Как решать степени с отрицательным показателем: Степень с отрицательным показателем

Содержание

Отрицательная степень числа | Алгебра

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d^-c =	1	; 7^-5 =	1	; a^-5 =	1	.
	d^c		7⁵		a⁵

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a⁵ : a⁸ = a

5 — 8 = a^-3.

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Значит:

Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

Решение:

Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

Решение:

1	= (m + n)^-2.
(m + n)²

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a · a · a · a. .. · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

2³ = 2 · 2 · 2, где
2 — основание степени
3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Примеры

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³ a⁶=a^{3 — 6} = a^-3

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Примеры

Деление отрицательных степеней

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. m} $.

Степень с целым показателем

Степень с целым показателем — это степень, показателем которой является любое целое число.

В прошлом уроке мы изучили степень с натуральным показателем. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку натуральные числа относятся к целым числам.

Также, мы рассмотрели степень, показателем которой является 0. Этот вид степени тоже является степенью с целым показателем, поскольку 0 относится к целым числам.

Рассмотрим ещё один вид степени с целым показателем, а именно показателем которой является целое отрицательное число. Выглядят эти степени так:

2⁻², 10⁻⁷, a⁻⁸

В дальнейшем любую степень с натуральным, нулевым или целым отрицательным показателем, мы будем называть степенью с целым показателем.

Предварительные навыки

Правило вычисления

Рассмотрим следующую последовательность степеней:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Первая степень в этой последовательности это степень 2⁰. Предыдущая степень с целым показателем будет уже с отрицательным показателем и выглядеть как 2⁻¹.

2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

А предыдущая степень с целым показателем, которая располагается до 2⁻¹, будет степень 2⁻²

2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Продолжим эту последовательность в сторону степеней с целыми отрицательными показателями:

2⁻⁵, 2⁻⁴, 2⁻³, 2⁻², 2⁻¹, 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Теперь попробуем вычислить эти степени. Степени с натуральными показателями и степень, показателем которой является 0, вычисляются легко:

А как вычислить степени с отрицательными показателями? Для начала немного отойдём от темы и затронем несколько закономерностей.

В отрицательную степень число возводится немного иначе. Следует понимать, что если при возведении в положительную степень число увеличивается, то при возведении в отрицательную степень это число наоборот уменьшается.

Если мы возьмём какое-нибудь число n, и начнём последовательно увеличивать его степень, то получим последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего в n раз.

Например, возьмём число 2. Начиная с нуля будем последовательно увеличивать его показатель:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵

Вычислим эти степени:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Получили последовательность чисел, в которой каждое число меньше следующего числа в 2 раза. Тогда логично предположить, что число, располагающееся до единицы, будет в два раза меньше единицы. Его можно получить, если 1 разделить на 2

Вернёмся к нашей исходной последовательности, где мы вычисляли степени. Получается, что степень 2⁻¹ мы вычислили. Она равна рациональному числу

Предыдущее за числом должно быть в два раза меньше, чем . Чтобы его получить разделим на 2

Получили . Это значение степени 2⁻²

Продолжая деление на 2 можно получить значения остальных степеней с целыми отрицательными показателями:

Заметим, что в данной последовательности значения степеней с отрицательными показателями являются обратными числами к значениям степеней с натуральными показателями:

К примеру, значение степени в 2² есть число 4. А значение степени 2⁻² есть число . Числа 4 и являются обратными друг другу. А степени 2² и 2⁻² отличаются только тем, что у них противоположные показатели.

Можно сделать вывод, что для вычисления степени с отрицательным показателем, нужно записать дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе та же самая степень, но с противоположным показателем. Покажем это на примере степени 2⁻²

Вычислим степень, находящуюся в знаменателе:

Таким образом, чтобы вычислить степень вида a⁻ⁿ можно воспользоваться следующим правилом:

Данное правило можно доказать, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Допустим, потребовалось вычислить выражение 2³: 2⁵. Запишем это деление в виде дроби

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями:

Получили степень с отрицательным показателем 2⁻². Ранее мы выяснили, что её значение равно . Чтобы убедиться в этом, попробуем вычислить выражение как обычно, не используя правило деления степеней:

Получили рациональное число . Сократим его на 8. Тогда получим

Пример 2. Найти значение выражения 9⁻²

Воспользуемся правилом вычисления степени с целым отрицательным показателем:

Пример 3. Найти значение выражения 3⁻³

Следует упомянуть, что правило работает только тогда, когда a ≠ 0.

Действительно, если a будет равным нулю, то в знаменателе получим 0, а на нуль делить нельзя.

Пример 4. Найти значение выражения

Пример 5. Найти значение выражения

При возведении обыкновенных дробей в отрицательную степень, можно пользоваться формулой . Решим предыдущие два примера с помощью этой формулы:

Желательно уметь возводить обыкновенную дробь в отрицательную степень как с помощью формулы, так и без неё.

Тождественные преобразования

Все тождественные преобразования, которые мы рассматривали при изучении степени с натуральным показателем, сохраняются и для степеней с целыми отрицательными показателями.

Например, чтобы представить выражение 2⁻¹× 2⁻³ в виде степени, можно воспользоваться основным свойством степени:

2⁻¹ × 2⁻³ = 2^{−1 + (−3)} = 2⁻⁴

Пример 2. Найти значение выражения 5⁻¹⁵× 5¹⁶

Воспользуемся основным свойством степени:

5⁻¹⁵× 5¹⁶= 5^{−15 + 16}= 5¹= 5

или:

Видим, что первый вариант решения намного проще и удобнее.

Пример 3. Найти значение выражения (10⁻⁴)⁻¹

Воспользуемся правилом возведения степени в степень:

(10⁻⁴)⁻¹ = 10^{−4 × (−1)} = 10⁴ = 10000

Пример 4. Найти значение выражения

Представим число основание 10 в виде произведения 2 × 5. Тогда числитель примет вид (2 × 5)⁻⁶

В числителе применим правило возведения в степень произведения:

Сократим получившуюся дробь на 5⁻⁶

Вычислим степень 2⁻⁶

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Если знаменатель дробного выражения содержит степень, то данную степень можно поднять в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. Значение выражения при этом не меняется. Данное преобразование иногда используется при упрощении выражений.

Рассмотрим следующее равенство:

Данное равенство является верным, поскольку выражение равно 2⁰, а любое число в нулевой степени есть единица.

Попробуем поднять степень 2² из знаменателя в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, поднятую степень и ту степень, которая располагалась в числителе, соединим знаком умножения:

Получили выражение 2² × 2⁻². Чтобы его вычислить, воспользуемся основным свойством степени:

2² × 2⁻² = 2^2 + (−2) = 2⁰ = 1

Получился тот же результат, что и раньше. Значит значение выражения не изменилось. Как это работает?

Если в равенстве поменять местами левую и правую часть, то получим равенство . Это позволяет заменять в выражениях дробь вида на тождественно равное ей выражение a⁻ⁿ.

Теперь представим выражение в виде произведения . То есть заменим деление умножением. Напомним, что при замене деления умножением, делимое умножают на число, обратное делителю. А обратное делителю число в данном случае это дробь

Теперь воспользуемся правилом . В произведении заменим дробь на тождественно равное ей выражение 2⁻²

Далее, как и раньше применяем основное свойство степени:

Получился тот же результат 1.

Таким же образом можно опустить степень из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный.

Рассмотрим выражение . Чтобы найти его значение, воспользуемся правилом деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получим

Теперь попробуем решить этот пример, опустив степень 2⁻² из числителя в знаменатель, изменив знак показателя этой степени на противоположный. При этом, опущенную степень 2⁻² и ту степень, которая располагалась в знаменателе, соединим знаком умножения. А в числителе останется единица:

Дальнейшее вычисление не составит особого труда:

Как и в прошлом примере выражение представимо в виде произведения

Этим и объясняется появление единицы в числителе, после того как степень 2⁻² была опущена в знаменатель.

