Формула поверхности цилиндра: Цилиндр. Объем цилиндра. Площадь поверхности цилиндра

Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

S = 2 π R h

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

S = π R²

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

S = π (d/2)²

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R² или S = 2 π R (h + R)

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см².

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см)  = 326,56 см².

Площадь поверхности цилиндра — формулы, пример расчета

Цилиндр

представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью.

Цилиндр состоит из боковой поверхности и двух оснований. Формула площади поверхности цилиндра включает в себя отдельный расчет площади оснований и боковой поверхности. Так как основания в цилиндре равны, то полная его площадь будет рассчитываться по формуле:

Пример расчета площади цилиндра мы рассмотрим после того, как узнаем все необходимые формулы. Для начала нам понадобится формула площади основания цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, то нам потребуется применить формулу площади круга:
Мы помним, что в этих расчетах используется постоянное число Π = 3,1415926, которое рассчитано как соотношение длины окружности к ее диаметру. Это число является математической константой. Пример расчета площади основания цилиндра мы также рассмотрим чуть позже.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

А теперь рассмотрим задачу, в которой нам потребуется рассчитать полную площадь цилиндра. В заданной фигуре высота h = 4 см, r = 2 см. Найдем полную площадь цилиндра.
Для начала рассчитаем площадь оснований:
Теперь рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности цилиндра. В развернутом виде она представляет прямоугольник. Его площадь рассчитывается по приведенной выше формуле. Подставим в нее все данные:
Полная площадь круга представляет собой сумму двойной площади основания и боковой:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.

Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета площади прямоугольника:

Рассмотрим пример расчета площади осевого сечения цилиндра. Для этого возьмем условия из задачи, указанной выше. Чтобы найти величину нам потребуется диаметр. Мы знаем, что он равен двойному радиусу:

Подставим данные:

Цилиндр. Формулы и свойства

Определение.

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основами цилиндра).

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

Круговой цилиндр

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.

Определение. Радиус цилиндра r — это радиус основания цилиндра.

Определение. Диаметр цилиндра d — это диаметр основания цилиндра.

Определение. Высота цилиндра h — это расстояние между основаниями цилиндра.

Определение. Ось цилиндра — это прямая O₁O₂, которая проходит через центры оснований цилиндра.

Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.

Определение. Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Определение. Касательная плоскость к цилиндру — это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.

Формула. Объём цилиндра:

V = πr2h = π	d2	h ,
	4

где r — радиус основы, h — высота цилиндра, d — диаметр основы. Формула.

Площадь ,боковой поверхности цилиндра:

S_b = 2πrh = πdh

Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:

S = 2πr(h + r)

Косой цилиндр — цилиндр, основы которого не параллельны (Рис.2)

Наклонный цилиндр — цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 — наклонный круговой цилиндр).

Объем цилиндра

Объем цилиндра, формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра и площади его поверхностей, а также необходимая теория о характеристиках цилиндра.

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)

r — радиус основания цилиндра

h — высота цилиндра

… вычисление …

Площадь основания цилиндра

… вычисление …

Площадь боковой поверхности

… вычисление …

Общая площадь

… вычисление …

Упрощение формулы:

---

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

S — площадь основания цилиндра

h — высота цилиндра

… вычисление …

Площадь боковой поверхности

… вычисление …

Общая площадь

… вычисление …

---

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

d — диаметр основания цилиндра

h — высота цилиндра

… вычисление …

Площадь основания цилиндра

… вычисление …

Площадь боковой поверхности

… вычисление …

Общая площадь

… вычисление …

---

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на

одну площадь основания цилиндра.

---

Теория

Цилиндр может быть правильным или наклонным.

Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.

Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.

Рассмотрим правильный цилиндр.

Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и

боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.

Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

---

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

---

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура.

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник, но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг.

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс.

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса.

---

Что такое объем

Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм³, см³, мл³.

Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.

Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.

