.5,3) \\ (1.8, 3) \\ (2,3) [/ латекс]

Для последней части (кусок) [latex] f (x) = x [/ latex] для домена [latex] x> 2 [/ latex] несколько упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2.2, & if \ x \ leq 1 \\ 3, & if \ 1 2 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex] состоит из трех частей ( шт). В зависимости от стоимости домена каждый кусок отличается.

Обратите внимание на открытые и темные кружки на графике. Это связано с конкретными доменами для каждой части функции. Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не входит в интервал, т.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена (равно).

Область определения функции начинается с отрицательной бесконечности и продолжается через каждую часть без пропусков до положительной бесконечности. Поскольку в [latex] x = 1 [/ latex] есть закрытая И открытая точка, функция там кусочно непрерывна. Когда [latex] x = 2 [/ latex], функция также кусочно-непрерывная. Следовательно, область определения этой функции — это набор всех действительных чисел, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Диапазон начинается с самого низкого значения [latex] y [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex] и продолжается до положительной бесконечности.2 [/ latex] включает эти значения. Следовательно, диапазон кусочной функции также является набором всех действительных чисел, больших или равных [latex] 0 [/ latex], или всех неотрицательных значений: [latex] y \ geq 0 [/ latex].

Индивидуальные функции

Функция взаимно однозначного соответствия, также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее кодомена.

Цели обучения

Используйте свойства взаимно-однозначных функций, чтобы определить, является ли данная функция взаимно-однозначной

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Функция «один к одному» имеет уникальный выход для каждого уникального входа.2 [/ latex] для [latex] x \ geq 0 [/ latex].
• Чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной, выполните тест горизонтальной линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более чем в одной точке, функция не взаимно однозначна.
• Если каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена, то функция называется взаимно однозначной.

Ключевые термины

• инъективная функция : функция, которая сохраняет различимость: она никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент ее кодомена.

Свойства однозначной функции

Однозначная функция , также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее совместной области. Другими словами, каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена. Иногда инъективная функция от [latex] X [/ latex] до [latex] Y [/ latex] обозначается [latex] f: X \ mapsto Y [/ latex] с помощью стрелки с заостренным хвостом. {2} [/ latex] (без ограничений домена) взаимно однозначной?

Один из способов проверить, является ли функция взаимно однозначной, — это построить график функции и выполнить тест горизонтальной линии.2 [/ latex] не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией. Если горизонтальная линия может проходить через две или более точек на графике функции, то функция не взаимно однозначна.

Другой способ определить, является ли функция взаимно однозначной — составить таблицу значений и проверить, соответствует ли каждый элемент диапазона ровно одному элементу домена. Список упорядоченных пар для функции:

[латекс] \ Displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) \\ (2,4) [/ латекс]

Упорядоченные пары [latex] (- 2,4) [/ latex] и [latex] (2,4) [/ latex] не проходят определение один-к-одному, потому что элемент [latex] 4 [/ латекс] диапазона соответствует [латексу] -2 [/ латексу] и [латексу] 2 [/ латексу].Каждый уникальный вход должен иметь уникальный выход, поэтому функция не может быть взаимно однозначной. Также обратите внимание, что эти две упорядоченные пары образуют горизонтальную линию; что также означает, что функция не является взаимно однозначной, как было сказано ранее.

Пример 2: Функция [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex] один к одному?

Это функция абсолютного значения, которая представлена ​​на графике ниже. Обратите внимание, что он не проходит тест горизонтальной линии. Поскольку каждый уникальный вход не имеет уникального выхода, эта функция не может быть взаимно однозначной.

График абсолютных значений: График функции [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex], не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией.

Симметрия функций

Два объекта обладают симметрией, если один объект может быть получен из другого преобразованием.

Цели обучения

Определить, демонстрирует ли данное отношение некоторую форму симметрии

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Функция имеет симметрию, если ее можно каким-либо образом преобразовать без изменения функции.
• Функция может быть симметричной относительно точки, если ее можно повернуть на фиксированную величину вокруг этой точки, не изменяя ее.
• Функция может быть симметричной относительно линии, если ее можно отразить над этой линией, не изменяя ее.

Ключевые термины

• симметрия : математическое свойство, при котором объект может подвергаться преобразованию с сохранением своих свойств.

Симметрия

В математике объект, такой как форма или функция, обладает симметрией, если он может быть преобразован каким-либо образом, сохраняющим свойства математического объекта.В геометрии геометрическая форма или объект является симметричным, если его можно разделить на две или более идентичных части, которые расположены организованным образом. S означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не Не меняю общую форму.

Для функций функция демонстрирует симметрию, если каждая точка функции может быть изменена в соответствии с математическим правилом без изменения общей функции. Определение симметрии может включать построение графика функции или ее алгебраическое вычисление.

Симметричные типы функций

Функции и отношения могут быть симметричными относительно точки, линии или оси. Они также могут иметь симметрию после отражения.

Чтобы определить, имеет ли отношение симметрию, постройте график отношения или функции и посмотрите, является ли исходная кривая отражением самой себя над точкой, линией или осью. На изображении ниже показаны примеры отражения функции по оси [latex] x [/ latex] (вертикальное отражение) и по оси [latex] y [/ latex] (горизонтальное отражение).

Отражение : функция может быть отражена по оси [латекс] x [/ латекс] или [латекс] y [/ латекс]. Если функция выглядит так же после отражения, функция симметрична по этой оси.