Переносимых в знаменатель либо в числитель степеней может быть несколько. Например, знаменатель дроби содержит степени 3², a³, b⁴. Перенесём эти степени в числитель, изменив знаки их показателей на противоположные. В результате получим выражение 3⁻²a⁻³b⁻⁴.

Пример 2. Поднять степени из знаменателя дроби в числитель

Пример 3. Поднять степени из знаменателя дроби в числитель

Пример 4. Поднять степень из знаменателя дроби в числитель

Пример 5. Опустить степень из числителя дроби в знаменатель

Пример 6. Степень из числителя дроби опустить в знаменатель, а степень из знаменателя поднять в числитель

Представлять дробь в виде произведения вовсе не обязательно. Если пропустить эту запись, то данный пример можно решить короче:

Пример 7. В дроби перенести из знаменателя в числитель только те степени, которые имеют отрицательные показатели:

Пример 8. Представить произведение 3x⁻⁵ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Перепишем произведение 3x⁻⁵ с помощью знака умножения:

3 × x⁻⁵

Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель x⁻⁵ заменим на тождественно равную ему дробь

Теперь согласно правилу умножения целого числа на дробь, умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь

Пример 9. Представить произведение 3(x + y)⁻⁴ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Выражение состоит из сомножителей 3 и (x + y)⁻⁴. Сомножитель 3 оставим без изменений, а сомножитель (x + y)⁻⁴заменим на тождественно равную ему дробь

Теперь умножим множитель 3 на числитель дроби . В результате образуется дробь

Пример 10. Представить дробь в виде произведения.

Чтобы решить этот пример, достаточно поднять степень x² в числитель, изменив знак показателя этой степени на противоположный:

Как и в прошлых примерах дробь можно было представить в виде произведения . Затем воспользовавшись правилом , заменить сомножитель на тождественно равный ему сомножитель x⁻².

Пример 11. Представить дробь в виде произведения.

Пример 12. Найти значение выражения

Поднимем степень 2⁻³ из знаменателя в числитель, а степень 10⁻² из числителя опустим в знаменатель:

Вычислим значения степеней, содержащихся в числителе и в знаменателе:

Сократим полученную дробь на 25. Тогда останется дробь , значение которой равно 2.

А если бы мы не подняли степень 2⁻³ в числитель, и степень 10⁻² не опустили в знаменатель, а стали вычислять каждую степень по отдельности, то получили бы не очень компактное решение:

Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Число 10 в отрицательную степень возводится таким же образом, как и другие числа. Например:

Замечаем, что количество нулей, которые получаются в ответе равны модулю показателя исходной степени. Например, в степени 10⁻² модуль показателя равен 2. Это значит, что в ответе будет содержаться два нуля. Так оно и есть:

Чтобы возвести число 10 в отрицательную степень, нужно перед единицей записать количество нулей, равное модулю показателя исходной степени.

При этом после первого нуля следует поставить запятую. Примеры:

Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Чтобы представить числа 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать отрицательный показатель, модуль которого равен количеству нулей исходного числа.

Представим число 0,1 в виде степени с основанием 10. Видим, что в числе 0,1 один нуль. Значит, число 0,1 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10⁻¹. Показатель степени 10⁻¹ равен −1. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,1

0,1 = 10⁻¹

Число 0,1 это результат деления , а эта дробь есть значение степени 10⁻¹.

Пример 2. Представить число 0,01 в виде степени с основанием 10.

В числе 0,01 два нуля. Значит, число 0,01 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10⁻². Показатель степени 10⁻² равен −2. Модуль этого показателя равен количеству нулей в числе 0,01

0,01 = 10⁻²

Число 0,01 это результат деления , то есть , а эта дробь есть значение степени 10⁻².

Пример 3. Представить число 0,001 в виде степени с основанием 10.

0,001 = 10⁻³

Пример 4. Представить число 0,0001 в виде степени с основанием 10.

0,0001 = 10⁻⁴

Пример 5. Представить число 0,00001 в виде степени с основанием 10.

0,00001 = 10⁻⁵

Стандартный вид числа

Запишем число 2 000 000 в виде произведения числа 2 и 1 000 000

2 × 1 000 000

Сомножитель 1 000 000 можно заменить на степень 10⁶

2 × 10⁶

Такой вид записи называют стандартным видом числа. Стандартный вид числа позволяет записывать в компактном виде как большие, так и маленькие числа.

Например, маленькое число 0,005 можно записать в виде произведения числа 5 и десятичной дроби 0,001.

5 × 0,001

Десятичную дробь 0,001 можно заменить на степень с 10⁻³

5 × 10⁻³

Значит, число 0,005 в стандартном виде будет выглядеть как 5 × 10⁻³

0,005 = 5 × 10⁻³

По стандартному виду числа можно вычислить изначальное число. Так, при записи числа 2 000 000 в стандартном виде, мы получили произведение 2 × 10⁶. Если вычислить это произведение, то снова получим 2 000 000

2 × 10⁶ = 2 × 1 000 000 = 2 000 000

А при записи числа 0,005 в стандартном виде мы получили произведение 5 × 10⁻³. Если вычислить это произведение, то получим 0,005

То есть записывая число в стандартном виде нужно записывать его так, чтобы сохранить его изначальное значение.

Стандартным видом числа называют запись вида a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 и n — целое число.

Число а это исходное число, которое надо записать в стандартном виде. Оно должно удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10. Чаще всего исходное число надо приводить к виду, при котором неравенство 1 ≤ a < 10 становится верным.

Например, представим число 12 в стандартном виде. Для начала проверим становится ли верным неравенство 1 ≤ a < 10 при подстановке числа 12 вместо а

1 ≤ 12 < 10

Неравенство верным не становится. Чтобы сделать неравенство верным, приведём число 12 к виду, при котором оно удовлетворяло бы данному неравенству. Для этого передвинем в числе 12 запятую влево на одну цифру:

1,2

Число 12 обратилось в число 1,2. Это число будет удовлетворять неравенству 1 ≤ a < 10

1 ≤ 1,2 < 10

Теперь наша задача состоит в том, чтобы записать произведение a × 10ⁿ. С числом а мы разобрались — этим числом у нас будет 1,2. А как подобрать степень с основанием 10?

После переноса запятой на одну цифру влево, число 12 утратило своё изначальное значение. Запятая на одну цифру влево двигается тогда, когда число делят на 10. А чтобы восстановить изначальное значение числа запятую нужно передвинуть обратно в правую сторону на одну цифру, то есть умножить число 1,2 на 10.

Значит, чтобы записать число 12 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения 1,2 × 10¹

12 = 1,2 × 10¹

Пример 2. Записать число 0,5 в стандартном виде.

Число 0,5 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на одну цифру вправо. В результате получим число 5, которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 5. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ стало равным числу 0,5. Число 0,5 получится если умножить число 5 на множитель 0,1, который представим в виде степени 10⁻¹. В результате получим следующую запись:

0,5 = 5 × 10⁻¹

Пример 3. Записать число 652 000 в стандартном виде.

Число 652 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на пять цифр влево. В результате получим число 6,52000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 6,52000. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ стало равным числу 652 000. Число 652 000 получится если число 6,52000 умножить на 100 000, а это есть степень 10⁵. В результате получим следующую запись:

652 000 = 6,52000 × 10⁵

Нули в конце десятичной дроби 6,52000 можно отбросить. Тогда получим более компактную запись:

652 000 = 6,52 × 10⁵

Пример 5. Записать число 1 024 000 в стандартном виде.

Число 1 024 000 не удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10, поэтому передвинем запятую в этом числе на шесть цифр влево. В результате получим число 1,024000 которое удовлетворяет неравенству 1 ≤ a< 10.

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 1,024000 . А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ было равно изначальному числу 1 024 000. Число 1 024 000 получится если число 1,024000 умножить на 1 000 000, а это есть степень 10⁶. В результате получим следующую запись:

1 024 000 = 1,024000 × 10⁶

Нули в конце десятичной дроби 1,024000 можно отбросить:

1 024 000 = 1,024 × 10⁶

Отбрасывать можно только те нули, которые располагаются в конце, и после которых нет других цифр, бóльших нуля. В приведённом примере были отброшены только три нуля, а нуль располагавшийся между запятой и цифрой 2 был сохранен, несмотря на то, что он тоже располагался после запятой.

