Тест по теме параллельность прямой и плоскости 10 класс с ответами: Тест по геометрии на тему "Параллельность прямой и плоскости"

Содержание

Тест по геометрии на тему «Параллельность прямой и плоскости»

ГБПОУ города Москвы «Спортивно-педагогический колледж»

Департамент спорта и туризма города Москвы

преподаватель математики, информатики и ИКТ: Макеева Е.С.

Тест «Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Вариант 1

А1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Точки K, L, M, N- середины отрезков AB, BC, CD, AD соответственно. Укажите прямые, параллельные прямой АС.

1) KL и ML 2)MN и BD 3)KL и MN 4) нет

А2. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость в точках . Найдите длину отрезка , если АС:СВ=3:2 и =20 см .

1) 12 см 2)8 см 3)16 см 4) 4 см

А3. Вершина А треугольника АВС лежит в плоскости α, вершины В и С расположены по одну сторону от этой плоскости. Отрезок AD-медиана треугольника АВС. Через точки B, D, C проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках соответственно. Найдите длину D, если = 2 см и =12 см.

1) 7 см 2) 5 см 3) 10 см 4) 8 см

В1. В тетрадке ABCD точки K, L, M, N-середины рёбер АС, ВС, BD, AD, соответственно. Определите вид четырехугольника KLMN и его периметр, если АВ=16 см и CD=18 см.

Ответ:________________________________________________________________________________________________________________________

В2. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости α. Точка С лежит на отрезке АВ и АС:СВ=2:3. Через точки А, В, С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α соответственно в точках

Найдите , если = α , =b (ba).

Ответ:________________________________________________________________________________________________________________________

C1. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках ,. Найдите , если = 2 см, =3 см, =8 см.

Ответ:________________________________________________________________________________________________________________________

Тест «Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Вариант 2.

А1. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Точки K, L, M, N- середины отрезков AB, BC, CD, AD соответственно. Укажите прямые, параллельные прямой BD.

1) LM и MN 2) KN и LM 3) KN и AC 4) нет

1) 12 см 2) 7 см 3) 8 см 4) 6 см

=8 см.

1) 3 см 2) 11 см 3) 6 см 4) 7 см

В1. В тетрадке ABCD точки K, L, M, N-середины рёбер АС, ВС, BD, AD, соответственно. Определите вид четырехугольника KLMN и его периметр, если АВ=12 см и CD=24 см.

Ответ:________________________________________________________________________________________________________________________

В2. Точки А и В лежат по одну сторону от плоскости α. Точка С лежит на отрезке АВ и АС:СВ=3:4. Через точки А, В, С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α соответственно в точках . Найдите , если = α, =b (ba).

Ответ:________________________________________________________________________________________________________________________

C1. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках

,. Найдите , если = 6 см, =4 см, =10 см.

Ответ:___________________________________________________________________________________________________________________

Ключи к тесту «Параллельность прямых, прямой и плоскости»

№ варианта

А1

А2

А3

В1

В2

С1

параллелограмм;

34 см

7 см

параллелограмм; 36 см

12 см

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Запитання 1

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

варіанти відповідей

они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

они не имеют общих точек.

не имеют общих точек и лежат в разных плоскостях

они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.

Запитання 2

Какое наибольшее число плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых?

варіанти відповідей

Запитання 3

Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых?

варіанти відповідей

Пересекает их

Скрещивается с ними

Параллельна им

Совпадает с одной из них

Запитання 4

Плоскость a пересекается с прямой a, которая параллельна плоскости b. Как расположены относительно друг друга плоскости a и b?

варіанти відповідей

Определить невозможно

Запитання 5

Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются две точки. Это значит, что …

варіанти відповідей

Плоскость прямых совпадает с плоскостью проектирования

Прямые параллельны плоскости проектирования

Плоскость прямых не параллельна направлению проектирования

Прямые параллельны направлению проектирования

Запитання 6

Дан треугольник АВС и плоскость α. АВ∥α и АС∥α, значит прямая ВС …

варіанти відповідей

параллельна плоскости

пересекает плоскость

перпендикулярна плоскости

лежит в плоскости

Запитання 7

Какое утверждение неверно?

варіанти відповідей

Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны

отрезки прямых, заключённые между параллельными прямыми равны

если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость либо тоже параллельна этой плоскости, либо совпадает с ней

Запитання 8

Укажите признак параллельности плоскостей

варіанти відповідей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости

Если две не совпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны

Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны

Запитання 9

Примеры параллельных плоскостей:

варіанти відповідей

рельсы и шпалы

лампа дневного света и пол

полки в холодильнике

Запитання 10

Прямая и плоскость в пространстве могут быть

варіанти відповідей

параллельными

скрещивающимися

пересекающимися

Запитання 11

Две прямые пересекаются, если они:

варіанти відповідей

не имеют общих точек

полностью совпадают

имеют две общие точки

имеют одну общую точку

Запитання 12

Даны параллельные прямая a и плоскость α.

Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных α?

варіанти відповідей

бесконечное множество

Створюйте онлайн-тести
для контролю знань і залучення учнів
до активної роботи у класі та вдома

Створити тест

Натисніть «Подобається», щоб слідкувати за оновленнями на Facebook

Тест по теме: «Параллельность плоскостей»

1. МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Вариант 1
Вариант 2
Использован шаблон создания тестов в PowerPoint

2. Результат теста

Верно: 14
Ошибки: 0
Отметка: 5
Время: 3 мин. 6 сек.
ещё

3. Вариант 1

1. Плоскости параллельны если……
а) Прямая одной плоскости параллельна прямой другой плоскости.
б) Две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой
плоскости.
в) Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой
плоскости.
3

4. Вариант 1

2. Дан треугольника АВС и плоскость α,
причем АВ//α, АС//α.

Тогда прямая ВС…
а) пересекает плоскость α
б) параллельна плоскости α
в) лежит в плоскости α
4

5. Вариант 1

3. Какое утверждение неверное?
а) Отрезки прямых, заключенные между параллельными
плоскостями равны.
б) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
линии их пересечения параллельны.
в) Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости
параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
5

6. Вариант 1

4. Параллелограммы АВСD и АВС₁D₁
лежат в разных плоскостях. Тогда
СС₁D₁D не может быть…
а) ромбом
б) прямоугольником
в) трапецией
6

7. Вариант 1

5. (АВСD) ∦ α, если
а) АВСD- трапеция, АD//ВС, АВ//α, СD//α
б) АВСD – параллелограмм, АВ//α, СD//α
в) АВСD- параллелограмм, АС//α, СD//α
7

8. Вариант 1

6. MN//АВ, MK//АС, АМ=МD. Тогда
D
неверно, что ……
а) NK//ВС
К
М
б) АС=2МК
в) S∆АВС=2S∆MNK
N
С
А
В
8

9.

Вариант 1 7. α║ẞ, а принадлежит плоскости α,
b принадлежит плоскости ẞ. Тогда
прямые а и b не могут быть….
а) Параллельными
б) Пересекающимися
в) Скрещивающимися
9

10. Вариант 1

8. Какое утверждение верное?
а) Не могут не быть параллельными две плоскости, пересеченные
третьей, если линии пересечения плоскостей параллельны.
б) Не могут быть параллельными плоскости, проходящие через
скрещивающиеся прямые.
в) Если две пересекающиеся плоскости параллельны некоторой
прямой, то линия их пересечения не может быть не параллельна этой
же прямой
10

11. Вариант 1

9. Какое утверждение верное?
а) Не могут быть равны два непараллельных отрезка, заключенные
между параллельными плоскостями.
б) Не могут быть скрещивающимися прямые, лежащие в
параллельных плоскостях.
в) Не может прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей,
пересекать другую плоскость.
11

12.

Вариант 1 10. а║α, а║ẞ, b║α, b║ẞ, α∩ẞ. Тогда
прямые а и b ….
а) а║b
б) а и b скрещивающиеся
в) а∩b
12

13. Вариант 1

11. Расстояние между двумя
параллельными плоскостями равно
5см. Тогда расстояние от точки,
лежащей на одной из этих плоскостей,
до второй равно…..
а)
Нельзя
определить
б)
5
в)
Любым в том
числе и 5
13

14. Вариант 1

12. Сторона АС треугольника АВС лежит
в плоскости α. Через середину стороны
АВ – точку М – проведена плоскость ẞ,
параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке К. АС=10см.
Тогда длина отрезка МК равна ….
а)
10
б)
5
в)
15
14

15. Вариант 1

13. α║ẞ, α∩ẞ=В, а∩α=А₁, а∩ẞ=А2, b∩α=C₁,
b∩ẞ=C2. А₁В:А₁А2=2:3. Тогда отношение
ВС₁:ВС2=….
В
а)
0,6
б)
2,5
в)
0,4
А₁
α
ẞ
А2
а
С₁
С2
b
15
15

16.