На следующем графике ниже квадратичные функции обладают симметрией относительно линии, называемой осью симметрии. Ось делит U-образную кривую на две части кривой, которые отражаются над осью симметрии. 2 + 4x + 3 [/ latex] показывает ось симметрии относительно линии [latex] x = -2 [/ latex].Кривая разделена на две эквивалентные [латексные] 2 [/ латексные] половины. Обратите внимание, что точки пересечения [latex] x [/ latex] являются отраженными точками над осью симметрии и находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Определение симметрии

Пример: Симметрия функции ниже?

Симметрия относительно точки: График выше имеет симметрию, поскольку помеченные точки отражаются от начала координат.

Граф имеет симметрию относительно начала координат или точки [latex] (0,0) [/ latex].Указанные точки [латекс] (1,3) [/ латекс] и [латекс] (- 1, -3) [/ латекс] отражаются поперек начала координат.

Четные и нечетные функции

Функции, которые имеют аддитивную инверсию, могут быть классифицированы как нечетные или четные в зависимости от их свойств симметрии.

Цели обучения

Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них

Ключевые выводы

Ключевые моменты

• Четность функции не обязательно показывает, является ли функция нечетной или четной.
• Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений выполняется следующее соотношение: [latex] f (x) = f (-x) [/ latex].
• Четная функция симметрична относительно оси [latex] y [/ latex]: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот тоже есть на графике.
• Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых выполняется следующее соотношение для всех значений: [latex] -f (x) = f (-x) [/ latex].
• Нечетная функция симметрична относительно начала координат: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, -y) [/ latex] или наоборот наоборот, тоже есть на графике. Другими словами, поворот графика [latex] на 180 [/ latex] градусов вокруг исходной точки приводит к тому же неизменному графику.

Ключевые термины

• четность : Набор со свойством того, что все его элементы принадлежат одному из двух непересекающихся подмножеств, особенно набор целых чисел, разделенных на подмножества четных и нечетных элементов.
• добавка, обратная : Противоположное по отношению к сложению.

Четные и нечетные определения

Функции могут быть классифицированы как «нечетные» или «четные» в зависимости от их состава. Эти метки коррелируют со свойствами симметрии функции.

Термины «нечетный» и «четный» могут применяться только к ограниченному набору функций. Чтобы функция была классифицирована как одна или другая, она должна иметь аддитивную обратную функцию. Следовательно, он должен иметь номер, который при добавлении к нему равен [latex] 0 [/ latex].3 \ right | [/ latex] имеет показатель степени, который является нечетным целым числом, [latex] 3 [/ latex], но также является четной функцией. Как мы можем проверить, четная или нечетная функция? Давайте посмотрим на их характеристики.

Четные функции

Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ Displaystyle f (x) = f (-x) [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция четной, любое выбранное значение [latex] x [/ latex] должно давать такое же выходное значение при замене в функцию как [latex] -x [/ latex].4 + 2x [/ latex], изображенный выше, не является даже потому, что график не является симметричным относительно оси [latex] y [/ latex]. Например, точка [latex] (- 1, -1) [/ latex] не отражается на точке [latex] (1, -1) [/ latex].

Мы можем подтвердить это графически: функции, удовлетворяющие требованию четности, симметричны относительно оси [latex] y [/ latex]. Следовательно, для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот также находится на графике.

Нечетные функции

Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ displaystyle -f (x) = f (-x) [/ latex]

Это отношение также может быть выражено как:

[латекс] \ displaystyle f (x) + f (-x) = 0 [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция нечетной, отрицание функции (обязательно отрицание всех членов функции) должно давать тот же результат, что и замена значения [latex] -x [/ latex]. 3-9x [/ latex] нечетная, поскольку график симметричен относительно начала координат.Также можно проверить, что любая точка симметрична относительно начала координат: например, [latex] (- 1,8) [/ latex] дает [latex] (1, -8) [/ latex]? Да, эти две точки симметричны относительно начала координат.

Свойства функций и графиков

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

1.1: Обзор функций — математика LibreTexts

В этом разделе мы даем формальное определение функции и исследуем несколько способов представления функций, а именно, с помощью таблиц, формул и графиков.Мы изучаем формальные обозначения и термины, относящиеся к функциям. Мы также определяем композицию функций и свойства симметрии. Большая часть этого материала будет для вас обзором, но он служит удобным справочником, чтобы напомнить вам о некоторых алгебраических методах, полезных для работы с функциями.

Функции

Даны два набора \ (A \) и \ (B \), набор с элементами, которые являются упорядоченными парами \ ((x, y) \), где \ (x \) является элементом \ (A \) и \ ( y \) является элементом \ (B, \) и является отношением из \ (A \) к \ (B \).Отношение от \ (A \) к \ (B \) определяет отношение между этими двумя наборами. Функция — это особый тип отношения, в котором каждый элемент первого набора связан ровно с одним элементом второго набора. Элемент первого набора называется входом ; элемент второго набора называется выходом . В математике функции постоянно используются для описания отношений между двумя наборами. Для любой функции, когда мы знаем вход, определяется выход, поэтому мы говорим, что выход является функцией входа.Например, площадь квадрата определяется длиной его стороны, поэтому мы говорим, что площадь (выход) является функцией длины его стороны (вход). Скорость брошенного в воздух мяча можно описать как функцию количества времени, в течение которого мяч находится в воздухе. Стоимость пересылки посылки зависит от веса посылки. Поскольку функции имеют очень много применений, важно иметь точные определения и терминологию для их изучения.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Функцию можно визуализировать как устройство ввода / вывода

Определение: функции

Функция \ (f \) состоит из набора входов, набора выходов и правила назначения каждого входа ровно одному выходу.Набор входных данных называется областью функции. Набор выходов называется диапазоном функции .

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Функция отображает каждый элемент в домене ровно на один элемент в диапазоне. Хотя каждый вход может быть отправлен только на один выход, два разных входа могут быть отправлены на один и тот же выход.