Пример 6. Записать число 0,000325 в стандартном виде.

Передвинем в данном числе запятую так, чтобы оно удовлетворяло неравенству 1 ≤ a< 10. В результате получим число 3,25

Теперь запишем произведение вида a × 10ⁿ. Число a в данном случае это 3,25. А степень с основанием 10 надо выбрать так, чтобы произведение a × 10ⁿ было равно изначальному числу 0,000325. Число 0,000325 получится если число 3,25 умножить на множитель 0,0001 который представим в виде степени 10⁻⁴. В результате получим следующую запись:

0,000325 = 3,25 × 10⁻⁴

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислите степень 3⁻²

Решение:

Задание 2. Вычислите степень (−3)⁻²

Решение:

Задание 3. Вычислите степень −3⁻²

Решение:

Задание 4. Вычислите степень (−1)⁻⁹

Решение:

Задание 5. Вычислите степень

Решение:

Задание 6. Вычислите степень

Решение:

Задание 7. Вычислите степень −(−2)⁻³

Решение:

Задание 8. Вычислите степень

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения 8 × 4⁻³

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения 18 × (−9)⁻¹

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения 2⁻³ − (−2)⁻⁴

Решение:

Задание 12.

Найдите значение выражения

Решение:

Задание 13. Представить произведение a⁻⁴b в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 14. Представить произведение 7xy⁻³ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 15. Представить произведение 6(xy)⁻⁶ в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 16. Представить произведение x⁻¹y⁻² в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 17. Представить произведение 9a⁻¹(a − b)⁻² в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем.

Решение:

Задание 18. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 19. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 20. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 21. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 22. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 23. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 24. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 25. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 26. Представьте дробь в виде произведения.

Решение:

Задание 27. Представьте число 3 000 000 в стандартном виде.

Решение:

3 000 000 = 3 × 10⁶

Задание 28. Представьте число 0,35 в стандартном виде.

Решение:

0,35 = 3,5 × 10⁻¹

Задание 29. Представьте число 21,56 в стандартном виде.

Решение:

21,56 = 2,156 × 10¹

Задание 30. Представьте число 0,000008 в стандартном виде.

Решение:

0,000008 = 8 × 10⁻⁶

Задание 31. Представьте число 0,000335 в стандартном виде.

Решение:

0,000335 = 3,35 × 10⁻⁴

Задание 32. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 33. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 34. Найдите значение выражения .

Решение:

Задание 35. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 36. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 37. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Задание 38. Представьте в виде степени выражение .

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Тест Степень с отрицательным показателем по алгебре

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден более 24 часов назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Вопрос 1 из 10
Замените дробь (⅓)⁴ степенью с отрицательным показателем
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 86% ответили правильно
- 86% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Следующий вопросОтветить
Вопрос 2 из 10
Замените дробью степень (2∙y)^-5
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 78% ответили правильно
- 78% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 3 из 10
Расположите в порядке возрастания числа х=(-7)^-2, y=(-5)^-1, p=-3∙(-3)^-2, q=(3/7)^-2
- y, p, x, q
- p, y, x, q
- p, x, y, q
- x, y, p, q
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 55% ответили правильно
- 55% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 4 из 10
Вычислите 10⁰-1,2^-1
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 55% ответили правильно
- 55% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 5 из 10
Чему равно выражение (0,0004)^-1,5?
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 51% ответили правильно
- 51% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 6 из 10
Представьте число 1/125 в виде степени:
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 50% ответили правильно
- 50% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 7 из 10
Найдите значение выражения 3^-4 ∙ 3⁸
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 66% ответили правильно
- 66% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 8 из 10
2³∙2^-3=
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 62% ответили правильно
- 62% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 9 из 10
Чему равно выражение (2∙3)^-2?
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 72% ответили правильно
- 72% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить
Вопрос 10 из 10
Вычислить (0,1)^-4
- Правильный ответ
- Неправильный ответ
- Вы и еще 51% ответили правильно
- 51% ответили правильно на этот вопрос
В вопросе ошибка?
Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Евгений Липский
9/10
Денис Лигаев
8/10
Максим Ивашинин
9/10
Анастасия Самсонова
9/10
Александр Романцов
10/10
Наталья Широкова
8/10
Юля Сеткова
9/10
Вика Кузник
10/10
Светлана Филимонова
8/10
Николай Злыднев
1/10

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим

Повторить и закрепить материал по одной из наиболее сложных тем поможет разработанный нашими методистами тест «Степень с отрицательным показателем». Он представляет собой десять заданий с вариантами ответов, из которых только один правильный, но, чтобы найти его, необходимо решить пример или уравнение.

Выполняя задания теста по алгебре «Степень с отрицательным показателем», школьник сможет повторить весь материал и попрактиковаться в решении выражений. Разработка пригодится и тем, кто готовится к итоговой аттестации в формате ЕГЭ, ГВЭ или ОГЭ.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.7. Всего получено оценок: 587.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Технология проведения	Деятельность учителя	Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов						Деятельность учеников	Планируемые результаты
Технология проведения	Деятельность учителя							Деятельность учеников	предметные	универсальные учебные действия (УУД)
I. Организационный момент. Цели: создать деловой настрой для занятия; информировать о подготовке к уроку	Приветствует учащихся, отмечает устно их готовность к проведению урока	Концентрация внимания на необходимых действиях						Слушают учителя, отвечают на вопросы	Уметь сосредоточиться на определенном вопросе по математике	Регулятивные: уметь ориентироваться в требованиях к уроку математики
II. Проверка домашнего задания. Цель: актуализировать знания, полученные ранее, с целью дальнейшего использования	Контролирует выполнение домашнего задания. Организует уточнение типа урока и называние шагов учебной деятельности	Проверяется устно решение задач; если они вызвали затруднение, — разобрать подробно						Отдельные учащиеся читают по тетради выполнение домашней работы. Отвечают на вопросы	Знать этапы математического моделирования при решении задач	Познавательные: уметь ориентироваться в своей системе знаний, структурировать знания; использовать знаково-символические средства. Коммуникативные: уметь формулировать свои мысли
III. Мотивация к учебной деятельности. Цели: создать условия для формирования внутренней потребности учеников во включение в учебную деятельность, развивать умение устанавливать тематические рамки; уточнить тип урока и наметить шаги учебной деятельности	Создает условия для формирования внутренней потребности учеников во включение в учебную деятельность. Задает вопросы, поправляет ответы. Устанавливает тематические рамки	Ответить на вопросы: — Существуют ли числа, противоположные положительным? — Что такое степень числа? — Для какого показателя степени: положительного или отрицательного — справедливо определение степени числа? — Существует ли степень числа с отрицательным показателем? — Чему равно произведение х² ∙ 1/x²? — Чему равен показатель степени в равенстве х² ∙ х^? = х⁰ = 1? — Сопоставьте эти два равенства и сделайте вывод о степени с отрицательным показателем						Слушают учителя. Отвечают на вопросы, дополняют ответы друг друга. Делают вывод	Знать определение степени числа с натуральным показателем и с отрицательным показателем	Коммуникативные: уметь высказывать мысли на заданную тему, оформлять свои высказывания устно. Познавательные: уметь анализировать сказанное и делать вывод
IV. Рассмотрение основных понятий. Цели: обеспечить выполнение учащимися базовых учебных действий; организовать работу по усвоению определения степени с отрицательным целым показателем	Демонстрирует определение степени с отрицательным целым показателем. Организует общую работу над заполнением таблицы	1. Записать в тетради определение степени с отрицательным показателем. 2. Составить и заполнить таблицу:						Записывают в тетради определение. Один из учащихся читает вслух определение степени с отрицательным целым показателем	Знать определение степени с отрицательным целым показателем. Уметь выполнять вычисления степени с отрицательным целым показателем	Познавательные: уметь ориентироваться в необходимых формулах, работать по алгоритму и аналогии, использовать математический язык для оформления письменного решения примеров. Коммуникативные: уметь слушать и понимать речь других, выражать мысли в устной и письменной форме, аргументировать свое мнение и позицию. Регулятивные: уметь проводить аналогию в формулах и высказываниях
			-1	-2	-3	-4	-5
		2
		3
		4
		1/2
		1/3
		1/4

