Содержание

Тест. Алгебра. Свойства функций

Тест

Свойства функций

Вариант 1

1. Функция задана формулой . Найдите .

1) -18 2) 9 3) 36 4) 18

2. Задана функция . При каком значении х значение функции равно 6?

1) 4 2) 2 3) 6 4) 3

3. Найдите область определения функции

1) 2) 3) 4)

4. Найдите область определения функции .

1) 2) 3) 4)

5. Найдите область определения функции,

заданной на рисунке.

1) (-2; 1] 2) [-5; 4) 3) (-2; 1) 4) (-5; 4)

6. Найдите область значений функции

1) 2) 3) 4)


7. Функция задана графиком на отрезке . Укажите множество ее значений.

1) 2) 3) 4)

8. Укажите график четной функции:

2)

3)

4)

9. При каких значениях х функция возрастает?

1) 2) 3) 4)

10. При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

1) 2) 3) 4)

Свойства функций

Вариант 2

1. Функция задана формулой . Найдите .

1) -12 2) 11 3) 51 4) 6

2. Задана функция . При каком значении х значение функции равно 3?

1) 4 2) 3 3) 5 4) 6

3. Найдите область определения функции

1) 2) 3) 4)

4. Найдите область определения функции .

1) 2) 3) 4)

5. Найдите область определения функции,

заданной на рисунке.

1) [-2; 1] 2) [-4; 4) 3) (-2; 1) 4) (-4; 4)

6. Найдите область значений функции

1) 2) 3) 4)

7. Функция задана графиком на отрезке . Укажите множество ее значений.

1) 2) 3) 4)

8. Укажите график нечетной функции:

2)

3)

4)

9. При каких значениях х функция убывает?

1) 2) 3) 4)

10. При каких значениях х функция принимает положительные значения?

1) 2) 3) 4)

Ответы:

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

4

1

4

2

4

2

1

3

2

2

2

3

3

1

2

4

3

2

1

3

Тест "Понятие функции. Свойства функций"

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Свойства функции

Задание 1

Вопрос:

Укажите область определения и область значений функции, график которой показан на рисунке:

Изображение:

Выберите несколько из 6 вариантов ответа:

1) D(f)=[-6; 6) 2) D(f)=[-6; 6] 3) D(f)=(-6; 6)

4) D(f)=(-6; 6] 5) E(f)=(-2; 8) 6) E(f)=[-2; 8]

Задание 2

Вопрос:

Укажите промежутки, на которых функция, график которой показан на рисунке, принимает положительные значения:

Изображение:

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) [6; +∞) 2) (-∞; -12] 3) [-2; 6] 4) [-12; -2]

Задание 3

Вопрос:

Укажите нули функции, график которой изображен на рисунке:

Изображение:

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

1) 3 2) 2 3) 4 4) 1 5) 9

Задание 4

Вопрос:

Какая из точек принадлежит графику функции y=5x+6?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) E (-1; 11) 2) A (3; -1) 3) C (-8; -46) 4) B (8; 46) 5) D (5;12)

Задание #5

Вопрос:

Выберите формулу, которой можно задать функцию, заданной таблице (см. рисунок)

Изображение:

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) y=0 2) y=5x 3) y=3x+2 4) y=2x+2

Задание 6

Вопрос:

Составьте верное соответствие между свойствами функции и их определением.

Укажите соответствие для всех 5 вариантов ответа:

1) все значения зависимой переменной.

2) значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное нулю.

3) такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака − либо положительные, либо отрицательные.

4) все значения аргумента.

5) такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.

__ Промежутки монотонности функции -

__ Нули функции -

__ Область значений функции -

__ Промежутки знакопостоянства функции -

__ Область определения функции -

Задание 7

Вопрос:

Укажите характеристики функции, которые являются свойствами функции:

Выберите несколько из 6 вариантов ответа:

1) Промежутки монотонности функции.

2) Нули функции.

3) Цвет графика функции.

4) Область определения функции.

5) Промежутки знакопостоянства функции.

6) Область значений функции.

Задание 8

Вопрос:

Вычислите y(3), если y=5x+7

Запишите число: ___________________________

Задание #9

Вопрос:

Укажите промежутки возрастания функция, график которой показан на рисунке:

Изображение:

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) [2; 4] 2) [6; 10,5] 3) [0; 2] 4) [4; 6]

Задание 10

Вопрос:

Укажите промежутки, которые входят в область определения функции

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) 2) 3) 4)

4

Тесты по алгебре Функции (9 класс)

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден более 24 часов назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

  1. Вопрос 1 из 9

    Дана функция f(x) = 5x3. Найдите f(2)

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 83% ответили правильно
    • 83% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Следующий вопросПодсказка 50/50Ответить
  2. Вопрос 2 из 9

    При каких значениях аргумента значение функции у = -0,4х + 5, равно 13?

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 71% ответили правильно
    • 71% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  3. Вопрос 3 из 9

    Найдите область определения функции у=

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы ответили лучше 75% участников
    • 25% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  4. Вопрос 4 из 9

    Задана функция f(x) = , найдите f(0)

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 59% ответили правильно
    • 59% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  5. Вопрос 5 из 9

    Найдите область определения функции у =

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 71% ответили правильно
    • 71% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  6. Вопрос 6 из 9

    Найдите точки пересечения графика функции с осью абсцисс у = 3х - х2

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 59% ответили правильно
    • 59% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  7. Вопрос 7 из 9

    Найдите координаты точек пересечения графика с осью ординат у = х2 - 2х - 3

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 64% ответили правильно
    • 64% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  8. Вопрос 8 из 9

    Вычислите координаты точек пересечения графиков функции у = ; у = 7 - х

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 60% ответили правильно
    • 60% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить
  9. Вопрос 9 из 9

    Найдите нули функции: у = 3х2 + 5х - 2

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 58% ответили правильно
    • 58% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Подсказка 50/50Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда - пройдите тест.

ТОП-4 тестакоторые проходят вместе с этим

Тесты «Функции» (9 класс) предназначены для подготовки учеников средней школы к занятиям. Вопросы проверяют умение находить значение функции и аргумента, определять области функций, работать с координатными точками. Более сложные задания проверяют умение читать и строить графики. Представленные задания разного уровня сложности, поэтому их могут использовать ученики старших классов для повторения материала и подготовки к ЕГЭ по математике. К тесту прилагаются правильные ответы, что позволяет сразу запоминать то, что «упущено».

Тест по алгебре «Свойства функции» – один из эффективных способов качественной подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а также к текущим урокам.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.6. Всего получено оценок: 671.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать - пройдите тест.

Тематические тесты по алгебре 9 класса | Тест по алгебре (9 класс) на тему:

Тест 6

Итоговое повторение

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:     .

       1)                 2)                 3)                      4)

2. Найдите значение выражения:     .

       1)                 2)                 3)                      4)

3. Решите уравнение:     .

       1)                 2)                 3)                      4)

4. Из 2,5 кг ржаной муки получается 3,5 кг хлеба.

    Сколько хлеба можно испечь из 70 т ржаной муки?

       1) 98т                2) 50 т                3) 108т                     4) 86т

5. Найдите значение выражения:     .

       1) - 7,4                2) 1,34                 3) – 1,34                 4) 12,04

6. Вычислите  .

       1)                 2)                 3)                      4)

7. Найдите наибольшее из чисел, если известно, что  .

       1)                 2)                 3)                      4)

8. Упростите выражение  

       1)      2)     3)    4)

9. Упростите выражение  

       1)                     2)                   3)                   4)

10. Упростите выражение  .

       1)                     2)                   3)                   4)

11. Последовательность   задана следующим образом      .   Чему равно   ?

       1) -10                2) 3                 3) -7                 4) -3

12. В каком промежутке находится корень уравнения   ? 

       1)          2)      3)             4)

13. Найдите сумму корней уравнения:  .

   1) -1,5                    2) 3                        3) 1,5                         4) -3

14. Сколько корней имеет уравнение:  .

   1) 2                    2) ни одного           3) 4                     4) 1

15. Найдите решение (хо; уо) системы уравнений  

      и вычислите значение произведения     .

   1) -1                        2) 0                      3) -2                          4) -4   

16. Решите неравенство  . В ответе укажите наибольшее число.

   1) 0                        2) -6                      3) -5                          4) -4   

17. Решите систему неравенств  

1)       2)       3)         4) нет решений

18. Найдите количество целых решений неравенства  .

   1) 3                        2) 6                      3) 5                          4) 4   

19. Найдите область определения функции   .

1)       2)         3)         4)

20. График какой функции изображен на рисунке?

       1)

       2)

       3)

       4)

 

21. На рисунке изображена зависимость температуры вещества Т от времени  t.  Укажите, в течение какого времени температура вещества была постоянна. 

 

1)  2              2) 3                3) 1             4)  4        

Тест 6

Итоговое повторение

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:     .

       1)                 2)                 3)                      4)

2. Найдите значение выражения:     .

       1)                 2)                 3)                  4)

3. Решите уравнение:     .

       1)                 2)                 3)                      4)

4. Шесть маляров покрасили забор за 6 ч.  

   Сколько нужно маляров, чтобы покрасить такой же забор за 2 часа?

       1) 9                     2) 2                     3) 3                          4) 18

5. Найдите значение выражения:     .

       1) 14,4                2) -14,4                 3) – 10,4                 4) – 6,4

6. Вычислите  .

       1)                 2)                 3)                      4)

7. Найдите наименьшее из чисел, если известно, что  .

       1)                 2)                 3)                      4)

8. Упростите выражение  

       1)      2)     3)    4)

9. Упростите выражение  

       1)                     2)                   3)                   4)

10. Упростите выражение  .

       1)                     2)                   3)                   4)

11. Последовательность   задана следующим образом      .   Чему равно   ?

       1) 270                2) 162                 3) 243                 4) 81

12. В каком промежутке находится корень уравнения ? 

       1)          2)      3)             4)

13. Найдите сумму корней уравнения:  .

   1) -0,5                    2) корней нет           3) 0,5                     4) 1

14. Сколько корней имеет уравнение:  .

   1) 2                    2) ни одного           3) 4                     4) 1

15. Найдите решение (хо; уо) системы уравнений  

      и вычислите значение суммы      хо + уо .

   1) -1                        2) 1                      3) -3                          4) -2   

16. Решите неравенство  . В ответе укажите наименьшее число.

   1) -5                        2) 0                      3) -4                          4) -3   

17. Решите систему неравенств  

1)       2)       3)         4) нет решений

18. Найдите количество целых решений неравенства  .

   1) 3                        2) 6                      3) 5                          4) 4   

19. Найдите область определения функции   .

1)                        2)              3)                 4)

20. График какой функции изображен на рисунке?

       1)

       2)

       3)

       4)

21. На рисунке изображена зависимость температуры вещества Т от времени  t.  Укажите в какой момент времени температура вещества была максимальна. 

 

1)  0              2) 3                3) 1             4)  9        

Ответы:

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

3

4

1

1

2

3

3

4

2

3

2

1

3

2

4

4

2

4

1

1

2

Вариант

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

1

4

3

1

2

4

2

3

2

1

4

1

2

2

2

3

1

1

4

3

1

4

2

3

Проверяемые в тесте 7.1  вопросы

Числа и вычисления

  1. Арифметические действия с обыкновенными дробям
  2. Арифметические действия с десятичными дробями.
  3. Отношения. Пропорции.
  4. Решение текстовых задач арифметическими приемами
  5. Положительные и отрицательные числа.