Например, рассмотрим функцию \ (f \), где домен — это набор всех действительных чисел, а правило состоит в том, чтобы возвести входные данные в квадрат.2 = 9 \).

Поскольку каждое неотрицательное действительное число имеет действительный квадратный корень, каждое неотрицательное число является элементом диапазона этой функции. Поскольку нет действительного числа с отрицательным квадратом, отрицательные действительные числа не являются элементами диапазона. Мы заключаем, что диапазон — это набор неотрицательных действительных чисел.

Для общей функции \ (f \) с областью определения \ (D \) мы часто используем \ (x \) для обозначения ввода и \ (y \) для обозначения вывода, связанного с \ (x \). При этом мы называем \ (x \) независимой переменной , а \ (y — зависимой переменной , потому что она зависит от \ (x \).2 \).

Концепция функции может быть визуализирована с помощью рисунков \ (\ PageIndex {1} \) — \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В этом случае график функции f имеет область значений \ ({1,2,3} \) и диапазон \ ({1,2 } \). Независимая переменная — это \ (x \), а зависимая переменная — это \ (y \).

Мы также можем визуализировать функцию, нанося точки \ ((x, y) \) на координатную плоскость, где \ (y = f (x) \). График функции — это набор всех этих точек.Например, рассмотрим функцию \ (f \), где область определения — это множество \ (D = {1,2,3} \), а правило — \ (f (x) = 3 − x \). На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) мы построили график этой функции.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Здесь мы видим график функции \ (f \) с областью определения \ ({1,2,3} \) и правилом \ (f (x) = 3 − х \). Граф состоит из точек \ ((x, f (x)) \) для всех \ (x \) в области. 2 \), без указания конкретной области.2 \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \), области представляют собой множества с бесконечным числом элементов. Ясно, что мы не можем перечислить все эти элементы. При описании набора с бесконечным числом элементов часто бывает полезно использовать конструктор наборов или нотацию интервалов. При использовании нотации конструктора множеств для описания подмножества всех действительных чисел, обозначенного \ (R \), мы пишем

\ [\ {x | \ textit {x имеет какое-то свойство} \}. \]

Мы читаем это как набор действительных чисел \ (x \), таких что \ (x \) имеет какое-то свойство. Например, если бы нас интересовал набор действительных чисел, которые больше единицы, но меньше пяти, мы могли бы обозначить этот набор, используя нотацию конструктора множеств, написав

\ [\ {х | 1 <х <5 \}.\]

Такой набор, который содержит все действительные числа больше \ (a \) и меньше b, также может быть обозначен с использованием обозначения интервала \ ((a, b) \). Следовательно,

\ [(1,5) = \ {x | 1

Числа \ (1 \) и \ (5 \) называются конечными точками этого множества. Если мы хотим рассмотреть набор, включающий конечные точки, мы бы обозначили этот набор, написав

\ [[1,5] = \ {x | 1 \ leq x \ leq 5 \}. \]

Мы можем использовать аналогичную нотацию, если хотим включить одну из конечных точек, но не другую.Чтобы обозначить набор неотрицательных действительных чисел, мы будем использовать нотацию конструктора множеств

\ [\ {x | x \ geq 0 \}. \]

Наименьшее число в этом наборе — ноль, но у этого набора нет наибольшего числа. Используя обозначение интервалов, мы использовали бы символ \ (∞, \), который относится к положительной бесконечности, и мы бы записали набор как

\ [[0, ∞) = \ {x | x \ geq 0 \}. \]

Важно отметить, что \ (∞ \) не является действительным числом. Здесь он используется символически, чтобы указать, что этот набор включает все действительные числа, большие или равные нулю.Точно так же, если бы мы хотели описать набор всех неположительных чисел, мы могли бы написать

\ [(- ∞, 0] = \ {x | x≤0 \}. \]

Здесь обозначение \ (- ∞ \) относится к отрицательной бесконечности и означает, что мы включаем все числа, меньшие или равные нулю, независимо от того, насколько они малы. Набор

\ [(- ∞, ∞) = \ {\ textit {x} | \ textit {x — любое действительное число} \} \]

относится к набору всех действительных чисел.

Кусочные функции

Некоторые функции определяются с помощью разных уравнений для разных частей своей области.2 = у − 5. \)

Это уравнение выполняется до тех пор, пока существует действительное число x такое, что

\ (x − 4 = ± \ sqrt {y − 5} \)

Так как \ (y≥5 \), квадратный корень определен правильно. Мы заключаем, что для \ (x = 4 ± \ sqrt {y − 5} \), \ (f (x) = y \), и, следовательно, диапазон равен {\ (y | y≥5 \)}.

2. Рассмотрим \ (f (x) = \ sqrt {3x + 2} −1 \).

1. Чтобы найти область определения f, нам понадобится выражение \ (3x + 2≥0 \). Решая это неравенство, мы заключаем, что область равна {\ (x | x≥ − 2/3 \)}.

2.Чтобы найти диапазон f, заметим, что, поскольку \ (\ sqrt {3x + 2} ≥0 \), \ (f (x) = \ sqrt {3x + 2} −1≥ − 1 \). Следовательно, диапазон f должен быть подмножеством множества {\ (y | y≥ − 1 \)}. Чтобы показать, что каждый элемент в этом наборе находится в диапазоне \ (f \), нам нужно показать, что для всех \ (y \) в этом наборе существует действительное число x в области такое, что \ (f ( х) = у \). Пусть \ (y≥ − 1 \). Тогда \ (f (x) = y \) тогда и только тогда, когда

\ (\ sqrt {3x + 2} −1 = y. \)

Решая это уравнение относительно x, мы видим, что x должен решить уравнение

\ (\ sqrt {3x + 2} = y + 1.2- \ frac {2} {3} ≥− \ frac {2} {3}, \)

действительно существует x в области \ (f \). Мы заключаем, что диапазон значений \ (f \) равен {\ (y | y≥ − 1 \)}.