V. Освоение основных понятий. Цель: научиться заменять степень с отрицательным показателем на степень с положительным показателем и наоборот	Организует и контролирует работу по решению заданий в тетрадях и на доске	Работа с задачником: с. 56. Решить в тетради: № 8.3 (а, б), 8.6 (а, б)						Выполняют задания в тетрадях и на доске	Уметь использовать определение степени с отрицательным показателем для алгебраических выражений	Познавательные: уметь применять математическую символику для записи выражений
VI. Рефлексия учебной деятельности. Цели: зафиксировать содержание урока; организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности	Организует фиксирование изученного материала, рефлексию, самооценку учебной деятельности	Ответить на вопросы: — Какое действие сегодня изучили? — Показалось ли оно сложным? — Что было непонятно?						Отвечают на вопросы учителя. Рассказывают, что повторили, узнали, смогли выполнить. Осуществляют самооценку	Уметь повторять рассмотренные формулы, анализировать собственную учебную деятельность	Регулятивные: уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки. Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности
VII. Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание. Цели: выставить оценки по итогам урока; нацелить на выполнение домашнего задания	Выставляет оценки с комментированием успешных и неуспешных действий учащихся	Домашнее задание: Работа с задачником: с. 56. Решить в тетради: № 8.3 (в, г), 8.6 (в, г). Работа с учебником: с. 33. Выучить определение степени с отрицательным целым показателем						Слушают учителя, записывают домашнее задание, задают вопросы по необходимости	Уметь выявлять аналогию предметных действий	Регулятивные: уметь прогнозировать ситуацию. Личностные: уметь выполнять оценку и самооценку деятельности

определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).

Определение 1

Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: an, а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:

Например, если показатель степени равен 1, а основание – a, то первая степень числа a записывается как a1. Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a1=a.

В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8·8·8·8 можно сократить до 84. (156). Но мы будем использовать обозначение anкак более употребительное.

О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n-ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Определение 2

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Определение 3

Равенство am:an=am−n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m <n, a≠0.

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: an:an=an−n=a0

Но при этом an:an=1 — частное равных чисел an и a. Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.

Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: am·an=am+n .

Если n у нас равен 0, то am·a0=am (такое равенство также доказывает нам, что a0=1). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0m·00=0m, Оно будет верным при любом натуральном значении n, и неважно при этом, чему именно равно значение степени 00, то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 00 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.

При желании легко проверить, что a0=1 сходится со свойством степени (am)n=am·n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Пример 2

Разберем пример с конкретными числами: Так, 50 — единица, (33,3)0=1, -4590=1, а значение 00не определено.

После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: am·an=am+n.

Введем условие: m=−n, тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a−n·an=a−n+n=a0=1. Выходит, что an и a−n у нас являются взаимно обратными числами.

В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1an.

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Пример 3

Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1an. Таким образом, a-n=1an при условии a≠0 и n – любое натуральное число.

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

Пример 4

3-2=132, (-4.2)-5=1(-4.2)5, 1137-1=111371

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Определение 4

Степень числа a с натуральным показателем z – это: az=az, eсли z-целое положительное число1, z=0 и a≠0, (при z=0 и a=0 получается 00, значения выражения 00 не определяется) 1az, если z — целое отрицательное число и a≠0 (если z — целое отрицательное число и a=0 получается 0z, его значение не определяется)

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m/n, где n – натуральное число, а m – целое.

У нас есть некоторая степень с дробным показателем amn. Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство amnn=amn·n=am должно быть верным.

Учитывая определение корня n-ной степени и что amnn=am, мы можем принять условие amn=amn, если amn имеет смысл при данных значениях m, n и a.

Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии amn=amn.

Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m/n – это корень n-ой степени из числа a в степени m. Это справедливо в том случае, если при данных значениях m, n и a выражение amn сохраняет смысл.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a, которое при положительных значениях m будет больше или равно 0, а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m≤0 мы получаем 0m, а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:

Степень с дробным показателем m/n для некоторого положительного числа a есть корень n-ной степени из a, возведенного в степень m. В виде формулы это можно изобразить так:

amn=amn

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m/n можно выразить как

0mn=0mn=0 при условии целого положительного m и натурального n.

При отрицательном отношении mn<0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Выражение amn иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m. Так, верны записи (-5)23, (-1,2)57, -12-84, в которых основание отрицательно.

2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень amn с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a, в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a, в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись am·kn·k, то мы можем свести ее к amn и упростить расчеты.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то amn имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение 5

Для любой обыкновенной сократимой дроби m·kn·k степень можно заменить на amn.

Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n – можно выразить в виде amn в следующих случаях: — для любых действительных a, целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n. Пример: 253=253, (-5,1)27=(-5,1)-27, 0519=0519.

— для любых отличных от нуля действительных a, целых отрицательных значений m и нечетных значений n, например, 2-53=2-53, (-5,1)-27=(-5,1)-27

— для любых неотрицательных a, целых положительных значений m и четных n, например, 214=214, (5,1)32=(5,1)3, 0718=0718.

— для любых положительных a, целых отрицательных m и четных n, например, 2-14=2-14, (5,1)-32=(5,1)-3, .

В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: -2116, -21232, 0-25.

Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6/10=3/5. Тогда должно быть верным (-1)610=-135, но -1610=(-1)610=110=11010=1, а (-1)35=(-1)35=-15=-155=-1.

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

Определение 6

Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m/n определяется как 0mn=0mn=0. В случае отрицательных a запись amn не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m/n определяется как 0mn=0mn=0, для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.

В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 51,7, 325-237.

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

51,7=51710=5710325-237=325-177=325-177

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

Пример 5

Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a0, a1, a2, …. Например, возьмем значение a=1,67175331. ..,тогда

a0=1,6, a1=1,67, a2=1,671, …,a0=1,67, a1=1,6717, a2=1,671753, …

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней aa0, aa1, aa2, …. Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.

Возьмем для примера a=3, тогда aa0=31,67, aa1=31,6717, aa2=31,671753, … и т.д.

Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a. В итоге : степень с иррациональным показателем вида 31,67175331.. можно свести к числу 6,27.

Определение 7

Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как aa. Его значение – это предел последовательности aa0, aa1, aa2, …, где a0, a1, a2, … являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a. Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0a=0 Так, 06=0,02133=0. А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0-5, 0-2π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 12, 15в2 и 1-5 будут равны 1.

Как решить отрицательные многочлены

Многочлен — это математическое выражение, состоящее из переменных и коэффициентов. Единственные операции, которые используют полиномы, — это сложение, вычитание, положительные целые показатели и умножение. Вы не можете возвести переменные полинома в иррациональные степени, комплексные степени, квадратные корни и т. Д.

Как выглядит многочлен? Простой пример:

6×7 + 23×3 — 7

Этот пример представляет собой многочлен с одной переменной, потому что единственная переменная в выражении — x.

Хотя полиномы исключают отрицательные члены, бывают случаи, когда вы встретите отрицательные полиномы. Что вы делаете тогда? Давай выясним.

Важные полиномиальные члены

Если вы хотите понять, как решать отрицательные многочлены, вы должны сначала знать некоторую терминологию, связанную с многочленами.

Члены полинома. Отдельные коэффициенты, переменные и константы, которые вы объединяете в полиномиальное выражение.В приведенном ранее примере члены полинома включают 6×7, 23×3 и -7. Многочлен состоит из трех членов.
Переменная. Это относится к символам, которые используются в качестве заполнителей для чисел. В приведенном выше примере переменная x .
Коэффициент. Это номер, который сопровождает переменную. В члене 6×7 коэффициент x7 равен 6.
Константа. Это числа в полиноме, не связанные с переменной.Постоянный член в примере равен -7.
Степень полинома. Это наивысшая степень переменной (показателя степени) в полиноме. Степень многочлена 7.

