Решение неравенств методом интервалов 10 класс самостоятельная работа: Самостоятельная работа № 10 по математике (решение неравенств методом интервалов) для 9 класса от Шестакова А.П. в 2017 году

Содержание

Решение неравенств методом интервалов, 9 класс

1. Решение неравенств методом интервалов 9 класс Ю.Н.Макарычев ,Н.Г.Миндюк учитель математики :Булгакова Т.Д. МКОУ «БАБЯКОВСКАЯ

СОШ № 2»

2. Равносильные преобразования неравенств.

Правило 1. Любой член неравенства можно
перенести из одной части неравенства в
другую с противоположным знаком, не
меняя при этом знак неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно и то же
положительное число, не меняя при этом
знак неравенства.

3. Основные правила решения неравенств.

Правило 3. Обе части
неравенства можно умножить
или разделить на одно и то же
отрицательное число, изменив
при этом знак неравенства на
противоположный
Решаем неравенства:
1.
7 x 4 4x 8
7 x 4x 8 4
3x 12
x 4
-4
Ответ:
х
; 4

5. 5х + 3(2х – 1)>13х — 1

2.
5х + 3(2х – 1)>13х — 1
Решение: 5х + 6х – 3 >13х – 1
5х + 6х – 13х > 3 – 1
-2х > 2 (: (-2))
х
-1
\\\\\\\\\\\\\\\\\
Ответ: (-∞; -1)
x

6. Решение квадратных неравенств методом интервалов.

1. Разложить квадратный трехчлен на
множители, воспользовавшись формулой
ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2).
2. Отметить на числовой прямой корни
квадратного трехчлена.
3. Определить на каких промежутках
трехчлен имеет положительный или
отрицательный знак.
4. Учитывая знак неравенства, включить
нужные промежутки в ответ.

7. Решение неравенств

2. Решить квадратное неравенство:
а) х2>16
х2-16>0
(х-4)(х+4)>0
Ответ:(-∞;-4)U(4;+∞)
б) х2+5>0
Ответ: верно при
любом значении Х.
в) х2+ 5
Ответ: не имеет
решений.

8. Решение неравенств

Решить квадратное неравенство:
2 способ (метод интервалов): х2+6х+8
Рассмотрим функцию у = х2+6х+8
Нули функции
х2+6х+8=0
х1=-4; х2=-2
(x+4)(x+2)
Ответ: -4
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
Решите неравенства методом
интервалов:
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
а) (2 x 5)( x 3) 0;
–
+
-3
Ответ:
а) (5x 2)( x 4) 0;
+
x
2,5
; 3 2,5; .
б) 4 x 2 4 x 3 0.
–

+
-3/2
3 1
Ответ: ;
2 2
-4
+
x
0,4
Ответ: 4;0,4
б) 9 x 2 3x 2 0.
+
1/2
–
+
–
+
x
-2/3
+
1/3
2
Ответ: ;
3
x
1
3 ; .
Решим неравенство
x 5 x 2 x x 1 x 3 0.
6
3
2
1
5
Если в разложении многочлена на множители входит
k
сомножитель x x0 , то говорят, что — х0 корень
многочлена кратности k.
1) Данный многочлен имеет корни:
x = -5, кратности 6;
x = -2, кратности 3;
x = 1, кратности 2;
x = 3, кратности 5.
x = 0, кратности 1;
2) Нанесем эти корни на числовую ось.
–
!
–
+
–
!
–
+
3) Определим знак многочлена на каждом интервале. Теперь легко
ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена
неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:
4) Запишем ответ:
x 5
2;0 1 3; .
Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:
Для решения неравенства важно
знать, является ли k четным или
нечетным числом
При четном k многочлен справа и
слева от х0 имеет один и тот же
знак (знак многочлена не меняется)
При нечетном k многочлен справа и
слева от х0 имеет противоположные
знаки (знак многочлена изменяется)
Решите неравенство
1 вариант:
x 3 x 2 x 7 x 10 0.
4
5
2
2 вариант:
x 9 x 2 x 6 x 1 0.
2
5
3
Сделайте выводы о смене знака
на интервалах, в зависимости от
степени кратности корня.

14. Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

f ( x)
0
1. Привести данное неравенство к виду
g ( x)
2. Разложить числитель и знаменатель дроби на
множители;
3. Нанести на числовую ось числа, при которых каждый
множитель равен нулю и разделить числовую ось на
промежутки;
4.Изобразить выбитыми те точки, которые не являются
решением неравенства;
5. Выяснить знаки промежутков;

6. Выбрать ответ.

15. Самостоятельная работа. Решить неравенства:

1 вариант
• а)5х+4
• б)х2+ 3х-4≥ 0
• в)(х+5)(х-7)
• г)(х-1)2(2х-1)(х+2)≤ 0
• д)
2 вариант
а)7х-11≥ 10х-8
б)х2-5х-36
в)(х+1)(х-4)>0
г)(х-2)2(5х+4)(х-7)≥0
д)
(x 2)(x 3) 0
x 5
x 8 0
(x 2)(x 7)

16. Проверь себя:

• 1 Вариант
1. х>4
2. x≤-4; x≥1
3. -5
4. -2
5. -3≤x≤-2; x>5
2 Вариант
1. x≤-3
2. -4
3. x≤-0,8; x≥4
4. x≤-0,8; x≥7; {2}
5. x≤-8: -2
Самостоятельная работа
Решите неравенства методом
интервалов:
Вариант 2.
Вариант 1.
а) (2х-5)(х+3)≥0
б) 4х2+4х-3
в) (х-3)(х+1)
≤0
х
а) (5х-2)(х+4)
б) 9х2+3х-2≥0
в) (х+2)(х-4)
≤0
х
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
а) (2 x 5)( x 3) 0;
+
–
-3
Ответ:
а) (5x 2)( x 4) 0;
+
+
x
2,5
; 3 2,5; .
б) 4 x 2 4 x 3 0.
+
–
-3/2
3 1
Ответ: ;
2 2
-4
Ответ:
+
x
0,4
4;0,4
б) 9 x 2 3x 2 0.
+
1/2
–
+
x
–
-2/3
+
1/3
2
Ответ: ;
3
x
1
3 ; .

19. Проверь своё решение

Вариант 1.
Вариант 2.
в) (х-3)(х+1)
в) (х+2)(х-4) ≤0
≤0
х
х
ОДЗ: х≠0
ОДЗ: х≠0
— +
+
— +
+
-1
0
3
-2
0
4
Ответ: (-∞;-1]U(0;3] Ответ: (-∞;-2]U(0;4]
Итог урока: проверка с.р
Домашняя работа :параграф 15 , контрольные вопросы № 326(в,г),№330(а,б),№332

Решение неравенств методом интервалов, конспект урока алгебры 9 класс

-Как можно решить данное уравнение?

-Проговорите, пожалуйста, решение.

-Молодцы, что мы делаем на третьем шаге

-Точки будут закрашенные или выколотые и почему?

-Дальше что делам?

-Промежутки с какими знаками запишем в ответ и почему?

-Числа -4 и 2 включаем или нет?

-Правильно, молодцы, продиктуйте ответ.

-У кого есть вопросы по решению данного неравенства?

-Следующее неравенство

(слайд 4)

(x-2)(x+3) 0

Цель задания: подготовить учащихся к изучению новой темы – вспомнить разложение квадратного трехчлена на множители

-Как можно решить данное неравенство?

— Правильно, решаем.

-Записываем квадратичную функцию

1) y= x²+x-6,

—Что про неё можно сказать?

-Ребята, обратите внимание на подчеркнутые выражения, что мы с вами получили?

— Значит, что можно сразу найти?

-Записываем квадратное уравнение и его корни

2) x²+x-6=0

^{x₁=2, x₂=-3}

-Дорешайте самостоятельно это неравенство

Какой ответ получили?

— Давайте проверим (на слайде появляется решение неравенства)

3. Выявление места и причины затруднения.

А теперь решим следующее неравенство

(слайд 5)

(x-2)(x-3)(х-4) ˃0

Цель задания: показать актуальность изучения новой темы путем создания проблемной ситуации.

— Ребята, сможем ли мы решить данное неравенство предыдущим способом?

— Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?

— Действительно, данное неравенство можно решить методом интервалов, наиболее удобным и универсальным способом решения любых неравенств.

— Сформулируйте тему нашего урока

4. Постановка учебной задачи (4-5 мин).

Цели для учителя:

-создание условий для постановки учебной задачи.

Для учащихся:

-выявление места и причины затруднения, постановка цели урока

-Что нужно сделать, чтобы преодолеть возникшее затруднение?

— Какая же будет цель нашей деятельности на уроке сегодня?

Цель урока: выработать алгоритм решения неравенств методом интервалов и рассмотреть его применение на примерах.

5. «Открытие» учащимися нового знания. (7-8 мин).

Цели для учащихся:

-выбор способа решения учебной задачи;

-выдвижение и обоснование гипотезы.

Для учителя:

— фиксирование в речи и знаково нового способа действий.

— Для того чтобы решить данное неравенство, мы с вами, как и в предыдущих случаях, должны решить соответствующее уравнение

(слайд 7)

1.(х-2)(х-3)(х-4)=0

-Как решается данное уравнение ?

3. Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки, назовите их

4. Заполняем таблицу, где указываем знак каждого множителя выражения на рассматриваемых промежутках. Для этого из каждого промежутка берем произвольное число, и подставляем в множитель. Знак полученного числа заносим в таблицу

5.Далее на числовой оси расставляем знаки многочлена

( произведение знаков трех множителей на каждом промежутке)

6. Так как знак неравенства « », то выбираем промежутки со знаком «+ », если бы был знак неравенства «

Ответом будет объединение этих промежутков

-С помощью данного метода можно решить неравенство любой степени, в том числе и второй, которые мы с вами решали с помощью схематического построения параболы.

— У вас на столах лежат памятки, которые вы вклеите в свои тетрадки для теории.

В этой памятке приведен алгоритм решения неравенств с помощью метода интервалов в общем виде.

-Давайте с вами прочитаем этот алгоритм

(Слайд 8)

Физкультминутка

— Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы

-выколотые, потому что знак неравенства строгий

+ — +

-4 2 Х

— Расставляем знаки на промежутках

— Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак

-Нет, потому что знак неравенства строгий

-Ответ:

(задают, если есть, вопросы)

« Круг идей»

— ученики выдвигают гипотезы

-если мы раскроем скобки, то получим квадратное неравенство и решим его, аналогично предыдущему примеру.

(у доски решает один ученик)

—(x-2)(x+3)= x²+3x-2x-6= x²+x-6

— её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх

— Разложение квадратного трехчлена на множители

-Корни квадратного уравнения

(записывают решение неравенства в тетради)

(зачитывают свой ответ)

(самопроверка)

-нет,

-потому, что после раскрытия скобок мы получаем неравенство третьей степени, а мы умеем решать только линейные и квадратичные.

« Решение неравенств методом интервалов»

— изучить метод интервалов и научиться применять его для решения неравенств.

— выработать ( сформулировать) алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя и работают с карточками « Заполни пропуски»

x-2=0 x-3=0 x-4=0

x=2 x=3 x=4

(-;2) (2;3) (3;4) (4;+)

(-;2)

(2;3)

(3;4)

(4;+)

x-2

x-3

x-4

—

+ 3

— _ + X

Ответ: (2;3)(4;+)

Читают алгоритм

Ответы на КР-2 Решение квадратных неравенств. Алгебра 9 (угл) ГДЗ

ГДЗ Алгебра 9 класс. Контрольная работа КР-2 Решение квадратных неравенств для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + Решения и ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 9 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Контрольная работа № 2 по алгебре в 9 классе (угл.)

КР-2 Решение квадратных неравенств
Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки

OCR-версия (транскрипт, фрагмент)

Контрольная работа № 2. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки. Вариант 1.

1. Решите неравенство: 1) 9х2 — 10х + 1 > 0; 2) 16х2 — 8х + 1 ≤ 0; 3) -3х2 + 2х — 7 < 0.
2. Найдите область определения функции
3. Решите систему неравенств
4. Решите неравенство: 1) (х + 11)(х — 3)(х + 4) < 0; 2) (х + 1)(5 — х)(х + 4)2 ≥ 0
5. Решите неравенство:
6. При каких значениях параметра а все корни уравнения х2 — 4ах + 4а2 — а — 10 = 0 меньше 1?

ОТВЕТЫ на Контрольную № 2. ВАРИАНТ

ОТВЕТЫ на Контрольную № 2.

ВАРИАНТ 2.

ГДЗ Алгебра 9 класс. Контрольная работа № 2 «Решение квадратных неравенств» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + Решения и ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 9 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных работ для УМК Мерзляк, Поляков (угл.)

Метод интервалов (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Что такое интервал?

Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Рисуем ось $ X$, на ней располагается весь числовой ряд от $ -\infty $ и до $ +\infty $. На ось наносятся точки, те самые так называемые

нули функции, значения, при которых выражение равняется нулю.

Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве $ >$, а не $\ge$, то есть строго больше, а не больше или равно.

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

Теперь просто…

Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Короче, просто берем $ -2$ например, подставляем его сюда $ (x+1)\cdot ({x}-2)$, получится $ 4$, а $ 4>0$.

Значит на всем промежутке (на всем интервале) от $ -\infty $ до $ -1$, из которого мы брали $ -2$, неравенство будет справедливо.

Иными словами если икс от $ -\infty $ до $ -1$, то неравенство верно.

То же самое делаем и с интервалом от $ -1$ до $ 2$, берем $ 0$ или $ 1$, например, подставляем в $ (x+1)\cdot ({x}-2)$, определяем знак, знак будет «минус». И так же делаем с последим, третьим интервалом от $ 2$ до $ +\infty $, где знак получится «плюс».

Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство $ (x+1)\cdot ({x}-2)>0$.

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

Правильно, от $ -\infty $ до $ -1$ неравенство будет справедливо и от $ 2$ до $ +\infty $.

А на промежутке от $ -1$ до $ 2$ неравенство $ <$ нуля и нас этот промежуток мало интересует, ведь у нас в неравенстве знак $ >$ стоит.2- 6x + 8$.

Найдите значение переменной, при котором $f(x)

Ответы на самостоятельную работу №3 на тему: «Рациональные неравенства»

Самостоятельная работа №4. «Множества и операции над ними»

1. Дано множество {-3; -1; 0; 6; 8; 12}. Составьте его подмножество, которое состоит из натуральных чисел.
2. Задано множество двузначных чисел А, которое кратно числу 15 и ещё одно множество двузначных чисел В, которое кратно числу 20. Найдите пересечение и объединение данных множеств.
3. Множество А задано как А={ x | x + 2 > -3}, а множество В задано как В = { x | 12 — 3x > 0}. Найдите пересечение данных множеств.

Ответы на самостоятельную работу №4 на тему: «Множества и операции над ними»

Ответы на самостоятельную работу №1 на тему: «Линейные и квадратные неравенства»

Вариант I.
1. а) $x 2. $(-∞;4/3]∪[3;+∞)$.

Вариант II.
1. а) $x>\frac{17}{3}$; б) множество действительных чисел; в) $-2≤x≤10$.
2. $[-9;-8]$.

Ответы на самостоятельную работу №2 на тему: «Рациональные неравенства»

Вариант I.
1. а) $(-∞;-4)U(2;+∞)$; б) $(-∞;0]U[64;+∞)$; в) $(-∞;1/2)U(4;+∞)$.
2. $(-∞;(1-√17)/2]∪[(1+√17)/2;+∞)$.

Вариант II.
1. а) $(-∞;-5]U[3;+∞)$; б) $(-∞;0]U[36;+∞)$; в) $(-∞;-√62]∪[√62;+∞)$.
2) $(-∞;-6]U[6;+∞)$.

Ответы на самостоятельную работу №3 на тему: «Рациональные неравенства»

Вариант I.
1. а) $(-∞;-3]U[-2;0]U[4;+∞)$; б) $[-4;3]U[6;+∞)$; в) $(-∞;0.5]U[4;+∞)$.
2) При любых Х .

Вариант II.
1. а) $(-8;-3)U(1;+∞)$; б) $[-7;-5]U[-4;+∞)$; в) $(-7;0)U(0;0.8)$.