Вариант 1 14. Три отрезка DD₁, ЕЕ₁, FF₁, не
лежащие в одной плоскости, имеют
общую середину, тогда плоскости DEF и
D₁E₁F₁ …….
а) пересекаются
б) параллельны
в) нельзя определить
16

17. Вариант 2

1. Чтобы утверждать, что плоскости α и
ẞ параллельны, достаточно доказать,
что плоскость α проходит через …..
а) Прямую, параллельную плоскости ẞ.
б) Две прямые, параллельные плоскости ẞ.
в) Две пересекающиеся прямые, параллельные плоскости ẞ.
17

18. Вариант 2

2. Диагонали параллелограмма АВСD
параллельны плоскости α. Тогда прямая
АВ…..
а) пересекает плоскость α
б) параллельна плоскости α
в) лежит в плоскости α
18

19. Вариант 2

3. Какое утверждение верное?
а) Если через каждую из двух скрещивающихся прямых провести
плоскость, параллельную другой прямой, то эти плоскости будут
параллельны.
б) Если через каждую из двух скрещивающихся прямых провести
плоскость, то эти плоскости будут параллельны
в) Если через каждую из двух параллельных прямых провести
плоскость, то эти плоскости будут параллельны .

20. Вариант 2

4. α∩ẞ. Тогда некоторая плоскость ɣ….
а) Параллельна плоскостям α и ẞ. .
б) Пересечет только одну из двух плоскостей.
в) Пересечет хотя бы одну из двух плоскостей
20

21. Вариант 2

5. Какое утверждение неверное?
а) Если две плоскости пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
б) Если прямая параллельная каждой из двух пересекающихся
плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.
в) Если прямая параллельна линии пересечения плоскостей и не
лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям..
21

22. Вариант 2

6. Через вершины ромба АВСD
лежащего в одной из двух
параллельных плоскостей, проведены
параллельные прямые, пересекающие
вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁ и
D₁. Тогда А₁В₁С₁D₁ не может быть …
а) прямоугольником
б) квадратом
в) трапецией
22

23. Вариант 2

7. α║ẞ, а принадлежит плоскости α, b
принадлежит плоскости ẞ.

Тогда
неверно, что …..
а) а параллельна b
б) а и b скрещивающиеся
в) а пересекает b
23

24. Вариант 2

8. Какое утверждение верное?
а) Не могут быть параллельными две плоскости, проходящие
через непараллельные прямые.
б) Если две плоскости пересечены третьей и линии пересечения
плоскостей параллельны, то данные плоскости параллельны.
в) Не могут не быть параллельными две плоскости, если одна из
них проходит через две пересекающиеся прямые, параллельные
другой плоскости.
24

25. Вариант 2

9. Какое утверждение неверное?
а) Не могут быть неравными два параллельных отрезка,
заключенные между параллельными плоскостями.
б) Не могут быть равными два непараллельных отрезка,
заключенные между параллельными плоскостями
в) Не могут пересекаться прямые, лежащие в параллельных
плоскостях.
25

26. Вариант 2

10. Прямая р принадлежит α, прямая g
принадлежит α, р∩g, точка А не
принадлежит плоскости α, АВ║α, АС║g,
точка А принадлежит плоскости ẞ, точка
С принадлежит плоскости ẞ.

Тогда
плоскости α и ẞ .….
а) α║ẞ
б) α∩ẞ
в) определить нельзя
26

27. Вариант 2

11. Расстояние от точки, лежащей на
одной из параллельных плоскостей, до
второй равно 7см. Тогда расстояние
между плоскостями равно ….
а)
Нельзя
определить
б)
7
в)
Любым в том
числе и 7
27

28. Вариант 2

12. Сторона АВ треугольника АВС лежит
в плоскости α. Через середину стороны
АС – точку Р – проведена плоскость ẞ,
параллельная плоскости α и
пересекающая ВС в точке Е. РЕ=7 см.
Тогда длина отрезка АВ равна ….
а)
3,5
б)
14
в)
7
28

29. Вариант 2

13. α║ẞ, α∩ẞ=В, а∩α=А₁, а∩ẞ=А2, b∩α=C₁,
b∩ẞ=C2. А₁В:С₁В=2:3. Тогда отношение
А2В:С2В=….
а)
0,6
б)
0,4
в)
1,5
α
А₁
С₁
В
А2
ẞ
а
С2
b
29
29

30. Вариант 2

14. Три отрезка АА₁, ВВ₁, СС₁, не
лежащие в одной плоскости, имеют
общую середину, тогда плоскости АВС и
А₁В₁С₁ …….

а) пересекаются
б) параллельны
в) нельзя определить
30
Ключи к тесту: Параллельность плоскостей.
1 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Отв.
в
б
в
а
a
в
а
в
в
а
б
б
в
б
2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Отв.
в
б
а
в
а
в
в
в
б
а
б
б
в
б
Литература
Г.И. Ковалева, Н.И. Мазурова Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего
контроля. Изд-во «Учитель», 2009г.
31

Поурочные разработки по геометрии 10 класс

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Введение. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

Урок 1. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Урок 2. Некоторые следствия из аксиом

Урок 3. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Урок 4. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Урок 5. Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий. Самостоятельная работа

Глава I. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Урок 6. Параллельные прямые в пространстве

Урок 7. Параллельность прямой и плоскости

Урок 8. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Урок 9. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Урок 10. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Урок 11. Скрещивающиеся прямые

Урок 12. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Урок 13. Решение задач по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»

Урок 14. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Урок 15. Контрольная работа по теме «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости»

§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Урок 16. Параллельные плоскости

Урок 17. Свойства параллельных плоскостей

§ 4. ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Урок 18. Тетраэдр

Урок 19. Параллелепипед

Урок 20. Задачи на построение сечений

Урок 21. Задачи на построение сечений

Урок 22. Закрепление свойств параллелепипеда

Урок 23. Контрольная работа № 1

Урок 24. Зачет № 1

Глава II. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

§ 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Урок 25. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Урок 26. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок 27. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Урок 28. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Урок 29. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

Урок 30. Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости

§ 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Урок 31. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Урок 32. Угол между прямой и плоскостью

Урок 33. Повторение теории. Решение задач на применение теоремы о трех перпендикулярах (ТПП), на угол между прямой и плоскостью

Урок 34. Решение задач на применение ТТП, на угол между прямой и плоскостью

Урок 35. Повторение (решение задач на теорему о 3-х перпендикулярах)

Урок 36. Угол между прямой и плоскостью (повторение)

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Урок 37. Двугранный угол

Урок 38. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Урок 39. Прямоугольный параллелепипед

Урок 40. Решение задач на свойства прямоугольного параллелепипеда

Урок 41. Перпендикулярность прямых и плоскостей (повторение)

Урок 42. Решение задач

Урок 43. Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскости»

Урок 44. Зачет № 2

Глава III. МНОГОГРАННИКИ

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА

Урок 45. Понятие многогранника

Урок 46. Призма. Площадь поверхности призмы

Урок 47. Повторение теории, решение задач на вычисление площади поверхности призмы

Урок 48. Решение задач на вычисление площади поверхности призмы

§ 2. ПИРАМИДА

Урок 49. Пирамида

Урок 50. Правильная пирамида

Урок 51. Решение задач по теме «Пирамида»

Урок 52. Решение задач по теме «Пирамида». Самостоятельная работа

Урок 53. Усеченная пирамида. Площади поверхности усеченной пирамиды

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Урок 54. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников

Урок 55. Контрольная работе № 3.1 по теме «Многогранники»

Урок 56. Зачет № 3 по теме «Многогранники. Площадь поверхности призмы, пирамиды»

Глава IV. ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

Урок 57. Понятие векторов. Равенство векторов

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Урок 58. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов

Урок 59. Умножение вектора на число

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Урок 60. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Урок 61. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Урок 62. Зачет по теме «Векторы в пространстве»

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Урок 63. Итоговое повторение. Аксиомы стереометрии и их следствия

Урок 64. Параллельность прямых и плоскостей

Урок 65. Повторение (теорема о трех перпендикулярах, угол между прямой и плоскостью)

Урок 66. Контрольная работа № 5

Урок 67. Повторение. Векторы в пространстве, их применение к решению задач

Урок 68. Заключительный урок-беседа по курсу геометрии

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Контрольные и самостоятельные работы

Урок 5. Самостоятельная работа

Урок 9. Самостоятельная работа обучающего характера

Урок 10. Проверочная самостоятельная работа

Урок 14. Работа по карточкам

Урок 15. Контрольная работа по теме «Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости»

Урок 17. Самостоятельная работа

Урок 23. Контрольная работа № 1

Урок 30. Самостоятельная работа

Урок 53. Тест

Урок 55. Контрольная работа № 3.1 по теме «Многогранники»

Урок 63. Теоретический тест с последующей самопроверкой

Урок 66. Контрольная работа № 5

Урок 67. Мини-тест по теории

Приложение 2. Плакаты № 1, 2, 3, 4, рекомендуемые к урокам № 51, 52, 53

Тест с ответами по геометрии для старших классов

1. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве:
1) стереометрия +
2) планиметрия
3) Евклидова геометрия
4) проективная геометрия

2. Граница шара – это…
1) шар
2) сфера +
3) цилиндр
4) окружность

3. Через любые … точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
1) 2
2) 3 +
3) 4

4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в … плоскости
1) параллельной
2) прямой
3) диагональной
4) этой +

5. Через … пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
1) 2+
2) 3
3) 4

6. Две прямые в пространстве называются …, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
1) перпендикулярными
2) диагональными
3) параллельными +
4) скрещивающимися

7. Две прямые называются …, если они не лежат в одной плоскости
1) перпендикулярными
2) диагональными
3) параллельными
4) скрещивающимися +

8. Если стороны двух углов соответственно …, то такие углы равны
1) сонаправлены +
2) равны
3) перпендикулярны
4) скрещиваются

9. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АBCD и А1B1C1D1 и четырех параллелограммов, называется…
1) параллелепипед +
2) октаэдр
3) тетраэдр
4) ромб

10. Прямая называется … к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
1) параллельной
2) соприкасающейся
3) перпендикулярной +
4) сонаправленной

11. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они …
1) параллельны +
2) перпендикулярны
3) лежат на диагонали
4) лежат на прямой

12. Через … точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
1) одну
2) любую +
3) параллельную
4) диагональную

13. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, … любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.
1) больше
2) равен
3) меньше +
4) параллелен

14. Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется …
1) расстоянием между параллельными плоскостями +
2) расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью
3) расстоянием между скрещивающимися прямыми
4) расстоянием между сонаправленными плоскостями

15. Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется…
1) расстоянием между параллельными плоскостями
2) расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью +
3) расстоянием между скрещивающимися прямыми
4) расстоянием между сонаправленными плоскостями

16. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется…
1) расстоянием между параллельными плоскостями
2) расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью
3) расстоянием между скрещивающимися прямыми +
4) расстоянием между сонаправленными плоскостями

17. Фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости
1) двугранный угол +
2) параллельный угол
3) перпендикулярный угол
4) плоскостной угол
18. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются…
1) сторонами
2) гранями +
3) параллелями
4) диагоналями

19. Двугранный угол называется прямым, если он равен…
1) 45 градусов
2) 90 градусов +
3) 110 градусов
4) 180 градусов

20. Двугранный угол называется острым, если он …
1) меньше 90 градусов +
2) больше 90 градусов

21. Двугранный угол называется тупым, если он …
1) меньше 90 градусов
2) больше 90 градусов +

22. Две пересекающиеся плоскости называются …, если угол между ними равен 90 градусов
1) параллельными
2) сонаправленными
3) соприкасающимися
4) перпендикулярными +

23. Диагонали прямоугольного параллелепипеда …
1) параллельны
2) перпендикулярны
3) равны
4) не равны

24. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла … 360о
1) больше
2) меньше +
3) равна

25. Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется…
1) внутренней +
2) ограниченной
3) связной
4) определенной

26. Фигура называется …, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре.
1) внутренней
2) ограниченной
3) связной +
4) определенной

27. Фигура называется …, если ее можно заключить в какую-нибудь сферу.
1) внутренней
2) ограниченной +
3) связной
4) определенной

28. Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется … точкой фигуры.
1) внутренней +
2) внешней
3) наружной
4) сквозной

29. Множество всех граничных точек фигуры называется ее …
1) стороной
2) границей
3) диагональю
4) телом

30. В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на …
1) 2+
2) 5
3) 7
4) 9

Урок 8. перпендикулярность прямой и плоскости — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Дополнительная литература:

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Доказательство:

Дано: a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90^о.

Так как b ‖ a, а а ‖ МА, то b ‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90^о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90^о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90^о, то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:

Дано: a ‖ а₁, а ⊥ α

Доказать, что а₁ ⊥ α

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁⊥ x.

Таким образом, прямая а₁_{перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α}

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊b₁, b₁‖ a. По предыдущей теореме b₁ ⊥ α.

Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁_{и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α β = c (невозможно)→ а ‖ b}

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

Рис. 3.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Рис. 1.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).

AD, A₁D₁, BC, B₁C₁
AD, AC, AD₁,
ВС, ВА.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Все остальные

Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.

Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DC), к грани куба (DDC).Эти ребра — AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

Пример 2

Ребус – соответствия.

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

Утверждение:

Две прямые называются перпендикулярными, если …..
Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

Варианты ответов:

параллельны
один
она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …	угол между ними равен 90
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …	перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Все остальные.

Подсказка:

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Параллельность прямых и плоскостей (10 класс)

Методическая разработка урока геометрии в 10 класса

Параллельность прямых и плоскостей

Нетикова Маргарита Анатольевна,
учитель математики ГБОУ школа №471
Выборгского района Санкт-Петербурга.

Предмет математики настолько серьёзен,
что не надо упускать случая сделать
его немного занимательным.

Б.Паскаль

Тип урока:урок обобщения и систематизации знаний

Форма урока:урок проводится в форме коллоквиума, обеспечивающей повторение и систематизацию учебного материала, контроль знаний учащихся, их коррекцию.

Класс заранее делится на 6 групп по 5 человек.

Урок разбит на 5 блоков:

1. Аксиомы стереометрии

2. Взаимное расположение прямых в пространстве.

3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.

4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей.

5. Задачи на построение сечений.

Каждый блок, кроме пятого, состоит из учебных элементов (УЭ). УЭ — это последовательные шаги, алгоритм работы учащихся, с которым школьник работает непосредственно:

1) актуализация знаний

2) доказательство теорем

3) решение задач.

Ученики выполняют задания, составленные учителем, с той степенью понимания, осмысления и запоминания, которое соответствует индивидуальным возможностям школьника.

Урок дает возможность определить уровень усвоения материала и быстро выявить пробелы в знаниях, создает условия для мотивации, повышения интереса к предмету, способствует развитию и совершенствованию самостоятельной деятельности учащихся; обеспечивает непрерывное образование и устраняет перегрузку домашнего задания.

У учащихся есть возможность:

— работать самостоятельно с дифференцированной программой;

— вернуться к учебному материалу, если в этом есть необходимость;

— получить консультацию и дозированную персональную помощь от учителя или члена группы.

На уроке создается комфортная обстановка:

— индивидуальный темп (для сильных учащихся предлагаются дополнительные задачи),

— «мягкий» контроль (возможность получить помощь товарища).

Учащиеся развивают личностные качества школьника (самостоятельность; умение ставить цели, планировать, организовывать и оценивать свою деятельность). Для самостоятельной оценки деятельности учащимся предлагаются критерии, с помощью которых ученики подсчитывают свои баллы и после 5 блока выставляют себе оценку самостоятельно. Во время самостоятельной работы учитель проверяет объективность выставленных оценок.

Четкая структура урока, дает учителю возможность «видеть» весь класс, работать индивидуально с каждым учеником, оказывать помощь отстающим.

Результат — повышение качества обученности учащихся.

Роль преподавателя на уроке заключается в управлении процессом обучения, консультировании, помощи и поддержке учеников.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по данной теме, подготовиться к контрольной работе.

Задачи урока

Обучающие: организовать работу учащихся по систематизации знаний основных теоретических вопросов темы;

закрепить и углубить знания и умения учащихсяприменять аксиомы стереометрии, следствия из аксиом, теоремы о параллельности прямых, прямой и плоскости, параллельности плоскостей.

Развивающие:создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету;

развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;

развивать навыки самоконтроля;

развивать активность учащихся,

формировать учебно-познавательные действия, коммуникативные, исследовательские навыки учащихся, умение анализировать и устанавливать связь между элементами темы.

Воспитывающие: создать условия успешности ученика на уроке;

воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии;

развивать умение рецензировать и корректировать ответы товарищей.

воспитывать умение критически относиться к результатам деятельности;

обеспечить гуманистический характер обучения;

Планируемые результаты:

Предметные: знать аксиомы, теоремы по данной теме и уметь их доказывать, применять при решении типовых задач.

Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в группе.

Метапредметные:уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.

Педагогические технологии: элементы обучения в сотрудничестве (работа в группах) и коллективного взаимообучения.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

Содержание учебного материала.

1.Аксиомы стереометрии и следствия из них.

2.Признаки параллельности прямых, прямой и плоскости, скрещивающихся прямых; признак и свойства параллельных плоскостей.

3.Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4.Задачи на доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, скрещивающихся прямых.

Структура урока.

1.Организационная часть.

2.Мотивационная часть.

3.Работа по блокам:

«Аксиомы стереометрии»

«Взаимное расположение прямых в пространстве»

«Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости»

« Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей»

« Задачи на построение сечений»

4.Подведение итогов урока

5. Домашнее задание.

6.Рефлексия урока.