Выражения и преобразования

  1. Числовые подстановки в буквенные выражения. Вычисления по формулам.
  2. Свойства степени с натуральным показателем, преобразование выражений, содержащих степени с натуральным показателем.
  3. Сложение, вычитание и умножение многочленов, формулы сокращенного умножения, преобразование целых выражений. Разложение многочленов на множители.
  4. Действия с алгебраическими дробями.
  5. Степень с целым показателем.
  6. Последовательности и прогрессии.

Уравнения и неравенства

  1. Линейное уравнение.
  2. Квадратное уравнение.
  3. Уравнения, приводимые к квадратным.
  4. Системы уравнений.
  5. Линейные неравенства с одной переменной.
  6. Системы линейных неравенств с одной переменной.
  7. Квадратные неравенства с одной переменной.

Функции

  1. Функция. Способы задания функций. Область определения и область значений функции.
  2. Графики функций и их свойства.
  3. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы; чтение и интерпретация.

Свойства основных функций. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. Исследование функции на ограниченность

Сложность: лёгкое

1
2. Возрастающая и убывающая функции

Сложность: лёгкое

1
3. Возрастание или убывание функции

Сложность: лёгкое

1
4. Интервалы знакопостоянства функции

Сложность: среднее

1
5. График функции вида y = |x + а|

Сложность: среднее

3
6. График функции вида y = |x| + а

Сложность: среднее

2
7. Нули функции

Сложность: среднее

3
8. Исследование функции

Сложность: среднее

3
9. График квадратной функции с модулем

Сложность: сложное

4
10. Монотонность, наибольшее значение функции

Сложность: сложное

3
11. Исследование функции

Сложность: сложное

13

Тест «Свойства и графики функций. Преобразования графиков»

Выберите один правильный ответ.

Свойства и графики функций. Преобразования графиков.

 «Нет никакой области знаний, в которую бы не входили понятия функции и ее графического изображения» 

К.Ф. Лебединцев, русский педагог, математик-методист (1878-1925)

1.      График функции у = sin x – 2 расположен:

а)      в I и II координатных четвертях

б)      в III и IV координатных четвертях

в)      в I и IV координатных четвертях

г)       в I и III координатных четвертях

 

2.      График функции у = ln x расположен:

а)      в I и II координатных четвертях

б)      в III и IV координатных четвертях

в)      в I и IV координатных четвертях

г)       в I и III координатных четвертях

 

3.     График четной функции симметричен относительно:

а)      оси Ох

б)      оси Оу

в)      начала координат

г)       прямой у = х

 

4.      График нечетной функции симметричен относительно:

а)      оси Ох

б)      оси Оу

в)      начала координат

г)       прямой у = х

 

5.      Графики взаимно обратных функций симметричны относительно:

а)      оси Ох

б)      оси Оу

в)      начала координат

г)       прямой у = х

 

6.      Если для всех х из области определения функции f(x) выполняется равенство f(x-T) = f(x) = f(x+T), то функция f(x) является:

а)      периодической

б)      четной

в)      нечетной

г)       ограниченной

 

7.  Если для всех х из области определения функции f(x) выполняется равенство f(-х) = f(x), то функция f(x) является:

а)      периодической

б)      четной

в)      нечетной

г)       ограниченной

 

8.  Если для всех х из области определения функции f(x) выполняется равенство f(-х) = - f(x), то функция f(x) является:

а)      периодической

б)      четной

в)      нечетной

г)       ограниченной

 

9.  Если для всех х1 и х2 из области определения функции f(x), таких, что х1 > х2, выполняется равенство f(x1)> f(x2), то функция f(x) является:

а)      возрастающей

б)      убывающей

в)      ограниченной сверху

г)       ограниченной снизу

 

10.  Если для всех х1 и х2 из области определения функции f(x) , таких, что х1 > х2, выполняется равенство f(x1)< f(x2), то функция f(x) является:

а)      возрастающей

б)      убывающей

в)      ограниченной сверху

г)       ограниченной снизу

 

11.  Если для всех х из области определения функции f(x) выполняется равенство f(x)≥С, то функция f(x) является:

а)      возрастающей

б)      убывающей

в)      ограниченной сверху

г)       ограниченной снизу

 

12.  Если для всех х из области определения функции f(x) выполняется равенство f(x)≤С, то функция f(x) является:

а)      возрастающей

б)      убывающей

в)      ограниченной сверху

г)       ограниченной снизу

 

13.  Прямая, к которой график функции стремится приблизиться в бесконечности, но не пересекает ее, называется:

а)      асимптотой

б)      касательной

в)      аппликатой

г)       осью координат

 

14.  Прямая, которая имеет с графиком функции только одну общую точку на некотором промежутке, предельное положение секущей – это:

а)      асимптота

б)      касательная

в)      аппликата

г)       ось координат

 

15.  График функции y = f(x-a) получается из графика функции f(x)  сдвигом:

а)      вправо на а

б)      влево на а

в)      вверх на а

г)       вниз на а

 

16.  График функции y = f(x) + b получается из графика функции f(x)  сдвигом:

а)      вправо на b

б)      влево на b

в)      вверх на b

г)       вниз на b

 

17.  График функции y = - f(x) получается из графика функции f(x)  преобразованием симметрии относительно:

а)      оси Ох

б)      оси Оу

в)      начала координат

г)       прямой у = х

 

18.  График функции y = f(-x) получается из графика функции f(x)  преобразованием симметрии относительно:

а)      оси Ох

б)      оси Оу

в)      начала координат

г)       прямой у = х

 

19.  График функции y = k f(x) (k>1) получается из графика функции f(x):

а)      сжатием в k раз по оси Ох

б)      растяжением в k раз по оси Ох

в)      сжатием в k раз по оси Оу

г)       растяжением в k раз по оси Оу

 

20.  График функции y = f(kx) (k>1) получается из графика функции f(x):

а)      сжатием в k раз по оси Ох

б)      растяжением в k раз по оси Ох

в)      сжатием в k раз по оси Оу

г)       растяжением в k раз по оси Оу

 

Тест в интерактивной форме:

Тест

Тест по теме ''Свойства тригонометрических функций''.

Тест предназначен для проверки знаний учащихся по теме «Свойства тригонометрических функций». Задания теста практически охватывают все свойства тригонометрических функций. Этот тест является одним из серии тестов, посвященных свойствам элементарных функций, рассматриваемым в школьном курсе математики. В этом тесте представлены две элементарные функции y=sinx и y=cosx. Уровень теста высокий. Тест желательно использовать как одну из форм контроля. В процессе проведения теста учащимся не запрещено использовать тригонометрические формулы, список основных свойств функций, бумагу для вычислений и преобразований, необходимых для выполнения заданий теста. Тест рассчитан на один урок (40 минут). Тест целесообразно оценивать, исходя из следующего критерия: «не зачтено», если правильно выполнено менее 5 заданий теста; «зачтено с оценкой 3 (удовлетворительно)», если правильно выполнено 5-6 заданий теста; «зачтено с оценкой 4 (хорошо)», если правильно выполнено 7-8 заданий теста; «зачтено с оценкой 5 (отлично)», если правильно выполнено 9-10 заданий теста.

Тест могут выполнять как учащиеся 10 класса, где эта тема рассматривается, так и учащиеся 11 класса, готовящиеся к итоговой аттестации. Тест можно проходить индивидуально, в парах, в малых группах.


Вернуться на главную страницу

Свойства функций - практические контрольные вопросы и экзамен по главе

Стр. 1

Вопрос 1 1. Каков диапазон этой функции: 2
x 3 - 3 x 2 + 5 x + 6?

Ответы:

вопрос 2 2.Найдите домен для f (
x ) = 1/ x -5.

Ответы:
Вопрос 3 3. Каков домен для этой функции:
Ответы:

Вопрос 4 4. График функции -
x 3 + 2x2 + 3 x -2 составляет _____

Ответы:

Вопрос 5 5.2-3

Ответы:

Вопрос 8 8. График параболы f (
x ) сдвинут на 2 позиции влево и на 3 позиции вниз. Формула для нового графика _____

Ответы:

Вопрос 9 9.График функции f (
x ) будет сдвинут _____ график функции f ( x + 2) - 4.

Ответы:

Вопрос 10 10. Функция f (
x ) преобразуется в f ( x ) = ( x -1) + 3. Новый график расположен _____ от оригинала.

Ответы:

Стр. 3

Вопрос 11 11.2 - 2x и функция затрат c (x) = 3x + 10. Какова его функция прибыли p (x)?

Ответы:

Вопрос 13 13. Для f (
x ) = 2 x 3 и g ( x ) = x 2 + 4 x , что такое g ( x ) / f ( x )?

Ответы:

Вопрос 14 14.Какой диапазон для этой функции: f (
x ) = x 2?

Ответы:
Вопрос 15 15. Каков домен для этой функции:
Ответы:

стр. 4

Вопрос 16 16.График параболы f (
x ) сдвинут на 3 позиции вправо и на 2 позиции вверх. Формула для нового графика _____

Ответы:

Вопрос 17 17. Функция затрат для газонокосилок Ларри составляет c = 15
x + 40, он ожидает получить прибыль в размере 40% от стоимости каждой проданной косилки. Какова его функция доходов?

Ответы:

Вопрос 18 18.Для f (
x ) = x 2-16 и g ( x ) = x 2 + x -12, что такое f ( x ) / g ( x )?

Ответы:

Вопрос 19 19. Когда график f (x - 1) + 3 изменится на график f (x + 1) + 3, график сместится в каком направлении?

Ответы:

Вопрос 20 20.Какая из этих функций имеет область всех действительных чисел?

Ответы:

стр. 5

Вопрос 21 21. Какова область определения √ (x)?

Ответы:

Вопрос 22 22.Что из следующего является функцией, обратной f (x) = 3x?

Ответы:

Вопрос 23 23. Какой набор упорядоченных пар НЕ является функцией?

Ответы:

Вопрос 24 24.Какое из следующих утверждений лучше всего описывает «композицию» двух функций?

Ответы:

Вопрос 25 25. Используйте предоставленную информацию, чтобы найти h (x) / l (x): h (x) = 6x2 и l (x) = 2x5.

Ответы:

Стр. 6

Вопрос 26 26.Если f (
x ) = 5-2 x и g ( x ) = -4 x + 2, найдите g (f ( x )).

Ответы:
Вопрос 27 27. Если график f (x) показан ниже, какой вариант представляет график f (x + 1) + 2?
Ответы:
Вопрос 28 28.Каков диапазон функции, представленной на графике ниже?
Ответы:

Вопрос 29 29. Вычислите h (x) = 5x + 1, когда x = 3.

Ответы:

Вопрос 30 30. Как определить, является ли функция обратной по отношению к другой функции?

Ответы:
Свойства функций Глава Инструкции по экзамену

Выберите ответы на вопросы и нажмите «Далее», чтобы просмотреть следующий набор вопросов.Вы можете пропустить вопросы, если хотите, и приходите назад к ним позже с помощью кнопки «Перейти к первому пропущенному вопросу». Когда вы сдадите пробный экзамен, появится зеленая кнопка отправки. появляться. Щелкните его, чтобы увидеть свои результаты. Удачи!

