Отрицательная степень | Алгебра
Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?
Определение.
В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:
Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).
Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:
(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).
В частности,
Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:
Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак в показателе степени.
Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.
В частности,
Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.
Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.
Примеры.
Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:
Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:
При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:
Если в показателе степени стоит десятичная дробь, нужно перевести ее в обыкновенную:
Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.
www.algebraclass.ru
отрицательная степень дроби | математика-повторение
Записи с меткой «отрицательная степень дроби»
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=a m+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Отрицательная степень. Отрицательная степень числа. Степень с отрицательным показателем. Степени чисел
Отрицательная степень
Степень с отрицательным показателем определение
Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m – отрицательное целое число.
Степень с отрицательным показателем определение:
Действительное, отличное от нуля число a, возведенное в отрицательную целую степень -m, равно дроби, в числителе которой 1 и в знаменателе a, возведенное в положительную целую степень m.
Отрицательная степень формула
Для вычислений отрицательных степеней используем формулу:
a-m = 1/am
Эта формула применяется, если имеется отрицательное значение степени.
Положительная и отрицательная степень
Чтоб лучше понять сравним положительные и отрицательные степени.
Пусть число a есть любое действительное число, отличное от нуля. Число m – любое целое число.
Тогда a в положительной степени m равно:
am = a * a * a * … (m раз)
Теперь a в отрицательной степени -m:
a-m = 1/am
Степень с целым отрицательным показателем
Обратите внимание, что в этой статье речь идет именно о целом отрицательном показателе. Здесь существенным является то, что показатель целый.
Пример степени с целым отрицательным показателем:
12-3 = 1/123
Отрицательное основание степени
Отрицательная степень числа и отрицательное основание степени – это разные вещи.
Отрицательное основание степени рассмотрим на примере.
Пример отрицательного основания степени:
(-2)3 = -2 * (-2) * (-2) = -8
А теперь пример отрицательной степени числа.
Пример (отрицательная степень числа):
2-3 = 1/23 = 1/8
Отрицательная степень числа | Алгебра 8 класс
Степень с отрицательным показателем
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 |
d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5
: a 8 = a 5-8 = a -3Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Значит:
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
naobumium.info
Отрицательная степень числа. Формулы, определения, расчет числа в отрицательной степени. Нахождений дробей в отрциательной степени. Калькулятор отрицательных степеней.
Запись an означает что число a должно быть умножено n раз: |
Пример 1. 53=5*5*5=125
Деление это обратная операция умножению. Отрицательная степень означает сколько раз нужно разделить число.
Число в отрицательной степени a-n может быть записано в виде: |
Пример 2. 5-3=1÷5÷5÷5=0,008
Пример 2 может быть записан в виде. |
Определение. Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то |
Для вычисления числа a-n в отрицательной степени нужно:
1.Вычислить an
2.Затем разделить 1 на полученный результат, т.е. |
calcs.su
числа в степени с отрицательным показателем
Записи с меткой «числа в степени с отрицательным показателем»
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Свойства отрицательных степеней. Как умножать отрицательные степени. Деление отрицательных степеней. Степени чисел
Свойства отрицательных степеней
Свойства степени с отрицательным показателем
Свойства отрицательных степеней рассмотрим при следующих условиях:
a и b действительные числа, отличные от нуля, m и n – целые числа
Тогда можно указать следующие свойства степени с отрицательным показателем:
1. aman = am + n
2. (am)n = am * n
3. ambm = (ab)m
4. am : bm = (a/b)m
5. am : an = am — n
6. a-m = 1/am
Свойства отрицательных степеней рассмотрим на примерах. Из примеров будет понятно как использовать свойства отрицательных степеней.
Как умножать отрицательные степени?
Как умножать отрицательные степени? Точно так же как и положительные. Здесь речь идет о целых степенях.
Пример умножения отрицательных степеней:
2-2 * 2-3 =
2(-2 + (-3)) =
2(-2 — 3) =
2-5 =
1/25
Ещё пример на умножение чисел с отрицательными степенями:
4-3 * 4-5 =
4(-3 + (-5)) =
(4-3 — 5) =
4-8 =
1/48
Деление отрицательных степеней
Деление отрицательных степеней делается так же как и деление положительных степеней.
Деление отрицательных степеней опирается на свойства отрицательных степеней.
Пример на деление отрицательных степеней:
2-3 : 24 =
2(-3 — 4) =
2-7 =
1/27
Дополнительные материалы по теме
www.sbp-program.ru