3. Рассмотрим \ (f (x) = 3 / (x − 2). \)

1. Поскольку \ (3 / (x − 2) \) определено, когда знаменатель отличен от нуля, область определения равна {\ (x | x ≠ 2 \)}.

2. Чтобы найти диапазон \ (f \), нам нужно найти такие значения \ (y \), что существует действительное число \ (x \) в области со свойством

\ (\ frac {3} {x} −2 = y. \)

Решая это уравнение относительно x, находим, что

\ (х = \ гидроразрыва {3} {у} +2.\)

Следовательно, пока \ (y ≠ 0 \), в области существует действительное число \ (x \) такое, что \ (f (x) = y \). Таким образом, диапазон равен {\ (y | y ≠ 0 \)}.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите домен и диапазон для \ (f (x) = \ sqrt {4−2x} +5. \)

Подсказка

Используйте \ (4−2x≥0 \).

Ответ

Домен = {\ (x∣x≤2 \)} и диапазон = {\ (y∣y≥5 \)}

Представляющие функции

Обычно функция представляется с помощью одного или нескольких из следующих инструментов:

• Стол
• График
• Формула

Мы можем идентифицировать функцию в каждой форме, но мы также можем использовать их вместе.Например, мы можем нанести на график значения из таблицы или создать таблицу из формулы.

Столы

Функции, описанные с помощью таблицы значений , часто возникают в реальных приложениях. Рассмотрим следующий простой пример. Мы можем описать температуру в определенный день как функцию времени суток. Предположим, мы записываем температуру каждый час в течение 24-часового периода, начиная с полуночи. Мы позволяем нашей входной переменной \ (x \) быть временем после полуночи, измеряемым в часах, а выходной переменной \ (y \) быть температурой \ (x \) часов после полуночи, измеренной в градусах Фаренгейта.Мы записываем наши данные в Таблицу \ (\ PageIndex {1} \).

Из таблицы видно, что температура является функцией времени, и температура уменьшается, затем увеличивается, а затем снова уменьшается.Однако мы не можем получить четкое представление о поведении функции, не построив график.

Графики

Для функции \ (f \), описываемой таблицей, мы можем предоставить визуальное изображение функции в виде графика. График температур, перечисленных в таблице \ (\ PageIndex {1} \), может дать нам лучшее представление об их колебаниях в течение дня. На рисунке показан график температурной функции.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): График данных из таблицы показывает температуру как функцию времени.

По точкам, нанесенным на график на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), мы можем визуализировать общую форму графика. Часто бывает полезно соединить точки на графике, которые представляют данные из таблицы. В этом примере, хотя мы не можем сделать какой-либо окончательный вывод относительно того, какой была температура в любое время, для которого температура не была записана, учитывая количество собранных точек данных и характер в этих точках, разумно предположить, что температуры в в других случаях использовался аналогичный образец, как мы можем видеть на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).{rt} \). Алгебраические формулы — важные инструменты для вычисления значений функций. Часто мы также представляем эти функции визуально в виде графиков.

Дана алгебраическая формула для функции \ (f \), график \ (f \) — это множество точек \ ((x, f (x)) \), где \ (x \) находится в области из \ (f \) и \ (f (x) \) находится в диапазоне. Чтобы построить график функции, заданной формулой, полезно начать с использования формулы для создания таблицы входов и выходов. Если область \ (f \) состоит из бесконечного числа значений, мы не можем перечислить все из них, но поскольку перечисление некоторых входов и выходов может быть очень полезным, часто это хороший способ начать.2−4 \) равны \ (x = ± 2 \). Нули определяют, где график \ (f \) пересекает ось \ (x \), что дает нам больше информации о форме графика функции. График функции может никогда не пересекать ось \ (x \) или пересекаться несколько (или даже бесконечно много) раз.

Еще один интересный момент — перехват \ (y \), если он существует. Перехватчик \ (y \) задается как \ ((0, f (0)) \).

Поскольку функция имеет ровно один выход для каждого входа, график функции может иметь не более одного \ (y \) — точки пересечения.Если \ (x \) = 0 находится в области определения функции \ (f \), то \ (f \) имеет ровно один \ (y \) — точку пересечения. Если \ (x = 0 \) не находится в области \ (f, \), то \ (f \) не имеет \ (y \) — точки пересечения. Аналогично, для любого действительного числа \ (c \), если \ (c \) находится в области \ (f \), существует ровно один выход \ (f (c) \), и строка \ (x = c \) пересекает график \ (f \) ровно один раз. С другой стороны, если \ (c \) не находится в области \ (f \), \ (f (c) \) не определено и прямая \ (x = c \) не пересекает график \ (е \). Это свойство отражено в тесте вертикальной линии.

Тест вертикальной линии

Для функции \ (f \) каждая вертикальная линия, которую можно провести, пересекает график функции \ (f \) не более одного раза. Если какая-либо вертикальная линия пересекает набор точек более одного раза, набор точек не представляет функцию.

Мы можем использовать этот тест, чтобы определить, представляет ли набор нанесенных точек график функции (рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): (a) Набор нанесенных точек представляет график функции, поскольку каждая вертикальная линия пересекает набор точек не более одного раза.(b) Набор нанесенных точек не представляет график функции, потому что некоторые вертикальные линии пересекают набор точек более одного раза.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск нулей и \ (y \) — перехват функции

Рассмотрим функцию \ (f (x) = — 4x + 2. \)

1. Найдите все нули \ (f \).
2. Найдите \ (y \) — точку пересечения (если есть).
3. Нарисуйте график \ (f \).

Раствор

1.Чтобы найти нули, решите \ (f (x) = — 4x + 2 = 0 \). Мы обнаруживаем, что f имеет один нуль в точке \ (x = 1/2 \).

2. Пересечение оси y определяется выражением \ ((0, f (0)) = (0,2). \)

3. Учитывая, что f — линейная функция вида \ (f (x) = mx + b \), проходящая через точки \ ((1 / 2,0) \) и \ ((0,2) \ ), мы можем набросать график \ (f \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Функция \ (f (x) = — 4x + 2 \) представляет собой строку с \ (x \) — перехватом \ ((1 / 2,0) \) и \ (y \) — перехватить \ ((0,2) \).

Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование нулей и точек пересечения по оси Y для построения эскиза графика

Рассмотрим функцию \ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +1 \).

1. Найдите все нули \ (f \).
2. Найдите \ (y \) — точку пересечения (если есть).
3. Нарисуйте график \ (f \).

Раствор

1. Чтобы найти нули, решите \ (\ sqrt {x + 3} + 1 = 0 \). Из этого уравнения следует \ (\ sqrt {x + 3} = — 1 \). Поскольку \ (\ sqrt {x + 3} ≥0 \) для всех \ (x \), это уравнение не имеет решений, а значит, f не имеет нулей.

2. Перехватчик \ (y \) задается как \ ((0, f (0)) = (0, \ sqrt {3} +1) \).

3. Чтобы построить график этой функции, мы составим таблицу значений. Поскольку нам нужно \ (x + 3≥0 \), нам нужно выбрать значения \ (x≥ − 3 \). Мы выбираем значения, которые упрощают вычисление функции извлечения квадратного корня.

Воспользовавшись таблицей и зная, что, поскольку функция является квадратным корнем, график \ (f \) должен быть похож на график \ (y = \ sqrt {x} \), мы делаем набросок график (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)).2 + 100 \), где s измеряется в футах, а t — в секундах. Область ограничена интервалом \ ([0, c] \), где \ (t = 0 \) — время, когда мяч падает, а \ (t = c \) — время, когда мяч падает на землю. .

1. Создайте таблицу, показывающую высоту s (t), когда \ (t = 0,0,5,1,1,5,2 \) и \ (2,5 \). Используя данные из таблицы, определите домен для этой функции. То есть найдите время c, когда мяч упадет на землю.
2. Нарисуйте график \ (s \).

Раствор

Так как мяч ударяется о землю, когда \ (t = 2,5 \), область определения этой функции — интервал \ ([0,2,5] \).

2.

Обратите внимание, что для этой функции и функции \ (f (x) = — 4x + 2 \), изображенной на Рисунке \ (\ PageIndex {8} \), значения \ (f (x) \) становятся меньше по мере того, как \ (x \) становится больше. Функция с этим свойством называется убывающей. С другой стороны, для функции \ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +1 \), изображенной на рисунке \ (\ PageIndex {9} \), значения \ (f (x) \) становятся больше по мере увеличения значений \ (x \). Функция с этим свойством называется возрастающей. Однако важно отметить, что функция может увеличиваться на некотором интервале или интервалах и уменьшаться на другом интервале или интервалах.Например, используя нашу температурную функцию, построенную выше, мы можем видеть, что функция убывает на интервале \ ((0,4) \), увеличивается на интервале \ ((4,14) \), а затем убывает на интервале интервал \ ((14,23) \). Мы уточним идею увеличения или уменьшения функции на определенном интервале в следующем определении.

Определение: увеличение и уменьшение в интервале

Мы говорим, что функция \ (f \) — это , возрастающая на интервале I , если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1}) ≤f (x_ {2}) \), когда \ (x_ {1}

Мы говорим, что \ (f \) строго возрастает на интервале \ (I \), если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1})

Мы говорим, что функция \ (f \) на убывает на интервале I , если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1}) ≥f (x_ {2}) \), если \ (x_ {1}

Мы говорим, что функция \ (f \) строго убывает на интервале \ (I \), если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I \),

\ (f (x_ {1})> f (x_ {2}) \), если \ (x_ {1}

Комбинирование функций

Теперь, когда мы рассмотрели основные характеристики функций, мы можем увидеть, что происходит с этими свойствами, когда мы комбинируем функции разными способами, используя базовые математические операции для создания новых функций. Например, если затраты компании на производство \ (x \) товаров описываются функцией \ (C (x) \), а доход, полученный от продажи \ (x \) товаров, описывается функцией \ (R (x) \), тогда прибыль от производства и продажи x единиц определяется как \ (P (x) = R (x) −C (x) \).2 + 1. \]

Обратите внимание, что эти две новые функции отличаются друг от друга.

Комбинирование функций с математическими операторами

Чтобы комбинировать функции с помощью математических операторов, мы просто пишем функции с помощью оператора и упрощаем. Имея две функции \ (f \) и \ (g \), мы можем определить четыре новые функции:

Пример \ (\ PageIndex {6} \): объединение функций с использованием математических операций

Даны функции \ (f (x) = 2x − 3 \) и \ (g (x) = x ^ 2−1 \), найдите каждую из следующих функций и укажите ее область определения.2 + 3} {2x − 5} \). Домен {\ (x | x ≠ \ frac {5} {2} \)}.

Функциональная композиция

Когда мы составляем функции, мы берем функцию функции. Например, предположим, что температура \ (T \) в данный день описана как функция времени \ (t \) (измеряется в часах после полуночи), как в таблице. Предположим, что стоимость \ (C \) для обогрева или охлаждения здания в течение 1 часа может быть описана как функция температуры \ (T \). Комбинируя эти две функции, мы можем описать стоимость отопления или охлаждения здания как функцию времени, оценив \ (C (T (t)) \).Мы определили новую функцию, обозначенную \ (C∘T \), которая определена так, что \ ((C∘T) (t) = C (T (t)) \) для всех \ (t \) в область \ (T \). Эта новая функция называется составной функцией. Отметим, что, поскольку стоимость является функцией температуры, а температура — функцией времени, имеет смысл определить эту новую функцию \ ((C∘T) (t) \). Нет смысла рассматривать \ ((T∘C) (t) \), потому что температура не является функцией стоимости.

Определение: составные функции

Рассмотрим функцию \ (f \) с областью определения \ (A \) и диапазоном \ (B \), а также функцию \ (g \) с областью определения \ (D \) и диапазоном \ (E \).Если \ (B \) является подмножеством \ (D \), то составная функция \ ((g∘f) (x) \) — это функция с областью определения \ (A \), такая что

\ [(g∘f) (x) = g (f (x)) \]

Составную функцию \ (g∘f \) можно просмотреть в два этапа. Во-первых, функция \ (f \) отображает каждый вход \ (x \) в области f на свой выход \ (f (x) \) в диапазоне \ (f \). Во-вторых, поскольку диапазон \ (f \) является подмножеством области определения \ (g \), выход \ (f (x) \) является элементом в области \ (g \), и, следовательно, он отображается на выход \ (g (f (x)) \) в диапазоне \ (g \).2 + 1 = 5 \)

В примере мы видим, что \ ((f∘g) (x) ≠ (g∘f) (x) \). В общих чертах это говорит нам о том, что порядок, в котором мы составляем функции, имеет значение.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Пусть \ (f (x) = 2−5x \). Пусть \ (g (x) = \ sqrt {x} \). Найдите \ ((f∘g) (x) \).

Раствор

\ ((f∘g) (x) = 2−5 \ sqrt {x} \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \): Состав функций, определенных таблицами

Рассмотрим функции \ (f \) и \ (g \), описываемые формулой

1. Вычислить \ ((g∘f) (3) \), \ ((g∘f) (0) \).
2. Укажите домен и диапазон \ ((g∘f) (x) \).
3. Вычислить \ ((f∘f) (3) \), \ ((f∘f) (1) \).
4. Укажите домен и диапазон \ ((f∘f) (x) \).

Решение :

1. \ ((g∘f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0 \)

\ ((g∘f) (0) = g (4) = 5 \)

2. Область определения \ (g∘f \) — это множество {\ (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 \)}. Поскольку диапазон \ (f \) — это множество {\ (- 2,0,2,4 \)}, диапазон \ (g∘f \) — это множество {\ (0,3,5 \) }.

3. \ ((f∘f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4 \)

\ ((f∘f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4 \)

4.Область определения \ (f∘f \) — это множество {\ (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 \)}. Поскольку диапазон \ (f \) — это множество {\ (- 2,0,2,4 \)}, диапазон \ (f∘f \) — это множество {\ (0,4 \)}.

Пример \ (\ PageIndex {9} \): приложение, использующее составную функцию

Магазин рекламирует скидку 20% на все товары. У Кэролайн есть купон, который дает ей право на дополнительную скидку 15% на любой товар, в том числе на распродажные товары. Если Кэролайн решит приобрести предмет по первоначальной цене \ (x \) долларов, сколько она в конечном итоге заплатит, если применит свой купон к продажной цене? Решите эту проблему, используя составную функцию.

Раствор

Поскольку цена продажи составляет 20% от первоначальной цены, если товар стоит \ (x \) долларов, его продажная цена определяется как \ (f (x) = 0.80x \). Поскольку купон дает человеку право на скидку 15% от цены любого предмета, если предмет стоит \ (y \) долларов, цена после применения купона будет равна g (y) = 0,85y. Следовательно, если цена изначально равна \ (x \) долларов, его продажная цена будет \ (f (x) = 0.80x \), а затем его окончательная цена после купона будет \ (g (f (x)) = 0,85 (0.80х) = 0,68х \).

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Если товары продаются со скидкой 10% от их первоначальной цены, и у покупателя есть купон на дополнительную скидку 30%, какова будет окончательная цена для товара, который изначально составляет x долларов, после применения купона к цене продажи ?

Подсказка

Цена продажи предмета с первоначальной ценой \ (x \) долларов равна \ (f (x) = 0.90x \). Цена купона на предмет, который стоит \ (y \) долларов, равна \ (g (y) = 0.3−4x \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Если мы возьмем график и повернем его на \ (180 ° \) вокруг начала координат, новый граф будет выглядеть точно так же. В этом случае мы говорим, что функция имеет симметрию относительно начала координат .

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): (a) График, симметричный относительно оси \ (y \). (б) Граф, симметричный относительно начала координат.

Если нам дан график функции, легко увидеть, обладает ли график одним из этих свойств симметрии.3 = −f (x). \)

Определение: четные и нечетные функции

• Если \ (f (x) = f (−x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является функцией с четностью . Четная функция симметрична относительно оси \ (y \).
• Если \ (f (−x) = — f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является нечетной функцией . Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

Алгебраическая симметрия: функция четная, нечетная или нет?

Вычислите \ (f (−x) \) и сравните его с \ (f (x) \) и \ (- f (x) \).

• Если \ (f (x) = f (−x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является функцией с четностью .
• Если \ (f (−x) = — f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является нечетной функцией .
• Если \ (f (−x) \) не то же самое, что \ (f (x) \) и не то же самое, что \ (- f (x) \), то \ (f) не является ни четным, ни нечетным.