Технологическая карта урока геометрии в 10 классе по теме:« Параллельность прямых и плоскостей»

*Этапы урока*	*Задачи этапа*	*Деятельность учителя*	*Деятельность учащихся*	*УУД*
1.Организационная часть	Создание рабочего настроения в начале урока, объяснение правил.	Здоровается с учениками, проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату, сообщает правила урока	Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя	Регулятивные: организация учебной деятельности.
2.Мотивационная часть	Создание ситуации успеха.	Объясняет необходимость и важность данного урока	Слушают учителя	Регулятивные: организация учебной деятельности.
3.Обобщающее повторение (работа по блокам)	Повторить и систематизировать изученный теоретический материал, рассмотреть основные типы задач по каждому блоку.	Корректирует и организовывает деятельность учащихся на каждом блоке, собирает бланки с решениями и ответами	Отвечают на вопросы, доказывают теоремы, выполняют тесты и решают задачи в своих командах.	Коммуникативные: умение прислушиваться к мнению окружающих. Регулятивные: оценивание результатов своей деятельности. Познавательные: анализ условий поставленной задачи и поиск её рационального решения. Личностные: оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей.
4.Подведение итогов урока	Осознание каждым учащимся: чему, как и зачем он научился сегодня на уроке, и с какими знаниями и умениями он должен прийти на следующий урок.	Слушает комментарии к уроку у		Регулятивные: умение оценить качество и уровень усвоения
5. Домашнее задание.	Комментарии по домашнему заданию с целью его успешного выполнения.	Раздаёт каждой команде текст демонстрационного варианта контрольной работы	Записывают домашнее задание в дневники и задают по нему вопросы.
6.Рефлексия урока.	Заставить детей задуматься в конце урока о своём настроении, эмоциональном состоянии и результатах взаимодействия с другими участниками образовательного процесса.	Выходя из кабинета, оцените по пятибалльной шкале своё настроение в конце урока и поставьте оценку на доске. Урок закончен, всем спасибо!	Собирают свои вещи, ставят оценки на доске цветными мелками.	Коммуникативные: умение грамотно и честно выражать свои мысли. Регулятивные: умение оценить достигнутый результат. Личностные: чувство гордости за хорошо проделанную работу.

Ход урока

1. Организационная часть.
Сегодня мы с вами должны подняться ещё на одну ступеньку вверх, «преодолевая» задачи, которые будут рассматриваться на уроке. Мы начинаем повторение темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве» (слайд 1). Наша задача вспомнить все, что мы знаем по этой теме.

2. Мотивационная часть.

Мы должны закрепить и углубить наши знания по этой теме.

Эти знания пригодятся нам для решения практических задач, для успешной сдачи ЕГЭ.

Вы должны научиться анализировать и устанавливать связь между элементами темы. Развить свою активность, сформировать учебно — познавательные действия, коммуникативные навыки. Хотелось бы создать условия вашей успешности на уроке; чтобы вы проявили способность к самоанализу, рефлексии, умение рецензировать и корректировать ответы товарищей. А каковы пути и средства достижения этих целей?

Домашнее задание к сегодняшнему уроку заключалось в том, чтобы вы повторили пункты 1- 12, просмотрели и еще раз разобрали задачи, которые мы решали в этих пунктах для обобщения и закрепления темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».

3.Обобщающее повторение.

Блок 1. Аксиомы стереометрии

Цели блока:

— повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач ;

-повторить следствия из аксиом;
— закрепить умение применять аксиомы стереометрии и следствия из аксиом при решении задач;.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

Учащиеся вспоминают учебный материал.

Посмотрите на чертёж (слайды 2,3).Какие утверждения они иллюстрируют? Сформулируйте их.

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) разъяснение содержания аксиом;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

Вот и название первого блока нашего урока: Аксиомы стереометрии (слайд 4)

2. Как формулируются следствия из этих аксиом? (слайды 4,5).Кто хочет доказать эти теоремы?

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1. Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Учащиеся самостоятельно выполняют задание (проверяем на доске), советуясь в своих командах.

Способы задания плоскостей	Рисунок
I. По трем точкам, не лежащим на одной прямой
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.

Задание 2. Ответьте на вопросы (слайд 6). Каждая команда отвечает на свой вопрос.

Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Задание 3(слайд 7) Три вершины параллелограмма лежат в некоторой плоскости. Можно ли утверждать, что и его четвертая вершина лежит в этой плоскости?

Команды обсуждают решение и озвучивают ответ.
Задание 4: тест по вариантам(для каждого ученика)

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 1

1.Верно ли: любые три точки лежат в одной плоскости.

2.Вставьте пропущенные слова:Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они … на одной прямой.

3.Пересечением двух плоскостей является

А) точка Б) прямая В) отрезок

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 2

1.Верно ли: любые четыре точки лежат в одной плоскости.

2.Вставьте пропущенные слова:Если … точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

3.Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?

А) две параллельные прямые

Б) две скрещивающиеся прямые

В) три точки

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 3

1.Верно ли: любые четыре точки не лежат в одной плоскости.

2.Вставьте пропущенные слова:Две различные плоскости могут иметь только одну общую …

3.Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?

А) одна Б) две В) три

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 4

Верно ли: если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.

2.Вставьте пропущенные слова:две прямые, параллельные некоторой … , могут пересекаться.

3.Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?

А) одну плоскость

Б) две плоскости

В) бесконечно много плоскостей

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 5

Верно ли: пять точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь четыре из них лежать на одной прямой?

2.Вставьте пропущенные слова:две прямые, параллельные некоторой … , параллельны.

3.Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?

А) Через три точки

Б) Через прямую и не лежащую на ней точку

В) Через отрезок

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 6

Верно ли: через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата?

2.Вставьте пропущенные слова: две прямые, параллельные некоторой … , могут пересекаться.

3. Две прямые пересекаются. Что это значит?

А) Они имеют две общие точки.

Б) Они имеют одну общую точку.

В) Они лежат в одной плоскости.

Блок 2. Взаимное расположение прямых в пространстве.(слайд 8)

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Параллельные прямыев пространстве»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение двух прямых в пространстве (слайд 9)

а ççв аÇв аи в скрещивающиеся

— Какие прямые в пространстве называются параллельными? (Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются)

— Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. (Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны).

— Какие прямые в пространстве называются скрещивающимися? (Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются)

-Сформулируйте и докажите признак скрещивающихся прямых.

Один ученик доказывает признак параллельности прямых в пространстве (слайд 10), второй ученик доказывает признак скрещивающихся прямых (слайд 10) по чертежу на слайде.

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание Каждая команда получает карточку с заданием, обсуждает, а затем представляет своё решение (приложение 1)

Блок 3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.(слайд 11)

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости (слайд 12)

а Ìα аççα аÇα

— Какие прямая и плоскость называются параллельными? (Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются)

— Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости в пространстве. (Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.)

Ученик доказывает признак параллельности прямой и плоскости в пространстве по чертежу на слайде (слайд 13).

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1 задача по готовому чертежу (слайд 14)

Задание 2.Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его всей командой (приложение 2). Готовое решение сдают учителю.

Блок 4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей (слайд 15).

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей (слайд 16)

α Çβ

α иβ — совпадают α ççβ

— Какие плоскости называются параллельными? (Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются)

— Сформулируйте и докажите признак параллельности плоскостей в пространстве. (Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны) (слайд 17)

— Сформулируйте свойство параллельных плоскостей (слайд 18)

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1 Задача по готовому чертежу (слайд 19)

Задание 2 Задача по готовому чертежу каждой команде на карточке (приложение 3)

Блок 5. Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда(слайды 20,21).

Каждая команда получает чертежи тетраэдра и параллелепипеда, на них отмечает точки, через которые надо провести сечение, и отдаёт их другой команде. Задание выполняется коллективно, после чего сдаётся учителю.

4. Подведение итогов урока.

Молодцы! Трудились с полной отдачей, ощутили радость своего труда. Оценки за урок вы узнаете после проверки ваших работ.

5. Рефлексия.

У каждого ученика в начале урока лежали на столах смайлики. В конце урока они сдают учителю тот смайлик, который соответствовал их настроению.

Мне всё понятно. Вопросов нет.	Мне ничего не понятно.	У меня есть вопросы.

Перед вами лежат смайлики. Если у вас на уроке все получалось правильно, если остались от урока положительные эмоции, урок был интересным, то поднимите радостный смайлик. Если вы таскали тяжёлые камни, если всё было не понятно, то поднимите плачущий смайлик, если в течение урокавы добросовестно выполняли свою работу, но у вас возникали проблемы – поднимите читающий смайлик.

Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.

6. Задание на дом.

Демонстрационный вариант контрольной работы

Приложение 1

Команда 1

Прямая а не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Определите взаимное расположение

прямых aи BC,если aIIAB

Команда 2

1.Прямая а не лежит в плоскости ABC.Определите взаимное расположение прямых aи AC,если aIIAB

Команда 3

1. Прямая а не лежит в плоскости трапеции ABCD. Определите взаимное расположение прямых aи BC, если aIIAB.