2) При любых Х.

Ответы на самостоятельную работу №4 на тему: «Множества и операции над ними»

1. $\lbrace6;8;12\rbrace$.
2. $A∩B=\lbrace60\rbrace$.
3. $(-5;4)$.

Самостоятельная работа № 4.5 на тему: «Решение дробных рациональных неравенств с параметром методом интервалов»

Название работы: Самостоятельная работа № 4.5 на тему: «Решение дробных рациональных неравенств с параметром методом интервалов»
Автор: Харбих Т.С., учитель математики МОУ «Оболенская СОШ»
Год и место создания работы: 2012г., гор. Москва
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]

Содержание

Раздаточный материал.. с. 2
Задания с ответами…. с. 3
Решение заданий варианта 4.5.1…… с. 12

Решение заданий варианта 4.5.5…… с. 15

Раздаточный материал:
С-4.5. Решение дробных рациональных неравенств методом интервалов

4.5.1
4.5.5

4.5.2
4.5.6

4.5.3
4.5.7

4.5.4
4.5.8

Задания с ответами:
4.5.1

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·15

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Решение заданий варианта 4.5.1:
1. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

2. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 неравенство не имеет смысла;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

3. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.
Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

4. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.
Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

5. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.
Ответ: при 13 QUOTE 1415 неравенство не имеет смысла;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
6. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Решение заданий варианта 4.5.5:
1. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
·
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 нет решений;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 неравенство не имеет смысла;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

3. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.
Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

4. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

5. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415.

Ответ: при 13 QUOTE 1415 неравенство не имеет смысла;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415;
при 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
6. Решить неравенство с параметром 13 QUOTE 1415.
Решение:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

13 PAGE \* MERGEFORMAT 141015

Заголовок 2Заголовок 3Заголовок 7Заголовок 815

Приложенные файлы

file135
Размер файла: 5 MB Загрузок: 21

Решение Неравенств через Метод Интервалов

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

a, b, c — числа,

при этом а ≠ 0.

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

графический метод;

метод интервалов.2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.

Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:

Найти нули квадратного трехчлена ax^2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.
Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.
В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.
Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.

Выбрать необходимые интервалы и записать ответ.2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм.2 — 5x + 6 ≥ 0.

Как решаем:

Разложим квадратный трехчлен на множители.
Неравенство примет вид:
(х — 3) * (х — 2) ≥ 0

Проанализируем два сомножителя:

Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Построим чертеж.

Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.
х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:
(-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12
12 > 0
Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.
Отобразим эти данные на чертеже:

2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.
Подставляем:
- (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0
Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:

х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
Подставляем:
- (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
(x — 3) * (x + 3/2) > 0.
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

Ответ: -3 < x < -2.

Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

Как решаем:

Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:

Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:

Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).
Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:
Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

2.5 Решение линейных неравенств — промежуточная алгебра 2e

Задачи обучения

К концу этого раздела вы сможете:

График неравенств на числовой прямой
Решите линейные неравенства
Переведите слова в неравенство и решите
Решите приложения с линейными неравенствами

Будьте готовы 2.13

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Перевести с алгебры на английский: 15> x.15> х.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.3.

Будьте готовы 2.14

Переведите в алгебраическое выражение: 15 меньше x .
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.8.

Неравенства в графике на числовой прямой

Какое число сделало бы неравенство x> 3x> 3 истинным? Вы думаете: « x может быть четыре»? Это верно, но x тоже может быть 6, 37 или даже 3,001. Любое число больше трех является решением неравенства x> 3.х> 3.

Мы показываем все решения неравенства x> 3x> 3 на числовой прямой, закрашивая все числа справа от трех, чтобы показать, что все числа больше трех являются решениями. Поскольку число три само по себе не является решением, мы заключили тройку в открывающую скобку.

Мы также можем представить неравенства, используя обозначение интервала . У решения этого неравенства нет верхнего предела. В обозначениях интервалов мы выразим x> 3x> 3 как (3, ∞). (3, ∞).Символ ∞∞ читается как « бесконечность ». Это не настоящее число.

На рис. 2.2 показаны числовая линия и интервал.

Рис. 2.2 Неравенство x> 3x> 3 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальных обозначениях.

Мы используем символ левой круглой скобки (, чтобы показать, что конечная точка неравенства не включена. Символ левой скобки, [, показывает, что конечная точка включена.

Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны единице.Здесь нам нужно показать, что это тоже решение. Мы делаем это, помещая скобку в x = 1.x = 1. Затем мы закрашиваем все числа слева от единицы, чтобы показать, что все числа меньше единицы являются решениями. См. Рисунок 2.3.

У этих чисел нет нижнего предела. Мы пишем x≤1x≤1 в обозначении интервалов как (−∞, 1]. (- ∞, 1]. Символ −∞ − ∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рисунке 2.3 показаны как числовая строка, так и обозначение интервала.

Рис. 2.3 На этой числовой прямой изображено неравенство x≤1x≤1 и записано в интервальной записи.

Неравенства, числовые линии и обозначение интервалов

В обозначениях неравенств на числовой прямой и в обозначениях интервалов используются одни и те же символы для обозначения конечных точек интервалов.

Пример 2.48

Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации.

Попробуйте 2.95

Отобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x> 2x> 2 ⓑ x≤ − 1.5x≤ − 1,5 ⓒ x≥34.x≥34.

Попробуйте 2.96

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x≤ − 4x≤ − 4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x <−23.x <−23.

Какие числа больше двух, но меньше пяти? Вы думаете, скажем, 2,5,3,323,4,4,99? 2,5,3,323,4,4,99? Мы можем представить все числа от двух до пяти с помощью неравенства 2

Рисунок 2.4

Пример 2.49

Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации.

ⓐ −3

Попробуйте 2.97

Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации:

ⓐ −2

Попробуйте 2.98

Отобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервальной нотации:

ⓐ −6

Решите линейные неравенства

Линейное неравенство во многом похоже на линейное уравнение, но знак равенства заменен знаком неравенства. Линейное неравенство — это неравенство с одной переменной, которое может быть записано в одной из форм: ax + b c , ax + b> c или ax + b≥c.топор + b≥c.

Линейное неравенство

Линейное неравенство — это неравенство в одной переменной, которое может быть записано в одной из следующих форм, где a , b и c — действительные числа, а a ≠ 0a ≠ 0:

ax + b c, ax + b≥c.ax + b c, ax + b≥c.

Когда мы решали линейные уравнения, мы могли использовать свойства равенства, чтобы складывать, вычитать, умножать или делить обе части и при этом сохранять равенство. Аналогичные свойства верны и для неравенств.

Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство. Например:

Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним.

Это приводит нас к свойствам сложения и вычитания неравенства.

Свойство неравенства сложения и вычитания

Для любых чисел a , b и c, , если a a + c Для любых чисел a , b и c, если a> b, то a> b, то

a + c> b + ca − c> b − ca + c> b + ca − c> b − c
Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство.
Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе части на константу?
Давайте сначала умножим и разделим обе части на положительное число.
Признаки неравенства остались прежними.
Неравенство сохраняется, когда мы делим или умножаем на отрицательное число?
Обратите внимание, что когда мы заполняли знаки неравенства, знаки неравенства меняли свое направление.
Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним.Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
Это дает нам свойство неравенства умножения и деления.
Свойство неравенства умножения и деления
Для любых номеров a , b и c ,
умножить или разделить на положительное значение, если a 0, затем ac bandc> 0, затем ac> bcandac> bc. умножить или разделить на отрицательное значение ifa bcandac> bc.ifa> bandc <0, thenac 0, thenac bandc> 0, thenac> bcandac> bc. умножить или разделить на отрицательныйifa bcandac> bc.ifa> bandc <0, тогда ac Когда мы делим или умножаем неравенство на , получаем :
Положительное число
, неравенство остается прежним.
отрицательное число, неравенство меняется на противоположное.
Иногда при решении неравенства, как в следующем примере, переменная заканчивается справа.Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы переменная оказалась слева.
x> a имеет то же значение, что и a a имеет то же значение, что и a Думайте об этом так: «Если Ксандер выше Энди, то Энди ниже Ксандера».
Пример 2.50
Решите каждое неравенство. Постройте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.
ⓐ x − 38≤34x − 38≤34 ⓑ 9y <549y <54 ⓒ −15 <35z − 15 <35z
Попробуйте 2.99
Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:
ⓐ p − 34≥16p − 34≥16 ⓑ 9c> 729c> 72 ⓒ 24≤38m24≤38m
Попробуй 2.100
Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:
ⓐ r − 13≤712r − 13≤712 ⓑ 12d≤ 6012d≤ 60 ⓒ −24 <43n − 24 <43n
Будьте осторожны при умножении или делении на отрицательное число — не забудьте перевернуть знак неравенства.
Пример 2.51
Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
ⓐ −13m≥65−13m≥65 ⓑ n − 2≥8n − 2≥8
Попробуй 2.101
Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:
ⓐ −8q <32−8q <32 ⓑ k − 12≤15.k − 12≤15.
Попробуйте 2.102
Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:
ⓐ −7r≤ −70−7r≤ −70 ⓑ u − 4≥ − 16.u − 4≥ − 16.
Для устранения большинства неравенств потребуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно обращаем особое внимание при умножении или делении, чтобы изолировать переменную.
Пример 2.52
Решите неравенство 6y≤11y + 17,6y≤11y + 17, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Попробуйте 2.103
Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 3q≥7q − 23.3q≥7q − 23.
Попробуйте 2.104
Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 6x <10x + 19.6x <10x + 19.
При решении неравенств обычно проще всего собрать переменные на той стороне, где коэффициент переменной наибольший. Это исключает отрицательные коэффициенты, и нам не нужно умножать или делить на отрицательные значения, а это означает, что нам не нужно помнить о том, чтобы поменять местами знак неравенства.
Пример 2.53
Решите неравенство 8p + 3 (p − 12)> 7p − 28,8p + 3 (p − 12)> 7p − 28, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Решение
8p + 3 (p − 12)> 7p − 288p + 3 (p − 12)> 7p − 28
Максимально упростите каждую сторону.
Распространить. 8p + 3p − 36> 7p − 288p + 3p − 36> 7p − 28
Объедините похожие термины. 11p-36> 7p-2811p-36> 7p-28
Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы собрать переменные
слева, поскольку 11> 7.11> 7. 11п − 36−7p> 7p − 28−7p11p − 36−7p> 7p − 28−7p
Упростить. 4p − 36> −284p − 36> −28
Добавьте 36 с обеих сторон, чтобы собрать константы
справа. 4p − 36 + 36> −28 + 364p − 36 + 36> −28 + 36
Упростить. 4p> 84p> 8
Разделим обе части неравенства на
4; неравенство остается прежним. 4p4> 844p4> 84
Упростить. p> 2p> 2
Изобразите решение на числовой прямой.
Запишите решение в интервальной записи. (2, ∞) (2, ∞)
Попробуйте 2.105
Решите неравенство 9y + 2 (y + 6)> 5y − 249y + 2 (y + 6)> 5y − 24, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Попробуйте 2.106
Решите неравенство 6u + 8 (u − 1)> 10u + 326u + 8 (u − 1)> 10u + 32, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Подобно тому, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые — противоречиями, неравенства могут быть тождествами или противоречиями. Мы узнаем эти формы, когда у нас остаются только константы при решении неравенства. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть личность. Если результатом является ложное утверждение, мы приходим к противоречию.
Пример 2.54
Решите неравенство 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Решение
Максимально упростите каждую сторону. 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x
Распространить. 8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x
Объедините похожие термины. 10x − 10 <10x + 36 10x − 10 <10x + 36
Вычтите 10 x с обеих сторон, чтобы собрать
переменных слева. 10x − 10−10x <10x + 36−10x10x − 10−10x <10x + 36−10x
Упростить. −10 <36−10 <36
Графики x исчезли, и у нас есть истинное утверждение
. Неравенство — это тождество.
Решение — все действительные числа.
Изобразите решение на числовой прямой.
Запишите решение в интервальной записи. (−∞, ∞) (- ∞, ∞)
Попробуйте 2.107
Решите неравенство 4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи.
Попробуйте 2.108
Решите неравенство 9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи.
Мы можем очистить дроби в неравенствах так же, как и в уравнениях.Опять же, будьте осторожны со знаками при умножении или делении на минус.
Пример 2.55
Решите неравенство 13a − 18a> 524a + 34,13a − 18a> 524a +34, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Попробуйте 2.109
Решите неравенство 14x − 112x> 16x + 7814x − 112x> 16x + 78, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Попробуйте 2.110
Решите неравенство 25z − 13z <115z −3525z − 13z <115z −35, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Переведите в неравенство и решите
Чтобы перевести английские предложения в выражения неравенства, нам нужно распознавать фразы, указывающие на неравенство. Некоторые слова просты, например «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны. В таблице 2.2 приведены некоторые общие фразы, указывающие на неравенство.
>> ≥ ≥ << ≤ ≤
больше

больше

больше

больше больше или равно

не менее

не менее

не менее меньше

меньше

меньше

меньше меньше или равно

максимум

не больше

максимум
Таблица 2.2
Пример 2.56
Перевести и решить. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Двадцать семь меньше xis не менее 48. Двадцать семь меньше xis не менее 48.
Попробуйте 2.111
Переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Девятнадцать меньше p не меньше 47.
Попробуйте 2.112
Перевести и решить.Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
Четыре больше чем максимум 15.
Решение приложений с линейными неравенствами
Многие жизненные ситуации требуют от нас решения проблемы неравенства. Метод, который мы будем использовать для решения приложений с линейными неравенствами, очень похож на тот, который мы использовали при решении приложений с помощью уравнений.
Мы прочитаем задачу и убедимся, что все слова понятны.Затем мы определим, что мы ищем, и назначим переменную для его представления. Мы сформулируем проблему в одном предложении, чтобы облегчить перевод в неравенство. Затем решим неравенство.
Иногда приложение требует, чтобы решением было целое число, но алгебраическое решение неравенства не является целым числом. В этом случае мы должны округлить алгебраическое решение до целого числа. Контекст приложения будет определять, округлять ли мы в большую или меньшую сторону.
Пример 2.57
Dawn выиграла мини-грант в размере 4000 долларов на покупку планшетных компьютеров для своего класса. Планшеты, которые она хотела бы купить, стоят 254,12 доллара каждый, включая налоги и доставку. Какое максимальное количество планшетов может купить Dawn?
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.

Шаг 2. Определите , что вы ищете. максимальное количество планшетов Dawn может купить
Шаг 3.Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Letn = количество таблеток Letn = количество таблеток.
Шаг 4. Переведите . Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. $ 254,12 умноженное на количество планшетов не более 4000 долларов.
Перевести в неравенство. 254,12n≤4000 254,12n≤4000
Шаг 5.Решите неравенство.
Но n должно быть целым числом таблеток, поэтому округлите до 15. н≤15,74н≤15н≤15,74н≤15
Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Округляя цену до 250 долларов, 15 планшетов будут стоить 3750 долларов, а 16 планшетов — 4000 долларов. Таким образом, максимум 15 планшетов по цене 254,12 доллара кажется разумным.
Шаг 7.Ответьте на вопрос полным предложением. Dawn можно купить максимум 15 таблеток.
Попробуйте 2.113
У Энджи есть 20 долларов, которые она может потратить на коробки из-под сока для дошкольного пикника сына. Каждая упаковка коробок для сока стоит 2,63 доллара. Какое максимальное количество пакетов она может купить?
Попробуйте 2.114
Дэниел хочет удивить свою девушку днём рождения в её любимом ресторане. Ужин будет стоить 42,75 доллара на человека, включая чаевые и налог.Его бюджет на вечеринку составляет 500 долларов. Какое максимальное количество людей может присутствовать на вечеринке Дэниел?
Пример 2.58
Тарифный план
для Талейши стоит 28,80 доллара в месяц плюс 0,20 доллара за текстовое сообщение. Сколько текстовых сообщений она может отправлять / получать, при этом ежемесячный счет за телефонные разговоры не превышает 50 долларов?
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество текстовых сообщений Талейша может составить
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Lett = количество текстовых сообщений Lett = количество текстовых сообщений.
Шаг 4. Переведите Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 28,80 доллара плюс 0,20 доллара, умноженное на количество текстовых сообщений, меньше или равно 50 долларам.
Перевести в неравенство. 28,80 + 0,20т≤50 28,80 + 0,20т≤50
Шаг 5. Решите неравенство. 0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений 0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений
Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50. Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50.
Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Талейша может отправлять / получать не более 106 текстовых сообщений, чтобы ее счет не превышал 50 долларов.
Попробуйте 2.115
У Серджио и Лизет очень ограниченный бюджет на отпуск. Они планируют арендовать автомобиль у компании, которая взимает 75 долларов в неделю плюс 0,25 доллара за милю. Сколько миль они могут проехать в течение недели, не выходя за рамки своего бюджета в 200 долларов?
Попробуйте 2.116
Счет за отопление
Rameen составляет 5,42 доллара в месяц плюс 1,08 доллара за терм.Сколько термосов может использовать Рамин, если он хочет, чтобы его счет за отопление составлял не более 87,50 долларов.
Прибыль — это деньги, которые остаются после вычета затрат из выручки. В следующем примере мы найдем количество работ, которые маленькая бизнес-леди должна выполнять каждый месяц, чтобы получать определенную прибыль.
Пример 2.59
Фелисити занимается каллиграфией. Она берет 2,50 доллара за приглашение на свадьбу. Ее ежемесячные расходы составляют 650 долларов. Сколько приглашений она должна написать, чтобы получать прибыль не менее 2800 долларов в месяц?
Решение
Шаг 1.Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество приглашений, которые нужно написать Фелисити
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для ее представления. Letj = количество приглашений Letj = количество приглашений.
Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 2,50 доллара США, умноженное на количество приглашений минус 650 долларов, составляет не менее 2800 долларов.
Перевести в неравенство. 2,50j-650≥2,8002,50j-650≥2,800
Шаг 5. Решите неравенство. 2,5j≥3,450j≥1,380 приглашений2,5j≥3,450j≥1,380привещаний
Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Если бы Фелисити написала 1400 приглашений, ее прибыль составила бы
2.50 (1400) — 650, или 2850 долларов. Это больше 2800 долларов.
Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Фелисити должна написать не менее 1380 приглашений.
Попробуйте 2.117
Калеб занимается присмотром за домашними животными. Он берет 32 доллара в час. Его ежемесячные расходы составляют 2272 доллара. Сколько часов он должен работать, чтобы получать прибыль не менее 800 долларов в месяц?
Попробуйте 2.118
Elliot занимается обслуживанием ландшафтов.Его ежемесячные расходы составляют 1100 долларов. Если он берет 60 долларов за каждую работу, сколько работ он должен сделать, чтобы получать прибыль не менее 4000 долларов в месяц?
Есть много ситуаций, когда несколько количеств вносят вклад в общие расходы. Когда мы решаем подобные проблемы, мы должны учитывать все индивидуальные расходы.
Пример 2.60
Малик планирует шестидневную поездку на летние каникулы. У него есть сбережения в размере 840 долларов, и он зарабатывает 45 долларов в час за репетиторство. Поездка обойдется ему в 525 долларов на авиабилеты, 780 долларов на еду и осмотр достопримечательностей и 95 долларов за ночь в отеле.Сколько часов он должен заниматься репетитором, чтобы хватило денег на поездку?
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.

Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество часов, которые Малик должен преподавать
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Leth = количество часов Leth = количество часов.
Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Расходы должны быть меньше или равны доходу. Стоимость авиабилета плюс стоимость еды и осмотра достопримечательностей, а также счет в отеле должны быть меньше суммы сбережений плюс сумма заработанного репетиторства.
Перевести в неравенство. 525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х
Шаг 5.Решите неравенство. 1,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥231,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥23
Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Подставляем 23 в неравенство.
1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875 1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875
Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос. Малик должен быть репетитором не менее 23 часов.
Попробуйте 2.119
У лучшей подруги Бренды свадьба по назначению, мероприятие продлится три дня. У Бренды 500 долларов сбережений, и она может зарабатывать 15 долларов в час за присмотром за детьми. Она рассчитывает заплатить 350 долларов за авиабилеты, 375 долларов за еду и развлечения и 60 долларов за ночь за свою долю гостиничного номера. Сколько часов она должна сидеть с ребенком, чтобы иметь достаточно денег, чтобы оплатить поездку?
Попробуйте 2.120
Хосуэ хочет отправиться в путешествие с друзьями на 10 ночей следующей весной.Ему будет стоить 180 долларов на бензин, 450 долларов на еду и 49 долларов за ночь в номере мотеля. У него 520 долларов сбережений, и он может заработать 30 долларов за уборку снега на проезжей части. Сколько проездов он должен прорыть, чтобы иметь достаточно денег, чтобы заплатить за поездку?
Раздел 2.5 Упражнения
Практика ведет к совершенству
Неравенства графика на числовой прямой
В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной нотации.
296.

ⓐ x <−2x <−2
ⓑ x≥ − 3,5x≥ − 3,5
ⓒ x≤23x≤23
297.

ⓐ x> 3x> 3
ⓑ x≤ − 0,5x≤ − 0,5
ⓒ x≥13x≥13
298.

ⓐ x≥ − 4x≥ − 4
ⓑ x <2,5x <2,5
ⓒ x> −32x> −32
299.

ⓐ x≤5x≤5
ⓑ x≥ − 1,5x≥ − 1,5
ⓒ x <−73x <−73
300.

ⓐ −5 ⓑ −3≤x <1−3≤x <1
ⓒ 0≤x≤1,50≤x≤1,5
301.

ⓐ −2 ⓑ −5≤x <−3−5≤x <−3
ⓒ 0≤x≤3.50≤x≤3,5
302.

ⓐ −1 ⓑ −3 ⓒ −1,25≤x≤0−1,25≤x≤0
303.

ⓐ −4 ⓑ −5 ⓒ −3,75≤x≤0−3,75≤x≤0
Решите линейные неравенства
В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
304.

ⓐ a + 34≥710a + 34≥710
ⓑ 8x> 728x> 72
ⓒ 20> 25h30> 25h
305.

ⓐ b + 78≥16b + 78≥16
ⓑ 6y <486y <48
ⓒ 40 <58k40 <58k
306.

ⓐ f − 1320 <−512f − 1320 <−512
ⓑ 9t≥ − 279t≥ − 27
ⓒ 76j≥4276j≥42
307.

ⓐ г − 1112 <−518 г − 1112 <−518
ⓑ 7 с <−287 с <−28
ⓒ 94g≤3694g≤36
308.

ⓐ −5u≥65−5u≥65
ⓑ a − 3≤9a − 3≤9
309.

ⓐ −8v≤96−8v≤96
ⓑ b − 10≥30b − 10≥30
310.

ⓐ −9c <126−9c <126
ⓑ −25
311.

ⓐ −7d> 105−7d> 105
ⓑ −18> q − 6−18> q − 6
В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
316.
12x + 3 (x + 7)> 10x − 24 12x + 3 (x + 7)> 10x − 24
317.
9y + 5 (y + 3) <4y − 359y + 5 (y + 3) <4y − 35
318.
6ч − 4 (час − 1) ≤7ч − 116ч − 4 (час − 1) ≤7ч − 11
319.
4k− (k − 2) ≥7k − 264k- (k − 2) ≥7k − 26
320.
8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м 8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м
321.
6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n
322.
34b-13b <512b-1234b-13b <512b-12
323.
9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u
324.
23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42) 23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42)
325.
45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90) 45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90)
326.
56a − 14a> 712a + 2356a − 14a> 712a + 23
327.
12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v
В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
330.
23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4) 23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4)
331.
18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8) 18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8)
332.
−94x≥ − 512−94x≥ − 512
333.
−218y≤ − 1528−218y≤ − 1528
Перевести на неравенство и разрешить
В следующих упражнениях переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.
338.
Три более ч не менее 25.
339.
Шесть больше k больше 25.
340.
Десять меньше w не меньше 39.
341.
Двенадцать меньше x не меньше 21.
342.
Отрицательный пять раз r не более 95.
343.
Дважды отрицательное значение с меньше 56.
344.
Девятнадцать меньше b не больше -22,22.
345.
Пятнадцать меньше, чем , а не меньше -7.−7.
Решение приложений с линейными неравенствами
В следующих упражнениях решите.
346.
Алан загружает поддон ящиками по 45 фунтов каждая. Поддон может безопасно выдержать не более 900 фунтов. Сколько ящиков он может безопасно загрузить на поддон?
347.
На лифте в многоквартирном доме Йехира есть табличка, на которой указано, что максимальный вес составляет 2100 фунтов. Если средний вес одного человека составляет 150 фунтов, сколько людей могут безопасно пользоваться лифтом?
348.
Андре просматривает апартаменты с тремя своими друзьями. Они хотят, чтобы ежемесячная арендная плата не превышала 2360 долларов. Если соседи по комнате поровну распределяют арендную плату между четырьмя из них, какова максимальная арендная плата, которую каждый из них будет платить?
349.
Арлин получила подарочную карту на 20 долларов в кофейню. Ее любимый напиток со льдом стоит 3,79 доллара. Какое максимальное количество напитков она может купить по подарочной карте?
350.
Тиган любит играть в гольф. В следующем месяце он заложил 60 долларов на тренировочное поле.Каждый раз, когда он идет, ведро с шарами обходится ему в 10,55 доллара. Какое максимальное количество раз он может посещать тренировочное поле в следующем месяце?
351.
Райан взимает со своих соседей 17,50 долларов за мытье машины. Сколько машин он должен помыть следующим летом, если его цель — заработать не менее 1500 долларов?
352.
Кешад получает 2400 долларов в месяц плюс 6% от его продаж. Его брат зарабатывает 3300 долларов в месяц. На какой общий объем продаж ежемесячная зарплата Кешада будет выше, чем ежемесячная зарплата его брата?
353.
Кимуен нужно зарабатывать 4150 долларов в месяц, чтобы оплачивать все свои расходы. Ее работа приносит ей 3 475 долларов в месяц плюс 4% от общего объема продаж. Каков минимальный общий объем продаж Кимуен, чтобы она могла оплатить все свои расходы?
354.
Андре предложили работу начального уровня. Компания предлагала ему 48 000 долларов в год плюс 3,5% от его общих продаж. Андре знает, что средняя заработная плата за эту работу составляет 62 000 долларов. Каким должен быть общий объем продаж Андре, чтобы его зарплата была не меньше средней заработной платы за эту работу?
355.
Наталья рассматривает два предложения о работе. На первой работе ей платили 83 тысячи долларов в год. Второй заплатит ей 66 500 долларов плюс 15% от общего объема продаж. Каким должен быть ее общий объем продаж, чтобы ее зарплата по второму предложению была выше, чем по первому?
356.
Счет за воду Джейка составляет 24,80 доллара в месяц плюс 2,20 доллара за кубический фут (сто кубических футов) воды. Какое максимальное количество ccf может использовать Джейк, если он хочет, чтобы его счет не превышал 60 долларов?
357. Телефонный план
Киёси стоит 17 долларов.50 в месяц плюс 0,15 доллара за текстовое сообщение. Какое максимальное количество текстовых сообщений может использовать Киёси, чтобы телефонный счет не превышал 56,60 доллара?
358. Тарифный план
Марлона стоит 49,99 долларов в месяц плюс 5,49 долларов за первый просмотр фильма. Сколько фильмов он сможет посмотреть в первый раз, если хочет, чтобы его ежемесячный счет составлял не более 100 долларов?
359.
Келлен хочет снять банкетный зал в ресторане для детского душа своей кузины. Ресторан стоит 350 долларов за банкетный зал плюс 32 доллара.50 на человека за обед. Сколько людей может принять душ Келлен, если она хочет, чтобы максимальная стоимость была 1500 долларов?
360.
Мошде ведет парикмахерский бизнес из своего дома. Она берет 45 долларов за стрижку и укладку. Ее ежемесячные расходы составляют 960 долларов. Она хочет иметь возможность вкладывать не менее 1200 долларов в месяц на свой сберегательный счет, чтобы открыть собственный салон. Сколько «стилей и стилей» ей нужно сделать, чтобы сэкономить не менее 1200 долларов в месяц?
361.
Noe устанавливает и настраивает программное обеспечение на домашних компьютерах.Он берет 125 долларов за работу. Его ежемесячные расходы составляют 1600 долларов. На скольких рабочих местах он должен работать, чтобы получить прибыль не менее 2400 долларов?
362.
Кэтрин — личный повар. Она берет 115 долларов за обед на четырех человек. Ее ежемесячные расходы составляют 3150 долларов. Сколько обедов для четырех человек она должна продать, чтобы получить прибыль не менее 1900 долларов?
363.
Мелисса делает ожерелья и продает их в Интернете. Она берет 88 долларов за ожерелье. Ее ежемесячные расходы составляют 3745 долларов. Сколько ожерелий она должна продать, если хочет получить прибыль не менее 1650 долларов?
364.
Пять чиновников студенческого самоуправления хотят пойти на съезд штата. Это будет стоить им 110 долларов за регистрацию, 375 долларов на транспорт и еду и 42 доллара на человека в отеле. На сберегательный счет студенческого самоуправления заложено 450 долларов на съезд. Остальные деньги они могут заработать на мойке машин. Если они берут 5 долларов за машину, сколько машин они должны помыть, чтобы иметь достаточно денег для оплаты поездки?
365.
Сезар планирует четырехдневную поездку, чтобы навестить своего друга в колледже в другом штате.Это будет стоить ему 198 долларов на авиабилеты, 56 долларов на местный транспорт и 45 долларов в день на еду. У него 189 долларов сбережений, и он может заработать по 35 долларов за каждую стриженную лужайку. Сколько газонов нужно косить, чтобы на поездку хватило денег?
366.
Алонзо работает мастером по ремонту автомобилей. Он берет 175 долларов за машину. Он планирует переехать из родительского дома и снять свою первую квартиру. Ему нужно будет заплатить 120 долларов за подачу заявления, 950 долларов за залог, а также арендную плату за первый и последний месяцы из расчета 1140 долларов в месяц.У него 1810 долларов сбережений. Сколько машин нужно собрать, чтобы иметь достаточно денег на аренду квартиры?
367.
Ын-Кён работает репетитором и зарабатывает 60 долларов в час. У нее 792 доллара сбережений. Она планирует отпраздновать годовщину своих родителей. Она хочет пригласить 40 гостей. Вечеринка обойдется ей в 1520 долларов на еду и напитки и 150 долларов на фотографа. Она также окажет услугу каждому из гостей, и каждая услуга будет стоить 7,50 долларов. Сколько часов она должна заниматься репетитором, чтобы денег на вечеринку хватило?
Повседневная математика
368.
Максимальная нагрузка на сцену В 2014 году обрушилась сцена средней школы в Фуллертоне, штат Калифорния, когда 250 учеников вышли на сцену для финала музыкальной постановки. Пострадали два десятка студентов. Сцена могла выдержать максимум 12 750 фунтов. Если предполагается, что средний вес студента составляет 140 фунтов, каково максимальное количество студентов, которые могут безопасно выйти на сцену?
369.
Максимальный вес лодки В 2004 году водное такси затонуло в гавани Балтимора, пять человек утонули.Водное такси имело максимальную вместимость 3500 фунтов (25 человек при среднем весе 140 фунтов). Средний вес 25 человек в водном такси, когда оно затонуло, составлял 168 фунтов на человека. Каким должно быть максимальное количество людей с таким весом?
370.
Свадебный бюджет Адель и Уолтер нашли идеальное место для своего свадебного приема. Стоимость составляет 9850 долларов США на 100 гостей, плюс 38 долларов США на каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Адель и Уолтер хотят, чтобы общая стоимость не превышала 12500 долларов?
371.
Бюджет душа Пенни планирует детский душ для своей невестки. Стоимость ресторана составляет 950 долларов США за 25 гостей, плюс 31,95 доллара США за каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Пенни хочет, чтобы общая стоимость не превышала 1500 долларов?
Письменные упражнения
372.
Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x> 10. −5x> 10.
373.
Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n − 3 <12.п-3 <12.
374.
Найдите свой телефонный счет за последний месяц и почасовую зарплату, которую вам платят на работе. Подсчитайте количество часов работы, которое вам потребуется, чтобы заработать хотя бы достаточно денег для оплаты телефонного счета, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Считаете ли вы, что это подходящее количество часов? Подходит ли вам этот тарифный план?
375.
Узнайте, сколько единиц у вас осталось после этого семестра для достижения вашей цели в колледже, и оцените количество единиц, которое вы можете сдавать в каждом семестре в колледже.Подсчитайте количество терминов, которые вам понадобятся для достижения вашей цели в колледже, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Это приемлемое количество терминов, пока вы не достигнете своей цели? Как бы вы могли ускорить этот процесс?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?
неравенств | Безграничная алгебра
Введение в неравенство
Неравенства используются для демонстрации отношений между числами или выражениями.
Цели обучения
Объясните, что представляет собой неравенство и как оно используется
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Неравенство описывает взаимосвязь между двумя разными значениями.
Обозначение [latex] a b [/ latex] ] означает, что [latex] a [/ latex] строго больше, чем [latex] b [/ latex].
Понятие [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex], тогда как запись [latex] a \ geq b [ / latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex].
Неравенства особенно полезны для решения проблем, связанных с минимальными или максимальными возможными значениями.
Ключевые термины
числовая строка : визуальное представление набора действительных чисел в виде ряда точек.
неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
В математике неравенства используются для сравнения относительного размера значений.Их можно использовать для сравнения целых чисел, переменных и различных других алгебраических выражений. Ниже приводится описание различных типов неравенств.
Строгое неравенство
Строгое неравенство — это отношение между двумя значениями, когда они различны. Точно так же, как в уравнениях используется знак равенства =, чтобы показать, что два значения равны, в неравенствах используются знаки, чтобы показать, что два значения не равны, и описать их взаимосвязь. Символы строгого неравенства: [latex] <[/ latex] и [latex]> [/ latex].
Строгие неравенства отличаются от обозначения [latex] a \ neq b [/ latex], что означает, что a не равно [latex] b [/ latex]. Символ [latex] \ neq [/ latex] не говорит о том, что одно значение больше другого или даже о том, что их можно сравнить по размеру.
В двух типах строгих неравенств [latex] a [/ latex] не равно [latex] b [/ latex]. Для сравнения размеров значений существует два типа отношений:
Обозначение [латекс] a
Обозначение [латекс] a> b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex].
Значение этих символов можно легко запомнить, заметив, что «большая» сторона символа неравенства (открытая сторона) обращена к большему числу. «Меньшая» сторона символа (точка) обращена к меньшему числу.
Указанные выше отношения можно показать на числовой прямой. Вспомните, что значения на числовой строке увеличиваются по мере продвижения вправо.Следовательно, следующее представляет отношение [латекс] a [/ латекс] меньше, чем [латекс] b [/ латекс]:
[латекс] a
[latex] a [/ latex] находится слева от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.
и следующее демонстрирует, что [латекс] a [/ latex] больше, чем [latex] b [/ latex]:
[латекс] a> b [/ латекс]
[latex] a [/ latex] находится справа от [latex] b [/ latex] в этой числовой строке.
В целом обратите внимание, что:
[латекс] a a [/ latex]; например, [latex] 7 <11 [/ latex] эквивалентно [latex] 11> 7 [/ latex].
[латекс] a> b [/ latex] эквивалентно [latex] b 6 [/ латекс].
Прочие неравенства
В отличие от строгого неравенства, существует два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:
Обозначение [латекс] a \ leq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] меньше или равно [latex] b [/ latex] (или, что то же самое, «максимум» [латекс] б [/ латекс]).
Обозначение [latex] a \ geq b [/ latex] означает, что [latex] a [/ latex] больше или равно [latex] b [/ latex] (или, что то же самое, «по крайней мере» [ латекс] б [/ латекс]).
Неравенства с переменными
В дополнение к отображению отношений между целыми числами, неравенства могут использоваться для отображения отношений между переменными и целыми числами.
Например, рассмотрим [латекс] x> 5 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] больше 5 ″ и означает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может иметь любое значение больше 5, но не 5 сама по себе.Для визуализации этого см. Числовую строку ниже:
[латекс] x> 5 [/ латекс]
Обратите внимание, что кружок над цифрой 5 не заполнен, что означает, что 5 не входит в возможные значения [latex] x [/ latex].
В качестве другого примера рассмотрим [латекс] x \ leq 3 [/ латекс]. Это будет читаться как «[latex] x [/ latex] меньше или равно 3 ″ и указывает, что неизвестная переменная [latex] x [/ latex] может быть 3 или любое значение меньше 3. Для визуализации это, см. числовую строку ниже:
[латекс] x \ leq 3 [/ латекс]
Обратите внимание, что кружок над цифрой 3 закрашен, что означает, что 3 входит в возможные значения [latex] x [/ latex].
Неравенства демонстрируются раскрашиванием стрелки в соответствующем диапазоне числовой линии, чтобы указать возможные значения [latex] x [/ latex]. Обратите внимание, что открытый кружок используется, если неравенство строгое (т. Е. Для неравенств, использующих [latex]> [/ latex] или [latex] <[/ latex]), а закрашенный кружок используется, если неравенство не является строгим ( т.е. для неравенств, использующих [latex] \ geq [/ latex] или [latex] \ leq [/ latex]).
Решение проблем с неравенствами
Напомним, что уравнения могут использоваться для демонстрации равенства математических выражений, включающих различные операции (например: [latex] x + 5 = 9 [/ latex]).Точно так же неравенства можно использовать для демонстрации взаимосвязи между различными выражениями.
Например, рассмотрим следующие неравенства:
[латекс] x — 7> 12 [/ латекс]
[латекс] 2x + 4 \ leq 25 [/ латекс]
[латекс] 2x
Каждое из них представляет связь между двумя разными выражениями.
Одно из полезных применений неравенств, подобных этому, — в задачах, связанных с максимальными или минимальными значениями.
Пример 1
У Джареда есть лодка, максимальная масса которой составляет 2500 фунтов. Он хочет взять на лодку как можно больше друзей и предполагает, что он и его друзья в среднем весят 160 фунтов. Сколько людей могут одновременно кататься на его лодке?
Эту задачу можно смоделировать с помощью следующего неравенства:
[латекс] 160n \ leq 2500 [/ латекс]
где [latex] n [/ latex] — это количество людей, которые Джаред может взять на лодку. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим левую часть неравенства.Он представляет собой общий вес [латексных] n [/ латексных] людей весом 160 фунтов каждый. Неравенство гласит, что общий вес Джареда и его друзей должен быть на меньше или равен максимальному весу 2500, что является пределом веса лодки.
Есть шаги, которые можно выполнить, чтобы решить такое неравенство. На данный момент важно просто понять значение таких утверждений и случаев, в которых они могут быть применимы.
Правила устранения неравенств
Арифметические операции могут использоваться для решения неравенств для всех возможных значений переменной.
Цели обучения
Решите неравенства, используя правила работы с ними
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Когда вы выполняете алгебраические операции с неравенствами, важно выполнять одну и ту же операцию с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.
Если обе части неравенства умножаются или делятся на одно и то же положительное значение, результирующее неравенство истинно.
Если обе стороны умножаются или делятся на одно и то же отрицательное значение, направление неравенства изменяется.
Неравенства, связанные с переменными, могут быть решены, чтобы получить все возможные значения переменной, которые делают утверждение истинным.
Ключевые термины
неравенство : Утверждение, что из двух величин одно конкретно меньше или больше другого.
Операции с неравенствами
Когда вы выполняете алгебраические операции над неравенствами, важно проводить точно такие же операции с обеих сторон, чтобы сохранить истинность утверждения.
Каждая арифметическая операция подчиняется определенным правилам:
Сложение и вычитание
Любое значение [латекс] c [/ латекс] может быть добавлено или вычтено из обеих сторон неравенства. То есть для любых действительных чисел [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс]:
Если [латекс] a \ leq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ leq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ leq b — c [/ латекс].
Если [латекс] a \ geq b [/ латекс], то [латекс] a + c \ geq b + c [/ латекс] и [латекс] a — c \ geq b — c [/ латекс].
Пока одна и та же стоимость добавляется или вычитается с обеих сторон, результирующее неравенство остается верным.
Например, рассмотрим следующее неравенство:
[латекс] 12 <15 [/ латекс]
Давайте применим описанные выше правила, вычтя 3 с обеих сторон:
[латекс] \ begin {align} 12 — 3 & <15 - 3 \\ 9 & <12 \ end {align} [/ latex]
Это утверждение все еще верно.
Умножение и деление
В свойствах, связанных с умножением и делением, указано, что для любых действительных чисел [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и ненулевое [latex] c [/ latex]:
Если [latex] c [/ latex] положительное значение, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] не меняет неравенства:
Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ latex].
Если [латекс] a \ leq b [/ latex] и [latex] c> 0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].
Если [latex] c [/ latex] отрицательно, то умножение или деление на [latex] c [/ latex] меняет неравенство:
Если [latex] a \ geq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ leq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ leq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].
Если [latex] a \ leq b [/ latex] и [latex] c <0 [/ latex], то [latex] ac \ geq bc [/ latex] и [latex] \ dfrac {a} {c} \ geq \ dfrac {b} {c} [/ латекс].
Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства. Другими словами, символ больше становится символом меньше, и наоборот.
Чтобы увидеть применение этих правил, рассмотрим следующее неравенство:
[латекс] 5> -3 [/ латекс]
Умножение обеих сторон на 3 дает:
[латекс] \ begin {align} 5 (3) &> -3 (3) \\ 15 &> -9 \ end {align} [/ latex]
Мы видим, что это верное утверждение, потому что 15 больше 9.
Теперь умножьте то же неравенство на -3 (не забудьте изменить направление символа, потому что мы умножаем на отрицательное число):
[латекс] \ begin {align} 5 (-3) & <-3 (-3) \\ -15 & <9 \ end {align} [/ latex]
Это утверждение также верно. Это демонстрирует, насколько важно изменить направление символа «больше» или «меньше» при умножении или делении на отрицательное число.
Устранение неравенств
Решение неравенства, которое включает переменную, дает все возможные значения, которые может принимать переменная, которые делают неравенство истинным.Решение неравенства означает преобразование его таким образом, чтобы переменная находилась с одной стороны символа, а число или выражение — с другой. Часто для преобразования неравенства таким образом требуется несколько операций.
Сложение и вычитание
Чтобы увидеть, как правила сложения и вычитания применяются к решению неравенств, примите во внимание следующее:
[латекс] x — 8 \ leq 17 [/ латекс]
Сначала выделите [латекс] x [/ латекс]:
[латекс] \ begin {align} x — 8 + 8 & \ leq 17 + 8 \\ x & \ leq 25 \ end {align} [/ latex]
Следовательно, [латекс] x \ leq 25 [/ latex] является решением [латекса] x — 8 \ leq 17 [/ latex].Другими словами, [latex] x — 8 \ leq 17 [/ latex] истинно для любого значения [latex] x [/ latex], которое меньше или равно 25.
Умножение и деление
Чтобы увидеть, как применяются правила умножения и деления, рассмотрим следующее неравенство:
[латекс] 2x> 8 [/ латекс]
Делим обе стороны на 2, получаем:
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align } [/ латекс]
Таким образом, выражение [latex] x> 4 [/ latex] является решением для [latex] 2x> 8 [/ latex].Другими словами, [latex] 2x> 8 [/ latex] верно для любого значения [latex] x [/ latex] больше 4.
Теперь рассмотрим другое неравенство:
[латекс] — \ dfrac {y} {3} \ leq 7 [/ латекс]
Поскольку используется отрицательный знак, мы должны умножить его на отрицательное число, чтобы найти [латекс] y [/ latex]. Это означает, что мы также должны изменить направление символа:
[латекс] \ begin {align} \ displaystyle -3 \ left (- \ frac {y} {3} \ right) & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -3 (7) \\ y & \ geq -21 \ end {align} [/ латекс]
Следовательно, решение [латекс] — \ frac {y} {3} \ leq 7 [/ latex] — это [латекс] y \ geq -21 [/ latex].Таким образом, данное утверждение верно для любого значения [latex] y [/ latex], большего или равного [latex] -21 [/ latex].
Пример
Решите следующее неравенство:
[латекс] 3л — 17 \ geq 19 [/ латекс]
Сначала прибавьте 17 к обеим сторонам:
[латекс] \ begin {align} 3y — 17 + 17 & \ geq 19 + 17 \\ 3y & \ geq 36 \ end {align} [/ latex]
Затем разделите обе стороны на 3:
[латекс] \ begin {align} \ dfrac {3y} {3} & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq \ dfrac {36} {3} \\ y & \ geq 12 \ конец {align} [/ latex]
Особые соображения
Обратите внимание, что было бы проблематично, если бы мы попытались умножить или разделить обе части неравенства на неизвестную переменную.Если какая-либо переменная [latex] x [/ latex] неизвестна, мы не можем определить, имеет ли она положительное или отрицательное значение. Поскольку правила умножения или деления положительных и отрицательных чисел различаются, мы не можем следовать этому же правилу при умножении или делении неравенств на переменные. Однако переменные можно складывать или вычитать с обеих сторон неравенства.
Сложные неравенства
Составное неравенство включает в себя три выражения, а не два, но также может быть решено, чтобы найти возможные значения переменной.
Цели обучения
Решите сложное неравенство, уравновесив все три компонента неравенства
Ключевые выводы
Ключевые моменты
Составное неравенство имеет следующий вид: [латекс] a
В составном неравенстве входят два утверждения. Первый оператор [латекс] a
Пример составного неравенства: [латекс] 4
Составное неравенство может содержать такое выражение, как [латекс] 1
Ключевые термины
сложное неравенство : Неравенство, состоящее из двух других неравенств в форме [латекс] a
неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
Определение сложных неравенств
Сложное неравенство имеет следующий вид:
[латекс] a
На самом деле здесь есть два утверждения. Первый оператор [латекс] a
Составное неравенство [латекс] a a [/ latex]. Следовательно, форма [латекс] a
Рассмотрим [латекс] 4
[латекс] 4
Указанное выше неравенство по числовой прямой.
Аналогичным образом рассмотрим [латекс] -2
[латекс] -2
Указанное выше неравенство по числовой прямой.
[латекс] [/ латекс] Решение сложных неравенств
Теперь рассмотрим [латекс] 1 , а не число, лежит между двумя точками? Не волнуйтесь — мы все равно можем найти все возможные значения не только выражения, но и самой переменной [latex] x [/ latex].
Утверждение [латекс] 1
Чтобы найти возможные значения [latex] x [/ latex], нам нужно получить [latex] x [/ latex] отдельно:
[латекс] 1 — 6
[латекс] -5
Следовательно, мы находим, что если [latex] x [/ latex] — любое число строго между -5 и 2, утверждение [latex] 1
Пример 1
Решите [латекс] -3 <\ dfrac {-2x-7} {5} <7 [/ latex].
Умножьте каждую часть, чтобы удалить знаменатель из среднего выражения:
[латекс] -3 \ cdot (5) <\ dfrac {-2x-7} {5} \ cdot (5) <7 \ cdot (5) [/ латекс]
[латекс] -15 <-2x-7 <35 [/ латекс]
Изолировать [латекс] x [/ латекс] в середине неравенства:
[латекс] — 15 + 7 <-2x -7 + 7 <35 + 7 [/ латекс]
[латекс] — 8 <-2x <42 [/ латекс]
Теперь разделите каждую часть на -2 (и не забудьте изменить направление символа неравенства!):
[латекс] \ displaystyle \ frac {-8} {- 2}> \ frac {-2x} {- 2}> \ frac {42} {- 2} [/ латекс]
[латекс] 4> x> -21 [/ латекс]
Наконец, принято (хотя и не обязательно) писать неравенство так, чтобы стрелки неравенства указывали влево (т.е., чтобы числа шли от наименьшего к наибольшему):
[латекс] -21
Неравенства с абсолютным значением
Неравенства с абсолютными значениями можно решить, рассматривая абсолютное значение как расстояние от 0 до числа на числовой прямой.
Цели обучения
Решите неравенства с абсолютным значением
Ключевые выводы
Ключевые моменты
К проблемам, связанным с абсолютными значениями и неравенствами, можно подойти, по крайней мере, двумя способами: путем проб и ошибок или путем представления абсолютного значения как представления расстояния от 0 и последующего поиска значений, удовлетворяющих этому условию.
При решении неравенств, которые включают абсолютное значение в более крупном выражении (например, [latex] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]), необходимо алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для переменной.
Ключевые термины
абсолютное значение : величина действительного числа без учета его знака; формально, -1 умножается на число, если число отрицательное, и число без изменений, если оно равно нулю или положительно.
неравенство : Утверждение, что из двух величин одно определенно меньше или больше другого.
числовая линия : Линия, которая графически представляет действительные числа как последовательность точек, расстояние от которых до начала координат пропорционально их значению.
Рассмотрим следующее неравенство, которое включает абсолютное значение:
[латекс] | x | <10 [/ латекс]
Зная, что решение [latex] \ left | x \ right | = 10 [/ latex] равно [latex] x = ± 10 [/ latex], многие студенты отвечают на этот вопрос [latex] x <± 10 [/ latex ].Однако это неверно.
Вот два разных, но оба совершенно правильных подхода к решению этой проблемы.
Пробная версия и ошибка
Какие номера работают? То есть, для каких чисел [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] верное утверждение? Давай попробуем.
4 работы. -4 тоже. 13 не работает. Как насчет -13? Нет: Если [латекс] x = -13 [/ латекс], то [латекс] \ left | x \ right | = 13 [/ latex], что не менее 10.
Играя с числами таким образом, вы сможете убедить себя, что работающие числа должны быть где-то между -10 и 10.Это один из подходов к поиску ответа.
Абсолютное значение как расстояние
Другой способ — думать об абсолютном значении как о расстоянии от 0. [latex] \ left | 5 \ right | [/ latex] и [latex] \ left | -5 \ right | [/ latex] равны 5, потому что оба числа на 5 от 0.
В данном случае [латекс] \ left | x \ right | <10 [/ latex] означает «расстояние между [latex] x [/ latex] и 0 меньше 10». Другими словами, вы находитесь в пределах 10 единиц от нуля в любом направлении.Еще раз делаем вывод, что ответ должен быть между -10 и 10.
Этот ответ можно визуализировать в числовой строке, как показано ниже, в которой выделены все числа, абсолютное значение которых меньше 10.
Решение для [латекса] \ left | x \ right | <10 [/ latex]: Все числа, абсолютное значение которых меньше 10.
Нет необходимости использовать оба этих метода; используйте тот метод, который вам легче понять.
Решение неравенств с абсолютным значением
К более сложным задачам абсолютного значения следует подходить так же, как к уравнениям с абсолютными значениями: алгебраически выделить абсолютное значение, а затем алгебраически решить для [латекс] x [/ латекс].
Например, рассмотрим следующее неравенство:
[латекс] \ влево | 2x \ вправо | + 3> 8 [/ латекс]
Трудно сразу представить себе значение этого абсолютного значения, не говоря уже о самом значении [latex] x [/ latex]. Необходимо сначала выделить неравенство:
[латекс] \ begin {align} \ left | 2x \ right | + 3 — 3 &> 8 — 3 \\ \ left | 2x \ right | &> 8 \ end {align} [/ латекс]
А теперь подумайте о числовой прямой. В этих терминах это утверждение означает, что выражение [latex] 2x [/ latex] должно находиться более чем в 8 разрядах от 0.Следовательно, оно должно быть больше 8 или меньше -8. Выражая это неравенствами, имеем:
[латекс] 2x> 8 [/ латекс] или [латекс] 2x <-8 [/ латекс]
Теперь у нас есть 2 отдельных неравенства. Если каждая из них решается отдельно для [latex] x [/ latex], мы увидим полный диапазон возможных значений [latex] x [/ latex]. Рассмотрим их самостоятельно. Первый:
[латекс] \ begin {align} 2x &> 8 \\ \ dfrac {2x} {2} &> \ dfrac {8} {2} \\ x &> 4 \ end {align} [/ latex]
Секунда:
[латекс] \ begin {align} 2x & <-8 \\ \ dfrac {2x} {2} & <\ dfrac {-8} {2} \\ x & <-4 \ end {align} [/ latex ]
Теперь у нас есть два диапазона решений исходного неравенства абсолютных значений:
[латекс] x> 4 [/ латекс] и [латекс] x <-4 [/ латекс]
Это также может быть визуально отображено в числовой строке:
Решение для [латекса] \ left | 2x \ right | + 3> 8 [/ latex]: Решение — любое значение [latex] x [/ latex] меньше -4 или больше 4.
Пример
Решите следующее неравенство:
[латекс] \ влево | x-2 \ вправо | + 10> 7 [/ латекс]
Во-первых, алгебраически выделите абсолютное значение:
[латекс] \ begin {align} \ left | x-2 \ right | + 10-10 &> 7-10 \\ \ left | x-2 \ right | &> — 3 \ end {align} [/ латекс]
А теперь подумайте: абсолютное значение выражения больше –3. Чему могло быть равно выражение? 2 работы. –2 тоже работает. И 0. И 7. И –10. Абсолютные значения всегда положительны, поэтому абсолютное значение чего-либо больше –3! Поэтому все числа работают.
Введение в неравенства и интервальную нотацию
2.7 Введение в неравенства и обозначения интервалов
Цели обучения
Изобразите решения одного неравенства на числовой прямой и выразите решения в интервальной нотации.
Изобразите решения составного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя интервальную нотацию.
Неограниченные интервалы
Алгебраическое неравенство Выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>., например x≥2, читается как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений: 2, 3, 3.5, 5, 20 и 20.001. Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их графическое отображение на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства, выраженные затенением решения на числовой прямой.и с использованием интервальной нотации Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства ..
Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, которые являются решениями неравенства. Обозначение интервалов является текстовым и использует следующие специальные обозначения:
Определите обозначение интервала после построения графика решения, установленного на числовой прямой. Числа в обозначении интервалов следует записывать в том же порядке, в каком они появляются в числовой строке, при этом меньшие числа в наборе появляются первыми.В этом примере есть инклюзивное неравенство Неравенство, которое включает граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и замкнутую точку на числовой прямой., Что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в обозначении интервалов. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает, что интервал неограничен вправо. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой.Для обозначения интервалов необходимо, чтобы бесконечность заключалась в круглые скобки. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки указывают, что граница не включена. Infinity — это верхняя граница действительных чисел, но сама по себе не является действительным числом: его нельзя включить в набор решений.
Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере с обозначением строгого или неисключающего неравенства, которое следует ниже:
Строгое неравенство Выразите отношения упорядочения с помощью символа <для «меньше чем» и> для «больше чем».”Означают, что решения могут очень близко подходить к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее. Обозначьте эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в обозначении интервалов.
Пример 1: График и дайте эквивалент записи интервала: x <3.
Решение: Используйте открытую точку в точке 3 и закрасьте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность. Символ (-∞) указывает, что интервал неограничен слева.(−∞), чтобы указать, что множество решений неограничено слева на числовой прямой.
Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)
Пример 2: График и укажите эквивалент записи интервала: x≤5.
Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.
Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]
Важно видеть, что 5≥x то же самое, что x≤5.Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5. Чтобы избежать путаницы, рекомендуется переписывать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] можно текстуально выразить как (−inf, 5].
Сложное неравенство Два неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». фактически представляет собой два или более неравенства в одном утверждении, соединенных словом «и» или словом «или».«Сложные неравенства с логическим« или »требуют выполнения любого из условий. Следовательно, множество решений этого типа сложного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы объединяем эти индивидуальные наборы решений, это называется объединением. Множество образовано путем объединения индивидуальных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., Обозначенным ∪. Например, решения составного неравенства x <3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:
Иногда встречаются сложные неравенства, когда отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих наборов, чтобы создать один набор, содержащий все элементы каждого из них.
Пример 3: График и дайте эквивалент записи интервала: x≤ − 1 или x <3.
Решение: Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой прямой ниже.
Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)
Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет по крайней мере одному из двух указанных неравенств.
Пример 4: Изобразите график и укажите эквивалентную интервальную нотацию: x <3 или x≥ − 1.
Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.
Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)
Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.
Таким образом,
и
Ограниченные интервалы
Неравенство, например
гласит: «-1 меньше или равно x , а x меньше трех.”Это сложное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:
Логическое «и» требует, чтобы выполнялись оба условия. Оба неравенства удовлетворяются всеми элементами в пересечении Множество, образованное общими значениями отдельных наборов решений, что обозначено логическим использованием слова «и», обозначенного символом ∩., Обозначенным ∩, множеств решений. каждого.
Пример 5: Изобразите график и укажите эквивалентную интервальную нотацию: x <3 и x≥ − 1.
Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения пересечения, которое показано на числовой прямой ниже.
Здесь x = 3 не является решением, поскольку решает только одно из неравенств.
Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)
В качестве альтернативы мы можем интерпретировать −1≤x <3 как все возможные значения для x между или ограниченные −1 и 3 на числовой прямой.Например, одно из таких решений — x = 1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 <1 <3. Точно так же мы видим, что другие возможные решения - -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и / или в интервальной записи, в данном случае [-1, 3).
Пример 6: График и дайте эквивалент записи интервала: −32
Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между -32 = -112 и 2.
Ответ: Обозначение интервала: (−32, 2)
Пример 7: Изобразите график и укажите эквивалент записи интервала: −5
Решение: Заштрихуйте все действительные числа от −5 до 15 и укажите, что верхняя граница, 15, включена в набор решений, с помощью закрытой точки.
Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]
В предыдущих двух примерах мы не разбирали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.
Таким образом,
Нотация построителя множеств
В этом тексте мы используем обозначение интервалов. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод описания множеств, называемый нотацией построителя множеств — системой для описания множеств с использованием знакомой математической нотации.. Мы использовали обозначение набора для перечисления элементов, таких как целые числа
Фигурные скобки группируют элементы набора, а знаки многоточия указывают на то, что целые числа продолжаются бесконечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел — например, действительные числа, большие или равные 2.
Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация конструктора множеств позволяет нам описывать его, используя знакомые математические обозначения.Пример обозначения конструктора множеств:
Здесь x ∈ R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такая, что». Наконец, утверждение x≥2 — это условие, описывающее множество с использованием математической записи. На этом этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа.По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x | x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x больше или равно 2. ”
Чтобы описать сложные неравенства, такие как x <3 или x≥6, напишите {x | x <3 или x≥6}, что читается как «набор всех действительных чисел x таких, что x меньше 3. или x больше или равно 6. »
Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x <3, как {x | −1≤x <3}, что читается как «набор всех действительных чисел x таких, что x больше или равно −1 и меньше 3.”
Ключевые выводы
Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой строке, либо текстуально с использованием интервальной нотации.
Включающие неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой с использованием интервального обозначения.
Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой в числовой строке и круглыми скобками с использованием обозначения интервала.
Сложные неравенства, в которых используется логическое «или», разрешаются решениями любого неравенства. Набор решений — это объединение каждого отдельного набора решений.
Сложные неравенства, использующие логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением.Набор решений — это пересечение каждого отдельного набора решений.
Составные неравенства вида n A ограниченным между значениями n и m .
Тематические упражнения
Часть A: Простые неравенства
Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.
1. х≤10
2. х> −5
3. х> 0
4. х≤0
5. х≤ − 3
6. x≥ − 1
7. −4 <х
8. 1≥x
9. х <−12
10. x≥ − 32
11. x≥ − 134
12. х <34
Часть B: Сложные неравенства
Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.
13. -2 <х <5
14. −5≤x≤ − 1
15. −5
16. 0≤x <15
17. 10
18. −40≤x <−10
19. 0
20. -30 <х <0
21. -58 <х <18
22. −34≤x≤12
23. −1≤x <112
24. -112 <х <-12
25.x <−3 или x> 3
26. x <−2 или x≥4
27. x≤0 или x> 10
28. x≤ − 20 или x≥ − 10
29. x <−23 или x> 13
30. x≤ − 43 или x> −13
31. x> −5 или x <5
32. x <12 или x> −6
33. x <3 или x≥3
34. x≤0 или x> 0
35. x <−7 или x <2
36.x≥ − 3 или x> 0
37. x≥5 или x> 0
38. x <15 или x≤10
39. x> −2 и x <3
40. x≥0 и x <5
41. x≥ − 5 и x≤ − 1
42. x <−4 и x> 2
43. x≤3 и x> 3
44. x≤5 и x≥5
45. x≤0 и x≥0
46. x <2 и x≤ − 1
47.х> 0 и х≥ − 1
48. x <5 и x <2
Часть C: Обозначение интервалов
Определите неравенство по ответам, выраженным в виде интервалов.
49. (-∞, 7]
50. (−4, ∞)
51. [-12, ∞)
52. (−∞, −3)
53. (-8, 10]
54. (-20, 0]
55.(−14, −2)
56. [23, 43]
57. (−34, 12)
58. (−∞, −8)
59. (8, ∞)
60. (−∞, 4) ∪ [8, ∞)
61. (−∞, −2] ∪ [0, ∞)
62. (−∞, −5] ∪ (5, ∞)
63. (−∞, 0) ∪ (2, ∞)
64. (−∞, −15) ∪ (−5, ∞)
Напишите эквивалентное неравенство.
65. Все действительные числа меньше 27.
66. Все действительные числа меньше или равны нулю.
67. Все действительные числа больше 5.
68. Все действительные числа больше или равные −8.
69. Все действительные числа строго между −6 и 6.
70. Все действительные числа строго между -80 и 0.
Часть D. Темы дискуссионной доски
71. Сравните обозначение интервалов с обозначением создателя множеств.Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.
72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервалов, когда бесконечность является конечной точкой.
73. Изучите и обсудите различные сложные неравенства, особенно союзы и пересечения.
74. Изучите и обсудите историю бесконечности.
75. Изучите и обсудите вклад Георга Кантора.
76. Что такое диаграмма Венна? Объясните и опубликуйте пример.
ответы
1: (−∞, 10]
3: (0, ∞)
5: (−∞, −3]
7: (−4, ∞)
9: (−∞, −12)
11: [-134, ∞)
13: (-2, 5)
15: (−5, 20]
17: (10, 40]
19: (0, 50]
21: (-58, 18)
23: [-1, 112)
25: (−∞, −3) ∪ (3, ∞)
27: (−∞, 0] ∪ (10, ∞)
29: (−∞, −23) ∪ (13, ∞)
31: рэнд
33: рэнд
35: (−∞, 2)
37: (0, ∞)
39: (−2, 3)
41: [−5, −1]
43: ∅
45: {0}
47: (0, ∞)
49: х≤7
51: x≥ − 12
53: −8
55: −14
57: -34
59: x> 8
61: x≤ − 2 или x≥0
63: x <0 или x> 2
65: х <27
67: x> 5
69: −6
Тест на комплексное неравенство
Неравенство — Введение Неравенство окружает нас повсюду.Некоторые из них могут быть настолько знакомы, что вы их даже не замечаете. Рассмотрим следующие сценарии: максимальное количество людей, которым разрешено находиться в лифте, ограничение скорости на дорожном знаке, минимальный тестовый балл, необходимый для прохождения класса, количество мегабайт, которое вы можете использовать в месяц по тарифному плану мобильного телефона и т. Д. Неравенство Беннета, верхняя граница вероятности того, что сумма независимых случайных величин отклоняется от своего ожидаемого значения более чем на любую заданную величину Неравенство Бхатии-Дэвиса, верхняя граница дисперсии любого ограниченного распределения вероятностей
Этот тест имеет 20 кратных -выбор вопросов на 40 баллов.Больше тестовых викторин. … Решите следующее составное неравенство: 7x + 3 ≤ 3 или 6x — 8> 16. A. X. B. Linear Inequalities Grapher — инструмент для построения графиков неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. Серия учебных пособий для решения неравенств с одной переменной — Карен на Coolmath.com предлагает серию хороших руководств по решению неравенств, включая сложные неравенства. Интернет-заметки Пола также содержат учебные пособия по вопросам неравенства более высокого уровня:
Экспоненциальные неравенства — это неравенства, в которых одна (или обе) стороны включают переменный показатель степени.Они полезны в ситуациях, связанных с многократным умножением, особенно при сравнении с постоянным значением, например, в случае интереса. Например, экспоненциальное неравенство можно использовать, чтобы определить, сколько времени потребуется, чтобы удвоить деньги на основе определенной процентной ставки; e … Сложные неравенства — это неравенства с двумя знаками неравенства и тремя сторонами уравнения, с переменной, обычно находящейся посередине. … трюки и подготовка к тестам …
Неравенства по сложным и абсолютным значениям Нет команд 1 команда 2 команды 3 команды 4 команды 5 команд 6 команд 7 команд 8 команд 9 команд 10 команд Пользовательские Нажмите F11 Выберите пункт меню Вид> Войти в полноэкранный режим для полноэкранного режима Сложные неравенства Получите 3 из 4 вопросов, чтобы повысить уровень! Далее для вас: модульный тест.Повышайте уровень всех навыков в этом отряде и набирайте до 1000 очков мастерства!
Linear Inequalities Grapher — инструмент для построения графиков неравенств с двумя переменными на координатной плоскости. Серия учебных пособий для решения неравенств с одной переменной — Карен на Coolmath.com предлагает серию хороших руководств по решению неравенств, включая сложные неравенства. Интернет-заметки Пола также содержат учебные пособия по вопросам неравенства более высокого уровня: неравенство ≥ 16. d. ГРАЖДАНСКИЕ ДАННЫЕ Для голосования вам должно быть не менее 18 лет.Напишите неравенство, чтобы описать эту ситуацию. Неравенства можно изобразить на числовой прямой. Иногда невозможно показать все значения, которые делают неравенство истинным. График поможет вам увидеть значения, которые делают неравенство истинным. Построение графика неравенства
Исчисление I — Оптимизация
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-8: Оптимизация
В этом разделе мы рассмотрим проблемы оптимизации.В задачах оптимизации мы ищем наибольшее или наименьшее значение, которое может принимать функция. Мы увидели, как решить одну из задач оптимизации в разделе «Абсолютные экстремумы», где мы нашли наибольшее и наименьшее значение, которое функция может принимать на интервале.
В этом разделе мы рассмотрим другой тип задач оптимизации. Здесь мы будем искать наибольшее или наименьшее значение функции, на которую накладывается какое-то ограничение. Ограничением будет некоторое условие (которое обычно можно описать некоторым уравнением), которое должно быть абсолютно, положительно истинным, независимо от того, каково наше решение.Иногда ограничение будет нелегко описать уравнением, но, как мы увидим, в этих задачах будет легко справиться.
Этот раздел обычно является одним из самых сложных для студентов, изучающих математический анализ. Одна из основных причин этого заключается в том, что небольшое изменение формулировки может полностью изменить проблему. Также существует проблема определения количества, которое мы будем оптимизировать, и количества, которое является ограничением, и составления уравнений для каждого из них.
Первым шагом во всех этих проблемах должно быть очень внимательно прочитать проблему. После того, как вы это сделаете, следующим шагом будет определение количества, которое нужно оптимизировать, и ограничения.
При определении ограничения помните, что ограничение — это величина, которая должна быть истинной независимо от решения. Почти в каждой из задач, которые мы здесь рассмотрим, одна величина будет четко обозначена как имеющая фиксированное значение и, следовательно, должна быть ограничением.Как только вы это определили, количество, которое нужно оптимизировать, должно быть довольно просто получить. Однако их легко перепутать, если вы просто бегло просмотрели проблему, поэтому сначала внимательно прочтите ее!
Давайте начнем этот раздел с простой задачи, чтобы проиллюстрировать виды проблем, с которыми мы здесь будем иметь дело.
Пример 1 Нам нужно оградить прямоугольное поле забором. У нас есть 500 футов материала для ограждения, а здание находится на одной стороне поля, поэтому в ограждении не потребуется.Определите размеры поля, которое будет охватывать наибольшую площадь. Показать решение
Во всех этих задачах у нас будет две функции. Первая — это функция, которую мы на самом деле пытаемся оптимизировать, а вторая — ограничение. Набросок ситуации часто помогает нам прийти к этим уравнениям, так что давайте сделаем это.
В этой задаче мы хотим максимизировать площадь поля и знаем, что для этого потребуется 500 футов материала для ограждения.Итак, площадь будет функцией, которую мы пытаемся оптимизировать, а количество ограждений — ограничением. Два уравнения для них:
\ [\ begin {align *} {\ mbox {Maximize:}} & A = xy \\ {\ mbox {Constraint:}} & 500 = x + 2y \ end {align *} \]
Хорошо, мы знаем, как найти наибольшее или наименьшее значение функции при условии, что у нее есть только одна переменная. Функция площади (а также ограничение) содержит две переменные, поэтому то, что мы знаем о поиске абсолютных экстремумов, не сработает.Однако, если мы решим ограничение для одной из двух переменных, мы можем подставить это в область, и тогда у нас будет функция от одной переменной.
Итак, давайте решим ограничение для \ (x \). Обратите внимание, что мы могли бы так же легко решить для \ (y \), но это привело бы к дробям, и поэтому в этом случае решение для \ (x \), вероятно, будет лучшим.
\ [x = 500 — 2y \]
Подставив это в функцию площади, мы получим функцию от \ (y \).2} \]
Теперь мы хотим найти наибольшее значение, которое оно будет иметь на интервале \ (\ left [{0,250} \ right] \). Пределы в этом интервале соответствуют принятию \ (y = 0 \) (, т.е. , без сторон забора) и \ (y = 250 \) (, т.е. , только две стороны и без ширины, также если есть две стороны. каждый должен быть 250 футов, чтобы использовать все 500 футов).
Обратите внимание, что конечные точки интервала не будут иметь никакого смысла с физической точки зрения, если мы действительно хотим ограничить некоторую область, потому что обе они дадут нулевую площадь.Однако они дают нам набор ограничений на \ (y \), и поэтому теорема об экстремальных значениях говорит нам, что у нас будет максимальное значение площади где-то между двумя конечными точками. Наличие этих ограничений также будет означать, что мы можем использовать процесс, который мы обсуждали в разделе «Поиск абсолютных экстремумов». 2} \).Таким образом, согласно методу из раздела «Абсолютные экстремумы», это должна быть максимально возможная площадь, поскольку площадь в любой конечной точке равна нулю.
Наконец, давайте не забудем получить значение \ (x \), и тогда у нас будут размеры, поскольку это то, что требовалось в постановке задачи. Мы можем получить \ (x \), подключив наш \ (y \) к ограничению.
\ [x = 500 — 2 \ left ({125} \ right) = 250 \]
Размеры поля, дающего наибольшую площадь, с учетом того, что мы использовали ровно 500 футов ограждающего материала, составляют 250 x 125.
Не забудьте прочесть задачу и дать ответ, который был запрошен. Для решения таких проблем может потребоваться изрядное количество времени / усилий, и иногда нетрудно забыть, о чем проблема на самом деле просила.
В предыдущей задаче мы использовали метод из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», чтобы найти максимальное значение функции, которую мы хотели оптимизировать. Однако, как мы увидим в следующих примерах, не всегда будет легко найти конечные точки.Кроме того, даже если мы сможем найти конечные точки, мы увидим, что иногда иметь дело с конечными точками тоже может быть непросто. Более того, этот метод требует, чтобы функция, которую мы оптимизируем, была непрерывной на рассматриваемом интервале, включая конечные точки, а это может быть не всегда.
Итак, прежде чем переходить к другим примерам, давайте потратим немного времени на обсуждение некоторых методов определения того, действительно ли наше решение является абсолютным минимальным / максимальным значением, которое мы ищем.В некоторых примерах все они будут работать, в то время как в других один или несколько не будут настолько полезными. Однако нам всегда нужно будет использовать какой-либо метод, чтобы убедиться, что наш ответ — это то оптимальное значение, которое мы ищем.
Метод 1 : Используйте метод, используемый в разделе «Поиск абсолютных экстремумов».
Это метод, использованный в первом примере выше. Напомним, что для использования этого метода интервал возможных значений независимой переменной в функции, которую мы оптимизируем, назовем ее \ (I \), должен иметь конечные конечные точки.Кроме того, функция, которую мы оптимизируем (если она сводится к одной переменной), должна быть непрерывной на \ (I \), включая конечные точки. Если эти условия соблюдены, мы знаем, что оптимальное значение, максимальное или минимальное в зависимости от проблемы, будет встречаться либо в конечных точках диапазона, либо в критической точке, которая находится внутри диапазона возможных решений.
Однако есть две основные проблемы, которые часто препятствуют использованию этого метода. Во-первых, не у каждой проблемы действительно есть ряд возможных решений с конечными конечными точками на обоих концах.Мы увидим по крайней мере один пример этого, работая над остальными примерами. Кроме того, многие функции, которые мы будем оптимизировать, не будут непрерывными, если мы сократим их до одной переменной, и это помешает нам использовать этот метод.
Метод 2 : Используйте вариант теста первой производной.
В этом методе нам также понадобится интервал возможных значений независимой переменной в оптимизируемой функции \ (I \).Однако в этом случае, в отличие от предыдущего метода, конечные точки не обязательно должны быть конечными. Кроме того, нам нужно будет потребовать, чтобы функция была непрерывной внутри интервала \ (I \), и нам потребуется, чтобы функция была непрерывной в конечных точках, только если конечная точка конечна и функция действительно существует в конечной точке. . Мы увидим несколько проблем, когда функция, которую мы оптимизируем, на самом деле не существует на одной из конечных точек. Это не помешает использованию этого метода.
Предположим, что \ (x = c \) является критической точкой функции, которую мы пытаемся оптимизировать, \ (f \ left (x \ right) \). Мы уже знаем из теста первой производной, что если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) непосредственно слева от \ (x = c \) (, т.е. , функция увеличивается сразу влево) и если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) сразу справа от \ (x = c \) (, т.е. , функция убывает сразу вправо), то \ (x = c \) будет относительным максимумом для \ (f \ left (x \ right) \).
Это не означает, что абсолютный максимум \ (f \ left (x \ right) \) произойдет в \ (x = c \). Однако предположим, что нам известно немного больше информации. Предположим, что на самом деле мы знали, что \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для всех \ (x \) в \ (I \) таких, что \ (x c \). В этом случае мы знаем, что слева от \ (x = c \), при условии, что мы, конечно, остаемся в \ (I \), функция всегда увеличивается, а справа от \ (x = c \) снова остается в \ (I \) мы всегда убываем.В этом случае мы можем сказать, что абсолютный максимум \ (f \ left (x \ right) \) в \ (I \) произойдет в \ (x = c \).
Аналогично, если мы знаем, что слева от \ (x = c \) функция всегда убывает, а справа от \ (x = c \) функция всегда увеличивается, тогда абсолютный минимум \ (f \ left (x \ right) \) in \ (I \) произойдет в \ (x = c \).
Прежде чем мы кратко рассмотрим этот метод, давайте немного обсудим требование непрерывности. Очевидно, что требование непрерывности нигде в приведенном выше обсуждении не применялось.Мы требуем, чтобы функция, которую мы оптимизируем, была непрерывной в \ (I \), чтобы предотвратить следующую ситуацию.
В этом случае относительный максимум функции явно находится в точке \ (x = c \). Кроме того, функция всегда уменьшается вправо и всегда увеличивается влево. Однако из-за разрыва в \ (x = d \) мы можем ясно видеть, что \ (f \ left (d \ right)> f \ left (c \ right) \), и поэтому абсолютный максимум функции не встречается в \ (x = c \).Если бы не было разрыва в точке \ (x = d \), этого бы не произошло, и абсолютный максимум произошел бы в точке \ (x = c \).
Вот краткое описание этого метода.
Первый тест производной для абсолютных экстремумов
Пусть \ (I \) будет интервалом всех возможных значений \ (x \) в \ (f \ left (x \ right) \), функции, которую мы хотим оптимизировать, и далее предположим, что \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно на \ (I \), за исключением, возможно, концов.Наконец, предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \) и что \ (c \) находится в интервале \ (I \). Если мы ограничим \ (x \) значениями из \ (I \) (, т.е. , мы будем рассматривать только возможные оптимальные значения функции), тогда
Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для всех \ (x c \), то \ (f \ left (c \ right) \) будет абсолютным максимальным значением \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (I \).
Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) для всех \ (x 0 \) для всех \ (x> c \), то \ (f \ left (c \ right) \) будет абсолютным минимальным значением \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (I \).
Метод 3 : Используйте вторую производную.
На самом деле существует два способа использования второй производной, чтобы помочь нам определить оптимальное значение функции, и оба в той или иной степени используют тест второй производной.
Первый способ использования второй производной на самом деле не помогает нам определить оптимальное значение. Что он действительно делает, так это позволяет нам потенциально исключать ценности, и знание этого может несколько упростить нашу работу, и поэтому это неплохо.
Предположим, что мы ищем абсолютный максимум функции и после нахождения критических точек обнаруживаем, что у нас есть несколько критических точек. Давайте также предположим, что мы прогнали их всех через тест второй производной и определим, что некоторые из них на самом деле являются относительными минимумами функции. Поскольку мы стремимся к абсолютному максимуму, мы знаем, что максимум (любого вида) не может возникнуть при относительных минимумах, и поэтому мы сразу знаем, что можем исключить эти точки из дальнейшего рассмотрения.Мы могли бы провести аналогичную проверку, если бы искали абсолютный минимум. Это может показаться не таким уж большим делом, но в некоторых случаях это может привести к значительному сокращению объема работы, которую нам нужно выполнить на более поздних этапах.
Второй способ использования второй производной для определения оптимального значения функции на самом деле очень похож на второй метод, описанный выше. Фактически, у нас будут те же требования к этому методу, что и к этому методу. Нам нужен интервал возможных значений независимой переменной в функции, которую мы оптимизируем, назовите его \ (I \), как раньше, и конечная точка (точки) может быть или не быть конечной.Нам также потребуется, чтобы функция \ (f \ left (x \ right) \) была непрерывной всюду в \ (I \), за исключением, возможно, концов, как указано выше.
Теперь предположим, что \ (x = c \) является критической точкой и что \ (f » \ left (c \ right)> 0 \). Проверка второй производной говорит нам, что \ (x = c \) должен быть относительным минимумом функции. Предположим, однако, что мы также знали, что \ (f » \ left (x \ right)> 0 \) для всех \ (x \) в \ (I \). В этом случае мы бы знали, что функция была вогнутой на всем \ (I \), и это, в свою очередь, означало бы, что абсолютный минимум \ (f \ left (x \ right) \) в \ (I \) будет на самом деле должно быть в \ (x = c \).
Аналогичным образом, если \ (x = c \) является критической точкой и \ (f » \ left (x \ right) <0 \) для всех \ (x \) в \ (I \), тогда мы будем знать, что функция была вогнута вниз в \ (I \) и что абсолютный максимум \ (f \ left (x \ right) \) в \ (I \) должен быть в \ (x = c \).
Вот краткое описание этого метода.
Тест второй производной для абсолютных экстремумов
Пусть \ (I \) будет интервалом всех возможных значений \ (x \) в \ (f \ left (x \ right) \), функции, которую мы хотим оптимизировать, и предположим, что \ (f \ left ( x \ right) \) непрерывно на \ (I \), за исключением, возможно, концов.Наконец, предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \) и что \ (c \) находится в интервале \ (I \). Затем
Если \ (f » \ left (x \ right)> 0 \) для всех \ (x \) в \ (I \), то \ (f \ left (c \ right) \) будет абсолютным минимумом значение \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (I \).
Если \ (f » \ left (x \ right) <0 \) для всех \ (x \) в \ (I \), то \ (f \ left (c \ right) \) будет абсолютным максимальным значением из \ (f \ left (x \ right) \) на интервале \ (I \).
При работе с примерами в следующих двух разделах мы будем использовать каждый из этих методов по мере необходимости в примерах. В некоторых случаях метод, который мы используем, будет единственным методом, который мы могли бы использовать, в других это будет самый простой метод в использовании, а в других это будет просто метод, который мы выбрали для этого примера. Важно понимать, что мы не сможем использовать каждый из методов для каждого примера. В некоторых примерах один метод будет наиболее простым в использовании или может быть единственным методом, который можно использовать, однако каждый из описанных выше методов будет использоваться по крайней мере пару раз во всех примерах.
Также важно знать, что некоторые проблемы не позволяют использовать ни один из описанных выше методов точно так, как описано выше. Возможно, нам придется изменить один из них или использовать их комбинацию, чтобы полностью решить проблему. В следующем разделе приведен пример, в котором ни один из вышеперечисленных методов не работает легко, хотя мы также представляем альтернативный метод решения, в котором мы можем использовать по крайней мере один из методов, описанных выше.
Далее, подавляющее большинство примеров, проработанных в следующем разделе, будет иметь только одну критическую точку.При проблемах с более чем одной критической точкой часто трудно определить, какая критическая точка (точки) дает оптимальное значение. В следующих двух разделах есть несколько примеров с более чем одной критической точкой, включая один в следующем разделе, упомянутом выше, в котором ни один из описанных выше методов не работает легко. В этом примере вы можете увидеть некоторые идеи, которые могут вам понадобиться, чтобы найти оптимальное значение.
Наконец, во всех вышеперечисленных методах мы ссылались на интервал \ (I \).Это было сделано, чтобы немного облегчить обсуждение. Однако во всех примерах следующих двух разделов мы никогда не будем явно говорить «это интервал \ (I \)». Просто помните, что интервал \ (I \) — это просто самый большой интервал возможных значений независимой переменной в функции, которую мы оптимизируем.
Хорошо, поработаем еще несколько примеров.
Пример 2 Мы хотим построить коробку, базовая длина которой в 3 раза больше базовой ширины. Материал, использованный для строительства верха и низа, стоил 10 долларов за фут ², а материал, использованный для изготовления боковин, стоил 6 долларов за фут ².Если коробка должна иметь объем 50 футов ³, определите размеры, которые минимизируют стоимость сборки коробки. Показать решение
Во-первых, небольшая цифра (наверное, не в масштабе…).
Мы хотим минимизировать стоимость материалов при условии, что объем должен составлять 50 футов ³. Также обратите внимание, что стоимость для каждой стороны — это просто площадь этой стороны, умноженная на соответствующую стоимость.{- 3}} \]
Теперь нам нужны критические точки для функции стоимости. Во-первых, заметьте, что \ (w = 0 \) не является критической точкой. Ясно, что производная не существует в \ (w = 0 \), но тогда и функция не существует, и помните, что значения \ (w \) будут только критическими точками, если функция также существует в этой точке. Обратите внимание, что есть также физическая причина избегать \ (w = 0 \). Мы строим коробку, и не имеет смысла иметь нулевую ширину коробки.
Итак, похоже, что единственная критическая точка будет исходить от определения, где числитель равен нулю.3} — 800 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, w = \ sqrt [3] {{\ frac {{800}} {{120}}}} = \ sqrt [3] {{\ frac {{20}} {3}}} = 1.8821 \]
Итак, у нас есть одна критическая точка, и теперь мы должны убедиться, что это действительно то значение, которое дает абсолютную минимальную стоимость.
В этом случае мы не можем использовать метод 1, описанный выше. Во-первых, функция не является непрерывной на одной из конечных точек \ (w = 0 \) нашего интервала возможных значений i.е. \ (w> 0 \). Во-вторых, не существует теоретического верхнего предела ширины коробки объемом 50 футов ³. Если \ (w \) очень велико, нам просто нужно сделать \ (h \) очень маленьким.
Второй метод, перечисленный выше, здесь подойдет, но он потребует некоторых вычислений, не сложных вычислений, но, тем не менее, большей работы.
Третий метод, однако, здесь будет работать быстро и просто. Во-первых, мы знаем, что какое бы значение \ (w \) мы ни получили, оно должно быть положительным, и мы можем видеть вторую производную выше, которая при условии \ (w> 0 \) у нас будет \ (C » \ left ( w \ right)> 0 \) и поэтому в интервале возможных оптимальных значений функция стоимости всегда будет вогнутой вверх, поэтому \ (w = 1.2}}} = 4,7050 \ end {align *} \]
Кроме того, даже если об этом не просили, минимальная стоимость составляет: \ (C \ left ({1.8821} \ right) = \ $ 637.60 \).
Пример 3 Мы хотим построить коробку с квадратным основанием, и у нас есть только 10 м ² материала, который нужно использовать при строительстве коробки. Предполагая, что в процессе строительства используется весь материал, определите максимальный объем, который может иметь коробка. Показать решение
Этот пример во многих отношениях полностью противоположен предыдущему.В этом случае мы хотим оптимизировать объем, и на этот раз ограничением является количество используемого материала. У нас нет стоимости, но, если подумать, стоимость — это не что иное, как количество использованного материала, умноженное на стоимость, и поэтому количество материала и стоимость в значительной степени связаны друг с другом. Если вы можете сделать одно, вы можете сделать и другое. Также обратите внимание, что количество используемого материала на самом деле просто площадь поверхности коробки.
Как всегда, давайте начнем с быстрого наброска коробки.2}} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} V » \ left (w \ right) = — 3w \]
Также обратите внимание, что при условии \ (w> 0 \), который с физической точки зрения, как мы знаем, должен быть верным для ширины коробки, тогда функция объема будет вогнута вниз, и поэтому, если мы получим единственную критическую точку, тогда мы знаем, что это должно быть значение, дающее абсолютный максимум.
Установка первой производной равной нулю и решение дает нам две критические точки,
\ [w = \ pm \, \ sqrt {\ frac {5} {3}} = \ pm \, 1.2910 \]
В этом случае мы можем исключить отрицательную критическую точку, так как мы имеем дело с длиной коробки и знаем, что она должна быть положительной. Однако не стоит привыкать просто исключать любую критическую критическую точку. Существуют проблемы, для которых отрицательные критические точки являются вполне допустимыми возможными решениями.
Теперь, как отмечалось выше, мы получили единственную критическую точку, 1,2910, и поэтому это должно быть значение, которое дает максимальный объем, и, поскольку максимальный объем — это все, что было запрошено в формулировке задачи, тогда ответ будет: \ [V \ left ({1.3} \].
Обратите внимание, что мы также могли отметить здесь, что если \ (0 0 \) (используя тестовую точку, мы имеем \ (V’ \ left ( 1 \ right) = 1> 0 \)) и аналогично, если \ (w> 1.2910 \), то \ (V ‘\ left (w \ right) <0 \) (используя тестовую точку, мы имеем \ (V' \ left (2 \ right) = - {\ frac {7} {2}} <0 \)) и поэтому, если мы находимся слева от критической точки, объем всегда увеличивается, а если мы находимся справа от критической точки объем всегда уменьшается, и поэтому с помощью метода 2, описанного выше, мы также можем видеть, что единственная критическая точка должна давать абсолютный максимум объема.2}}} {{2 \ left ({1.2910} \ right)}} = 1.2910 \]
Итак, похоже, что в данном случае у нас действительно есть идеальный куб.
В последних двух примерах мы увидели, что многие из этих задач оптимизации могут быть решены, так сказать, в обоих направлениях. В обоих примерах мы имеем по существу одни и те же два уравнения: объем и площадь поверхности. Однако в примере 2 объем был ограничением, а стоимость (которая напрямую связана с площадью поверхности) была функцией, которую мы пытались оптимизировать.В примере 3, с другой стороны, мы пытались оптимизировать объем, и площадь поверхности была ограничением.
Важно не зацикливаться на одном способе решения этих проблем, чтобы мы не могли сделать это и в противоположном направлении, если это необходимо. Это одна из наиболее частых ошибок, которые делают студенты, решая задачи такого рода. Они видят одну проблему, а затем пытаются согласовать каждую другую проблему, которая кажется такой же, с этим решением, даже если с проблемой нужно работать по-другому.Относитесь непредвзято к этим проблемам и убедитесь, что вы понимаете, что оптимизируется и каковы ограничения, прежде чем переходить к решению.
Кроме того, как показано в последнем примере, мы использовали два разных метода проверки того, что мы действительно получили оптимальное значение. Не зацикливайтесь на одном методе проверки, чтобы не забыть о других методах.
Давайте рассмотрим другой пример, который на этот раз не связан с прямоугольником или прямоугольником.
Пример 4 Производителю необходимо изготовить цилиндрическую банку, вмещающую 1,5 литра жидкости. Определите размеры банки, которые позволят свести к минимуму количество материала, используемого при ее строительстве. Показать решение
Прежде чем приступить к решению, давайте сначала рассмотрим тот факт, что мы используем литры для измерения объема. Поскольку нам нужны измерения длины для радиуса и высоты, нам также потребуется объем в единицах измерения длины. Мы можем легко сделать это, используя тот факт, что 1 литр = 1000 см ³, и поэтому мы можем преобразовать 1.5 литров в 1500 см ³. Это, в свою очередь, даст радиус и высоту в сантиметрах.
В этой задаче ограничением является объем, и мы хотим минимизировать количество используемого материала. Это означает, что мы хотим минимизировать площадь поверхности банки, и нам нужно будет включить как стенки банки, так и верхнюю и нижнюю «крышки». Вот небольшой набросок, с которого мы можем начать.
Нам понадобится площадь поверхности этой банки, и это будет площадь поверхности стенок банки (которая на самом деле представляет собой просто цилиндр), а также площадь верхней и нижней крышек (которые являются просто дисками, и наденьте их). не забываем, что их два).
Обратите внимание: если вы думаете о цилиндре высотой \ (h \) и радиусом \ (r \) как о группе дисков / кругов радиуса \ (r \), уложенных друг на друга, то уравнения для площади поверхности и объем запомнить довольно просто. 2} \) к общей площади поверхности.2}}} \]
Отсюда видно, что у нас есть одна критическая точка: \ (r = \ sqrt [3] {\ frac {750} {\ pi}} = 6.2035 \) (где производная равна нулю). Обратите внимание, что \ (r = 0 \) не является критической точкой, потому что функция площади там не существует, что также имеет смысл с физической точки зрения, учитывая, что мы знаем, что \ (r \) должен быть положительным, чтобы на самом деле иметь консервная банка.
Итак, у нас есть только одна критическая точка, которую нужно решить, и обратите внимание, что 6.2035 — единственное значение, для которого производная будет равна нулю, и, следовательно, единственное место (с \ (r> 0 \), конечно), где производная может изменить знак. Нетрудно с помощью контрольных точек проверить, что если \ (0 6.2035 \), то \ ( А ‘\ влево (г \ вправо)> 0 \). Вариант первого производного теста, приведенный выше, говорит нам, что абсолютное минимальное значение площади (для \ (r> 0 \)) должно находиться в \ [г = 6.2}}} = 12,4070 \]
Следовательно, если производитель изготавливает банку с радиусом 6,2035 см и высотой 12,4070 см, для изготовления банки будет использовано наименьшее количество материала.
В качестве интересной побочной проблемы и расширения приведенного выше примера вы можете показать, что для заданного объема \ (L \) будет использоваться минимум материала, если \ (h = 2r \) независимо от объема банки. .
В примерах до этого момента мы довольно много обсуждали решение.По оставшимся проблемам мы не будем так много обсуждать и предоставим вам заполнить недостающие детали.
Пример 5 У нас есть кусок картона размером 14 на 10 дюймов, и мы собираемся вырезать углы, как показано ниже, и загнуть стороны, чтобы сформировать коробку, также показанную ниже. Определите высоту коробки, которая даст максимальный объем. Показать решение
Пусть высота коробки будет \ (h \).Таким образом, ширина / длина вырезаемых углов также равна \ (h \), поэтому вертикальная сторона будет иметь «новую» высоту \ (10 - 2h \), а горизонтальная сторона будет иметь «новую» ширину. из \ (14 — 2h \). Вот набросок со всей этой информацией,
В этом примере мы впервые столкнулись с проблемой, когда ограничение действительно не имеет уравнения. Ограничение — это просто размер куска картона, который уже учтен на рисунке выше.2} \]
Установка первой производной равной нулю и решение дает следующие две критические точки:
\ [h = \ frac {{12 \ pm \ sqrt {39}}} {3} = 1.9183, \, \, \, \, 6.0817 \]
Теперь у нас есть очевидная проблема. У нас есть две критические точки, и нам нужно будет определить, какая из них нам нужна. Тот факт, что у нас есть две критические точки, означает, что здесь нельзя использовать ни тест первой производной, ни тест второй производной, поскольку они оба требуют единой критической точки.Однако это не проблема. Вернитесь к рисунку в начале решения и обратите внимание, что мы можем довольно легко найти пределы для \ (h \). Наименьшее значение \ (h \) может быть равно \ (h = 0 \), хотя в этом нет особого смысла, поскольку в этом случае мы не получим коробку. Кроме того, со стороны 10 дюймов мы можем видеть, что наибольшее значение \ (h \) может быть равно \ (h = 5 \), хотя, опять же, это не имеет большого физического смысла.
Итак, зная, что что бы ни было \ (h \), оно должно быть в диапазоне \ (0 \ le h \ le 5 \), мы можем видеть, что вторая критическая точка находится за пределами этого диапазона, и поэтому единственная критическая точка, которая нам нужна беспокоиться — 1.9183.
Наконец, поскольку объем определен и непрерывен на \ (0 \ le h \ le 5 \), все, что нам нужно сделать, это вставить критические и конечные точки в том, чтобы определить, какая из них дает наибольший объем. Вот эти оценки функций.
\ [V \ left (0 \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} V \ left ({1,9183} \ right) = 120,1644 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} V \ left (5 \ right) = 0 \]
Итак, если взять \ (h = 1.9183 \) получаем максимальную громкость.
Пример 6 Принтеру необходимо сделать плакат общей площадью 200 из ² и с полями в 1 дюйм по бокам, полями в 2 дюйма вверху и полями в 1,5 дюйма внизу, как показано ниже. Какие размеры дадут самую большую площадь печати? Показать решение
Эта проблема немного отличается от предыдущих проблем. И ограничение, и функция, которую мы собираемся оптимизировать, являются областями.Ограничение состоит в том, что общая площадь плаката должна составлять 200 из ², в то время как мы хотим оптимизировать область печати (, т.е. площадь плаката с удаленными полями).
Давайте определим высоту плаката как \ (h \), а ширину плаката как \ (w \). Вот новый набросок плаката, и мы видим, что после того, как мы учли поля, ширина области печати равна \ (w — 2 \), а высота области принтера составляет \ (h — 3.5 \).
Вот уравнения, с которыми мы будем работать.
\ [\ begin {align *} {\ mbox {Maximize:}} & A = \ left ({w — 2} \ right) \ left ({h — 3.5} \ right) \\ {\ mbox {Ограничение:} } & 200 = wh \ end {выровнять *} \]
Решение ограничения для \ (h \) и включение уравнения для области печати дает
\ [A \ left (w \ right) = \ left ({w — 2} \ right) \ left ({\ frac {{200}} {w} — 3.3}}} \]
От первой производной мы имеем следующие две критические точки (\ (w = 0 \) не является критической точкой, потому что функция площади там не существует).
\ [w = \ pm \, \ sqrt {\ frac {400} {3.5}} = \ pm \, 10.6904 \]
Однако, поскольку мы имеем дело с размерами листа бумаги, мы знаем, что у нас должно быть \ (w> 0 \), поэтому только 10,6904 будет иметь смысл.
Также обратите внимание, что при условии \ (w> 0 \) вторая производная всегда будет отрицательной, поэтому в диапазоне возможных оптимальных значений ширины функция площади всегда вогнута вниз, и поэтому мы знаем, что максимальная площадь печати будет равна \ (ш = 10.6904 \, \, {\ mbox {дюймы}} \).
Высота бумаги, обеспечивающая максимальную площадь печати, составляет
. \ [h = \ frac {{200}} {{10.6904}} = 18.7084 \, \, {\ mbox {дюймы}} \]
К этому моменту мы проработали довольно много примеров, и нам предстоит еще немало поработать. Однако этот раздел стал довольно длинным, поэтому давайте продолжим наши примеры в следующем разделе. Это делается в основном потому, что эти заметки также представлены в Интернете, и это поможет несколько снизить время загрузки страниц.
1.5 Сложные неравенства — Промежуточная алгебра
Так как это неравенство «больше чем», решение можно переписать в соответствии с правилом «больше чем».
\ (\ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, - (х + 3) <- 4 \)
\ (\ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 \ )
Решите каждое неравенство.
\ (\ begin {array} {r} x + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, x + 3> 4 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, — 3 \, \, \, \, \, — 3} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ underline {\, \, \, \, \, \, — 3 \, \, — 3} \\ x \, \, \, \ , \, \, \, \, \, <- 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \, \, \, \, \, \, \, \, \,> 1 \\\\ x <-7 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, x> 1 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} \)
Проверьте решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они работают.Проверьте конечную точку первого связанного уравнения, \ (- 7 \) и конечную точку второго связанного уравнения, 1.
\ (\ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \\\ left | -7 + 3 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \ left | 1 + 3 \ right | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \ left | -4 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 4 \ right | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \ end {array} \)
Попробуйте \ (- 10 \), значение меньше \ (- 7 \), и 5, значение больше 1, чтобы проверить неравенство.
\ (\ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ влево | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -10 + 3 \ вправо |> 4 \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \ left | 5 + 3 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | -7 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ влево | 8 \ вправо |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 7> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 8> 4 \ end {array} \)
Оба решения проверяют!
Ответ
Неравенство: \ (\ Displaystyle x <-7 \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, x> 1 \)
Интервал: \ (\ left (- \ infty, -7 \ right) \ cup \ left (1, \ infty \ right) \)
График:

College Algebra
Урок 23A: Квадратичные неравенства
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра колледжа
Цели обучения
По завершении этого руководства вы сможете:
Решите квадратичные неравенства, используя знаковый граф факторы.
Решите квадратичные неравенства с помощью контрольной точки метод.
Введение
В этом уроке мы рассмотрим решение квадратичные неравенства двумя разными способами. Мы будем пересмотр решения квадратичного уравнения, помогающие решить квадратные неравенства.Если вам нужен обзор решения квадратных уравнений, см. Учебное пособие 17: Квадратичные уравнения. Думаю, мы готовы Начало.
Учебник
Квадратичный Неравенства
квадратичная неравенство одно который может быть записан в одной из следующих стандартных форм:

или

или

или

Другими словами, квадратичное неравенство входит в стандартную форма, когда неравенство установлено на 0.
Как и в квадратном уравнении, степень полиномиальное выражение два.

Решение Квадратичные неравенства
Использование знакового графика факторов

Это метод решения квадратичных неравенств работает только в том случае, если квадратичный факторы.Если это не фактор, вам нужно будет использовать метод контрольной точки, показанный далее на этой странице.

Шаг 1. Запишите квадратичный неравенство в стандартной форме.

ОЧЕНЬ важно, чтобы одна сторона неравенства 0.
0 — это наше магическое число. Это единственный номер, который отделяет негативы от позитивов. Если выражение больше 0, тогда нет сомнений в том, что его знак положительный. Точно так же, если это меньше 0, знак отрицательный. Вы не можете сказать этого о любой другой номер. Поскольку мы работаем с неравенством, это идея пригодится.С помощью этой техники мы будем смотреть на знак числа, чтобы определить, является ли это решением или нет.
Шаг 2: Решите квадратичную уравнение,, путем факторинга, чтобы получить граничная точка (и).

Граничная точка (точки) будет отмечать место квадратичного выражение равно 0.Это похоже на точку перехода. 0 это ни один положительный или отрицательный.
Если вам нужен обзор того, как решить квадратичную уравнение, не стесняйтесь перейти к Урок 17: Квадратичный Уравнения.

Как упоминалось выше, этот метод решение квадратичных неравенств работает только в том случае, если квадратичное факторы.Если это не фактор, тогда вам нужно будет использовать контрольную точку метод, показанный позже на этой странице.
Шаг 3. Используйте граничные точки, найденные на шаге 2, чтобы отметить интервалы тестирования на числовую строку и перечислите все факторы, найденные на шаге 2.

Граничные точки на номере будут создавать тест интервалы.
Шаг 4: Найдите знак каждого множителя в каждом интервале.

Вы можете выбрать ЛЮБОЕ значение в интервале для подключения каждый фактор. Каким бы ни был знак фактора с этим значением дает вам знак, который вам нужен для этого фактора в этом интервале. Убедитесь, что вы нашли знак каждого фактора в каждом интервале.
Так как неравенство будет установлено на 0, мы не увлекающийся фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Шаг 5: Используя знаки, найденные на шаге 4, определите знак общего квадратичная функция в каждом интервале.

Поскольку неравенство будет установлено на 0, мы не увлекающийся фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Если вы посмотрите на знаки ваших факторов в каждом интервал, имейте в виду, что они представляют собой произведение факторов которые составляют вашу общую квадратичную функцию.
Вы определяете знак общей квадратичной функции с использованием основного знака умножения правила:

Если квадратичное выражение меньше или меньше или равно 0, то нас интересуют значения, которые вызывают в квадратичное выражение должно быть отрицательным.
Если квадратичное выражение лучше чем или больше или равно 0, то нас интересуют значения, которые причина наше квадратичное выражение положительно .
Шаг 6: Напишите решение набор и график.

Пример 1: Решите, используя знаковый график факторов, запишите ваш ответ в интервале обозначение и изобразите набор решений:.
Просмотрите видео этого примера

Это квадратичное неравенство уже имеет стандартную форму.

* Фактор
* Установите 1-й коэффициент = 0 и решите

* Установите 2-й коэффициент = 0 и решите

-5 и 3 — граничные точки.

Ниже приведен график, на котором отмечены граничные точки -5 и 3 и показывает три секции, которые эти точки создали на графике. Примечание что открытые отверстия использовались в этих двух точках, так как наш оригинальный неравенство не включил, где он равен 0.

Обратите внимание, что две граничные точки создают три секции на графике:, и.

Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления этот интервал. Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем, но какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем. Если бы мы выбрали число в первом интервале, , например -6 (я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в интервал), это сделало бы оба фактора отрицательными:
-6 + 5 = -1 и -6 — 3 = -9
Если мы выбрали число во втором интервал, , как 0 (I мог использовать -4, -1 или 2, пока он находится в интервале), он сделал бы x + 5 положительный и х — 3 отрицательный:
0 + 5 = 5 и 0 — 3 = -3

Если мы выберем число в третьем интервал, , нравится 4 (я мог использовать 10, 25 или 10000, пока он находится в интервале), это сделало бы оба фактора положительный: 4 + 5 = 9 и 4 — 3 = 1

В первом интервале , мы имеем отрицательное умноженное на отрицательное, поэтому знак квадратичной в этом интервал положительный.
Во втором интервале у нас есть положительное значение, умноженное на отрицательное, поэтому знак квадратичной в этом интервале отрицательный.
В третьем интервал, , ср есть два положительных момента, поэтому знак квадратичной в этом интервале положительный.
Имейте в виду, что наша исходная проблема. Поскольку мы ищем, чтобы квадратичное выражение было на МЕНЬШЕ ЧЕМ 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ОТРИЦАТЕЛЬНО .

Похоже, что единственный интервал, для которого эта квадратичная величина отрицательна, — это второй интервал, .

Обозначение интервала:
График:
* Открытый интервал с указанием всех значения между -5 и 3
* Наглядно показаны все числа от -5 до 3 на номерной строке

Пример 2: Решите, используя знаковый график множителей, запишите ваш ответ в интервале обозначение и изобразите набор решений:.
Посмотрите видео об этом примере

* Инв. суб. 6 x в квадрате добавлено. 6 x в квадрате

* Фактор
* Установите 1-й коэффициент = 0 и решите

* Установите 2-й коэффициент = 0 и решите

-5/2 и -1/3 — граничные точки.

Ниже приведен график, на котором отмечены граничные точки -5/2 и -1/3 и показывает три раздела, созданных этими точками на график. Обратите внимание, что в этих двух точках использовались закрытые отверстия, так как наш исходный неравенство включает, где оно равно 0.

Обратите внимание, что две граничные точки создают три секции на графике:,, и .

Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления этот интервал. Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем, но какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем. Если мы выберем число в первом интервале, , например -4 (я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в интервал), это сделало бы оба фактора отрицательный:
2 (-4) + 5 = -3 и 3 (-4) + 1 = -11
Если мы выбрали число во втором интервал, , вроде -1 (я мог бы использовать -2, -3/2 или -1/2, пока он находится в интервале), получится 2x + 5 положительных и 3x + 1 отрицательных:
2 (-1) + 5 = 3 и 3 (-1) + 1 = -2

Если мы выберем число в третьем интервал, , как 0 (я мог бы использовать 10, 25 или 10000, пока он находится в интервале), это сделает оба фактора положительными: 2 (0) + 5 = 5 и 3 (0) + 1 = 1

В первом интервале , ср. иметь отрицательное время отрицательный, поэтому знак квадратичной в этом интервале положительный.
Во второй интервал, , у нас есть положительное, умноженное на отрицательное, поэтому знак квадратичной в этом интервале отрицательный.
В третьем интервал, , у нас есть два положительных результата, поэтому знак квадратичной в этом интервале положительный.
Имейте в виду, что у нас неравенство. Поскольку мы ищем, чтобы квадратичное выражение было БОЛЬШЕ ЧЕМ ИЛИ РАВНО 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ. (ИЛИ О) .

Похоже, есть два интервала, где квадратичная величина положительна: первый, , и третий, .

Обозначение интервала:
График:
* Закрытые интервалы с указанием все значения меньше чем или равно -5/2 или больше или равно -1/3
* Наглядно показаны все числа меньше или равно до -5/2 или больше или равно -1/3

Решение Квадратичные неравенства
Использование метода контрольных точек

В Метод контрольных точек для решения квадратных неравенств работает для любых квадратичный, который имеет решение действительных чисел, независимо от того, множители или нет.
Шаг 1. Запишите квадратичный неравенство в стандартной форме.

ОЧЕНЬ важно, чтобы одна сторона неравенства 0.
0 — это наше магическое число. Это единственный номер, который отделяет негативы от позитивов.Если выражение больше 0, тогда нет сомнений в том, что его знак положительный. Точно так же, если это меньше 0, знак отрицательный. Вы не можете сказать этого о любой другой номер. Поскольку мы работаем с неравенством, это идея пригодится. С помощью этой техники мы будем смотреть на знак числа, чтобы определить, является ли это решением или нет.
Шаг 2: Решите квадратичную уравнение,, получить граничная точка (и).

Граничная точка (точки) будет отмечать место квадратичного выражение равно 0. Это похоже на точку пересечения. 0 это ни один положительный или отрицательный.
Если вам нужен обзор того, как решить квадратичную уравнение, не стесняйтесь перейти к учебному пособию 17: квадратичный Уравнения.
Шаг 3. Используйте границу точки, найденные на шаге 2, чтобы отметить интервалы испытаний на числовой прямой.

Граничные точки на номере будут создавать тест интервалы.
Шаг 4: Проверить точку в каждом тестовом интервале, найденном на шаге 3, чтобы увидеть, какой интервал (ы) является частью набора решений.

Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления Это. Ты необходимо убедиться, что вы проверяете одну точку из каждого интервала. Иногда в набор решений может входить более одного интервала.
Так как неравенство будет установлено на 0, мы не увлекающийся фактическое значение, которое мы получаем, когда подключаем наши тестовые точки, но что ЗНАК (положительный или отрицательный), который мы получаем.
Если квадратичное выражение меньше или меньше или равно 0, то нас интересуют значения, которые вызывают в квадратичное выражение должно быть отрицательным.
Если квадратичное выражение лучше чем или больше или равно 0, то нас интересуют значения, которые причина наше квадратичное выражение положительно.
Шаг 5: Напишите решение набор и график.

Пример 3: Решите , используя метод контрольных точек , напишите свой ответ через интервал обозначение и изобразите набор решений:.
Посмотрите видео об этом примере

Это квадратичное неравенство уже имеет стандартную форму.

* Фактор
* Установите 1-й коэффициент = 0 и решите

* Установите 2-й коэффициент = 0 и решите

-2/5 и 0 — граничные точки.

Ниже приведен график, на котором отмечены граничные точки -2/5 и 0 и показывает три раздела, созданных этими точками на график. Обратите внимание, что в этих двух точках использовались закрытые отверстия, так как наш исходный неравенство включает где оно равно 0.

Обратите внимание, что две граничные точки создают три секции на графике:, и.

Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления этот интервал. Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем, но какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем.
Имейте в виду, что наша исходная проблема. Поскольку мы ищем, чтобы квадратичное выражение было на МЕНЬШЕ ЧЕМ ИЛИ РАВНО 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ. (ИЛИ 0) .
Из интервала, Я решил использовать -1 для проверки этого интервала:
(Я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в интервале)

* Выбрал -1 с 1-го интервала на подключите для x

Так как 3 положительно и мы ищем значения что вызывает наши квадратное выражение должно быть меньше или равно 0 (отрицательное или 0), если бы не быть частью решения.

Из интервала, Я предпочитаю использовать -1/5 для проверки этого интервала.
(Я мог бы использовать -1/6, -1/7 или -1/8, пока он находится в интервале)

* Выберите -1/5 из 2-го интервала для подключения x

Поскольку -1/5 отрицательно и мы ищем значения это причина наше выражение должно быть меньше или равно 0 (отрицательное или 0), будет частью решения.

Из интервала, Я выбираю 1 для проверки этого интервала.
(Я мог бы использовать 10, 25 или 10000, если он находится в интервале)

* Выберите 1 из 3-го интервала на подключите для x

Так как 7 положительно и мы ищем значения что вызывает наши квадратное выражение должно быть меньше или равно 0 (отрицательное или 0), если бы не быть частью решения.

Обозначение интервала:
График:
* Индикация закрытого интервала все значения между -2/5 и 0 включительно
* Наглядно показаны все числа от -2/5 до 0 включительно

Пример 4: Решите , используя метод контрольных точек , напишите свой ответ через интервал обозначение и изобразите набор решений:.
Просмотрите видео этого примера

* Инв. суб. 2 — доп. 2

Поскольку не может быть решено с помощью факторинг, как мы можем найти решение?
Как насчет использования формулы корней квадратного уравнения?

* Определите a, b и c

* Квадратичная формула

* Вставьте значения для a, b и c в формулу

* Упростить

и являются граничными точками.

Вы можете выбрать ЛЮБУЮ точку в интервале для представления этот интервал. Помните, что нас не интересует реальная ценность, которую мы получаем, но какой ЗНАК (положительный или отрицательный) мы получаем.
Имейте в виду, что наша исходная проблема. Поскольку мы ищем, чтобы квадратичное выражение было БОЛЬШЕ ЧЕМ 0 , это означает, что нам нужно, чтобы наш знак был ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ.
Из интервала , Я решил использовать 0 для проверки этого интервала:
(Я мог бы использовать -10, -25 или -10000, пока он находится в интервале)
Обратите внимание, что это примерно 0,35.

* Выберите 0 с 1-го интервала на подключите для x

Поскольку 2 положительно и мы ищем значения что вызывает наши квадратное выражение больше 0, будет часть решения.

Из интервала , Я предпочитаю использовать 1 для проверки этого интервала.
(Я мог бы использовать 2, 3 или 5, пока они находятся в интервале)
Обратите внимание, что это примерно .35 и составляет примерно 5.65.

* Выберите 1 из 2-го интервала для подключения x

Так как -3 отрицательно и ищем значения это причина наше выражение больше 0, не будет частью решения.

Из интервала , Я выбираю 6, чтобы проверить этот интервал.
(Я мог бы использовать 10, 25 или 10000, пока он находится в интервале)
Обратите внимание, что это примерно 5.65.

* Выберите 6 с 3-го интервала на подключите для x

Поскольку 2 положительно и мы ищем значения что вызывает наши квадратное выражение больше 0, будет часть решения.

Практические задачи
Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.
Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.
Практика Задачи 1a — 1b: Решите (любым методом), напишите ваш ответ в обозначение интервала и изобразите набор решений.
#Разное
Навигация по записям
Предыдущая запись: Определение рода слов онлайн: Сервис определяет род слова онлайн
Следующая запись: Творческая история драмы гроза: Творческая история пьесы Гроза
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Рубрики
Пушкин
Лермонтов
Крылов
Ломоносов
Гоголь
Куприн
Горький
Островский
2019 © Все права защищены. Карта сайта