Свойства функций | Безграничная алгебра

Увеличивающие, убывающие и постоянные функции

Функции могут быть либо постоянными, либо увеличиваться при увеличении [latex] x [/ latex], либо уменьшаться при увеличении [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Применить определения функций увеличения и уменьшения, чтобы определить, увеличивается ли функция, уменьшается или нет в заданном интервале

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Постоянная функция - это функция, значения которой не меняются независимо от ввода в функцию.
  • Возрастающая функция - это функция, при которой для каждого [латекса] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ geq f (x_ {1}) [/ latex].Если оно строго больше чем, то оно строго возрастает.
  • Функция уменьшения - это функция, при которой для каждого [латекса] x_ {1} [/ latex] и [latex] x_ {2} [/ latex], удовлетворяющего [latex] x_ {2} [/ latex]> [latex] x_ {1} [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ latex]. Если он строго меньше, то он строго убывает.
Ключевые термины
  • убывающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой уменьшается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.
  • постоянная функция : функция, значение которой одинаково для всех элементов ее домена.
  • возрастающая функция : Любая функция действительной переменной, значение которой увеличивается (или остается постоянным) по мере увеличения переменной.

Графическое поведение функций

В рамках исследования того, как изменяются функции, мы можем определить интервалы, в течение которых функция изменяется определенным образом. Мы говорим, что функция - это , увеличивающая в интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения входных значений в пределах этого интервала.Точно так же функция - это , уменьшающая на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения входных значений на этом интервале.

  • Возрастающая функция - это функция, в которой для каждого [latex] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) ) \ geq f (x_ {1}) [/ латекс]. Если оно строго больше, чем [latex] (f (x_2)> f (x_1)) [/ latex], то оно строго возрастает.
  • Функция уменьшения - это функция, при которой для каждого [latex] x_1 [/ latex] и [latex] x_2 [/ latex], удовлетворяющих [latex] x_2> x_1 [/ latex], затем [latex] f (x_ {2}) \ leq f (x_ {1}) [/ латекс].Если он строго меньше [latex] (f (x_2)

В терминах линейной функции [латекс] f (x) = mx + b [/ latex], если [latex] m [/ latex] положительное значение, функция увеличивается, если [latex] m [/ latex] отрицательное значение, оно уменьшается, и если [latex] m [/ latex] равно нулю, функция является постоянной функцией.

Средняя скорость изменения возрастающей функции положительна, а средняя скорость изменения убывающей функции отрицательна.3−12x [/ latex] увеличивается по оси [latex] x [/ latex] от отрицательной бесконечности до [latex] -2 [/ latex], а также от [latex] 2 [/ latex] до положительной бесконечности. Обозначение интервалов записывается как: [latex] (- ∞, −2) ∪ (2, ∞) [/ latex]. Функция убывает на интервале: [latex] (−2, 2) [/ latex].

Постоянные функции

В математике постоянная функция ion - это функция, значения которой не меняются, независимо от ввода в функцию. Функция является постоянной функцией, если [latex] f (x) = c [/ latex] для всех значений [latex] x [/ latex] и некоторой константы [latex] c [/ latex].График постоянной функции [latex] y (x) = c [/ latex] представляет собой горизонтальную линию в плоскости, проходящую через точку [latex] (0, c). [/ Latex]

Константа Функция: График [latex] f (x) = 4 [/ latex] иллюстрирует постоянную функцию.

Определение функционального поведения

Пример 1: Определите интервалы, в которых функция увеличивается, уменьшается или остается постоянной.

Посмотрите на график слева направо по оси [latex] x [/ latex]; первая часть кривой убывает от бесконечности до [latex] x [/ latex] -значения [latex] -1 [/ latex], а затем кривая увеличивается.Кривая увеличивается на интервале от [латекс] -1 [/ латекс] до [латекс] 1 [/ латекс], а затем снова уменьшается до бесконечности.

График функции возрастания и убывания: Для функции, изображенной выше, кривая убывает в интервалах: [latex] (- \ infty, -1) \ cup (1, \ infty) [/ latex] и увеличивается в интервале [латекс] (-1,1) [/ латекс].

Относительные минимумы и максимумы

Относительные минимумы и максимумы - это точки наименьшего и наибольшего значений в их окрестностях соответственно.

Цели обучения

Определить локальные и глобальные максимумы и минимумы заданной функции

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Минимумы и максимумы вместе известны как экстремумы.
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку максимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≥ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция имеет глобальную (или абсолютную) точку минимума в [latex] x [/ latex] *, если [latex] f (x *) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] .
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) максимум r в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латекс] a
  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (локальный) минимум в [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [latex] a
  • Функции не обязательно имеют экстремумы. Например, любая строка [latex] f (x) = mx + b [/ latex], где [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex] - константы, не имеет экстремумов, будь то локальные или глобальный.
Ключевые термины
  • максимум : Наибольшее значение набора.
  • экстремум : точка или значение, которое является максимумом или минимумом.
  • минимум : наименьшее значение набора.

Минимумы и максимумы широко используются в задачах оптимизации и искусственного интеллекта, где, учитывая ряд ограничений на ресурсы, мы хотим наилучшим образом использовать наши ресурсы.Например, мы можем захотеть максимизировать нашу прибыль, учитывая предметы, которые мы можем производить, и наши доступные ресурсы. В области искусственного интеллекта мы можем захотеть выяснить, какой план действий наименее затратный для робота (т. Е. Кратчайший путь). В идеале вам нужно найти глобальные минимумы для планов. Однако, поскольку времени для определения правильного плана не существует, искусственный интеллект часто просто находит локальные минимумы.

Определения минимумов и максимумов: относительные и глобальные

В математике максимум и минимум функции (известные вместе как экстремумы ) - это наибольшее и наименьшее значение, которое функция принимает в точке либо в данной окрестности (локальный или относительный экстремум), либо в пределах области функции в ее целостность (глобальный или абсолютный экстремум).

Примеры относительных и глобальных экстремумов : Этот график содержит примеры всех четырех возможностей: относительного (локального) максимума и минимума, а также глобального максимума и минимума.

В то время как некоторые функции увеличиваются (или уменьшаются) во всей своей области, многие другие нет. Значение входа, при котором функция изменяется от увеличения к уменьшению (по мере того, как мы идем слева направо, то есть по мере увеличения входной переменной), называется относительным максимумом. Если функция имеет более одного, мы говорим, что у нее есть локальные максимумы.Точно так же значение входа, при котором функция изменяется от уменьшения к увеличению по мере увеличения входной переменной, называется относительным минимумом. Форма множественного числа - локальные минимумы.

Функция также не возрастает и не убывает в экстремумах. Обратите внимание, что мы должны говорить о локальных экстремумах, потому что любой данный локальный экстремум, как определено здесь, не обязательно является наивысшим максимумом или наименьшим минимумом во всей области определения функции.

  • Функция [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) максимум at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex ] С [латексом] a
  • Аналогично, [latex] f [/ latex] имеет относительный (local) минимум at [latex] x = b [/ latex], если существует интервал [latex] (a, c) [/ latex] с [латексом] a

График минимума локального максимума: Для изображенной функции локальный максимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном 16, и он возникает, когда [latex] x = -2 [/ latex]. Локальный минимум находится при значении [latex] y [/ latex], равном -16, и это происходит, когда [latex] x = 2 [/ latex].

Функция имеет глобальное значение (или абсолютное) максимум точек на [латекс] x [/ латекс] *, если [латекс] f (x ∗) ≥ f (x) [/ latex] для всех [латекс] x [/латекс]. Точно так же функция имеет глобальную (или абсолютную) минимум точек в [латекс] x [/ latex], если [latex] f (x ∗) ≤ f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/латекс]. Глобальные экстремумы также являются относительными экстремумами.

Функции не могут иметь экстремумов, таких как строка [latex] y = x [/ latex]. Эта линия увеличивается к бесконечности и убывает к отрицательной бесконечности и не имеет относительных экстремумов.

Разделение относительного и глобального максимума и минимума

Пример 1: Найдите все максимумы и минимумы на графике ниже:

График относительных максимумов и минимумов: Эта кривая показывает относительный минимум в [латексе] (- 1, -2) [/ латекс] и относительный максимум в [латексе] (1,2) [/ латексе].

График достигает локального максимума в [latex] (1,2) [/ latex], потому что это наивысшая точка в открытом интервале около [latex] x = 1 [/ latex]. Локальный максимум - это координата y при [latex] x = 1 [/ latex], которая равна [latex] 2 [/ latex].

График достигает локального минимума в [latex] (- 1, -2) [/ latex], потому что это самая низкая точка в открытом интервале около [latex] x = -1 [/ latex]. Локальный минимум - координата y [latex] x = -1 [/ latex], которая равна [latex] -2 [/ latex].

Пример 2:


Найдите все глобальные максимумы и минимумы на графике ниже:

Глобальный график максимальных и минимальных значений: Для функции, изображенной выше, абсолютный максимум происходит дважды при [latex] y = 16 [/ latex], а абсолютный минимум - при [latex] (3, -10) [/ latex] .

График достигает абсолютного максимума в двух местах, [latex] x = -2 [/ latex] и [latex] x = 2 [/ latex], потому что в этих местах график достигает своей наивысшей точки в домене. функции. Абсолютный максимум - координата y , которая равна [латекс] 16 [/ латекс].

График достигает абсолютного минимума при [latex] x = 3 [/ latex], потому что это самая низкая точка в области графика функции. Абсолютный минимум - координата y , которая равна [латекс] -10 [/ латекс].

Кусочные функции

Кусочная функция определяется несколькими подфункциями, каждая из которых применяется к отдельным интервалам ввода

Цели обучения

Практика построения графиков кусочных функций и определение их областей и диапазонов

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Кусочные функции определяются с использованием общей функциональной записи, где тело функции представляет собой массив функций и связанных поддоменов.
  • Абсолютное значение, [латекс] \ left | x \ right | [/ latex] - очень распространенная кусочная функция. Для действительного числа его значение равно [latex] -x [/ latex], когда [latex] x <0 [/ latex], и его значение равно [latex] x [/ latex], когда [latex] x \ geq0 [/ latex ].
  • Кусочные функции могут иметь горизонтальные или вертикальные пробелы (или и то, и другое) в своих функциях. Горизонтальный зазор означает, что функция не определена для этих входов.
  • Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не включена в интервал, т.е.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена.
Ключевые термины
  • поддомен : домен, который является частью более крупного домена.
  • абсолютное значение : для действительного числа - его числовое значение без учета знака; формально [latex] -1 [/ latex] умноженное на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
  • кусочная функция : функция, в которой используется более одной формулы для определения вывода для разных частей домена.

В математике, кусочная функция - это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей домена. Кусочные функции определяются с использованием общепринятой функциональной нотации, где тело функции представляет собой массив функций и связанных интервалов. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяется, когда входное значение пересекает определенные «границы».

Графические кусочные функции

Пример 1: Рассмотрим кусочное определение функции абсолютного значения:

[латекс] \ displaystyle \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex] меньше нуля, используется первая функция [latex] (- x) [/ latex], которая отменяет знак входного значения, делая выходные значения положительными. Допустим [латекс] y = f (x) [/ latex], где [latex] f (x) = | x | [/ latex], некоторые примеры упорядоченных пар [latex] (x, | x |) [/ latex ]:

[латекс] \ displaystyle (-2,2) \\ (-1,1) \\ (-0,5,0,5) [/ латекс]

Для всех значений [latex] x [/ latex], больших или равных нулю, используется вторая функция [latex] (x) [/ latex], делая выходные значения равными входным значениям.Вот некоторые примеры упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2,2) \ (1,1) \ (0,5,0,5) [/ латекс]

После нахождения и построения некоторых упорядоченных пар для всех частей («частей») функции результатом является V-образная кривая функции абсолютного значения, представленной ниже.