Команда 4

1.Дан тетраэдр ABCD. Определите взаимное расположение прямых ADи BC.

Команда 5

1. Определите взаимное расположение прямых MAи DC

Команда 6

1.Определите взаимное расположение прямых ANи CM, если NM∩(ABC)

Приложение 2

Команда 1(4)

1. Прямые а и bскрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?

а) взаимное расположение точно определить нельзя;

б) скрещиваются или параллельны;

в) параллельны или пересекаются;

г) совпадают;

2.Прямые а и b параллельны одной плоскости . Как расположены прямые а и b относительно друг друга?

а) параллельны

б) пересекаются

в) скрещиваются

Команда 2(5)

1. Выберите верное утверждение.

а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек;

б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны;

в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны;

2. Прямая а лежит в плоскости. Как расположена относительно плоскости прямая b, если b параллельна а?

а) перпендикулярно

б) параллельно

в) пересекает

Команда 3(6)

1.Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:

а) прямые а и с пересекаются;

б) прямая с лежит в плоскости α;

в) прямые а и с скрещиваются;

г) прямая bлежит в плоскости α;

д) прямые а и с параллельны.

2. Сколько плоскостей можно провести через две данные точки?

а) одну

б) две

в) много

Приложение 3

Команда 1

α II β,

a∩b=F.

AF:FN=1:3, AB=4.

Найти MN.

Команда 2

α II β,

RK∩NS=M,

KM:KR=1:3,NS=9.

Найти MS.

Команда3

α II β,

a∩b=F.

AF:FN=2:5, AB=10.

НайтиMN.

Команда 4

α II β,

RK∩NS=M,

KN:RS=1:3,MK=2.

Найти KR.

Команда 5

α II β,

a∩b=F.

AB:MN=2:3, AF=10.

Найти FN.

Команда 6

α II β,

RK∩NS=M,

MN:NS=1:3,MK=4.

НайтиMR.

Литература.

1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1998. — 344с.

2. Голощёкина Л.П., Збаровский B.C. Модульная технология обучения: Методические рекомендации. — СПб: ЮНИТИ-ДАНА, 1993.

3. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010.

4. Алтынов П.И. Геометрия. 10-11 класс. Тесты. 2001

5. Шарапова В.К. Тематические тесты по геометрии: 10-11 классы, Феникс, 2007

6. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2008.

7. Геометрия 10 класс. Составители Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. – Волгоград, «Учитель», 2002.

Методическая разработка урока геометрии в 10 классе.

Нетикова Маргарита Анатольевна,

учитель математики ГБОУ школа №471

Выборгского района Санкт- Петербурга.

Предмет математики настолько серьёзен, что не надо

упускать случая сделать его немного занимательным.

Б.Паскаль

Тема урока: « Параллельность прямых и плоскостей»

Тип урока:урок обобщения и систематизации знаний

Класс заранее делится на 6 групп по 5 человек.

Урок разбит на 5 блоков:

1. Аксиомы стереометрии

2. Взаимное расположение прямых в пространстве.

3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.

4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей.

5. Задачи на построение сечений.

1) актуализация знаний

2) доказательство теорем

3) решение задач.

У учащихся есть возможность:

— работать самостоятельно с дифференцированной программой;

— вернуться к учебному материалу, если в этом есть необходимость;

— получить консультацию и дозированную персональную помощь от учителя или члена группы.

На уроке создается комфортная обстановка:

— индивидуальный темп (для сильных учащихся предлагаются дополнительные задачи),

— «мягкий» контроль (возможность получить помощь товарища).

Результат — повышение качества обученности учащихся.

Задачи урока

Обучающие: организовать работу учащихся по систематизации знаний основных теоретических вопросов темы;

развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;

развивать навыки самоконтроля;

развивать активность учащихся,

Воспитывающие: создать условия успешности ученика на уроке;

воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии;

развивать умение рецензировать и корректировать ответы товарищей.

воспитывать умение критически относиться к результатам деятельности;

обеспечить гуманистический характер обучения;

Планируемые результаты:

Предметные: знать аксиомы, теоремы по данной теме и уметь их доказывать, применять при решении типовых задач.

Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в группе.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, раздаточные материалы.

Содержание учебного материала.

1.Аксиомы стереометрии и следствия из них.

3.Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4.Задачи на доказательство параллельности прямых, прямой и плоскости, скрещивающихся прямых.

Структура урока.

1.Организационная часть.

2.Мотивационная часть.

3.Работа по блокам:

«Аксиомы стереометрии»

«Взаимное расположение прямых в пространстве»

«Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости»

« Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей»

« Задачи на построение сечений»

4.Подведение итогов урока

5. Домашнее задание.

6.Рефлексия урока.

Технологическая карта урока геометрии в 10 классе по теме:« Параллельность прямых и плоскостей»

*Этапы урока*	*Задачи этапа*	*Деятельность учителя*	*Деятельность учащихся*	*УУД*
1.Организационная часть	Создание рабочего настроения в начале урока, объяснение правил.	Здоровается с учениками, проверяет их подготовку к уроку, отмечает отсутствующих, записывает на доске дату, сообщает правила урока	Готовятся к работе на уроке, приветствуют учителя	Регулятивные: организация учебной деятельности.
2.Мотивационная часть	Создание ситуации успеха.	Объясняет необходимость и важность данного урока	Слушают учителя	Регулятивные: организация учебной деятельности.
3.Обобщающее повторение (работа по блокам)	Повторить и систематизировать изученный теоретический материал, рассмотреть основные типы задач по каждому блоку.	Корректирует и организовывает деятельность учащихся на каждом блоке, собирает бланки с решениями и ответами	Отвечают на вопросы, доказывают теоремы, выполняют тесты и решают задачи в своих командах.	Коммуникативные: умение прислушиваться к мнению окружающих. Регулятивные: оценивание результатов своей деятельности. Познавательные: анализ условий поставленной задачи и поиск её рационального решения. Личностные: оценивание уровня усвоения материала и своих возможностей.
4.Подведение итогов урока	Осознание каждым учащимся: чему, как и зачем он научился сегодня на уроке, и с какими знаниями и умениями он должен прийти на следующий урок.	Слушает комментарии к уроку у		Регулятивные: умение оценить качество и уровень усвоения
5. Домашнее задание.	Комментарии по домашнему заданию с целью его успешного выполнения.	Раздаёт каждой команде текст демонстрационного варианта контрольной работы	Записывают домашнее задание в дневники и задают по нему вопросы.
6.Рефлексия урока.	Заставить детей задуматься в конце урока о своём настроении, эмоциональном состоянии и результатах взаимодействия с другими участниками образовательного процесса.	Выходя из кабинета, оцените по пятибалльной шкале своё настроение в конце урока и поставьте оценку на доске. Урок закончен, всем спасибо!	Собирают свои вещи, ставят оценки на доске цветными мелками.	Коммуникативные: умение грамотно и честно выражать свои мысли. Регулятивные: умение оценить достигнутый результат. Личностные: чувство гордости за хорошо проделанную работу.

Ход урока

2. Мотивационная часть.

Мы должны закрепить и углубить наши знания по этой теме.

Эти знания пригодятся нам для решения практических задач, для успешной сдачи ЕГЭ.

3.Обобщающее повторение.

Блок 1. Аксиомы стереометрии

Цели блока:

— повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач ;

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

Учащиеся вспоминают учебный материал.

Посмотрите на чертёж (слайды 2,3).Какие утверждения они иллюстрируют? Сформулируйте их.

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) разъяснение содержания аксиом;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

Вот и название первого блока нашего урока: Аксиомы стереометрии (слайд 4)

2. Как формулируются следствия из этих аксиом? (слайды 4,5).Кто хочет доказать эти теоремы?

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1. Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Учащиеся самостоятельно выполняют задание (проверяем на доске), советуясь в своих командах.

Способы задания плоскостей	Рисунок
I. По трем точкам, не лежащим на одной прямой
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.

Задание 2. Ответьте на вопросы (слайд 6). Каждая команда отвечает на свой вопрос.

Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Команды обсуждают решение и озвучивают ответ.
Задание 4: тест по вариантам(для каждого ученика)

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 1

1.Верно ли: любые три точки лежат в одной плоскости.

3.Пересечением двух плоскостей является

А) точка Б) прямая В) отрезок

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 2

1.Верно ли: любые четыре точки лежат в одной плоскости.

3.Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?

А) две параллельные прямые

Б) две скрещивающиеся прямые

В) три точки

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 3

1.Верно ли: любые четыре точки не лежат в одной плоскости.

2.Вставьте пропущенные слова:Две различные плоскости могут иметь только одну общую …

3.Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?

А) одна Б) две В) три

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 4

Верно ли: если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.

2.Вставьте пропущенные слова:две прямые, параллельные некоторой … , могут пересекаться.

3.Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?

А) одну плоскость

Б) две плоскости

В) бесконечно много плоскостей

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 5

Верно ли: пять точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь четыре из них лежать на одной прямой?