Некоторые другие правила, которые следует запомнить: если переменная не имеет коэффициента, тогда коэффициент равен 1. Кроме того, если переменная не имеет степени, тогда степень также равна 1.

Отрицательные многочлены

Когда вы сталкиваетесь с отрицательным многочленом, вы в конечном итоге упрощаете выражение.

Пример отрицательного многочлена:

2н-2 — 3н — 7

Обратите внимание, что степень n отрицательна, -2.

Чтобы решить или упростить отрицательные полиномы, мы должны полностью понимать правила экспонент.

Правила экспонентов

Правила экспонент обобщают, как манипулировать показателями. Давайте рассмотрим их.

Нулевая экспонента

a0 = 1

Это означает, что любое число, возведенное в степень 0, равно 1.

Правило произведения или умножения

ab * ac = ab + c

Это означает, что если вы умножите два или более показателя степени с одной и той же базой, результатом будет просто одна экспонента (основание), возведенная в сумму степеней. По сути, вы складываете экспоненты вместе.

Правило частичного или деления

ab / ac = ab — c

Когда вы делите два или более показателя степени с одинаковым основанием, вы вычитаете степени.

Правило отрицательной экспоненты

a-b = 1 / ab

Когда вы встретите число / переменную с отрицательной экспонентой, возьмите обратное основание.В приведенном выше примере , обратное , равно 1 / год.

a-b = (1 / a) b = 1b / ab = 1 / ab

Правило власти

(ab) c = ab * c

Если у вас есть показатель степени, который нужно возвести в другую степень, найдите произведение двух степеней.

Эти правила важны, поскольку они помогут нам упростить отрицательные многочлены. Давайте рассмотрим несколько примеров, которые помогут нам лучше применять эти правила.

Пример 1

Упростить выражение

2×4 у-2

Выражение выше относительно простое.Единственное, что вам нужно упростить, — это отрицательный показатель степени. Помните отрицательное правило.

2x4y-2 = 2×4 / y2

Мы взяли обратное значение и , так как степень отрицательна.

Пример 2

Упростить выражение

(2x − 5y − 3 * 3x3y − 2) / (3x − 5y3)

Это немного сложно.

Шаг 1

Этот первый шаг не каменный и может быть изменен в зависимости от проблемы.В этом случае числитель содержит несколько показателей степени с одинаковым основанием, поэтому лучше начать с упрощения числителя, применяя правила экспонент.

(2x − 5y − 3 * 3x3y − 2) / (3x − 5y3)

= (2x-5 + 3 * 3y-2 + (-3)) / (3x − 5y3)

= (6x-2y-5) / (3x − 5y3)

Мы упростили числитель. Знаменатель выглядит хорошо, потому что переменные в нем встречались не более одного раза.

Шаг 2

Затем упростите числитель и знаменатель, используя правило частного.

(6x-2y-5) / (3x − 5y3)

= (6/3) * x-2 — (-5) * y (-5) — 3

= 2×3 * y-8

= 2x3y-8

Шаг 3

Мы удалили дробь, но у нас все еще есть отрицательная сила. Применим правило отрицательной экспоненты.

2x3y-8

= 2×3 / y8

Мы взяли обратное и .На 2×3 не влияет, потому что он не разделяет отрицательную мощность с y .

Пример 3

Упростите приведенное ниже выражение.

(3y-7x3z5) / (4y-5x2z3) -2

Шаг 1

Выражение выше содержит экспоненты, возведенные в другую степень, поэтому мы должны применить правило степени.

(3y-7x3z5) / (4y-5x2z3) -2

= (3y-7x3z5) / (4-2y10x-4z-6)

Мы умножили степени всех знаменателей на -2.Помните правило власти.

Шаг 2

Примените правило частного, поскольку переменные появляются только один раз как в числителе, так и в знаменателе.

(3y-7x3z5) / (4-2y10x-4z-6)

(3 / 4-2) * (y-7-10) * (x3 — (-4)) * (z5 — (-6))

= (3 / 4-2) * (y-17) * (x7) * (z11)

Шаг 3

Выражение, к которому мы пришли на шаге 2, имеет отрицательные показатели степени.

Примените правило отрицательной экспоненты для их устранения.

(3 / 4-2) * (y-17) * (x7) * (z11)

(3 * 42) * (1 / y17) * x7z11

(48x7z11) / 17

Наше окончательное решение — 48x7z11 / y17

Решение или упрощение отрицательных многочленов может быть сложным. Вот почему так важно полностью понимать различные правила экспонент. Однако самое важное при работе с отрицательными многочленами — это инвертировать основание всякий раз, когда у вас есть отрицательный многочлен.Как и любой навык, чем больше вы его практикуете, тем лучше вы становитесь. Если сначала вы не понимаете отрицательное полиномиальное выражение, не торопитесь и проверьте свою работу — вы быстро станете профессионалом!

Оставьте первый комментарий ниже.

Отрицательные экспоненты: правила умножения и деления

Обновлено 14 ноября 2020 г.

Крис Дезил

Если вы какое-то время занимались математикой, вы, вероятно, встречали экспоненты. Показатель степени — это число, которое называется основанием, за которым следует другое число, обычно записываемое надстрочным индексом.8

Чтобы понять, почему это верно, обратите внимание, что x ⁵ означает ( x × x × x × x × x ) И x ³ означает ( x x x x x ). Когда вы умножаете эти члены, вы получаете ( x × x × x × x × x × x × x × x ) = x ⁸.5} {x}

Отрицательные экспоненты | Purplemath

Purplemath

Как только вы узнали об отрицательных числах, вы также можете узнать об отрицательных степенях. Отрицательный показатель просто означает, что основание находится на изнаночной стороне дробной линии, поэтому вам нужно перевернуть основание на другую сторону. Например, « x ^–2» (произносится как «ecks to минус два») просто означает « x ², но ниже, как в

1 / ( x ²)» .

Запишите
x ^–4, используя только положительные показатели.

Я знаю, что отрицательный показатель степени означает, что основание, x , принадлежит другой стороне дробной линии. Но дроби нет!

MathHelp.com

Чтобы исправить это, я сначала конвертирую выражение в дробь так, как любое выражение может быть преобразовано в дробь: помещая его над «1». Конечно, как только я переставлю основание на другую сторону дробной линии, наверху не останется ничего.Но поскольку все можно рассматривать как умножение на 1, я оставлю 1 сверху.

Вот как это выглядит:

Когда мне больше не нужна была цифра «1» внизу (для создания дроби), я пропустил ее, потому что у меня было выражение переменной внизу, и «умножение на единицу» ничего не меняет.

Запишите
x ²/ x ^–3, используя только положительные показатели.

Только один из членов имеет отрицательный показатель степени. Это означает, что я буду перемещать только одно из этих условий. Термин с отрицательной силой находится внизу; это означает, что я буду перемещать его вверх, на другую сторону дробной линии. Сверху уже есть термин; Я буду использовать правила экспоненты, чтобы объединить эти два термина.

Как только я перенесу этот знаменатель наверх, под ним не останется ничего (кроме «понятого» 1), поэтому я опущу знаменатель.

Запишите 2
x ^–1, используя только положительные показатели.

Отрицательная сила станет просто «1», как только я переместу основание на другую сторону линии дроби. Все, что касается силы 1, само по себе, так что я смогу сбросить эту силу, как только переставлю базу.

Убедитесь, что вы понимаете, почему цифра «2» выше не перемещается вместе с переменной: отрицательная экспонента присутствует только на « x », поэтому перемещается только x .

Запишите (3
x ) ^–2, используя только положительные показатели.

На этот раз у меня есть число внутри степени, а также переменная, поэтому мне нужно не забыть упростить числовое возведение в квадрат.