Кусочная функция: абсолютное значение: Кусочная функция, [латекс] \ left | x \ right | = \ left \ {\ begin {matrix} -x, & if \ x <0 \\ x, & if \ x \ geq0 \ end {matrix} \ right. [/ latex], является графиком функция абсолютного значения.2 [/ латекс]:

[латекс] \ displaystyle f (-2) = 4 \\ f (-1) = 1 \\ f (0) = 0 \ f (1) = 1 [/ latex]

Эти точки удовлетворяют первой части функции и создают следующие упорядоченные пары:

[латекс] \ displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) [/ латекс]

Для средней части (части), [latex] f (x) = 3 [/ latex] (постоянная функция) для области [latex] 1

[латекс] \ Displaystyle (1.5,3) \\ (1.8, 3) \\ (2,3) [/ латекс]

Для последней части (кусок) [latex] f (x) = x [/ latex] для домена [latex] x> 2 [/ latex] несколько упорядоченных пар:

[латекс] \ displaystyle (2.2, & if \ x \ leq 1 \\ 3, & if \ 1 2 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex] состоит из трех частей ( шт). В зависимости от стоимости домена каждый кусок отличается.

Обратите внимание на открытые и темные кружки на графике. Это связано с конкретными доменами для каждой части функции. Открытый кружок в конце интервала означает, что конечная точка не входит в интервал, т.е. строго меньше или строго больше чем. Закрашенный кружок означает, что конечная точка включена (равно).

Область определения функции начинается с отрицательной бесконечности и продолжается через каждую часть без пропусков до положительной бесконечности. Поскольку в [latex] x = 1 [/ latex] есть закрытая И открытая точка, функция там кусочно непрерывна. Когда [latex] x = 2 [/ latex], функция также кусочно-непрерывная. Следовательно, область определения этой функции - это набор всех действительных чисел, [latex] \ mathbb {R} [/ latex].

Диапазон начинается с самого низкого значения [latex] y [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex] и продолжается до положительной бесконечности.2 [/ latex] включает эти значения. Следовательно, диапазон кусочной функции также является набором всех действительных чисел, больших или равных [latex] 0 [/ latex], или всех неотрицательных значений: [latex] y \ geq 0 [/ latex].

Индивидуальные функции

Функция взаимно однозначного соответствия, также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее кодомена.

Цели обучения

Используйте свойства взаимно-однозначных функций, чтобы определить, является ли данная функция взаимно-однозначной

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Функция "один к одному" имеет уникальный выход для каждого уникального входа.2 [/ latex] для [latex] x \ geq 0 [/ latex].
  • Чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной, выполните тест горизонтальной линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более чем в одной точке, функция не взаимно однозначна.
  • Если каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена, то функция называется взаимно однозначной.
Ключевые термины
  • инъективная функция : функция, которая сохраняет различимость: она никогда не отображает отдельные элементы своей области в один и тот же элемент ее кодомена.
Свойства однозначной функции

Однозначная функция , также называемая инъективной функцией, никогда не отображает отдельные элементы своей области на один и тот же элемент ее совместной области. Другими словами, каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу ее домена. Иногда инъективная функция от [latex] X [/ latex] до [latex] Y [/ latex] обозначается [latex] f: X \ mapsto Y [/ latex] с помощью стрелки с заостренным хвостом. {2} [/ latex] (без ограничений домена) взаимно однозначной?

Один из способов проверить, является ли функция взаимно однозначной, - это построить график функции и выполнить тест горизонтальной линии.2 [/ latex] не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией. Если горизонтальная линия может проходить через две или более точек на графике функции, то функция не взаимно однозначна.

Другой способ определить, является ли функция взаимно однозначной - составить таблицу значений и проверить, соответствует ли каждый элемент диапазона ровно одному элементу домена. Список упорядоченных пар для функции:

[латекс] \ Displaystyle (-2,4) \\ (-1,1) \\ (0,0) \\ (1,1) \\ (2,4) [/ латекс]

Упорядоченные пары [latex] (- 2,4) [/ latex] и [latex] (2,4) [/ latex] не проходят определение один-к-одному, потому что элемент [latex] 4 [/ латекс] диапазона соответствует [латексу] -2 [/ латексу] и [латексу] 2 [/ латексу].Каждый уникальный вход должен иметь уникальный выход, поэтому функция не может быть взаимно однозначной. Также обратите внимание, что эти две упорядоченные пары образуют горизонтальную линию; что также означает, что функция не является взаимно однозначной, как было сказано ранее.

Пример 2: Функция [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex] один к одному?

Это функция абсолютного значения, которая представлена ​​на графике ниже. Обратите внимание, что он не проходит тест горизонтальной линии. Поскольку каждый уникальный вход не имеет уникального выхода, эта функция не может быть взаимно однозначной.

График абсолютных значений: График функции [латекс] f (x) = \ left | x \ right | [/ latex], не проходит проверку горизонтальной линии и, следовательно, не является однозначной функцией.

Симметрия функций

Два объекта обладают симметрией, если один объект может быть получен из другого преобразованием.

Цели обучения

Определить, демонстрирует ли данное отношение некоторую форму симметрии

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Функция имеет симметрию, если ее можно каким-либо образом преобразовать без изменения функции.
  • Функция может быть симметричной относительно точки, если ее можно повернуть на фиксированную величину вокруг этой точки, не изменяя ее.
  • Функция может быть симметричной относительно линии, если ее можно отразить над этой линией, не изменяя ее.
Ключевые термины
  • симметрия : математическое свойство, при котором объект может подвергаться преобразованию с сохранением своих свойств.

Симметрия

В математике объект, такой как форма или функция, обладает симметрией, если он может быть преобразован каким-либо образом, сохраняющим свойства математического объекта.В геометрии геометрическая форма или объект является симметричным, если его можно разделить на две или более идентичных части, которые расположены организованным образом. S означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не Не меняю общую форму.

Для функций функция демонстрирует симметрию, если каждая точка функции может быть изменена в соответствии с математическим правилом без изменения общей функции. Определение симметрии может включать построение графика функции или ее алгебраическое вычисление.

Симметричные типы функций

Функции и отношения могут быть симметричными относительно точки, линии или оси. Они также могут иметь симметрию после отражения.

Чтобы определить, имеет ли отношение симметрию, постройте график отношения или функции и посмотрите, является ли исходная кривая отражением самой себя над точкой, линией или осью. На изображении ниже показаны примеры отражения функции по оси [latex] x [/ latex] (вертикальное отражение) и по оси [latex] y [/ latex] (горизонтальное отражение).

Отражение : функция может быть отражена по оси [латекс] x [/ латекс] или [латекс] y [/ латекс]. Если функция выглядит так же после отражения, функция симметрична по этой оси.

На следующем графике ниже квадратичные функции обладают симметрией относительно линии, называемой осью симметрии. Ось делит U-образную кривую на две части кривой, которые отражаются над осью симметрии. 2 + 4x + 3 [/ latex] показывает ось симметрии относительно линии [latex] x = -2 [/ latex].Кривая разделена на две эквивалентные [латексные] 2 [/ латексные] половины. Обратите внимание, что точки пересечения [latex] x [/ latex] являются отраженными точками над осью симметрии и находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Определение симметрии

Пример: Симметрия функции ниже?

Симметрия относительно точки: График выше имеет симметрию, поскольку помеченные точки отражаются от начала координат.

Граф имеет симметрию относительно начала координат или точки [latex] (0,0) [/ latex].Указанные точки [латекс] (1,3) [/ латекс] и [латекс] (- 1, -3) [/ латекс] отражаются поперек начала координат.

Четные и нечетные функции

Функции, которые имеют аддитивную инверсию, могут быть классифицированы как нечетные или четные в зависимости от их свойств симметрии.

Цели обучения

Определить, является ли функция четной, нечетной или ни одной из них

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Четность функции не обязательно показывает, является ли функция нечетной или четной.
  • Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений выполняется следующее соотношение: [latex] f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Четная функция симметрична относительно оси [latex] y [/ latex]: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот тоже есть на графике.
  • Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых выполняется следующее соотношение для всех значений: [latex] -f (x) = f (-x) [/ latex].
  • Нечетная функция симметрична относительно начала координат: для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, -y) [/ latex] или наоборот наоборот, тоже есть на графике. Другими словами, поворот графика [latex] на 180 [/ latex] градусов вокруг исходной точки приводит к тому же неизменному графику.
Ключевые термины
  • четность : Набор со свойством того, что все его элементы принадлежат одному из двух непересекающихся подмножеств, особенно набор целых чисел, разделенных на подмножества четных и нечетных элементов.
  • добавка, обратная : Противоположное по отношению к сложению.

Четные и нечетные определения

Функции могут быть классифицированы как «нечетные» или «четные» в зависимости от их состава. Эти метки коррелируют со свойствами симметрии функции.

Термины «нечетный» и «четный» могут применяться только к ограниченному набору функций. Чтобы функция была классифицирована как одна или другая, она должна иметь аддитивную обратную функцию. Следовательно, он должен иметь номер, который при добавлении к нему равен [latex] 0 [/ latex].3 \ right | [/ latex] имеет показатель степени, который является нечетным целым числом, [latex] 3 [/ latex], но также является четной функцией. Как мы можем проверить, четная или нечетная функция? Давайте посмотрим на их характеристики.

Четные функции

Четные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ Displaystyle f (x) = f (-x) [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция четной, любое выбранное значение [latex] x [/ latex] должно давать такое же выходное значение при замене в функцию как [latex] -x [/ latex].4 + 2x [/ latex], изображенный выше, не является даже потому, что график не является симметричным относительно оси [latex] y [/ latex]. Например, точка [latex] (- 1, -1) [/ latex] не отражается на точке [latex] (1, -1) [/ latex].

Мы можем подтвердить это графически: функции, удовлетворяющие требованию четности, симметричны относительно оси [latex] y [/ latex]. Следовательно, для каждой точки [latex] (x, y) [/ latex] на графике соответствующая точка [latex] (- x, y) [/ latex] или наоборот также находится на графике.

Нечетные функции

Нечетные функции алгебраически определяются как функции, в которых для всех значений [latex] x [/ latex] выполняется следующее соотношение:

[латекс] \ displaystyle -f (x) = f (-x) [/ latex]

Это отношение также может быть выражено как:

[латекс] \ displaystyle f (x) + f (-x) = 0 [/ латекс]

Чтобы проверить, является ли функция нечетной, отрицание функции (обязательно отрицание всех членов функции) должно давать тот же результат, что и замена значения [latex] -x [/ latex]. 3-9x [/ latex] нечетная, поскольку график симметричен относительно начала координат.Также можно проверить, что любая точка симметрична относительно начала координат: например, [latex] (- 1,8) [/ latex] дает [latex] (1, -8) [/ latex]? Да, эти две точки симметричны относительно начала координат.

Свойства функций и графиков

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

1.1: Обзор функций - математика LibreTexts

В этом разделе мы даем формальное определение функции и исследуем несколько способов представления функций, а именно, с помощью таблиц, формул и графиков.Мы изучаем формальные обозначения и термины, относящиеся к функциям. Мы также определяем композицию функций и свойства симметрии. Большая часть этого материала будет для вас обзором, но он служит удобным справочником, чтобы напомнить вам о некоторых алгебраических методах, полезных для работы с функциями.

