Положение относительно полярных кругов: Как расположен материк Африка относительно экватора , тропиков ( полярных кругов ) и нулевого

2. 

Протяженность с севера на юг по меридиану 70⁰
з.д в градусах и километрах:

Протяженность с запада на восток
по параллели 10⁰ ю.ш в градусах и километрах:
а)
находим географическую долготу точек, где 10-я параллель пересекает материк
Южную Америку, отсюда:  78⁰з.д
— 34⁰з.д =43⁰ (протяжённость Южной Америки с запада на
восток в градусах)

3. Южная Америка расположена в экваториальном, субэкваториальном, тропическом, субтропическом и умеренном климатических поясах

4. Южная
Америка на западе омывается водами Тихого океана, на севере и востоке водами
Атлантического океана.

5. Южная
Америка удалена на значительное расстояние от других материков, кроме Северной
Америки и Антарктиды. С Северной Америкой её соединяет длинный узкий Панамский
перешеек, а разделяет Панамский канал. Широкий пролив Дрейка отделяет Южную
Америку от Антарктиды. Южная Америка отделена от Африки и Европы водными
просторами Атлантического океана, а от Австралии и Азии водами Тихого океана.

Полярная система координат | Безграничная алгебра

Введение в систему полярных координат

Полярная система координат — это альтернативная система координат, в которой двумя переменными являются [latex] r [/ latex] и [latex] \ theta [/ latex] вместо [latex] x [/ latex] и [latex] y [ /латекс].

Цели обучения

Обсудить характеристики полярной системы координат

Основные выводы

Ключевые моменты

• Полярная система координат — это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от опорной точки и углом от опорного направления.

Ключевые термины

• радиус : расстояние, измеренное от полюса.
• угловая координата : угол, отсчитываемый от полярной оси, обычно против часовой стрелки.
• полюс : опорная точка полярного графика.
• полярная ось : луч от полюса в исходном направлении.

Введение полярных координат

В математике полярная система координат — это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от опорной точки и углом от опорного направления.

Когда мы думаем о нанесении точек на плоскость, мы обычно думаем о прямоугольных координатах [latex] (x, y) [/ latex] в декартовой координатной плоскости. Однако есть и другие способы записи пары координат и других типов систем сеток. Полярные координаты — это точки, помеченные [латекс] (r, θ) [/ latex] и нанесенные на полярную сетку. Полярная сетка представлена ​​в виде серии концентрических окружностей, расходящихся от полюса или начала координатной плоскости. {\ circ}) [/ latex].{\ circ} [/ латекс]). Градусы традиционно используются в навигации, геодезии и многих прикладных дисциплинах, тогда как радианы чаще используются в математике и математической физике. Во многих случаях положительная угловая координата означает, что угол [латекс] ϕ [/ латекс] измеряется против часовой стрелки от оси. В математической литературе полярная ось часто изображается горизонтально и направлена ​​вправо.

Построение точек с использованием полярных координат

Полярная сетка масштабируется как единичный круг с положительной осью [latex] x [/ latex] –, которая теперь рассматривается как полярная ось, а начало координат — как полюс.Первая координата [latex] r [/ latex] — это радиус или длина направленного отрезка линии от полюса. Угол [латекс] θ [/ латекс], измеренный в радианах, указывает направление [латекса] r [/ латекса]. Мы перемещаемся против часовой стрелки от полярной оси на угол [латекс] θ [/ латекс] и измеряем направленный отрезок линии длиной [латекс] r [/ латекс] в направлении [латекс] θ [/ латекс]. {\ circ} [/ latex] или [latex] 2 \ pi [/ latex] радиан) к угловой координате не меняет соответствующего направления.Кроме того, отрицательная радиальная координата лучше всего интерпретируется как соответствующее положительное расстояние, измеренное в противоположном направлении. Следовательно, одна и та же точка может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат ([latex] r, \ phi \ pm n \ cdot 360 ° [/ latex]) или ([latex] −r, \ phi \ pm (2n + 1) \ cdot 180 ° [/ latex]), где [latex] n [/ latex] — любое целое число. Более того, сам столб можно выразить как ([латекс] 0, ϕ [/ латекс]) для любого угла [латекс] ϕ [/ латекс].

Преобразование между полярными и декартовыми координатами

Полярные и декартовы координаты можно взаимно преобразовать с помощью теоремы Пифагора и тригонометрии.2 \\\ tan \ theta = \ frac {y} {x} [/ латекс]

Полярные координаты в прямоугольные (декартовы) координаты

При наличии набора полярных координат нам может потребоваться преобразовать их в прямоугольные координаты. Для этого мы можем вспомнить отношения, которые существуют между переменными [латекс] x [/ латекс], [латекс] y [/ латекс], [латекс] r [/ латекс] и [латекс] θ [/ латекс] , из определений [латекс] \ cos \ theta [/ latex] и [латекс] \ sin \ theta [/ latex]. Решение для переменных [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] дает следующие формулы:

[латекс] \ displaystyle \ cos \ theta = \ frac {x} {r} \ quad \ Rightarrow \ quad x = r \ cos \ theta [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ sin \ theta = \ frac {y} {r} \ quad \ Rightarrow \ quad y = r \ sin \ theta [/ latex]

Простой способ запомнить приведенные выше уравнения — представить [латекс] \ cos \ theta [/ latex] как смежную сторону над гипотенузой и [латекс] \ sin \ theta [/ latex] как противоположную сторону над гипотенузой. .Падение перпендикуляра из точки на плоскости к оси [latex] x [/ latex] – образует прямоугольный треугольник, как показано на рисунке ниже.

Тригонометрия Прямоугольный треугольник: Прямоугольный треугольник с прямоугольными (декартовыми) координатами и эквивалентными полярными координатами.

Чтобы преобразовать полярные координаты [latex] (r, θ) [/ latex] в прямоугольные координаты [latex] (x, y) [/ latex], выполните следующие действия:

1) Напишите [латекс] \ cos \ theta = \ frac {x} {r} \ Rightarrow x = r \ cos \ theta [/ latex] и [latex] \ sin \ theta = \ frac {y} {r}. \ Rightarrow y = r \ sin \ theta [/ latex].

2) Оцените [латекс] \ cos \ theta [/ latex] и [латекс] \ sin \ theta [/ latex].

