Содержание

Умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

  1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
  2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
  3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу.{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

  1. Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
  2. Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
  3. Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
  4. В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами! 

Смотрите также:

  1. Учимся упрощать рациональные выражения и дроби с помощью формул сокращённого умножения.
  2. Дробно-рациональные выражения
  3. Умножение и деление дробей
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов

Урок 8. основное свойство дроби. сокращение дробей — Алгебра — 8 класс

Тема: Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби при этом не изменится

a/b = ac/bc,


где a, b, c – натуральные числа
Основное свойство дроби выполняется не только для натуральных, но и для любых значений переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю

a/b = ac/bc,


где a, b, c – любые числа,
b ≠ 0, c ≠ 0.
Рассмотрим пример: 1/5 . Умножим числитель и знаменатель дроби на отрицательное число

(1 • (-2))/(5 • (-2)) = (- 2)/(-10) = 2/10


Равенство верно и в том случае, если на месте переменных в формуле основного свойства дроби находятся многочлены, причём в знаменателе должны быть – ненулевые многочлены

a/b = ac/bc,


где
a, b, c – многочлены,
b и c – ненулевые многочлены.

Основное свойство рациональной дроби:


если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Пример
(x + 1)/(x — 4)
умножим данную в условии дробь на один и тот же многочлен
(x + 1)/(x — 4) = ((x + 1)(x — 2))/((x — 4)(x — 2)) — верно для всех x, кроме x = 2 и x = 4
Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных.
На практике основное свойство рациональной дроби полезно в следующих случаях:
— для приведения рациональных дробей к новому знаменателю;
— для сокращения рациональных дробей.
Пример 1.
Требуется привести дробь (x)/(2y) к знаменателю 6y2
Решение:
Исходную дробь умножим на дополнительный множитель

(x • 3y)/(2y • 3y)=(3yx)/(6y2)


ОТВЕТ. Получена дробь, равная исходной и имеющая заданный знаменатель.
Пример 2.
Найти значение дроби (x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) при x = 17

(x3 — 8)/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x + 4) =
= ((x — 2)(x2 + 2x + 4))/(x2 + 2x + 4) =
= x — 2


ОТВЕТ. Значение заданной дроби при x = 17 равно 15.
Пример 3.
Построить график функции
y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x)

y = (x3 — 9x)/(x2 + 3x) =
= (x(x2 — 9))/(x(x + 3)) =
= (x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
=(x(x — 3)(x + 3))/(x(x + 3)) =
= x — 3


Получено уравнение линейной функции.
Графиком такой функции является прямая, проходящая через точки с координатами (3; 0) и (0; -3).
(x3 — 9x)/(x2 + 3x) = x – 3 верно для всех допустимых значений переменных, то есть для всех x, кроме x = 0 и x = — 3

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.


Преобразование рациональных выражений, урок в 8 классе,

Дата публикации:

09 апреля 2017.

Понятие о рациональном выражении

Понятие «рациональное выражение» схоже с понятием «рациональная дробь». Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас – не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.

Порядок действий с рациональными выражениями

Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях.2}$.

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

«»

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Алгебра 7 класс
    • Русский язык 7 класс
    • Математика 6 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Математика 5 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Деление и дроби
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры

Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.

Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров,  в которых подробно рассмотрим решения.

Определение и примеры рациональных дробей

Определение 1

Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.

Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.

Рассмотрим примеры рациональных дробей.

Пример 1

-2a2·b-b, x+2,3·x+223·x2·y·zx2+y2+z2, х8, 14·x2-3·x+12·x+3 считаются рациональными дробями.

А 5·(x+y)·y2-x4·y и ab-ba3+1a+1a2 не являются таковыми, так как не имеют выражений с многочленами.

Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что  с ними можно производить  различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.

Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что  с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.

Пример 2

Преобразовать 3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15 таким образом, чтобы числитель получил стандартный вид многочлена, а знаменатель – их произведение.

Решение

Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида

3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·b=3·a-a·b-53·b2+237·a·b==3·a+-α·b+237·a·b-53·b2=3·a+137·a·b-53·b2

Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида

a3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=(a3·b2+3·a·b)+(-5·a2·b-15)==a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)

Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить

a·b·(a2·b+3)-5·(a2·b+3)=a2·b+3·(a·b-5)

Теперь подходим к произведению многочленов.

Проведя преобразования, получаем, что заданная дробь принимает вид 3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Ответ:  3·a-a·b-2·b·56·b+237·a·ba3·b2-5·a2·b+3·a·b-15=3·a+137·a·b-53·b2a2·b+3·(a·b-5).

Данные преобразования необходимы для их использования  в преобразованиях.

Приведение к новому знаменателю

При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.

Для любых многочленов a, b и c, где  b и c являются ненулевыми, равенство вида ab=a·cb·c справедливо, тогда они являются тождеством. К примеру, x·y+12·x-5=(x·y+1)·(x2+3·b2)(2·x-5)·(x2+3·b2) является справедливым для всей ОДЗ переменных x и y.

Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.

Если рассмотреть такой пример рациональной дроби вида x-y2·x, то при приведении к новому знаменателю, получим новую, но равную предыдущей. Необходимо умножить числитель и  знаменатель на выражение x2+y, тогда имеем, что выражение  x-y·x2+y2·x·(x2+y) при помощи преобразования примет вид рациональной дроби x3+x·y-x2·y-y22·x3+2·x·y. Такие приведения используются для сложения или вычитания дробей. Углубить знания можно  в разделе приведения алгебраических дробей к новому знаменателю.

Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 2

При одновременном изменении знаков у числителя и знаменателя получаем дробь, равную заданной. Это утверждение запишем так -a-b=ab.

Рассмотрим пример.

Пример 3

Дробь вида -x-2x-y заменяют равной ей x+2y-x.

Определение 3

При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:

ab=—ab и ab=-a-b.

Доказательство

Для доказательства используется первое свойство. Получаем, что —ab=-((-a):b)=(-1)·(((-1)·a):b)=(-1)·(-1)·a:b=a:b=ab.

При помощи преобразований доказывается равенство вида ab=-a-b.

Пример 4

К примеру, xx-1 заменяем —xx-1 или -x1-x.

Существуют два полезных равенства вида -ab=-ab и a-b=-ab. Отсюда замечаем, что при изменении знака в числителе или только в знаменателе, изменится знак дроби. Получаем, -3×3·y+z=-3×3·y+z и x+3-x+5=-x+3x-5.

Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.

Сокращение рациональных дробей

Основа преобразования – это свойство дроби.  То есть применяется a·cb·c=ab, где имеем, что a, b и c являются некоторыми многочленами, где b и c – нулевые.

Пример 5

Сократить дробь 2·x2·y32·x·y7.

Решение

Заметим, что 2 является общим множителем, значит необходимо сократить на него выражение. Получим, что 2·x2·y32·x·y7=2·x2·y32·x·y7=x2·y3x·y7.  Видно, что  x2=x·x и y7=y3·y4, тогдаx – это общий множитель. После сокращения получим, что x2·y3x·y7=(x·x)·y3x·(y3·y4)=xy4.  Сокращение выполняется последовательно, что позволяет получать точные ответы 2·x2·y32·x·y7=(2·x·y3)·x(2·x·y3)·y4=xy4.

Ответ: 2·x2·y32·x·y7=xy4.

Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.

При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.

Пример 6

К примеру, 3·a2+a·b-5a+b=3·a2a+b+a·ba+b-5a+b.

Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Любая рациональная дробь представляется в виде суммы дробей разными способами. Запишем это в виде утверждения ab=cd+ab-cd. Если x·y-xx+1 представлять в виде суммы дробей, тогда получаем выражения вида

x·y-xx+1=1x+x2·y-x2-x-1×2+x, x·y-xx+1=xx-1+x2·y-x·y-2x2x2-1 и так далее.

В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.

Пример 7

Какие значения n являются целым числом дроби n4-2·n3+4·n-5n-2?

Решение

Необходимо представить исходную дробь в виде суммы выражений и дроби. После деления числителя и знаменателя, получим выражение вида n4-2·n3+4·n-5n-2=n3+4+3n-2. Отсюда видно, что n3+4 при  любом n будет целым числом. А дробь 3n-2 принимает целые значения при n=3, n=1, n=5 и n=−1.

Ответ: −1, 1, 3, 5.