В отличие от предыдущего упражнения круглые скобки означают, что отрицательная степень действительно применима к трем, а также к переменной.

Запишите (-5
x ^-1) / ( y ³), используя только положительные степени.

Степень «минус один» на x означает, что мне нужно переместить это x на другую сторону линии дроби.Но «минус» на 5 означает только то, что 5 отрицательный. Этот «минус» равен , а не в степени, поэтому он ничего не говорит о о перемещении 5 куда-нибудь!

Перемещая только один бит, который действительно нужно переместить, я получаю:

(-5 x ^-1) / ( y ³) = -5 / ( x ¹ y ³) = -5 / ( x y ³)

Запишите (
x ^–2/ y ^–3) ^–2, используя только положительные показатели.

Есть несколько способов выполнить шаги для этого упрощения. Я начну с того, что отмечу, что отрицательная экспонента за пределами круглых скобок означает, что числитель следует переместить под ним, а знаменатель — наверх. Другими словами, дробь в скобках должна быть перевернута.

После того, как я перевернул дробь и преобразовал отрицательную внешнюю мощность в положительную, я перенесу эту степень в круглые скобки, используя правило power-on-a-power; а именно размножу.В этом случае это приведет к отрицательным степеням в числителе и знаменателе, поэтому я снова переверну. (Да, я как бы иду по долгому пути.)

Вышеупомянутое упрощение также может быть выполнено как:

Вместо того, чтобы перевернуть дважды, я заметил, что все силы отрицательные, и переместил внешнюю силу на внутренние; так как «минус, умноженный на минус, это плюс», я получил все положительные силы.

Примечание. Хотя это второе решение было бы более быстрым способом выполнения упражнения, «быстрее» не означает «правильнее». В любом случае это хорошо.

Поскольку показатели указывают на умножение, и поскольку порядок умножения не имеет значения, часто будет несколько последовательностей шагов, которые приведут к действительному упрощению данного упражнения этого типа. Не волнуйтесь, если шаги в вашем домашнем задании будут сильно отличаться от шагов в домашнем задании одноклассника.Если ваши шаги были правильными, в итоге вы оба должны получить один и тот же ответ.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в упрощении выражений с отрицательными показателями степени. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкните здесь, чтобы перейти прямо на сайт Mathway, если вы хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию.)

Между прочим, теперь, когда вы знаете об отрицательных показателях степени, вы можете понять логику правила «все до нуля»:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1».

Почему это так? Есть разные объяснения. Можно сказать, что «потому что так работают правила». Другой вариант — проследить прогрессию, подобную следующей:

3 ⁵ = 3 ⁶ ÷ 3 = 3 ⁶ ÷ 3 ¹ = 3 ^6–1 = 3 ⁵ = 243

3 ⁴ = 3 ⁵ ÷ 3 = 3 ⁵ ÷ 3 ¹ = 3 ^5–1 = 3 ⁴ = 81

3 ³ = 3 ⁴ ÷ 3 = 3 ⁴ ÷ 3 ¹ = 3 ^4–1 = 3 ³ = 27

3 ² = 3 ³ ÷ 3 = 3 ³ ÷ 3 ¹ = 3 ^3–1 = 3 ² = 9

3 ¹ = 3 ² ÷ 3 = 3 ² ÷ 3 ¹ = 3 ^2–1 = 3 ¹ = 3

На каждой ступени, где мощность каждой ступени была на единицу меньше предыдущей, упрощенное значение было равно предыдущему значению, разделенному на 3.Тогда по логике, поскольку 3 ÷ 3 = 1, мы должны иметь:

3 ⁰ = 3 ¹ ÷ 3 = 3 ¹ ÷ 3 ¹ = 3 ^1–1 = 3 ⁰ = 1

Объяснение с отрицательным показателем степени «все, что до нулевой степени равно 1», может быть таким:

м ⁰ = м ^{( n — n )} = м ⁿ × м ^{— n} = 000 м

83 ^м ⁿ = 1

…поскольку все, что делится само по себе, просто «1».

Комментарий: Пожалуйста, не просите меня «определять» 0 ⁰. Это количество можно оценить как минимум двумя способами:

Все, что находится в нулевой степени, равно «1», поэтому 0 ⁰ = 1.

От нуля до любой степени равно нулю, поэтому 0 ⁰ = 0.

Насколько мне известно, «боги математики» еще не пришли к твердому «определению» 0 ⁰ — хотя, честно говоря, неофициальный консенсус, похоже, строится на том, что значение «должно» быть равным 1, и почти любой язык программирования выдаст значение 1.

В математике «0 ⁰» будет называться «неопределенной формой», что означает, что с математической точки зрения это не имеет смысла и не сообщает вам ничего полезного. Если это количество встречается в вашем классе, не предполагайте: спросите своего инструктора, что вам следует с ним делать.

Чтобы увидеть больше рабочих примеров, попробуйте здесь. Или продолжите этот урок; Далее следует научное обозначение.

URL: https: // www.purplemath.com/modules/exponent2.htm

Раздел 2: Правило нулевой экспоненты и правило отрицательной экспоненты | Общественный колледж Хьюстона

Отрицательные показатели степени и нулевые показатели степени часто появляются при применении формул или упрощении выражений.

В этом разделе мы определим правило отрицательной экспоненты и правило нулевой экспоненты и рассмотрим несколько примеров.

Правило отрицательной экспоненты:

Другими словами, когда есть отрицательный показатель степени, нам нужно создать дробь и поместить экспоненциальное выражение в знаменатель, а показатель степени сделать положительным. Например,

Но работа с отрицательными показателями — это просто правило показателей, которое нам нужно уметь использовать при работе с экспоненциальными выражениями.

Пример 1:

Упростить: 3 ^-2

Решение:

Пример 2:

Упростить: 3 ^-2

Решение:

Примените правило отрицательной экспоненты как к числителю, так и к знаменателю.

Пример 3 :

Упростить:

Решение :

Примените правило отрицательной экспоненты как к числителю, так и к знаменателю.

Пример 4

Упростить: 3 ^-1 + 5 ^-1

Решение:

Примените правило отрицательной экспоненты к каждому члену, а затем сложите дроби, найдя общие знаменатели.

Правило нулевой экспоненты: a ⁰ = 1, a не равно 0. Выражение 0 ⁰ является неопределенным или неопределенным.

В следующем примере, когда мы применяем правило произведения для показателей, мы получаем показатель, равный нулю.

x ⁵ x-5 = x ⁵ + (^-5) = x ⁰

Чтобы понять назначение нулевой экспоненты, мы также перепишем x5x-5, используя правило отрицательной экспоненты.

x ⁵ x- ⁵ =

Нулевой показатель степени указывает на отсутствие делителей числа.

Пример:

Упростите каждое из следующих выражений, используя правило нулевого показателя степени. Запишите каждое выражение, используя только положительные показатели.

а) 3 ⁰

б) -3 ⁰ + н ⁰

Решение:

а) Примените правило нулевой экспоненты.

3 ⁰ = 1

б) Примените правило нулевой экспоненты к каждому члену, а затем упростите. Нулевой показатель в первом члене применяется только к 3, а не к отрицательному значению перед 3.

-3 ⁰ + n ⁰ = — (3 ⁰) + n ⁰ = — 1 + 1 = 0

Проверьте свои знания, открыв действие «Проверьте себя».

Степени и корни: отрицательные показатели

Пытаетесь узнать, как бороться с отрицательными показателями? Щелкните здесь, чтобы получить подробное объяснение и обсуждение этой важной математической концепции!

На этом мы готовы поговорить об идее отрицательных показателей.Обратите внимание, что до сих пор в этих уроках мы обсуждали только положительные целые показатели степени и ноль как показатель степени. Так что на самом деле мы как бы застряли с этой идеей, что показатель степени означает количество множителей, умноженных вместе. Итак, мы думаем об экспоненте как о чем-то, что мы можем посчитать.

Теперь мы выходим немного дальше этого. Мы расширяем определение, в котором показатель степени также может быть отрицательным целым числом. И мы должны спросить себя, что бы это значило, что значило бы иметь отрицательное целое число в экспоненте?

У нас b до -3, что бы это значило? Что ж, как часто делают математики, мы возьмем шаблон, который мы уже знаем и понимаем, и расширим его, чтобы охватить то, что еще не охвачено правилами.

Это то, что происходит в математике снова и снова. В данном конкретном случае мы знаем правило разделения полномочий, о котором мы говорили в предыдущем видео. Мы знаем, что если бы мы сделали показатель знаменателя больше, а показатель числителя меньше, то мы получили бы отрицательный результат вычитания, и это дало бы нам отрицательную экспоненту.

Пример

Давайте посмотрим на числовой пример с большей степенью в знаменателе.Так, например, предположим, что у нас есть 13 к 4, разделенное на 13 к 7. Что ж, степень в знаменателе явно является большей степенью. Что ж, если мы просто проследим за схемой деления степеней для экспонентов, конечно, это говорит ему вычесть собственные показатели, мы получим 13 к 4 минус 7 или 13 к -3, хорошо?

Это один из подходов к этому. Теперь давайте вернемся и подумаем об этом с точки зрения фундаментального определения показателя степени. Фундаментальное определение экспоненты состоит в том, что 13 к 4 означает, что мы умножаем четыре множителя 13 вместе.И точно так же в знаменателе у нас есть семь множителей 113, умноженных вместе.

Итак, то, что у нас есть, конечно, мы собираемся отменить, мы отменим четыре из этих множителей 13 в числителе и знаменателе. Они собираются отменить, когда мы отменим, у нас останется единица в числителе, и у нас будет три множителя по 13 в знаменателе, и, конечно же, это будет 1/13 в кубе. Теперь сравните эти два результата.

Различные способы размышления об отрицательной экспоненте

С одной точки зрения, у нас 13 к -3, с другой — 1 на 13 в кубе.Если эти два равны одному и тому же, они должны быть равны друг другу, и это предполагает, что b для -n равно 1 / b для n. Итак, это правило экспоненты, это правило для отрицательных показателей, и это один из способов подумать об этом.

Вот еще один способ подумать об этом. Любое отрицательное число можно записать как ноль минус абсолютное значение этого числа. Например, мы могли бы записать -3 как 0- 3. В общем, -n мы можем записать это как 0- n. Это означает, что от b до -n, мы можем думать об этом как от b до 0- n.Что ж, если у нас есть вычитание в показателях, это означает разделение степеней, что должно означать b на 0, деленное на b на n, и, конечно же, b на 0 = 1.

И так это будет 1 / b для n. Итак, это еще один способ подумать, почему от b до -n = 1 / b до n.

Вот еще один способ подумать об этом. Хорошо иметь как можно больше способов подумать об этом, потому что это несколько антиинтуитивная идея. Думая об отрицательных показателях, полезно иметь множество способов разобраться в этом.

Представьте себе тротуар экспонентов. Обратите внимание, что каждое число вверху равняется мощности вверху, равняется выходному значению внизу. Это верно для каждого прямоугольника здесь, и по мере того, как мы движемся вправо, мы добавляем единицу к показателю степени. Таким образом, показатель степени увеличивается в зеленой строке вверху, а мы умножаем его на два в нижней строке.

Сдвинуть вправо

Чтобы перейти от 1 к 2 до 4, от 8 до 16, каждый шаг мы умножаем на 2. Вот что происходит, когда мы двигаемся вправо.На каждом шаге влево мы вычитаем единицу из экспоненты и делим на 2 в нижней строке. Итак, если мы начнем с 2 по 5 и 32, то по мере того, как мы начнем делать шаги влево, мы вычтем единицу из показателя степени и разделим фиолетовое число внизу на 2.

Влево

Что произойдет, если мы пойдем налево от нуля? Итак, вот снова наш тротуар, но мы только что расширили его, продлили влево за 2 до 0. Ну, опять же, при движении влево показатели степени уменьшаются на один каждый шаг в верхнем ряду, и числа делятся. по два на каждый шаг в нижнем ряду.Таким образом, в верхней строке этот показатель уменьшится с нуля до -1, и мы разделим 1 на 2, так что мы получим половину, 2 к -1 равно половине.

Теперь сделаем еще один шаг: 2 к -2 равняется половине деленной на 2, что составляет одну четверть. Сделайте еще один шаг, 2 к -3 и одна восьмая. Потом 2 до -4 и одна шестнадцатая. И вы видите, что тот же самый образец отлично продолжается как для положительных, так и для отрицательных чисел.

Полная интеграция

Во многих отношениях правило экспоненты очень и очень хорошо согласуется с другими паттернами экспоненты.И чем больше вы цените, как все они сочетаются как единое целое, тем лучше вы поймете это правило. Итак, правило, конечно, таково: b к -n = 1 по сравнению с b к n. Другими словами, основание для отрицательной отрицательной силы — это аналог той же основы для положительной силы.

Это означает, что отрицательная экспонента дроби будет обратной положительной степени. Таким образом, дробь p от q до -n будет равна q / p положительному n. Это действительно удобный способ узнать во время теста.Отрицательную степень в числителе дроби можно перенести в знаменатель как положительную степень или, аналогичным образом, из знаменателя в числитель.

Пример

Так, например, у меня есть эта дробь, и мне нужно ее упростить. Хорошо, это d до -8 в числителе, если я переместил это в знаменатель, это будет ad к положительному 8. Это h до -4 в знаменателе, если я перенесу это в числитель, он станет h к положительному 4. Итак, это выражение написано со всеми положительными степенями.

Так, например, вас могут попросить упростить что-то вроде этого. Поставьте видео на паузу и посмотрите, можно ли это упростить, а потом мы поговорим об этом.

Ну, конечно, первое, что мы сделаем, это сможем рассматривать числа отдельно от показателей степени, а для чисел мы просто вычтем наибольший общий множитель, который равен 6.

Значит, экспоненты не меняются вообще, просто число упрощается до 4/3. Теперь, когда в знаменателе x до -4, это может перейти в числитель.

Один из способов подумать об этом — это движение вверх к числителю, так что мы получаем x в 12-м умножении и x в 4-м числителе. И другие способы просто подумать о законе деления, и мы получим x к 12 минус -4. Конечно, 12 минус -4 — это то же самое, что 12 плюс 4, конечно же, у нас просто обычное разделение полномочий.

Итак, с этим проще всего справиться. Это 9 минус 3, y к 6, тогда мы обрабатываем эти x. Мы перемещаем его в числитель, это один из способов справиться с этим, мы перемещаем его в числитель, конечно, затем мы складываем степени и получаем 4/3 x к 16-му, y к 6-му.И это наиболее упрощенный вариант, который мы можем сделать.

Практическая задача

_{Изображение Константина Станчу}

Вот практическая задача, поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

Хорошо, мы должны ранжировать вещи от самого маленького до самого большого, тест любит эти вопросы ранжирования. Итак, во-первых, на одну треть до -8. Что это значит? Это то же самое, что 3 для положительного 8.

Теперь запомните, что от 3 до 4-го будет 81. Итак, давайте приблизим, что, поскольку 80, от 3 до 4-го будет примерно 80.Ну, 3 к 8-му будет 3 к 4-му квадрату. Это будет примерно 80 в квадрате и 80 в квадрате, то есть больше 6000. Так что это относительно большое число, вот что равняется одному.

II, от 3 до -3. Ну, это одна треть от третьей, так что это 1/27, хорошо, это явно намного меньше, чем 1. А затем, если мы посмотрим на последний, от 1/3 до 5-го. Что ж, нам даже не нужно рассчитывать стоимость. Мы знаем, что 1/3 к 5 будет меньше, чем 1/3 к 3.

Итак, это означает, что III — самый маленький, II — средний, а I — самый большой. Итак, по порядку, это III, II, I, и это вариант ответа E. В общем, b к -n = 1 / b к n. Основание отрицательной экспоненты — это единица над основанием положительной экспоненты. Дробь до -n равна обратной величине положительному n, поэтому мы можем перевернуть дробь и избавиться от отрицательного числа в показателе степени.