2.Вставьте пропущенные слова:две прямые, параллельные некоторой … , параллельны.

3.Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?

А) Через три точки

Б) Через прямую и не лежащую на ней точку

В) Через отрезок

Тест «Аксиомы стереометрии»

Вариант 6

Верно ли: через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата?

2.Вставьте пропущенные слова: две прямые, параллельные некоторой … , могут пересекаться.

3. Две прямые пересекаются. Что это значит?

А) Они имеют две общие точки.

Б) Они имеют одну общую точку.

В) Они лежат в одной плоскости.

Блок 2. Взаимное расположение прямых в пространстве.(слайд 8)

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Параллельные прямыев пространстве»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение двух прямых в пространстве (слайд 9)

а ççв аÇв аи в скрещивающиеся

-Сформулируйте и докажите признак скрещивающихся прямых.

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Блок 3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.(слайд 11)

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости (слайд 12)

а Ìα аççα аÇα

Ученик доказывает признак параллельности прямой и плоскости в пространстве по чертежу на слайде (слайд 13).

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1 задача по готовому чертежу (слайд 14)

Блок 4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей (слайд 15).

Цель блока:

— повторить и обобщить знания по теме «Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей»;

— систематизировать полученные знания.

Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.

— Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей (слайд 16)

α Çβ

α иβ — совпадают α ççβ

— Сформулируйте свойство параллельных плоскостей (слайд 18)

После обсуждения теоретических вопросовзакрепление полученных знаний.

Задание 1 Задача по готовому чертежу (слайд 19)

Задание 2 Задача по готовому чертежу каждой команде на карточке (приложение 3)

Блок 5. Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда(слайды 20,21).

4. Подведение итогов урока.

5. Рефлексия.

Мне всё понятно. Вопросов нет.	Мне ничего не понятно.	У меня есть вопросы.

Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.

6. Задание на дом.

Демонстрационный вариант контрольной работы

Приложение 1

Команда 1

Прямая а не лежит в плоскости параллелограмма ABCD. Определите взаимное расположение

прямых aи BC,если aIIAB

Команда 2

1.Прямая а не лежит в плоскости ABC.Определите взаимное расположение прямых aи AC,если aIIAB

Команда 3

1. Прямая а не лежит в плоскости трапеции ABCD. Определите взаимное расположение прямых aи BC, если aIIAB.

Команда 4

1.Дан тетраэдр ABCD. Определите взаимное расположение прямых ADи BC.

Команда 5

1. Определите взаимное расположение прямых MAи DC

Команда 6

1.Определите взаимное расположение прямых ANи CM, если NM∩(ABC)

Приложение 2

Команда 1(4)

1. Прямые а и bскрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?

а) взаимное расположение точно определить нельзя;

б) скрещиваются или параллельны;

в) параллельны или пересекаются;

г) совпадают;

2.Прямые а и b параллельны одной плоскости . Как расположены прямые а и b относительно друг друга?

а) параллельны

б) пересекаются

в) скрещиваются

Команда 2(5)

1. Выберите верное утверждение.

а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек;

б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны;

в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны;

2. Прямая а лежит в плоскости. Как расположена относительно плоскости прямая b, если b параллельна а?

а) перпендикулярно

б) параллельно

в) пересекает

Команда 3(6)

1.Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:

а) прямые а и с пересекаются;

б) прямая с лежит в плоскости α;

в) прямые а и с скрещиваются;

г) прямая bлежит в плоскости α;

д) прямые а и с параллельны.

2. Сколько плоскостей можно провести через две данные точки?

а) одну

б) две

в) много

Приложение 3

Команда 1

α II β,

a∩b=F.

AF:FN=1:3, AB=4.

Найти MN.

Команда 2

α II β,

RK∩NS=M,

KM:KR=1:3,NS=9.

Найти MS.

Команда3

α II β,

a∩b=F.

AF:FN=2:5, AB=10.

НайтиMN.

Команда 4

α II β,

RK∩NS=M,

KN:RS=1:3,MK=2.

Найти KR.

Команда 5

α II β,

a∩b=F.

AB:MN=2:3, AF=10.

Найти FN.

Команда 6

α II β,

RK∩NS=M,

MN:NS=1:3,MK=4.

НайтиMR.

Литература.

1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1998. — 344с.

3. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010.

4. Алтынов П.И. Геометрия. 10-11 класс. Тесты. 2001

5. Шарапова В.К. Тематические тесты по геометрии: 10-11 классы, Феникс, 2007

6. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2008.

7. Геометрия 10 класс. Составители Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. – Волгоград, «Учитель», 2002.

Что такое параллельные линии? — Определение и концепция — Видео и стенограмма урока

Железнодорожные пути и параллельные линии

Иногда полезно думать о параллельных линиях как о совокупности железнодорожных путей. Два рельса рельсового пути созданы для движения колес с каждой стороны поезда. Поскольку колеса поезда всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, они не сближаются, даже когда они поворачиваются.

Гусеницы должны быть везде на одинаковом расстоянии друг от друга.Поскольку они созданы людьми, железнодорожные пути не совсем параллельны, но для правильной работы они должны быть очень близко друг к другу.

Еще одно различие между железнодорожными путями и идеально параллельными линиями состоит в том, что они проложены по холмам и долинам. Земля, которую они покрывают, не идеально ровная. С другой стороны, когда математики представляют параллельные линии, они рисуют их на идеально ровной поверхности.

Графические параллельные линии

Когда на графике нанесены две параллельные линии, они всегда должны быть под одним углом, что означает, что они всегда будут иметь одинаковый наклон или крутизну.

Вот график из двух параллельных линий:

Хотя эти две линии не начинаются в одном и том же месте, вы можете видеть, что они одинаково крутые. Они уменьшаются или наклоняются вниз с той же скоростью. Это гарантирует, что они параллельны.

Если вы посмотрите на уравнения этих двух строк, вы можете кое-что заметить: они точно такие же, за исключением чисел в правой части, «6» и «12». Мы можем использовать простую алгебру и переписать два уравнения в форме пересечения угла наклона ( y = mx + b ), формы линии, которая наиболее знакома людям.

Уравнение синей линии будет иметь следующий вид:

y = -3/2 x + 6

В то время как красная линия будет иметь уравнение:

y = -3/2 x + 3

Опять же, вы можете заметить, что эти два уравнения абсолютно одинаковы, за исключением одного: числа справа от x . Это число называется константой , и оно говорит нам, насколько высоко или низко находится линия на графике. Когда линия находится в форме пересечения наклона, это число также сообщает нам пересечение оси y , которое находится именно там, где линия касается оси Y, вертикальной линией, обозначающей ноль на графике.На этом графике две линии абсолютно одинаковы, за исключением того, что одна из них находится над другой.

Когда линии находятся в форме пересечения с уклоном, число, на которое умножается x (это число, которое добавлено к x в вопросе), указывает наклон линии. Вы можете видеть, что обе линии на нашем графике имеют одинаковый наклон, -3/2. Параллельные линии всегда будут иметь одинаковый наклон. Фактически, показать, что наклоны двух прямых равны, — это один из способов доказать, что они параллельны.

Параллельные отрезки линий

В геометрии считается, что линии идут в одно целое навсегда. Отрезки линий с начальной и конечной точками называются не линиями, а отрезками линии . Несмотря на то, что отрезки линии не могут длиться вечно, они все же могут быть параллельны.

Однако, в отличие от линий, два отрезка могут никогда не пересекаться и при этом не быть идеально параллельными. Сегменты линии не параллельны , если они расположены ближе друг к другу на одном конце, чем на другом, потому что в конечном итоге они бы встретились, если бы они были продлены дальше.

Если два сегмента прямые, все, что вам нужно сделать, это измерить расстояния между сегментами на обоих концах. Если эти точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, эти два сегмента, вероятно, параллельны.

Резюме урока

Параллельные линии — это линии, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Поскольку они всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, параллельные линии никогда не пересекаются. Вы можете найти параллельные линии во многих местах, включая стороны геометрических фигур, таких как квадраты и прямоугольники, а также железнодорожные пути в вашем районе.

При нанесении на график параллельные линии будут иметь одинаковый наклон . Это легко увидеть, когда уравнения для параллельных линий перечислены в форме пересечения наклона и угла наклона . Если переменная наклона такая же, линии параллельны.

Вот несколько важных вещей, о которых следует помнить:

Во-первых, каждая линия может иметь несколько параллелей . Линия будет параллельна любой линии с таким же наклоном, поэтому многие линии могут быть параллельны одновременно.
Во-вторых, сегменты линии могут не быть параллельны, даже если они не пересекаются. Способ узнать наверняка — измерить расстояния на концах. Если они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то сегменты имеют одинаковый наклон и будут параллельны, если продолжатся дальше.

8.3 Градиент линии | Аналитическая геометрия

Вам дана следующая диаграмма:

Вычислите уравнение прямой \ (AB \).

