Объяснение темы проценты 6 класс: Урок 12. задачи на проценты. часть 2 — Математика — 6 класс

Урок математики на тему «Дроби и проценты», (6 класс)

Тема урока: « Дроби и проценты».

Цель: обобщить и систематизировать знания по темам: сложение и вычитание обыкновенных дробей, умножение и деление обыкновенных дробей, проценты;

развивать коммуникабельность, креативность, умение анализировать, обобщать, сравнивать, выделять главное;

воспитывать познавательный интерес к предмету и уверенность в своих силах.

Педагогические задачи:

Создать условия для повышения мотивации учащихся в потребности усвоения новых умений;

Организовать ситуацию постановки учебной проблемы;

Помочь учащимся в постановке цели урока и поиске путей решения данной проблемы;

Создать ситуацию самостоятельного поиска новых способов решения в группе, в паре;

Создать условия для самоконтроля и самооценивания.

Планируемые результаты:

предметные: формулировать и применять правила действий с обыкновенными дробями; формировать умение решать задачи на дроби, используя различные стратегии и способы рассуждений;

метапредметные: применять знания в различных ситуациях; предлагать разные варианты в зависимости от предложенной ситуации; применять приёмы самоконтроля при выполнении заданий;

личностные: организовывать свою деятельность, т.е. ставить личные цели, их достигать и оценивать результаты.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений.

Формы работы: самостоятельная, групповая, фронтальная работа.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, доска, задачники.

План урока:

Организационный этап.

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Актуализация знаний.

Обобщение и систематизация знаний

Физкультминутка.

Применение знаний и умений в новой ситуации.

Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Рефлексия.

Ход урока.

Организационный этап.

Здравствуйте ребята. Посмотрите, какая сегодня замечательная погода, как ярко светит солнце. Я надеюсь, что после сегодняшнего урока ваше настроение будет таким же солнечным. Начнем урок.

Отгадайте загадку:

Без чего не могут обойтись математики, барабанщики и даже охотники? (Дробь) (Слайд 3 )

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Ребята, а нужны ли дроби? Может быть, можно обойтись без них?

(Ответы детей)

Вы правы, конечно, нужны. На протяжении всей своей жизни мы постоянно сталкиваемся с дробями. А сейчас на уроках учимся выполнять различные действия с ними. Какова же тема сегодняшнего урока?

(Учащиеся формулируют тему урока).

А сейчас каждый ряд составит кластер: в центре — название дроби, а по сторонам — умения.

Составляют кластеры, передают друг другу по цепочке, дополняют, обсуждают (приложение 1). Вместе с учителем делают вывод, определяют цели урока.

Актуализация знаний.

— Давайте узнаем на деле, насколько дружим с дробями:

Правило вычитания дробей .(Ответы детей)

Соотнесите выражение и его значение: а) ; б) ; в) .

1) ; 2) ; 3). ( Слайд 4)

Правило сложения дробей. (Ответы детей)

Сложите дроби: а) ; б) ; в) . (Слайд 5)

Расставь числа так, чтобы получилось верное равенство. (Слайд 6 )

Как умножить дробь на дробь? (Ответы детей)

Как найти часть от числа? Как найти процент от числа? (Ответы детей)

Найдите: а) четвертую часть от 100; б) пятую часть от 80 ; в) 25% от 100; г)20% от 80.(Ответы детей)

Ответы: а) 25 ; б) 16 ; в) 25 ; г) 16.

Обратить внимание детей на одинаковые ответы в заданиях. Ученики делают вывод: 25% = ; 20% = . (Слайд 7 )

Обобщение и систематизация знаний

Работа по учебнику. Анализируем и рассуждаем.

— Иногда нужное число процентов от величины можно найти совсем просто. Например, чтобы найти 10% от 100, нужно разделить 100 на 10.

Рассматривают таблицу. Приводят свои примеры.

Проценты	Дроби
10%
20%
25%
50%
75%

Вопрос: Как записать дробь в виде процентов?

стр. 27, № 114.

Решение задач.

Стакан вмещает 200 г молока. В него налили 160 г. Какая часть стакана осталась ненаполненной?

Обсуждается решение задачи. К доске идут два ученика, предложившие разные способы решения.

1 способ. 1) 160 : 200 = стакана наполнено.

2) 1 — стакана не наполнена.

Ответ: стакана.

2 способ. 1) 200 – 160 = 40 (г) – молока не долили в стакан.

2) 40 : 200 = стакана не наполнена.

Ответ: стакана.

— На сколько процентов наполнен стакан? (Ответы детей)

Записать на доске и в тетрадях :

В первый день туристы прошли 40% намеченного пути, во второй день 1/4 пути, а в третий день остальные 14 км. Чему равна длина всего пути?

Один ученик решает задачу у доски с полным объяснением.

Решение: 40% =

пути прошли туристы за два дня.

пути прошли в третий день.

14 : (км) – длина всего пути.

Ответ: 40 км.

— Стр. 28 из учебника № 118.

Физкультминутка.

Ребята, давайте немного отдохнем. Все встали около своих парт. Выполним «Математическую зарядку».

Под музыку выполняют « Математическую зарядку». (Слайд 8 )

«Да» — руки вверх, «нет» — руки вниз.

В дроби знаменатель – 9.

В дроби числитель – 6.

Дробь — неправильная.

1 копейка – 1% рубля.

30 % — .

Молодцы! А теперь продолжим работу.

Применение знаний и умений в новой ситуации.

1. Осваивает алгоритмы.

Заполните самостоятельно таблицу. Затем выполните взаимопроверку.

Дробь	Дробь со знаменателем 100	Проценты

2.Анализируем и рассуждаем.

Следующее задание выполним в группах.

стр. 26 № 97(б)

Ученики работают в группах по 4 человека. Затем проверяется решение .

Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

А сейчас выполним самостоятельную работу по вариантам

(приложение 2). У каждого на столе карточка с заданием. На выполнение работы 10 минут.

Выполняют самостоятельную работу в тетрадях. Четыре человека работают на ноутбуках, выполняют тест по теме «Дроби и проценты». Используется электронное приложение к учебнику.

По окончании выполняется проверка. Дети видят ответы на слайде. (Слайд 9 )

Каждый проверяет свою работу самостоятельно, исправляет ошибки. Проводится анализ наиболее распространенных ошибок.

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Урок подходит к концу. Ребята, откройте дневники и запишите задание на дом.

На доске и слайде записано домашнее задание: Задачник: п. 1.6,

№ 97(а), 101(а-г), 108, 120

(Слайд 10 )

Откройте задачники. Найдите все номера, записанные на доске. Внимательно прочтите задания. Какие правила нужно вспомнить для выполнения домашнего задания? (Ответы детей)

IX.Рефлексия

Закончить урок мне бы хотелось словами знаменитого русского писателя Льва Толстого:

«Человек подобен дроби:

в знаменателе – то, что он о себе думает,

в числителе – то, что он есть на самом деле.

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь».

Как вы понимаете эти слова? (Ответы детей)

Да, ребята, можно сказать, что Толстой вывел «формулу» для обозначения человеческого характера.

Из математики мы знаем, что если знаменатель равен числителю, то будет единица. Но также мы знаем, что знаменатель не должен равняться нулю, так как вся дробь не будет иметь смысла. И ещё, чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Очень редкое явление, когда «знаменатель» равен «числителю» , то есть мнение окружающих не всегда совпадает со своей самооценкой.

Родители с детства учили нас тому, что любить себя плохо, что приличный человек должен думать сначала о других, о потом уже о себе.

Я считаю, что уважать себя должен каждый. Это просто необходимо для сохранения чувства собственного достоинства. Но любить себя надо в меру. Если человек думает только о себе, то он эгоист. Нужно всегда думать о чувствах других.

Я надеюсь, что слова великого писателя запомнятся вам на всю жизнь.

Спасибо за урок! (Слайд 11)

Презентация к уроку математики «Дроби и проценты»
PPTX / 390.49 Кб

Технологическая карта урока математики в 6 классе на тему «Проценты» | План-конспект урока по математике (6 класс):

Обучающие: Сформировать понятие процента, научить переводить проценты в дробь, и наоборот дробь в проценты, находить процент от числа;

Развивающие: формирование и развитие мыслительных операций,  развитие логического мышления;

Воспитательные: развивать познавательный интерес через игровые моменты взаимоконтроля, взаимопроверки, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели, привитие интереса к предмету.

Предметные: ученик научится переводить проценты в обыкновенные дроби и обратно,  ученик получит возможность использовать полученные знания при решении  практических задач на проценты.

Регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий на уроке;

уметь составлять план и работать по составленному плану;

уметь оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения;

уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

владение основами самоконтроля, самооценки, принятия решений и осуществления осознанного выбора в учебной и познавательной деятельности.

уметь оценивать правильность выполнения действия.

Познавательные: 

уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

уметь формулировать проблемы и решать их;

уметь создавать способы решения проблем;

уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

уметь анализировать, устанавливать причинно-следственные связи;

уметь строить  логическую цепь  рассуждений;

Коммуникативные:

уметь слушать и понимать друг друга, работать в паре и группе, участвовать в коллективном    обсуждении проблем;

уметь аргументировать свою позицию;

уметь оформлять свои мысли в устной форме.

Личностные: формирование мотивации изучения математики;

осознание возможностей самореализации средствами математики;

способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Презентация на тему «Решение задач на проценты» 6класс

Сенина Г.Н., Сенин В.Г., МБОУ «СОШ №4», г.Корсаков

СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ ОДНО ЧИСЛО СОСТАВЛЯЕТ ОТ ДРУГОГО.

Метапредмет – Знание

Какова цель урока?

Чем предстоит заниматься?

целеполагание

Анализ самостоятельной работы

Наши итоги

6

Характерные ошибки…

5

Как исправить…

12

4

Над чем поработать дома

с родителями…

3

3

1

2

Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.

Что сделано дома…

≈ 200 р.; 250 р.; 498 р.

УЧЕБНИК

№ 382

?

240 млн. чел.

УЧЕБНИК

№ 384

?

Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Сколько процентов?

УЧЕБНИК

Найдите, сколько процентов одна величина составляет от другой:

№ 388-390

388- решение

б) 30%; г) 90%; е) 9%.

б) 1%.

389- решение

390- решение

б) 250%.

Практикум

Выражение отношения в процентах

ЗАДАЧНИК

Выразите в процентах:

№ 425

а) 0,35; 0,26; 0,03; 0,17.

решение

35%; 26%; 3%; 17%.

решение

б) 0,5; 0,7; 0,3; 0,1.

50%; 70%; 30%; 10%.

Проверка полученных результатов. Коррекция

Выражение отношения в процентах

ЗАДАЧНИК

№ 426

?

?

?

?

а) 90%;

б) 40%;

в) 24%;

г) 85%;

Проверка полученных результатов. Коррекция

Решение задач

Задача 1

Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи

Выражение отношения в процентах

ЗАДАЧНИК

№ 427

а) 250 : 1000 = 25(%) – считают физкультуру любимым предметом;

решение

решение

б) 18 : 30 = 60(%) – составляли солнечные дни;

Практикум

Выражение отношения в процентах

ЗАДАЧНИК

№ 428

решение

«5» – 12%; «4» – 44%; «3» – 42%; «2» – 2%.

Практикум

Выражение отношения в процентах

ЗАДАЧНИК

№ 429

• 500 : 5000 = 10(%) – составляют 500 р. от первоначальной цены товара;
• Цена товара понизилась на 10%.

решение

Проверка полученных результатов. Коррекция

А остается умение…

«Образование — это то, что остаётся, когда всё выученное забыто». А остаётся умение найти нужную информацию, понять и правильно применить её, если в этом возникнет необходимость.

Как посчитать соотношение двух чисел в процентах? Числа такие 3236,4 и 40,7.

Домашнее задание У: стр.120-121 – читать, № 385, 387, 388(а, в, д), 389(а, в), 390(а, б).

Подведение итогов, рефлексия,  домашнее задание.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Код и классификация направлений подготовки	Код группы образовательной программы	Наименование групп образовательных программ	Количество мест
8D01 Педагогические науки
8D011 Педагогика и психология	D001	Педагогика и психология	45
8D012 Педагогика дошкольного воспитания и обучения	D002	Дошкольное обучение и воспитание	5
8D013 Подготовка педагогов без предметной специализации	D003	Подготовка педагогов без предметной специализации	22
8D014 Подготовка педагогов с предметной специализацией общего развития	D005	Подготовка педагогов физической культуры	7
8D015 Подготовка педагогов по естественнонаучным предметам	D010	Подготовка педагогов математики	30
	D011	Подготовка педагогов физики (казахский, русский, английский языки)	23
	D012	Подготовка педагогов информатики (казахский, русский, английский языки)	35
	D013	Подготовка педагогов химии (казахский, русский, английский языки)	22
	D014	Подготовка педагогов биологии (казахский, русский, английский языки)	18
	D015	Подготовка педагогов географии	18
8D016 Подготовка педагогов по гуманитарным предметам	D016	Подготовка педагогов истории	17
8D017 Подготовка педагогов по языкам и литературе	D017	Подготовка педагогов казахского языка и литературы	37
	D018	Подготовка педагогов русского языка и литературы	24
	D019	Подготовка педагогов иностранного языка	37
8D018 Подготовка специалистов по социальной педагогике и самопознанию	D020	Подготовка кадров по социальной педагогике и самопознанию	10
8D019 Cпециальная педагогика	D021	Cпециальная педагогика	20
		Всего	370
8D02 Искусство и гуманитарные науки
8D022 Гуманитарные науки	D050	Философия и этика	20
	D051	Религия и теология	11
	D052	Исламоведение	6
	D053	История и археология	33
	D054	Тюркология	7
	D055	Востоковедение	10
8D023 Языки и литература	D056	Переводческое дело, синхронный перевод	16
	D057	Лингвистика	15
	D058	Литература	26
	D059	Иностранная филология	19
	D060	Филология	42
		Всего	205
8D03 Социальные науки, журналистика и информация
8D031 Социальные науки	D061	Социология	20
	D062	Культурология	12
	D063	Политология и конфликтология	25
	D064	Международные отношения	13
	D065	Регионоведение	16
	D066	Психология	17
8D032 Журналистика и информация	D067	Журналистика и репортерское дело	12
	D069	Библиотечное дело, обработка информации и архивное дело	3
		Всего	118
8D04 Бизнес, управление и право
8D041 Бизнес и управление	D070	Экономика	39
	D071	Государственное и местное управление	28
	D072	Менеджмент и управление	12
	D073	Аудит и налогообложение	8
	D074	Финансы, банковское и страховое дело	21
	D075	Маркетинг и реклама	7
8D042 Право	D078	Право	30
		Всего	145
8D05 Естественные науки, математика и статистика
8D051 Биологические и смежные науки	D080	Биология	40
	D081	Генетика	4
	D082	Биотехнология	19
	D083	Геоботаника	10
8D052 Окружающая среда	D084	География	10
	D085	Гидрология	8
	D086	Метеорология	5
	D087	Технология охраны окружающей среды	15
	D088	Гидрогеология и инженерная геология	7
8D053 Физические и химические науки	D089	Химия	50
	D090	Физика	70
8D054 Математика и статистика	D092	Математика и статистика	50
	D093	Механика	4
		Всего	292
8D06 Информационно-коммуникационные технологии
8D061 Информационно-коммуникационные технологии	D094	Информационные технологии	80
8D062 Телекоммуникации	D096	Коммуникации и коммуникационные технологии	14
8D063 Информационная безопасность	D095	Информационная безопасность	26
		Всего	120
8D07 Инженерные, обрабатывающие и строительные отрасли
8D071 Инженерия и инженерное дело	D097	Химическая инженерия и процессы	46
	D098	Теплоэнергетика	22
	D099	Энергетика и электротехника	28
	D100	Автоматизация и управление	32
	D101	Материаловедение и технология новых материалов	10
	D102	Робототехника и мехатроника	13
	D103	Механика и металлообработка	35
	D104	Транспорт, транспортная техника и технологии	18
	D105	Авиационная техника и технологии	3
	D107	Космическая инженерия	6
	D108	Наноматериалы и нанотехнологии	21
	D109	Нефтяная и рудная геофизика	6
8D072 Производственные и обрабатывающие отрасли	D111	Производство продуктов питания	20
	D114	Текстиль: одежда, обувь и кожаные изделия	9
	D115	Нефтяная инженерия	15
	D116	Горная инженерия	19
	D117	Металлургическая инженерия	20
	D119	Технология фармацевтического производства	13
	D121	Геология	24
8D073 Архитектура и строительство	D122	Архитектура	15
	D123	Геодезия	16
	D124	Строительство	12
	D125	Производство строительных материалов, изделий и конструкций	13
	D128	Землеустройство	14
8D074 Водное хозяйство	D129	Гидротехническое строительство	5
8D075 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям)	D130	Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям)	11
		Всего	446
8D08 Сельское хозяйство и биоресурсы
8D081 Агрономия	D131	Растениеводство	22
8D082 Животноводство	D132	Животноводство	12
8D083 Лесное хозяйство	D133	Лесное хозяйство	6
8D084 Рыбное хозяйство	D134	Рыбное хозяйство	4
8D087 Агроинженерия	D135	Энергообеспечение сельского хозяйства	5
	D136	Автотранспортные средства	3
8D086 Водные ресурсы и водопользование	D137	Водные ресурсы и водопользования	11
		Всего	63
8D09 Ветеринария
8D091 Ветеринария	D138	Ветеринария	21
		Всего	21
8D11 Услуги
8D111 Сфера обслуживания	D143	Туризм	11
8D112 Гигиена и охрана труда на производстве	D146	Санитарно-профилактические мероприятия	5
8D113 Транспортные услуги	D147	Транспортные услуги	5
	D148	Логистика (по отраслям)	4
8D114 Социальное обеспечение	D142	Социальная работа	10
		Всего	35
		Итого	1815
		АОО «Назарбаев Университет»	65
		Стипендиальная программа на обучение иностранных граждан, в том числе лиц казахской национальности, не являющихся гражданами Республики Казахстан	10
		Всего	1890

ГДЗ по Математике 6 класс Дорофеев, Шарыгин. Решебник

ГДЗ по математике для 6 класса Дорофеева – это сборник готовых домашних заданий по задачам и примерам из учебника по арифметике, составленного известными российскими авторами – Г.В. Дорофеевым, И.Ф. Шарыгиным, С.Б. Суворовым и др. Он используется в большинстве общеобразовательных школ России.

Структура ГДЗ по учебнику математики шестого класса от Дорофеева

Во шестом классе школьники углубленно изучают арифметику. Эти знания помогут им постигнуть алгебру и геометрию в старших классах, а также физику, геометрию, химию. Шестиклассники изучают многоугольники и многогранники, обыкновенные и десятичные дроби, проценты и отношения, уравнения с одной переменной, а также множества и комбинаторика.

ГДЗ по математике 6 класса Дорофеева, составленные на основе учебника 2016-2019 гг. в его 4-м издании, включают в себя примеры и задачи на такие темы:

• дроби и проценты;
• прямые на плоскости и в пространстве;
• десятичные дроби;
• действия с десятичными дробями;
• окружность и прямая;
• отношения и проценты;
• центральная и осевая симметрия;
• выражения, формулы, уравнения;
• целые числа
• множества и комбинаторика;
• рациональные числа;
• многоугольники и многогранники.

Изучение перечисленных тем помогает в постижении алгебры и геометрии в старшей школе. Однако для этого важно не просто зазубрить правила и списать в тетрадь готовые домашние задания. Стоит понять теоремы на научиться применять их в решении примеров, задач и уравнений.

Готовые домашние задания для 6 класса на сайте ГДЗ Путина помогают не только ученикам средних школ, но и их родителям. Они могут проверить домашнюю работу своих детей и отказаться от услуг репетитора.

Онлайн-решения от ГДЗ Путина по математике 6 класса к Дорофееву

В интернете немало сайтов с готовыми домашними заданиями по арифметике. При этом ресурс ГДЗ от Путина имеет немало преимуществ для шестиклассников и родителей:

• наличие нескольких вариантов решения примеров и задач;
• ответы по самым свежим изданиям учебников российских школ;
• оформление готовых домашних заданий по требованиям Минобразования РФ;
• круглосуточный доступ со смартфона, планшета, компьютера.

Приведенные факторы делают ГДЗ по математике 6 класса к учебнику Дорофеева удобными и практичными в использовании. Ответы на задачки, примеры и уравнения в нескольких вариантах упростят постижение арифметики шестиклассниками.

Готовые домашние задания включают в себя детальные алгоритмы выполнения примеров и уравнений, что помогает легко разобраться со сложными темами дома без посещения дополнительных занятий.

ГДЗ по Математике 6 класс Бунимович, Кузнецова Решебник

Математика упорно преследует школьников из года в год. Хорошо, если у вас с ней прочные и удовлетворительные отношения, а что делать тем, кто от природы не склонен к примерам, уравнениям и анализу геометрических фигур? В последнем случае некоторую помощь все-таки можно получить из решебника Е.А. Бунимовича и соавторов (Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) для 6 класса. Распространением пособия занимается издательство «Просвещение» с 2014 года. Актуальной версией является издание 2019 года.

Как нужно использовать ГДЗ Бунимовича, чтобы лучше успевать по математике?

Хорошее образование немыслимо без прилежания, работы на уроке, а также регулярного старательного выполнения домашних заданий. Систематические занятия лежат в основе отличной успеваемости и предупреждают появление у учащегося нежелательных проблем в будущем. Поскольку вся нужная информация отныне собрана в одном месте, заниматься с помощью решебника стало легко. ГДЗ также помогают мотивировать себя и постоянно отслеживать фактически достигнутый прогресс. Это можно сделать благодаря наличию большого количества заданий на самопроверку. Книга полностью соответствуют федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС). Наши материалы онлайн имеют следующие преимущества:

• множество указаний к решению, полезные отсылки к справочным материалам;
• наличие нескольких типов упражнений на повторение после каждого важного параграфа;
• сайт всегда работает с телефонов, смартфонов и ноутбуков и персональных компьютеров;
• таблица номерных указателей позволяет быстро находить полезную информацию.

С пособием для шестиклассников Бунимовича, Кузнецовой, Минаевой удобно готовиться к проверочным работам, а также выполнять всевозможные тесты. Он подойдет для внешкольной деятельности математически одаренных подростков, которые бы хотели опережать текущую рабочую программу и получать больше знаний по предмету.

Чем решебник «Математика, 6 класс» автор: Бунимович лучше учебника?

Готовые домашние задания могут вполне заменить старшего члена семьи или даже репетитора в процессе подготовки к урокам. Разумеется, просто переписывать приведенные верные ответы не имеет никакого дидактического смысла. Следует затратить время на понимание алгоритмов решения и дополнительную отработку нужных умений и навыков. Основные темы в шестом классе:

• делители и кратность;
• принципы разложения составных чисел на простые;
• приведение к единому знаменателю. Техники сравнения чисел через тождественные преобразования;
• дроби: сложение, вычитание, умножение, деление, выделение целой части.

Пособие рекомендовано ученикам общеобразовательных школ, а также тем родителям, которые предпочитают участвовать в учебном процессе посредством отслеживания успеваемости своего ребенка. Решебник хорошо подойдет тем детям, которые вследствие той или иной причины лишены возможности регулярно посещать школу. Девятиклассники могут использовать пособие для повторения некоторых важных разделов, задачи по которым присутствуют в ОГЭ.

Памятка по теме «Отношения.Пропорции. Проценты»

Отношения. Пропорции. Проценты.

1. Отношение  двух чисел – это частное от деления одного числа на другое.
2. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.
3. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
4. Пропорцией  называется  верное равенство двух отношений.

            средние члены                    крайние

          c : d = e : f ;                     

       крайние члены             средние

5. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. c : d = e : f              c · f = d · e
6. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо умножить средние члены пропорции и разделить на известный крайний.
7. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо умножить крайние члены пропорции и разделить на известный средний.
8. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из величин в несколько раз другая величина увеличивается во столько же раз. Прямо пропорциональные величины: 

   стоимость товара – количество товара,

время движения – пройденный путь (при постоянной скорости),

время выполнения работы – объем(при постоянной производительности).

9. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из величин в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз. Обратно пропорциональные величины: 

цена товара – количество товара (при покупке на данную сумму денег)

скорость движения – время движения  (при постоянной длине пути).

производительность труда – время выполнения определенной работы

10. Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее перед знаком %, умножить на 0,01 или разделить на 100.
11. Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо ее умножить на 100.
12. Чтобы найти проценты от данного числа, надо проценты выразить десятичной или обыкновенной  дробью и умножить данное число на эту дробь.
13. Чтобы найти число по его процентам, надо проценты выразить десятичной или обыкновенной  дробью и  данное число разделить на эту дробь.
14. Чтобы узнать,  сколько процентов составляет одно число от другого, надо первое число разделить на второе и выразить полученное отношение в процентах.

Отношения. Пропорции. Проценты.

1. Отношение  двух чисел –  это частное от деления одного числа на другое.
2. Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.
3. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
4. Пропорцией  называется  верное равенство двух отношений.

            средние члены                    крайние

          c : d = e : f ;                     

       крайние члены             средние

5. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. c : d = e : f              c · f = d · e
6. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо умножить средние члены пропорции и разделить на известный крайний.
7. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо умножить крайние члены пропорции и разделить на известный средний.
8. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из величин в несколько раз другая величина увеличивается во столько же раз. Прямо пропорциональные величины: 

   стоимость товара – количество товара,

время движения – пройденный путь (при постоянной скорости),

время выполнения работы – объем(при постоянной производительности).

9. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из величин в несколько раз другая величина уменьшается во столько же раз. Обратно пропорциональные величины: 

цена товара – количество товара (при покупке на данную сумму денег)

скорость движения – время движения  (при постоянной длине пути).

производительность труда – время выполнения определенной работы

10. Чтобы выразить проценты десятичной дробью, надо число, стоящее перед знаком %, умножить на 0,01 или разделить на 100.
11. Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, надо ее умножить на 100.
12. Чтобы найти проценты от данного числа, надо проценты выразить десятичной или обыкновенной  дробью и умножить данное число на эту дробь.
13. Чтобы найти число по его процентам, надо проценты выразить десятичной или обыкновенной  дробью и  данное число разделить на эту дробь.
14. Чтобы узнать,  сколько процентов составляет одно число от другого, надо первое число разделить на второе и выразить полученное отношение в процентах.

 

Урок шестого класса Простой интерес

· _ проценты _ — это сумма, которую вы платите, чтобы использовать или занимать деньги, или сумму, заработанную сверх денег, которые вы инвестируете.

· Основная сумма __ — это сумма денег, которую вы занимаете или инвестируете.

· __ процентная ставка _ — процентная ставка, выплачиваемая за определенный период времени, обычно один год

Примечания:

Просмотрите примеры / заметки со студентами.

Сначала вам будут предоставлены три части информации — основная сумма, проценты и время. Теперь мы можем определить сумму процентов, выполнив три шага:

· Есть три шага для поиска интереса. Давайте посмотрим на следующий пример:

Основная сумма: 450 долларов США Процентная ставка: 4,9% Срок: 6 месяцев

· Шаг 1: Используйте формулу процента. Заполните информацию, которую вам дают.

I = p x r x t

Проценты ( I)	=	Принципал ( п. )	х	Скорость ( r )	х	Время ( т )
Я	=	$ 450	х	4.9%	х	6 месяцев

Измените числа, чтобы можно было вычислить

§ 4,9% = 0,049

§ 6 месяцев = = год = 0,5

Шаг 2: Умножьте, чтобы найти проценты

Я	=	$ 450	х	0.049	х	0,5
Я	=	$ 22,05	х	0,5	=	$ 11,025

Процент составляет около 11,03 долларов США

o Шаг 3: Складываем, чтобы найти основную сумму плюс проценты

По инструкции Практика

Просмотрите примеры со студентами, чтобы выявить интерес

Найдите простой процент, а также сумму основной суммы и процентов по каждому из них.

Принципал	Процентная ставка	Время	Проценты	Основная сумма + проценты
1. $ 598	6,6%	1 год
2. $ 225	4,2%	1 год
3. $ 1,560	5,0%	6 мес
4. $ 209	7,1%	3 мес
5. $ 10 000	4,75%	9 мес

Простой процент — объяснение и примеры

Вы когда-нибудь одалживали или занимали деньги у друга или родственника? Что случилось, когда вы вернули деньги? Вы вернули ту же сумму, которую взяли в долг? Что ж, эта дополнительная сумма, которую вы платите при погашении долга или ссуды, называется процентами, а эта концепция называется простыми процентами.n = e, где n представляет, сколько раз начисляются проценты в течение года.

Простые проценты — это процентное приложение. Понимание концепции простого интереса не только важно для вас, чтобы знать, как решать задачи в классе, но также является фундаментальным навыком, который поможет вам управлять своими финансами. Обладая базовыми знаниями о том, как работают эти концепции, вы получите возможность принимать правильные финансовые решения. В этой статье мы узнаем, как рассчитать простой процент и знания для решения реальных жизненных проблем.Начнем с определения терминов, связанных с простым процентом.

Основная сумма (P)

Основная сумма — это заемные деньги или первоначальная сумма денег, депонированная в банке. Принципал обозначается заглавной буквой «П».

Проценты (R)

Дополнительная сумма, которую вы зарабатываете после внесения депозита, или дополнительная сумма, которую вы платите при погашении кредита. Проценты обычно обозначаются буквой «R», потому что они рассчитываются как процентная ставка.

Время (T)

Это период, в течение которого деньги заимствуются или депонируются. Время обычно выражается в месяцах или годах. Обозначается заглавной буквой «Т».

Сумма (A)

Сумма представляет собой сумму общих процентов и основной суммы долга за определенный период.

Что такое простой процент?

Простые проценты — это сумма, выплачиваемая на основную сумму денег, взятую в ссуду или предоставленную кому-либо.Точно так же вы можете получать проценты, когда делаете депозит на определенную сумму в банке. Концепция простых процентов в основном применяется в различных секторах, включая банковское дело, ипотеку, автомобилестроение и другие финансовые учреждения.

Как найти простой интерес?

Простой процент рассчитывается просто путем нахождения произведения основной суммы, взятой или ссудой, процентной ставки и срока или периода погашения ссуды.

Формула для простого процента имеет следующий вид:

SI = (P × R × T) / 100

Где;

SI = простые проценты

P = основная сумма

R = процентная ставка (выраженный процент)

T = продолжительность времени (в месяцах или годах)

Формула для простых процентов используется для расчета суммы процентов, если время и основная сумма известна.

Для определения общей суммы (A) применяется следующая формула:

Сумма (A) = Основная сумма (P) + Проценты (I)

Где;

Сумма (A) — это общая сумма денег, выплаченных в конце периода погашения ссуды, на который она была взята.

Пример 1

Женщина внесла 50000 долларов в банк, который взимал проценты в размере 5 процентов в год. Подсчитайте проценты и сумму, которую она заработала через 2 года.
Пояснение

Take; Основной (P) = 50000 долларов США,
Время (T) = 2 года,
Ставка (R) = 5% годовых.

Подставить значения в формуле простых процентов;
(SI) = [(P) × (R) × (T)] / 100
= (50000 x 5 x 2) / 100
= 5000 долларов США

Таким образом, она заработала проценты в размере 5000 долларов США
Сумма (A ) = Основная сумма (P) + Проценты (I)
Заместитель;
= 50000+ 5000
= 55000 долларов

Следовательно, женщина получила 55000 долларов

Пример 2

Тайсон вложил определенную сумму денег в банк.Банк выплатил ему 9000 долларов по истечении заданного периода времени. Если выплаченные банком проценты составили 1200 долларов, посчитайте, сколько денег вложил Тайсон?

Пояснение

Сумма (A) = 9000 долларов,
Простой процент (SI) = 1200 долларов
Из формулы;

Основная сумма (P) = Сумма (A) — Проценты (I)
= 9000 — 1200
= 7800 долларов
Таким образом, Тайсон инвестировал 7800 долларов.

Пример 3

Мария депонировала в банке 6400 долларов, а через год заработал 8000 долларов.Посчитать простой процент, который она заработала?
Объяснение
Основная сумма (P) = 6400 долларов США,
Сумма (A) = 8000 долларов США

Примените формулу;
Простой процент (SI) = Сумма (A) — Основная сумма (P)
= 8000-6400

= 1600 долларов

Таким образом, Мария заработала проценты в размере 1600 долларов США

Простые проценты имеют множество применений, таких как облигации и ипотека. Купонная выплата по Облигациям выплачивается в виде не начисляемых процентов. Аналогичным образом, ипотечные кредиты без начисления процентов часто используются с двухнедельным планом выплат для более ранней выплаты ссуды.

Практические вопросы

1. Рассчитайте ставку, если основная сумма составляет 3000 долларов; проценты — 400 долларов США; и время 3 года.
2. Я положил 5400 долларов в банк и заработал 6000 долларов через 2 года. Какая была процентная ставка?
3. Учитывая, что основная сумма долга составляет 3500 долларов, проценты — 700 долларов, а ставка — 4% годовых. Рассчитать время?
4. Шарон занял 3400 долларов в банке, который взимал 8% годовых. на 225 дней. Посчитать сумму и проценты, которые она заплатила?
5. Лаксман инвестировал 1500 долларов в банк, который взимал ставку 6% сроком на 7 лет и 3 месяца.Подсчитайте сумму, которую он заработал.

Ответы

1. 44%.
2. 600 долларов.
3. 5 лет
4. Сумма = 3567,67 долларов и проценты = 167,67 долларов
5. 2870 долларов

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

6.1: Простые проценты и скидки

Цели обучения

В этом разделе вы узнаете:

1. Найдите простой интерес.
2. Найдите приведенную стоимость.
3. Найдите скидки и выручку.

Простой процент

Занять деньги стоит денег. Рента, которую платят за использование денег, называется процентами . Сумма денег, которая заимствуется или ссужается, называется основной суммой или приведенной стоимостью . Простые проценты выплачиваются только на первоначальную сумму займа. Когда деньги ссужаются, лицо, которое берет деньги в долг, обычно платит фиксированную процентную ставку на основную сумму за период времени, в течение которого он хранит деньги.Хотя процентная ставка часто указывается на год, она может быть указана на неделю, месяц или квартал и т. Д. Компании, выпускающие кредитные карты, часто указывают свои сборы как ежемесячные ставки, иногда она достигает 1,5% в месяц. .

Определение: простой процент

Если сумма \ (P \) заимствована на время \ (t \) под процентную ставку \ (r \) за период времени, тогда простой процент дается как

\ [I = P \ cdot r \ cdot t \]

Определение: Накопленная стоимость

Общая сумма \ (A \), также называемая накопленной стоимостью или будущей стоимостью, определяется как

\ [\ begin {align *} A & = P + I \\ [4pt] & = P + Prt \ end {align *} \]

или

\ [A = P (1 + rt) \ label {simple3} \]

, где процентная ставка \ (r \) выражена десятичными знаками.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Урсула берет взаймы 600 долларов на 5 месяцев под простую процентную ставку 15% годовых. Найти проценты и общую сумму, которую она обязана выплатить?

Решение

Проценты рассчитываются путем умножения основной суммы долга на процентную ставку и время.

\ [\ begin {align *} \ mathrm {I} & = \ operatorname {Prt} \\ [4pt] & = \ 600 (0,15) \ frac {5} {12} \\ [4pt] & = \ $ 37,50 \ end {align *} \]

Общая сумма

\ [\ begin {align *} \ mathrm {A} & = \ mathrm {P} + \ mathrm {I} \\ [4pt] & = \ 600 + \ 37 $.50 \\ [4pt] & = \ 637,50 $ \ end {align *} \]

Между прочим, общую сумму можно вычислить напрямую с помощью уравнения \ ref {simple3} как

\ [\ begin {align *} A & = P (1 + rt) \\ [4pt] & = \ 600 долл. США [1+ (0,15) (5/12)] \\ [4pt] & = \ 600 долл. США (1 + 0,0625) \\ [4pt] & = \ $ 637,50 \ end {align *} \]

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Хосе положил 2500 долларов на счет, на который выплачиваются простые проценты в размере 6%. Сколько денег у него будет через 3 года?

Решение

Общая сумма или будущая стоимость определяется уравнением \ ref {simple3}.

\ [\ begin {align *} A & = P (1 + rt) \\ [4pt] & = \ $ 2500 [1 + (. 06) (3)] \\ [4pt] \ mathrm {A} & = \ $ 2950 \ end {align *} \]

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Дарнел должен в общей сложности 3060 долларов, включая 12% годовых за три года, когда он занимал деньги. Сколько он изначально занял?

Решение

На этот раз нас просят вычислить главный \ (P \) с помощью уравнения \ ref {simple3}.

\ [\ begin {align *} \ $ 3060 & = \ mathrm {P} [1+ (0.12) (3)] \\ [4pt] \ $ 3060 & = \ mathrm {P} (1.36) \\ [4pt] \ dfrac {\ $ 3060} {1.36} & = \ mathrm {P} \\ [4pt ] \ $ 2250 & = \ mathrm {P} \ quad \ text {Дарнел изначально заимствовал \ $ 2250. } \ end {align *} \]

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Компания, выпускающая кредитные карты Visa, ежемесячно взимает комиссию в размере 1,5% от неоплаченного остатка. Если Марта задолжала 2350 долларов и не оплачивала счет в течение трех месяцев, сколько она должна сейчас?

Решение

Прежде чем мы попытаемся решить задачу, читатель должен заметить, что в этой задаче размер платы за финансирование дается за месяц, а не за год.

Общая сумма задолженности Марты — это предыдущий невыплаченный остаток плюс финансовые расходы.

\ [A = \ 2350 $ + \ 2350 $ (0,015) (3) = \ 2350 $ + \ 105,75 $ = \ 2455,75 $ \ nonumber \]

В качестве альтернативы, опять же, мы можем вычислить сумму напрямую, используя формулу \ (A = P (1 + rt) \)

\ [A = \ 2350 долл. США [1 + (. 015) (3)] = \ 2350 долл. США (1,045) = \ 2455,75 долл. США \ nonumber \]

Скидка и выручка

Банки часто вычитают простой процент из суммы ссуды в момент предоставления ссуды.Когда это происходит, мы говорим, что ссуда была дисконтирована на рублей. Вычитаемый процент называется скидкой , а фактическая сумма, которая выплачивается заемщику, называется выручкой . Сумма, которую заемщик обязан выплатить, называется стоимостью погашения .

Скидка и выручка

Если сумма \ (M \) заимствована на время \ (t \) по ставке дисконтирования \ (r \) в год, то скидка \ (D \) составляет

\ [D = M \ cdot r \ cdot t \]

Выручка \ (P \), фактическая сумма, которую получает заемщик, определяется как

\ [\ begin {align *} P & = M-D \\ [4pt] & = M-M r t \ end {align *} \]

или

\ [P = M (1-rt) \]

, где процентная ставка \ (r \) выражена десятичными знаками.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Франциско берет взаймы 1200 долларов на 10 месяцев под простую процентную ставку 15% в год. Определите скидку и выручку.

Решение

Дисконт \ (D \) — это проценты по ссуде, которые банк вычитает из суммы ссуды.

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {D} = \ mathrm {Mrt} \\
\ mathrm {D} = \ $ 1200 (0,15) \ left (\ frac {10} {12} \ справа) = \ 150 $
\ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, банк вычитает 150 долларов из суммы погашения 1200 долларов и дает Франциско 1050 долларов.Франциско обязан выплатить банку 1200 долларов.

В данном случае скидка \ (D \) = 150 $, а выручка

\ [P = \ 1200 — \ 150 долларов = \ 1050 долларов. \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Если Франциско хочет получить 1200 долларов на 10 месяцев под простую процентную ставку 15% в год, на какую сумму кредита он должен подать заявку?

Решение

В этой задаче нам дается выручка \ (P \) и просят определить стоимость погашения \ (M \).

У нас есть \ (P \) = 1200 $, \ (r = 0,15 \), \ (t \) = 10/12. Нам нужно найти \ (M \).

Мы знаем \ (P = M — D \)

, но также \ (D = Mrt \)

следовательно

\ [\ begin {align *} \ mathrm {P} & = \ mathrm {M} — \ mathrm {Mrt} \\ [4pt] & = \ mathrm {M} (1- \ mathrm {rt}) \\ [4pt] \ $ 1200 & = \ mathrm {M} \ left [1- (0,15) \ left (\ dfrac {10} {12} \ right) \ right] \ end {align *} \]

Нам нужно найти \ (M \).

\ [\ begin {align *}
\ $ 1200 & = \ mathrm {M} (1-0.125) \\ [4pt]
\ $ 1200 & = \ mathrm {M} (0.875) \\ [4pt]
\ dfrac {\ $ 1200} {0.875} & = \ mathrm {M} \\ [4pt]
\ $ 1371.43 & = \ mathrm {M}
\ end {align *} \]

Следовательно, Франциско следует попросить ссуду на 1371,43 доллара.

Банк сделает скидку на 171,43 доллара, а Франциско получит 1200 долларов.

Сводка

Ниже приводится краткое изложение формул, которые мы разработали для расчетов с использованием простых процентов:

Простые проценты

Если сумма \ (P \) заимствована на время \ (t \) под процентную ставку \ (r \) за период времени, тогда простой процент дается как

\ [I = P \ cdot r \ cdot t \ nonumber \]

Общая сумма \ (A \), также называемая накопленной стоимостью или будущей стоимостью, равна

\ [A = P + I = P + Prt \ nonumber \]

или

\ [A = P (1 + rt) \ nonumber \]

, где процентная ставка \ (r \) выражена десятичными знаками.

Скидка и выручка

Если сумма \ (M \) заимствована на время \ (t \) по ставке дисконтирования \ (r \) в год, то скидка \ (D \) составляет

\ [D = M \ cdot r \ cdot t \ nonumber \]

Выручка \ (P \), фактическая сумма, которую получает заемщик, определяется как

\ [\ begin {array} {l}
P = M-D \\
P = M-M r t
\ end {array} \ nonumber \]

или \ [P = M (1-rt) \ nonumber \]

, где процентная ставка \ (r \) выражена десятичными знаками.

В конце срока ссуды заемщик выплачивает полную сумму погашения \ (M \).

Как найти простую процентную ставку: определение, формула и примеры — стенограмма видео и урока

Формула простой процентной ставки

Саре нужно занять 2000 долларов, чтобы купить мебель. Она одобрена для получения двух разных займов. Первый ссуда позволяет ей занять 2000 долларов сейчас при условии, что она выплатит ссуду, вернув 2200 долларов, ровно через год со дня, когда она одолжит деньги.Вторая ссуда также предлагает ей предоплату в размере 2000 долларов с аналогичным периодом ссуды в один год под 7% годовых. Что лучше для Сары?

Заемная или инвестированная сумма называется основной суммой . Используя приведенный выше пример, когда Сара берет взаймы 2000 долларов на покупку мебели, мы говорим, что сумма основного долга составляет 2000 долларов.

Финансовые учреждения обычно указывают количество, называемое процентной ставкой , в процентах. Эта процентная ставка представляет собой отношение основной суммы займа или инвестиций.Обычно эта процентная ставка указывается в процентах за год, и в этом случае она называется годовой процентной ставкой . Например, если мы занимаем 100 долларов под 5% годовых, это означает, что с нас будет взиматься плата в размере 5% от 100 долларов в конце года, или 5 долларов.

Период или продолжительность ссуды — это время, когда основная сумма либо заимствуется, либо инвестируется. Обычно он указывается в годах, но в некоторых случаях может быть указан в месяцах или даже днях. Если это так, нам нужно выполнить преобразование периода, указанного в месяцах или днях, в годы.

Простая формула процентов позволяет нам вычислить I , то есть проценты, полученные или начисленные по ссуде. Согласно этой формуле сумма процентов определяется как I = Prt , где P — основная сумма, r — годовая процентная ставка в десятичной форме, а t — период ссуды, выраженный в годах.

Пример

Второе предложение, которое получила Сара, — это занять основную сумму P = 2000 долларов США под 7% годовых, более т = 1 год.Ставка r должна быть преобразована из процента в десятичную форму, что означает, что мы разделим процентное значение 7% на 100, чтобы получить r = 0,07.

Теперь мы рассчитаем сумму процентов, которые Сара будет взимать, если она примет только что описанное кредитное предложение:

I = Prt = (2,000) (0,07) (1) = 140 долларов.

Следуя нашему примеру, мы определили, что если Сара примет вторую ссуду, проценты, которые она будет должна банку, составят 140 долларов. Итак, сколько Саре придется заплатить банку, чтобы выплатить свой долг? Ей нужно будет вернуть деньги, которые она заняла, или основную сумму, которая составляет 2000 долларов, и она должна будет заплатить банку рассчитанные нами проценты, в которых I = 140 долларов.Таким образом, она будет должна банку 2000 + 140 долларов, что равняется 2140 долларам. Мы отмечаем, что это все еще меньше, чем 2200 долларов, которые Саре пришлось бы заплатить, если бы она приняла первый заем. Очевидно, второй займ — лучший выбор.

Будущая стоимость погашения

Общая сумма, которую нам нужно будет вернуть, когда мы возьмем ссуду, называется будущей стоимостью ссуды. Другое название будущей стоимости — , срок погашения . Будущая стоимость кредита A определяется уравнением A = P + I .Когда мы инвестируем основную сумму ( P ), будущая стоимость ( A ) будет представлять общую сумму, которая у нас будет в конце периода ссуды после начисления простых процентов.

Используя формулу процента I = Prt , мы можем вывести формулу для будущего значения, так как A = P + Prt , или после вычитания P с правой стороны, A = P (1 + RT) .

Пример 1

Лиля берет взаймы 300 долларов в местном банке под 3 процента годовых.25% с возвратом через полгода. Сколько процентов она заплатит в конце ссуды?

Решение

Нам даны следующие значения: основная сумма, P = 300, годовая процентная ставка, r = 3,25%, и срок кредита t в годах. Срок ссуды составляет шесть месяцев, поэтому мы имеем т = ½, рассчитанное путем деления шести месяцев на 12 месяцев, количество месяцев в году.

t = срок кредита в месяцах / 12 месяцев в году = 6/12 = 1/2

Значение r определяется путем преобразования его из процента в десятичную форму:

r = годовая ставка в процентах / 100 = 3.25/100 = 0,0325

Теперь мы используем формулу процентов I = Prt , чтобы определить проценты, подлежащие выплате в конце ссуды:

I = Prt = (300) (0,0325) (1 / 2) = 4,875

Это значение будет округлено банком до 4,88 доллара, так как это более выгодно для них. Следовательно, Лиле придется выплатить 4,88 доллара процентов.

Пример 2

Найдите значение срока погашения для простой процентной ссуды в размере 4000 долларов с годовой процентной ставкой 10.5% со сроком погашения 105 дней. Банки обычно предполагают, что в году 360 дней.

Решение

Нам дана основная сумма, P = 4000. Срок кредита в годах рассчитывается путем деления 105 дней на 360 дней, что дает нам т = 21/72.

t = 105/360 = 21/72

Годовая процентная ставка составляет 10,5% или в десятичной форме r = 0,105.

Срок погашения ссуды определяется по формуле A = P (1 + rt) .Отсюда имеем:

Следовательно, будущая стоимость этой ссуды составляет 4 122,50 доллара США.

Пример 3

Том вкладывает 3000 долларов на сберегательный счет. По прошествии одного года на счете было заработано 33 доллара США в виде процентов. Какая простая годовая процентная ставка?

Решение

Нам дана основная сумма, P = 3000 долларов США, проценты, I = 33,00, а срок кредита в годах составляет t = 1.Процентная ставка определяется по простой формуле процента, I = Prt , решая для r :

Таким образом, годовая простая процентная ставка составляет 1,1%.

Резюме урока

Простые проценты обычно применяются к краткосрочным займам, когда заимствуется денежная сумма, называемая основной суммой . В конце периода ссуды к основной сумме применяются проценты, и ссуда выплачивается путем выплаты основной суммы займа в дополнение к начисленным процентам.Сумма процентов пропорциональна основной сумме, годовой процентной ставке , которая дается в процентах в год, и продолжительности периода ссуды , то есть времени, когда основная сумма либо заимствуется, либо инвестируется.

Формула простого процента: I = Prt .

Будущая стоимость определяется по формуле A = P (1 + rt) .

Ключевые термины

• Простые проценты : сумма процентов, примененных к краткосрочной ссуде, примененная к сумме ссуды на весь срок ссуды
• Основная сумма : заемная или инвестированная сумма
• Годовая процентная ставка : процентная ставка в процентах в год
• Срок кредита : период времени до момента возврата кредита
• Будущая стоимость : сумма, подлежащая выплате, включая основную сумму и проценты, в конце периода ссуды

Результаты обучения

После того, как вы закончите, вы сможете:

• Объяснить, что такое простой процент
• Расчет простых процентов и будущей стоимости по правильным формулам

Сложные проценты

Представьте, что вы положили $ 100 на сберегательном счете с годовой процентной ставкой 6 % .

Через год у вас есть 100 + 6 знак равно $ 106 . Через два года, если интерес просто у тебя будет 106 + 6 знак равно $ 112 (добавление 6 % первоначальной основной суммы каждый год.) Но если это сложные проценты , то на второй год вы заработаете 6 % принадлежащий новый количество:

1.06 × $ 106 знак равно $ 112,36

Формула годового сложного процента

Если вы положите п долларов на сберегательном счете с годовой процентной ставкой р , а проценты начисляются ежегодно, тогда сумма А у тебя есть после т лет определяется по формуле:

А знак равно п ( 1 + р ) т

Пример:

Предположим, вы инвестируете $ 4000 в 7 % проценты, начисляемые ежегодно.Найдите сумму, которая у вас есть после 5 годы.

Здесь, п знак равно 4000 , р знак равно 0,07 , а также т знак равно 5 . Подставляя значения в формулу, получаем:

А знак равно 4000 ( 1 + 0,07 ) 5 ≈ 4000 ( 1.40255 ) знак равно 5610,2

Следовательно, сумма после 5 лет было бы около $ 5610,20 .

Общая формула сложного процента

Если проценты начисляются чаще, чем один раз в год, вы получите еще более выгодную сделку. В этом случае вам необходимо разделить процентную ставку на количество периодов начисления сложных процентов.

Если вы инвестируете п долларов по годовой процентной ставке р , составной п раз в год, то сумма А у тебя есть после т лет определяется по формуле:

А знак равно п ( 1 + р п ) п т

Пример:

Предположим, вы инвестируете $ 1000 в 9 % проценты, начисляемые ежемесячно.Найдите сумму, которая у вас есть после 18 месяцы.

Здесь п знак равно 1000 , р знак равно 0,09 , п знак равно 12 , а также т знак равно 1.5 (поскольку 18 месяцев = полтора года).

Подставляя значения, получаем:

А знак равно 1000 ( 1 + 0.09 12 ) 12 ( 1.5 ) ≈ 1000 ( 1,143960 ) знак равно 1143,960

Округляя до ближайшего цента, у вас есть $ 1143.96 .

Простые проценты

Когда вы кладете деньги в банк, вы можете получать проценты, а когда вы занимаете деньги, вы можете платить проценты. Сумма денег называется основной. Простой интерес относится к сумме денег, которая выплачивается в течение определенного периода времени, называемого термином.

Чтобы определить простой интерес, умножьте первоначальную основную сумму на процентную ставку на количество периодов времени.

Формула: я знак равно п р т куда я процент заработанных, п является принципалом (деньги вложены или взяты в долг), р — годовая процентная ставка, записанная в десятичной форме, и т время в годах, за которое выплачиваются проценты.

Пример 1:

Вы инвестируете $ 200 в 8 % простой интерес для 6 годы.Сколько процентов вы заработали по истечении этого времени?

я знак равно п р т

я знак равно 200 ( 0,08 ) ( 6 ) знак равно $ 96

Пример 2:

Вы одолжили $ 10 , 000 для 3 лет в 5 % простой интерес.Сколько процентов вы заплатили по кредиту?

я знак равно п р т

я знак равно ( 10000 ) ( 0,05 ) ( 3 ) знак равно $ 1500

Пример 3:

Вы вносите депозит $ 2500 в банке. Деньги зарабатывают 4 % простые проценты в год.Если вы снимете все свои деньги и закроете счет после 18 месяцев, сколько у вас будет денег?

Обратите внимание, что здесь ежегодный процентная ставка указана, но нас спрашивают о 18 месяцы … то есть, 1.5 годы.

я знак равно п р т

я знак равно ( 2500 ) ( .04 ) ( 1.5 ) знак равно $ 150

Также обратите внимание, что в задаче задается общая сумма, то есть основная сумма плюс проценты. Когда вы снимете со счета все деньги, у вас будет $ 2500 + $ 150 знак равно $ 2650 .

Определение и формула простых и сложных процентов

Проценты определяются как стоимость заимствования денег, как в случае процентов, начисляемых на остаток по кредиту.И наоборот, проценты также могут быть ставкой, выплачиваемой за деньги по депозиту, как в случае депозитного сертификата. Проценты можно рассчитывать двумя способами: простые проценты или сложные проценты.

• Простые проценты рассчитываются на основную или первоначальную сумму ссуды.
• Сложные проценты рассчитываются на основе основной суммы и накопленных процентов за предыдущие периоды и, таким образом, могут рассматриваться как «проценты по процентам».

Сумма процентов, подлежащих уплате по ссуде, может сильно отличаться, если проценты рассчитываются на комплексной основе, а не на простой основе.С положительной стороны, магия начисления сложных процентов может работать вам на пользу, когда дело касается ваших инвестиций, и может быть мощным фактором создания богатства.

Хотя простые проценты и сложные проценты являются базовыми финансовыми концепциями, тщательное знакомство с ними может помочь вам принимать более обоснованные решения при получении ссуды или инвестировании.

Формула простого процента

Формула расчета простых процентов:

Простой интерес знак равно п × я × п куда: п знак равно Главный я знак равно Процентная ставка п знак равно Срок кредита \ begin {align} & \ text {Simple Interest} = P \ times i \ times n \\ & \ textbf {где:} \\ & P = \ text {Principal} \\ & i = \ text {Процентная ставка} \\ & n = \ text {Срок кредита} \\\ конец {выровнен} Простой процент = P × i × n, где: P = Основная сумма = Ставка процента = Срок ссуды. n — 1 \ big) \\ & \ textbf {где:} \\ & P = \ text {Принципал} \\ & i = \ text {Процентная ставка в процентах} \\ & n = \ text {Количество периодов начисления сложных процентов для год} \\ \ end {выровнен} Сложные проценты = (P (1 + i) n) −PCСложные проценты = P ((1 + i) n − 1), где: P = основная сумма i = процентная ставка в процентах n = количество периодов начисления сложных процентов за год

Сложные проценты = общая сумма основного долга и процентов в будущем (или будущая стоимость) за вычетом основной суммы в настоящее время, называемая приведенной стоимостью (PV).3 — 1 \ большой) \\ & = \ 10 000 долларов \ большой (1,157625 — 1 \ большой) \\ & = \ 1 576,25 доллара \\ \ end {выровнено} Проценты = 10000 долларов США ((1 + 0,05) 3−1) = 10000 долларов США (1,157625−1) = 1576,25 долларов США.

Хотя общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение трехлетнего периода по этому займу, составляет 1 576,25 долларов США, в отличие от простых процентов, сумма процентов не одинакова для всех трех лет, поскольку сложные проценты также учитывают накопленные проценты за предыдущие периоды. Проценты, подлежащие выплате в конце каждого года, показаны в таблице ниже.

Год	Начальное сальдо (П)	Процентная ставка 5% (I)	Конечное сальдо (P + I)
1	10 000,00	500,00 $	10 500,00 долларов США
2	10 500,00 долларов США	525,00 $	$ 11 025,00
3	11 025 долл. США.00	$ 551,25	11 576,25 долл. США
Итого проценты		$ 1 576,25

Периоды начисления процентов

При расчете сложных процентов количество периодов начисления сложных процентов имеет большое значение. Как правило, чем выше количество периодов начисления сложных процентов, тем больше сумма сложных процентов. Таким образом, на каждые 100 долларов ссуды в течение определенного периода сумма процентов, начисленных по ставке 10% годовых, будет ниже, чем процентная ставка, начисляемая по ставке 5% раз в полгода, что, в свою очередь, будет ниже, чем процент, начисляемый по ставке 2.5% ежеквартально.

В формуле расчета сложных процентов переменные «i» и «n» должны быть скорректированы, если количество периодов начисления сложных процентов составляет более одного раза в год.

То есть в круглых скобках «i» или процентная ставка должна быть разделена на «n» — количество периодов начисления сложных процентов в году. За пределами круглых скобок «n» необходимо умножить на «t» — общую длину инвестиции.

Следовательно, для 10-летнего кредита под 10%, где проценты начисляются раз в полгода (количество периодов начисления сложных процентов = 2), i = 5% (т.е., 10% ÷ 2) и n = 20 (т. {nt} — 1 \ Big) \\ & \ textbf {где:} \\ & P = \ text { Основная сумма} \\ & i = \ text {Процентная ставка в процентах} \\ & n = \ text {Количество периодов начисления сложных процентов в год} \\ & t = \ text {Общее количество лет для инвестиции или кредита} \\ \ end {выровнено} Общая стоимость со сложным процентом = (P (n1 + i) nt) −PCСложный процент = P ((n1 + i) nt − 1), где: P = основная сумма i = процентная ставка в процентах n = количество периодов начисления сложных процентов в yeart = Общее количество лет для инвестиций или ссуды

Следующая таблица демонстрирует разницу, которую может иметь количество периодов начисления сложных процентов с течением времени для ссуды в размере 10 000 долларов США, взятой на 10-летний период.

Частота добавления	Количество периодов начисления процентов	Значения для i / n и nt	Итого проценты
Ежегодно	1	i / n = 10%, nt = 10	$ 15 937,42
Раз в полгода	2	i / n = 5%, nt = 20	16 532,98 долл. США
Ежеквартально	4	i / n = 2,5%, nt = 40	16850 долл. США.64
Ежемесячно	12	i / n = 0,833%, nt = 120	17059,68 $

Другие концепции начисления сложных процентов

Временная стоимость денег

Поскольку деньги не являются «бесплатными», а имеют стоимость в виде процентов, из этого следует, что доллар сегодня будет стоить больше, чем доллар в будущем. Эта концепция известна как временная стоимость денег и является основой для относительно продвинутых методов, таких как анализ дисконтированных денежных потоков (DCF).Противоположность начислению сложных процентов известна как дисконтирование. Фактор дисконтирования можно рассматривать как обратную величину процентной ставки и коэффициент, на который необходимо умножить будущую стоимость, чтобы получить текущую стоимость.

Формулы для получения будущей стоимости (FV) и текущей стоимости (PV) следующие:

FV знак равно п V × ( 1 + я п ) п т PV знак равно F V ÷ ( 1 + я п ) п т куда: я знак равно Процентная ставка в процентах п знак равно Количество периодов начисления сложных процентов в год т знак равно Общее количество лет для инвестиции или ссуды \ begin {align} & \ text {FV} = PV \ times \ big (\ frac {1 + i} {n} \ big) ^ {nt} \\ & \ text {PV} = FV \ div \ big ( \ frac {1 + i} {n} \ big) ^ {nt} \\ & \ textbf {где:} \\ & i = \ text {Процентная ставка в процентах} \\ & n = \ text {Количество периодов начисления сложных процентов в год} \\ & t = \ text {Общее количество лет для инвестиций или ссуды} \\ \ end {выровнено} FV = PV × (n1 + i) ntPV = FV ÷ (n1 + i) nt, где: i = процентная ставка в процентах n = количество периодов начисления сложных процентов в год = общее количество лет для инвестиции или кредита

Например, будущая стоимость 10 000 долларов США составит 5% годовых в течение трех лет:

= 10 000 долларов США (1 + 0.05) ³

= 10 000 долл. США (1 157 625 долл. США)

= 11 576,25 долл. США.

Приведенная стоимость 11 576,25 долларов США со скидкой 5% на три года:

= 11 576,25 долл. США / (1 + 0,05) ³

= 11 576,25 долл. США / 1 157 625 долл. США

= 10 000 долл. США

Обратное значение 1,157625, равное 0,8638376, в данном случае является коэффициентом дисконтирования.

Правило 72

Правило 72 рассчитывает приблизительное время, в течение которого инвестиция удвоится при заданной норме прибыли или процентах «i» и определяется выражением (72 ÷ i).Его можно использовать только для годового начисления сложных процентов, но он может быть очень полезен при планировании того, сколько денег вы можете ожидать на пенсии.

Например, инвестиция с годовой доходностью 6% удвоится через 12 лет (72 ÷ 6%).

Инвестиции с годовой доходностью 8% вырастут вдвое за девять лет (72 ÷ 8%).

Совокупный годовой темп роста (CAGR)

Совокупный годовой темп роста (CAGR) используется для большинства финансовых приложений, требующих расчета единого темпа роста за период.

Например, если ваш инвестиционный портфель вырос с 10 000 до 16 000 долларов за пять лет, то каков CAGR? По сути, это означает, что PV = 10 000 долларов США, FV = 16 000 долларов США и nt = 5, поэтому необходимо вычислить переменную «i». Используя финансовый калькулятор или электронную таблицу Excel, можно показать, что i = 9,86%.

Обратите внимание, что в соответствии с соглашением о движении денежных средств ваши первоначальные инвестиции (PV) в размере 10 000 долларов США отображаются с отрицательным знаком, поскольку они представляют собой отток средств.Для решения «i» в приведенном выше уравнении PV и FV обязательно должны иметь противоположные знаки.

Реальные приложения

CAGR широко используется для расчета доходности за периоды для акций, паевых инвестиционных фондов и инвестиционных портфелей. CAGR также используется для определения того, превышал ли управляющий паевым инвестиционным фондом или управляющий портфелем рыночную норму прибыли за период. Например, если рыночный индекс обеспечил общую доходность 10% за пять лет, но управляющий фондом получил только 9% годовой доходности за тот же период, то этот менеджер отстал от рынка.

CAGR также можно использовать для расчета ожидаемых темпов роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов, что полезно для таких целей, как сбережения на пенсию. Рассмотрим следующие примеры:

1. Не склонный к риску инвестор доволен скромной 3% годовой доходностью своего портфеля. Таким образом, ее нынешний портфель в 100 000 долларов через 20 лет вырастет до 180 611 долларов. Напротив, терпимый к риску инвестор, который ожидает годовой доходности 6% своего портфеля, через 20 лет увидит, что 100 000 долларов вырастут до 320 714 долларов.
2. CAGR можно использовать для оценки того, сколько нужно убрать, чтобы сэкономить для конкретной цели. Пара, которая хотела бы сэкономить 50 000 долларов в течение 10 лет на первоначальный взнос за кондоминиум, должна будет экономить 4 165 долларов в год, если они предполагают, что годовая доходность (CAGR) составит 4% от своих сбережений. Если они готовы взять на себя дополнительный риск и ожидать, что среднегодовой темп роста составит 5%, то им потребуется экономить 3975 долларов в год.
3. CAGR также можно использовать для демонстрации достоинств инвестирования раньше, чем позже.Если цель состоит в том, чтобы сэкономить 1 миллион долларов к выходу на пенсию в возрасте 65 лет, исходя из среднегодового роста в 6%, 25-летнему человеку нужно будет откладывать 6 462 доллара в год для достижения этой цели. С другой стороны, 40-летнему человеку нужно будет сэкономить 18 227 долларов, или почти в три раза больше, чтобы достичь той же цели.

Дополнительные соображения по интересам

Убедитесь, что вы знаете точную годовую ставку платежа (APR) по вашему кредиту, поскольку метод расчета и количество периодов начисления сложных процентов могут повлиять на ваши ежемесячные платежи.Хотя банки и финансовые учреждения имеют стандартизированные методы расчета процентов по ипотеке и другим займам, расчеты могут незначительно отличаться от страны к стране.

Компаундирование может работать в вашу пользу, когда дело касается ваших инвестиций, но оно также может работать на вас при выплате кредита. Например, если вы будете выплачивать половину ипотечного платежа дважды в месяц вместо того, чтобы вносить полную выплату один раз в месяц, в конечном итоге вы сократите срок погашения и сэкономите значительную сумму процентов.

Компаундирование может работать против вас, если у вас есть ссуды с очень высокими процентными ставками, например, по кредитной карте или долгам универмага. Например, остаток по кредитной карте в размере 25 000 долларов США с процентной ставкой 20% (сложенный ежемесячно) приведет к общей сумме процентов в размере 5 485 долларов США за один год или 457 долларов США в месяц.

Итог

Получите волшебство сложного вознаграждения, которое работает на вас, регулярно инвестируя и увеличивая частоту погашения кредита.Знакомство с основными понятиями простых и сложных процентов поможет вам принимать более обоснованные финансовые решения, сэкономив тысячи долларов и со временем увеличив свой собственный капитал.

Сравнить счета

Раскрытие информации рекламодателя

×

Предложения, представленные в этой таблице, поступают от партнерств, от которых Investopedia получает компенсацию. Эта компенсация может повлиять на то, как и где появляются объявления. Investopedia не включает все предложения, доступные на торговой площадке.

.