---

Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:

Объем полого цилиндра

Объем части цилиндра

Объем части полого цилиндра

---

Вы можете скачать формулы объема и площади поверхностей правильного цилиндра в виде картинки

Площадь поверхности цилиндра

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача Какой из цилиндров с обьемом 128π см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr² h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr²  h = 128π
откуда
r²  h = 128
h = 128 /  r² 

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:  
 S = 2πr²  + 2πrh 
где
πr² — площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr — длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr²  + 2πrh 
S =  2πr²  + 2πr  * 128 /  r²   
S =  2πr²  + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) =  2πr²  + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f ‘(r) = 4πr — 256π /  r² 

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f ‘(r) к нулю и решим уравнение. 
4πr — 256π /  r²  = 0
получим
4πr ( 1 — 64/r³ ) = 0 

откуда
 4πr = 0 или  1 — 64/r³ = 0  

первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем, 
1 — 64/r³  = 0
r³ = 64
r = 4 

Откуда

h = 128 / 16  
h = 8

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 8 см, r =4 см

Задача

Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?

Площа основи циліндра дорівнює Q, а площа осьового перерізу М. Чому дорівнює повна поверхня циліндра?

Решение. Рiшення.

Найдем площадь осевого сечения цилиндра. S = 2HR По условию задачи 2HR = M откуда 2R = M / H Площадь каждого основания цилиндра S = πR2 По условию задачи πR2=Q Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Sб = 2πRH Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2Q + 2πRH Учтем, что значение 2R = M/H, получим Sп = 2Q + ( M / H ) πH откуда Sп = 2Q + πМ

Знайдемо площу осьового перетину циліндра.   S = 2HR   По умові завдання   2HR = M   звідки   2R = M / H    Площа кожної основи циліндра   S = πR2   По умові завдання   πR2=Q   Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ підстав і площі бічної поверхні.   Площа бічної поверхні цилiндра рівна   Sб = 2πRH   Таким чином, площа повної поверхні циліндра Sп = 2Q + 2πRH  Врахуємо, що значення 2R = M/H, отримаємо Sп = 2Q + ( M / H ) πH з відки Sп = 2Q + πМ

Ответ: S_п = 2Q + πМ

 Диагональ цилиндра | Описание курса | Конус 

   

Площадь поверхности цилиндра

На этом уроке мы выведем и научимся применять формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади полной поверхности цилиндра.

Для начала давайте вспомним, что же это за геометрическое тело – цилиндр. Итак, тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами  и , называется цилиндром.

Напомним, что боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра.

На экране изображён цилиндр с радиусом  и высотой . Давайте представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей  и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости .

В результате в плоскости  получится прямоугольник . Стороны  и , которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра по образующей . Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Обратите внимание, основание  прямоугольника является развёрткой окружности основания цилиндра, отсюда сторона  равна длине окружности основания, т.е. равна , где  – радиус цилиндра. А сторона  равна высоте цилиндра, т.е. .

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки. А так как развертка боковой поверхности цилиндра есть прямоугольник , то площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длин сторон прямоугольника  на , или равна .

Итак, мы с вами вывели формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра радиуса  и высоты : .

Получили, что площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Теперь выведем формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра.

Вообще, площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Напомним, что основаниями цилиндра являются два равных круга, каждый с площадью . А формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра  мы с вами уже вывели выше. Подставим все данные в формулу. Упростим.

Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности цилиндра можно вычислить по формуле: . 

А сейчас давайте решим несколько задач на применение выведенных формул.

Задача: цилиндр получен в результате вращения прямоугольника  около прямой . Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, если длины сторон  и  прямоугольника равны соответственно  см и  см.

Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь внимательно рассмотрим рисунок.

Обратите внимание, сторона  прямоугольника является радиусом основания цилиндра. А сторона  – это высота нашего цилиндра.

 см

Подставим эти данные в формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности нашего цилиндра равна .

Запишем ответ.

Задача: осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна  см. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь рассмотрим рисунок.

Напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Так как по условию задачи осевое сечение цилиндра квадрат  – квадрат , то все стороны осевого сечения равны . Тогда получаем, что диаметр цилиндра равен высоте цилиндра . А, значит, имеем равносторонний цилиндр.

Найдём, чему равна сторона осевого сечения. По условию нам дана длина диагонали квадрата. Значит, можем вычислить и его сторону. Напомним, что диагональ квадрата можно вычислить по формуле: , где а сторона квадрата. Отсюда выразим сторону квадрата. Тогда получим, что сторона осевого сечения равна   .

Так как радиус равен половине диаметра, то  .

Подставим найденные радиус основания цилиндра и его высоту в формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности цилиндра равна  .

Не забудем записать ответ.

Задача: высота цилиндра равна  см. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и находящейся на расстоянии  см от нее, равна  см². Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: запишем формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра.

Теперь рассмотрим рисунок.

Напомним, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра. Следовательно, сечением нашего цилиндра служит прямоугольник .

Ранее мы с вами говорили, что высота цилиндра и его образующие параллельны и равны. Значит, стороны  и  сечения равны  (см).

Найдём, чему равны стороны  и  сечения. Так как площадь сечения равна 160 см², то стороны .

Рассмотрим . Он равнобедренный, так его стороны .

Так как расстояние от точки до прямой – это есть перпендикуляр, то отрезок  является перпендикуляром, проведённым к стороне . Следовательно,  – высота равнобедренного , а, значит, и медиана по свойствам высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

Теперь рассмотрим . Он прямоугольный.  .

  по условию.

Отсюда, применяя теорему Пифагора имеем,  .

Подставим значения радиуса и высоты цилиндра в формулу для вычисления площади полной поверхности цилиндра. Посчитаем. Получим, что площадь полной поверхности нашего цилиндра равна .

Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке мы вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности цилиндра и площади полной поверхности цилиндра. А также научились их применять при решении задач.

 

Площадь поверхности цилиндра: расчет боковой, полной поверхности цилиндра, формула нахождения

Как вычислить площадь поверхности цилиндра — тема данной статьи. В любой математической задаче начать нужно с ввода данных, определить, что известно и чем оперировать в дальнейшем, и лишь затем приступить непосредственно к расчету.

Данное объёмное тело представляет собой геометрическую фигуру цилиндрической формы, ограниченную сверху и снизу двумя параллельными плоскостями. Если приложить немного воображения, то можно заметить, что геометрическое тело образуется вращением прямоугольника вокруг оси, причем осью является одна из его сторон.

Отсюда вытекает, что описываемая кривая сверху и снизу цилиндра будет окружностью, основным показателем которой является радиус или диаметр.

Площадь поверхности цилиндра онлайн калькулятор

Данная функция окончательно облегчает процесс расчета, и все сводится лишь автоматическому подставлению заданных значений высоты и радиуса (диаметра) основания фигуры. Единственное, что требуется — точно определить данные и не ошибиться при вводе цифр.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.

Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен —2π * r, где r — радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h. Найти искомое не составит труда.

Sбок = 2π * r * h,

где число π = 3.14.

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной Sбок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле Sо = 2π * r2.

Конечная формула выглядит следующим образом:

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h.

Площадь цилиндра формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.

Примеры расчета площади цилиндра

Вооружившись знаниями, приступаем к практике.

Пример 1. Нужно вычислить площадь усеченного куска трубы, то есть цилиндра.

Имеем r = 24 mm, h = 100 mm. Использовать необходимо формулу через радиус:

Sпол = 2 * 3.14 * 242 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм2).

Переводим в привычные м2 и получаем 0,01868928, приблизительно 0.02 м2.

Пример 2. Требуется узнать площадь внутренней поверхности печной асбестовой трубы, стенки которой облицованы огнеупорным кирпичом.

Данные следующие: диаметр 0,2 м, высота 2 м. Используем формулу через диаметр:

Sпол = 3.14 * 0.22/2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м2.

Пример 3. Как узнать, сколько материла нужно для пошива мешка, r = 1 м и высотой 1 м.

Один момент, есть формула:

Sбок = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м2.

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

Площадь цилиндра

Поскольку цилиндр тесно связан с призма , формулы для их площади поверхности относятся к.

Помните, что формулы для площади боковой поверхности призмы п час а общая площадь поверхности равна п час + 2 B . Поскольку основание цилиндра — окружность, подставим 2 π р для п а также π р 2 для B где р — радиус основания цилиндра.

Итак, формула для площадь боковой поверхности цилиндра L . S . А . знак равно 2 π р час .

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания 3 дюймов и высотой 9 дюймы.

L . S . А . знак равно 2 π ( 3 ) ( 9 ) знак равно 54 π дюймы 2

≈ 169.64 дюймы 2

Общая формула для общая площадь поверхности цилиндра Т . S . А . знак равно 2 π р час + 2 π р 2 .

Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности цилиндра с радиусом основания 5 дюймов и высотой 7 дюймы.

Т . S . А .знак равно 2 π ( 5 ) ( 7 ) + 2 π ( 5 ) 2 знак равно 120 π дюймы 2 ≈ 376.99 дюймы 2

Площадь поверхности цилиндра. Калькулятор

Этот калькулятор площади цилиндра представляет собой удобный инструмент, который быстро находит все три типа площадей:

• площадь базовой поверхности цилиндра,
• площадь боковой поверхности цилиндра,
• Общая площадь поверхности цилиндра.

Цилиндр — это трехмерное твердое тело, состоящее из двух конгруэнтных поверхностей ( оснований ) и одной боковой поверхности . Хотя цилиндры могут иметь множество различных форм, термин цилиндр обычно означает правый круговой цилиндр . Наш калькулятор площади цилиндров предназначен для этого типа цилиндров. Цилиндр правый , когда одно из его оснований лежит точно над другим основанием и наклонное , если это не так.Следует отметить, что основанием цилиндра может быть любая плоская замкнутая поверхность, например, круглый цилиндр имеет круглое основание, а прямоугольный цилиндр имеет прямоугольное основание.

Продолжайте читать, если хотите узнать, какова площадь поверхности цилиндра по формуле и как найти площадь поверхности цилиндра. Вы также можете оценить другие параметры цилиндра — просто ознакомьтесь с нашим калькулятором правильного цилиндра!

Как найти площадь цилиндра?

Чтобы оценить площадь поверхности цилиндра, вам необходимо представить его как сетку .Это как если бы вы открыли цилиндр, как картонную коробку, а затем расплющили бы его. Использовать свое воображение! А что вы получите? Ответ заключается в том, что правильный круговой цилиндр состоит из двух кругов и одного прямоугольника, как вы можете видеть на рисунке ниже.

Следовательно, площадь базовой поверхности цилиндра равна удвоенной площади круга с радиусом r , а площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника. Первая сторона этого прямоугольника — это высота цилиндра h , а вторая — длина окружности основания 2 * π * r .

Какова формула площади поверхности цилиндра?

Теперь, когда мы знаем, как найти площадь поверхности цилиндра, давайте выведем соответствующие формулы для площади поверхности правильного кругового цилиндра. Чтобы вычислить площадь базовой поверхности, вам необходимо вычислить площадь круга радиусом r . Но помните, что у каждого цилиндра по два основания! Таким образом, вам нужно умножить его на два:

base_area = 2 * π * r²

Еще проще оценить площадь боковой поверхности.Поскольку площадь прямоугольника является произведением его сторон, мы можем написать, что:

lateral_area = (2 * π * r) * h ,

где

• 2 * π * r — длина окружности основания,
• h — высота цилиндра.

Наконец, общая площадь поверхности по формуле цилиндра равна сумме площади базовой поверхности и площади боковой поверхности :

total_area = base_area + lateral_area ,

или total_area = 2 * π * r² + (2 * π * r) * h ,

или total_area = 2 * π * r * (r + h) .

С помощью нашего калькулятора площади цилиндра вы можете выполнять все вычисления в различных единицах измерения. Если вы хотите узнать больше о преобразовании единиц площади, ознакомьтесь с нашим конвертером площади прямо сейчас!

В расширенном режиме этого калькулятора вы также можете рассчитать объем цилиндра. Интересен тот факт, что каждый цилиндр с одинаковой высотой и базой имеет одинаковый объем . Неважно, прямой это цилиндр или наклонный.

Пример расчетов

Давайте решим несколько примеров задач с вычислителем площади поверхности цилиндра.

1. Вопрос : Какова площадь поверхности цилиндра с радиусом основания r = 2 см и высотой h = 3 см?

• Ответ : Площадь базовой поверхности равна 25,133 см², площадь боковой поверхности равна 37,7 см², а общая площадь поверхности равна 62,83 см².

2. Вопрос : Какова площадь поверхности цилиндра с диаметром основания d = 10 см и высотой h = 5 см?

• Ответ: Во-первых, нужно разделить диаметр на два, чтобы оценить радиус окружности r = d / 2 = 5 см.Затем введите его вместе с высотой в пустые поля нашего калькулятора. В этой задаче площадь базовой поверхности равна 157,08 см², площадь боковой поверхности равна 157,08 см², а общая площадь поверхности составляет 314,16 см².

3. Вопрос : Какова высота цилиндра с общей площадью поверхности 200 см² и радиусом r = 2 см?

• Ответ : Вы можете использовать наш вычислитель площади цилиндра и в этом случае! Просто введите указанные выше значения, и вы узнаете, что высота равна 13.915 см.

Площадь поверхности цилиндра — объяснения и примеры

Прежде чем мы перейдем к теме площади поверхности цилиндра, давайте рассмотрим цилиндр. В геометрии цилиндр — это трехмерная фигура с двумя параллельными друг другу круглыми основаниями и изогнутой поверхностью.

Как найти площадь поверхности цилиндра?

Площадь поверхности цилиндра складывается из двух параллельных и конгруэнтных круглых граней и площади криволинейной поверхности.

В этой статье будет обсуждаться, как найти общую площадь поверхности и площадь боковой поверхности цилиндра .

Чтобы рассчитать площадь поверхности цилиндра , вам нужно найти площадь основания (B) и площадь криволинейной поверхности (CSA). Следовательно, площадь поверхности или общая поверхность цилиндра равна сумме площади основания, умноженной на два, и площади изогнутой поверхности.

Изогнутая поверхность цилиндра равна прямоугольнику, длина которого составляет 2 πr , а ширина — h.

Где r = радиус круглой грани и h = высота цилиндра.

Площадь изогнутой поверхности = Площадь прямоугольника = lxw = πdh

Площадь основания, B = Площадь круга = πr ²

Формула площади цилиндра

Формула для общей площади цилиндра имеет следующий вид:

Общая площадь поверхности цилиндра = 2πr ² + 2πrh

TSA = 2πr ² + 2πrh

Где 2πr ² — площадь верхней и нижней круглой поверхности, а 2πrh — площадь криволинейной поверхности.

Принимая 2πr в качестве общего множителя из RHS, мы получаем;

TSA = 2πr (h + r) ……………………………………. ( Формула площади поверхности цилиндра )

Давайте решим примерные задачи, касающиеся площади поверхности цилиндра.

Пример 1

Найдите общую площадь поверхности цилиндра с радиусом 5 см и высотой 7 см.

Решение

По формуле

TSA = 2πr (h + r)

= 2 x 3.14 x 5 (7 + 5)

= 31,4 x 12

= 376,8 см ²

Пример 2

Найдите радиус цилиндра, общая площадь которого составляет 2136,56 квадратных футов, и высоту составляет 3 фута.

Решение

Дано:

TSA = 2136,56 квадратных футов

Высота, h = 3 фута

Но, TSA = 2πr (h + r)

2136,56 = 2 x 3,14 xr (3 + r)

2136,56 = 6,28r (3 + r)

По распределительному свойству умножения на правой стороне имеем,

2136.56 = 18,84r + 6,28r ²

Разделите каждый член на 6,28

340,22 = 3r + r ²

r ² + 3r — 340,22 = 0 ……… ( квадратное уравнение )

Решая уравнение по квадратичной формуле, получаем,

r = 17

Следовательно, радиус цилиндра составляет 17 футов.

Пример 3

Стоимость окраски цилиндрической емкости составляет 0,04 доллара США за см ² .Найдите стоимость покраски 20 контейнеров радиусом 50 см и высотой 80 см.

Раствор

Рассчитайте общую площадь поверхности 20 контейнеров.

TSA = 2πr (h + r)

= 2 x 3,14 x 50 (80 + 50)

= 314 x 130

= 40820 см ²

Общая площадь 20 контейнеров = 40820 см ² x 20

= 816400 см ²

Стоимость покраски = 816400 см ² x 0 $.04 за см ²

= 32 656 долларов США.

Таким образом, стоимость покраски 20 контейнеров составляет 32 656 долларов США.

Пример 4

Найдите высоту цилиндра, если его общая площадь поверхности составляет 2552 дюйма ² , а радиус 14 дюймов

Решение

Дано:

TSA = 2552 дюйм ²

Радиус, r = 14 дюймов

Но, TSA = 2πr (h + r)

2552 = 2 x 3,14 x 14 (14 + h)

2552 = 87.92 (14 + h)

Разделите обе стороны на 87,92, чтобы получить,

29,026 = 14 + h

Вычтем на 14 с обеих сторон.

h = 15

Следовательно, высота цилиндра составляет 15 дюймов.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Как указано ранее, площадь криволинейной поверхности цилиндра называется боковой поверхностью область. Проще говоря, площадь боковой поверхности цилиндра — это площадь поверхности цилиндра, исключая площадь основания и дна (круглая поверхность).

Формула дает площадь боковой поверхности цилиндра;

LSA = 2πrh

Пример 5

Найдите более позднюю площадь поверхности цилиндра диаметром 56 см и высотой 20 см.

Решение

Дано:

Диаметр = 56 см, следовательно, радиус, r = 56/2 = 28 см

Высота, h = 20 см

По формуле

LSA = 2πrh

= 2 х 3,14 х 28 х 20

= 3516.8 см ² .

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет 3516,8 см ² .

Пример 6

Площадь боковой поверхности цилиндра составляет 144 фута ² . Если радиус цилиндра 7 футов, найдите высоту цилиндра.

Решение

Дано;

LSA = 144 фута ²

Радиус, r = 7 футов

144 = 2 x 3,14 x 7 x h

144 = 43,96h

Разделить на 43.96 с обеих сторон.

3,28 = h

Итак, высота цилиндра составляет 3,28 фута.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Площадь цилиндра

Вы сталкиваетесь с цилиндрами в повседневной деятельности, например, когда пьете банку газировки, открываете металлическую банку с едой или бьете своих друзей цилиндрической лапшой для бассейна. Математически цилиндр — это трехмерный объект, пара конгруэнтных окружностей, разделенных изогнутой поверхностью.

Содержание

1. Определение цилиндра
2. Площадь поверхности цилиндра
3. Площадь поверхности цилиндра формулы
4. Площадь боковой поверхности цилиндра
5. Формула площади боковой поверхности
6. Как найти площадь поверхности цилиндра

Определение цилиндра

Цилиндр имеет две грани, две изогнутые кромки, где изогнутая стенка встречается с концевыми кругами, и изогнутая поверхность, проходящая между двумя круглыми концами.

Цилиндр — это трехмерное твердое тело, имеющее высоту (h), ширину (w) или диаметр (D) и длину (l). Поскольку он трехмерен, он имеет площади поверхности вместо простой площади (площадь обычно ассоциируется только с двухмерными формами, такими как круг или прямоугольник).

Цилиндры обычно имеют перпендикулярные стороны к концам, что делает их правыми цилиндрами . Цилиндры тоже могут быть наклонными. Их два круглых конца могут не совпадать, поэтому стена или изогнутая поверхность наклонены, как наклонный цилиндр знаменитой Пизанской башни.

Площадь цилиндра

Когда мы говорим о площади поверхности цилиндра, мы действительно имеем в виду две площади поверхности: , площадь боковой поверхности и общая площадь . Общая площадь поверхности обычно называется площадью поверхности.

Если вас просят найти площадь поверхности цилиндра, вы хотите найти площади двух концов и изогнутой поверхности.

Убедитесь, что вы понимаете связь между радиусом, диаметром и π, поскольку все они играют роль в определении площади поверхности правильного цилиндра.

Диаметр и радиус цилиндра выходят из двух окружностей, которые обычно считаются основаниями , или верхней и нижней частью цилиндра, хотя не существует математической причины для того, чтобы цилиндр встал. Представьте себе цистерны в поезде; они представляют собой цилиндры «по бокам», их основания с обоих концов.

Все, что вы делаете при вычислении площади поверхности, — это измеряете площадь двух окружностей, высоту h цилиндра и используете π, чтобы связать их.

Площадь поверхности цилиндра, формула

Формула площади поверхности цилиндра:

В этой формуле a — общая площадь поверхности, r — радиус окружностей на обоих концах, h — высота, а π — иррациональное число, которое мы упрощаем и сокращаем до 3.141595, или даже короче 3.14.

Формула площади на самом деле является формулой для изогнутой поверхности (то есть части 2πrh), добавленной к площади обоих концов (то есть части 2πr2). Если вы видите фразу «площадь основания цилиндра», автор имеет в виду верхний и нижний концы, а не изогнутую поверхность между ними.

Площадь всегда будет выражаться в квадратных единицах , вытекающих из линейных единиц в задаче, поскольку любые две линейные единицы, умноженные друг на друга, дают квадратные единицы.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Как упоминалось выше, существует также площади боковой поверхности объекта. Боковая поверхность объекта определяется как площадь всех сторон объекта, за исключением области его основания и вершины. Для цилиндра боковая поверхность — это изогнутая поверхность, соединяющая основание и верх.

Формула площади боковой поверхности

Формула для вычисления площади боковой поверхности аналогична приведенной выше формуле площади поверхности, но, поскольку мы не включаем верхнюю или нижнюю часть, мы должны удалить эту часть формулы.Формула площади боковой поверхности:

Как найти площадь поверхности цилиндра

Вот цилиндр из сердцевины рулона бумажных полотенец:

[чертеж картонной трубки диаметром 1,7 дюйма, длиной 11 дюймов]

Представьте, что мы храним внутри что-то чудесное, например, персонализированные палочки для еды или шашлык из шашлыка ручной работы. Нам нужно закрыть оба конца. Зная, что картонная трубка имеет ширину 1,7 дюйма и длину 11 дюймов, если бы мы закрыли концы, какова была бы площадь ее поверхности?

Здесь не было радиуса r; нам сказали диаметр, но вспоминая соотношение между частями окружностей, мы вспоминаем:

Диаметр (D) = 2 × Радиус (r)

1.7 = 2r

85 = г

Подставьте значения r и h в формулу, используя 3,14 для π:

А = 2πrh + 2πr2

А = 2π * 0,85 * 11 + 2π * 0,852

А = (6,283185 * 9,352) + (6,283185 * 0,72252)

А = 63,287382

В трубке для бумажных полотенец используется картон размером чуть более 0,4 квадратных футов!

Вот типичная банка содовой. Как вы оцениваете примерное количество алюминия, необходимого для его изготовления?

[вставить рисунок карикатуры с этикетками 4.83 дюйма в высоту, 2,60 дюйма в диаметре в самой широкой части тела]

Да, сода может немного вмятин с обоих концов, но нам просто нужна оценка. Во-первых, нам нужен радиус, поэтому берем половину диаметра банки:

2r = D

2r = 2,60

г = 1,30

Давайте вспомним нашу формулу и вставим то, что мы знаем:

А = 2πrh + 2πr2

А = (2π * 1,30 * 4,83) + (2π * 1,32)

A = (6,283185 * 6,2792) + (6,283185 * 1.692)

А = 50.070702

Это чуть больше трети квадратного фута переработанного алюминия в каждой банке. Теперь вы можете понять, почему переработка алюминия важна — всего три банки израсходуют квадратный фут металла!

Следующий урок:

Площадь пирамиды

Формула для определения площади поверхности и объема цилиндров

Площадь и объем поверхности цилиндра с использованием простых формул

Цилиндры имеют форму трубы с двумя одинаковыми параллельными концами на обоих концах.В геометрии вам потребуется использовать формулы, чтобы найти объем и площадь поверхности этой формы. Вы столкнетесь с проблемами, которые могут не предоставить вам всю информацию, необходимую для того, чтобы легко подставлять числа в формулы, и именно здесь вам пригодятся ваши предыдущие знания геометрии.

Как найти площадь цилиндра

Мы научим вас определять площадь и объем цилиндров с помощью примера вопроса. Это не так уж сложно, поскольку у нас есть хорошее уравнение для нахождения обоих.Итак, для цилиндра в верхнем левом углу ниже давайте сначала определим площадь поверхности.

шаги определения площади поверхности цилиндра

Для начала мы знаем, что диаметр равен 42 футам, а высота — 110 футам. Единицы согласованы друг с другом, и это хорошо. Но на самом деле нам не так уж и нужен диаметр, когда дело касается уравнения. Вместо этого мы собираемся найти радиус, используя диаметр.

Если вы помните, преобразовать радиус в диаметр просто.В этом случае просто возьмите 42 и разделите его на 2, и вы получите радиус, равный 21 футу. Теперь мы можем взять это и использовать в формуле площади поверхности.

Площадь цилиндра формула

Чтобы начать вычисление площади поверхности цилиндра, мы знаем, что уравнение говорит, что нужно взять 2πr2 \ pi r2πr-квадрат, а затем добавить 2πr2 \ pi r2πr с hhh, то есть высотой.

формула площади поверхности цилиндра

В чем идея этой формулы? На самом деле это довольно просто.Если вы развернете цилиндр, вы увидите, что это круг наверху с прямоугольной формой посередине, за которым следует еще один круг. У нас получилось два круга и один прямоугольник. Площадь круга равна πr \ pi rπr в квадрате, и, таким образом, для двух кругов это 2πr2 \ pi r2πr в квадрате. 2πr2 \ pi r2πr из второй части уравнения площади поверхности позволяет найти длину окружности, которая также является длиной прямоугольника. Это поможет нам найти площадь поверхности прямоугольника, которая равна высоте, умноженной на длину, и, следовательно, равна 2πrh3 \ pi r h3πrh.217285feet2

У нас есть радиус из диаметра ранее (21 фут), а затем мы просто используем высоту, которую нам дали, которая была 110.

Объем цилиндра формула

Прежде чем мы начнем определять объем, ниже показано уравнение объема, которое мы будем использовать. Объем цилиндра — это просто площадь основания, умноженная на высоту.

формула объема цилиндра

Как найти объем цилиндра

Возвращаясь к схеме цилиндра, основание круглое.3152398.7 футов 3. Помните, что объем выражается в кубах, а площадь поверхности — в квадратах. Теперь вы узнали, как рассчитать площадь и объем цилиндра!

Чтобы увидеть интерактивный пример объема цилиндра, попробуйте эту регулируемую фигуру.

Вычислитель объема и площади цилиндра

Как найти объем и площадь цилиндра?

Цилиндр — это трехмерное твердое тело с конгруэнтными основаниями в паре параллельных плоскостей.Эти основания представляют собой конгруэнтные круги. Ось цилиндра — это отрезок прямой с концами в центрах оснований. Высота или высота цилиндра, обозначаемая $ h $, представляет собой перпендикулярное расстояние между его круглыми основаниями. Существует два типа цилиндров:

• Правый цилиндр;
• Наклонный цилиндр.

Если ось цилиндра находится на высоте, то цилиндр — это правый цилиндр, в противном случае цилиндр — наклонный цилиндр. Если вырезать правильный цилиндр и положить его на плоскость, то получится выкройка или сетка для цилиндра.Сетка для цилиндра показана ниже. Площадь поверхности цилиндра — это сумма площадей двух конгруэнтных окружностей и прямоугольника. Площадь этого прямоугольника — это боковая площадь цилиндра. Понятно, что длина прямоугольника равна окружности основания. Следовательно, боковая площадь цилиндра равна

$$ L = 2r \ pi \ times h $$

где $ \ pi \ Approx3.14 $. Наконец, чтобы найти площадь поверхности цилиндра, сначала найдите боковую площадь и добавьте площади базовых кругов.3) $ и т. Д.

Работа с объемом цилиндра и площадью поверхности с шагом показывает полный пошаговый расчет для определения площади поверхности и объема цилиндра с длиной его базового радиуса $ 5 \; in $ и высотой $ 10 \; in $ по формулам площади и объема. Для любые другие значения для длины базового радиуса и высоты цилиндра, просто введите два положительных вещественных числа и нажмите кнопку «Создать работу». кнопка. Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор цилиндров для создания работы, проверки результатов площади поверхности и объема трехмерных тел или для эффективного выполнения домашних заданий.

Площадь цилиндра с вычислителем

Площадь поверхности цилиндра с вычислителем — Math Open Reference

Определение: Количество квадратных единиц, необходимое для точного покрытия поверхности цилиндра. Дается по формуле:

где:
π — Pi, приблизительно 3,142
r — радиус цилиндра
h высота цилиндра

Попробуй это Перетащите оранжевую точку, чтобы изменить размер цилиндра, обратите внимание, как рассчитывается площадь.

Площадь цилиндра можно определить, разбив его на три части:

• Две окружности, составляющие концы цилиндра.
• Сторона цилиндра, которая в развернутом состоянии представляет собой прямоугольник

Комбинируя эти части, мы получаем формулу: где:
π — Pi, приблизительно 3,142
r — радиус цилиндра
h высота цилиндра

Подробнее о том, как выводится эта формула, см. Определение площади поверхности цилиндра.

Квартир

Помните, что радиус и высота должны быть в одних и тех же единицах измерения — при необходимости преобразуйте их. Результирующая площадь будет в этих квадратных единицах. Так, например, если высота и радиус указаны в сантиметрах, площадь будет в квадратных сантиметрах.

Калькулятор

Используйте калькулятор выше, чтобы вычислить высоту, радиус или площадь поверхности цилиндра.

Введите любые два значения, и будет вычислено недостающее. Например: введите радиус и высоту и нажмите «Рассчитать».Площадь поверхности будет рассчитана.

Точно так же, если вы введете высоту и площадь, будет рассчитан радиус, необходимый для получения этой площади.

Что попробовать

1. На рисунке выше отрегулируйте высоту и диаметр цилиндра и обратите внимание, как рассчитывается площадь поверхности.
2. Нажмите «сбросить» и «скрыть детали». Отрегулируйте цилиндр до нового размера и рассчитайте площадь поверхности.