Пример \ (\ PageIndex {10} \): четные и нечетные функции

Определите, является ли каждая из следующих функций четной, нечетной или ни одной из них.3−5x является четным, нечетным или ни одним из них.

Подсказка

Сравните \ (f (−x) \) с \ (f (x) \) и \ (- f (x) \).

Ответ

f (x) нечетно.

Одна из часто возникающих симметричных функций — это функция абсолютного значения , записанная как \ (| x | \). Функция абсолютного значения определяется как

\ [f (x) = \ begin {cases} -x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {cases} \]

Некоторые студенты описывают эту функцию, говоря, что она «делает все положительным.”По определению функции абсолютного значения мы видим, что если \ (x <0 \), то \ (| x | = −x> 0 \), а если \ (x> 0 \), то \ (| х | = х> 0 \). Однако для \ (x = 0 \) \ (| x | = 0 \). Поэтому точнее сказать, что для всех ненулевых входов выход положительный, но если \ (x = 0 \), выход \ (| x | = 0 \). Мы заключаем, что диапазон функции абсолютного значения равен {\ (y | y≥0 \)}. На рисунке \ (\ PageIndex {13} \) мы видим, что функция абсолютного значения симметрична относительно оси \ (y \) и, следовательно, является четной функцией.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График \ (f (x) = | x | \) симметричен относительно оси \ (y \).

Пример \ (\ PageIndex {11} \): Работа с функцией абсолютного значения

Найдите область определения и диапазон функции \ (f (x) = 2 | x − 3 | +4 \).

Раствор

Поскольку функция абсолютного значения определена для всех действительных чисел, область определения этой функции равна \ ((- ∞, ∞) \). Поскольку \ (| x − 3 | ≥0 \) для всех \ (x \), функция \ (f (x) = 2 | x − 3 | + 4≥4 \).Следовательно, диапазон — это самое большее множество {\ (y | y≥4 \)}. Чтобы увидеть, что диапазон фактически является всем этим множеством, нам нужно показать, что для \ (y≥4 \) существует действительное число \ (x \) такое, что

\ (2 | х − 3 | + 4 = у \)

Действительное число \ (x \) удовлетворяет этому уравнению до тех пор, пока

\ (| x − 3 | = \ frac {1} {2} (y − 4) \)

Так как \ (y≥4 \), мы знаем \ (y − 4≥0 \), и, следовательно, правая часть уравнения неотрицательна, поэтому возможно, что существует решение. Кроме того,

\ (| x − 3 | = \ begin {cases} — (x − 3) & \ text {if} x <3 \\ x − 3 & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \).

Следовательно, мы видим, что есть два решения:

\ (x = ± \ frac {1} {2} (y − 4) +3 \).

Диапазон этой функции равен \ ({y | y≥4} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \): домен и диапазон

Для функции \ (f (x) = | x + 2 | −4 \) найдите область определения и диапазон.

Подсказка

\ (| x + 2 | ≥0 \) для всех действительных чисел \ (x \).

Ответ

Домен = \ ((- ∞, ∞) \), диапазон = {\ (y | y≥ − 4 \)}.

Ключевые концепции

• Функция — это отображение набора входов на набор выходов с ровно одним выходом для каждого входа.
• Если для функции \ (y = f (x) \) не указана область определения,
• доменом считается набор всех действительных чисел \ (x \)
• , для которого определена функция.
• При рисовании графика функции \ (f \),
• каждая вертикальная линия может пересекать график не более одного раза.
• Функция может иметь любое количество нулей, но не более одного пересечения по оси Y.
• Чтобы определить композицию \ (g∘f \), диапазон \ (f \) должен содержаться в области \ (g \).
• Четные функции симметричны относительно оси \ (y \), тогда как нечетные функции симметричны относительно начала координат.

Ключевые уравнения

• Сочетание двух функций

\ (g∘f) (x) = g (f (x)) \)

\ (f (x) = \ begin {cases} −x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {ases} \)

Глоссарий

функция абсолютного значения

\ (f (x) = \ begin {cases} −x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {ases} \)

комбинированная функция

даны две функции \ (f \) и \ (g \), новая функция, обозначенная \ (g∘f \), такая, что \ ((g∘f) (x) = g (f (x)) \ )

убывающая на интервале II

функция, убывающая на интервале \ (I \), если для всех \ (x_1, x_2∈I, f (x_1) ≥f (x_2) \), если \ (x_1

зависимая переменная

выходная переменная для функции

домен

набор входов для функции

четная функция

функция даже если \ (f (−x) = f (x) \) для всех \ (x \) в области \ (f \)

функция

набор входов, набор выходов и правило для сопоставления каждого входа ровно с одним выходом

график функции

набор точек \ ((x, y) \) таких, что \ (x \) находится в области \ (f \) и \ (y = f (x) \)

возрастающий на интервале II

функция, возрастающая на интервале \ (I \), если для al \ (l x1, x2∈I, f (x1) ≤f (x2) \), если \ (x1

независимая переменная

входная переменная для функции

нечетная функция

функция является нечетной, если \ (f (−x) = — f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \)

диапазон

набор выходов для функции

симметрия относительно начала координат

график функции \ (f \) симметричен относительно начала координат, если \ ((- x, −y) \) находится на графике \ (f \) всякий раз, когда \ ((x, y) \) находится на график

симметрия относительно оси y

график функции \ (f \) симметричен относительно оси \ (y \), если \ ((- x, y) \) находится на графике \ (f \) всякий раз, когда \ ((x, y ) \) находится на графе

таблица значений

Таблица, содержащая список входов и соответствующих им выходов

тест вертикальной линии

для графика функции каждая вертикальная линия пересекает график не более одного раза

нулей функции

, когда действительное число x является нулем функции \ (f, f (x) = 0 \)

Авторы

• Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

(PDF) Тестирование свойств графиков и функций

Во-вторых, зафиксируйте ε> 0 и пусть U

n

∈ P таково, что d

1

(W

G

n

, U

n

) ≤ d

1

(W

G

n

,

P) + ε. Согласно определению тестируемости функций

, существует m ≥ 1 такое, что для m ≥ m

0

и каждого n мы имеем

, что G (m, U

n

) ∈ P

′

с вероятностью не менее 2/3.

Аналогично доказательству (а), рассмотрим случайный граф G

′

= G

′

(q

n

, U

n

). Очевидно

d

1

(G

n

, P) ≤ d

1

(G

n

, G

′

) + d

1

(G

′

, П). (16)

Здесь по лемме 2.6

E (d

1

(G

n

, G

′

)) = d

1

(W

G

n

, U

n

).(17)

Далее мы покажем, что с вероятностью, стремящейся к 1 при n → ∞, имеем

d

1

(G

n

, G

′

) ≤ d

1

(W

G

n

, U

n

) + ε. (18)

В самом деле, левая часть представляет собой сумму q

n

/2 независимых случайных величин, все со значениями 0 −1, поэтому

следует из Закона больших чисел.

Чтобы оценить другой член в (16), пусть Z будет случайным m-элементным подмножеством X, и пусть Y

будет случайным m-элементным подмножеством [0, 1]. Распределения Z и Y очень близки; действительно,

мы можем сгенерировать Z, генерируя Y и принимая его, если его элементы попадают в разные интервалы

[i / q

n

, (i + 1) / q

n

], i = 0 ,. . . , q

n

— 1, и только регенерировать в противном случае. Вероятность того, что нам

нужно регенерировать, стремится к 0 при n → ∞, поэтому общее расстояние изменения Z и Y стремится к

0.Вероятность того, что G (Y, U

n

) ∈ P

′

, составляет не менее 2/3, поскольку

P проверяется по лемме 3.12, и поэтому

вероятность того, что G (Z, U

n

) ∈ P

′

составляет не менее 1/2. Но G (Z, U

n

) имеет то же распределение, что и случайный подграф с m-узлами

в G

′

, и, следовательно, по проверяемости,

P



d

1

(G

′

, P) ≤ ε



+

1

3

P



d

1

(G

′

, P) > ε



≥

1

2

.

Это означает, что с вероятностью не менее 1/4,

d

1

(G

′

, P) ≤ ε. (19)

С положительной вероятностью встречаются и (18), и (19), поэтому согласно (16) мы имеем

d

1

(G

n

, P) ≤ d

1

(G

n

, G

′

) + d

1

(G

′

, P) ≤ d

1

(W

G

n

, U

n

) + ε + ε ≤ d

1

(W

G

n

,

P) + 3ε.

Отправляя n → ∞, мы видим, что a ≤ b + 3ε. Поскольку ε произвольно, отсюда следует, что a ≤ b, что является противоречием

.

(c) Пусть ε> 0, и пусть U ∈

P будет такой функцией, что кВт

G

— U k

1

≤ d

1

(W

G

, У) + е. Пусть H

n

равны графам, таким что H

n

→ U и H

n

∈ P. Тогда для соответствующей маркировки

узлов H

n

, имеем кВт

H

n

−Uk



→ 0.Поскольку W

G

имеет значение 0 −1, Le mma 2.9 означает, что

кВт

H

n

−W

G

k

1

→ kU −W

G

к

1

. Le t V (G) = {1,. . . , k} и V (H

n

) = {1,. . . , м}. Выберите n большой

достаточно, чтобы кВт

H

n

— W

G

k

1

≤ kU — W

G

k

1

+ ε и m ≥ k / ε.

Пусть V

i

=



⌊ (i — 1) m / k⌋ + 1,. . . , ⌊Im / k⌋



для i = 1,. . . , к. Тогда (V

1

, …, V

k

) представляет собой разделение

V (H

n

) на k почти равных классов. Определите график G

′

на {1,. . . , k}, соединив u ∈ V

i

с

v ∈ V

j

тогда и только тогда, когда ij ∈ E (G).Тогда G

′

является равносильным увеличением G. Кроме того, W

G

′

и

21

Использование функций и свойств Test Suite — MATLAB и Simulink

 testObj = imaqkit.AdaptorTest.createTest
   (AdaptorName, DeviceId, Format,
   EstimatedAcquisitionFrameRate) 

 testObj.runAllAutomatedTests 

 runAutomatedObjectCreation
   AndPreviewTest 

 testObj.runAutomatedObjectCreationAndPreviewTest 

 runAutomatedBasic
   AcquisitionTest 

 testObj.runAutomatedBasicAcquisitionTest 

 testObj.runAutomatedROITest 

 runAutomatedRepeated
   AcquisitionTest 

 testObj.runAutomatedRepeatedAcquisitionTest 

 runAutomatedImmediate
   TriggerTest 

 testObj.runAutomatedImmediateTriggerTest 

 runAutomatedManualTrigger
   Тест 

 testObj.runAutomatedManualTriggerTest 

 запуститьАвтоматизированное оборудование
   TriggerTest 

 testObj.runAutomatedHardwareTriggerTest 

 runInteractiveDevice
   PropertiesTest 

 testObj.runInteractiveDevicePropertiesTest 

 runInteractiveMultiple
   DeviceAcquisitionTest 

 testObj.runInteractiveMultipleDeviceAcquisition
   Тест (testObj, deviceId1, deviceFormat1,
   deviceId2, deviceFormat2) 

Логарифмические функции и их графики