Функции

Даны два набора \ (A \) и \ (B \), набор с элементами, которые являются упорядоченными парами \ ((x, y) \), где \ (x \) является элементом \ (A \) и \ ( y \) является элементом \ (B, \) и является отношением из \ (A \) к \ (B \).Отношение от \ (A \) к \ (B \) определяет отношение между этими двумя наборами. Функция - это особый тип отношения, в котором каждый элемент первого набора связан ровно с одним элементом второго набора. Элемент первого набора называется входом ; элемент второго набора называется выходом . В математике функции постоянно используются для описания отношений между двумя наборами. Для любой функции, когда мы знаем вход, определяется выход, поэтому мы говорим, что выход является функцией входа.Например, площадь квадрата определяется длиной его стороны, поэтому мы говорим, что площадь (выход) является функцией длины его стороны (вход). Скорость брошенного в воздух мяча можно описать как функцию количества времени, в течение которого мяч находится в воздухе. Стоимость пересылки посылки зависит от веса посылки. Поскольку функции имеют очень много применений, важно иметь точные определения и терминологию для их изучения.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Функцию можно визуализировать как устройство ввода / вывода

Определение: функции

Функция \ (f \) состоит из набора входов, набора выходов и правила назначения каждого входа ровно одному выходу.Набор входных данных называется областью функции. Набор выходов называется диапазоном функции .

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Функция отображает каждый элемент в домене ровно на один элемент в диапазоне. Хотя каждый вход может быть отправлен только на один выход, два разных входа могут быть отправлены на один и тот же выход.

Например, рассмотрим функцию \ (f \), где домен - это набор всех действительных чисел, а правило состоит в том, чтобы возвести входные данные в квадрат.2 = 9 \).

Поскольку каждое неотрицательное действительное число имеет действительный квадратный корень, каждое неотрицательное число является элементом диапазона этой функции. Поскольку нет действительного числа с отрицательным квадратом, отрицательные действительные числа не являются элементами диапазона. Мы заключаем, что диапазон - это набор неотрицательных действительных чисел.

Для общей функции \ (f \) с областью определения \ (D \) мы часто используем \ (x \) для обозначения ввода и \ (y \) для обозначения вывода, связанного с \ (x \). При этом мы называем \ (x \) независимой переменной , а \ (y - зависимой переменной , потому что она зависит от \ (x \).2 \).

Концепция функции может быть визуализирована с помощью рисунков \ (\ PageIndex {1} \) - \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): В этом случае график функции f имеет область значений \ ({1,2,3} \) и диапазон \ ({1,2 } \). Независимая переменная - это \ (x \), а зависимая переменная - это \ (y \).

Мы также можем визуализировать функцию, нанося точки \ ((x, y) \) на координатную плоскость, где \ (y = f (x) \). График функции - это набор всех этих точек.Например, рассмотрим функцию \ (f \), где область определения - это множество \ (D = {1,2,3} \), а правило - \ (f (x) = 3 − x \). На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) мы построили график этой функции.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Здесь мы видим график функции \ (f \) с областью определения \ ({1,2,3} \) и правилом \ (f (x) = 3 − х \). Граф состоит из точек \ ((x, f (x)) \) для всех \ (x \) в области. 2 \), без указания конкретной области.2 \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \), области представляют собой множества с бесконечным числом элементов. Ясно, что мы не можем перечислить все эти элементы. При описании набора с бесконечным числом элементов часто бывает полезно использовать конструктор наборов или нотацию интервалов. При использовании нотации конструктора множеств для описания подмножества всех действительных чисел, обозначенного \ (R \), мы пишем

\ [\ {x | \ textit {x имеет какое-то свойство} \}. \]

Мы читаем это как набор действительных чисел \ (x \), таких что \ (x \) имеет какое-то свойство. Например, если бы нас интересовал набор действительных чисел, которые больше единицы, но меньше пяти, мы могли бы обозначить этот набор, используя нотацию конструктора множеств, написав

\ [\ {х | 1 <х <5 \}.\]

Такой набор, который содержит все действительные числа больше \ (a \) и меньше b, также может быть обозначен с использованием обозначения интервала \ ((a, b) \). Следовательно,

\ [(1,5) = \ {x | 1

Числа \ (1 \) и \ (5 \) называются конечными точками этого множества. Если мы хотим рассмотреть набор, включающий конечные точки, мы бы обозначили этот набор, написав

\ [[1,5] = \ {x | 1 \ leq x \ leq 5 \}. \]

Мы можем использовать аналогичную нотацию, если хотим включить одну из конечных точек, но не другую.Чтобы обозначить набор неотрицательных действительных чисел, мы будем использовать нотацию конструктора множеств

\ [\ {x | x \ geq 0 \}. \]

Наименьшее число в этом наборе - ноль, но у этого набора нет наибольшего числа. Используя обозначение интервалов, мы использовали бы символ \ (∞, \), который относится к положительной бесконечности, и мы бы записали набор как

\ [[0, ∞) = \ {x | x \ geq 0 \}. \]

Важно отметить, что \ (∞ \) не является действительным числом. Здесь он используется символически, чтобы указать, что этот набор включает все действительные числа, большие или равные нулю.Точно так же, если бы мы хотели описать набор всех неположительных чисел, мы могли бы написать

\ [(- ∞, 0] = \ {x | x≤0 \}. \]

Здесь обозначение \ (- ∞ \) относится к отрицательной бесконечности и означает, что мы включаем все числа, меньшие или равные нулю, независимо от того, насколько они малы. Набор

\ [(- ∞, ∞) = \ {\ textit {x} | \ textit {x - любое действительное число} \} \]

относится к набору всех действительных чисел.

Кусочные функции

Некоторые функции определяются с помощью разных уравнений для разных частей своей области.2 = у − 5. \)

Это уравнение выполняется до тех пор, пока существует действительное число x такое, что

\ (x − 4 = ± \ sqrt {y − 5} \)

Так как \ (y≥5 \), квадратный корень определен правильно. Мы заключаем, что для \ (x = 4 ± \ sqrt {y − 5} \), \ (f (x) = y \), и, следовательно, диапазон равен {\ (y | y≥5 \)}.

2. Рассмотрим \ (f (x) = \ sqrt {3x + 2} −1 \).

1. Чтобы найти область определения f, нам понадобится выражение \ (3x + 2≥0 \). Решая это неравенство, мы заключаем, что область равна {\ (x | x≥ − 2/3 \)}.

2.Чтобы найти диапазон f, заметим, что, поскольку \ (\ sqrt {3x + 2} ≥0 \), \ (f (x) = \ sqrt {3x + 2} −1≥ − 1 \). Следовательно, диапазон f должен быть подмножеством множества {\ (y | y≥ − 1 \)}. Чтобы показать, что каждый элемент в этом наборе находится в диапазоне \ (f \), нам нужно показать, что для всех \ (y \) в этом наборе существует действительное число x в области такое, что \ (f ( х) = у \). Пусть \ (y≥ − 1 \). Тогда \ (f (x) = y \) тогда и только тогда, когда

\ (\ sqrt {3x + 2} −1 = y. \)

Решая это уравнение относительно x, мы видим, что x должен решить уравнение

\ (\ sqrt {3x + 2} = y + 1.2- \ frac {2} {3} ≥− \ frac {2} {3}, \)

действительно существует x в области \ (f \). Мы заключаем, что диапазон значений \ (f \) равен {\ (y | y≥ − 1 \)}.

3. Рассмотрим \ (f (x) = 3 / (x − 2). \)

1. Поскольку \ (3 / (x − 2) \) определено, когда знаменатель отличен от нуля, область определения равна {\ (x | x ≠ 2 \)}.

2. Чтобы найти диапазон \ (f \), нам нужно найти такие значения \ (y \), что существует действительное число \ (x \) в области со свойством

\ (\ frac {3} {x} −2 = y. \)

Решая это уравнение относительно x, находим, что

\ (х = \ гидроразрыва {3} {у} +2.\)

Следовательно, пока \ (y ≠ 0 \), в области существует действительное число \ (x \) такое, что \ (f (x) = y \). Таким образом, диапазон равен {\ (y | y ≠ 0 \)}.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Найдите домен и диапазон для \ (f (x) = \ sqrt {4−2x} +5. \)

Подсказка

Используйте \ (4−2x≥0 \).

Ответ

Домен = {\ (x∣x≤2 \)} и диапазон = {\ (y∣y≥5 \)}

Представляющие функции

Обычно функция представляется с помощью одного или нескольких из следующих инструментов:

  • Стол
  • График
  • Формула

Мы можем идентифицировать функцию в каждой форме, но мы также можем использовать их вместе.Например, мы можем нанести на график значения из таблицы или создать таблицу из формулы.

Столы

Функции, описанные с помощью таблицы значений , часто возникают в реальных приложениях. Рассмотрим следующий простой пример. Мы можем описать температуру в определенный день как функцию времени суток. Предположим, мы записываем температуру каждый час в течение 24-часового периода, начиная с полуночи. Мы позволяем нашей входной переменной \ (x \) быть временем после полуночи, измеряемым в часах, а выходной переменной \ (y \) быть температурой \ (x \) часов после полуночи, измеренной в градусах Фаренгейта.Мы записываем наши данные в Таблицу \ (\ PageIndex {1} \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): Температура как функция времени суток
Час после полуночи Температура (° F) Час после полуночи Температура (° F)
0 58 12 84
1 54 13 85
2 53 14 85
3 52 15 83
4 52 16 82
5 55 17 80
6 60 18 77
7 64 19 74
8 72 20 69
9 75 21 65
10 78 22 60
11 80 23 58

Из таблицы видно, что температура является функцией времени, и температура уменьшается, затем увеличивается, а затем снова уменьшается.Однако мы не можем получить четкое представление о поведении функции, не построив график.

Графики

Для функции \ (f \), описываемой таблицей, мы можем предоставить визуальное изображение функции в виде графика. График температур, перечисленных в таблице \ (\ PageIndex {1} \), может дать нам лучшее представление об их колебаниях в течение дня. На рисунке показан график температурной функции.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): График данных из таблицы показывает температуру как функцию времени.

По точкам, нанесенным на график на рисунке \ (\ PageIndex {5} \), мы можем визуализировать общую форму графика. Часто бывает полезно соединить точки на графике, которые представляют данные из таблицы. В этом примере, хотя мы не можем сделать какой-либо окончательный вывод относительно того, какой была температура в любое время, для которого температура не была записана, учитывая количество собранных точек данных и характер в этих точках, разумно предположить, что температуры в в других случаях использовался аналогичный образец, как мы можем видеть на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).{rt} \). Алгебраические формулы - важные инструменты для вычисления значений функций. Часто мы также представляем эти функции визуально в виде графиков.

Дана алгебраическая формула для функции \ (f \), график \ (f \) - это множество точек \ ((x, f (x)) \), где \ (x \) находится в области из \ (f \) и \ (f (x) \) находится в диапазоне. Чтобы построить график функции, заданной формулой, полезно начать с использования формулы для создания таблицы входов и выходов. Если область \ (f \) состоит из бесконечного числа значений, мы не можем перечислить все из них, но поскольку перечисление некоторых входов и выходов может быть очень полезным, часто это хороший способ начать.2−4 \) равны \ (x = ± 2 \). Нули определяют, где график \ (f \) пересекает ось \ (x \), что дает нам больше информации о форме графика функции. График функции может никогда не пересекать ось \ (x \) или пересекаться несколько (или даже бесконечно много) раз.

Еще один интересный момент - перехват \ (y \), если он существует. Перехватчик \ (y \) задается как \ ((0, f (0)) \).

Поскольку функция имеет ровно один выход для каждого входа, график функции может иметь не более одного \ (y \) - точки пересечения.Если \ (x \) = 0 находится в области определения функции \ (f \), то \ (f \) имеет ровно один \ (y \) - точку пересечения. Если \ (x = 0 \) не находится в области \ (f, \), то \ (f \) не имеет \ (y \) - точки пересечения. Аналогично, для любого действительного числа \ (c \), если \ (c \) находится в области \ (f \), существует ровно один выход \ (f (c) \), и строка \ (x = c \) пересекает график \ (f \) ровно один раз. С другой стороны, если \ (c \) не находится в области \ (f \), \ (f (c) \) не определено и прямая \ (x = c \) не пересекает график \ (е \). Это свойство отражено в тесте вертикальной линии.

Тест вертикальной линии

Для функции \ (f \) каждая вертикальная линия, которую можно провести, пересекает график функции \ (f \) не более одного раза. Если какая-либо вертикальная линия пересекает набор точек более одного раза, набор точек не представляет функцию.

Мы можем использовать этот тест, чтобы определить, представляет ли набор нанесенных точек график функции (рисунок \ (\ PageIndex {7} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): (a) Набор нанесенных точек представляет график функции, поскольку каждая вертикальная линия пересекает набор точек не более одного раза.(b) Набор нанесенных точек не представляет график функции, потому что некоторые вертикальные линии пересекают набор точек более одного раза.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): поиск нулей и \ (y \) - перехват функции

Рассмотрим функцию \ (f (x) = - 4x + 2. \)

  1. Найдите все нули \ (f \).
  2. Найдите \ (y \) - точку пересечения (если есть).
  3. Нарисуйте график \ (f \).

Раствор

1.Чтобы найти нули, решите \ (f (x) = - 4x + 2 = 0 \). Мы обнаруживаем, что f имеет один нуль в точке \ (x = 1/2 \).

2. Пересечение оси y определяется выражением \ ((0, f (0)) = (0,2). \)

3. Учитывая, что f - линейная функция вида \ (f (x) = mx + b \), проходящая через точки \ ((1 / 2,0) \) и \ ((0,2) \ ), мы можем набросать график \ (f \) (рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Функция \ (f (x) = - 4x + 2 \) представляет собой строку с \ (x \) - перехватом \ ((1 / 2,0) \) и \ (y \) - перехватить \ ((0,2) \).

Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование нулей и точек пересечения по оси Y для построения эскиза графика

Рассмотрим функцию \ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +1 \).

  1. Найдите все нули \ (f \).
  2. Найдите \ (y \) - точку пересечения (если есть).
  3. Нарисуйте график \ (f \).

Раствор

1. Чтобы найти нули, решите \ (\ sqrt {x + 3} + 1 = 0 \). Из этого уравнения следует \ (\ sqrt {x + 3} = - 1 \). Поскольку \ (\ sqrt {x + 3} ≥0 \) для всех \ (x \), это уравнение не имеет решений, а значит, f не имеет нулей.

2. Перехватчик \ (y \) задается как \ ((0, f (0)) = (0, \ sqrt {3} +1) \).

3. Чтобы построить график этой функции, мы составим таблицу значений. Поскольку нам нужно \ (x + 3≥0 \), нам нужно выбрать значения \ (x≥ − 3 \). Мы выбираем значения, которые упрощают вычисление функции извлечения квадратного корня.

\ (х \) -3 -2 1
\ (f (x) \) 1 2 3

Воспользовавшись таблицей и зная, что, поскольку функция является квадратным корнем, график \ (f \) должен быть похож на график \ (y = \ sqrt {x} \), мы делаем набросок график (Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)).2 + 100 \), где s измеряется в футах, а t - в секундах. Область ограничена интервалом \ ([0, c] \), где \ (t = 0 \) - время, когда мяч падает, а \ (t = c \) - время, когда мяч падает на землю. .

  1. Создайте таблицу, показывающую высоту s (t), когда \ (t = 0,0,5,1,1,5,2 \) и \ (2,5 \). Используя данные из таблицы, определите домен для этой функции. То есть найдите время c, когда мяч упадет на землю.
  2. Нарисуйте график \ (s \).

Раствор

\ (t \) 0 0.5 1 1,5 2 2,5
\ (s (t) \) 100 96 84 64 36 0

Так как мяч ударяется о землю, когда \ (t = 2,5 \), область определения этой функции - интервал \ ([0,2,5] \).

2.

Обратите внимание, что для этой функции и функции \ (f (x) = - 4x + 2 \), изображенной на Рисунке \ (\ PageIndex {8} \), значения \ (f (x) \) становятся меньше по мере того, как \ (x \) становится больше. Функция с этим свойством называется убывающей. С другой стороны, для функции \ (f (x) = \ sqrt {x + 3} +1 \), изображенной на рисунке \ (\ PageIndex {9} \), значения \ (f (x) \) становятся больше по мере увеличения значений \ (x \). Функция с этим свойством называется возрастающей. Однако важно отметить, что функция может увеличиваться на некотором интервале или интервалах и уменьшаться на другом интервале или интервалах.Например, используя нашу температурную функцию, построенную выше, мы можем видеть, что функция убывает на интервале \ ((0,4) \), увеличивается на интервале \ ((4,14) \), а затем убывает на интервале интервал \ ((14,23) \). Мы уточним идею увеличения или уменьшения функции на определенном интервале в следующем определении.

Определение: увеличение и уменьшение в интервале

Мы говорим, что функция \ (f \) - это , возрастающая на интервале I , если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1}) ≤f (x_ {2}) \), когда \ (x_ {1}

Мы говорим, что \ (f \) строго возрастает на интервале \ (I \), если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1})

Мы говорим, что функция \ (f \) на убывает на интервале I , если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I, \)

\ (f (x_ {1}) ≥f (x_ {2}) \), если \ (x_ {1}

Мы говорим, что функция \ (f \) строго убывает на интервале \ (I \), если для всех \ (x_ {1}, x_ {2} ∈I \),

\ (f (x_ {1})> f (x_ {2}) \), если \ (x_ {1}

Комбинирование функций

Теперь, когда мы рассмотрели основные характеристики функций, мы можем увидеть, что происходит с этими свойствами, когда мы комбинируем функции разными способами, используя базовые математические операции для создания новых функций. Например, если затраты компании на производство \ (x \) товаров описываются функцией \ (C (x) \), а доход, полученный от продажи \ (x \) товаров, описывается функцией \ (R (x) \), тогда прибыль от производства и продажи x единиц определяется как \ (P (x) = R (x) −C (x) \).2 + 1. \]

Обратите внимание, что эти две новые функции отличаются друг от друга.

Комбинирование функций с математическими операторами

Чтобы комбинировать функции с помощью математических операторов, мы просто пишем функции с помощью оператора и упрощаем. Имея две функции \ (f \) и \ (g \), мы можем определить четыре новые функции:

\ ((f + g) (x) = f (x) + g (x) \) Сумма
\ ((f − g) (x) = f (x) −g (x) \) Разница
\ ((f · g) (x) = f (x) g (x) \) Товар
\ ((\ frac {f} {g}) (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} \) для \ (g (x) ≠ 0 \) Частное

Пример \ (\ PageIndex {6} \): объединение функций с использованием математических операций

Даны функции \ (f (x) = 2x − 3 \) и \ (g (x) = x ^ 2−1 \), найдите каждую из следующих функций и укажите ее область определения.2 + 3} {2x − 5} \). Домен {\ (x | x ≠ \ frac {5} {2} \)}.

Функциональная композиция

Когда мы составляем функции, мы берем функцию функции. Например, предположим, что температура \ (T \) в данный день описана как функция времени \ (t \) (измеряется в часах после полуночи), как в таблице. Предположим, что стоимость \ (C \) для обогрева или охлаждения здания в течение 1 часа может быть описана как функция температуры \ (T \). Комбинируя эти две функции, мы можем описать стоимость отопления или охлаждения здания как функцию времени, оценив \ (C (T (t)) \).Мы определили новую функцию, обозначенную \ (C∘T \), которая определена так, что \ ((C∘T) (t) = C (T (t)) \) для всех \ (t \) в область \ (T \). Эта новая функция называется составной функцией. Отметим, что, поскольку стоимость является функцией температуры, а температура - функцией времени, имеет смысл определить эту новую функцию \ ((C∘T) (t) \). Нет смысла рассматривать \ ((T∘C) (t) \), потому что температура не является функцией стоимости.

Определение: составные функции

Рассмотрим функцию \ (f \) с областью определения \ (A \) и диапазоном \ (B \), а также функцию \ (g \) с областью определения \ (D \) и диапазоном \ (E \).Если \ (B \) является подмножеством \ (D \), то составная функция \ ((g∘f) (x) \) - это функция с областью определения \ (A \), такая что

\ [(g∘f) (x) = g (f (x)) \]

Составную функцию \ (g∘f \) можно просмотреть в два этапа. Во-первых, функция \ (f \) отображает каждый вход \ (x \) в области f на свой выход \ (f (x) \) в диапазоне \ (f \). Во-вторых, поскольку диапазон \ (f \) является подмножеством области определения \ (g \), выход \ (f (x) \) является элементом в области \ (g \), и, следовательно, он отображается на выход \ (g (f (x)) \) в диапазоне \ (g \).2 + 1 = 5 \)

В примере мы видим, что \ ((f∘g) (x) ≠ (g∘f) (x) \). В общих чертах это говорит нам о том, что порядок, в котором мы составляем функции, имеет значение.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Пусть \ (f (x) = 2−5x \). Пусть \ (g (x) = \ sqrt {x} \). Найдите \ ((f∘g) (x) \).

Раствор

\ ((f∘g) (x) = 2−5 \ sqrt {x} \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \): Состав функций, определенных таблицами

Рассмотрим функции \ (f \) и \ (g \), описываемые формулой

x -3 -2 –1 0 1 2 3 4
f (x) 0 4 2 4 -2 0 -2 4
x -4 -2 0 2 4
г (x) 1 0 3 0 5
  1. Вычислить \ ((g∘f) (3) \), \ ((g∘f) (0) \).
  2. Укажите домен и диапазон \ ((g∘f) (x) \).
  3. Вычислить \ ((f∘f) (3) \), \ ((f∘f) (1) \).
  4. Укажите домен и диапазон \ ((f∘f) (x) \).

Решение :

1. \ ((g∘f) (3) = g (f (3)) = g (−2) = 0 \)

\ ((g∘f) (0) = g (4) = 5 \)

2. Область определения \ (g∘f \) - это множество {\ (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 \)}. Поскольку диапазон \ (f \) - это множество {\ (- 2,0,2,4 \)}, диапазон \ (g∘f \) - это множество {\ (0,3,5 \) }.

3. \ ((f∘f) (3) = f (f (3)) = f (−2) = 4 \)

\ ((f∘f) (1) = f (f (1)) = f (−2) = 4 \)

4.Область определения \ (f∘f \) - это множество {\ (- 3, −2, −1,0,1,2,3,4 \)}. Поскольку диапазон \ (f \) - это множество {\ (- 2,0,2,4 \)}, диапазон \ (f∘f \) - это множество {\ (0,4 \)}.

Пример \ (\ PageIndex {9} \): приложение, использующее составную функцию

Магазин рекламирует скидку 20% на все товары. У Кэролайн есть купон, который дает ей право на дополнительную скидку 15% на любой товар, в том числе на распродажные товары. Если Кэролайн решит приобрести предмет по первоначальной цене \ (x \) долларов, сколько она в конечном итоге заплатит, если применит свой купон к продажной цене? Решите эту проблему, используя составную функцию.

Раствор

Поскольку цена продажи составляет 20% от первоначальной цены, если товар стоит \ (x \) долларов, его продажная цена определяется как \ (f (x) = 0.80x \). Поскольку купон дает человеку право на скидку 15% от цены любого предмета, если предмет стоит \ (y \) долларов, цена после применения купона будет равна g (y) = 0,85y. Следовательно, если цена изначально равна \ (x \) долларов, его продажная цена будет \ (f (x) = 0.80x \), а затем его окончательная цена после купона будет \ (g (f (x)) = 0,85 (0.80х) = 0,68х \).

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Если товары продаются со скидкой 10% от их первоначальной цены, и у покупателя есть купон на дополнительную скидку 30%, какова будет окончательная цена для товара, который изначально составляет x долларов, после применения купона к цене продажи ?

Подсказка

Цена продажи предмета с первоначальной ценой \ (x \) долларов равна \ (f (x) = 0.90x \). Цена купона на предмет, который стоит \ (y \) долларов, равна \ (g (y) = 0.3−4x \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Если мы возьмем график и повернем его на \ (180 ° \) вокруг начала координат, новый граф будет выглядеть точно так же. В этом случае мы говорим, что функция имеет симметрию относительно начала координат .

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): (a) График, симметричный относительно оси \ (y \). (б) Граф, симметричный относительно начала координат.

Если нам дан график функции, легко увидеть, обладает ли график одним из этих свойств симметрии.3 = −f (x). \)

Определение: четные и нечетные функции

  • Если \ (f (x) = f (−x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является функцией с четностью . Четная функция симметрична относительно оси \ (y \).
  • Если \ (f (−x) = - f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является нечетной функцией . Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
Алгебраическая симметрия: функция четная, нечетная или нет?

Вычислите \ (f (−x) \) и сравните его с \ (f (x) \) и \ (- f (x) \).

  • Если \ (f (x) = f (−x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является функцией с четностью .
  • Если \ (f (−x) = - f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \), то \ (f \) является нечетной функцией .
  • Если \ (f (−x) \) не то же самое, что \ (f (x) \) и не то же самое, что \ (- f (x) \), то \ (f) не является ни четным, ни нечетным.

Пример \ (\ PageIndex {10} \): четные и нечетные функции

Определите, является ли каждая из следующих функций четной, нечетной или ни одной из них.3−5x является четным, нечетным или ни одним из них.

Подсказка

Сравните \ (f (−x) \) с \ (f (x) \) и \ (- f (x) \).

Ответ

f (x) нечетно.

Одна из часто возникающих симметричных функций - это функция абсолютного значения , записанная как \ (| x | \). Функция абсолютного значения определяется как

\ [f (x) = \ begin {cases} -x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {cases} \]

Некоторые студенты описывают эту функцию, говоря, что она «делает все положительным.”По определению функции абсолютного значения мы видим, что если \ (x <0 \), то \ (| x | = −x> 0 \), а если \ (x> 0 \), то \ (| х | = х> 0 \). Однако для \ (x = 0 \) \ (| x | = 0 \). Поэтому точнее сказать, что для всех ненулевых входов выход положительный, но если \ (x = 0 \), выход \ (| x | = 0 \). Мы заключаем, что диапазон функции абсолютного значения равен {\ (y | y≥0 \)}. На рисунке \ (\ PageIndex {13} \) мы видим, что функция абсолютного значения симметрична относительно оси \ (y \) и, следовательно, является четной функцией.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График \ (f (x) = | x | \) симметричен относительно оси \ (y \).

Пример \ (\ PageIndex {11} \): Работа с функцией абсолютного значения

Найдите область определения и диапазон функции \ (f (x) = 2 | x − 3 | +4 \).

Раствор

Поскольку функция абсолютного значения определена для всех действительных чисел, область определения этой функции равна \ ((- ∞, ∞) \). Поскольку \ (| x − 3 | ≥0 \) для всех \ (x \), функция \ (f (x) = 2 | x − 3 | + 4≥4 \).Следовательно, диапазон - это самое большее множество {\ (y | y≥4 \)}. Чтобы увидеть, что диапазон фактически является всем этим множеством, нам нужно показать, что для \ (y≥4 \) существует действительное число \ (x \) такое, что

\ (2 | х − 3 | + 4 = у \)

Действительное число \ (x \) удовлетворяет этому уравнению до тех пор, пока

\ (| x − 3 | = \ frac {1} {2} (y − 4) \)

Так как \ (y≥4 \), мы знаем \ (y − 4≥0 \), и, следовательно, правая часть уравнения неотрицательна, поэтому возможно, что существует решение. Кроме того,

\ (| x − 3 | = \ begin {cases} - (x − 3) & \ text {if} x <3 \\ x − 3 & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \).

Следовательно, мы видим, что есть два решения:

\ (x = ± \ frac {1} {2} (y − 4) +3 \).

Диапазон этой функции равен \ ({y | y≥4} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \): домен и диапазон

Для функции \ (f (x) = | x + 2 | −4 \) найдите область определения и диапазон.

Подсказка

\ (| x + 2 | ≥0 \) для всех действительных чисел \ (x \).

Ответ

Домен = \ ((- ∞, ∞) \), диапазон = {\ (y | y≥ − 4 \)}.

Ключевые концепции

  • Функция - это отображение набора входов на набор выходов с ровно одним выходом для каждого входа.
  • Если для функции \ (y = f (x) \) не указана область определения,
  • доменом считается набор всех действительных чисел \ (x \)
  • , для которого определена функция.
  • При рисовании графика функции \ (f \),
  • каждая вертикальная линия может пересекать график не более одного раза.
  • Функция может иметь любое количество нулей, но не более одного пересечения по оси Y.
  • Чтобы определить композицию \ (g∘f \), диапазон \ (f \) должен содержаться в области \ (g \).
  • Четные функции симметричны относительно оси \ (y \), тогда как нечетные функции симметричны относительно начала координат.

Ключевые уравнения

  • Сочетание двух функций

\ (g∘f) (x) = g (f (x)) \)

\ (f (x) = \ begin {cases} −x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {ases} \)

Глоссарий

функция абсолютного значения
\ (f (x) = \ begin {cases} −x & x <0 \\ x & x≥0 \ end {ases} \)
комбинированная функция
даны две функции \ (f \) и \ (g \), новая функция, обозначенная \ (g∘f \), такая, что \ ((g∘f) (x) = g (f (x)) \ )
убывающая на интервале II
функция, убывающая на интервале \ (I \), если для всех \ (x_1, x_2∈I, f (x_1) ≥f (x_2) \), если \ (x_1
зависимая переменная
выходная переменная для функции
домен
набор входов для функции
четная функция
функция даже если \ (f (−x) = f (x) \) для всех \ (x \) в области \ (f \)
функция
набор входов, набор выходов и правило для сопоставления каждого входа ровно с одним выходом
график функции
набор точек \ ((x, y) \) таких, что \ (x \) находится в области \ (f \) и \ (y = f (x) \)
возрастающий на интервале II
функция, возрастающая на интервале \ (I \), если для al \ (l x1, x2∈I, f (x1) ≤f (x2) \), если \ (x1
независимая переменная
входная переменная для функции
нечетная функция
функция является нечетной, если \ (f (−x) = - f (x) \) для всех \ (x \) в области определения \ (f \)
диапазон
набор выходов для функции
симметрия относительно начала координат
график функции \ (f \) симметричен относительно начала координат, если \ ((- x, −y) \) находится на графике \ (f \) всякий раз, когда \ ((x, y) \) находится на график
симметрия относительно оси y
график функции \ (f \) симметричен относительно оси \ (y \), если \ ((- x, y) \) находится на графике \ (f \) всякий раз, когда \ ((x, y ) \) находится на графе
таблица значений
Таблица, содержащая список входов и соответствующих им выходов
тест вертикальной линии
для графика функции каждая вертикальная линия пересекает график не более одного раза
нулей функции
, когда действительное число x является нулем функции \ (f, f (x) = 0 \)
Авторы
  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

(PDF) Тестирование свойств графиков и функций

Во-вторых, зафиксируйте ε> 0 и пусть U

n

∈ P таково, что d

1

(W

G

n

, U

n

) ≤ d

1

(W

G

n

,

P) + ε. Согласно определению тестируемости функций

, существует m ≥ 1 такое, что для m ≥ m

0

и каждого n мы имеем

, что G (m, U

n

) ∈ P

с вероятностью не менее 2/3.

Аналогично доказательству (а), рассмотрим случайный граф G

= G

(q

n

, U

n

). Очевидно

d

1

(G

n

, P) ≤ d

1

(G

n

, G

) + d

1

(G

, П). (16)

Здесь по лемме 2.6

E (d

1

(G

n

, G

)) = d

1

(W

G

n

, U

n

).(17)

Далее мы покажем, что с вероятностью, стремящейся к 1 при n → ∞, имеем

d

1

(G

n

, G

) ≤ d

1

(W

G

n

, U

n

) + ε. (18)

В самом деле, левая часть представляет собой сумму q

n

/2 независимых случайных величин, все со значениями 0 −1, поэтому

следует из Закона больших чисел.

Чтобы оценить другой член в (16), пусть Z будет случайным m-элементным подмножеством X, и пусть Y

будет случайным m-элементным подмножеством [0, 1]. Распределения Z и Y очень близки; действительно,

мы можем сгенерировать Z, генерируя Y и принимая его, если его элементы попадают в разные интервалы

[i / q

n

, (i + 1) / q

n

], i = 0 ,. . . , q

n

- 1, и только регенерировать в противном случае. Вероятность того, что нам

нужно регенерировать, стремится к 0 при n → ∞, поэтому общее расстояние изменения Z и Y стремится к

0.Вероятность того, что G (Y, U

n

) ∈ P

, составляет не менее 2/3, поскольку

P проверяется по лемме 3.12, и поэтому

вероятность того, что G (Z, U

n

) ∈ P

составляет не менее 1/2. Но G (Z, U

n

) имеет то же распределение, что и случайный подграф с m-узлами

в G

, и, следовательно, по проверяемости,

P

d

1

(G

, P) ≤ ε

+

1

3

P

d

1

(G

, P) > ε

1

2

.

Это означает, что с вероятностью не менее 1/4,

d

1

(G

, P) ≤ ε. (19)

С положительной вероятностью встречаются и (18), и (19), поэтому согласно (16) мы имеем

d

1

(G

n

, P) ≤ d

1

(G

n

, G

) + d

1

(G

, P) ≤ d

1

(W

G

n

, U

n

) + ε + ε ≤ d

1

(W

G

n

,

P) + 3ε.

Отправляя n → ∞, мы видим, что a ≤ b + 3ε. Поскольку ε произвольно, отсюда следует, что a ≤ b, что является противоречием

.

(c) Пусть ε> 0, и пусть U ∈

P будет такой функцией, что кВт

G

- U k

1

≤ d

1

(W

G

, У) + е. Пусть H

n

равны графам, таким что H

n

→ U и H

n

∈ P. Тогда для соответствующей маркировки

узлов H

n

, имеем кВт

H

n

−Uk

→ 0.Поскольку W

G

имеет значение 0 −1, Le mma 2.9 означает, что

кВт

H

n

−W

G

k

1

→ kU −W

G

к

1

. Le t V (G) = {1,. . . , k} и V (H

n

) = {1,. . . , м}. Выберите n большой

достаточно, чтобы кВт

H

n

- W

G

k

1

≤ kU - W

G

k

1

+ ε и m ≥ k / ε.

Пусть V

i

=

⌊ (i - 1) m / k⌋ + 1,. . . , ⌊Im / k⌋

для i = 1,. . . , к. Тогда (V

1

, ..., V

k

) представляет собой разделение

V (H

n

) на k почти равных классов. Определите график G

на {1,. . . , k}, соединив u ∈ V

i

с

v ∈ V

j

тогда и только тогда, когда ij ∈ E (G).Тогда G

является равносильным увеличением G. Кроме того, W

G

и

21

Использование функций и свойств Test Suite - MATLAB и Simulink

Создать imaqkit.AdaptorTest объект.

Для объекта imaqkit.AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj = imaqkit.AdaptorTest.createTest
   (AdaptorName, DeviceId, Format,
   EstimatedAcquisitionFrameRate) 

возвращает тестовый объект для тестирования устройства с указанным адаптером, идентификатором и форматом. AdaptorName - это имя адаптера для использования общаться с устройством, например winvideo , gige и т. Д. DeviceId - это числовой идентификатор устройства, часто это 1 . Формат - это видеоформат для получения изображений. Чтобы узнать больше о DeviceId и доступных форматах, используйте imaqhwinfo .

См. Пример в следующем раздел для примера использования createTest функция.

Для автоматизированного тестирования запустите все автоматизированные тесты.Это запускает все тесты точки.

Для объекта imaqkit.AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAllAutomatedTests 
 runAutomatedObjectCreation
   AndPreviewTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматическое создание и предварительный просмотр объекта. тестовое задание.Этот тест создает объект с указанными параметрами, а затем предварительный просмотр. Он также проверяет, можно ли остановить предварительный просмотр, а затем закрыто.

Для объекта imaqkit.AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedObjectCreationAndPreviewTest 
 runAutomatedBasic
   AcquisitionTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест сбора данных.Этот тест приобретает и монтирует 10 кадров. Он также проверяет, что непрерывное изображение приобретение можно остановить.

Для imaqkit.AdaptorTest объект вызван testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedBasicAcquisitionTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест области интереса.В test просматривает ROI во время предварительного просмотра. Он делит кадр на четыре разделов и предварительно просматривает каждый раздел отдельно. Этот тест проверяет настройку интересующей области на значение, отличное от значения по умолчанию, и затем получение данных. Он также проверяет установку значений ROI с помощью X и Y смещения.

Для объекта imaqkit.AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedROITest 
 runAutomatedRepeated
   AcquisitionTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест с повторным сбором данных. Этот тест выполняет 25 захватов с одного и того же устройства.

Для imaqkit.AdaptorTest объект вызван testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedRepeatedAcquisitionTest 
 runAutomatedImmediate
   TriggerTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест триггера для немедленного выполнения. срабатывание. Этот тест проверяет получение изображений в режиме немедленного запуска. Он проверяет количество полученных кадров для получения с немедленным курок.

Для imaqkit .Объект AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedImmediateTriggerTest 
 runAutomatedManualTrigger
   Тест 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест триггера для ручного тестирования. срабатывание. Этот тест проверяет получение изображений в ручном режиме триггера. Это проверяет, что кадры не получены, когда imaqkit.Объект AdaptorTest ожидает триггер, а также количество полученных кадров (один раз срабатывает).

Для imaqkit .AdaptorTest объект под названием testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedManualTriggerTest 
 запуститьАвтоматизированное оборудование
   TriggerTest 

Для автоматического тестирования запустите автоматический тест триггера для оборудования срабатывание.Этот тест проверяет imaqkit .AdaptorTest объект в режиме аппаратного запуска. Проверяет, что кадры не получены когда объект ожидает срабатывания триггера. Чтобы проверить запуск с помощью аппаратный триггер, см. Image Acquisition Toolbox документация.

Для imaqkit .AdaptorTest объект под названием testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runAutomatedHardwareTriggerTest 
 runInteractiveDevice
   PropertiesTest 

Для интерактивного тестирования запустите интерактивный тест свойств устройства. Это проверяет значения свойств, зависящих от устройства, в инспекторе свойств. Этот тест проверяет свойства устройства в интерактивном режиме. открыв предварительный просмотр окно и инспектор собственности.Вы можете изменить свойства из инспектор свойств и наблюдайте за изменениями в предварительном просмотре окно.

Для объекта imaqkit.AdaptorTest называется testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runInteractiveDevicePropertiesTest 
 runInteractiveMultiple
   DeviceAcquisitionTest 

Для интерактивного тестирования запустите интерактивное несколько устройств. тест на приобретение.Этот тест проверяет одновременное получение данных от двух устройств. Перед запуском этого теста как минимум два устройства должны быть подключены, а также информация об их идентификаторах устройства и формате, полученная с помощью imaqhwinfo .

Для imaqkit.AdaptorTest объект вызван testObj , используйте это синтаксис:

 testObj.runInteractiveMultipleDeviceAcquisition
   Тест (testObj, deviceId1, deviceFormat1,
   deviceId2, deviceFormat2) 

Получите список тестов, которые можно запустить.

Для imaqkit.AdaptorTest объект вызван testObj , используйте это синтаксис:

Логарифмические функции и их графики

4.2 - Логарифмические функции и их графики

Функция, обратная экспоненциальной

В разделе об экспоненциальных функциях мы заявили, что экспоненциальные функции взаимно однозначны. Один к одному функции обладали тем особенным свойством, что они имели обратные это тоже функции. И, как многие из вас говорили в классе, и я так рад, что вы помните, функции "один-к-одному" могут применяться к обеим сторонам уравнения. Они также проходят горизонтальная линия тест.

Этот раздел посвящен обратной экспоненциальной функция.Обратной к экспоненциальной функции является логарифмическая функция. Помните, что обратное функция получается переключением координат x и y. Это отражает график относительно прямой y = x. Как видно из графика справа, логарифмическая кривая является отражением экспоненциальной кривой.

В таблице ниже показано, как значения x и y точек экспоненты кривую можно переключить, чтобы найти координаты точек на логарифмической изгиб.

Точка на экспоненциальной кривой
Соответствующая точка
на логарифмической кривой
(-3, 1/8) (1/8, -3)
(-2, 1/4) (1/4, -2)
(-1, 1/2) (1/2, -1)
(0, 1) (1, 0)
(1, 2) (2, 1)
(2, 4) (4, 2)
(3, 8) (8, 3)

Сравнение экспоненциальных и логарифмических функций

Давайте посмотрим на некоторые свойства из двух функций.

Стандартная форма логарифмической функции: y = log a x

Обратите внимание: если "a" в приведенном выше выражении не является нижним индексом (ниже, чем «журнал»), тогда вам нужно обновить веб-браузер.

Экспоненциальная Логарифмический
Функция y = a x , a> 0, a ≠ 1 y = журнал a x, a> 0, a ≠ 1
Домен все реалы х> 0
Диапазон г> 0 все реалы
перехват г = 1 х = 1
увеличение при a> 1 при a> 1
убывающая при 0 при 0
асимптота ось x (y = 0) ось Y (x = 0)
непрерывный да да
гладкая да да

Рабочее определение логарифма

В экспоненциальной функции x был показателем.Назначение обратной функции - чтобы сообщить вам, какое значение x использовалось, когда вы уже знаете значение y. Итак, цель логарифм должен сказать вам показатель степени.

Таким образом, наше простое определение логарифма состоит в том, что это показатель степени.

Другой способ взглянуть на выражение «log a x» - это «до какой степени (экспоненты) нужно возвести получить х? "

Эквивалентные формы

Логарифмическая форма уравнения y = log a x эквивалентна экспоненциальной форме x = a y .

Чтобы переписать одну форму в другую, оставьте основу такой же и поменяйте сторону с двумя другими ценности.

Свойства логарифмов

журнал a 1 = 0, потому что 0 = 1
Неважно, каково основание, если оно допустимо, логарифм 1 всегда равен 0. Это потому что логарифмические кривые всегда проходят через (1,0)
журнал a a = 1, потому что 1 = a
Любое значение, возведенное в первую степень, означает, что такое же значение.
журнал a a x = x
Логарифмическое основание x и степень x являются обратными функциями. Всякий раз, когда обратный функции применяются друг к другу, они инвертируются, и вы остаетесь с в аргумент, в данном случае x.
log a x = log a y означает, что x = y
Если два бревна с одинаковым основанием равны, то аргументы должны быть равны.
log a x = log b x означает, что a = b
Если два логарифма с одним и тем же аргументом равны, то основания должны быть равны.

Обычные и натуральные журналы

На вашем калькуляторе есть две кнопки логарифма. Один помечен как «журнал» и другой отмечен "пер". Ни в одном из них нет записанной базы. Базу можно определить, однако, глядя на обратную функцию, которая написана над ключом и доступ осуществляется с помощью клавиши 2 nd .

Десятичный логарифм (основание 10)

Когда вы видите записанный «журнал» без базы, предположите, что база равна 10.
То есть: журнал x = журнал 10 x.

Некоторые приложения, в которых используются десятичные логарифмы, относятся к pH (для измерения кислотности), децибелам. (интенсивность звука), шкала Рихтера (землетрясения).

Интересное (возможно) примечание о pH. "Глава 50: Канализация" деревни Кодекса Форсайта запрещает сброс отходов с pH ниже 5,5 или выше 10,5 (раздел 50.07).

Общие журналы служат и для другой цели. Каждое увеличение десятичного логарифма на единицу является результатом 10-кратного аргумента.То есть землетрясение силой 6,3 балла имеет 10 раз больше 5.3 землетрясение. Уровень децибел громкой рок-музыки или бензопилы (115 децибел = 11,5 бел) в 10 раз громче, чем цыплята внутри здания (105 децибел = 10,5 бел)

Натуральные логарифмы (основание е)

Помните тот номер e , который у нас был из предыдущего раздела? Вы знаете, тот, который был приблизительно 2,718281828 (но не повторяется и не прерывается). Это основа для естественного логарифм.

Когда вы видите написанное «ln», это означает, что основание - e .
То есть: ln x = log e x

Модели экспоненциального роста и спада - это одно приложение, в котором используются натуральные логарифмы. Этот включает непрерывное соединение, радиоактивный распад (период полураспада), рост населения. Обычно приложения, в которых процесс происходит постоянно. Теперь эти приложения были первыми упомянутые в экспоненциальном разделе, но вы сможете решить для других переменных задействованы (после раздела 4) с использованием логарифмов.

В математике более высокого уровня натуральный логарифм - это логарифм выбора. Есть несколько специальные свойства функции натурального логарифма и ее обратной функции, которые делают жизнь очень проще в исчислении.

Поскольку «ln x» и « e x » являются обратными функциями друг друга, каждый раз, когда «ln» и «e» появляются справа рядом друг с другом, между ними абсолютно ничего нет (то есть, когда они составлены друг с другом), затем они инвертируются, и вы остаетесь с Аргумент.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *