Погрешность и точность приближения 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Погрешность и точность приближения.
Найдем значение функции у = х2 при х=1,5 и при х=2,1.
Можно найти значение функции двумя способами: по формуле и с помощью графика.
С помощью графика приближенные значения функции равны:
при х = 1,5 у ≈ 2,3;
при х = 2,1 у ≈ 4,4.
По формуле:
при х = 1,5 у = 1,52 = 2,25;
при х = 2,1 у = 2,12 = 4,41.
Приближенное значение отличается от точного, так как по графику мы не можем определить с точностью до сотых значение функции.
В первом случае приближенное значение отличается от точного на 0,05, а во втором – на 0,01.
Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближенного значений.
Модуль разности точного и приближенного значений называется абсолютной погрешностью.
Но найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Пусть, например, при измерении длины некоторого отрезка получен результат АВ ≈ 4,3 см. Мы не можем найти абсолютную погрешность приближенного значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ. В таких случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом случае это 0,1 см, то есть 1 мм – цена деления линейки.
Если х ≈ a и абсолютная погрешность этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближенным значением х с точностью до h.
Пишут х ≈ a с точностью до h.
Используют также такую запись:
x = а±h
Запись х= а±h означает, что точное значение переменной х заключено между числами a-h и a+h.
То есть a-h ≤ х ≤ a+h.
Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближенного значения.
Относительной погрешностью приближенного значения
называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.Относительную погрешность принято выражать в процентах.
В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.
Рассмотрим пример. При измерении в сантиметрах толщины стекла b получаем такой результат
b = 0,4±0,1.
В этом случае относительная погрешность не превосходит 0,10,4·100% , то есть 25%. Говорят, что измерение выполнено с относительной точностью 25%.
Абсолютная и относительная погрешности
Абсолютная и относительная погрешности
Абсолютная погрешность приближения
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.
где х — это точное значение числа, а — его приближенное значение.
Например, в результате измерений было получено число . Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа . Тогда абсолютная погрешность приближения
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, . Здесь получается, что абсолютная погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку.
То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.
Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.
Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.
Относительная погрешность приближения
Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.
Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.
Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.
Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
Приведём несколько примеров.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, , .
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, , .
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.
Найдите абсолютную погрешность приближения:
числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;
числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;
числа числом ;
числа числом 0,3;
числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;
числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;
число числом ;
число числом 0,2.
Приближённое значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
Запишите в виде двойного неравенства:
Найдите приближённое значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком, если:
Докажите, что среднее арифметическое чисел а и b является приближённым значением каждого из этих чисел с точностью до .
Округлите числа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:
Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?
Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?
Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:
|
|
|
|
|
|
|
|
Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.
Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.
Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).
Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).
3
3. Относительная и абсолютная погрешности приближенного числа.
При приближенных измерениях и вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы. Для этой цели знание только абсолютной погрешности оказывается недостаточным. Для оценки качества измерений или вычислений вводится понятие относительной погрешности.
О п р е д е л е н и е. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины а (а ≠ 0) называется относительной погрешностью приближения.
(1)
Введенное таким образом число, δа часто называют предельной относительной погрешностью.
Формула (1) связывает абсолютную и относительную погрешности чисел. Из нее, в частности, следует важное соотношение: .
Из-за неоднозначности абсолютной погрешности относительная погрешность приближенного числа также не единственна. Как и абсолютную погрешность, относительную погрешность записывают с одной-двумя значащими цифрами и округляют при необходимости с избытком. Она является безразмерной величиной и потому часто выражается в процентах: .
Пусть А – точное значение некоторой числовой, векторной или функциональной величины, а – известное приближение к нему, т.е. приближенное значение для А. Обозначаем: А ≈ а или а ≈ А.
А принято называть точным числом (вектором, функцией), а его приближение а – приближенным числом (вектором, функцией).
О п р е д е л е н и е. Разность А – а (или а – А) между точным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью значения а.
Абсолютная погрешность дает ценную информацию о неизвестном точном значении А: оно находится от известного приближения а на расстоянии, не большем чем Δа. .
Следовательно, найдя приближенное значение а и его абсолютную погрешность Δа, узнаем, что точное значение А располагается на отрезке , т.е. находится «в пределах отдо».
Абсолютная погрешность является основной характеристикой точности вычислений.
О п р е д е л е н и е. Если известна абсолютная погрешность Δа приближенного значения а, то а называют приближением к А с точностью до Δа.
Абсолютную погрешность не следует записывать с большим количеством значащих цифр.
П р а в и л о. В записи абсолютной погрешности обычно оставляют одну или две значащие цифры. Округление при этом всегда производится с избытком.
Абсолютную погрешность можно записывать в так называемой плавающей форме m · 10p.
4. Общие правила проведения вычислений.
В вычислительной практике важно получить результат с требуемой точностью при наименьшей затрате труда. Трудоемкость вычислений границ погрешностей результата заставила выработать простые приемы практически надежного ведения приближенных вычислений – правила подсчета приближенных вычислений.
При сложении: в сумме сохраняют столько десятичных знаков, сколько их имеется в том слагаемом, где десятичных знаков меньше.
При вычитании: в разности сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в том из данных, где десятичных знаков меньше.
При умножении: в произведении сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеется в том из множителей, где значащих цифр меньше.
При делении: в частном сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеется в том из данных, где значащих цифр меньше.
При возведении в квадрат или куб приближенного значения числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет основание степени.
При извлечении квадратного или кубического корня из приближенного значения числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет подкоренное число.
Тест. Погрешность и точность приближения
Погрешность и точность приближения
Задание 1
Вопрос:
Дробь 1/6 выразили десятичной дробью 0,17. Найдите относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 0,17%
2) 40%
3) 17%
4) 0,33%
5) 1,6%
Задание 2
Вопрос:
Округлите число 3,12 до единиц и найдите ( в процентах) относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 3,12%
2) 30%
3) 3,85%
4) 0,12%
5) 23%
Задание 3
Вопрос:
Дробь 2/7 выразили десятичной дробью 0,29. Найдите относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 2,7%
2) 29%
3) 0,43%
4) 0,33%
5) 43%
Задание 4
Вопрос:
Дробь 1/3 выразили десятичной дробью 0,33. Найдите относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 100%
2) 0,01%
3) 1%
4) 0,001%
5) 0,1%
Задание 5
Вопрос:
Округлите число 1,544 до 0,01 и найдите ( в процентах) относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 4,01%
2) 26%
3) 54%
4) 0,17%
5) 0,26%
Задание 6
Вопрос:
Модуль разности точного и приближенного значений — это … .
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) граница абсолютной погрешности измерения
2) относительная погрешность приближенного значения
3) абсолютная погрешность приближенного значения
Задание 7
Вопрос:
Округлите число 2,346 до 0,01 и найдите ( в процентах) относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 2,3%
2) 0,17%
3) 0,004%
4) 23%
5) 17%
Задание 8
Вопрос:
Округлите число 1,97 до единиц и найдите ( в процентах) относительную погрешность такого приближения, выразите ее в процентах.
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) 100%
2) 25%
3) 15%
4) 1,5%
5) 0,1%
Задание 9
Вопрос:
Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения — это
Выберите один из 2 вариантов ответа:
1) относительная погрешность приближенного значения
2) граница абсолютной погрешности измерения
Задание 10
Вопрос:
При измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:
и
Какое из измерений точнее?
Выберите один из 2 вариантов ответа:
1)
2)
Ответы:
1) (1 б.) Верные ответы: 4;
2) (1 б.) Верные ответы: 3;
3) (1 б.) Верные ответы: 3;
4) (1 б.) Верные ответы: 3;
5) (1 б.) Верные ответы: 5;
6) (1 б.) Верные ответы: 3;
7) (1 б.) Верные ответы: 2;
8) (1 б.) Верные ответы: 4;
9) (1 б.) Верные ответы: 1;
10) (1 б.) Верные ответы: 2;
Скачано с www.znanio.ru
Абсолютная погрешность — приближение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Абсолютная погрешность — приближение
Cтраница 1
Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. [1]
Абсолютная погрешность приближения суммы или разности двух чисел не превышает сумму абсолютных погрешностей приближений этих чисел. [2]
Абсолютная погрешность приближения суммы конечного числа слагаемых не превышает сумму абсолютных погрешностей приближений этих слагаемых. [3]
Абсолютную погрешность приближения важно знать. Однако на практике она далеко не всегда может быть известна. [4]
Как оценивается абсолютная погрешность приближения суммы нескольких слагаемых. [5]
Другими словами, абсолютной погрешностью приближения числа а при помощи числа а называется абсолютная величина разности этих чисел. [6]
Если Дал; есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то отношение A0 t к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается & ах или сох. [7]
Следующая теорема дает оценку абсолютной погрешности приближения, получаемого по формуле прямоугольников, для функций, имеющих непрерывную вторую производную. [8]
Следующая теорема дает оценку абсолютной погрешности приближения, получаемого по формуле трапеций. [9]
Следующая теорема дает оценку абсолютной погрешности приближения, получаемого по формуле прямоугольников, для функций, имеющих непрерывную вторую производную. [10]
Следующая теорема дает, оценку абсолютной погрешности приближения, получаемого по формуле трапеций. [11]
В левой части этого неравенства стоит абсолютная погрешность приближения суммы чисел а и Ь, а в правой — сумма абсолютных погрешностей приближений этих чисел. [12]
Теперь в левой части неравенства стоит абсолютная погрешность приближения разности чисел а и и, а в правой — сумма абсолютных погрешностей приближений этих чисел. [13]
Так как S-Sn rn, то г представляет собой абсолютную погрешность приближения S &8 значения суммы ряда при помощи его n — й частичной суммы. Следовательно, если величина S представлена в виде суммы сходящегося ряда, то ее можно аппроксимировать частичными суммами с любой наперед заданной точностью. [14]
Абсолютная погрешность приближения суммы конечного числа слагаемых не превышает сумму абсолютных погрешностей приближений этих слагаемых. [15]
Страницы: 1 2
Относительные погрешности вычисления и равны. Абсолютная и относительная погрешности
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения . По-другому его называют абсолютной погрешностью . Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.
Если a — это точное значение числа, а b — его приближенное значение, то погрешность приближения определяется по формуле |a – b|.
Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552. В таком случае погрешность приближения будет равна |1,552 – 1,5| = 0,052.
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, |π – 3,14| = |3,14159… – 3,14| = 0,00159… . Здесь получается, что погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Как известно, приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку. То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15. Причина, по которой в вычислениях используется его приближение по недостатку, заключается в применении правил округления. Согласно этим правилам, если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку. Если меньше пяти, то по недостатку. Так как третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то поэтому при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Действительно, если вычислить погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку, то получим:
|3,14159… – 3,14| = 0,00159…
|3,14159… – 3,15| = 0,0084…
Так как 0,00159…
Говоря о погрешности приближения, также как и в случае с самим приближением (по избытку или недостатку), указывают его точность. Так в приводимом выше примере с числом π следует сказать, что оно равно числу 3,14 с точностью до 0,01. Ведь модуль разности между самим числом и его приближенным значением не превышает 0,01 (0,00159… ≤ 0,01).
Точно также π равно 3,15 с точностью до 0,01, так как 0,0084… ≤ 0,01. Однако если говорить о большей точности, например до 0,005, то мы можем сказать, что π равно 3,14 с точностью до 0,005 (так как 0,00159… ≤ 0,005). Сказать же это по отношению к приближению 3,15 мы не можем (так как 0,0084… > 0,005).
Термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов . При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность . Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал , доверительная вероятность, стандартная ошибка).
В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».
Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.
- Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:
- Средняя квадратическая погрешность:
- Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:
Классификация погрешностей
По форме представления
- Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины X m e a s . При этом равенство:
ΔX = | X t r u e − X m e a s | ,
где X t r u e — истинное значение, а X m e a s — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина X m e a s распределена по нормальному закону , то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение . Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
- Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное:
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах .
- Приведенная погрешность — относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле
где X n — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
Если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X n определяется равным верхнему пределу измерений;
— если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
Приведенная погрешность — безразмерная величина (может измеряться в процентах).
По причине возникновения
- Инструментальные / приборные погрешности — погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
- Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
- Субъективные / операторные / личные погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.
В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.
Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.
Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.
По характеру проявления
- Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
- Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
- Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
- Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).
Элементы теории погрешностей
Точные и приближенные числа
Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных(2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.
Приближенным значениемназывается число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью .
Различают следующие основные источники погрешностей:
1. Погрешности постановки задачи , возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.
2. Погрешности метода , связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.
3. Неустранимые погрешности , связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.
4. Погрешности округления , связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.
Абсолютная и относительная погрешность
Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов, поскольку погрешность конечного результата решения всей задачи является продуктом взаимодействия всех видов погрешностей. Поэтому одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.
Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .
Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как
(1.1.2-1)
Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина . Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали станка, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ().
(1.1.2-2)
Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если
,а , то , а если и ,
то тогда .
Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:
· при сложении и вычитании чисел абсолютные погрешности чисел складываются
· при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности
· при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени
Пример 1.1.2-1. Дана функция: . Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.
Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как , где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях
Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:
(1.1.2-3)
где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:
Если величина известна, то , а если известна величина , то
В процессе измерения чего-либо нужно учитывать, что полученный результат еще неконечный. Чтобы более точно высчитать искомую величину, необходимо учитывать погрешность. Высчитать ее достаточно просто.
Как найти погрешность – вычисление
Разновидности погрешностей:
- относительная;
- абсолютная.
Что нужно для вычисления:
- калькулятор;
- результаты нескольких измерений одной величины.
Как найти погрешность – последовательность действий
- Измерьте величину 3 – 5 раз.
- Сложите все результаты и разделите полученное число на их количество. Данное число является действительным значением.
- Вычислите абсолютную погрешность путем вычитания полученного в предыдущем действии значения из результатов измерений. Формула: ∆Х = Хисл – Хист. В ходе вычислений можно получить как положительные, так и отрицательные значения. В любом случае берется модуль результата. Если необходимо узнать абсолютную погрешность суммы двух величин, то вычисления проводятся согласно такой формуле: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Она также работает при необходимости расчета погрешности разности двух величин: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.
- Узнайте относительную погрешность для каждого из измерений. В таком случае нужно разделить полученную абсолютную погрешность на действительное значение. Затем умножьте частное на 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. Значение можно и не переводить в проценты.
- Чтобы получить более точное значение погрешности, необходимо найти среднее квадратическое отклонение. Ищется оно достаточно просто: вычислите квадраты всех значений абсолютной погрешности, а затем найдите их сумму. Полученный результат необходимо разделить на число (N-1), в котором N – это число всех измерений. Последним действием станет извлечение корня из полученного результата. После таких вычислений будет получено среднее квадратическое отклонение, которое обычно характеризует погрешность измерений.
- Для нахождения предельной абсолютной погрешности необходимо найти самое маленькое число, которое по своему значению равно или превышает значение абсолютной погрешности.
- Предельная относительная погрешность ищется таким же методом, только нужно находить число, которое больше или равно значения относительной погрешности.
Погрешности измерений возникают по различным причинам и влияют на точность полученного значения. Зная, чему равна погрешность, можно узнать более точное значение проведенного измерения.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например , длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например , для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Главная » Стены » Относительные погрешности вычисления и равны. Абсолютная и относительная погрешности
Абсолютная погрешность приближения. Абсолютная погрешность приближенного числа — это разность между точным числом x и его приближенным значением a. Задачи для самостоятельного решения
При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.
Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.
У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.
Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.
Такую неточность называют погрешностью измерения .
В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.
Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью .
Определение :
Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.
Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.
Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD .
Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком , а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком .
Если истинную длину отрезка обозначить за х , то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:
Пусть истинное значение измеряемой величины равно.
Измерение дало результат.
Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.
Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:
Принято писать
Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора , с помощью которого выполнялось это измерение.
Вот, например , комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.
Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения .
Определение:
Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.
Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.
Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:
Чем меньше точнее .
Итоги:
Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Число называют границей абсолютной погрешности измерения , если выполняется неравенство:
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно
учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»
Оршанского района Республики Марий Эл
(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8)
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,5
у=х 2
у ≈2,3
Найдем значение у при х = 1,5 по формуле
у =1,5 2 = 2,25
Приближенное значение отличается от точного на 2,3 – 2,25 = 0,05
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,8
у=х 2
у ≈3,2
Найдем значение у при х = 1,8 по формуле
у =1,8 2 = 3,24
Приближенное значение отличается от точного на 3,24 – 3,2 = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
х
1,5
Точное значение у
(по формуле)
1,8
2,25
Приближенное значение у (по графику)
3,24
2,3
3,2
у=х 2
Определение. Абсолютной погрешностью
у = 2,3 А.П. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05
у = 3,2 А.П. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью
Пример 1 пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 2 верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 3 сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до десятых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 2, 1 3 ≈ 2,1
2,13 – точное значение;
2,1 – приближенное значение.
А.П. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 4 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Всегда ли можно найти абсолютную погрешность?
АВ ≈ 5,3 см
Найдем длину отрезка АВ
Точного значения длины отрезка АВ мы определить не можем, поэтому и абсолютную погрешность приближенного значения найти невозможно.
В подобных случаях в качестве погрешности указывают такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.
В нашем примере в качестве такого числа можно взять число 0,1.
ПОЧЕМУ? Цена деления линейки равна 0,1 см и поэтому абсолютная погрешность приближенного значения 5,3 не больше 0,1.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в санти-метрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
t ≈ 28 0 с точностью до 1
t ≈ 14 0 с точностью до 2
Определите точность приближенных значений величин, полученных при измерении приборами, изображенными на рисунках 1- 4
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
Если х ≈ а и абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит некоторого числа h , то число а называют приближенным значением х с точностью до h
х ≈ а с точностью до h
х = а ± h
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
АВ ≈ 5,3 см
с точностью до 0,1
t ≈ 28 0 с точностью до 1
с точностью до 2
Определение . Относительной погрешностью (точностью) приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности (точности) к модулю приближенного значения
Для оценки качества измерения можно использовать определения относительной погрешности и относительной точности
l = 100,0 ± 0,1
b = 0,4 ± 0,1
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение .
Пример 5 . Старинная русская мера массы пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения
Пример 6 . Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 7 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Величиной называется то, что может быть в определенных единицах выражено числом. Например, длина, площадь, объем – это величины. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называется точным (в дальнейшем х — точное число ). Но обычно на практике, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение (в дальнейшем а — приближенное число ). Например, при измерении физических величин с помощью измерительных приборов.
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения Предельной абсолютной погрешностью приближения или границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности называется число . Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей оценкой погрешности является наименьшая оценка.
Краткая запись точного числа: …
Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю точного значения величины называется относительной погрешностью . На практике используется Для предельной относительной погрешности (оценки относительной погрешности): . Относительная погрешность обычно выражается в %.
В дальнейшем слово оценка опускается.
ПРИМЕР. Найти абсолютную и относительную погрешность приближения а=3,14 для х=π .
Известно, что 3,14 π .
Отсюда следует, что, т.е.
Если учесть, что 3,14 π то получим лучшую оценку
Цифра в десятичной записи приближенного значения величины х называется верной в широком смысле , если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда r , которому принадлежит эта цифра (Нулевым разрядом считается разряд единиц, десятичные цифры считаются отрицательными разрядами). Существует еще понятие верной цифры в узком смысле : . В дальнейшем будем рассматривать верные цифры в широком смысле. Остальные цифры числа называются сомнительными . Значащими цифрами числа, записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими. По количеству значащих цифр можно легко оценить абсолютную погрешность приближенного числа. За оценку абсолютной погрешности можно взять 0,5 разряда, следующего за последней значащей цифрой. Предельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель – удвоенное целое число, записанное при помощи всех значащих цифр данного числа.
ПРИМЕР. а=0,065;
ЗАДАЧА 1.1. Объем помещения V определен с предельной относительной погрешностью δ Сколько значащих цифр в V ?
ЗАДАЧА 1.3. Округлите сомнительные цифры приближенного числа а δ
Задание 1.2.
Округлите сомнительные цифры приближенного числа а , если известна относительная погрешность δ
В теории приближенных вычислений рассматриваются два вида задач: прямая и обратная.
Прямая задача. Выполнить действия над приближенными числами при заданных погрешностях приближений. Оценить погрешность полученного результата.
Обратная задача. Выполнить действия над приближенными числами при заданной погрешности результата. Установить, какими должны быть погрешности исходных приближений.
Правила подсчета цифр для прямой задачи
1. В алгебраической сумме приближенных значений, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить, оставив на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.
2,3+4,681=2,3+4,68=6,98≈7,0
2. В произведении приближенных значений следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим количеством значащих цифр. Сомножители с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного сомножителя. Аналогично для деления.
23 ∙ 1,056 ≈ 23 ∙ 1,06 =24,38 ≈ 24; 10,1 ∙ 0,5 ≈ 5
3. При возведении приближенного числа в степень или при извлечении корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени или подкоренное число.
4. При выполнении последовательного ряда действий над приближенными числами в промежуточных результатах следует оставлять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта цифра отбрасывается по правилам округления.
Правило подсчета цифр для обратной задачи
Для того, чтобы в результате ряда промежуточных действий получить число с n верными цифрами, исходные данные следует брать с таким числом верных цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают n+1 верную цифру в результате. Окончательный результат округлить до n цифр.
Метод границ аргументов (МГА)
ДАНО: — монотонная функция;
Приближенные значения аргументов и оценки погрешностей.
В результате оставляют верные цифры плюс 1 сомнительную (в соответствии с полученной погрешностью).
Метод границ погрешностей.
Оценка погрешности результата вычисляется как функция погрешностей исходных данных. Вывод формулы осуществляется по соотношениям, приведенным в таблице.
Таблица 1.1.
Принцип равных влияний.
Принцип заключается в том, что оценки погрешностей аргументов одинаково влияют на погрешность результата, т.е. считаются равными.
Замечания.
1. Правило четной цифры : если при округлении первая из отброшенных цифр =5, и за ней не следуют отличные от нуля цифры, то последняя цифра усиливается, если она нечетная, и остается без изменения, если она четная.
2. Приближенное значение а величины х называется недостаточным , если x>a и избыточным , если x
3. Нули справа будут значащими, если они являются верными цифрами.
4. При вычислениях нижнюю границу можно округлять в сторону уменьшения, а верхнюю – в сторону увеличения.
5. Дополнительная цифра к промежуточному результату может быть добавлена только в том случае, если в арифметическом действии участвуют исходные данные.
ЗАДАЧА 1.4.
Стороны прямоугольника Вычислить диагональ прямоугольника по формуле:
2 ) Правило подсчета цифр
Искомый результат должен содержать одну значащую цифру, следовательно, при выполнении арифметических действий должно быть получено число с двумя значащими цифрами. Последним действием является извлечение корня, значит, значение подкоренного выражения также должно иметь две значащие цифры. В нашем случае это двузначное число, т.е. результат сложения не должен иметь десятичных знаков, а соответственно и слагаемые. Но слагаемыми являются квадраты исходных данных. Поэтому исходные данные следует брать без десятичных знаков.
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения . По-другому его называют абсолютной погрешностью . Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.
Если a — это точное значение числа, а b — его приближенное значение, то погрешность приближения определяется по формуле |a – b|.
Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552. В таком случае погрешность приближения будет равна |1,552 – 1,5| = 0,052.
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, |π – 3,14| = |3,14159… – 3,14| = 0,00159… . Здесь получается, что погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Как известно, приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку. То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15. Причина, по которой в вычислениях используется его приближение по недостатку, заключается в применении правил округления. Согласно этим правилам, если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку. Если меньше пяти, то по недостатку. Так как третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то поэтому при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Действительно, если вычислить погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку, то получим:
|3,14159… – 3,14| = 0,00159…
|3,14159… – 3,15| = 0,0084…
Так как 0,00159…
Говоря о погрешности приближения, также как и в случае с самим приближением (по избытку или недостатку), указывают его точность. Так в приводимом выше примере с числом π следует сказать, что оно равно числу 3,14 с точностью до 0,01. Ведь модуль разности между самим числом и его приближенным значением не превышает 0,01 (0,00159… ≤ 0,01).
Точно также π равно 3,15 с точностью до 0,01, так как 0,0084… ≤ 0,01. Однако если говорить о большей точности, например до 0,005, то мы можем сказать, что π равно 3,14 с точностью до 0,005 (так как 0,00159… ≤ 0,005). Сказать же это по отношению к приближению 3,15 мы не можем (так как 0,0084… > 0,005).
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная погрешность — является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если — измеренное значение, а — истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
·Обычно используется запись со знаком ± . Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .
·Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10 ?23 ± 0,000 0013×10 ?23 Дж/К .
Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А — точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, — то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа ? по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью ?а приближенного числа а называется разность вида
?а = А — а,
где А — соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 — приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 — с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
. Что называется погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x — x_n|, где x — истинное значение, x_n — приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором — одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x — истинное значение, x_n — приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.
Репетиторство
Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.
Абсолютная и относительная погрешность числа.
В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.
Обозначим через а приближение к точному числу А.
Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.
Определение . Абсолютной погрешностью приближенного
числа а
называется
величина
.
Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.
Определение . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется наименьшая из верхних границ для величины , которую можно найти при данном способе получения числаа.
На практике в качестве выбирают одну из верхних границ для , достаточно близкую к наименьшей.
Поскольку
,
то
.
Иногда пишут:
.
Абсолютная погрешность — это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением измеряемой величины.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.
Определение . Относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину:
Определение . Предельной относительной погрешностью приближенного числа а назовем величину
Так как
.
Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.
Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить
абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных
Дано:
Найти:
∆-абсолютная погрешность
δ –относительная погрешность
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a0
*100%=0.203%
Ответ: =0,027; δ=0.203%
2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
Верные знаки числа.
Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.
Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,
значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.
В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):
где
,
— первая значащая
цифра, m —
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.
Например, 518,3 =, m=2.
Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-
го числа.
Определение . Говорят, что в приближенном числе а формы n — первых значащих цифр ,
где i= m, m-1,…, m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:
В противном случае
последняя цифра
называется
сомнительной.
При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры
были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.
Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).
Допустим, что точная ширина стола – А=384 мм, а мы, измерив ее, получили а=381 мм. Модуль разности между точным значением измеряемой величины и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью . В данном примере абсолютная погрешность 3 мм. Но на практике мы никогда не знаем точного значения измеряемой величины, поэтому не можем точно знать абсолютную погрешность.
Но обычно мы знаем точность измерительных приборов, опыт наблюдателя, производящего измерения и т.д. Это дает возможность составить представление об абсолютной погрешности измерения. Если, например, мы рулеткой измеряем длину комнаты, то нам нетрудно учесть метры и сантиметры, но вряд ли мы сможем учесть миллиметры. Да в этом и нет надобности. Поэтому мы сознательно допускаем ошибку в пределах 1 см. абсолютная погрешность длины комнаты меньше 1 см. Измеряя длину какого-либо отрезка миллиметровой линейкой, мы имеем право утверждать, что погрешность измерения не превышает 1 мм.
Абсолютная погрешность e а приближенного числа а дает возможность установить границы, в которых лежит точное число А:
Абсолютная погрешность не является достаточным показателем качества измерения и не характеризует точность вычислений или измерений. Если известно, что, измерив некоторую длину, мы получили абсолютную погрешность в 1 см, то никаких заключений о том, хорошо или плохо мы измеряли, сделать нельзя. Если мы измеряли длину карандаша в 15 см и ошиблись на 1 см, наше измерение никуда не годится. Если же мы измеряли 20-метровый коридор и ошиблись всего на 1 см, то наше измерение – образец точности. Важна не только сама абсолютная погрешность, но и та доля, которую она составляет от измеренной величины . В первом примере абс. погрешность 1 см составляет 1/15 долю измеряемой величины или 7%, во втором – 1/2000 или 0.05%. Второе измерение значительно лучше.
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины:
В отличие от абсолютной погрешности, которая обычно есть величина размерная, относительная погрешность всегда есть величина безразмерная. Обычно ее выражают в %.
Пример
При измерении длины в 5 см допущена абсолютная погрешность в 0.1 см. Какова относительная погрешность? (Ответ 2%)
При подсчете числа жителей города, которое оказалось равным 2 000 000, допущена погрешность 100 человек. Какова относительная погрешность? (Ответ 0.005%)
Результат всякого измерения выражается числом, лишь приблизительно характеризующим измеряемую величину. Поэтому при вычислениях мы имеем дело с приближенными числами. При записи приближенных чисел принимается, что последняя цифра справа характеризует величину абсолютной погрешности.
Например, если записано 12.45, то это не значит, что величина, характеризуемая этим числом, не содержит тысячных долей. Можно утверждать, что тысячные доли при измерении не учитывались, следовательно, абсолютная погрешность меньше половины единицы последнего разряда: . Аналогично, относительно приближенного числа 1.283, можно сказать, что абсолютная погрешность меньше 0.0005: .
Приближенные числа принято записывать так, чтобы абсолютная погрешность не превышала единицы последнего десятичного разряда . Или, иначе говоря, абсолютная погрешность приближенного числа характеризуется числом десятичных знаков после запятой .
Как же быть, если при тщательном измерении какой-нибудь величины получится, что она содержит целую единицу, 2 десятых, 5 сотых, не содержит тысячных, а десятитысячные не поддаются учету? Если записать 1.25, то в этой записи тысячные не учтены, тогда как на самом деле мы уверены, что их нет. В таком случае принято ставить на их месте 0, – надо писать 1.250. Таким образом, числа 1.25 и 1.250 обозначают не одно и то же. Первое – содержит тысячные; мы только не знаем, сколько именно. Второе – тысячных не содержит, о десятитысячных ничего сказать нельзя.
Сложнее приходится при записи больших приближенных чисел. Пусть число жителей деревни равно 2000 человек, а в городе приблизительно 457 000 жителей. Причем относительно города в тысячах мы уверены, но допускаем погрешность в сотнях и десятках. В первом случае нули в конце числа указывают на отсутствие сотен, десятков и единиц, такие нули мы назовем значащими ; во втором случае нули указывают на наше незнание числа сотен, десятков и единиц. Такие нули мы назовем незначащими . При записи приближенного числа, содержащего нули надо дополнительно оговаривать их значимость. Обычно нули – незначащие. Иногда на незначимость нулей можно указывать, записывая число в экспоненциальном виде (457*10 3).
Сравним точность двух приближенных чисел 1362.3 и 2.37. В первом абсолютная погрешность не превосходит 0.1, во втором – 0.01. Поэтому второе число выглядит более точным, чем первое.
Подсчитаем относительную погрешность. Для первого числа ; для второго . Второе число значительно (почти в 100 раз) менее точно, чем первое. Получается это потому, что в первом числе дано 5 верных (значащих) цифр, тогда как во втором – только 3.
Все цифры приближенного числа, в которых мы уверены, будем называть верными (значащими) цифрами. Нули сразу справа после запятой не бывают значащими, они лишь указывают на порядок стоящих правее значащих цифр. Нули в крайних правых позициях числа могут быть как значащими, так и не значащими. Например, каждое из следующих чисел имеет 3 значащие цифры: 283*10 5 , 200*10 2 , 22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458.
Пример
Сколько значащих (верных) цифр в следующих числах:
0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)
Оценить относительную погрешность следующих приближенных чисел:
нули значащие: 21000 (0.005%),
Нетрудно заметить, что для примерной оценки относительной погрешности числа достаточно подсчитать количество значащих цифр. Для числа, имеющего только одну значащую цифру относительная погрешность около 10%;
с 2-мя значащими цифрами – 1%;
с 3-мя значащими цифрами – 0.1%;
с 4-мя значащими цифрами – 0.01% и т.д.
При вычислениях с приближенными числами нас будет интересовать вопрос: как, исходя из данных приближенных чисел, получить ответ с нужной относительной погрешностью.
Часто при этом все исходные данные приходится брать с одной и той же погрешностью, именно с погрешностью наименее точного из данных чисел. Поэтому часто приходится более точное число заменять менее точным – округлять.
округление до десятых 27.136 » 27.1,
округление до целых 32.8 » 33.
Правило округления: Если крайняя левая из отбрасываемых при округлении цифр меньше 5, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют; если крайняя левая из отбрасываемых цифр больше 5 или если она равна 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на 1.
Пример
округлить до десятых 17.96 (18.0)
округлить до сотых 14.127 (14.13)
округлить, сохранив 3 верные цифры: 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688).
Ошибка приближения
Что такое ошибка приближения?
Ошибка аппроксимации некоторых данных — это расхождение между точным значением и некоторым приближением к нему. Ошибка аппроксимации может возникнуть по следующим причинам:
- Измерение данных неточно из-за инструментов. (например, точное показание листа бумаги составляет 4,5 см, но, поскольку линейка не использует десятичные дроби, вы округлите его до 5 см.) или
- Приближения
В математической области численного анализа числовая стабильность алгоритм указывает, как алгоритм распространяет ошибку.
Обычно различают относительную ошибку и абсолютную ошибку.
Для некоторого значения v и его приближения абсолютная ошибка составляет
, где вертикальные полосы обозначают абсолютное значение. Если v = / = 0, относительная ошибка составляет
, а процентная ошибка —
. Другими словами, абсолютная ошибка — это величина разницы между точным значением и приближением. Относительная ошибка — это абсолютная ошибка, деленная на величину точного значения.Ошибка в процентах — это относительная ошибка, выраженная в единицах на 100.
Граница ошибки — это верхний предел относительного или абсолютного размера ошибки аппроксимации.
Как рассчитать погрешность аппроксимации?
Есть два основных способа определить, насколько точна оценочная ошибка фактического (точно не известного) значения x:
- Абсолютная ошибка аппроксимации, определяемая как | xe — x |, и
- Относительная ошибка аппроксимации, которая обычно определяется как отношение абсолютной ошибки к фактическому значению:
Поскольку фактическое значение x теперь точно известно, мы не можем вычислить точные значения соответствующих ошибок.Однако часто мы знаем верхнюю границу одной из этих ошибок (или обеих). Такая верхняя граница служит описанием точности приближения: можно сказать, что у нас есть приближение с точностью ± 0,1 или с точностью 5%.
Проблема с обычным определением относительной ошибки
Когда фактическое значение положительное или отрицательное, относительная ошибка имеет смысл: чем меньше относительная ошибка, тем ближе оценка xe к фактическому значению x. Однако в 1 частой ситуации, когда фактическое значение равно 0, относительная ошибка не имеет смысла: независимо от того, насколько близка наша оценка xe к 0, относительная ошибка бесконечна.
Поэтому желательно дать более адекватное относительное описание ошибки аппроксимации. Новое определение относительной ошибки: предложение. Мы предлагаем при определении относительной погрешности делить абсолютную погрешность не на фактическое (не точно известное) значение x, а скорее на приблизительное (известное) значение xe. Другими словами, мы предлагаем следующее новое определение относительной ошибки аппроксимации:
.
Аргумент в пользу нового определения.С этим новым определением, если мы знаем приблизительную оценку xe и верхнюю границу δ относительной ошибки r, мы можем заключить, что фактическое значение x находится где-то между xe — δ · xe и xe + δ · xe.
Например, если у нас есть приблизительное значение 2, и мы знаем, что относительная ошибка составляет не более 5%, то в этом новом определении это будет просто означать, что фактическое значение находится где-то между 2 — 0,05 · 2 = 1,9. и 2 + 0,05 · 2 = 2,1.
Напротив, в традиционном определении непросто найти интервал возможных значений.
Создайте чат-бота с ИИ для привлечения постоянных клиентов
В чем разница между истинной ошибкой и ошибкой приближения?
Истинная ошибка
Истинная ошибка или истинный риск гипотезы — это вероятность (или пропорция) того, что изученная гипотеза неверно классифицирует один случайным образом выбранный экземпляр из генеральной совокупности. Население просто означает все данные, взятые из мира. Допустим, гипотеза, полученная с использованием данных, используется для прогнозирования того, страдает ли человек каким-либо заболеванием.
Обратите внимание, что это дискретная гипотеза, означающая, что усвоенная гипотеза приведет к дискретному результату (человек страдает болезнью или иначе).
- Истинная ошибка = Истинное значение — Приблизительное значение
Ошибка аппроксимации
Часто истинное значение нам неизвестно, особенно в численных вычислениях. В этом случае нам нужно будет количественно оценить ошибки, используя только приблизительные значения. Когда используется итерационный метод, мы получаем приблизительное значение в конце каждой итерации.Приблизительная ошибка определяется как разница между текущим приблизительным значением и предыдущим приближением (т. Е. Изменением между итерациями).
- Приблизительная погрешность (Ea) = Текущее приближение — Предыдущее приближение
Какая ошибка в процентах в вашем приближении?
Ошибка в процентах определяется разницей между точным значением и приблизительным значением количества, деленной на точное значение, а затем умноженной на 100, чтобы представить его как процент от точного значения.
Ошибка в процентах = | Приблизительное значение — точное значение | / точное значение * 100
Что такое относительная ошибка и чем она отличается от ошибки в процентах?
Относительная погрешность — это разница между известным и измеренным значением, деленная на известное значение. Когда это умножается на 100, получается процентная ошибка. Отсюда:
Относительная погрешность = | Расчетное или приблизительное значение — Точное значение | / Точное значение.
Ошибка в процентах = | Приблизительное значение — точное значение | / точное значение * 100.
Что такое абсолютная ошибка и чем она отличается от процентной ошибки?
Абсолютная погрешность — это просто разница между известными и измеренными значениями. Если его разделить на известное значение, а затем умножить на 100, получится процентная ошибка.
Отсюда:
Абсолютная погрешность = | Приблизительное значение — Точное значение |
Ошибка в процентах = | Приблизительное значение — точное значение | / точное значение * 100.
Каковы способы вычисления ошибки в процентах?
Ошибка в процентах — это способ определить, насколько точна и близка оценка к точному значению любого данного эксперимента или количества.Этот метод позволяет определить, идет ли сбор данных в правильном направлении или нет. Его чаще всего используют специалисты по статистике и корпоративные компании. Это также очень важно для студентов, желающих изучать экономику.
Давайте создадим вашего первого чат-бота с ИИ сегодня!
(PDF) Как определить относительную ошибку аппроксимации интервальной оценки: Предложение
частая ситуация, когда фактическое значение равно 0, относительная ошибка не имеет смысла:
независимо от того, насколько близка наша оценка exto 0 , относительная ошибка бесконечна.
Поэтому желательно дать более адекватное относительное описание
ошибки аппроксимации.
Новое определение относительной погрешности: предположение. Мы предлагаем, когда
определяет относительную ошибку, разделить абсолютную ошибку не на фактическое (не точно известное до
) значение x, а скорее на приблизительное (известное) значение ex. Другими словами,
, мы предлагаем следующее новое определение ошибки относительного приближения
:
rdef
= | ex − x |
| пр. |.
Аргумент в пользу нового определения. С этим новым определением
, если мы знаем приблизительную оценку ex, и мы знаем верхнюю границу δ для относительной ошибки
r, мы можем сделать вывод, что фактическое значение x находится где-то между
ex-δ · ex + δ · бывший.
Например, если у нас есть приблизительное значение 2 и мы знаем, что относительная ошибка
составляет не более 5%, то в этом новом определении это будет просто
, что означает, что фактическое значение находится где-то между
2. −0.05 · 2 = 1,9 и 2 + 0,05 · 2 = 2,1.
Напротив, в традиционном определении не так просто подобрать
с интервалом возможных значений.
Как распространить это определение на интервальные оценки? Часто вместо
числовой оценки ex у нас есть интервальная оценка [x, x], то есть интервал [x, x]
, который гарантированно содержит фактическое (неизвестное) значение x; см., например, [1, 2, 3].
Как мы можем определить относительную точность этой интервальной оценки?
Обсуждение.В принципе, мы можем выбрать произвольное значение ex в этом интервале
val. Для каждого выбора мы получаем разные значения относительной ошибки в зависимости от
, какое из значений x из интервала [x, x] является фактическим значением соответствующей
величины.
Таким образом, для этого выбора ex, единственная гарантия, которую мы можем сделать относительно относительной ошибки
, состоит в том, что она не превышает максимального значения
r (ex) def
= max {| ex − x |
| пример |: x≤x≤x}.
Разные значения вне интервала [x, x] приводят, как правило, к разным значениям
r (ex). В качестве относительной ошибки аппроксимации, соответствующей интервалу [x, x],
, разумно выбрать наименьшее из соответствующих значений r (ex). Другими словами,
слов, мы приходим к следующему определению:
2
Относительная ошибка нормального приближения
Нормальное распределение является хорошим приближением к распределению Стьюдента-t, когда t-распределение имеет параметр больших степеней свободы ν.Во многих книгах рекомендуется использовать нормальное приближение к t-распределению при ν ≥ 30.
Когда ν = 30, максимальная разница между CDF нормального распределения и распределения t составляет 0,005244. Это означает, что максимальная абсолютная ошибка при вычислении вероятности любого интервала [ a , b ] путем вычитания значений CDF на двух концах будет небольшой. Но относительная ошибка может быть огромной .
Эта проблема большой относительной ошибки не ограничивается t-распределением, но типична для нормальных приближений в целом .Нормальное распределение имеет очень тонкие хвосты, и в большинстве приложений нормальное распределение будет использоваться для аппроксимации распределения с более толстыми хвостами. В этом случае относительная погрешность нормального приближения будет большой в хвостах.
Пусть G N будет CCDF стандартной нормальной случайной величины и пусть G t будет CCDF случайной величины Стьюдента- t с 30 степенями свободы. (Я использую CCDF, дополнительный CDF, а не CDF, потому что это упрощает чтение графиков слева направо.) Абсолютная ошибка, | G N — G t | на интервале [0, 5] приводится ниже.
Как упоминалось выше, абсолютная ошибка составляет 0,005244. Абсолютная ошибка уменьшается по мере того, как аргумент | G N ( x ) — G t ( x ) | уменьшается по мере увеличения x за пределами максимальной ошибки.
Кривая относительной погрешности, | G N — G t | / G т очень разные.
Относительная ошибка | G N ( x ) — G t ( x ) | / G t ( x ) увеличивается с увеличением x и практически равно 1 для больших x . То есть относительная погрешность составляет почти 100%.
2. Абсолютная и относительная ошибка — ПОПЫТКА НАЙТИ ЯВНОЕ
Первое в нашем руководстве по ошибкам и приближениям в вычислениях начинается с абсолютных и относительных ошибок.
Ошибка в измерении или вычислении можно легко представить как простую вещь, но когда мы пытаемся быть точными в нашем описании ошибки и того, как она влияет на достоверность наших результатов, нам необходимо учитывать контекст ошибки, которая мы говорим о. Для этого нам нужно определить ошибку.
Начиная с Абсолютная ошибка . Абсолютная ошибка — это полная ошибка. Для большинства инструментов, которые мы используем в реальном мире для измерения объектов, они часто помечаются знаком +/- 1 мм или аналогичным образом, чтобы сообщить пользователю абсолютную величину погрешности измерения.В терминах вычислений мы могли бы сказать, что абсолютная ошибка в значении с плавающей запятой, которому мы только что присвоили действительное число, является максимальной величиной округления, возможной для действительного числа в этом диапазоне. Довольно просто и понятно.
В дополнение к этому у нас также есть средняя абсолютная ошибка , , как может показаться, это довольно прямое расширение абсолютной ошибки. Это просто среднее (среднее значение) ошибок между связанными результатами в серии. Таким образом, среднее значение f ( x ) — g ( x ) для всех x в серии, где f — правильная функция, а g — некоторое приближение.Это используется при оценке погрешности непрерывных данных, а не результатов единичных измерений.
Наконец, у нас есть относительная ошибка , она рассчитывается из абсолютной ошибки и общего диапазона, с которым вы работаете. Это дает вам ошибку в ваших измерениях относительно общего результата. Например, если мы измеряем вес и наши весы имеют точность + -1 кг, а то, что мы взвешиваем, составляет 20 кг, то относительная погрешность составляет 5%. Но если мы взвешиваем что-то весом 2000 кг, то ошибка равна 0.05%, что намного лучше. Это важное соображение при измерении ошибок в программном обеспечении, поскольку оно может напрямую связать точность типа данных, который вы используете, с размером данных, которые вы пытаетесь сохранить.
Вот и все об абсолютной и относительной погрешности. Все довольно просто, но важно знать разницу при чтении или написании статьи, чтобы вы понимали контекст, в котором описывается ошибка.
8.4 Приближение погрешностей в измерениях
Исчисление одной действительной переменной
Автор: Пхенг Ким Винг, |
8,4 |
Возврат
К содержанию
Перейти к проблемам и решениям
Если количество x (например, сторона квадрата) получается путем измерения и величины y (например, площадь квадрата) вычисляется
как функция от x , скажем, y = f ( x ), то любая ошибка, связанная с
измерение x приводит к ошибке в вычисленном
значение и .
Раздел 8.3 Часть 1, имеем:
То есть ошибка в x dx и соответствующая приблизительная ошибка in y is dy = f ‘( x ) dx . |
Рис.1.1 |
Рис. 1.2 1-я и 2-я оси: если 1000 = x a 1, то |
Решение
Пусть s будет
сторона и A площадь
площади. Тогда A = с 2 . Ошибка
сторона ds = 1 м.
Приблизительная погрешность
расчетная площадь:
дА = 2 с ds = 2 (1000) (1) = 2000 м 2 .
EOS
Обратите внимание, что мы вычисляем dA из уравнения A = с 2 , поскольку значения с и DS являются
данный. Найти дифференциал А
у нас должно быть уравнение, связывающее A к с . Так что даже
если измеренное значение стороны задано, мы все равно определяем переменную s
который принимает в качестве значения измеренное значение.
В целом при измерении
значение скажем В из
количество и ошибка говорят E в измерениях даны, определяем
переменная, скажем, x для
количество, так что x = V и dx = E ,
который будет использован позже в решении. При использовании
количество, сначала используйте переменную x ,
не значение В ,
затем используйте значение V когда необходимо получить значение.
Перейти Проблемы и решения Вернуться к началу страницы
Измерение расстояния d 1 дает d 1 = 100 м с ошибкой 1 м. Измерение расстояния d 2 дает d 2 = 1000 м
с погрешностью 1 м. Оба измерения имеют одинаковую абсолютную погрешность в 1 м.
Однако интуитивно мы чувствуем, что
размер d 2 имеет меньшую
ошибка, потому что она в 10 раз больше, но имеет ту же абсолютную ошибку.Четко
эффект 1 м из 1000 м меньше, чем эффект 1 м из 100 м. Этот
приводит нас к рассмотрению ошибки относительно
размер выражаемого количества. Эта относительная ошибка достигается за счет
представляя абсолютную ошибку в виде дроби
выражаемой величины. Например, относительная ошибка для d 1 составляет 1 м / 100 м = 1/100 = 0,01
а для d 2 —
1 м / 1000 м = 1/1000 = 0.001. По желанию относительная ошибка для d 2 меньше, чем для d 1 .
Процентная ошибка — это
абсолютная погрешность в процентах от выражаемой величины. Например,
процент
ошибка для d 1 составляет (1 м / 100
m) (100/100) = (1/100) (100)% = (0,01) (100)% = 1%, а для d 2 равно
(1 м / 1000 м) (100/100) = (1/1000) (100)% = (0.001) (100)% = 0,1%. Мы видим, что
процентная погрешность относительная
погрешность выражается в процентах. Если относительная ошибка составляет r , то процентная ошибка составляет p % = r . (100/100) = ( r . 100)%.
И наоборот, если процентная ошибка составляет p %
тогда относительная погрешность составляет r = п. /100.
Всего:
Решение
Таким образом, приблизительная погрешность расчетной площади в процентах равно (0.006) (100/100) = 0,6%.
EOS
Вернуться в Начало страницы
Решение
Пусть s будет стороной, а A — площадью квадрата. Тогда A = s 2 . Погрешность стороны ds = 60 см = 0,6 м. Модель
приблизительная погрешность расчетной площади:
дА = 2 с ds = 2 (200) (0.6) = 240 м 2 .
Вернуться в Начало страницы
Решение
Итак, приблизительная погрешность в процентах от рассчитанного объема сферы составляет (0,06) (100/100) = 6%.
Вернуться в Начало страницы
3. Ребро куба
измеряется с точностью до 2%. Примерно какой процент ошибки может получиться
в расчете
объема
куб?
Пусть a будет ребром, а V — объемом куба. Тогда V = a 3 . Процентная погрешность края составляет 2%, поэтому его
родственник
ошибка да / = 2/100 = 0,02. В
приблизительная относительная погрешность, которая может привести к вычислению объема:
Таким образом, примерный процент ошибка, которая может привести к вычислению объема, составляет (0.06) (100/100) = 6%.
Вернуться в Начало страницы
4. Доля
радиоактивное вещество, остающееся нераспавшимся через 1 год, составляет 0,998
от исходного количества
с погрешностью до
0,0001. Найдите приблизительный период полураспада вещества и определите
приблизительный максимальный размер ошибки
в этом
период полураспада.
Пусть y 0 будет начальным количеством вещества, а y ( t ) количеством, оставшимся нетронутым через t лет.Тогда y ( t ) = y 0 e kt .
Пусть p будет
пропорция первоначального количества, остающегося нетронутым через 1 год, так что p = 0,998 и dp = 0,0001. После
За 1 год нас:
y (1) = y 0 e k (1) = y 0 e k .
Но:
y (1) = py 0 .
Таким образом:
y 0 e k = py 0 ,
e k = p ,
k = ln p .
Пусть T будет периодом полураспада. Тогда:
Примерный период полураспада
субстанция 346.23 года и примерный максимальный размер ошибки в этом
период полураспада
составляет 17,33 года.
Вернуться в Начало страницы
5. Желательно, чтобы вычисленная площадь
окружность имеет погрешность не более 2% при измерении ее радиуса. Приблизительно максимально допустимая погрешность в процентах
что может быть сделано при измерении радиуса.
Решение
Таким образом, приблизительный максимум
допустимая погрешность измерения радиуса в процентах составляет
(0.01) (100/100) = 1%.
Вот точная ошибка функции
(площадь) и приближенная погрешность переменной (радиуса) должна быть
нашел. Модель
символ:
представляет относительную ошибку,
не приблизительная относительная погрешность радиуса. Это значение 0,01, которое
приблизительно
значение этой относительной погрешности.
Вернуться в Возврат к началу страницы К содержанию
Как измерять ошибки
Как измерять ошибкиДалее: Дополнительные сведения: Как Up: Точность и стабильность Предыдущая: Дополнительные сведения: с плавающей точкой & nbsp Содержание & nbsp Индекс
Подпрограммы LAPACK возвращают четыре типа выходных аргументов с плавающей запятой:
- Скаляр , например собственное значение матрицы,
- Вектор , например решение x линейной системы Ax = b ,
- Матрица , например, обратная матрица A -1 , и
- Подпространство , такое как пространство, охватываемое одним или несколькими собственными векторами матрицы.
Сначала рассмотрим скаляров . Пусть скаляр быть приближением правильный ответ. Мы можем измерить разницу между а также либо по абсолютной ошибке , или если отличен от нуля, из-за относительной погрешности . Как вариант, иногда удобнее использовать вместо стандартного выражения относительную погрешность (см. раздел 4.2.1). Если относительная погрешность , скажем, 10 -5 , тогда мы говорим, что с точностью до 5 десятичных цифр .
Чтобы измерить ошибку в векторах , нам нужно измерить размер или норма вектора x . Популярная норма — величина наибольшего компонента, , который мы обозначаем . Это читается как , норма бесконечности x . Сводку норм см. В Таблице 4.2.
Если является приближением к точный вектор x , мы будем ссылаться на как абсолютная ошибка в (где p — одно из значений в таблице 4.2), и обратитесь к как относительная ошибка в (при условии ). Как и в случае со скалярами, мы иногда будем использовать для относительной ошибки. Как и выше, если относительная погрешность , скажем, 10 -5 , тогда мы говорим что имеет точность до 5 десятичных знаков. Следующий пример иллюстрирует эти идеи:
Таким образом, мы бы сказали, что приближает x к 2 десятичные цифры.
Ошибки в матрицах тоже можно мерить норм.
Самый очевидный
обобщение матрицам казалось бы ,
но в этом нет уверенности
важные математические свойства, определяющие границы погрешности
удобно (см. раздел 4.2.1).
Вместо этого мы будем использовать ,
где A — матрица m -by- n , или ;
см. Таблицу 4.2 для получения информации о других матричных нормах.
Как прежде является абсолютным
ошибка
в , относительная ошибка
в ,
и относительная ошибка в
из 10 -5 означает
имеет точность до 5 десятичных знаков.Следующий пример иллюстрирует эти идеи:
так с точностью до 1 десятичной цифры.
Вот некоторые связанные обозначения, которые мы будем использовать в наших границах ошибок.
Число условия матрицы A определяется как ,
где A является квадратным и обратимым, а p —
или один из других
возможности в таблице 4.2. Номер условия
измеряет, насколько чувствителен A -1 к изменениям в A ; больший
число условия, более чувствительным является A -1 .Например,
для того же A что и в последнем примере,
ЛАПАК Процедуры оценки ошибок обычно вычисляют переменную, называемую RCOND, который является обратной величиной номера условия (или приближение обратного). Обратный условию номер используется вместо самого номера условия, чтобы чтобы избежать возможности переполнения при очень большом числе условий. Кроме того, некоторые из наших границ ошибок будут использовать вектор абсолютных значений из x , | x | ( | x | i = | x i | ) или аналогично | A | ( | A | ij = | a ij | ).
Теперь рассмотрим ошибки в подпространствах . Подпространства — это
выходы подпрограмм, которые вычисляют собственные векторы и инвариантные
подпространства матриц. Нам нужно тщательное определение
ошибки в этих случаях по следующей причине. Ненулевой вектор x называется (справа) собственный вектор матрицы A с собственным значением если .
Из этого определения мы видим, что — x , 2 x или любое другое ненулевое кратное
из x также является
собственный вектор.Другими словами, собственные векторы не уникальны. Этот
означает, что мы не можем измерить разницу между двумя предполагаемыми собственными векторами и x путем вычисления ,
потому что это может
будь большим, пока мало или даже ноль для
некоторые .
Это правда
даже если мы нормализуем x так, чтобы | x | 2 = 1 , поскольку оба x и — x могут быть нормализованы одновременно. Итак, чтобы определить
ошибка полезным способом, вместо этого нам нужно рассмотреть набор
из
все скалярные кратные из x .Набор
является
называется подпространством , охватываемым x , и определяется однозначно
любым ненулевым членом.
Мы измерим разницу
между двумя такими наборами острым углом между ними.
Предполагать
охватывает
а также охватывает.
Тогда острый угол между а также
определяется как
Можно показать, что не меняется, когда либо или x умножается на любой ненулевой скаляр. Например, если
как указано выше, то для любой ненулевые скаляры а также .
Вот еще один способ интерпретировать угол
между
а также
. Предполагать
— единичный вектор ( ).
Тогда есть скаляр
такой, что
Приближение держится, когда намного меньше 1 (меньше, чем .1 подойдет). Если приблизительный собственный вектор с границей ошибки , где x — истинный собственный вектор, есть еще один истинный собственный вектор удовлетворение . Например, если
тогда для .
Некоторые процедуры LAPACK также возвращают подпространства, охватываемые более чем одним вектор, такой как инвариантные подпространства матриц, возвращаемых xGEESX.Здесь также применяется понятие угла между подпространствами; подробности см. в разделе 4.2.1.
Наконец, многие из наших границ ошибок будут содержать множитель p ( n ) (или p ( m , n ) ), которая растет в зависимости от размерности матрицы n (или размеров м и n ). Он представляет собой потенциально разные функции для каждой проблемы.На практике истинные ошибки обычно растут линейно; с использованием p ( n ) = 10 n в формулах границы ошибки часто дает разумную границу. Поэтому мы будем ссылаться на p ( n ) как на « умеренно растущую » функцию от n . Однако иногда он может быть намного больше, см. раздел 4.2.1. Для простоты границы ошибок, вычисленные по фрагментам кода в следующих разделах будет использоваться p ( n ) = 1 . Это означает, что эти вычисленные границы ошибок могут иногда немного недооценивают истинную ошибку. По этой причине мы ссылаемся на к этим вычисленным границам ошибок как « приблизительные границы ошибок ».
Далее: Дополнительные сведения: Как Up: Точность и стабильность Предыдущая: Дополнительные сведения: с плавающей точкой & nbsp Содержание & nbsp Индекс Сьюзан Блэкфорд
1999-10-01
Аппроксимация относительной погрешности полиномами
Согласно ответу Йохана, проблема не является корректной, если функция $ f $ имеет нули в $ [- 1,1] $ (если количество нулей конечно, возможно, что-то можно было бы сделать).k / f (x) $, $ 1 \ le k \ le n $. Каждая $ \ phi_k $ является непрерывной функцией, они независимы и порождают $ n $ -мерное подпространство пространства непрерывных функций на $ [- 1,1] $, которое мы обозначаем через $ V $, что является не чем иным, как пространство всех функций вида $ P / f $ с $ P \ in \ mathbb {P} (n) $. Более того, каждый $ \ phi \ in V $ имеет не более $ n $ нулей в $ [- 1,1] $, так что он удовлетворяет так называемому условию Хаара . Исходная задача теперь переформулирована как: найти наилучшее приближение в $ V $ постоянной функции $ 1 $.
Общая теория приближения показывает, что существует единственное наилучшее приближение и что его можно охарактеризовать следующим образом: $ \ phi \ in V $ — наилучшее приближение в $ V $ постоянной функции $ 1 $ тогда и только тогда, когда существует существуют $ x_1 где $ e (x) = 1- \ phi (x) $ — ошибка аппроксимации. Это теорема об альтернансе Чебышева. Наконец, алгоритм Ремеса может быть использован для построения наилучшего приближения. Редактировать в ответ на ваш комментарий Если $ f $ имеет конечное число нулей в $ [- 1,1] $ и может быть записано как $ f = q \ cdot h $, где $ q $ — многочлен, а $ h $ — непрерывная функция, такая что $ h (x) \ ne0 $ для всех $ x \ in [-1,1] $, тогда вы можете рассматривать пространство $ V $ всех функций вида $ q \ cdot p / f = p / h $ с $ p \ in \ mathbb {P} (n) $. потом
$$ \ frac {| f (x) -q (x) p (x) |} {| f (x) |} = | 1- \ frac {p (x)} {h (x)} |.$$
Если $ \ phi $ — наилучшее приближение к $ 1 $ в $ V $, то $ q \ cdot \ phi $ будет наилучшим приближением к $ f $ степени $ n + \ hbox {degree} (q) $ в относительной чувство ошибки.