3) Умножьте [латекс] \ cos \ theta [/ latex] на [latex] r [/ latex], чтобы найти [latex] x [/ latex] -координату прямоугольной формы.

4) Умножьте [латекс] \ sin \ theta [/ latex] на [latex] r [/ latex], чтобы найти [latex] y [/ latex] -координату прямоугольной формы.

Пример: запишите полярные координаты [latex] (3, \ frac {\ pi} {2}) [/ latex] как прямоугольные координаты.

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = r \ cos \ theta \\ & = 3cos \ frac {\ pi} {2} \\ & = 0 \ end {align} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = r \ sin \ theta \\ & = 3 \ sin \ frac {\ pi} {2} \\ & = 3 \ end {align} [/ latex]

Прямоугольные координаты [латекс] (0,3) [/ латекс].

Полярная и координатная сетка эквивалентных точек: Прямоугольная координата [latex] (0,3) [/ latex] совпадает с полярной координатой [latex] (3, \ frac {\ pi} {2}) [ / latex], как показано на двух сетках выше.

Прямоугольные (декартовы) координаты до полярных координат

Чтобы преобразовать прямоугольные координаты в полярные, мы будем использовать два других знакомых отношения. Однако при таком преобразовании мы должны знать, что набор прямоугольных координат даст более одной полярной точки.2 \\\ tan \ theta & = \ frac {y} {x} \ end {align} [/ latex]

Тригонометрия Прямоугольный треугольник: Прямоугольный треугольник с прямоугольными (декартовыми) координатами и эквивалентными полярными координатами.

Пример:

Нам даны значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], и нам нужно решить для [latex] \ theta [/ latex] и [latex] r [/ latex]. 2 [/ latex] и решите для [latex] ] г [/ латекс].{-1} \ left (1 \ right) [/ latex] имеет много ответов. Это соответствует неоднозначности полярных координат. Несколько наборов полярных координат могут иметь то же местоположение, что и наше первое решение. Например, точки
[латекс] (- 3 \ sqrt2, \ frac {5 \ pi} {4}) [/ latex]
и [латекс] (3 \ sqrt2, — \ frac {7 \ pi} {2 }) [/ latex] будет совпадать с исходным решением [latex] (3 \ sqrt2, \ frac {\ pi} {4}) [/ latex].

Коники в полярных координатах

Полярные координаты позволяют элегантно выразить конические сечения.

Цели обучения

Опишите уравнения для различных конических сечений в полярных координатах

Основные выводы

Ключевые моменты

• Конические секции имеют несколько ключевых особенностей, которые определяют их полярное уравнение; фокусы, эксцентриситет и директриса.
• Все конические сечения имеют одно и то же основное уравнение в полярных координатах, которое демонстрирует связь между ними.

Ключевые термины

• эксцентриситет : мера отклонения от заданной кривой.2 [/ латекс]. Любая коника может быть определена тремя характеристиками: одиночным фокусом, фиксированной линией, называемой директрисой, и отношением расстояний от каждой точки до точки на графике.

  Мы можем определить любую конику в полярной системе координат через фиксированную точку, фокус [латекс] P (r, θ) [/ латекс] на полюсе и линию, направляющую, которая перпендикулярна полярному полюсу. ось.

  Для конуса с эксцентриситетом [латекс] е [/ латекс],

  1. Если [латекс] 0≤e <1 [/ латекс], конус представляет собой эллипс.
  2. Если [латекс] е = 1 [/ латекс], конус представляет собой параболу.
  3. Если [латекс] е> 1 [/ латекс], конус является гиперболой .

  С этим определением мы можем теперь определить конику в терминах директрисы: [латекс] x = ± p [/ латекс], эксцентриситет [латекс] e [/ латекс] и угол [латекс] \ theta [ /латекс]. Таким образом, каждая коника может быть записана как полярное уравнение в терминах [латекс] r [/ латекс] и [латекс] \ тета [/ латекс].

  Для конуса с фокусом в начале координат, если директриса [латекс] x = ± p [/ latex], где [latex] p [/ latex] — положительное действительное число, а эксцентриситет — положительное действительное число. [латекс] е [/ латекс], конус имеет полярное уравнение:

  [латекс] \ displaystyle r = \ frac {e \ cdot p} {1 \: \ pm \: e \ cdot \ cos \ theta} [/ latex]

  Для конуса с фокусом в начале координат, если директриса [латекс] y = ± p [/ latex], где [latex] p [/ latex] — положительное действительное число, а эксцентриситет — положительное действительное число [латекс] е [/ латекс], конус имеет полярное уравнение:

  [латекс] \ displaystyle r = \ frac {e \ cdot p} {1 \: \ pm \: e \ cdot \ sin \ theta} [/ латекс]

  Другие кривые в полярных координатах

  Некоторые кривые имеют простое выражение в полярных координатах, тогда как их было бы очень сложно представить в декартовых координатах.

  Цели обучения

  Опишите уравнения для спиралей и роз в полярных координатах

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Формулы, которые создают график кривой розы, задаются следующим образом: [latex] r = a \: \ cos n \ theta [/ latex] и [latex] r = a \: \ sin n \ theta [/ latex ] Где [латекс] a \ ne 0 [/ латекс]. Если [latex] n [/ latex] четное, кривая имеет [latex] 2n [/ latex] лепестков. Если [latex] n [/ latex] нечетное, кривая имеет [latex] n [/ latex] лепестков.
  • Формула, которая генерирует график спирали Архимеда, задается следующим образом: [латекс] r = θ [/ латекс] для [латекс] θ≥0 [/ латекс].По мере увеличения [latex] \ theta [/ latex], [latex] r [/ latex] увеличивается с постоянной скоростью по постоянно расширяющемуся, бесконечному спиралевидному пути.

  Ключевые термины

  • Спираль Архимеда : Кривая, заданная уравнением вида [латекс] r = a + b \ theta [/ latex]
  • кривая розы : Кривая, заданная уравнением вида [латекс] r = a \ cos n \ theta [/ latex] или [латекс] r = a \ sin n \ theta [/ latex]

  Для построения графика в прямоугольной системе координат мы составляем таблицу значений [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex].Для построения графика в полярной системе координат мы составляем таблицу значений [latex] r [/ latex] и [latex] \ theta [/ latex]. Мы вводим значения [латекс] \ тета [/ латекс] в полярное уравнение и вычисляем [латекс] r [/ латекс]. Однако использование свойств симметрии и нахождение ключевых значений [latex] \ theta [/ latex] и [latex] r [/ latex] означает, что потребуется меньше вычислений.

  Исследование кривых розы

  Полярные уравнения можно использовать для создания уникальных графиков. Следующий тип полярного уравнения дает форму лепестка, называемую кривой розы.Хотя графики выглядят сложными, простое полярное уравнение порождает закономерность. Формулы, образующие график кривой розы, даются по:

  [латекс] \ displaystyle r = a \ cdot \ cos \ left (n \ theta \ right) \ qquad \ text {и} \ qquad r = a \ cdot \ sin \ left (n \ theta \ right) \ qquad \ текст {где} \ qquad a \ ne 0 [/ латекс]

  Если [latex] n [/ latex] четное, кривая имеет лепестки [latex] 2n [/ latex]. Если [latex] n [/ latex] нечетное, кривая имеет [latex] n [/ latex] лепестков.

  Кривые розы: Сложные графики, созданные с помощью простых полярных формул, которые генерируют кривые розы: [latex] r = a \: \ cos n \ theta [/ latex] и [latex] r = a \: \ sin n \ theta [/ latex] где [latex] a ≠ 0 [/ latex].

  Исследование спирали Архимеда

  Спираль Архимеда названа в честь ее первооткрывателя, греческого математика Архимеда ([латекс] ок. 287 г. до н. Э. — ок. 212 г. до н. Э. [/ Латекс]), которому приписывают многочисленные открытия в области геометрии и механики.

  Формула, по которой строится график спирали Архимеда, имеет следующий вид:

  [латекс] \ displaystyle r = a + b \ theta \ qquad \ text {for} \ qquad \ theta \ geq 0 [/ latex]

  По мере увеличения [latex] \ theta [/ latex], [latex] r [/ latex] увеличивается с постоянной скоростью по постоянно расширяющемуся, бесконечному спиралевидному пути.

  Спираль Архимеда: Формула, которая генерирует график спирали: [латекс] r = θ [/ латекс] для [латекс] θ≥0 [/ латекс].

  Загадок полярных кругов

  
  Что находится внутри Арктического и Антарктического кругов?

  Карты мира показывают множество линий, которые, кажется, не имеют ничего общего с самим миром. Более того, пересечение этих географических границ часто сопровождается множеством церемоний и празднований на круизных лайнерах.Особое значение часто придают пересечению так называемых полярных кругов. Вы можете спросить, что это за круги? Где они и почему существуют? И самое главное, как их скрестить и что найду на другой стороне?

  Пять кругов

  При внимательном рассмотрении земного шара можно заметить, что пять кругов широты специально обозначены. Наиболее заметным является экватор (0 ° широты), проведенный вокруг самой широкой части земного шара, равноудаленный как от Северного, так и от Южного полюсов, разделяющий земной шар на северное и южное полушария.Двигаясь на север, можно найти тропик Рака (23 ° 26′12,5 ″ северной широты). Это самая северная широта, на которой солнце может появляться прямо над головой. На самой линии это происходит только в день июньского солнцестояния.

  Южный аналог называется Тропиком Козерога (23 ° 26′12,5 ″ южной широты), и здесь солнце находится прямо над головой только в день декабрьского солнцестояния. Поскольку эти круги определяются углом Солнца относительно оси вращения Земли, их точные положения не фиксированы, а постепенно перемещаются из-за небольшого колебания Земли вокруг своей оси.В верхней и нижней части земного шара расположены Полярные круги: Полярный круг (66 ° 33′47,5 ″ северной широты) и Южный полярный круг (66 ° 33′47,5 ″ южной широты).

  Полярный круг

  В верхней части земного шара можно увидеть Полярный круг, очерченный вокруг Северного полюса. Внутри этого круга солнце никогда не находится прямо над головой, но из-за наклона оси Земли оно появляется над горизонтом в течение 24 часов подряд (также известное как полуночное солнце) не реже одного раза в год. На линии самого круга полуночное солнце видно только в день июньского солнцестояния.На географическом Северном полюсе (90 ° северной широты, точный центр полярного круга) солнце появляется над горизонтом на полгода.

  Длина Северного полярного круга составляет около 16 000 километров и ограничивает площадь около 20 миллионов квадратных километров, или около 4% поверхности Земли. Большая часть этой местности холодная и негостеприимная, но в некоторых местах климат мягкий. Следовательно, части Арктики были заселены коренными народами на протяжении тысячелетий. Сегодня около четырех миллионов человек живут в частях России, Финляндии, Швеции, Норвегии, Канады, США (Аляска), Гренландии и крошечного кусочка Исландии, который находится за Полярным кругом.В некоторых местах вы легко можете пересечь Полярный круг на личном автомобиле. Также можно использовать коммерческую авиацию в некоторых из наиболее удаленных районов внутри круга.

  Но, пожалуй, самый интересный способ пересечь Полярный круг — это экспедиционный круизный лайнер. Poseidon Expeditions предлагает круиз из Шотландии через Полярный круг на север к Ян-Майену и Шпицбергену. Полярный круг также можно пересечь, присоединившись к любому круизу Poseidon Expeditions в Восточную Гренландию.

  
  Южный полярный круг

  Южный аналог Северного полярного круга — это Южный полярный круг. Как и в Арктике, полуночное солнце видно не реже одного раза в год за Северным полярным кругом. На широте самого круга полуночное солнце видно только в день декабрьского солнцестояния. Геометрически Южный полярный круг имеет те же размеры, что и Полярный круг. Но на этом сходство заканчивается.

  Континент Антарктида, расположенный в основном за Северным полярным кругом, не имеет постоянных жителей и никогда не имел коренного населения.Климат за Северным полярным кругом очень холодный и суровый. Есть множество полярных исследовательских станций, но за Северным полярным кругом нет дорог и общественных аэропортов. По сравнению с миллионами людей, которые населяют или посещали районы за Полярным кругом, очень мало людей посещали какие-либо районы за Полярным кругом.

  Фактически, подавляющее большинство посетителей Антарктиды не отправляются к югу от Северного полярного круга, поскольку части Антарктического полуострова, наиболее часто посещаемые круизными судами, находятся к северу от круга.Тем не менее, Poseidon Expeditions предлагает особый маршрут раз в год, который включает попытку пересечения Северного полярного круга. Присоединение к этому круизу — лучший способ лично увидеть, что находится внутри самого загадочного и наименее посещаемого из пяти кругов земного шара.

  Исчисление II — Полярные координаты

  Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

  Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

  Раздел 3-6: Полярные координаты

  До этого момента мы имели дело исключительно с декартовой (или прямоугольной, или x-y ) системой координат.Однако, как мы увидим, это не всегда самая простая система координат для работы. Итак, в этом разделе мы начнем рассматривать полярную систему координат.

  Системы координат на самом деле не более чем способ определения точки в пространстве. Например, в декартовой системе координат точке задаются координаты \ (\ left ({x, y} \ right) \), и мы используем это для определения точки, начиная с начала координат и затем перемещая \ (x \) единицы. по горизонтали, за которыми следуют единицы \ (y \) по вертикали.Это показано на рисунке ниже.

  Однако это не единственный способ определить точку в двухмерном пространстве. Вместо того, чтобы перемещаться по вертикали и горизонтали от начала координат, чтобы добраться до точки, мы могли бы вместо этого выйти прямо из начала координат, пока не коснемся точки, а затем определить угол, который эта линия составляет с положительной осью \ (x \). Затем мы могли бы использовать расстояние точки от начала координат и величину, необходимую для поворота от положительной оси \ (x \), в качестве координат точки.Это показано на рисунке ниже.

  Координаты в этой форме называются полярными координатами .

  Приведенное выше обсуждение может привести к мысли, что \ (r \) должно быть положительным числом. Однако мы также допускаем отрицательное значение \ (r \). Ниже приведен эскиз двух точек \ (\ left ({2, \ frac {\ pi} {6}} \ right) \) и \ (\ left ({- 2, \ frac {\ pi} {6}) } \Правильно)\).

  Из этого эскиза мы можем видеть, что если \ (r \) положительно, точка будет в том же квадранте, что и \ (\ theta \).С другой стороны, если \ (r \) отрицательно, точка окажется в квадранте точно противоположном \ (\ theta \). Также обратите внимание, что координаты \ (\ left ({- 2, \ frac {\ pi} {6}} \ right) \) описывают ту же точку, что и координаты \ (\ left ({2, \ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) \) делаю. Координаты \ (\ left ({2, \ frac {{7 \ pi}} {6}} \ right) \) говорят нам повернуть на угол \ (\ frac {{7 \ pi}} {6} \ ) от положительной оси \ (x \) — это поставило бы нас на пунктирную линию на скетче выше, а затем отойдите на расстояние 2.

  Это приводит к важному различию между декартовыми координатами и полярными координатами. В декартовых координатах для любой заданной точки существует ровно один набор координат. С полярными координатами это не так. В полярных координатах для данной точки существует буквально бесконечное количество координат. Например, следующие четыре точки являются координатами одной и той же точки.

  \ [\ left ({5, \ frac {\ pi} {3}} \ right) = \ left ({5, — \ frac {{5 \ pi}} {3}} \ right) = \ left ({ — 5, \ frac {{4 \ pi}} {3}} \ right) = \ left ({- 5, — \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \]

  Вот эскиз углов, используемых в этих четырех наборах координат.

  Во второй паре координат мы повернулись по часовой стрелке, чтобы добраться до точки. Не следует забывать о вращении по часовой стрелке. Иногда это то, что нам нужно делать.

  Последние две пары координат используют тот факт, что если мы окажемся в квадранте, противоположном точке, мы можем использовать отрицательное \ (r \), чтобы вернуться к точке, и, конечно, есть и против часовой стрелки, и вращение по часовой стрелке, чтобы добраться до угла.

  Эти четыре точки представляют собой только координаты точки, не оборачиваясь вокруг системы более одного раза.Если мы позволим углу совершать столько полных оборотов вокруг системы осей, сколько мы хотим, тогда будет бесконечное количество координат для одной и той же точки. Фактически, точка \ (\ left ({r, \ theta} \ right) \) может быть представлена ​​любой из следующих пар координат.

  \ [\ left ({r, \ theta + 2 \ pi n} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- r, \ theta + \ left ({2n + 1} \ right) \ pi} \ right), \ hspace {0.25in} \, \, \, \, \, {\ mbox {where}} n {\ mbox {- любое целое число}} {\ mbox {.}} \ ]

  Далее мы должны поговорить о происхождении системы координат.В полярных координатах начало координат часто называют полюсом . Поскольку на самом деле мы не удаляемся от начала координат / полюса, мы знаем, что \ (r = 0 \). Однако мы все еще можем вращаться вокруг системы на любой угол, который нам нужен, поэтому координаты начала / полюса равны \ (\ left ({0, \ theta} \ right) \).

  Теперь, когда мы разобрались с полярными координатами, нам нужно подумать о преобразовании между двумя системами координат. Начнем со следующего наброска, напоминающего нам, как работают обе системы координат. {- 1}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \]

  Мы должны быть осторожны с этим, потому что обратные касательные возвращают значения только в диапазоне \ (- \ frac {\ pi} {2} <\ theta <\ frac {\ pi} {2} \).{- 1}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ end {align *} \]

  Давайте быстро рассмотрим пример.

  Пример 1 Преобразуйте каждую из следующих точек в заданную систему координат.
  1. Преобразование \ (\ left ({- 4, \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \) в декартовы координаты.
  2. Преобразовать \ (\ left ({- 1, -1} \ right) \) в полярные координаты.
  Показать все решения Скрыть все решения a Преобразуйте \ (\ left ({- 4, \ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) \) в декартовы координаты.Показать решение

  Это преобразование достаточно просто. Все, что нам нужно сделать, это подставить точки в формулы.

  \ [\ begin {align *} x & = — 4 \ cos \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = — 4 \ left ({- \ frac {1} {2 }} \ right) = 2 \\ y & = — 4 \ sin \ left ({\ frac {{2 \ pi}} {3}} \ right) = — 4 \ left ({\ frac {{\ sqrt 3 }} {2}} \ right) = — 2 \ sqrt 3 \ end {align *} \]

  Итак, в декартовых координатах это точка \ (\ left ({2, — 2 \ sqrt 3} \ right) \).{- 1}} \ left (1 \ right) = \ frac {\ pi} {4} \]

  Однако это неправильный угол. Это значение \ (\ theta \) находится в первом квадранте, а точка, которую мы поставили, находится в третьем квадранте. Как отмечалось выше, мы можем получить правильный угол, добавив к нему \ (p \). Таким образом, фактический угол составляет

  °. \ [\ theta = \ frac {\ pi} {4} + \ pi = \ frac {{5 \ pi}} {4} \]

  Итак, в полярных координатах это точка \ (\ left ({\ sqrt 2, \ frac {{5 \ pi}} {4}} \ right) \).2} \ cos \ theta \ sin \ theta \ end {align *} \]
  b Преобразует \ (r = — 8 \ cos \ theta \) в декартовы координаты. Показать решение

  Это немного сложнее, но не намного. Во-первых, обратите внимание, что мы можем заменить прямо на \ (r \). Однако прямой замены косинуса, которая даст нам только декартовы координаты, нет. Если бы у нас был \ (r \) справа вместе с косинусом, мы могли бы сделать прямую замену. Итак, если \ (r \) с правой стороны было бы удобно, давайте поместим его туда, просто не забудьте поставить еще один и с левой стороны.2} & = 16 \ end {выровнять *} \]

  Итак, это круг радиуса 4 с центром \ (\ left ({- 4,0} \ right) \).

  Это подводит нас к последней теме этого раздела.

  Графики общих полярных координат

  Давайте определим несколько наиболее распространенных графиков в полярных координатах. Мы также рассмотрим несколько специальных полярных графиков.

  Линии
  Некоторые линии имеют довольно простые уравнения в полярных координатах.{- 1}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) & = \ beta \\ \ frac {y} {x} & = \ tan \ beta \\ y & = \ left ({ \ tan \ beta} \ right) x \ end {align *} \]

  Это линия, которая проходит через начало координат и составляет угол \ (\ beta \) с положительной осью \ (x \). Или, другими словами, это линия, проходящая через начало координат с наклоном \ (\ tan \ beta \).

• \ (г \ соз \ тета = а \)
  Это достаточно легко преобразовать в декартовы координаты в \ (x = a \).Итак, это вертикальная линия.
• \ (г \ грех \ тета = Ь \)
  Точно так же это преобразуется в \ (y = b \), и поэтому это горизонтальная линия.
Пример 3 График \ (\ theta = \ frac {{3 \ pi}} {4} \), \ (r \ cos \ theta = 4 \) и \ (r \ sin \ theta = — 3 \) на одном и том же система осей. Показать решение

В этом нет ничего особенного, кроме построения графика, так что вот оно.

Окружности
Давайте посмотрим на уравнения окружностей в полярных координатах.

1. \ (г = а \).
   Это уравнение гласит, что независимо от того, под каким углом мы получили расстояние от начала координат, должно быть \ (a \). Если вы думаете об этом, это в точности определение круга радиуса \ (a \) с центром в начале координат.

   Итак, это круг радиуса \ (a \) с центром в начале координат. Это также одна из причин, по которой мы можем захотеть работать в полярных координатах. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет очень хорошее уравнение, в отличие от соответствующего уравнения в декартовых координатах.

2. \ (г = 2а \ соз \ тета \).
   Мы рассмотрели конкретный пример одного из них, когда преобразовывали уравнения в декартовы координаты.

   Это круг радиуса \ (\ left | a \ right | \) и центра \ (\ left ({a, 0} \ right) \). Обратите внимание, что \ (a \) может быть отрицательным (как в нашем примере выше), поэтому для радиуса требуются полосы абсолютного значения. Однако их не следует использовать по центру.

3. \ (г = 2b \ sin \ theta \).2}} \) и по центру \ (\ left ({a, b} \ right) \). Другими словами, это общее уравнение круга, центр которого не находится в начале координат.
Пример 4 График \ (r = 7 \), \ (r = 4 \ cos \ theta \) и \ (r = — 7 \ sin \ theta \) на одной системе осей. Показать решение

Первый круг радиуса 7 с центром в начале координат. Второй — круг радиуса 2 с центром в \ (\ left ({2,0} \ right) \). Третий — круг радиуса \ (\ frac {7} {2} \) с центром в \ (\ left ({0, — \ frac {7} {2}} \ right) \).Вот график трех уравнений.

Обратите внимание, что для полного графика \ (r = a \) требуется диапазон \ (0 \ le \ theta \ le 2 \ pi \), и только диапазон \ (0 \ le \ theta \ le \ pi \), чтобы построить график других кругов, представленных здесь. Вы можете проверить это с помощью быстрой таблицы значений, если хотите.

Кардиоиды и лимаконы
Их можно разделить на следующие три случая.

1. Кардиоиды: \ (r = a \ pm a \ cos \ theta \) и \ (r = a \ pm a \ sin \ theta \).
   У них есть диаграмма в форме сердца, которая всегда содержит начало координат.
2. Лимакон с внутренним циклом: \ (r = a \ pm b \ cos \ theta \) и \ (r = a \ pm b \ sin \ theta \) с \ (a Они будут иметь внутренний цикл и всегда будут содержать начало координат.
3. Лимакон без внутреннего цикла: \ (r = a \ pm b \ cos \ theta \) и \ (r = a \ pm b \ sin \ theta \) с \ (a> b \).
   Они не имеют внутреннего цикла и не содержат начало координат.
Пример 5 График \ (r = 5-5 \ sin \ theta \), \ (r = 7-6 \ cos \ theta \) и \ (r = 2 + 4 \ cos \ theta \). Показать решение

Все они будут отображены один раз в диапазоне \ (0 \ le \ theta \ le 2 \ pi \). Вот таблица значений для каждого, а также графики для каждого.

\ (\ theta \)	\ (г = 5-5 \ грех \ тета \)	\ (г = 7-6 \ соз \ тета \)	\ (г = 2 + 4 \ соз \ тета \)
0	5	1	6
\ (\ displaystyle \ frac {\ pi} {2} \)	0	7	2
\ (\ pi \)	5	13	-2
\ (\ displaystyle \ frac {{3 \ pi}} {2} \)	10	7	2
\ (2 \ пи \)	5	1	6




И последнее, что нам нужно сделать в этом разделе.В третьем графике предыдущего примера у нас был внутренний цикл. Иногда нам нужно знать значение \ (\ theta \), для которого граф будет проходить через начало координат. Чтобы найти их, все, что нам нужно сделать, это приравнять уравнение к нулю и решить следующим образом:

\ [0 = 2 + 4 \ cos \ theta \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \ cos \ theta = — \ frac { 1} {2} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ theta = \ frac {{2 \ pi}} {3}, \ frac { {4 \ pi}} {3} \]

Знакомство с полярными координатами

В каком-то смысле может показаться странным, что первый способ, которым нас учат представлять положение объектов в математике, — это использование декартовых координат, когда этот метод определения местоположения не самый естественный или самый удобный.Для начала вы должны использовать как отрицательные, так и положительные числа для описания всех точек на плоскости, и вы должны создать сетку (оси колодцев) для использования в качестве ссылка.

Когда вы спросите ребенка, где он оставил свой мяч, он скажет «прямо там» и укажет. Они описывают (хотя и очень грубо) расстояние «просто» и направление «там» (поддерживается или кивок головы.) Когда вы спрашиваете кого-то, где находится их город, они часто говорят что-то вроде «примерно в 30 милях к северу от Лондона».Опять же расстояние и направление. Нечасто кто-то дает широту и долготу своего города!


Таким образом, использование расстояния и направления как средства описания положения гораздо более естественно, чем использование двух расстояний на сетке. Этот способ определения местоположения используется в полярных координатах и ​​пеленгах.

Полярные координаты точки описывают ее положение с точки зрения расстояния от фиксированной точки (начала координат) и угла, измеряемого от фиксированного направления, которое, что интересно, не является «северным» (или верхним на странице), а «восток» (вправо).Это в направлении $ Ox $ на декартовой оси. c $…. под углом и все равно будут указывать в том же направлении! В приведенном выше примере общие координаты для $ A $ будут $ (90,2n \ pi + \ frac {\ pi} {2}) $, где $ n $ — целое число.

Это также означает, что полярные координаты полюса $ O $ равны $ (0, \ theta) $, где $ \ theta $ может быть любым углом.

Связь между полярными и декартовыми координатами

Представьте себе точку $ P $, имеющую полярные координаты $ (r, \ theta) $. Давайте попробуем использовать эту информацию, чтобы дать декартовы координаты $ P $. Мы можем опустить перпендикуляр из точки $ P $ в точку $ Ox $, пересекающуюся с $ Ox $ в точке $ Q $.Длины $ OQ $ и $ OP $ представляют координаты $ x $ и $ y $ в декартовой форме, поэтому нам просто нужно найти эти два расстояния.

$$ \ begin {eqnarray} PQ & = & r \ sin \ theta \\ OQ & = & r \ cos \ theta \ end {eqnarray} $$

Следовательно, декартовы координаты $ P $ равны $ (r \ sin \ theta, r \ cos \ theta) $

Теперь давайте работать по-другому:

Начнем с декартовой системы координат.

Мы возьмем декартовы координаты $ P $ как $ (x, y) $.в) $ !!

Используя знаки $ \ sin \ theta $ и $ \ cos \ theta $, вы можете быть уверены, что угол находится в правильном квадранте.

Итак, давайте закончим, используя эту систему координат. Было бы хорошо попробовать некоторые уравнения и посмотреть на их графики (полярные диаграммы).

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Рассмотрим график:

$ r = \ theta $

Он имеет форму спирали (каждая точка перемещается из центра по мере увеличения угла).

На диаграмме ниже показаны графики $ r = a \ theta $ для различных значений $ a $. Можете ли вы понять, что это такое?

Теперь ваша очередь.Графический калькулятор или графический пакет были бы очень полезны!

Как бы выглядела серия графиков

$ r = 1, r = 2, r = 3, $ …?

Как насчет $ r = 2a (1 + \ cos \ theta) $ для разных значений $ a $? Эти графики, кстати, называют кардиоидами.

Ответы:

$$ \ begin {eqnarray} \ mbox {D} \ rightarrow (60,0) \\ \ mbox {E} \ rightarrow (30, 270) \\ \ mbox {C} \ rightarrow (120 , 225) \\ \ mbox {A} \ rightarrow (90, 90) \\ \ mbox {F} \ rightarrow (60,60) \\ \ mbox {B} \ rightarrow (120, 180) \ end {eqnarray} $$ И $$ \ begin {eqnarray} (60,0) \ rightarrow (60,0) \\ (30, 270) \ rightarrow (30, \ frac {3 \ pi} {2}) \\ (120, 225) \ rightarrow (120, \ frac {5 \ pi} {4}) \\ (90, 90) \ rightarrow (90, \ frac {\ pi} {2}) \\ (60,60) \ rightarrow (60, \ frac {\ pi} {3}) \\ (120, 180) \ rightarrow (120, \ pi) \ end {eqnarray} $$

Сожмите его, чтобы сделать веер вокруг точки, или.. . .

. . . . как использовать график xy для визуализации графика в полярных координатах

Когда вы пытаетесь представить, как будет выглядеть полярный график функции, иногда может быть полезно сначала взглянуть на декартов (xy) график для этой функции, используя значения от $ 0 $ до $ 2 \ pi $ (от $ 0 $ до $ 360 $). градусов), а затем представьте, что график превратился в веер.

Изобразите ось x, втянутую в точку, а значения функции развернуты вокруг нее.

Например: $ y = 5 \ sin 2x $ выглядит как декартово график.

Но как полярный график $ r = 5 \ sin 2 \ theta $:

В интервале от $ 0 $ до $ 2 \ pi $ граф $ \ sin 2x $ имеет $ 4 $ областей

В области $ 1 $ функция возрастает до максимального значения $ 5 $, а затем симметрично возвращается к нулю.

В области $ 2 $ функция падает до минимального значения $ -5 $, а затем снова возвращается к нулю.

Обратите внимание на положение области $ 2 $ на полярном графике: когда $ \ theta $ перемещает второй квадрант $ \ pi / 2 $ в $ \ pi $, все значения r отрицательны, проецируя каждую точку графика назад в четвертый квадрант. .

Область $ 3 $ проста, как область $ 1 $, тогда как область $ 4 $, как область $ 2 $, также имеет отрицательные значения $ r $ и, следовательно, находится во втором квадранте.

Теперь попробуйте $ r = 5 + 5 \ sin 2 \ theta $:

Сначала нарисуйте график xy, затем растяните его, чтобы получился веер вокруг точки. После того, как вы нарисуете полярный график, используйте графический калькулятор или графопостроитель, чтобы подтвердить свой рисунок.

Придумайте свои собственные функции для игры. Например, предположим, что я остаюсь с формой $ r = A + 5 \ sin 2 \ theta $, $ A $ изначально было $ 0 $, а затем $ 5 $. Как изменение значений $ A $ повлияет на появление полярного графика?

Удачи.

Дженнифер Пигготт и Грэм Браун

Полярный круг: полярный портал в Арктику

Полярный круг — это воображаемая линия широты, огибающая самый северный конец Земли.Не путать с более холодным, аналогом Южного полушария, известным как Южный полярный круг, полярный круг расположен примерно в 66,5 градусах к северу от экватора (точные координаты незначительно меняются в зависимости от наклона оси Земли) и отмечает южную границу Арктики. . Из-за этого Полярный круг часто используется как ориентир для обозначения близости к Арктическому региону.

География

Полярный круг занимает площадь около 5,5 миллионов квадратных миль (14.5 миллионов квадратных километров), по данным Океанографического института Вудс-Хоул. Это чуть меньше 3% площади поверхности Земли. В центре Арктики находится Северный полюс, окруженный водами Северного Ледовитого океана; сам океан окружен сушей восьми стран: Канады, США, России, Финляндии, Швеции, Норвегии, Исландии и Гренландии. Аляска — единственный штат США, имеющий выход к Полярному кругу, а Фэрбенкс, Аляска, — ближайший крупный город (примерно в 198 милях (158 км)).

Арктический пейзаж — это не что иное, как зимняя страна чудес, состоящая из ледников, айсбергов, морского льда и вечной мерзлоты (почвы и горных пород, которые остаются замороженными в течение многих лет). Большая часть Арктики покрыта Северным Ледовитым океаном, но из-за экстремальных условий на этих широтах поверхность океана частично покрыта льдом. По данным Национального центра данных по снегу и льду, эта замороженная морская вода, называемая «морской лед», обычно имеет толщину от 6 до 9 футов (от 2 до 3 метров).Морской лед в Арктике увеличивается и уменьшается в зависимости от времени года; он растет с конца сентября по март, затем сокращается с апреля до середины сентября, но никогда полностью не исчезает.

Связано: Какие типы ледяных образований встречаются на Земле?

Территория за Полярным кругом (пунктирная синяя линия) обычно определяется как Арктика. (Изображение предоставлено Питером Гермесом Фурианом / Shutterstock)

Арктический климат

Несмотря на то, что Арктика содержит обильное количество воды, она считается второй по величине полярной пустыней в мире.Это в основном благодаря тундровому климату и тому факту, что в большинстве областей выпадает в среднем от 15 до 25 сантиметров осадков в год.

Средняя температура воздуха за Полярным кругом зимой составляет около минус 30 градусов по Фаренгейту (минус 34 градуса по Цельсию). Зимой арктический воздух часто распространяется на юг в регионы, находящиеся далеко за Полярным кругом. Одним из самых печально известных примеров этого является полярный вихрь, ответственный за рекордные вспышки холода в Соединенных Штатах.

Связано: В Северной Дакоте сегодня вечером станет холоднее, чем на Северном полюсе — вот почему

В то время как арктические зимы суровые, арктическое лето может быть на удивление мягким, с температурами до 50 F (10 C) не редкость.

В июне 2020 года за Полярным кругом была зафиксирована самая высокая температура за всю историю: 100,4 F (38 C) в городе Верхоянск, Россия, сообщал ранее Live Science. Как правило, июньские максимумы в Верхоянске составляют около 68 F (20 C).

Кто живет за полярным кругом?

Несмотря на полярный климат Арктики, около 4 миллионов человек называют ее своим домом. Коренные народы, в том числе инуиты и юпики, населяли его территорию на протяжении тысячелетий. В течение нескольких поколений они выживали в суровых условиях региона, ведя натуральную жизнь охотой, оленеводством, рыбной ловлей и сбором дикорастущих растений для пропитания. Согласно исследованию 2015 года, опубликованному в журнале Science, соблюдение диеты, богатой животными и рыбными жирами, также помогает защитить организм от сильного холода.Хотя общины коренных народов по-прежнему передают традиционные знания и навыки молодому поколению, многие из них сейчас ведут довольно современный образ жизни.

Нарвалы — это клыки, которые называют Арктику своим домом. (Изображение предоставлено Гленном Уильямсом)

Белые медведи — одно из самых знаковых животных Арктики. Эти уникальные для этого региона существа являются крупнейшими наземными хищниками в мире. Они проводят большую часть своей жизни в воде и вокруг нее, особенно на морском льду. Нарвалы, редкий вид китовых китов, также уникальны для Арктики.

По данным Всемирного фонда дикой природы, среди других жителей региона — песцы, северные олени, карибу, морские птицы (например, чайки и тупики), тюлени и моржи.

По данным Арктического центра при Лапландском университете в Финляндии, в Арктике существует около 2000 видов растений. Большинство из них представляют собой невысокие кустарники, травы, мхи, лишайники и другие растения, которые не требуют глубоких корневых систем или продолжительных вегетационных периодов.

Великолепное небо

Арктика является домом для ряда атмосферных явлений, которые нельзя увидеть больше нигде на Земле.В день летнего солнцестояния места за Полярным кругом переживают «полуночное солнце» или «полярный день» — 24-часовой период непрерывного дневного света. В день зимнего солнцестояния солнце не может полностью подняться над горизонтом, и в некоторых местах наблюдаются сумерки 24 часа, или «полярная ночь». Чем дальше на север от Полярного круга, тем дольше длится дневной и ночной периоды летом и зимой соответственно. После достижения Северного полюса (90 градусов северной широты) полуночное солнце не заходит в течение шести месяцев.

Связано: Миф об арктическом дневном свете и темноте разоблачен

Арктика также является лучшим местом для наблюдения за северным сиянием, или северным сиянием — колеблющимися реками зеленого и розового света, образующимися, когда газообразные частицы в атмосфере Земли сталкиваются с заряженными солнечными частицами. Поскольку магнитное поле Земли самое слабое на полюсах, протоны и электроны Солнца могут легче проникать в атмосферу здесь, что вызывает больше столкновений и испускает больше светового света.