Показатель степени переключается с отрицательного на положительный, когда мы перемещаем дробь от числителя к знаменателю или наоборот.

Алгебра — Многочлены

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. m} \).3} + 3x — 11y & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень: 14}} \ end {align *} \]

В полиномах такого типа не каждый член должен содержать в себе как \ (x \), так и \ (y \), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь никаких терминов, которые содержат как \ (x \), так и \ (y \). Кроме того, степень полинома может быть получена из членов, содержащих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или любого количества переменных, которое нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно избавиться от некоторой терминологии. Моном — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем время от времени использовать эти термины, так что вы, вероятно, должны хотя бы немного с ними ознакомиться.

Теперь нам нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Обратите внимание, что мы не учли деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Прежде чем фактически начать это обсуждение, мы должны вспомнить закон распределения. Это будет многократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \ right) \]

В этом случае скобки не требуются, поскольку мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы сложить два полинома, все, что мы делаем, — это , объединяем аналогичные термины . 2} + x + 1 \).2} + x — 3} \ right) \]

На этот раз скобки вокруг второго члена обязательны. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это поставим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго многочлена. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножение «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2} \ end {align *} \]

Это очень распространенные ошибки, которые студенты часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

Начало алгебры
Урок 29: Отрицательные экспоненты и научная нотация

Цели обучения

По завершении этого руководства вы сможете:

Упростите экспоненциальные выражения с отрицательными показателями.
Напишите число в экспоненциальном представлении.
Запишите число в стандартных обозначениях, без показателей.

Введение

Этот учебник начинается там, где Учебное пособие 26: экспоненты остановлены. Это завершает правила экспоненты с отрицательными показателями.Также мы перейдем к научным обозначение. Нравиться это или нет, но лучший способ овладеть этими показателями — это проработать экспонента проблемы. Так что, думаю, нам лучше заняться этим.

Учебник

Отрицательные экспоненты
или

Будьте осторожны с негативом экспоненты.В соблазн отрицать базу, что было бы неправильно делать. Так как экспоненты другой способ записать умножение и отрицательное значение в экспоненте, чтобы написать это как положительный показатель, мы делаем мультипликативную обратную, которая должна возьмем аналог основания.

Пример 1: Упростить.

* Перепишите с поз. опыт от принимая получатель. базы

* Использовать деф. экспонентов оценка

Пример 2: Упростить.

* Перепишите с поз. опыт от принимая получатель. базы

* Использовать деф. экспонентов оценка

Упрощение экспоненты Выражение

При упрощении экспоненциального выражения напиши это так, чтобы каждое основание записывается один раз с одним ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ показателем .

Другими словами, напишите это в наиболее сжатой форме, которую вы могу убедиться что все ваши показатели положительные.

Вам часто приходится использовать более одного правила получить работу Выполнено. Если вы правильно используете правило, вы должны быть в порядке.

Пример 3: Упростить.Напишите ответ с помощью положительный экспоненты.

Пример 4: Упростить. Используйте положительные показатели, чтобы написать ответ.

Пример 5: Упростить.Используйте положительные показатели, чтобы написать ответ.

Пример 6: Упростить. Напишите ответ с помощью положительный экспоненты.

Будьте осторожны при входе в последнюю строку.Обратите внимание, что ты не видишь показатель степени, записанный с цифрой 5. Это означает, что экспонента на 5 понимается как 1. Поскольку у него нет отрицательный экспоненты, мы НЕ берем обратную величину 5. Единственное основание, которое имеет отрицательный показатель степени — a , поэтому a — единственное основание, которое мы принимаем обратным.

Научная запись

Положительное число записано в научная нотация если он записан в виде:

, где 1 < a < 10 и r есть целая степень 10.

Написание числа в науке Обозначение

Шаг 1. Переместите десятичную запятую. так что у вас есть число от 1 до 10.

Другими словами, вы поставите десятичную дробь после первый не нулевой номер.

Шаг 2: Подсчитайте число десятичных знаков перемещен на Шаге 1.

Если десятичная точка была перемещена влево, счет положительный.

Если десятичная запятая сдвинута вправо, счет будет отрицательный.

Шаг 3. Запишите как произведение числа (находится в Шаге 1) и 10 в степени числа (находится в Шаг 2).

Пример 7: Запишите число научным обозначение: 483 000 000.

* Десятичная дробь находится в конце номер

* Переместите десятичную дробь, чтобы создать число от 1 и 10

Сколько десятичных знаков мы переместили?
Мы начали с конца числа 483000000 и переместили его между 4 и 8.Это похоже на перемещение на 8 мест.

В каком направлении он двигался?
Похоже, мы переместили его влево.

Итак, наш счет равен +8.

Обратите внимание, что число, с которого мы начали, является большим числом чем тот мы умножаем на в научной записи.Когда это в В этом случае мы получим положительный показатель

Пример 8: Запишите число научным обозначение: .00054.

* Десятичная дробь в начале номера

* Переместите десятичную дробь, чтобы создать число от 1 и 10

Сколько десятичных знаков мы переместили?
Мы начали с начала номера.00054 переместил его между 5 и 4. Это похоже на ход на 4 места.

В каком направлении он двигался?
Похоже, мы переместили его вправо.

Итак, наш счет — 4.

Обратите внимание, что число, с которого мы начали, является меньшим числом. чем тот мы умножаем на в научной записи.Когда это в В этом случае мы получим отрицательный показатель степени.

Введите научный номер в Стандартная форма

По сути, вы просто умножаете первое число на сила 10.

Всякий раз, когда вы умножаете на 10, по сути что ты делаешь перемещает десятичный знак.

Если сила на 10 положительна, вы перемещаете десятичный разместить так много единиц вправо.

Если значение мощности на 10 отрицательное, вы перемещаете десятичный разместить так много единиц слева.

Не забудьте добавить нули, которые нужны

Пример 9: Запишите число в стандартной записи, без экспоненты.

* Переместите десятичную дробь 6 вправо

Пример 10: Запишите число в стандартной записи, без экспоненты.

* Переместите десятичную дробь 5 влево

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент.

Отрицательная степень числа | Алгебра

Степень с отрицательным показателем

Действия над степенями с отрицательными показателями

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

Таблица степеней

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Свойство 1: произведение степеней

Свойство 2: частное степеней

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Свойство 4: степень возведения

Свойство 5: степень частного

Степень с показателем 0

Степень с отрицательным показателем

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

Деление отрицательных степеней

Возведение дроби в отрицательную степень

Возведение произведения в отрицательную степень

Степень с целым показателем

Правило вычисления

Тождественные преобразования

Поднятие степени из знаменателя в числитель и наоборот

Возведение числа 10 в целую отрицательную степень

Представление чисел 0,1, 0,01, 0,001 в виде степени с основанием 10

Стандартный вид числа

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Тест Степень с отрицательным показателем по алгебре

Рейтинг теста

СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

определения, обозначение, примеры, степень с отрицательным показателем

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Что такое степени с целым показателем

Что такое степени с рациональным показателем

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Как решить отрицательные многочлены

Важные полиномиальные члены

Отрицательные многочлены

Правила экспонентов

Нулевая экспонента

Правило произведения или умножения

Правило частичного или деления

Правило отрицательной экспоненты

Правило власти

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Отрицательные экспоненты: правила умножения и деления

Отрицательные экспоненты | Purplemath

Purplemath

Запишите

MathHelp.com

Запишите

Запишите 2

Запишите (3

Запишите (-5

Запишите (

Раздел 2: Правило нулевой экспоненты и правило отрицательной экспоненты | Общественный колледж Хьюстона

Степени и корни: отрицательные показатели

Пример

Различные способы размышления об отрицательной экспоненте

Сдвинуть вправо

Влево

Полная интеграция

Пример

Практическая задача

Алгебра — Многочлены

Добавить комментарий Отменить ответ