Чтобы вычислить уравнение прямой, мы сначала вычисляем градиент (\ (m \)) прямой \ (AB \):

\ (\ начало {выровнено} m & = \ frac {y_B — y_A} {x_B — x_A} \\ m & = \ frac {(- \ text {3,5}) — (\ text {2,5})} {(\ text {2}) — (- \ text {1})} \\ м & = — \ текст {2} \\ \ конец {выровнено} \)

Во-вторых, мы вычисляем значение \ (y \) — точки пересечения (\ (c \)) прямой \ (AB \).Мы делаем это подставив либо точку \ (A \), либо \ (B \) в общий вид прямой. Мы будем использовать точку \ (А \).

\ (\ начало {выровнено} у & = мх + с \\ (\ text {2,5}) & = (- \ text {2}) \ times (- \ text {1}) + c \\ c & = \ текст {0,5} \\ \ конец {выровнено} \)

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \) выглядит следующим образом:

\ (\ начало {выровнено} у & = — \ текст {2} х + \ текст {0,5} \ конец {выровнено} \)

Вам дана следующая диаграмма:

Вычислите уравнение прямой \ (AB \).

Чтобы вычислить уравнение прямой, мы сначала вычисляем градиент (\ (m \)) прямой \ (AB \):

\ (\ начало {выровнено} m & = \ frac {y_B — y_A} {x_B — x_A} \\ m & = \ frac {(\ text {1,5}) — (- \ text {1})} {(\ text {4}) — (- \ text {1})} \\ м & = \ текст {0,5} \\ \ конец {выровнено} \)

\ (\ начало {выровнено} у & = мх + с \\ (- \ text {1}) & = (\ text {0,5}) \ times (- \ text {1}) + c \\ c & = — \ text {0,5} \\ \ конец {выровнено} \)

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \) выглядит следующим образом:

\ (\ начало {выровнено} y & = \ text {0,5} x — \ text {0,5} \ конец {выровнено} \)

точки \ (P (-6; 2) \), \ (Q (2; -2) \) и \ (R (-3; r) \) лежат на прямой. Найдите значение \ (r \).

Поскольку три точки лежат на прямой, мы можем использовать тот факт, что градиент \ (PQ \) равен к градиенту \ (QR \), чтобы найти \ (r \).

Градиент \ (PQ \) составляет:

\ begin {align *} m_ {PQ} & = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} \\ & = \ frac {-2 — 2} {2 — (-6)} \\ & = \ frac {-4} {8} \\ & = — \ frac {1} {2} \ end {выровнять *}

И градиент \ (QR \) с точки зрения \ (r \) составляет:

\ begin {align *} m_ {QR} & = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} \\ & = \ frac {r — (-2)} {- 3 — 2} \\ & = \ frac {r + 2} {- 5} \ end {выровнять *}

Теперь положим \ (m_ {PR} = m_ {QR} = — \ frac {1} {2} \) и решим для \ (r \):

\ begin {align *} — \ frac {1} {2} & = \ frac {r + 2} {- 5} \\ (-1) \ раз (-5) & = 2 (г + 2) \\ 5 & = 2р + 4 \\ 5 — 4 & = 2р \\ 1 & = 2р \\ г & = \ гидроразрыв {1} {2} \ end {выровнять *}

Линия \ (PQ \) с \ (P (-1; -7) \) и \ (Q (q; 0) \) имеет градиент \ (\ text {1} \). Найдите \ (q \).

\ begin {align *} m_ {PQ} & = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} \\ 1 & = \ frac {0 — (-7)} {q — (-1)} \\ q + 1 & = 7 \\ q & = 6 \ end {выровнять *}

Вам дана следующая диаграмма:

Вам также сообщают, что линия \ (AB \) проходит параллельно следующей линии: \ (y = x — \ text {5} \).Точка \ (A \) находится в \ (\ left (-2; -4 \ right) \).

Найдите уравнение прямой \ (AB \).

Нам говорят, что прямая \ (AB \) параллельна \ (y = x — 5 \), поэтому градиент прямой \ (AB \) равен градиент \ (y = x — 5 \). Градиент \ (y = x — 5 \) равен 1.

Теперь мы можем использовать точку \ (A \) и градиент линии, чтобы найти точку пересечения линии \ (y \):

\ (\ begin {выровнено} у & = мх + с \\ (- \ text {4}) & = (\ text {1}) (- \ text {2}) + c \\ c & = — \ текст {2} \\ \ конец {выровнено} \)

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \): \ (y = x — 2 \).

Вам дана следующая диаграмма:

Вам также сообщают, что линия \ (AB \) проходит параллельно следующей линии: \ (y = -x + \ text {4,5} \). Точка \ (A \) находится в \ (\ left (-1; \ text {2,5} \ right) \).

Найдите уравнение прямой \ (AB \).

Нам говорят, что линия \ (AB \) параллельна \ (y = -x + \ text {4,5} \), поэтому градиент линии \ (AB \) равен равен градиенту \ (y = -x + \ text {4,5} \).Градиент \ (y = -x + \ text {4,5} \) равен $-\текст 1}$.

Теперь мы можем использовать точку \ (A \) и градиент линии, чтобы найти точку пересечения линии \ (y \):

\ (\ begin {выровнено} у & = мх + с \\ (\ text {2,5}) & = (- \ text {1}) \ times (- \ text {1}) + c \\ c & = \ текст {1,5} \\ \ конец {выровнено} \)

Следовательно, уравнение линии \ (AB \): \ (y = -x + \ text {1,5} \).

Данная линия \ (AB \), которая проходит параллельно \ (y = \ text {0,5} x — \ text {6} \). Очки \ (A (-1; — \ text {2,5}) \) и \ (B (x; 0) \) также даны.

Вычислить недостающую координату точки \ (B \).

Нам говорят, что линия \ (AB \) параллельна \ (y = \ text {0,5} x — 6 \), поэтому градиент линии \ (AB \) равен равен градиенту \ (y = \ text {0,5} x — 6 \).Градиент \ (y = \ text {0,5} x — 6 \) равен \ (\ text {0,5} \).

Теперь мы можем использовать точку \ (A \) и градиент линии, чтобы найти точку пересечения линии \ (y \):

\ begin {align *} у & = мх + с \\ (- \ text {2,5}) & = (\ text {0,5}) (- \ text {1}) + c \\ c & = — \ текст {2} \\ \ end {выровнять *}

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \) будет: \ (y = \ text {0,5} x — 2 \).

Теперь мы можем подставить точку \ (B \) в уравнение прямой \ (AB \), чтобы найти \ (x \):

\ begin {align *} у & = \ текст {0,5} х — 2 \\ 0 & = \ text {0,5} x — 2 \\ 4 & = х \ end {выровнять *}

Следовательно, координаты точки \ (B \) равны \ ((0; 4) \).

Данная линия \ (AB \), которая проходит параллельно \ (y = — \ text {1,5} x + \ text {4} \). Точки Также указаны \ (A (- \ text {2}; \ text {4}) \) и \ (B (2; y) \).

Вычислите недостающую координату точки \ (B (2; y) \).

Нам говорят, что линия \ (AB \) параллельна \ (y = — \ text {1,5} x + 4 \), поэтому градиент линии \ (AB \) равен равен градиенту \ (y = — \ text {1,5} x + 4 \).Градиент \ (y = — \ text {1,5} x + 4 \) равен \ (- \ text {1,5} \).

Теперь мы можем использовать точку \ (A \) и градиент линии, чтобы найти точку пересечения линии \ (y \):

\ begin {align *} у & = мх + с \\ (\ text {4}) & = (- \ text {1,5}) (- \ text {2}) + c \\ c & = \ текст {1} \\ \ end {выровнять *}

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \) будет: \ (y = — \ text {1,5} x + 1 \).

Теперь мы можем подставить точку \ (B \) в уравнение прямой \ (AB \), чтобы найти \ (x \):

\ begin {align *} у & = — \ текст {1,5} х + 1 \\ y & = — \ text {1,5} (2) + 1 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}

Следовательно, координаты точки \ (B \) равны \ ((2; -2) \).

На графике показана линия \ (AB \). Синяя пунктирная линия перпендикулярна \ (AB \).

Уравнение синей пунктирной линии: \ (y = x + 1 \). Точка \ (A \) находится в точке \ ((- 2; 4) \).

Определите уравнение прямой \ (AB \).

Общая форма прямой: \ (y = mx + c \).

Линия \ (AB \) перпендикулярна синей пунктирной линии, поэтому \ (m_ {AB} = \ dfrac {-1} {m _ {\ text {blue линия}}}\).

\ begin {align *} у & = мх + с \\ y & = \ left (\ frac {-1} {m _ {\ text {синяя линия}}} \ right) x + c \\ y & = \ left (\ frac {-1} {\ text {1}} \ right) x + c \\ у & = -x + c \ end {выровнять *}

Теперь мы можем подставить координаты точки \ (A \), чтобы найти точку пересечения \ (y \):

\ begin {align *} у & = мх + с \\ (\ text {4}) & = (- \ text {1}) (- \ text {2}) + c \\ c & = \ текст {2} \\ \ end {выровнять *}

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \): \ (y = -x + 2 \).

На графике показана линия \ (AB \). Синяя пунктирная линия перпендикулярна \ (AB \).

Уравнение синей пунктирной линии: \ (y = — \ text {0,5} x — \ text {0,5} \). Точка \ (A \) находится в \ ((- \ text {1}; — \ text {3,5}) \).

Определите уравнение прямой \ (AB \).

Общая форма прямой: \ (y = mx + c \).

Линия \ (AB \) перпендикулярна синей пунктирной линии, поэтому \ (m_ {AB} = \ dfrac {-1} {m _ {\ text {blue линия}}}\).

\ begin {align *} у & = мх + с \\ y & = \ left (\ frac {-1} {m _ {\ text {синяя линия}}} \ right) x + c \\ y & = \ left (\ frac {-1} {- \ text {0,5}} \ right) x + c \\ у & = 2x + c \ end {выровнять *}

Теперь мы можем подставить координаты точки \ (A \), чтобы найти точку пересечения \ (y \):

\ begin {align *} у & = мх + с \\ (- \ text {3,5}) & = (\ text {2}) (- \ text {1}) + c \\ c & = — \ text {1,5} \\ \ end {выровнять *}

Следовательно, уравнение прямой \ (AB \) будет: \ (y = 2x — \ text {1,5} \).

Дана прямая \ (AB \), которая проходит перпендикулярно прямой \ (CD \) с уравнением \ (y = -2x + 1 \). Точки \ (A (-5; -1) \) и \ (B (3; a) \) также указаны.

Вычислить недостающую координату точки \ (B \).

Общая форма прямой: \ (y = mx + c \).

Линия \ (AB \) перпендикулярна линии \ (CD \), поэтому \ (m_ {AB} = \ dfrac {-1} {m_ {CD}} \).

\ begin {align *} у & = мх + с \\ y & = \ left (\ frac {-1} {m_ {CD}} \ right) x + c \\ y & = \ left (\ frac {-1} {- \ text {2}} \ right) x + c \\ у & = \ текст {0,5} х + с \ end {выровнять *}

Теперь мы можем подставить точку \ (A \) в уравнение, чтобы найти точку пересечения \ (y \):

\ begin {align *} у & = \ текст {0,5} х + с \\ — \ text {1} & = (\ text {0,5}) (- \ text {5}) + c \\ c & = \ текст {1,5} \ end {выровнять *}

Затем мы можем подставить в точку \ (B \), чтобы найти недостающую координату:

\ begin {align *} y & = \ text {0,5} x + \ text {1,5} \\ a & = (\ text {0,5}) (\ text {3}) + \ text {1,5} \\ & = \ текст {3} \ end {выровнять *}

Следовательно, отсутствует координата \ (B (3; 3) \).

Данная линия \ (AB \), которая проходит перпендикулярно линии \ (CD \) с уравнением \ (y = 2x — \ text {0,75} \). Также указаны точки \ (A (-5; 1) \) и \ (B (a; — \ text {2,5}) \).

Вычислить недостающую координату точки \ (B \).

Общая форма прямой: \ (y = mx + c \).

Линия \ (AB \) перпендикулярна линии \ (CD \), поэтому \ (m_ {AB} = \ dfrac {-1} {m_ {CD}} \).

\ begin {align *} у & = мх + с \\ y & = \ left (\ frac {-1} {m_ {CD}} \ right) x + c \\ y & = \ left (\ frac {-1} {2} \ right) x + c \\ у & = — \ текст {0,5} х + с \ end {выровнять *}

Теперь мы можем подставить точку \ (A \) в уравнение, чтобы найти точку пересечения \ (y \):

\ begin {align *} у & = — \ текст {0,5} х + с \\ \ text {1} & = (\ text {0,5}) (- \ text {5}) + c \\ c & = — \ text {1,5} \ end {выровнять *}

Затем мы можем подставить в точку \ (B \), чтобы найти недостающую координату:

\ begin {align *} y & = \ text {0,5} x — \ text {1,5} \\ — \ text {2,5} & = \ text {0,5} a — \ text {1,5} \\ а & = — \ текст {2} \ end {выровнять *}

Следовательно, отсутствует координата \ (B (-2; — \ text {2,5}) \).

Вам дана следующая диаграмма:

Вам также сообщают, что строка \ (AB \) имеет следующее уравнение: \ (y = — \ text {0,5} x + \ text {1,5} \).

Вычислить недостающую координату точки \ (B \).

Подставляем известное значение точки \ (B \) в уравнение и решаем неизвестное значение:

\ (\ начало {выровнено} y & = (- \ text {0,5}) x + \ text {1,5} \\ a & = (- \ text {0,5}) (\ text {2}) + \ text {1,5} \\ & = \ текст {0,5} \ конец {выровнено} \)

Вам дана следующая диаграмма:

Вам также сообщают, что строка \ (AB \) имеет следующее уравнение: \ (y = \ text {0,5} x — \ text {1} \).

Вычислить недостающую координату точки \ (B \).

Подставляем известное значение точки \ (B \) в уравнение и решаем неизвестное значение:

\ (\ начало {выровнено} y & = (\ text {0,5}) x — \ text {1} \\ a & = (\ text {0,5}) (\ text {1}) — \ text {1} \\ & = — \ текст {0,5} \ конец {выровнено} \)

\ (A \) — это точка \ ((- 3; -5) \), а \ (B \) — это точка \ ((n; -11) \). \ (AB \) перпендикулярно прямой \ (CD \) с уравнением \ (y = \ frac {3} {2} x — 5 \). Найдите значение \ (n \).

Линия \ (AB \) перпендикулярна линии \ (CD \), поэтому \ (m_ {AB} = \ dfrac {-1} {m_ {CD}} \).

\ begin {align *} m_ {AB} & = -1 \ div \ frac {3} {2} \\ & = \ frac {-2} {3} \ end {выровнять *}

Следовательно:

\ begin {align *} \ frac {-2} {3} & = \ frac {-11 — (-5)} {n — (-3)} \\ \ frac {-2} {3} & = \ frac {-6} {n + 3} \\ \ frac {-2} {3} (n + 3) & = -6 \\ -2 (п + 3) & = -18 \\ п + 3 & = 9 \\ n & = 6 \ end {выровнять *}

Даны точки \ (A (4; -3) \), \ (B (-5; 0) \) и \ (C (-3; p) \).Определите значение \ (p \), если \ (A \), \ (B \) и \ (C \) коллинеарны.

Нам говорят, что \ (A \), \ (B \) и \ (C \) коллинеарны, поэтому \ (m_ {AB} = m_ {BC} \).

\ begin {align *} \ frac {0 + 3} {- 5 — 4} & = \ frac {p} {- 3 + 5} \\ \ frac {3} {- 9} & = \ frac {p} {2} \\ \ поэтому p & = \ frac {6} {- 9} \\ & = \ frac {-2} {3} \ end {выровнять *}

Соответствующие углы — пояснения и примеры

Прежде чем перейти к теме соответствующих углов, давайте сначала напомним себе об углах, параллельных и непараллельных прямых и поперечных линиях.

В геометрии угол состоит из трех частей: вершины и двух плеч или сторон. Вершина угла — это место, где встречаются две стороны или линии угла, а ответвления угла — это просто стороны угла.

Параллельные прямые — это две или более прямых на двухмерной плоскости, которые никогда не пересекаются и не пересекаются. С другой стороны, непараллельные прямые — это две или более пересекающихся линий. Поперечная линия — это линия, которая пересекает или проходит через две другие линии. Поперечная линия может проходить через две параллельные или непараллельные линии.

Что такое соответствующий угол?

Углы, образующиеся, когда поперечная линия пересекает две прямые, известны как соответствующие углы . Соответствующие углы расположены в одном и том же относительном положении, на пересечении поперечной и двух или более прямых линий.

Угловое правило соответствующих углов или соответствующих углов постулирует, что соответствующие углы равны, если трансверсаль пересекает две параллельные линии.

Соответствующие углы равны, если поперечная линия пересекает не менее двух параллельных линий.

На приведенной ниже диаграмме показаны соответствующие углы, образующиеся, когда поперечная линия пересекает две параллельные линии:

Из вышеприведенной диаграммы пара соответствующих углов составляет:

< a и < e
< b и < g
< d и < f
< c и < h

Доказательство соответствия углов

На приведенном выше параллельном рисунке мы имеем .

Нам нужно это доказать.

У нас есть прямые углы:

Из переходного свойства,

Из теоремы об альтернативном угле,

Используя подстановку, мы имеем,

Следовательно,

Соответствующие углы, образованные непараллельными линиями

Соответствующие углы равны образуется, когда поперечная линия пересекает по крайней мере две непараллельные линии, которые не равны, и на самом деле они не имеют никакого отношения друг к другу.

Иллюстрация: