Самостоятельная работа по алгебре 7 класс линейная функция и ее график: Самостоятельная работа по алгебре 7 кл «Линейная функция и ее график» | Учебно-методический материал по алгебре (7 класс):

▶▷▶ тесты по алгебре 7 класс линейная функция с ответами

тесты по алгебре 7 класс линейная функция с ответами — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Линейная функция и ее график тест (7 класс) по алгебре с obrazovakaru › … › Алгебра › 7 класс Тест «График линейной функции» ( 7 класс ) предназначен для подготовки учеников средней школы к занятиям Тест дат возможность быстро проверить свои знания по теме и восполнить пробелы Тесты по математике для 7-го класса онлайн — Online Test Pad onlinetestpadcom/ru/tests/math/ 7 class Cached Тесты составлены в соответствии с заданиями «Проверь себя» (см учебник Алгебра 7 класс , АГ Мерзляк и др) Всего 13 вопросов Тематические тесты по алгебре 7 класс Чулков ответы gdz-putinainfo › 7 класс › Алгебра ГДЗ готовые домашние задания тематическим тестам по алгебре 7 класс Чулков ФГОС от Путина Линейная функция y=kx + m и её график Алгебра, 7 класс wwwyaklassru › … › Линейная функция Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Линейная функция y=kx + m и её график, Линейная функция , 7 класс , Алгебра ГДЗ решебник по алгебре 7 класс контрольные и самостоятельные gdzputinaco › 7 класс › Алгебра Онлайн ответы из решебника по алгебре за 7 класс авторов Попова МА, Мордкович АГ 2011 года издания Тест по алгебре 7 класс Тема: «Линейная функция и ее график metodbookru/indexphp/matematika/14-testy-po-algebre- 7 Cached Главная МАТЕМАТИКА Тесты по алгебре 7 класс Тест по алгебре 7 класс Тема: » Линейная функция и ее график» Контрольная по алгебре 7 класс — контрольные работы с mathematics-testscom/algebra- 7 -klass-novoe/ Cached Тесты с ответами для 7 класса по алгебре Электронные пособия по алгебре для 7 класса Электронное учебное пособие по учебнику Никольского С В Алгебра 7 класс Тесты и Тренажеры | Контроль знаний контрользнанийрф/matematika-vse-klassy Cached Тесты и онлайн-тренажеры по предмету «Алгебра 7 класс » Соответствие тестов программе учебника Рекомендуемые материалы для очного контроля Тесты по алгебре онлайн с ответами по темам obrazovakaru › Тесты Тесты по алгебре онлайн составлены в соответствии с действующей программой, утвержденной министерством Алгебра — 7 класс, самостоятельные работы по Мордковичу mathematics-testscom/algebra- 7 -klass-novoe/ Cached Атанасян Л С Тесты Самостоятельные работы по алгебре для 7 класса, » Линейная функция и Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 3,570 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• где f(х)=3х2+11х — 14 Какое из нижеуказанных значений является положительным числом? Доступно только зарегистрированным пользователям Скачать тест Графики функций для работы в оффлайн Скачать тест можно через сек Скачать тест Комментарии () Вы должны Читать ещё Дана функция у=f(х)
• в которой задания по алгебре составляют значительный блок Чтобы уверенно получить высокий балл и твердые знания
• а также к текущим урокам Рейтинг теста А какую оценку получите вы? Скрыть 3 Тест по алгебре на тему » Линейная функция » ( 7 класс ) infourokru › …po-algebre…lineynaya-funkciya-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Методическая разработка представляет собой тест по теме « Линейная функция и ее график»

если обучающиеся выполняют тест без единой ошибки – «Молодец! Отлично!» Скрыть 9 Тесты по алгебре 7 класс Линейная функция с ответами — смотрите картинки ЯндексКартинки › тесты по алгебре 7 класс линейная функция с Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 Тест по математике на теме: » Линейная функция » metod-kopilkaru › test-po…lineynaya-funkciya-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тест составлен по теме: » Линейная функция » для обучающихся 7 класса Его можно применять для обобщения знаний по данной Для правильного выполнения теста обучающимся необходимо знать определение линейной функции

чтобы оставлять комментарии Скрыть 7 Тест : Тест 6 Линейная функция и её график TestEduru › Предметы › Математика › 7 класс › Тест Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Предметы » Математика » 7 класс » Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 А2 В одной системе координат заданы графики функций у = 2х — 1 и у = 2 Определите (приближённо) по графику координаты точки их пересечения Читать ещё Предметы » Математика » 7 класс » Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 Вариант 1 Математика 7 класс | Автор: Ахметова РИ | ID: 2990 | Дата: 18102014 +10 — 7 А2 В одной системе координат заданы графики функций у = 2х — 1 и у = 2 Определите (приближённо) по графику координаты точки их пересечения Скрыть 8 Тест по теме: « Линейная функция »

• Линейная функция
• » Линейная функция и Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
• Линейная функция

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Проверочный тест по алгебре по теме « Линейная » урокрф › …test_po_algebre_po…linejnaya…173714html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тест (специальный формат) для учителя-предметника для 7 класса по ФГОС Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 7 класса по УМК А Г Найдите точку пересечения графика функции у = 0,5х – 8 с осью абсцисс Варианты ответов : а) (0;4) б) (16;0) в) (8;0) г) (4;0) А4 Установите соответствие между Читать ещё Тест (специальный формат) для учителя-предметника для 7 класса по ФГОС Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 7 класса по УМК А Г Мордковича Найдите точку пересечения графика функции у = 0,5х – 8 с осью абсцисс Варианты ответов : а) (0;4) б) (16;0) в) (8;0) г) (4;0) А4 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают Скрыть 2 Линейная функция и ее график тест ( 7 класс ) по obrazovakaru › 7 класс Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тест «График линейной функции » ( 7 класс ) предназначен для подготовки учеников средней школы к занятиям Тест по алгебре «Графики функции » – один из эффективных способов качественной подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а также к текущим урокам Рейтинг теста А какую Читать ещё Тест «График линейной функции » ( 7 класс ) предназначен для подготовки учеников средней школы к занятиям Тест дат возможность быстро проверить свои знания по теме и восполнить пробелы Вопросы охватывают алгоритм построения графика линейной функции , основные понятия и правила раздела Более сложные задания проверяют умение читать и строить графики, определять по них значения функции и аргумента К тесту прилагаются правильные ответы , что позволяет сразу запоминать то, что «упущено» Тест по алгебре «Графики функции » – один из эффективных способов качественной подготовки к самостоятельным и контрольным работам, а также к текущим урокам Рейтинг теста А какую оценку получите вы? Скрыть 3 Тест по алгебре на тему » Линейная функция » ( 7 класс ) infourokru › …po-algebre…lineynaya-funkciya-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Методическая разработка представляет собой тест по теме « Линейная функция и ее график», проверяет основные знания, умения и навыки учащихся 7 класса по данной теме Тест может быть использован при обобщающем повторении в 9 классе Пояснительная записка Данная разработка предназначена для Читать ещё Методическая разработка представляет собой тест по теме « Линейная функция и ее график», проверяет основные знания, умения и навыки учащихся 7 класса по данной теме Тест может быть использован при обобщающем повторении в 9 классе Пояснительная записка Данная разработка предназначена для тематического контроля ЗУН учащихся 7 класса , может использоваться при подготовке к ОГЭ учащихся 9 класса Данный тест позволяет систематизировать знания учащихся по теме « Линейная функция и ее график», своевременно выявить пробелы в изученном материале Тест по теме « Линейная функция и ее график» Задание 1 Скрыть 4 Тест по алгебре ( 7 класс ) по теме: Тест по теме quot nsportalru › …lineynaya-funktsiya…algebre…7-klassa Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Тест по теме » Линейная функция » по алгебре для 7 класса из 10 вопросов с четырьмя вариантами ответа 4 При каких условиях линейная функция у= кх + в изменится в прямую пропорциональность? Читать ещё Тест по теме » Линейная функция » по алгебре для 7 класса из 10 вопросов с четырьмя вариантами ответа 4 При каких условиях линейная функция у= кх + в изменится в прямую пропорциональность? а) к = 0; б) у = 0; в) х = 0; г) в = 0 5 Назовите функцию , которая будет являться прямой пропорциональностью Скрыть 5 Тест » Линейная функция и ее график» 7 класс скачать uchitelyacom › Алгебра › …-funkciya-i-ee-grafik-7… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Данный тест предназначен для контроля успеваемости и проверки знаний учащихся 7 класса по теме « Линейная функция и ее Тест может быть использован для текущего и итогового контроля Предлагаемые варианты ответов подобраны таким Читать ещё Данный тест предназначен для контроля успеваемости и проверки знаний учащихся 7 класса по теме « Линейная функция и ее график» Тест может быть использован для текущего и итогового контроля Предлагаемые варианты ответов подобраны таким образом, что содержат наиболее характерные для данного случая ошибки Это позволяет учителю быстро Скрыть 6 Тест : Графики функций — Математика 7 класс TestEduru › Предметы › Математика › 7 класс › Математика 7 класс Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Дана функция у=f(х), где f(х)=3х2+11х — 14 Какое из нижеуказанных значений является положительным числом? Доступно только зарегистрированным пользователям Скачать тест Графики функций для работы в оффлайн Скачать тест можно через сек Скачать тест Комментарии () Вы должны Читать ещё Дана функция у=f(х), где f(х)=3х2+11х — 14 Какое из нижеуказанных значений является положительным числом? Доступно только зарегистрированным пользователям Скачать тест Графики функций для работы в оффлайн Скачать тест можно через сек Скачать тест Комментарии () Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии Скрыть 7 Тест : Тест 6 Линейная функция и её график TestEduru › Предметы › Математика › 7 класс › Тест Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Предметы » Математика » 7 класс » Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 А2 В одной системе координат заданы графики функций у = 2х — 1 и у = 2 Определите (приближённо) по графику координаты точки их пересечения Читать ещё Предметы » Математика » 7 класс » Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 Тест 6 Линейная функция и её график Вариант 1 Вариант 1 Математика 7 класс | Автор: Ахметова РИ | ID: 2990 | Дата: 18102014 +10 — 7 А2 В одной системе координат заданы графики функций у = 2х — 1 и у = 2 Определите (приближённо) по графику координаты точки их пересечения Скрыть 8 Тест по теме: « Линейная функция », алгебра 7 класс metod-kopilkaru › …po…lineynaya_funkciya…7_klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Данный тест предназначен для первичной проверки знаний при изучении нового материала по теме: « Линейная функция », алгебра , 7 класс У обучающихся будет возможность пройти данный тест несколько раз, с целью устранения ошибок Логические функции позволяют обработать полученный результат Читать ещё Данный тест предназначен для первичной проверки знаний при изучении нового материала по теме: « Линейная функция », алгебра , 7 класс У обучающихся будет возможность пройти данный тест несколько раз, с целью устранения ошибок Логические функции позволяют обработать полученный результат: если обучающиеся допускают хотя бы одну ошибку, появляется надпись «Попробуй еще раз», если обучающиеся выполняют тест без единой ошибки – «Молодец! Отлично!» Скрыть 9 Тесты по алгебре 7 класс Линейная функция с ответами — смотрите картинки ЯндексКартинки › тесты по алгебре 7 класс линейная функция с Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 Тест по математике на теме: » Линейная функция » metod-kopilkaru › test-po…lineynaya-funkciya-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тест составлен по теме: » Линейная функция » для обучающихся 7 класса Его можно применять для обобщения знаний по данной Для правильного выполнения теста обучающимся необходимо знать определение линейной функции , ее свойства Читать ещё Тест составлен по теме: » Линейная функция » для обучающихся 7 класса Его можно применять для обобщения знаний по данной теме, в качестве контрольно работы Тест содержит 12 заданий Для правильного выполнения теста обучающимся необходимо знать определение линейной функции , ее свойства, график Уметь находить значение функции при заданном значении аргумента На оценку 5 надо правильно выполнить 10-12 заданий Скрыть Тест № 7 Линейная функция grustlivayaedusiteru › p120aa1html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Алгебра 7 класс Планирование Тест № 8 График линейной функции Тест № 9 Взаимное расположение графиков линейных функций Тест № 7 Линейная функция 1 Какя из функций не является линейной ? Читать ещё Алгебра 7 класс Планирование Геометрия 7 класс Планирование Алгебра 8 класс Планирование Тест № 8 График линейной функции Тест № 9 Взаимное расположение графиков линейных функций Тест № 10 Определение степени с натуральным показателем Тест № 11 Свойства степени с натуральным показателем Тест № 12 Одночлены Тест № 14 Сумма и разность многочленов Тест № 7 Линейная функция 1 Какя из функций не является линейной ? у = (6 + х)/ 7 у = 3/5 + (х/9) Скрыть Линейная функция y=kx + m и её график Алгебра yaklassru › …algebra/7-klass/lineinaia…9165…kx…9107 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Линейная функция y=kx + m и её график, Линейная функция , 7 класс , Алгебра Задания составлены профессиональными педагогами ЯКласс — онлайн-школа нового поколения 7 класс , тест по алгебре » Линейная функция » к учебнику multiurokru › Обо мне › 7-klass-tiest-po… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 7 класс , тест по алгебре по теме » Линейная функция » к учебнику под редакцией АГ Мордковича Тест состоит из 16 заданий, к каждому из которых приводится по 4 варианта ответа Читать ещё 7 класс , тест по алгебре по теме » Линейная функция » к учебнику под редакцией АГ Мордковича Тест состоит из 16 заданий, к каждому из которых приводится по 4 варианта ответа Применяется после изучения темы, как правило, перед контрольной работой Скрыть Тесты по алгебре 7 класс К учебнику Макарычева allengorg › d/math/math995htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник содержит 18 тестов для текущего и тематического контроля знаний учащихся по курсу алгебры 7 класса Каждый тест представлен в 4 вариантах и содержит разноуровневые задания Планируемое время выполнения каждого теста 25-30 минут В конце сборника приведены ответы ко всем заданиям Читать ещё Сборник содержит 18 тестов для текущего и тематического контроля знаний учащихся по курсу алгебры 7 класса Каждый тест представлен в 4 вариантах и содержит разноуровневые задания Планируемое время выполнения каждого теста 25-30 минут В конце сборника приведены ответы ко всем заданиям Сборник содержит также рекомендации по подсчету баллов и выставлению отметок Книга адресована школьникам для самостоятельного контроля знаний и учителям математики 7 классов Формат: pdf Размер: 2,8 Мб Смотреть, скачать: drivegoogle СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Тест 1 Выражения 7 Тест 2 Преобразование выраж Скрыть Тест по алгебре 7 класс Линейная функция — Сайт matik! matikjimdocom › тест…алгебре-7…линейная-функция/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Тест 5 класс «Умножение и деление натуральных чисел» Тест по математике 5 класс Десятичные дроби В ответе запишите номер такой функции Читать ещё Тест 5 класс «Умножение и деление натуральных чисел» Тест по математике 5 класс Десятичные дроби Тест по математике 5 класс «Инструменты для вычислений и измерений Входной тест 5 класс Тест по алгебре 7 класс Линейная функция Тест по геометрии 7 класс Тест по геометрии 7 класс «Соотношения между сторонами и углами треугольника» Тест по геометрии 8 класс «Градусная мера дуги окружности» Тест по геометрии 8 класс Тест по геометрии 8 класс Площади В ответе запишите номер такой функции Введите ответ : Вопрос № 2 Выберите функцию , график которой изображён на рисунке 1) у=-1,5х-3; 2) у = 1,5х+3; 3) у = -1,5х+3; 4)у = 1,5х-3 В ответе запишите её номер Введите ответ : Вопрос № 3 Скрыть ГДЗ по алгебре 7 класс тесты Мордкович, Тульчинская eurokiorg › …7_klass/testy-po-algebre-7-klass…fgos… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ тесты по алгебре 7 класс Мордкович, Тульчинская Мнемозина Начав изучение курса алгебры , семиклассники должны сразу же настроиться на скрупулезную, планомерную и постоянную работу над всеми темами и разделами дисциплины Регулярно проводимые диагностические, промежуточные аттестации Читать ещё ГДЗ тесты по алгебре 7 класс Мордкович, Тульчинская Мнемозина Начав изучение курса алгебры , семиклассники должны сразу же настроиться на скрупулезную, планомерную и постоянную работу над всеми темами и разделами дисциплины Регулярно проводимые диагностические, промежуточные аттестации по итогам работ за год готовят школьников к выпускным ГИА по обязательным предметам Это, в том числе, математике, в которой задания по алгебре составляют значительный блок Чтобы уверенно получить высокий балл и твердые знания, следует подключить подготовку в формате самостоятельной работы с использованием реш Скрыть Вместе с « тесты по алгебре 7 класс линейная функция с ответами » ищут: тесты по геометрии 7 класс тесты по русскому языку 7 класс тесты по английскому языку 7 класс тесты по английскому языку тематические тесты по алгебре 7 класс тесты по алгебре 8 класс тесты по математике 7 класс тесты по физике 7 класс алгебра 7 класс тесты по алгебре 6 класс 1 2 3 4 5 дальше Браузер Для безопасных прогулок в сети 0+ Установить

Линейные функции и их графики

Обзор линий графика

Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с помощью прямой линии, проходящей по крайней мере через две точки; эта линия называется ее графиком. Например, чтобы построить график линейного уравнения 8x + 4y = 12, мы сначала решим для y .

8x + 4y = 12 Вычтите 8x с обеих сторон. 4y = −8x + 12 Разделите обе стороны на 4.y = −8x + 124 Упростить. y = −8×4 + 124y = −2x + 3

В таком виде мы видим, что y зависит от x ; другими словами, x — это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной. и y — зависимая переменная Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной.Обычно мы думаем о y -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о зависимой переменной. Выберите по крайней мере два x -значения и найдите соответствующие y -значения. Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

Постройте точки и проведите через них линию с помощью линейки.Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график неограничен.

Получившаяся линия представляет все решения 8x + 4y = 12, которых бесконечно много. Вышеупомянутый процесс описывает метод построения графиков, известный как построение точек. Способ определения графика с использованием конечного числа типичных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизну любого наклона можно измерить как отношение вертикального изменения к горизонтальному.Например, уклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто называемый «подъем через пробег», обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. Горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2) мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклона. Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), задается формулой m = y2 − y1x2 − x1 .. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется по формуле:

Уклон m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение x

Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывают с использованием обозначения ΔyΔx, которое представляет изменение y , деленное на изменение x .

Пример 1

Найдите наклон прямой, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислите разницу значений y , деленную на разницу значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:

(x1, y1) (x2, y2) (- 3, −5) (2,1)

м = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 5) 2 — (- 3) = 1 + 52 + 3 = 65

Неважно, какую точку вы считаете первой или второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключенными точками:

(x1, y1) (x2, y2) (2,1) (−3, −5)

м = y2 − y1x2 − x1 = −5−1−3−2 = −6−5 = 65

Ответ: m = 65

Убедитесь, что наклон равен 65, построив линию, описанную в предыдущем примере.

Конечно, график не является обязательным; Красота формулы наклона состоит в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через (6, −3) и (−9, y), равен −23.

Решение:

Подставьте данную информацию в формулу наклона.

Наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)

м = y2 − y1x2 − x1−23 = y — (- 3) −9−6−23 = y + 3 −15

После подстановки в данную информацию остается единственная переменная y .Решать.

−15 (−23) = — 15 (−y + 3 15) 10 = y + 37 = y

Ответ: y = 7

Имеется четыре геометрических случая для значения наклона.

Если читать график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз — отрицательный. В двух других случаях используются горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k — действительное число, мы имеем

y = k Горизонтальная линия x = k Вертикальная линия

Например, если мы построим график y = 2, мы получим горизонтальную линию, а если мы построим график x = −4, мы получим вертикальную линию.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон по формуле наклона.

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения y .Следовательно, подъем равен нулю, а значит, и наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному уклону. В целом

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме ax + by = c., Ax + by = c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона Любая невертикальная линия может быть записана в форма y = mx + b, где м — наклон, а (0, b ) — интервал y ., у = mx + b. Например,

3x − 4y = 8 ← Стандартная форма − 4y = −3x + 8y = −3x + 8−4y = −3x − 4 + 8−4y = 34x − 2 ← Форма пересечения наклона

Где x = 0, мы видим, что y = −2 и, следовательно, (0, −2) — решение для упорядоченной пары. Это точка, где график пересекает ось y и называется пересечением y Точка (или точки), где график пересекает ось y , выраженную в виде упорядоченной пары (0, y ) .. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии.Например, чтобы построить график y = 34x − 2, начните с точки пересечения y (0, −2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки, чтобы построить линию следующим образом:

Тест с вертикальной линией показывает, что этот график представляет функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в форме f (x) = mx + b, является функцией, которую можно записать в форме f (x) = mx + b Линейная функция где уклон м и b представляют любые действительные числа.Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые, а упорядоченные парные решения на графе (x, y) можно записать в форме (x, f (x)).

(х, у) ⇔ (х, е (х))

Мы знаем, что любой интервал y будет иметь значение x , равное нулю. Следовательно, перехват y может быть выражен как упорядоченная пара (0, f (0)). Для линейных функций

f (0) = m (0) + b = b

Следовательно, y -перехват любой линейной функции равен (0, b).Чтобы найти точку пересечения x Точка (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0)., Точка, в которой функция пересекает ось x . , находим x , где y = 0 или f (x) = 0.

Пример 3

Изобразите линейную функцию f (x) = — 53x + 6 и обозначьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f (0) = 6 (или b = 6) и, таким образом, y -перехват равен (0, 6).Также мы можем видеть, что наклон m = −53 = −53 = riserun. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц ниже и на 3 единицы вправо. Проведите линейкой линию, проходящую через эти две точки.

Чтобы определить интервал x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите x , где f (x) = 0.

f (x) = — 53x + 60 = −53x + 653x = 6 (35) 53x = (35) 6x = 185 = 335

Следовательно, интервал x равен (185,0).Общее правило — помечать все важные моменты, которые нельзя четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите интервал x .

Решение:

Начнем с считывания наклона графика. В этом случае начисляются два балла, и мы видим, что

м = стояк = −23

Кроме того, интервал y равен (0, 3) и, следовательно, b = 3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

г (х) = mx + b ↓↓ g (x) = — 23x + 3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g (x) = 0 и решаем относительно x .

г (x) = — 23x + 30 = −23x + 323x = 3 (32) 23x = (32) 3x = 92 = 412

Ответ: g (x) = — 23x + 3; x -перехват: (92,0)

Затем рассмотрите горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет функцию, а вертикальная — нет.

Для любой горизонтальной линии тест вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует ровно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы в домене одинаковы. Это нарушает требование о том, что функции должны связывать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:

Горизонтальную линию часто называют постоянной функцией .Дано любое действительное число c ,

f (x) = c Константа функция

Пример 5

Постройте график постоянной функции g (x) = — 2 и укажите домен и диапазон.

Решение:

Здесь дана постоянная функция, эквивалентная y = −2. Это определяет горизонтальную линию через (0, −2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуй! График f (x) = 3x − 2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи этого раздела, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f (x) = g (x), где f и g являются линейными функциями. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x + 1 = 3 следующим образом:

12x + 1 = 312x = 2 (2) 12x = (2) 2x = 4

Решение этого уравнения: x = 4.Геометрически это значение x пересечения двух графиков f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3. Идея состоит в том, чтобы построить график линейных функций по обе стороны от уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x).

Решение:

Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y -пересечение (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Изобразите обе эти функции на одном наборе осей.

Из графика видно, что f (x) = g (x), где x = 4. Другими словами, 12x + 1 = 3, где x = 4.

Ответ: x = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию, чтобы решить неравенства. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x + 1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x + 1≥312x≥2 (2) 12x≥ (2) 2x≥4

Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f (x) = 12x + 1 лежит выше графика g (x) = 3.

Пример 7

Изобразите f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x).

Решение:

На графике это заштриховано.

Из графика видно, что f (x) ≥g (x) или 12x + 1≥3, где x≥4.

Ответ: Значения x , решающие неравенство, в интервальной нотации равны [4, ∞).

Основные выводы

• Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие y -значения, а затем нанесите на график полученные решения для упорядоченных пар. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Для любых двух точек на прямой мы можем вычислить наклон алгебраически, используя формулу наклона, m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx.
• Используйте форму пересечения наклона y = mx + b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения и (0, b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
• Линейные функции имеют вид f (x) = mx + b, где наклон м и b — действительные числа. Чтобы найти перехват x , если он существует, установите f (x) = 0 и найдите x .
• Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x, f (x)).

Тематические упражнения

Часть A: Построение линий по точкам построения

Найдите пять упорядоченных парных решений и график.

Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

23. (-52,14) и (-12,54)

24. (−4, −3) и (−2, −3)

26. (12, -1) и (-1, -32)

Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через данные точки, имеет данный наклон.

27. м = 32; (6,10), (−4, у)

28. м = −13; (−6,4), (9, у)

29. м = −4; (−2,5), (−1, y)

30. м = 3; (1, −2), (−2, y)

31. м = 15; (1, у), (6,15)

32. м = −34; (−1, у), (−4,5)

По графику определите наклон.

Часть B: Линейные функции

Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

Изобразите линейную функцию и обозначьте точку пересечения x .

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите интервал x .

Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

87. f (x) = 3x − 2, g (x) = — 2x + 3

89. f (x) = — 13x, g (x) = — 23x + 1

90. f (x) = 23x − 1, g (x) = — 43x − 3

Изобразите функции f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.

Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) Проверьте свой ответ алгебраически.

106. f (x) = 32x + 3, g (x) = — 32x − 3

Часть D: Обсуждение

107. Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ? Все ли линейные функции имеют x -перехватов? Объяснять.

108. Может ли функция иметь более одного перехвата y ? Объяснять.

109. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

ответов

73. ф (х) = х + 1; (−1,0)

75. f (x) = — 32x; (0,0)

Обучение линейным уравнениям в математике

Для многих учеников 8-х классов и выше числа и формы, которые они узнали, действительно начинают сходиться воедино, когда они составляют и решают линейные уравнения.Эта тема объединяет идеи об алгебре, геометрии и функциях, и многим детям — и взрослым может быть сложно осмыслить. В этой статье объясняется, что такое линейное уравнение, и рассматриваются различные примеры. Затем он предлагает учащимся идеи уроков по введению и развитию концепции линейных уравнений с одной переменной.

Что такое линейное уравнение?

Как и любое другое уравнение, линейное уравнение состоит из двух равных друг другу выражений.Есть некоторые ключевые особенности, общие для всех линейных уравнений:

1. Линейное уравнение имеет только одну или две переменные.
2. Никакая переменная в линейном уравнении не возводится в степень больше 1 или не используется в качестве знаменателя дроби.
3. Когда вы находите пары значений, которые делают линейное уравнение истинным, и наносите эти пары на координатную сетку, все точки лежат на одной линии. График линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Линейное уравнение с двумя переменными можно описать как линейное соотношение между x и y , то есть двумя переменными, в которых значение одной из них (обычно y ) зависит от значение другого (обычно x ).В этом случае x является независимой переменной, а y зависит от нее, поэтому y называется зависимой переменной.

Независимая переменная, помеченная как x , обычно отображается по горизонтальной оси. Большинство линейных уравнений — это функции. Другими словами, для каждого значения x существует только одно соответствующее значение y . Когда вы присваиваете значение независимой переменной x , вы можете вычислить значение зависимой переменной y .Затем вы можете нанести точки, названные каждой парой ( x , y ), на координатной сетке.

Описание линейных отношений

Студенты уже должны знать, что любые две точки определяют линию. Таким образом, для построения графика линейного уравнения на самом деле требуется всего лишь найти две пары значений и провести линию через точки, которые они описывают. Все остальные точки на линии предоставят значения x и y , которые удовлетворяют уравнению.

Графики линейных уравнений всегда представляют собой линии.Однако важно помнить, что не каждая точка на линии, которую описывает уравнение, обязательно будет решением проблемы, которую описывает уравнение. Например, проблема может не иметь смысла для отрицательных чисел (скажем, если независимая переменная — время) или очень больших чисел (скажем, чисел больше 100, если зависимая переменная — это оценка в классе).

Как выглядит линейное уравнение?

В этом уравнении для любой заданной постоянной скорости соотношение между расстоянием и временем будет линейным.Однако расстояние обычно выражается положительным числом, поэтому на большинстве графиков этой взаимосвязи будут отображаться только точки в первом квадранте. Обратите внимание, что направление линии на графике ниже — снизу слева направо. Линии, идущие в этом направлении, имеют положительный угол наклона . Положительный наклон указывает, что значения на обеих осях увеличиваются слева направо.

Линейные функции

Линейная функция популярна в экономике.Это привлекательно, потому что это просто и легко обрабатывать математически. У него много важных приложений.

Линейные функции — это функции, график которых представляет собой прямую линию.

Линейная функция имеет следующий вид

y = f (x) = a + bx

Линейная функция имеет одну независимую переменную и одну зависимую переменную. Независимая переменная — это x, а зависимая переменная — это y.

a — постоянный член или точка пересечения по оси y.Это ценность зависимого переменная при x = 0.

b — коэффициент независимой переменной. Он также известен как наклон и дает скорость изменения зависимой переменной.

Чтобы построить график линейной функции:

1. Найдите 2 точки, удовлетворяющие уравнению

2. Участок

3. Соедините точки прямой линией

Пример:

y = 25 + 5x

пусть x = 1
, тогда
y = 25 + 5 (1) = 30

пусть x = 3
, тогда
y = 25 + 5 (3) = 40

Простой пример линейного уравнения

Компания имеет постоянные затраты на установку и оборудование в размере 7000 долларов, а также переменные стоимость 600 долларов за каждую единицу продукции.
Каковы общие затраты при различных уровнях выпуска?

пусть x = единицы продукции
пусть C = общая стоимость

C = постоянные затраты плюс переменные затраты = 7000 + 600 x

Линейные уравнения можно складывать, умножать или делить.

Простой пример сложения линейных уравнений

C (x) — функция стоимости

C (x) = фиксированные затраты + переменные затраты

R (x) — функция дохода

R (x) = продажная цена (количество проданных единиц)

прибыль равна выручке за вычетом затрат

P (x) — функция прибыли

P (x) = R (x) — C (x)

x = количество произведенных и проданных единиц

Данные:

Компания получает 45 долларов за каждую проданную единицу продукции.Имеет переменную стоимость 25 долларов США за единицу и фиксированная стоимость 1600 долларов США.
Какова его прибыль, если он продаст (а) 75 предметов, (б) 150 предметов и (в) 200 предметов?

R (x) = 45x	C (x) = 1600 + 25x
P (x) = 45x — (1600 + 25x)
= 20x — 1600

[индекс]

Приложения линейных функций | Безграничная алгебра

Скорость изменения

Линейные функции применяются к задачам реального мира, которые связаны с постоянной скоростью.

Цели обучения

Применение линейных уравнений для решения задач о скорости изменения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если вы знаете, что реальная проблема является линейной, например, расстояние, которое вы преодолеете при пробежке, вы можете построить график функции и сделать некоторые предположения только с двумя точками.
• Наклон функции совпадает со скоростью изменения зависимой переменной [latex] (y) [/ latex]. Например, если вы строите график зависимости расстояния отвремени, то наклон — это то, насколько быстро ваше расстояние меняется со временем, или, другими словами, ваша скорость.

Ключевые термины

• скорость изменения : отношение двух связанных величин, которые изменяются.
• линейное уравнение : полиномиальное уравнение первой степени (например, [латекс] x = 2y-7 [/ latex]).
• наклон : отношение вертикального и горизонтального расстояний между двумя точками на линии; ноль, если линия горизонтальная, неопределенная, если линия вертикальная.

Скорость изменения

Линейные уравнения часто включают скорость изменения. Например, скорость, с которой расстояние изменяется во времени, называется скоростью. Если известны два момента времени и общее пройденное расстояние, можно определить скорость изменения, также известную как наклон. На основе этой информации можно написать линейное уравнение, а затем сделать прогнозы из уравнения линии.

Если единица или количество, относительно которого что-то изменяется, не указаны, обычно ставка рассчитывается за единицу времени.Наиболее распространенный тип частоты — «в единицу времени», такой как скорость, частота сердечных сокращений и поток. Коэффициенты, не имеющие временного знаменателя, включают обменные курсы, уровень грамотности и электрическое поле (в вольтах на метр).

При описании единиц частоты используется слово «per» для разделения единиц двух измерений, используемых для расчета частоты (например, частота пульса выражается «ударами в минуту»).

Скорость изменения: приложение в реальном мире

Пример

Спортсмен начинает свою обычную тренировку перед следующим марафоном вечером.В 18:00 он начинает бежать и выходит из дома. В 19:30 спортсмен заканчивает забег дома и пробежал в общей сложности 7,5 миль. Какова была его средняя скорость во время бега?

Скорость изменения — это скорость его бега; расстояние с течением времени. Следовательно, двумя переменными являются время [латекс] (x) [/ latex] и расстояние [latex] (y) [/ latex]. Первая точка находится в его доме, где его часы показывают 18:00. Это время начала, поэтому давайте установим его на [latex] 0 [/ latex]. Итак, наш первый пункт — [latex] (0,0) [/ latex], потому что он еще никуда не бегал.Давайте подумаем о нашем времени в часах. Наш второй пункт — [латекс] через 1,5 [/ латекс] часа спустя, и мы пробежали [латекс] 7,5 [/ латекс] миль. Второй пункт — [латекс] (1.5,7.5) [/ латекс]. Наша скорость (скорость изменения) — это просто наклон линии, соединяющей две точки. Наклон, определяемый выражением: [latex] m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} [/ latex] становится [latex] m = \ frac {7.5} {1,5} = 5 [/ latex] миль в час.

Пример: Постройте линию, показывающую скорость

Чтобы построить график этой линии, нам нужен отрезок [latex] y [/ latex] и наклон для записи уравнения.Наклон составлял [латекс] 5 [/ латекс] миль в час, и, поскольку начальная точка была в [латекс] (0,0) [/ латекс], пересечение [латекс] y [/ латекс] равно [латекс] 0 [/латекс]. Итак, наша последняя функция [latex] y = 5x [/ latex].

График расстояния и времени: График [латекс] y = 5x [/ latex]. Двумя переменными являются время [латекс] (x) [/ латекс] и расстояние [латекс] (y) [/ латекс]. Скорость бегуна составляет [латекс] 5 [/ латекс] миль в час. Используя график, можно делать прогнозы, предполагая, что его средняя скорость останется прежней.

Теперь с помощью этой новой функции мы можем ответить еще на несколько вопросов.

• Сколько миль он пробежал за первые полчаса? Используя уравнение, если [latex] x = \ frac {1} {2} [/ latex], найдите [latex] y [/ latex]. Если [latex] y = 5x [/ latex], то [latex] y = 5 (0,5) = 2,5 [/ latex] мили.
• Если он продолжит бегать в том же темпе в общей сложности [latex] 3 [/ latex] часа, сколько миль он пробежит? Если [latex] x = 3 [/ latex], найти [latex] y [/ latex]. Если [latex] y = 5x [/ latex], то [latex] y = 5 (3) = 15 [/ latex] миль.

Есть много таких приложений для линейных уравнений. Все, что связано с постоянной скоростью изменения, можно красиво представить линией с наклоном. В самом деле, если у вас есть только две точки, если вы знаете, что функция линейна, вы можете построить ее график и начать задавать вопросы! Просто убедитесь, что то, о чем вы спрашиваете, имеет смысл. Например, в примере с марафоном домен действительно только [latex] x \ geq0 [/ latex], поскольку нет смысла переходить в отрицательное время и терять мили!

Линейные математические модели

Линейные математические модели описывают реальные приложения с помощью линий.

Цели обучения

Применение линейных математических моделей к реальным задачам

Основные выводы

Ключевые моменты

• Математическая модель описывает систему с использованием математических понятий и языка.
• Линейные математические модели можно описать линиями. Например, автомобиль, движущийся [латекс] 50 [/ latex] миль в час, проехал расстояние, представленное [latex] y = 50x [/ latex], где [latex] x [/ latex] — время в часах, а [latex] y [/ latex] — мили.Уравнение и график можно использовать для прогнозов.
• Реальные приложения также можно смоделировать с помощью нескольких линий, например, если два поезда движутся навстречу друг другу. Точка пересечения двух линий — это точка пересечения поездов.

Ключевые термины

• математическая модель : абстрактное математическое представление процесса, устройства или концепции; он использует ряд переменных для представления входов, выходов, внутренних состояний и наборов уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.
• линейная регрессия : подход к моделированию линейной зависимости между зависимой переменной [latex] y [/ latex] и независимой переменной [latex] x [/ latex].

Математические модели

Математическая модель — это описание системы с использованием математических понятий и языка. Математические модели используются не только в естественных и инженерных дисциплинах, но и в социальных науках. Линейное моделирование может включать изменение численности населения, плату за телефонные звонки, стоимость аренды велосипеда, управление весом или сбор средств.Линейная модель включает скорость изменения [латекс] (м) [/ латекс] и начальную величину, точку пересечения по оси y [латекс] b [/ латекс]. После того, как модель написана и построен график линии, любой из них можно использовать для прогнозирования поведения.

Линейная модель в реальной жизни

Многие повседневные действия требуют использования математических моделей, возможно, неосознанно. Одна из трудностей математических моделей заключается в переводе реального приложения в точное математическое представление.

Пример: аренда фургона

Компания по аренде берет фиксированную плату в размере [латекс] 30 долларов [/ латекс] и дополнительно [латекс] 0,25 доллара [/ латекс] за милю за аренду движущегося фургона. Напишите линейное уравнение для аппроксимации стоимости [латекс] y [/ латекс] (в долларах) через [латекс] x [/ латекс], количество пройденных миль. Сколько будет стоить поездка на 75 миль?

Использование формы линейного уравнения с пересечением наклона с общей стоимостью, обозначенной [латекс] y [/ латекс] (зависимая переменная), и милями, обозначенными [латекс] x [/ латекс] (независимая переменная):

[латекс] \ displaystyle y = mx + b [/ латекс]

Общая стоимость равна ставке за милю, умноженной на количество пройденных миль, плюс стоимость фиксированной платы:

[латекс] \ displaystyle y = 0.25x + 30 [/ латекс]

Чтобы рассчитать стоимость поездки [латекс] 75 [/ латекс] миль, подставьте [латекс] 75 [/ латекс] вместо [латекс] x [/ латекс] в уравнение:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = 0,25x + 30 \\ & = 0,25 (75) +30 \ & = 18,75 + 30 \\ & = 48,75 \ end {align} [/ latex]

Модель из реальной жизни с несколькими уравнениями

Также возможно моделировать несколько линий и их уравнения.

Пример

Изначально поезда A и B находятся на расстоянии 325 [/ латексных] миль друг от друга.Поезд A движется к B со скоростью [латекс] 50 [/ latex] миль в час, а поезд B движется к A со скоростью [латекс] 80 [/ latex] миль в час. В какое время встретятся два поезда? В это время, как далеко проехали поезда?

Во-первых, начните с исходных позиций поездов ([latex] y [/ latex] -tercepts, [latex] b [/ latex]). Начало поезда A — это источник, [latex] (0,0) [/ latex]. Поскольку поезд B находится на расстоянии [латекс] 325 [/ латекс] миль от поезда A изначально, его позиция — [латекс] (0,325) [/ латекс].

Во-вторых, чтобы написать уравнения, представляющие общее расстояние каждого поезда с точки зрения времени, вычислите скорость изменения для каждого поезда. Поскольку поезд A движется к поезду B, который имеет большее значение [latex] y [/ latex], скорость изменения поезда A должна быть положительной и равняться его скорости [latex] 50 [/ latex]. Поезд B движется к A, который имеет меньшее значение [latex] y [/ latex], что дает B отрицательную скорость изменения: [latex] -80 [/ latex].

Таким образом, две строки:

[латекс] \ displaystyle y_A = 50x \\ [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle y_B = -80x + 325 [/ латекс]

Два поезда встретятся там, где пересекаются две линии.Чтобы найти место пересечения двух линий, приравняйте уравнения друг к другу и решите для [latex] x [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle y_ {A} = y_ {B} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle 50x = -80x + 325 [/ латекс]

Решение для [latex] x [/ latex] дает:

[латекс] \ displaystyle x = 2,5 [/ латекс]

Два поезда встречаются через [латекс] 2,5 [/ латекс] часа. Чтобы найти его, подставьте [латекс] 2,5 [/ латекс] в любое уравнение.

Подставляя его в первое уравнение, мы получаем [латекс] 50 (2.5) = 125 [/ latex], что означает, что он встречается после того, как A пролетит [latex] 125 [/ latex] миль.

Вот графическая модель расстояния от времени для двух поездов:

Поезда: поезд A (красная линия) представлен уравнением: [латекс] y = 50x [/ latex], а поезд B (синяя линия) представлен уравнением: [латекс] y = -80x + 325 [/ латекс]. Два поезда встречаются в точке пересечения [латекс] (2,5,125) [/ латекс], что через [латекс] 125 [/ латекс] миль за 2,5 [/ латекс] часа.

Подгонка по кривой

Подгонка кривой с помощью линии пытается провести линию так, чтобы она «наилучшим образом соответствовала» всем данным.

Цели обучения

Используйте формулу регрессии наименьших квадратов для вычисления линии наилучшего соответствия для набора точек

Основные выводы

Ключевые моменты

• Аппроксимация кривой полезна для поиска кривой, которая наилучшим образом соответствует данным. Это позволяет делать предположения о том, как примерно распределены данные, и делать прогнозы относительно будущих точек данных.
• Линейная регрессия пытается построить линию, которая наилучшим образом соответствует данным.
• Аппроксимация методом наименьших квадратов — это тип линейной регрессии, который минимизирует сумму квадратов разницы между приближенным значением (от линии) и фактическим значением.{n} x_ {i} = \ left (\ bar {y} — m \ bar {x} \ right)} [/ latex]

Ключевые термины

• аппроксимация кривой : процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных, возможно, с учетом ограничений.
• выброс : значение в статистической выборке, которое не соответствует шаблону и не описывает большинство других точек данных.
• приближение наименьших квадратов : попытка минимизировать суммы квадратов расстояния между прогнозируемой точкой и фактической точкой.
• линейная регрессия : подход к моделированию линейной связи между зависимой переменной [latex] y [/ latex] и независимой переменной [latex] x [/ latex].

Фитинг по кривой

Аппроксимация кривой — это процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных, возможно, с учетом ограничений. Аппроксимация кривой может включать либо интерполяцию, когда требуется точное соответствие данным, либо сглаживание, при котором строится «гладкая» функция, которая приблизительно соответствует данным.Подгонянные кривые можно использовать в качестве вспомогательного средства для визуализации данных, для вывода значений функции, когда данные недоступны, и для суммирования взаимосвязей между двумя или более переменными. Экстраполяция относится к использованию подобранной кривой за пределами диапазона наблюдаемых данных и подвержена большей степени неопределенности, поскольку она может отражать метод, использованный для построения кривой, в той же степени, в какой он отражает наблюдаемые данные.

В этом разделе мы будем подгонять линии только к точкам данных, но следует отметить, что к данным можно подобрать полиномиальные функции, круги, кусочные функции и любое количество функций, и это широко используемая тема в статистике. .

Формула линейной регрессии

Линейная регрессия — это подход к моделированию линейной связи между зависимой переменной [latex] y [/ latex] и независимой переменной [latex] x [/ latex]. При линейной регрессии обнаруживается, что линия в форме пересечения наклона [латекс] y = mx + b [/ latex] «лучше всего соответствует» данным.

Самая простая и, возможно, самая распространенная модель линейной регрессии — это обычное приближение наименьших квадратов. Это приближение пытается минимизировать суммы квадратов расстояния между линией и каждой точкой.{n} x_ {i} [/ латекс].

Используя эти значения [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex], мы теперь имеем линию, которая аппроксимирует точки на графике.

Использование приближения наименьших квадратов

Пример: напишите линию наименьших квадратов, а затем изобразите линию, которая наилучшим образом соответствует данным

За [латекс] n = 8 [/ latex] баллов: [латекс] (- 1,0), (0,0), (1,1), (2,2), (3,1), (4 , 2,5), (5,3) [/ латекс] и [латекс] (6,4) [/ латекс].{n} x_ {i} \\ [/ latex]:

[латекс] \ displaystyle b \ ок. 1,6875-0,554 (2,5) = 0,3025. [/ Латекс]

Таким образом, наше окончательное уравнение [латекс] y = 0,554x + 0,3025 [/ латекс], и эта линия нанесена на график вместе с точками.

Least Squares Fit Line: Линия, найденная методом наименьших квадратов, [латекс] y = 0,554x + 0,3025 [/ latex]. Обратите внимание на 4 точки над линией и 4 точки под линией.

Выбросы и регрессия наименьших квадратов

Если у нас есть точка, которая находится далеко от аппроксимирующей линии, это исказит результаты и сделает линию намного хуже.Например, в нашем исходном примере вместо точки [latex] (- 1,0) [/ latex] мы имеем [latex] (- 1,6) [/ latex].

Используя те же вычисления, что и выше, с новой точкой, результаты следующие: [латекс] m \ приблизительно 0,0536 [/ латекс] и [латекс] b \ приблизительно2,3035 [/ латекс], чтобы получить новое уравнение [латекс] y = 0,0536x + 2,3035 [/ латекс].

Если посмотреть на точки и линию на новом рисунке ниже, эта новая линия не соответствует данным из-за выброса [latex] (- 1,6) [/ latex]. Действительно, попытка подогнать линейные модели к данным, которые являются квадратичными, кубическими или какими-либо нелинейными, или к данным со многими выбросами или ошибками, может привести к плохим аппроксимациям.

Приближенная линия выброса: вот приблизительная линия с учетом новой точки выброса в (-1, 6).

12.1 Линейные уравнения | Введение в статистику

Линейная регрессия для двух переменных основана на линейном уравнении с одной независимой переменной. Уравнение имеет вид:

y = a + b * x, где a и b — постоянные числа.

Переменная x — независимая переменная, а y — зависимая переменная. Обычно вы выбираете значение для замены независимой переменной, а затем решаете зависимую переменную.

у = 3 + 2х

y = –0,01 + 1,2x

Попробуй

Следующий пример является линейным уравнением?

y = –0,125 — 3,5 x

График линейного уравнения вида y = a + bx представляет собой прямую линию .

Любая прямая линия, не являющаяся вертикальной , может быть описана этим уравнением.

Изобразите уравнение y = –1 + 2 x .

Попробуй

Следующий пример является линейным уравнением? Почему или почему нет?

Нет, график не прямая линия; следовательно, это не линейное уравнение.

Пример 2

Служба обработки текстов Аарона (AWPS) занимается обработкой текста.Стоимость услуг составляет 32 доллара в час плюс единовременная оплата в размере 31,50 доллара. Общая стоимость для клиента зависит от количества часов, необходимых для выполнения работы.

Найдите уравнение, которое выражает общих затрат через количество часов , необходимых для выполнения работы.

Пусть x = количество часов, необходимое для выполнения работы.

Пусть y = общая стоимость для покупателя.

31,50 доллара США — это фиксированная стоимость.

Если для выполнения задания требуется x часов, то (32) (x) — это стоимость только обработки текста.

Общая стоимость: y = 31,50 + 32x

Попробуй

Emma’s Extreme Sports нанимает инструкторов по дельтапланеризму и платит им гонорар в размере 50 долларов за класс, а также 20 долларов за каждого ученика в классе. Общая стоимость, которую платит Эмма, зависит от количества студентов в классе. Найдите уравнение, которое выражает общую стоимость через количество учеников в классе.

Для линейного уравнения y = a + bx , b = наклон и a = y — перехват.Из алгебры напомним, что наклон — это число, которое описывает крутизну линии, а точка пересечения y — это координата y точки (0, a ), в которой линия пересекает ось y . .

Пример 3

Какие бывают независимые и зависимые переменные? Что такое перехват и и каков уклон? Интерпретируйте их, используя полные предложения.

Независимая переменная ( x ) — это количество часов, которое Светлана проводит репетиторами на каждой сессии.

Зависимая переменная ( y ) — это сумма в долларах, которую Светлана зарабатывает за каждую сессию.

Перехват и равен 25 ( a = 25).
В начале репетиторства Светлана взимает единовременную плату в размере 25 долларов (это когда x = 0).

Уклон 15 ( b = 15).
За каждое занятие Светлана зарабатывает 15 долларов за каждый час репетиторства.

Попробуй

Итан ремонтирует бытовую технику, например посудомоечные машины и холодильники.За каждое посещение он берет 25 долларов плюс 20 долларов за час работы. Линейное уравнение, которое выражает общую сумму денег, которую Итан зарабатывает за посещение, составляет y = 25 + 20 x .

Какие бывают независимые и зависимые переменные? Что такое перехват и и каков уклон? Интерпретируйте их, используя полные предложения.

Независимая переменная (x) — это количество часов, в течение которых Итан работает при каждом посещении.

Зависимая переменная (y) — это сумма в долларах, которую Итан зарабатывает за каждое посещение.

Перехват по оси Y равен 25 (a = 25).
В начале посещения Итан взимает единовременную плату в размере 25 долларов (это когда x = 0).

Наклон 20 (b = 20).
За каждое посещение Итан зарабатывает 20 долларов за каждый час своей работы.

Ссылки

Данные Центров по контролю и профилактике заболеваний.

Данные Национального центра профилактики ВИЧ, ИППП и ТБ.

Самый простой тип ассоциации — это линейная ассоциация.Этот тип взаимосвязи может быть определен алгебраически с помощью используемых уравнений, численно с фактическими или прогнозируемыми значениями данных или графически по построенной кривой. (Линии классифицируются как прямые кривые.) Алгебраически линейное уравнение обычно принимает форму y = mx + b , где m и b — константы, x — независимая переменная, y — зависимая переменная.В статистическом контексте линейное уравнение записывается в форме y = a + bx , где a и b — константы. Эта форма используется, чтобы помочь читателям отличить статистический контекст от алгебраического. В уравнении y = a + bx константа b , которая умножает переменную x (b называется коэффициентом), называется наклоном .Наклон описывает скорость изменения между независимыми и зависимыми переменными; другими словами, скорость изменения описывает изменение, которое происходит в зависимой переменной при изменении независимой переменной. В уравнении y = a + bx константа a называется перехватом y . Графически пересечение y — это координата y точки, где график линии пересекает ось y . На данный момент x = 0.

Наклон линии — это значение, которое описывает скорость изменения между независимыми и зависимыми переменными. Наклон сообщает нам, как в среднем изменяется зависимая переменная ( y ) на каждую единицу увеличения независимой ( x ) переменной. Перехват y используется для описания зависимой переменной, когда независимая переменная равна нулю. Графически наклон представлен тремя типами линий в элементарной статистике.

y = a + bx , где a — пересечение y , а b — наклон. Переменная x является независимой переменной, а y — зависимой переменной.

10 упражнений для отработки линейных функций как начальник

Наклон и точка пересечения по оси Y составляют основу математических стандартов 8-го класса. Мы тратим 5 полных недель на изучение наклона и пересечения по оси Y и их применения, не говоря уже обо всем остальном времени в течение года, готовясь узнать о них, а затем анализируя и применяя их.Меня до сих пор удивляет, насколько все это становится сложным. Если подумать, ученики должны по-разному определять наклон и точку пересечения по оси Y. Они также должны создавать их в различных формах, и они также должны уметь интерпретировать их во многих формах. Это может привести к ошеломлению как учителя, так и учеников. Каждый год я клянусь себе, что буду делать все больше, чтобы помочь студентам достичь необходимого понимания, и с каждым годом я приближаюсь к этой цели. В этом посте я поделюсь десятью идеями, которые позволят студентам попрактиковаться в использовании уравнений линейных моделей для решения задач.

Для получения дополнительных идей по сравнению различных способов отображения функций ознакомьтесь с «10 упражнениями, которые сделают сравнение функций интересным».

Мой подход в этом году немного изменился по сравнению с прошлыми годами. На этот раз студенты потратили намного больше времени, просто изучив наклон, прежде чем мы перешли к чему-либо еще. Пока что они знают склон лучше, чем мои студенты в прошлом. Кроме того, мы больше сосредоточились на том, что обозначают переменные в форме пересечения наклона.Мы вышли за рамки простого объяснения или создания заметок на форме пересечения склонов. Учащиеся ежедневно просматривают форму пересечения склона и ее компоненты. Одна за другой вы можете увидеть, как у каждого ученика загораются лампочки. Еще не все, но с каждым днем ​​они все ближе подходят к цели.

Я собираюсь поделиться некоторыми стратегиями, которые я использую или которые я хочу использовать в будущем, чтобы научить студентов писать уравнения и помочь им интерпретировать, говорит ли история о наклоне или Y-пересечении..

Перечень работ:

Запишите уравнения лабиринтов

Сопоставление и вставка линейных функций

Графический органайзер для доски БЕСПЛАТНО

Карты задач линейных функций

Практика написания линейных уравнений

Напишите уравнения из ситуаций

Введение в карты задач линейных функций

Рабочий лист по представлению линейных уравнений

Комплект рабочих листов

Останови это существо

Погрузимся в

Эти виды деятельности имеют широкий спектр применения.Их можно использовать в качестве первой практики, которую выполняют студенты. Кроме того, они хорошо работают в качестве циклического обзора в будущем. Все они являются привлекательными способами вовлечь студентов в собственное обучение. В большинстве случаев они теряют представление о том, сколько работы они делают, потому что одновременно получают удовольствие.

В какой-то момент в прошлом году я понял, что студентам просто нужно много попрактиковаться в написании уравнений из таблиц, историй и графиков. Я знаю, что один из лучших способов получить такую ​​практику — это пройти через лабиринт.В этих трех лабиринтах Write an Equations учащиеся решают около 13-15 задач за 10 минут и получают нужные им повторения. Это помогает им увидеть связь между уравнением и другими способами выражения той же математической задачи в таблицах, рассказах и графиках. Мы используем лабиринты в качестве ежедневного звонка в классе, и я считаю, что это идеальная разминка.

Если вы еще не присоединились к клубу «Лабиринт месяца», это отличный способ ежемесячно получать эксклюзивный бесплатный лабиринт прямо на ваш почтовый ящик.Нажмите здесь, чтобы зарегистрироваться.

Зарегистрируйтесь в клубе «Лабиринт месяца».

Плюс, когда вы присоединитесь к клубу MotM, вы получите больше интересных идей и подарков, отправленных прямо на вашу электронную почту. Не могу дождаться встречи с вами там.

Однажды я заметил, что мои студенты в математической лаборатории действительно изо всех сил пытались увидеть разницу между наклоном и пересечением по оси Y в реальном мире. Казалось, они гадали каждый раз, когда мы читали об этом проблему. Это звучало примерно так: «Это число… наклон? Я имею в виду, у-перехват! Ага, все, это медленный… перехват.«Вы понимаете, о чем я — когда студенты выкрикивают случайный ответ. Итак, я решил, что нам нужно еще больше разобрать это. Вот почему я создал это упражнение по сопоставлению и вставке, в котором все ученики смотрят на утверждения, а затем сортируют их по наклону или y-пересечению.

Мы делаем это как сопоставление и вставляем в нашу записную книжку в первый раз, а затем учащиеся получают ее в качестве справки, чтобы вернуться к ней позже. Затем я прошу студентов выполнить это задание во второй раз через пару дней в качестве быстрой формирующей оценки.Кроме того, при выполнении этого упражнения по сортировке я предлагаю студентам подчеркивать ключевые работы в каждом утверждении, чтобы они знали, относится ли оно к наклону или пересечению по оси Y.

Этот графический органайзер внутри SmartPal пользуется огромным успехом у моих студентов, а также у моих коллег. В графическом органайзере есть график, таблица и место для уравнения. Вы заполняете часть графического органайзера, а студенты должны заполнять остальное. Он побуждает учащихся продумать различные аспекты наклона и пересечения оси y.Моим детям это нравится, и все студенты стараются понять это.

Использование этого типа ответа для учащихся дает вам возможность увидеть, в чем они борются. Я прошу каждого ученика показать мне свою работу после того, как они закончат. Если у них все правильно, я говорю им, а если они ошибаются, они пробуют снова. Иногда я вижу, что треть или половина класса совершают ту же ошибку. Эти быстрые формирующие данные дают мне возможность устранить заблуждения и исправить их прямо на месте.Вы можете бесплатно скачать этот графический органайзер здесь. Из-за тесной связи между этими двумя темами я делюсь дополнительными идеями о том, как использовать эту загрузку и сам графический органайзер, в сообщении «10 действий, которые сделают функции сравнения интересными».

Должен признать, что мне было трудно найти занятия, чтобы практиковать этот стандарт. Когда я не могу найти занятие, соответствующее потребностям моих учеников, я обычно его беру. Так родились эти карточки-задания. Мне нужно было, чтобы мои ученики получили больше практики, а карточки с задачами — такой универсальный инструмент, что мне нравится использовать их для каждой темы, которую мы изучаем.В этом наборе первые 8 карточек с заданиями дают ученикам возможность попрактиковаться в написании уравнений из таблиц, графиков и рассказов. На остальных карточках учащиеся определяют и записывают различные части формы пересечения уклона. Вы можете увидеть пример ниже:

Карты задач настолько универсальны. Их можно использовать в качестве партнерских тренировок или сохранить для разминки в классе. Кроме того, вы можете использовать их для практических занятий в классе с помощью студенческих досок. В любом случае, обычно я моделирую мыслительный процесс для пары карточек с задачами, прежде чем я поручаю ученикам работать над ними.

Я использовал эту онлайн-практику для написания уравнений в качестве упреждающего набора. Для предварительных сетов потребовалось немного больше времени, чем мне хотелось бы, но все получилось отлично. Каждый ученик одновременно работал над другой проблемой, и они хотели решить ее правильно. Они должны были быть осторожными с их точностью, и они не могли просто дать ответ. Похоже, это больше всего помогло детям, которые изо всех сил пытались увидеть разницу между наклоном и точкой пересечения по оси Y. Думаю, через пару месяцев снова воспользуюсь им в качестве обзора по этой теме.

При нажатии на эту загрузку вы обнаружите несколько различных занятий. На странице 4 есть задание под названием «Сопоставьте расы с их уравнениями». У них есть серия из 10 рассказов, и учащиеся пишут уравнения. У вас есть возможность дать студентам ответы и позволить им выбрать один из возможных ответов. Я их не использую. Вместо этого я действительно хочу подтолкнуть своих учеников к самостоятельному составлению уравнений из рассказов.

Эта загрузка также содержит некоторые другие практические задания с рассказами, уравнениями и графиками.Обратной стороной является отсутствие ключа ответа. Вы можете использовать эти занятия как практическое задание, домашнее задание или выходной билет.

Этот бесплатный набор карточек с заданиями в блоге Free to Discover можно использовать, чтобы студенты могли больше практиковаться в линейных функциях. На этих карточках представлены задачи, позволяющие студентам попрактиковаться в написании линейных функций из таблиц, поиске пропущенного значения в таблице, определении независимых и зависимых переменных и описании диапазона. Вы можете использовать эти карточки с заданиями в качестве разминки или попросить учащихся выполнить их вместе с партнером для практики.

Когда я нахожу такие рабочие листы, у меня есть несколько игр, в которые я играю с ними, просто чтобы добавить немного азарта. Моя последняя игра называется «Выбери карту». Я показываю задачу из рабочего листа на документ-камере, а студенты решают ее на своих досках. Когда все будут готовы, я задаю студентам 3-4 вопроса об этой проблеме. Вопросы могут включать:

• Какой уклон?
• Что такое точка пересечения оси Y?
• Опишите, что представляет собой наклон.

Каждый ученик, который ответил, может выбрать игральную карту наугад. Перед тем, как сделать выбор, остальные ученики должны решить, кто, по их мнению, получит самую высокую карту, прежде чем будут выбраны карты. Затем я предлагаю каждому из учеников выбрать карточку. Когда они раскрывают то, что они выбрали, человек с самыми высокими картами получает 1000 очков, затем 500 очков за второе высшее и 0 за самое низкое. Остальной класс получает такое же количество очков, как и человек, которого они выбрали до того, как были выбраны карты.Это глупо, но учащиеся получают от этого удовольствие, и они более увлечены математикой.

Нажав на эту ссылку, вы найдете 10 рабочих листов, которые помогут студентам попрактиковаться в различных навыках, связанных с линейными функциями. Некоторые из навыков включают:

• Нахождение наклона по графику
• Нахождение наклона и точки пересечения по оси Y из линейного уравнения
• Графические линии
• Работа с линейными уравнениями

Если вам нужно попрактиковаться в развитии навыков, здесь вы найдете самые разные.Эти рабочие листы не очень интересны, но есть несколько способов оживить их. Одно, что я делаю с ними, — это использую их в качестве выходных билетов, а на следующий день предлагаю студентам анализировать ответы, используя стратегию «Мое любимое нет». Это означает, что я нахожу работу человека, который неправильно понял вопрос, но показывает отличный пример распространенного заблуждения. Студенты должны найти ошибку и исправить ее. Анализ ошибок — отличный способ заставить учащихся задуматься о собственном математическом мышлении.

Эта игра «Останови это существо» от PBS Kids дает учащимся возможность определить правила функций с помощью таблицы и «функциональной машины».Студенты должны определить правило и ввести его в машину, чтобы остановить клонов. Здесь много классной графики. Какой забавный способ для детей попрактиковаться в вычислении правила линейной функции. Я бы использовал это как быстрое завершающее занятие во время моего блока линейных функций или как игру-обзор позже в этом году.

Попробуй одно

Что касается понимания линейных функций, то нужно практиковать так много навыков. Не расстраивайтесь! Помните, что учащимся просто нужно опираться на предыдущее понимание.Необязательно делать все сразу — вы можете разбивать вещи на части. Попробуйте одно из приведенных выше заданий и посмотрите, как ваш ученик отреагирует на него. Если вы попробовали один и добились успеха, возможно, вы захотите попробовать другой. Удачи вам в обучении математике. Спасибо за прочтение. До скорого!

Форма линейного уравнения с пересечением наклона (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet

Ранее в этой главе мы выразили линейные уравнения, используя стандартную форму Ax + By = C.Теперь мы собираемся показать другой способ выражения линейных уравнений, используя форму углового пересечения y = mx + b.

В форме пересечения наклона вы используете наклон линии и точку пересечения оси Y для выражения линейной функции.

$$ y = mx + b $$

Где m — наклон, а b — точка пересечения с y.

Пример

Постройте уравнение

$$ y-2x = 1 $$

переписать в форме пересечения наклона

$$ y = 2x + 1 $$

Определите наклон и точку пересечения оси Y

m = 2 и b = 1

Постройте точку, соответствующую точке пересечения оси y, (0,1)

Значение m, наклон, говорит нам, что для каждого шага вправо по оси x мы перемещаемся на 2 шага вверх по оси y (поскольку m = 2)

И как только у вас будет вторая точка, вы можете просто провести линию через две точки и продлить ее в обоих направлениях.

Вы можете проверить правильность нарисованной линии, подставив координаты второй точки в исходное уравнение. Если уравнение верно, значит, верен второй пункт.

Наша вторая точка = (1, 3)

$$ y-2x = 1 $$

$$ 3-2 \ cdot 1 = 3-2 = 1 $$

Наш второй пункт — это решение уравнения, т. Е. Линия, которую мы нарисовали, верна.

Линия, проходящая через начало координат, имеет Y-пересечение нуля, b = 0, и представляет собой прямую вариацию.

$$ y = mx $$

В прямой вариации ненулевое число m называется постоянной вариации.

Вы можете назвать функцию f, используя понятие функции

$$ f \ влево (x \ вправо) = mx + b $$

f (x) — другое имя для y и читается как «значение f в x» или «f of x». Для именования функций можно использовать буквы, отличные от f.

Группа функций со схожими характеристиками называется семейством функций. Все функции, которые можно записать в виде f (x) = mx + b, принадлежат семейству линейных функций.