Горячая точка изменения климата

Арктика нагревается в два-три раза быстрее, чем остальная часть планеты, согласно отчету Межправительственной группы экспертов по изменению климата за 2019 год, группы Организации Объединенных Наций по оценке научных данных, связанных с изменением климата. . Одна из причин этого усиленного полярного потепления — таяние морского льда. Поскольку температура воздуха в Арктике повышается, а морской лед и снежный покров (которые отражают обилие света) тают, Арктика не может отражать столько поступающей солнечной энергии от поверхности Земли и обратно в космос и, таким образом, теряет свою способность. для поддержания более низких температур.Более того, это оттаивание открывает более темные поверхности суши и океана — поверхности, которые поглощают больше солнечного света, чем отражают, и, следовательно, усугубляют атмосферное нагревание.

С момента начала спутниковых измерений в конце 1970-х годов среднегодовая протяженность морского льда уменьшилась на 40%. Согласно исследованию 2020 года, опубликованному в журнале Climate, ученые прогнозируют, что полярный круг может быть практически свободен ото льда летом в Арктике к 2034 году.

Исчезновение морского льда создает экономические возможности, включая открытие новых нефтяных месторождений и судоходство. маршруты.Однако защитники окружающей среды и коренные народы обычно считают такую ​​деятельность угрозой для природы. По мнению ведущих природоохранных организаций, таких как Центр биологического разнообразия и Всемирный фонд дикой природы, такая деятельность может привести к экологической катастрофе, такой как разлив нефти, и увеличению выбросов парниковых газов.

Дополнительные ресурсы:

Кажется, мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}} G-коды

G15 и G16 [Полярные координаты и круги болтов с ЧПУ]

CNCCookbook’s G-Code Training

Что такое полярные и декартовы координаты?

До этого момента мы строго использовали декартовы координаты, где X, Y и Z представляют собой расстояния от нуля детали (абсолютные координаты) или от текущего положения (относительные координаты).Большая часть программирования с помощью g-кода выполняется с использованием декартовых координат, но для некоторых проблем система, называемая полярными координатами, может значительно упростить решение проблемы. В полярных координатах мы используем угол и расстояние относительно начала координат. В зависимости от элемента управления у нас может быть выбор как абсолютного нуля детали, так и начала текущей позиции. Эта диаграмма показывает нам сравнение двух систем координат:

Декартовы координаты и полярные координаты

При использовании полярных координат угол выражается в градусах против часовой стрелки от положения «3 часа», как показано на диаграмме.

Переключение между декартовыми и полярными координатами

Переключение между декартовыми и полярными координатами очень просто. G16 используется для переключения на полярные координаты, а G15 используется для возврата к декартовым координатам.

Какой режим мой контроллер использует по умолчанию?

Интересно, что большинство элементов управления запускаются в относительном / инкрементном режиме (G91). Это сделано потому, что считается более безопасным, если режим не соответствует вашим ожиданиям. Другими словами, если вы ожидали абсолютного значения, считается, что безопаснее начинать в инкрементальном режиме, чем если вы ожидали инкрементального и абсолютного начала.По правде говоря, находиться не в ожидаемом вами режиме небезопасно, как бы вы ни смотрели на это, потому что машина сделает что-то неожиданное. Поэтому убедитесь, что одно из первых действий, которое вы сделаете в своей программе, — это установите для нее значение G90 или G91, чтобы она работала так, как вы ожидаете!

Пример окружности болта с ЧПУ для полярных координат

Хотя мы не используем их очень часто, полярные координаты могут действительно упростить некоторые задачи. Предположим, вы хотите сделать круг из болта — очень распространенная операция. Вы можете достать свой калькулятор и использовать тригонометрию, чтобы вычислить координаты каждого болта на окружности.Или вы можете использовать Калькулятор окружностей болтов G-Wizard, чтобы сделать то же самое за вас. Но если ваш элемент управления предлагает полярные координаты, у вас есть действительно простой способ запрограммировать окружность болта.

Рассмотрим следующий пример, который создает окружность для болтов радиуса 8 с 6 отверстиями, равномерно расположенными по окружности:

O2000 (пример полярных координат G15-G16)
N1 G20
(условия безопасного пуска) G0 G40 G49 G50 G80 G94 G90
N2 G17
N3 G00 X0 Y0 S900 M03 (центральная точка)
N4 G43 Z1.0 H01 M08
N5 G16 (полярные координаты включены)
N6 G99 G81 X8 Y0 R0.1 Z-0.163 F3.0
N7 X8 Y60.0
N8 X8 Y120.0
N9 X8 Y180.0
N10 X8 Y240.0
N11 X8 Y300.0
N12 G15 (полярные координаты отключены)
N13 G80 M09
N14 G91 G28 Z0 M05
N15 G28 X0 Y0
N16 M30
%

После создания некоторых безопасных начальных условий программа использует перемещение G00 к центральной точке окружности болта. Для простоты мы установили эту точку равной 0, 0.

В кадре N5 мы включаем полярные координаты, а в следующей строке запускаем наш постоянный цикл G81.Обратите внимание на указанные координаты: X8 и Y0. Мы находимся в режиме полярных координат, поэтому X — это расстояние от начала координат (8 дюймов), а Y — угол (0 градусов). Это начало координат находится в X0Y0 и было установлено, потому что в рамках безопасных условий мы установили абсолютные координаты с помощью G90, поэтому наша точка начала координат будет в 0, 0.

Теперь каждое последующее отверстие очень просто — мы просто продолжаем указывать радиус X8 и шагаем по окружности, задавая значения градусов с помощью Y. Мы используем 60, 120, 180, 240 и 300 градусов.

Вот наша программа G-кода, смоделированная редактором G-Wizard:

Трудно представить более простой способ визуализировать или запрограммировать круг с болтами, и вам не нужно было выполнять тригонометрию!

Вот для чего подходят полярные координаты.

Настройка редактора G-Wizard для полярных координат

GWE использует следующие параметры публикации для настройки полярных координат:

Калькулятор полярных и прямоугольных координат (и обратно)

Нужен быстрый калькулятор для перехода от полярных координат к прямоугольным и обратно? Мы поможем вам:

[Бесплатный калькулятор полярных координат]

Упражнения

1. Напишите программу с g-кодом, которая каким-либо образом использует полярные координаты.

2. Найдите книгу по программированию для своего контроллера и прочтите главу о полярных координатах, чтобы увидеть, как они работают.

3. Настройте G-Wizard Editor должным образом для использования вашим контроллером полярных координат.

4. Хотите узнать больше о полярных координатах? Смотрите нашу страницу полярных координат в прямоугольные.