Тест Рациональные дроби и их свойства по алгебре (8 класс)

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 13 часов назад.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

  1. Вопрос 1 из 10

    Найдите значение x, при котором дробь не имеет смысла

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 82% ответили правильно
    • 82% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Следующий вопросОтветить

  2. Вопрос 2 из 10

    Выполните сложение

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 70% ответили правильно
    • 70% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  3. Вопрос 3 из 10

    Выполните действия

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 59% ответили правильно
    • 59% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  4. Вопрос 4 из 10

    Выполните вычитание

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 72% ответили правильно
    • 72% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  5. Вопрос 5 из 10

    Выполните действия

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 69% ответили правильно
    • 69% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  6. Вопрос 6 из 10

    Выполните действия

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 60% ответили правильно
    • 60% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  7. Вопрос 7 из 10

    Выполните действия

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 53% ответили правильно
    • 53% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  8. Вопрос 8 из 10

    Найдите значение дроби

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 64% ответили правильно
    • 64% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  9. Вопрос 9 из 10

    Найдите значение x, при котором дробь не имеет смысла

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 58% ответили правильно
    • 58% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

  10. Вопрос 10 из 10

    Сократите дробь

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы и еще 52% ответили правильно
    • 52% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

ТОП-3 тестакоторые проходят вместе с этим
Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.6. Всего получено оценок: 492.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Целые выражения – это выражения, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения 7а2b, m3+n3, a+58 и т.д.

В отличие от них выражения 4a-b2a+1, x+yx2-3xy+y2, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 10+1a не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение xx-y имеет смысл при тех значениях х и у, когда x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида ab называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби 5a(a-9).

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Пример 2. При каком значении х значение дроби x-22-252x+6 равно нулю?

Дробь ab равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числитель дроби равен нулю при x = 7 и x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит, данная дробь равна нулю при x = 7.

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство ab=a∙cb∙c.

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.

Пусть ab=m. Тогда по определению частного a=bm. Умножим обе части этого равенства на с:

ac=bmc

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

ac=bcm

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

acbc=m

Значит,

ab=acbc.

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство ab=acbc.

Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например, x+2x-3=(x+2)(x+y)(x-3)(x+y).

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 3. Приведем дробь 2x7y к знаменателю 35у3.

Так как 35у3 = 7у·5у2, то, умножив числитель и знаменатель дроби 2x7y на 5у2, получим:

2x7y=2x·5y27y∙5y2=10xy235y3

Множитель 5у2 называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби 2x7y.

Пример 4. Приведем дробь 52y-x к знаменателю x-2y.

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

52y-x=5·(-1)(2y-x)·(-1)=-5x-2y

Дробь -5x-2y можно заменить тождественно равным выражением -5x-2y, поставив знак «минус» перед дробью и заменив знак в числителе.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Алгебра — рациональные выражения

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-6: Рациональные выражения

Теперь нам нужно взглянуть на рациональные выражения. Рациональное выражение — это не что иное, как дробь, в которой числитель и / или знаменатель являются полиномами.2} + 6x — 10 \). Однако важно отметить, что полиномы можно рассматривать как рациональные выражения, если нам это нужно, хотя это случается редко.

При работе с рациональными выражениями существует негласное правило, которое нам теперь нужно рассмотреть. Имея дело с числами, мы знаем, что деление на ноль недопустимо. То же верно и для рациональных выражений. Итак, имея дело с рациональными выражениями, мы всегда будем предполагать, что каким бы ни было \ (x \), оно не дает деления на ноль.Мы редко записываем эти ограничения, но всегда должны помнить о них.

Для первого из перечисленных нам нужно избегать \ (x = 1 \). Второе рациональное выражение никогда не равно нулю в знаменателе, поэтому нам не нужно беспокоиться о каких-либо ограничениях. Также обратите внимание, что числитель второго рационального выражения будет равен нулю. Ничего страшного, нам просто нужно избегать деления на ноль. Для третьего рационального выражения нам нужно будет избегать \ (m = 3 \) и \ (m = — 2 \).Последнее рациональное выражение, указанное выше, никогда не будет равно нулю в знаменателе, поэтому мы снова не должны иметь никаких ограничений.

Первая тема, которую мы должны здесь обсудить, — это сокращение рационального выражения до наименьших терминов. Рациональное выражение было сокращено до до наименьших членов , если все общие множители числителя и знаменателя были исключены. Мы уже знаем, как это сделать с числовыми дробями, поэтому давайте быстро рассмотрим пример.

\ [{\ mbox {не сводится к младшим членам}} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ frac {{12}} {8} = \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left (4 \ right)}} \ left (3 \ right)}} {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left (4 \ right)}} \ left (2 \ right)}} = \ frac {3} {2 } \, {\ mbox {}} \ Leftarrow {\ mbox {сокращено до наименьших значений}} \]

С рациональным выражением все работает точно так же.

\ [{\ mbox {не сводится к младшим членам}} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left ({x + 3} \ right)}} \ left ( {x — 1} \ right)}} {{x \ require {cancel} \ cancel {{\ left ({x + 3} \ right)}}}} = \ frac {{x — 1}} {x} \, {\ mbox {}} \ Leftarrow {\ mbox {сокращено до наименьшего числа}} \]

Однако мы должны быть осторожны с отменой. Студенты часто совершают несколько типичных ошибок, решая эти задачи. Напомним, что для отмены множителя необходимо умножить весь числитель и весь знаменатель.Таким образом, приведенное выше x + 3 может быть отменено, поскольку оно умножает весь числитель и весь знаменатель. Однако \ (x \) в сокращенной форме не могут быть отменены, поскольку \ (x \) в числителе не умножается на весь числитель.

Чтобы понять, почему \ (x \) не отменяется в приведенной выше сокращенной форме, введите число и посмотрите, что произойдет. Подключим \ (x = 4 \).

\ [\ frac {{4 — 1}} {4} = \ frac {3} {4} \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {4} — 1}} {{\ require {cancel} \ cancel {4}}} = — 1 \]

Очевидно, это не одно и то же число!

Так что будьте осторожны с отменой.8}}} \) Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

При сокращении рационального выражения до наименьших членов первое, что мы сделаем, — это как можно больше множим числитель и знаменатель. Это всегда должно быть первым шагом к решению этих проблем.

Кроме того, факторинг в этом разделе и во всех последующих разделах будет выполняться без объяснения причин. Предполагается, что вы способны самостоятельно проводить и / или проверять факторинг.2}}} = \ frac {{\ left ({x — 5} \ right) \ left ({x + 5} \ right)}} {{x \ left ({5 — x} \ right)}} \ ]

На первый взгляд кажется, что нет ничего, что могло бы отменить. Однако обратите внимание, что в знаменателе есть член, который почти такой же, как член в числителе, за исключением того, что все знаки противоположны.

Мы можем использовать следующий факт относительно второго члена в знаменателе.

\ [a — b = — \ left ({b — a} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0.25in} \, \, \, \, — a + b = — \ left ({a — b} \ right) \]

Обычно это называется с учетом знака минус , потому что это именно то, что мы сделали. Здесь есть две формы, охватывающие обе возможности, с которыми мы можем столкнуться. Однако в нашем случае нам нужна первая форма.

Из-за некоторых проблем с обозначениями давайте немного поработаем со знаменателем.

\ [\ begin {align *} x \ left ({5 — x} \ right) & = x \ left [{- \ left ({x — 5} \ right)} \ right] \\ & = x \ left [{\ left ({- 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right)} \ right] \\ & = x \ left ({- 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right) \\ & = \ left ({- 1} \ right) \ left (x \ right) \ left ({x — 5} \ right) \\ & = — x \ left ({x — 5} \ вправо) \ end {align *} \]

Обратите внимание на шаги, использованные здесь.На первом этапе мы исключили знак минус, но мы все еще умножаем члены, поэтому мы заключили дополнительный набор скобок, чтобы убедиться, что мы не забыли об этом. На втором этапе мы признали, что знак минус впереди — это то же самое, что умножение на «-1». Как только мы это сделали, нам больше не понадобился дополнительный набор скобок, поэтому мы отказались от них на третьем этапе. Затем мы вспомнили, что при необходимости меняем порядок умножения, поэтому мы перевернули \ (x \) и «-1».6}}} \]

Прежде чем двигаться дальше, давайте кратко обсудим ответ во второй части этого примера. Обратите внимание, что мы переместили знак минус из знаменателя в начало рационального выражения в окончательной форме. Это всегда можно сделать, когда нам нужно. Напомним, что все следующие варианты эквивалентны.

\ [- \ frac {a} {b} = \ frac {{- a}} {b} = \ frac {a} {{- b}} \]

Другими словами, знак минус перед рациональным выражением можно перенести на весь числитель или весь знаменатель, если это удобно.Однако мы должны быть осторожны с этим. Рассмотрим следующее рациональное выражение.

\ [\ frac {{- x + 3}} {{x + 1}} \]

В этом случае знак «-» на \ (x \) нельзя переместить в начало рационального выражения, так как он находится только на \ (x \). Чтобы переместить знак минус в начало рационального выражения, его нужно умножить на весь числитель или знаменатель. Итак, если мы вычленим минус из числителя, мы могли бы переместить его в начало рационального выражения следующим образом:

\ [\ frac {{- x + 3}} {{x + 1}} = \ frac {{- \ left ({x — 3} \ right)}} {{x + 1}} = — \ frac { {х — 3}} {{х + 1}} \]

Мораль здесь заключается в том, что мы должны быть осторожны с перемещением знаков минус в рациональных выражениях.

Теперь нам нужно перейти к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных выражений.

Начнем с умножения и деления рациональных выражений. Общие формулы следующие:

\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {{ac}} {{bd}} \] \ [\ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \,}} {{\ frac {c} {d}}} = \ frac {a} {b} \ div \ frac { c} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {d} {c} \]

Обратите внимание на две разные формы обозначения деления.Мы будем использовать любой из них по мере необходимости, поэтому убедитесь, что вы знакомы с обоими. Также обратите внимание, что для деления рациональных выражений все, что нам нужно сделать, это умножить числитель на величину, обратную знаменателю (, т.е. дробь с переключением числителя и знаменателя).

Прежде чем приступить к рассмотрению пары примеров, мы должны рассмотреть несколько особых случаев деления . В приведенном выше общем случае числитель и знаменатель рационального выражения являются дробями, однако, что, если одно из них не является дробью.Итак, давайте рассмотрим следующие случаи.

\ [\ frac {a} {{\, \, \ frac {c} {d} \, \,}} \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \ , \,}} {c} \]

Вначале учащиеся часто делают ошибки с ними. Чтобы правильно с ними справиться, мы превратим числитель (первый случай) или знаменатель (второй случай) в дробь, а затем произведем общее деление на них.

\ [\ begin {align *} \ frac {a} {{\, \, \ frac {c} {d} \, \,}} = \ frac {{\, \, \ frac {a} {1} \, \,}} {{\ frac {c} {d}}} & = \ frac {a} {1} \ cdot \ frac {d} {c} = \ frac {{ad}} {c} \ \ & \\ \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \,}} {c} = \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \, }} {{\ frac {c} {1}}} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {1} {c} & = \ frac {a} {{bc}} \ end {align * } \]

Будьте осторожны с этими случаями. 2} + 5m + 6}} \ div \ frac {{3 — m}} {{m + 2}} = \ frac { {\ left ({m — 3} \ right)}} {1} \ cdot \ frac {1} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} = \ frac {{\ left ({m — 3} \ right)}} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} \]

Помните, что когда мы удаляем все члены из числителя или знаменателя, фактически остается «1»! Итак, мы не закончили отмену, чтобы подчеркнуть важность.Напомним, что в начале этого обсуждения мы говорили, что, как правило, мы можем отменять термины только в том случае, если с обеих сторон нет «+» или «-», за одним исключением для «-». Сейчас мы находимся в этом исключении. Если перед целым числителем или знаменателем стоит «-», как здесь, то мы все равно можем отменить член. В этом случае «-» действует как «-1», который умножается на весь знаменатель и, таким образом, является множителем вместо сложения или вычитания. Вот окончательный ответ на эту часть.2} — 1}} \\ & = \ frac {{\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} { {\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y — 1} \ right)}} = \ frac {{\ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} {{y — 1}} \ end {align *} \]

Хорошо, пора перейти к сложению и вычитанию рациональных выражений. Вот общие формулы.

\ [\ frac {a} {c} + \ frac {b} {c} = \ frac {{a + b}} {c} \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {a} { c} — \ frac {b} {c} = \ frac {{a — b}} {c} \]

Как было показано, мы должны помнить, что для того, чтобы складывать или вычитать рациональное выражение или дроби, мы ДОЛЖНЫ иметь общие знаменатели.Если у нас нет общих знаменателей, нам нужно сначала получить общие знаменатели.

Давайте вспомним, как это сделать, на примере быстрого числа.

\ [\ frac {5} {6} — \ frac {3} {4} \]

В этом случае нам нужен общий знаменатель и напомним, что обычно лучше использовать наименьший общий знаменатель , часто обозначаемый lcd . В этом случае наименьший общий знаменатель равен 12. Итак, нам нужно привести знаменатели этих двух дробей к 12.Это легко сделать. В первом случае нам нужно умножить знаменатель на 2, чтобы получить 12, поэтому мы умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Помните, что нам нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, поскольку мы не Фактически невозможно изменить проблему, и это эквивалентно умножению дроби на 1, поскольку \ (\ frac {a} {a} = 1 \). Для второго члена нам нужно будет умножить числитель и знаменатель на 3.

\ [\ frac {5} {6} — \ frac {3} {4} = \ frac {{5 \ left (2 \ right)}} {{6 \ left (2 \ right)}} — \ frac { {3 \ left (3 \ right)}} {{4 \ left (3 \ right)}} = \ frac {{10}} {{12}} — \ frac {9} {{12}} = \ frac {{10–9}} {{12}} = \ frac {1} {{12}} \]

Теперь процесс создания рациональных выражений идентичен.Основная трудность — найти наименьший общий знаменатель. Однако существует действительно простой процесс поиска наименьшего общего знаменателя для рациональных выражений. Вот.

  1. Разложите все знаменатели на множители.
  2. Запишите каждый множитель, который хотя бы один раз встречается в любом знаменателе. НЕ записывайте мощность каждого фактора, записывайте только коэффициент
    3. . 5} \]

    Итак, нам просто нужно умножить каждый член на соответствующую величину, чтобы получить его в знаменателе, а затем выполнить сложение и вычитание.5}}} \ end {выровнять *} \]
    b \ (\ displaystyle \ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} \) Показать решение

    В этом случае есть только два множителя, и оба они встречаются в первой степени, поэтому имеет наименьший общий знаменатель.

    \ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right) \]

    Теперь, чтобы определить, на что умножить каждую часть, просто сравните текущий знаменатель с наименьшим общим знаменателем и умножьте верхнюю и нижнюю на все, что «отсутствует».В первом члене нам «не хватает» \ (z + 2 \), поэтому на него мы умножаем числитель и знаменатель. Во втором члене нам «не хватает» \ (z + 1 \), поэтому мы умножим его на него.

    Вот работа для этой проблемы.

    \ [\ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} — \ frac {{\ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 2} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right) — \ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} \ ]

    Последний шаг — произвести любое умножение в числителе и максимально упростить его.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} \) Показать решение

    Снова разложите знаменатели на множители и получите наименьший общий знаменатель.

    \ [\ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ гидроразрыв {2} {{x — 3}} \]

    Наименьший общий знаменатель:

    . \ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right) \]

    Обратите внимание, что первое рациональное выражение уже содержит это в знаменателе, но это нормально.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} & = \ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3 } \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {{1 \ left ({x — 3} \ right)}} {{\ left ({x + 3} \ right) \ left ({x — 3} \ right)}} — \ frac {{2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — \ left ({x — 3} \ right) — 2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — x + 3 — 2x — 6}} {{\ left ({x — 3} \ right ) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{- x — 3}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что здесь мы можем пойти еще дальше.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} = \ frac {{- \ left ({x + 3} \ right)} } {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} = \ frac {{- 1}} {{x — 3}} \]

    Иногда такая отмена происходит после сложения / вычитания, так что будьте начеку.


    e \ (\ displaystyle \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + 1 \) Показать решение

    Суть этой проблемы в том, что за всем стоит «1». На самом деле проблема не в этом.Давайте сначала немного перепишем здесь.

    \ [\ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} \]

    Таким образом, мы видим, что здесь действительно три дроби. У одного из них просто знаменатель, равный единице. Наименьший общий знаменатель для этой части:

    . \ [{\ mbox {lcd:}} y \ left ({y + 2} \ right) \]

    Вот сложение и вычитание для этой задачи.

    \ [\ begin {align *} \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} & = \ frac {{4y}} {{\ left ({y + 2} \ right) \ left (y \ right)}} — \ frac {{y + 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} + \ frac {{ y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \\ & = \ frac {{4y — \ left ({y + 2} \ right) ) + y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \ end {align *} \]

    Обратите внимание на скобки, которые мы добавили ко второму числителю при вычитании.2} + 5y — 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \]

    Упрощение рациональных выражений — объяснения и примеры

    Теперь, когда вы понимаете, что такое рациональные числа, следующая тема этой статьи — это рациональных выражений и способы их упрощения . Для вашей же пользы мы определяем рациональное число как число, выраженное в форме p / q, где оно не равно нулю.

    Другими словами, мы можем сказать, что рациональное число — это не что иное, как дробь, в которой числитель и знаменатель являются целыми числами.Примеры рациональных чисел: 5/7, 4/9/1/2, 0/3, 0/6 и т. Д.

    С другой стороны, рациональное выражение — это алгебраическое выражение вида f (x) / g ( x), в котором числитель или знаменатель являются многочленами, или числитель и числитель являются многочленами.

    Примеры рационального выражения: 5 / x — 2, 4 / (x + 1), (x + 5) / 5, (x 2 + 5x + 4) / (x + 5), (x + 1 ) / (x + 2), (x 2 + x + 1) / 2x и т. д.

    Как упростить рациональные выражения?

    Упрощение рационального выражения — это процесс сокращения рационального выражения до его наименьшего возможного значения.Рациональные выражения упрощаются так же, как упрощаются числовые числа или дроби.

    Чтобы упростить любые рациональные выражения, мы применяем следующие шаги:

    • Факторизуем знаменатель и числитель рационального выражения. Не забудьте записать каждое выражение в стандартной форме.
    • Уменьшите выражение, вычеркнув общие множители в числителе и знаменателе.
    • Перепишите оставшиеся множители в числителе и знаменателе.

    Давайте упростим пару примеров, как показано ниже:

    Пример 1

    Упростить: (x 2 + 5x + 4) (x + 5) / (x 2 — 1 )

    Решение

    Разложив числитель на знаменатель на множители, получим;

    ⟹ (x + 1) (x + 4) (x + 5) / (x + 1) (x — 1)

    Теперь отмените общие условия.

    ⟹ (x + 4) (x + 5) / (x — 1)

    Пример 2

    Упростить (x 2 -4) / (x 2 + 4x + 4)

    Решение

    Разложите на множители числитель и знаменатель, чтобы получить.

    ⟹ (x + 2) (x — 2) / (x + 2) (x + 2)

    Теперь сократите общие множители в числителе и знаменателе, чтобы получить.

    = (x — 2) / (x + 2)

    Пример 3

    Упростить рациональное выражение x / (x 2 — 4x)

    Решение

    Фактор x вне знаменатель получить;

    ⟹x / x (x — 4)

    Отбросив общие термины вверху и внизу, получим;

    = 1 / (x — 4)

    Пример 4

    Упростить рациональное выражение (5x + 20) / (7x + 28)

    Решение

    Вынести за множитель GCF в обоих числителях и знаменатель;

    = (5x + 20) / (7x + 28) ⟹ 5 (x + 4) / 7 (x + 4)

    Отбрасывая общие условия, получаем;

    = 5/7

    Пример 5

    Упростим рациональное выражение (x 2 + 7x + 10) / (x 2 — 4)

    Решение

    Фактор обоих верхних и нижняя часть выражения.

    = (x 2 + 7x + 10) / (x 2 -4) ⟹ (x + 5) (x + 2) / (x 2 -2 2 )

    ⟹ (x + 5) (x + 2) / (x + 2) (x — 2)

    Отмените общие условия, чтобы получить;

    = (x + 5) / (x — 2)

    Пример 6

    Упростить (3x + 9) / (3x + 15)

    Решение

    = (3x + 9) / (3x + 15) ⟹ 3 (x + 3) / 3 (x + 5)

    = (x + 3) / (x + 5)

    Пример 7

    Упростим рациональное выражение (64a 3 + 125b 3 ) / (4a 2 b + 5ab 2 )

    Решение

    Разложите на множители числитель и верхнюю часть;

    = (64a 3 + 125b 3 ) / (4a 2 b + 5ab 2 ) ⟹ [(4a) 3 + (5b) 3 ] / ab (4a + 5b)

    ⟹ (4a + 5b) [(4a) 2 — (4a) (5b) + (5b) 2 ] / ab (4a + 5b)

    Чтобы получить, сократите общие термины;

    = (16a 2 — 20ab + 25b 2 ) / ab

    Пример 8

    Упростим следующее рациональное выражение

    (9x 2 — 25y 2 ) / (3x 2 — 5xy)

    Решение

    = (9x 2 — 25 лет 2 ) / (3x 2 — 5xy) ⟹ [(3x) 2 — (5y) 2 ] / x (3x — 5y)

    = [(3x + 5y) (3x — 5y)] / x (3x — 5y)

    = (3x + 5y) / x

    Пример 9

    Упростите: (6x 2 — 54) / (x 2 + 7x + 12)

    Решение

    = (6x 2 — 54) / (x 2 + 7x + 12)

    = 6 (x 2 — 9) / (x + 3) (x + 4)

    = 6 (x 2 — 3 2 ) / (x + 3) (x + 4)

    = 6 ( x + 3) (x — 3) / (x + 3) (x + 4)

    = 6 (x — 3) / (x + 4)

    Практика ice Вопросы

    Упростите следующие рациональные выражения:

    1. 4x 3 / 8x 2
    2. (4x 3 + 8x 2 ) / 2x
    3. (7x 2 + 28x) / (x 2 + 8x + 16)
    4. (4x 2 + 4x + 1) / (2x 3 + 11x 2 + 5x)
    5. (x 2 + 2x — 15) / ( x 2 + x — 12)
    6. (x 3 + 1) / (x 2 + 7x + 6)
    7. x 2 + 10x + 24 / x 3 — x 2 — 20x
    8. x + 3 / x 2 + 12x + 27
    9. (x 3 + 4x 2 — 9x — 36) / (4x 2 + 28x + 48)
    10. (3x 2 — 9xy — 12y 2 ) / (6x 3 — 6xy 2 )
    11. (2x 4 + 9x 3 -5x 2 ) / (6x 3 + x 2 — 2x)
    12. (2x 3 + 5x 2 + 9) / (2x 2 — x + 3)
    13. (x 3 + 3x 2 ) / 2x
    14. (xy + 3x — 2y — 6) / (y 2 + y — 6)
    15. (5m 2 — 57 мин. + 70 н. 2 ) / 2 м. 2 — 16 мин. — 40 н. 2
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Решение рациональных уравнений

    Решение рациональных уравнений

    Рациональное уравнение Уравнение, содержащее по крайней мере одно рациональное выражение.- уравнение, содержащее хотя бы одно рациональное выражение. Рациональные выражения обычно содержат переменную в знаменателе. По этой причине мы позаботимся о том, чтобы знаменатель не был равен нулю, отметив ограничения и проверив наши решения.

    Решите рациональные уравнения, удаляя дроби, умножая обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

    Пример 1: Решить: 5x − 13 = 1x.

    Решение: Сначала отметим, что x ≠ 0, а затем умножим обе стороны на ЖК-дисплей, 3 x :

    Проверьте свой ответ, заменив 12 на x , чтобы убедиться, что вы получили истинное утверждение.

    Ответ: Решение — 12.

    После умножения обеих частей предыдущего примера на ЖК-дисплей, нам осталось решить линейное уравнение.Это не всегда так; иногда нам остается квадратное уравнение.

    Пример 2: Решить: 2−1x (x + 1) = 3x + 1.

    Решение: В этом примере есть два ограничения: x ≠ 0 и x ≠ −1. Начните с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, x (x + 1).

    После распределения и деления общих множителей остается квадратное уравнение. Чтобы решить эту проблему, перепишите его в стандартной форме, коэффициент, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

    Проверьте, решают ли эти значения исходное уравнение.

    Ответ: Решения -1/2 и 1.

    До этого момента все возможные решения решали исходное уравнение. Однако так бывает не всегда. Умножение обеих частей уравнения на переменные множители может привести к посторонним решениям. Решение, которое не решает исходное уравнение, то есть решения, которые не решают исходное уравнение.Полный список шагов для решения рационального уравнения представлен в следующем примере.

    Пример 3: Решить: xx + 2 + 2×2 + 5x + 6 = 5x + 3.

    Решение:

    Шаг 1: Разложите все знаменатели на множители и определите ЖК-дисплей.

    ЖК-дисплей равен (x + 2) (x + 3).

    Шаг 2: Определите ограничения. В данном случае это x ≠ −2 и x ≠ −3.

    Шаг 3: Умножьте обе части уравнения на ЖК-дисплей. Распространяйте осторожно, а затем упрощайте.

    Шаг 4: Решите полученное уравнение. Результатом является квадратное уравнение. Перепишите его в стандартной форме с коэффициентом, а затем установите каждый коэффициент равным 0.

    Шаг 5: Проверьте наличие посторонних решений. Всегда подставляйте в исходное уравнение или его факторизованный эквивалент.В этом случае выберите факторизованный эквивалент для проверки:

    Здесь −2 — постороннее решение, не входящее в набор решений. Важно отметить, что −2 — это ограничение.

    Ответ: Решение — 4.

    Если этот процесс приводит к решению, которое является ограничением, не считайте его посторонним решением.

    Попробуй! Решите: xx − 5 + 3x + 2 = 7xx2−3x − 10.

    Ответ: −3

    Иногда все возможные решения являются посторонними, и в этом случае мы говорим, что не существует решения исходного уравнения. В следующих двух примерах мы демонстрируем два способа, по которым рациональное уравнение не может иметь решений.

    Пример 4: Решить: 3xx2−4−2x + 2 = 1x + 2.

    Решение: Чтобы идентифицировать ЖК-дисплей, сначала разложите знаменатели на множители.

    Умножьте обе стороны на наименьший общий знаменатель (LCD), (x + 2) (x − 2), аккуратно распределив.

    Уравнение противоречит и поэтому не имеет решения.

    Ответ: Нет решения, ∅

    Пример 5: Решите: xx − 4−4x + 5 = 36×2 + x − 20.

    Решение: Сначала разложите знаменатели на множители.

    Обратите внимание, что ограничения x ≠ 4 и x ≠ −5. Чтобы очистить дроби, умножьте на ЖК-дисплей (x − 4) (x + 5).

    Оба эти значения являются ограничениями исходного уравнения; следовательно, оба посторонние.

    Ответ: Нет решения, ∅

    Попробуй! Решите: 1x + 1 + xx − 3 = 4xx2−2x − 3.

    Ответ: ∅

    Важно отметить, что этот метод очистки алгебраических дробей работает только для уравнений. Не пытайтесь очищать алгебраические дроби при упрощении выражений. Напоминаем, что у нас

    Необходимо упростить выражения и решить уравнения.Если мы умножим выражение на ЖК-дисплей, x (2x + 1), мы получим другое выражение, которое не эквивалентно.

    Буквенные уравнения

    Буквальные уравнения или формулы часто являются рациональными уравнениями. Следовательно, методы, описанные в этом разделе, могут использоваться для решения конкретных переменных. Предположим, что все выражения переменных в знаменателе отличны от нуля.

    Пример 6: Решите относительно x : z = x − 5y.

    Решение: Цель состоит в том, чтобы изолировать x . Предполагая, что y не равно нулю, умножьте обе стороны на y , а затем прибавьте 5 к обеим сторонам.

    Ответ: x = yz + 5

    Пример 7: Решите относительно c : 1c = 1a + 1b.

    Решение: В этом примере цель состоит в том, чтобы изолировать c . Мы начинаем с умножения обеих сторон на ЖК-дисплей, a⋅b⋅c, осторожно распределяя.

    В правой части уравнения вычтем c .

    Затем разделите обе части уравнения на величину (b + a).

    Ответ: c = abb + a

    Попробуй! Решите относительно y : x = y + 1y − 1.

    Ответ: y = x + 1x − 1

    Основные выводы

    • Начните решать рациональные уравнения с умножения обеих частей на ЖК-дисплей.Полученное эквивалентное уравнение можно решить, используя методы, изученные до этого момента.
    • Умножение обеих частей рационального уравнения на переменное выражение вводит возможность посторонних решений. Следовательно, мы должны проверять решения на соответствие множеству ограничений. Если решение является ограничением, то оно не является частью домена и является посторонним.
    • При умножении обеих частей уравнения на выражение, аккуратно распределите и умножьте каждый член на это выражение.
    • Если все полученные решения являются посторонними, то исходное уравнение не имеет решений.

    Тематические упражнения

    Часть A: Рациональные уравнения

    Решить.

    1. 12 + 1x = 18

    2. 13−1x = 29

    3. 13x − 23 = 1x

    4. 25x − 1x = 310

    5. 12x + 1 = 5

    6.33x − 1 + 4 = 5

    7. 2x − 3x + 5 = 2x + 5

    8. 5x2x − 1 = x − 12x − 1

    9. 5x − 7 = 6x − 9

    10. 5x + 5 = 3x + 1

    11. x6−6x = 0

    12. 5x + x5 = −2

    13. хх + 12 = 2х

    14. 2xx + 5 = 16 − x

    15. 1x + x2x + 1 = 0

    16. 9x3x − 1−4x = 0

    17. 1−2x = 48×2

    18. 2−9x = 5×2

    19.1 + 12x = 12x − 2

    20. 1−3x − 5x (3x − 4) = — 1x

    21. x2 = 14x + 3

    22. 3×2 = х + 13 − х

    23. 6 = −3x + 3x − 1

    24. 12x − 2 = 2 + 6 (4 − x) x − 2

    25. 2 + 2xx − 3 = 3 (x − 1) x − 3

    26. xx − 1 + 16x − 1 = x (x − 1) (6x − 1)

    27. 12×2-81 = 1x + 9-2x − 9

    28. 14×2−49 = 2x − 7−3x + 7

    29. 6xx + 3 + 4x − 3 = 3xx2−9

    30.3xx + 2−17x − 2 = −48×2−4

    31. х − 1 + 3 = 0

    32. 4 − y − 1 = 0

    33. y − 2−4 = 0

    34. 9x − 2−1 = 0

    35,3 (x − 1) −1 + 5 = 0

    36,5−2 (3x + 1) −1 = 0

    37. 3 + 2x − 3 = 2x − 3

    38. 1x = 1x + 1

    39. хх + 1 = х + 1x

    40. 3x − 13x = xx + 3

    41. 4x − 7x − 5 = 3x − 2x − 5

    42. xx2−9 = 1x − 3

    43.3x + 4x − 8−28 − x = 1

    44. 1x = 6x (x + 3)

    45. 3x = 1x + 1 + 13x (x + 1)

    46. xx − 1−34x − 1 = 9x (4x − 1) (x − 1)

    47. 1x − 4 + xx − 2 = 2×2−6x + 8

    48. xx − 5 + x − 1×2−11x + 30 = 5x − 6

    49. xx + 1−65×2 + 4x − 1 = −55x − 1

    50. −8×2−4x − 12 + 2 (x + 2) x2 + 4x − 60 = 1x + 2

    51. xx + 2−20×2 − x − 6 = −4x − 3

    52. x + 7x − 1 + x − 1x + 1 = 4×2−1

    53.x − 1x − 3 + x − 3x − 1 = −x + 5x − 3

    54. х − 2x − 5 − x − 5x − 2 = 8 − xx − 5

    55. х + 7x − 2−81×2 + 5x − 14 = 9x + 7

    56. хх-6 + 1 = 5х + 3036-х2

    57. 2xx + 1−44x − 3 = −74×2 + x − 3

    58. x − 5x − 10 + 5x − 5 = −5xx2−15x + 50

    59. 5×2 + 5x + 4 + x + 1×2 + 3x − 4 = 5×2−1

    60. 1×2−2x − 63 + x − 9×2 + 10x + 21 = 1×2−6x − 27

    61. 4×2−4 + 2 (x − 2) x2−4x − 12 = x + 2×2−8x + 12

    62. x + 2×2−5x + 4 + x + 2×2 + x − 2 = x − 1×2−2x − 8

    63.6xx − 1−11x + 12×2 − x − 1 = 6x2x + 1

    64. 8x2x − 3 + 4x2x2−7x + 6 = 1x − 2

    Часть B: Буквальные уравнения

    Решите для указанной переменной.

    65. Решите относительно r : t = Dr.

    66. Решить относительно b : h = 2Ab.

    67. Решите относительно P : t = IPr.

    68. Решить относительно π: r = C2π.

    69. Решите относительно c : 1a = 1b + 1c.

    70. Решим относительно y : m = y − y1x − x1.

    71. Решите относительно w : P = 2 (l + w).

    72. Решите относительно t : A = P (1 + rt).

    73. Решить относительно м : s = 1n + m.

    74. Решим относительно S : h = S2πr − r.

    75. Решите относительно x : y = xx + 2.

    76. Решите относительно x : y = 2x + 15x.

    77.Решите относительно R : 1R = 1R1 + 1R2.

    78. Решите относительно S1: 1f = 1S1 + 1S2.

    Часть C: Обсуждение

    79. Объясните, почему умножение обеих частей уравнения на ЖК-дисплей иногда дает посторонние решения.

    80. Объясните связь между методом перекрестного умножения и умножением обеих частей рационального уравнения на ЖКД.

    81. Объясните, как мы можем отличить рациональное выражение от рационального уравнения.Как мы относимся к ним по-другому?

    ответов

    1: −8/3

    3: -1

    5: −2/5

    7: 5/2

    9: −3

    11: −6, 6

    13: −4, 6

    15: -1

    17: −6, 8

    19: −4, 6

    21: −7, 4

    23:

    25:

    27: −39

    29: 4/3, 3/2

    31: -1/3

    33: -1/2, 1/2

    35: 2/5

    37:

    39: -1/2

    41:

    43: −7

    45: 5

    47: -1

    49:

    51: −4

    53: 5/3

    55:

    57: 1/2

    59: −6, 4

    61: 10

    63: 1/3

    65: r = Dt

    67: P = Itr

    69: c = abb − a

    71: ш = P − 2l2

    73: m = 1 − sns

    75: х = 2y1 − y

    77: R = R1R2R1 + R2

    вопросов по алгебре с ответами и решениями для 8 класса


  3. A) -2x + 5 + 10x — 9: дано
    = (10x — 2x) + (5-9): сложите одинаковые термины вместе
    = 8x — 4: группа

    B) 3 (x + 7) + 2 (-x + 4) + 5x: дано
    = 3x + 21 — 2x + 8 + 5x: развернуть
    = (3x — 2x + 5x) + (21 + 8): сложите одинаковые термины вместе
    = 6x + 29: группа


  4. A) (2x — 6) / 2: дано
    = 2 (x — 3) / 2: множитель 2 в числителе
    = x — 3: разделите числитель и знаменатель на 2 для упрощения

    B) (-x — 2) / (x + 2): задано
    = -1 (x + 2) / (x + 2): множитель -1 в числителе
    = -1: разделите числитель и знаменатель на x + 2, чтобы упростить

    C) (5x — 5) / 10: дано
    = 5 (x — 1) / 10: множитель 5 в числителе
    = (x — 1) / 2: разделите числитель и знаменатель на 5 для упрощения


  5. A) -x = 6: дано
    x = -6: умножьте обе части уравнения на -1.

    B) 2x — 8 = -x + 4: задано
    2x — 8 + 8 = -x + 4 + 8: прибавить +8 к обеим сторонам уравнения
    2x = -x + 12: группировать похожие термины
    2x + x = -x + 12 + x: добавить + x к обеим сторонам
    3x = 12: группировать похожие термины
    x = 4: взаимно обе стороны на 1/3

    C) 2x + 1/2 = 2/3: дано
    2x + 1/2 — 1/2 = 2/3 — 1/2: вычесть 1/2 с обеих сторон
    2x = 1/6: группировать похожие термины
    x = 1/12: умножить обе стороны на 1/2

    D) x / 3 + 2 = 5: дано
    x / 3 + 2-2 = 5-2: вычесть 2 с обеих сторон
    x / 3 = 3: группировать похожие термины
    x = 9: умножить обе стороны на 1/2

    E) -5 / x = 2: задано
    -5 = 2x: умножить обе стороны на x и упростить
    -5/2 = x:: умножить обе стороны на 1/2


  6. A) x 2 — y 2 , x = 4, y = 5: задано
    4 2 -5 2 : заменить x и y заданными значениями
    = 16–25 = -9

    B) | 4x — 2y | , x = -2, y = 3: задано
    | 4 (-2) — 2 (3) | : заменить x и y заданными значениями
    = | -14 | = 14: оценить

    C) 3x 3 — 4y 4 , x = -1, y = -2: задано
    3 (-1) 3 — 4 (-2) 4 : заменить x и y заданными значениями
    = -3 — 64 = -67: оценить


  7. A) x + 6 <0: задано
    x + 6-6 <-6: вычесть 6 с обеих сторон
    x <-6: группировать похожие термины

    B) x + 1> 5: дано
    x + 1-1> 5-1: вычесть 1 с обеих сторон
    x> 4: группировать похожие термины

    C) 2 (x — 2) <12: задано
    x — 2 <6: одновременно обе стороны на 1/2
    x — 2 + 2 <6 + 2: прибавить 2 к обеим сторонам
    x <8: группировать похожие термины


  8. A) (-1) a = 1: определение: a — величина, обратная -1
    a = 1 / -1 = -1: решить относительно a; -1 является обратной величиной -1

    B) (0) b = 1: определение: b является обратной величиной 0
    b = undefined: никакое значение b не удовлетворяет приведенному выше уравнению

    C) (3/4) c = 1: определение: c — величина, обратная 3/4
    c = 4/3: решить относительно c; c = 4/3 — величина, обратная 3/4

    D) (2 5/7) d = 1: определение: d — величина, обратная 2 5/7.
    (19/7) d = 1: преобразовать смешанное число 2 5/7 в дробь.
    d = 7/19:: решить относительно d; d = 7/19 является обратной величиной 2 (5/7)

    E) 0,02 d = 1: определение: d — величина, обратная 0,02.
    d = 1 / 0,02: решить относительно d; d = 50 — величина, обратная 0,02


  9. A) 3 3/4 + 6 1/7: дано
    = (3 + 6) + (3/4 + 1/7): сложите целые части и дробные части вместе.
    = 9 + (21/28 + 4/28): прибавить.
    = 9 25/28

    B) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2: дано
    = (8/5) (10/3) — 2 1/2: преобразовать смешанные числа в дробные числа.
    = 80/15 — 2 1/2 = 5 1/3 — 2 1/2 = 4 4/3 — 2 1/2: дублируйте и запишите смешанное число, если это возможно
    = (4-2) + (4/3 — 1/2): вычесть
    = 2 5/6

    C) (5 2/3) (4 1/5): дано
    = (17/3) (21/5): преобразовать смешанные числа в дроби.
    = 85/63: разделить дроби
    = 1 22/63: писать как смешанное число

    D) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4): дано
    = [(3 — 1) + (4/7 — 1/2)] [(2 + 2) + (3/8 + 1/4)]: вычислить числитель и знаменатель как дроби.
    = (2 1/14) (4 5/8)
    = (29/14) (37/8)
    = 116/259


  10. A) — 4 2 = — (4 4) = -16: развернуть и вычислить

    B) (-2) 3 = (-2) (- 2) (- 2) = -8: развернуть и вычислить

    C) 1000 0 = 1: определение: любое ненулевое число в нулевой степени дает 1

    D) 566 1 = 566


  11. А) 0,02 = 1/50
    В) 12% = 3/25
    C) 0,5% = 1/200
    D) 1,12 = 28/25

  12. А) 1/5 = 0.2
    В) 120% = 1,2
    C) 0,2% = 0,002
    D) 4 8/5 = 5,6

  13. А) 3/10 = 30%
    В) 1,4 = 140%
    C) 123,45 = 12345%
    D) 2 4/5 = 280%

  14. A) 156312, делится на 3
    B) 176314, не делится на 3

  15. A) 3432, делится на 4
    B) 1257, не делится на 4

  16. A) 1233, не делится на 6
    B) 3432, делится на 6

  17. A) 2538, делится на 9
    B) 1451, не делится на 9

  18. Вычислите 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
    x — 3 = 10: данное уравнение
    x = 10 + 3 = 13: решить данное уравнение.
    8 (13) + 7 = 111 замените x на 3 в данном выражении и оцените.

    19. Решение рациональных уравнений — ChiliMath

    Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название для дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя).Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

    В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!

    Примеры решения рациональных уравнений

    Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Было бы неплохо, если бы знаменателей не было? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага.Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

    • ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
    • У вас должно получиться примерно такое после раздачи жк.
    • Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
    • Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
    • Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.

    Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это важный аспект общего подхода при решении таких проблем, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.

    Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

    Ну вот.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей 9x. Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
    • Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
    • Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
    • Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас в том, что оно работает.

    Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей.Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

    • ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
    • Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

    Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

    • Объедините константы в левой части уравнения.
    • Переместите все числа вправо, прибавив 21 к обеим сторонам.
    • Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

    Он должен работать, так что да, окончательный ответ — x = 2.

    Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев. Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и в дальнейшем это будет иметь больше смысла.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей — 4 \ left ({x + 2} \ right). Умножьте на него каждую часть уравнения.
    • После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

    Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

    Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

    • Объедините константы в левой части, чтобы упростить его.
    • На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
    • Удерживая x слева, мы вычитаем обе стороны на 4.
    • Вот и все.Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

    Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

    Помните, перемножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

    • ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
    • Как должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.

    Укажите константу в круглых скобках.

    • Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
    • Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
    • Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.
    • Разделите обе стороны на -2, чтобы выделить x.
    • Ага! Мы получили окончательный ответ.

    Пример 6: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не плохо?

    Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

    Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

    Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

    Это помогает в отмене общих условий позже.

    • Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
    • Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
    • Избавьтесь от скобок в отношении свойства распределения.

    У вас должно получиться очень простое уравнение.

    Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

    • ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
    • В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

    Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

    • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL.2}.
    • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
    • Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
    • Переместите все константы вправо.
    • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

    Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

    Выражение каждого знаменателя в виде уникальной степени выражений

    Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

    • Выносим за скобки знаменатели.
    • Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

    Будьте осторожны со своими отменами.

    • У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
    • На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

    С каждым шагом это становится все проще!

    Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

    • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
    • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
    • Переместите все чистые числа вправо.
    • Вычтем обе стороны на 15.
    • Простое одношаговое уравнение.
    • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте вернуть значение в исходное уравнение для проверки.

    Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

    Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выраженности.

    Умножьте каждый уникальный член на наибольшую степень, чтобы определить ЖКД.

    • Полностью вынести за скобки знаменатели
    • Распределите найденный выше ЖК-дисплей по данному рациональному уравнению, чтобы исключить все знаменатели.
    • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

    Умножьте константы в скобки.

    • Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
    • Держите константы справа.
    • Складываем обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!

    Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Начнем с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем умножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    Итак, у нас есть

    • Полностью вынести за скобки знаменатели.
    • Распределите найденный выше ЖК-дисплей по рациональному уравнению, чтобы удалить все знаменатели.
    • Укажите константу в круглых скобках.
    • Критический этап : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю.2} — 5x + 4 = \ left ({x — 1} \ right) \ left ({x — 4} \ right). Вы можете проверить это методом FOIL.
    • Используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти x.

    Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.

    Опять же, всегда сверяйте решенные ответы с исходными уравнениями, чтобы убедиться, что они верны.

    Практика с рабочими листами

    Возможно, вас заинтересует:

    Сложение и вычитание рациональных выражений

    Умножение рациональных выражений

    Решение рациональных неравенств

    рациональных функций | Безграничная алгебра

    Введение в рациональные функции

    Рациональная функция — это такая функция, что [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], где [latex] Q (x) \ neq 0 [/ latex] ; область определения рациональной функции может быть вычислена.

    Цели обучения

    Описать рациональные функции, включая их области

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
    • Область [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех точек [latex] x [/ latex], знаменатель которых [latex] ] Q (x) [/ latex] не равно нулю.
    • Ограничения области рациональной функции можно определить, установив знаменатель равным нулю и решив. Значения [latex] x [/ latex], при которых знаменатель равен нулю, называются сингулярностями и не находятся в области определения функции.
    Ключевые термины
    • домен : набор всех входных значений ([latex] x [/ latex]), по которым определяется функция.
    • рациональная функция : любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).
    • особенностей : Значения [latex] x [/ latex], при которых рациональная функция не определена, для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю.
    • вертикальная асимптота : вертикальная прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко к бесконечности.
    • знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в дробной части (например, [латекс] 2 [/ латекс] в [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]).

    Рациональные функции

    Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций.Ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами.

    Любая функция одной переменной [latex] x [/ latex] называется рациональной функцией тогда и только тогда, когда она может быть записана в форме:

    [латекс] f (x) = \ dfrac {P (x)} {Q (x)} [/ латекс]

    , где [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] являются полиномиальными функциями от [латекса] x [/ латекса] и [латекса] Q (x) \ neq 0 [/ latex].

    Обратите внимание, что каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с [latex] Q (x) = 1 [/ latex].Функция, которую нельзя записать в виде многочлена, например [latex] f (x) = \ sin (x) [/ latex], не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.

    Постоянная функция, такая как [latex] f (x) = \ pi [/ latex], является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Обратите внимание, что сама функция рациональна, хотя значение [latex] f (x) [/ latex] иррационально для всех [latex] x [/ latex].

    Область рациональной функции

    Область определения рациональной функции [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех значений [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [латекс] Q (x) [/ латекс] не равен нулю.

    В качестве простого примера рассмотрим рациональную функцию [latex] y = \ frac {1} {x} [/ latex]. Домен состоит из всех значений [latex] x \ neq 0 [/ latex].

    Ограничения домена могут быть вычислены путем нахождения сингулярностей, которые представляют собой значения [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю. Рациональная функция не определена для таких значений [latex] x [/ latex], и эти значения исключаются из набора предметных областей функции.

    Факторизация числителя и знаменателя рациональной функции помогает выявить особенности алгебраических рациональных функций.2 [/ latex] должно быть равно [latex] -2 [/ latex]. Поскольку это условие не может быть удовлетворено действительным числом, область определения функции — все действительные числа.

    Асимптоты

    Рациональная функция может иметь не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и много возможных вертикальных асимптот; их можно рассчитать.

    Цели обучения

    Определите, когда асимптота рациональной функции будет горизонтальной, наклонной или вертикальной

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Асимптота кривой — это линия, расстояние между которой и кривой приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.
    • Существует три вида асимптот: горизонтальная, вертикальная и наклонная.
    • Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.
    • Вертикальные асимптоты встречаются в особенностях рациональной функции или точках, в которых функция не определена. Они возникают только в сингулярностях, где соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после отмены.
    • Существование горизонтальной или наклонной асимптоты зависит от степеней полиномов в числителе и знаменателе
      .
    Ключевые термины
    • асимптота : прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
    • наклонный : Непрямой или перпендикулярный; ни параллельно, ни под прямым углом к ​​основанию; косой; склонен.
    • рациональная функция : любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).

    Типы асимптот

    В аналитической геометрии асимптота кривой — это такая линия, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.

    Существует три вида асимптоты: горизонтальная , вертикальная и наклонная . Горизонтальные асимптоты кривых — это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, поскольку [latex] x [/ latex] стремится к [latex] + \ infty [/ latex] или [latex] — \ infty [/ latex]. Горизонтальные асимптоты параллельны оси [latex] x [/ latex].

    Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Они параллельны оси [латекс] y [/ латекс].

    Асимптота, которая не является ни горизонтальной, ни вертикальной, называется наклонной (или наклонной) асимптотой. Это диагональные линии, так что разница между кривой и линией приближается к [латексу] 0 [/ латексу], поскольку [латекс] x [/ латекс] стремится к [латексу] + \ infty [/ latex] или [латексу] — \ инфты [/ латекс].

    Каждый тип асимптоты показан на графике ниже.

    График с асимптотами: График функции с горизонтальной ([latex] y = 0 [/ latex]), вертикальной ([latex] x = 0 [/ latex]) и наклонной асимптотой (синяя линия).

    Пример 1

    Рассмотрим график уравнения [latex] f (x) = \ frac {1} {x} [/ latex], показанный ниже. Координаты точек на кривой имеют вид [latex] (x, \ frac {1} {x}) [/ latex], где [latex] x [/ latex] — это число, отличное от 0.

    График [latex] f (x) = 1 / x [/ latex]: Обе оси [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются асимптотами.

    Обратите внимание, что по мере того, как положительные значения [latex] x [/ latex] становятся все больше и больше, соответствующие значения [latex] y [/ latex] становятся бесконечно малыми.Однако независимо от того, насколько большим становится [латекс] x [/ latex], [latex] \ frac {1} {x} [/ latex] никогда не бывает [latex] 0 [/ latex], поэтому кривая никогда не касается [ латекс] х [/ латекс] -ось. Ось [latex] x [/ latex] — это горизонтальная асимптота кривой.

    Аналогичным образом, когда положительные значения [латекс] x [/ латекс] становятся все меньше и меньше, соответствующие значения [латекс] y [/ латекс] становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к оси [латекс] y [/ латекс].[Latex] y [/ latex] -ось — это вертикальная асимптота кривой.

    Асимптоты рациональных функций

    Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.

    Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю. Другими словами, вертикальные асимптоты возникают в особенностях или точках, в которых рациональная функция не определена. Вертикальные асимптоты возникают только в сингулярностях, когда соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после сокращения.

    Например, рассмотрим функцию:

    [латекс] f (x) = \ dfrac {(x-1) (x + 2)} {(x-1) (x + 1)} [/ latex]

    Из линейных множителей в знаменателе можно определить, что существуют две особенности: [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Однако линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется коэффициентом в числителе. Таким образом, единственная вертикальная асимптота для этой функции — [latex] x = -1 [/ latex].

    Степень числителя и степень знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты.

    Существование горизонтальной асимптоты зависит от степени полинома в числителе ([латекс] n [/ латекс]) и степени полинома в знаменателе ([латекс] m [/ латекс]). Возможны три случая:

    1. Если [latex] n> m [/ latex], то горизонтальной асимптоты нет (Однако, если [latex] n = m + 1 [/ latex], то наклонная асимптота существует).
    2. Если [latex] n
    3. Если [латекс] n = m [/ latex], тогда существует горизонтальная асимптота и уравнение:

    [latex] \ quad \ quad y = \ frac {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в числителе}} {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в знаменателе}} [/ latex]

    Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу больше знаменателя, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту.2 (x + 1)} [/ латекс].

    Обратите внимание, что, исходя из линейных множителей в знаменателе, сингулярности существуют при [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Также обратите внимание, что один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется с числителем. Однако один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ латекс] остается в знаменателе, потому что он возведен в квадрат. Следовательно, существует вертикальная асимптота при [latex] x = 1 [/ latex]. Линейный коэффициент [латекс] (x + 1) [/ latex] также не отменяет; таким образом, вертикальная асимптота также существует при [latex] x = -1 [/ latex].2 + 16} [/ латекс].

    Поскольку многочлены в числителе и знаменателе имеют одинаковую степень ([latex] 2 [/ latex]), мы можем определить, что существует одна горизонтальная асимптота и нет наклонной асимптоты.

    Коэффициент при наивысшей мощности члена равен [латекс] 2 [/ латекс] в числителе и [латекс] 1 [/ латекс] в знаменателе. Следовательно, горизонтальная асимптота имеет вид:

    [латекс] y = \ frac {2} {1} = 2 [/ латекс]

    Решение задач с помощью рациональных функций

    [latex] x [/ latex] -перехваты рациональных функций находят, устанавливая полином в числителе равным [latex] 0 [/ latex] и решая для [latex] x [/ latex].

    Цели обучения

    Используйте числитель рациональной функции, чтобы найти ее нули

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Перехваты [latex] x [/ latex] (также известные как нули или корни) функции — это точки, где график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.
    • Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .
    • Для рациональных функций существуют перехватчики [latex] x [/ latex], когда числитель равен [latex] 0 [/ latex]. Для [латекса] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], если [latex] P (x) = 0 [/ latex], то [latex] f (x ) = 0 [/ латекс].
    Ключевые термины
    • знаменатель : Число или выражение, записанное под линией в виде дроби (например, [латекс] 2 [/ латекс] в [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]). 2 — x — 1} [/ латекс]

      Рациональные функции можно изобразить на координатной плоскости.Мы можем использовать алгебраические методы для вычисления их [latex] x [/ latex] -перехватов (также известных как нули или корни), то есть точек, где график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.

      Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .

      В случае рациональных функций, перехватчики [latex] x [/ latex] существуют, когда числитель равен [latex] 0 [/ latex].2 — 3x + 2 \\ & = (x — 1) (x — 2) \ end {align} [/ latex]

      Решения для этого многочлена: [latex] x = 1 [/ latex] или [latex] x = 2 [/ latex]. Это означает, что эта функция имеет [latex] x [/ latex] -перехваты в [latex] 1 [/ latex] и [latex] 2 [/ latex].

      Пример 2

      Найдите [latex] x [/ latex] -перехваты функции:

      [латекс] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ латекс]

      Здесь числитель является константой, поэтому его нельзя установить равным [латекс] 0 [/ латекс].2 — 10} [/ latex]: [latex] x [/ latex] -перехватов существуют в [latex] x = — \ sqrt {2}, 0, \ sqrt {2} [/ latex].

      Упрощение, умножение и деление рациональных выражений

      Рациональное выражение можно рассматривать как дробь, и им можно управлять с помощью умножения и деления.

      Цели обучения

      Практика упрощения, умножения и деления рациональных выражений

      Основные выводы

      Ключевые моменты
      • Рациональное выражение — это частное двух многочленов, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
      • Рациональные выражения часто можно упростить, удалив термины, которые можно вычесть из числителя и знаменателя. Это могут быть числа или функции [latex] x [/ latex].
      • Рациональные выражения можно перемножать. Числители каждого умножаются вместе, а также их знаменатели. Иногда можно упростить получившуюся дробь.
      • Рациональные выражения можно разделить друг на друга. Это соответствует правилам деления дробей, где дивиденд умножается на обратную величину делителя. 0 [/ latex].Важно отметить, что поскольку все показатели положительные, невозможно разделить на [латекс] х [/ латекс].

      Рациональное выражение — это дробь, содержащая многочлены, где многочлен в знаменателе не равен нулю. Как и дробь, состоящая из чисел, рациональное выражение можно упрощать, умножать и делить. Правила выполнения этих операций часто отражают правила упрощения, умножения и деления дробей. Выполнение этих операций с рациональными выражениями часто включает в себя выведение полиномиальных выражений из числителя и знаменателя.2 + 5x + 2} [/ латекс]

      Это выражение необходимо сначала разложить на множители, чтобы получить выражение

      [латекс] \ displaystyle \ frac {(x + 2) (x + 3)} {(2x + 1) (x + 2)} [/ латекс]

      , что после исключения общего множителя [латекс] (x + 2) [/ latex] из числителя и знаменателя дает упрощенное выражение

      [латекс] \ displaystyle \ frac {x + 3} {2x + 1} [/ латекс]

      Умножение рациональных выражений

      Рациональные выражения можно умножать и делить аналогично дробям. 2 + x — 2} [/ латекс]

      Выражение не подлежит дальнейшему упрощению.

      Неполные дроби

      Частичное разложение на дробь — это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции.

      Цели обучения

      Практика разбиения рациональной функции на частичные дроби

      Основные выводы

      Ключевые моменты
      • Частичное дробное разложение — это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции, и включает в себя разделение одного отношения на несколько более простых соотношений.С математической точки зрения, дробное разложение превращает функцию вида [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [ / latex] оба многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex], где [latex] g_ {j} (x) [/ latex] — многочлены, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex].
      • Основная мотивация разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. 3 -7x -6} = \ frac {1} {x + 2} + \ frac {3} {x-3} + \ гидроразрыв {4} {x + 1} [/ латекс]

        С математической точки зрения, расширение частичной дроби используется для изменения рациональной функции в форме [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] — многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex].Знаменатели членов этого суммирования, [латекс] g_ {j} (x) [/ latex], являются многочленами, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex], и, как правило, имеют более низкую степень.

        Основная мотивация разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. Сокращение сложных математических задач с помощью частичной декомпозиции дроби позволяет нам сосредоточиться на вычислении каждого отдельного элемента разложения, а не на более сложной рациональной функции.

        Шаги к разложению рациональной функции

        Допустим, у нас есть рациональная функция [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где степень числителя меньше степени знаменателя. Предположим, [latex] R (x) [/ latex] имеет знаменатель, который учитывается в других выражениях, например [latex] g (x) = P (x) \ cdot Q (x) [/ latex], и что нет повторяющиеся корни.

        Первый шаг к разложению функции [латекс] R (x) [/ latex] — разложить ее знаменатель на множители:

        [латекс] \ Displaystyle R (x) = \ frac {f (x)} {(x — a_1) (x — a_2) \ cdots (x — a_p)} [/ латекс]

        где [латекс] a_1,…, a_p [/ latex] — корни [латекса] g (x) [/ latex].

        Тогда мы можем записать [латекс] R (x) [/ latex] как сумму частичных дробей:

        [латекс] R (x) = \ frac {c_1} {(x — a_1)} + \ frac {c_2} {(x — a_2)} + \ cdots + \ frac {c_p} {(x — a_p)} [/ латекс]

        где [латекс] c_1,…, c_p [/ latex] — константы.

        Чтобы завершить процесс, мы должны определить значения этих коэффициентов [latex] c_i [/ ​​latex]. Чтобы найти коэффициент, умножьте связанный с ним знаменатель на рациональную функцию [латекс] R (x) [/ latex]:

        [латекс] c_i = (x — a_i) R (x) [/ латекс]

        Это даст выражение со значением [latex] x [/ latex].2 (x + 3)} [/ latex], для которого [latex] x = 1 [/ latex] является повторяющимся корнем), необходимо предпринять дополнительные шаги для разложения функции.

      • Для рациональной функции [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], если степень [latex] f (x) [/ latex] больше, чем или равна степени [latex] g (x) [/ latex], функция не может быть разложена прямым способом. Необходимо выполнить евклидово деление [латекса] f [/ latex] на [latex] g [/ latex] с использованием полиномиального деления в столбик, в результате чего [latex] f (x) = E (X) g (x) + h (x) [/ латекс].Разделив на [латекс] g (x) [/ latex], получим [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} = E (x) + \ frac {h (x)} {g (x )} [/ latex], который затем можно выполнить разложение на [latex] \ frac {h (x)} {g (x)} [/ latex].

      Как найти решение рационального уравнения с помощью LCD

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *