Где возникает сила упругости: Сила упругости – формула, от чего зависит и когда возникает

Открытая Физика. Сила упругости. Закон Гука

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Её называют силой упругости.

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила F→=–F→упр.

При малых деформациях (|x| << l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:

F_x = F_упр = –kx.

Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жёсткостью тела. В системе СИ жёсткость измеряется в ньютонах на метр

(Н/м). Коэффициент жёсткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение ε = x / l называется относительной деформацией, а отношение σ = F / S = –F_упр / S, где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:

ε=1Eσ.

Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2∙10¹¹ Н/м², а для резины E ≈ 2∙10⁶ Н/м², т. е. на пять порядков меньше.

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Деформация изгиба. F→упр=–mg→,  Fупр=–kx.

Упругую силу N→, действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры. При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения. Поэтому её часто называют силой нормального давления. Если тело лежит на горизонтальном неподвижном столе, сила реакции опоры направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести:N→=–mg→. Сила P→, с которой тело действует на стол, называется весом тела.

В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент 

k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром. Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в её витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.

Деформация растяжения пружины. F→упр=–mg→,   Fупр=–kx.

В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.

Закон Гука

Сила упругости — Сила упругости

     Деформация — изменение формы или размеров тела. Различают пять видов деформации: сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб, кручение.

    Причина возникновения силы упругости заключается в изменении расположения молекул при деформации. Для доски под гирей это выглядит следующим образом: 

 Большой вклад в изучение упругости внес английский ученый Роберт Гук, современник Ньютона. Он установил, как сила упругости зависит от деформации и сформулировал закон, названный впоследствии его именем.

     Рассмотрим опыт № 2. Возьмём резиновый шнур. Один конец его закрепим в штативе.  Первоначальная длина шнура была x0.  Если к свободному концу шнура подвесить чашку с гирькой, то шнур удлинится. Его длина станет равной x. 

Удлинение шнура  (Δ — греч. буква «дельта») можно найти так:     = x — x0.     

    Если менять гирьки на чашке, то будет меняться и длина шнура, а значит, его удлинение, причем модуль возникающей в нем силы упругости будет прямо пропорционален изменению длины шнура. 

    Закон Гука: сила упругости, возникающая при растяжении (или сжатии) тела прямо пропорциональна изменению его длины.

    

Здесь k — жесткость — характеристика упругих свойств тела. Она показывает, какую силу нужно приложить к телу, чтобы деформировать его на единицу длины.

Жёсткость тела зависит от формы и размеров, а также от материала, из которого оно изготовлено.

    Закон Гука справедлив только для упругой деформации. Если после прекращения действия сил, деформирующих тело, оно возвращается в исходное положение, то деформация является упругой.

    Следует отметить, что сила упругости действует не на деформируемое тело, а на тело, вызвавшее деформацию, т.е., в данном случае, на ладонь.

Сила упругости | Физика

Упругость — свойство тел изменять форму и размеры (деформироваться) под действием на­грузок и самопроизвольно восстанавливать первоначальные форму и размеры при прекращении внешних воздействий.

Деформацией (от лат. deformatio — искажение) называют любое изменение размеров и фор­мы тела.

Деформации бывают разных видов: растяжения, сжатия, сдвига, изгиба, кручения. Все пере­численные виды деформации возможны в твердых телах. В жидкостях и газах возможны только деформации объемного сжатия и растяжения, т. к. эти среды не обладают упругостью формы, а только объема (как известно, жидкость принимает форму сосуда, в котором находится, а газ занимает весь предоставленный ему объем).

Деформация называется упругой, если она возникает и исчезает одновременно с внешним воз­действием.

Деформация, которая не исчезает после прекращения внешнего воздействия, называется плас­тической.

Если, например, пружину несколько растянуть, а затем отпустить, то она снова примет свою первоначальную форму. Но ту же пружину можно растянуть настолько, что после того, как ее отпустят, она так и останется растянутой.

При деформации тел возникают силы упругости, которые используются, например, в динамо­метрах. Пластические деформации применяют при лепке из пластилина и глины, при обработке металлов — ковке, штамповке.

Сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исход­ное положение, называется силой упругости.

Сила упругости возникает и при растяжении (например, если подвесить гирю на нить), и при изгибе, и при других видах деформации.

Возникновение силы упругости можно понять из следующе­го опыта.  Если на нее сверху поместить гирю, то под действием силы тя­жести гиря начнет двигаться вниз, сжимая пружину, т. е. дефор­мируя ее, но через некоторое время остановится Так как тело (гиря) неподвижно, значит, силы, действующие на него, уравновешены, т. е. сила тяжести уравновешена силой, действующей на гирю со стороны сжатой пружины. Это и есть сила упругости.

Если на опору поместить достаточно легкий предмет, то ее деформация может оказаться столь незначительной, что изменение формы опоры будет незамет­ным. Но деформация все равно будет иметь место, а вместе с ней будет действовать и сила упру­гости, препятствующая падению тел, находящихся на данной опоре. В случае, когда деформация тела незаметна и изменением размеров опоры можно пренебречь, силу упругости называют силой реакции опоры.

Силы упругости возникают всегда при попытке изменить форму или объем твердого тела, при изменении объема жидкости или газа.

В отличие от сил тяготения, которые действуют между телами всегда, силы упругости возни­кают в теле лишь при определенном условии: тело должно быть деформировано.

 

 

Сила упругости и деформация

☰

Представим себе пружину, которую никто не трогает, и ничто на ней не подвешено. Если пренебречь ее весом, то можно сказать, что она не действует ни на какие тела никакой силой. Однако если пружину растянуть или сжать, то мы почувствуем силу, направленную против наших усилий. Эта сила будет «пытаться» вернуть пружину в исходное состояние. Что это за сила, и почему она возникает?

Эту возникающую силу называют силой упругости, а возникает она из-за деформации тела. Таким образом, когда какое-либо тело деформируется, в нем может возникать сила упругости. Под деформацией следует понимать изменение формы тела — сжатие, растяжение, кручение и другое. Но почему деформация может приводить к возникновению силы упругости? Для ответа на этот вопрос надо посмотреть, что происходит с молекулами или другими частицами вещества, из которых состоит тело.

Когда тело растягивается, то расстояние между частицами вещества увеличивается. Частицы начинают сильнее притягиваться друг к другу. Из-за появившейся дополнительной силы межмолекулярного притяжения возникает сила упругости в случае растяжения.

Когда тело сжато, то расстояние между частицами уменьшается. Это приводит к тому, что они начинают отталкиваться друг от друга. В данном случае силу упругости создают межмолекулярные силы отталкивания.

Если подвесить к пружине груз, то он своим весом заставит ее растянуться. Когда пружина начнет растягиваться под действием веса груза, в ней возникнет, а потом будет нарастать, сила упругости. В какой-то момент сила упругости станет равной весу тела, то есть силы уравновесятся, и пружина перестанет растягиваться далее.

Таким образом, на пружину действуют две силы направленные в противоположные стороны, но равные по численному значению (по модулю) — вес растягивающего ее тела и сила упругости, возникающая в самой пружине.

Примерно то же самое происходит, если положить на поверхность (например, стол) какой-либо предмет (например, толстую книгу). Книга будет действовать на стол своим весом, направленным к Земле. Стол под этим весом начнет деформироваться, в нем возникнет сила упругости, направленная против действия веса книги. Величина силы упругости возникнет именно такая, чтобы уравновесить вес книги. Не больше, не меньше. Если теперь на стол поставить еще принтер, то стол деформируется еще больше, в нем возникнет еще большая сила упругости. По модулю она будет равна весу принтера и книги.

Деформация стола и многих других предметов нам не заметны. Однако существуют опыты, доказывающие, что деформация происходит.

Сила упругости играет важную роль в нашем мире. Ведь если бы ее не было, мы бы проваливались к центру Земли, а книги ломали бы столы. Или может быть наоборот, ничего бы не растягивалось и не сжималось, и тогда никакое тело нельзя было бы изменить под действием силы или поломать.

Понятно, что сила упругости не обязательно возникает под действием веса другого тела. Другое тело может просто прикладывать свои силы, чтобы растягивать или сжимать тело. Например, человек может растягивать силой мышц резиновый жгут, или в каком-нибудь механизме его часть может то сжимать, то растягивать пружину. Здесь речь не идет о том, что сила упругости возникает в противовес весу других тел, она здесь возникает в противовес другим силам.

Однако, силу упругости, возникающую под действием веса другого тела, на которое действует сила тяжести (именно она приводит к возникновению у тела веса), выделяют особо. Такую силу упругости называют силой нормальной реакции. Ее обозначают большой буквой N со стрелкой вверху.

Сила тяжести и сила нормальной реакции, действующие на тело, направлены в противоположные стороны, но равны по численному значению (по модулю).

Следует понимать «механизм» возникновения и действия сил. Сила тяжести возникает в следствие закона всемирного тяготения, который утверждает, что все тела притягиваются. В результате существования силы тяжести тела обретают вес. И уже под действием веса одного тела возникает сила нормальной реакции другого тела. То есть это не сила тяжести приводит к возникновению силы нормальной реакции, а вес. Однако вес тела и сила тяжести равны друг другу. И если рассматривать тело, лежащее, скажем, на столе, то на него действительно действуют две противоположно направленные, но равные по модулю силы — сила тяжести со стороны Земли и сила нормальной реакции со стороны опоры.

Сила тяжести, трения, реакции опоры, упругости, Архимеда, сопротивления, вес. Направление, точка приложения, природа возникновения

Тестирование онлайн

Что надо знать о силе

Сила — векторная величина. Необходимо знать точку приложения и направление каждой силы. Важно уметь определить какие именно силы действуют на тело и в каком направлении. Сила обозначается как , измеряется в Ньютонах. Для того, чтобы различать силы, их обозначают следующим образом

Ниже представлены основные силы, действующие в природе. Придумывать не существующие силы при решении задач нельзя!

Сил в природе много. Здесь рассмотрены силы, которые рассматриваются в школьном курсе физики при изучении динамики. А также упомянуты другие силы, которые будут рассмотрены в других разделах.

Сила тяжести

На каждое тело, находящееся на планете, действует гравитация Земли. Сила, с которой Земля притягивает каждое тело, определяется по формуле

Точка приложения находится в центре тяжести тела. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз.

Сила трения

Познакомимся с силой трения. Эта сила возникает при движении тел и соприкосновении двух поверхностей. Возникает сила в результате того, что поверхности, если рассмотреть под микроскопом, не являются гладкими, как кажутся. Определяется сила трения по формуле:

Сила приложена в точке соприкосновения двух поверхностей. Направлена в сторону противоположную движению.

Так как тело представляем в виде материальной точки, силу можно изображать с центра

Сила реакции опоры

Представим очень тяжелый предмет, лежащий на столе. Стол прогибается под тяжестью предмета. Но согласно третьему закону Ньютона стол воздействует на предмет с точно такой же силой, что и предмет на стол. Сила направлена противоположно силе, с которой предмет давит на стол. То есть вверх. Эта сила называется реакцией опоры. Название силы «говорит» реагирует опора. Эта сила возникает всегда, когда есть воздействие на опору. Природа ее возникновения на молекулярном уровне. Предмет как бы деформировал привычное положение и связи молекул (внутри стола), они, в свою очередь, стремятся вернуться в свое первоначальное состояние, «сопротивляются».

Абсолютно любое тело, даже очень легкое (например,карандаш, лежащий на столе), на микроуровне деформирует опору. Поэтому возникает реакция опоры.

Специальной формулы для нахождения этой силы нет. Обозначают ее буквой , но эта сила просто отдельный вид силы упругости, поэтому она может быть обозначена и как

Сила приложена в точке соприкосновения предмета с опорой. Направлена перпендикулярно опоре.

Так как тело представляем в виде материальной точки, силу можно изображать с центра

Сила упругости

Это сила возникает в результате деформации (изменения первоначального состояния вещества). Например, когда растягиваем пружину, мы увеличиваем расстояние между молекулами материала пружины. Когда сжимаем пружину — уменьшаем. Когда перекручиваем или сдвигаем. Во всех этих примерах возникает сила, которая препятствует деформации — сила упругости.

Закон Гука

Сила упругости направлена противоположно деформации.

Так как тело представляем в виде материальной точки, силу можно изображать с центра

При последовательном соединении, например, пружин жесткость рассчитывается по формуле

При параллельном соединении жесткость

Жесткость образца. Модуль Юнга.

Модуль Юнга характеризует упругие свойства вещества. Это постоянная величина, зависящая только от материала, его физического состояния. Характеризует способность материала сопротивляться деформации растяжения или сжатия. Значение модуля Юнга табличное.

Подробнее о свойствах твердых тел здесь.

Вес тела

Вес тела — это сила, с которой предмет воздействует на опору. Вы скажете, так это же сила тяжести! Путаница происходит в следующем: действительно часто вес тела равен силе тяжести, но это силы совершенно разные. Сила тяжести — сила, которая возникает в результате взаимодействия с Землей. Вес — результат взаимодействия с опорой. Сила тяжести приложена в центре тяжести предмета, вес же — сила, которая приложена на опору (не на предмет)!

Формулы определения веса нет. Обозначается эта силы буквой .

Сила реакции опоры или сила упругости возникает в ответ на воздействие предмета на подвес или опору, поэтому вес тела всегда численно одинаков силе упругости, но имеет противоположное направление.

Сила реакции опоры и вес — силы одной природы, согласно 3 закону Ньютона они равны и противоположно направлены. Вес — это сила, которая действует на опору, а не на тело. Сила тяжести действует на тело.

Вес тела может быть не равен силе тяжести. Может быть как больше, так и меньше, а может быть и такое, что вес равен нулю. Это состояние называется невесомостью. Невесомость — состояние, когда предмет не взаимодействует с опорой, например, состояние полета: сила тяжести есть, а вес равен нулю!

Определить направление ускорения возможно, если определить, куда направлена равнодействующая сила

Обратите внимание, вес — сила, измеряется в Ньютонах. Как верно ответить на вопрос: «Сколько ты весишь»? Мы отвечаем 50 кг, называя не вес, а свою массу! В этом примере, наш вес равен силе тяжести, то есть примерно 500Н!

Перегрузка — отношение веса к силе тяжести

Сила Архимеда

Сила возникает в результате взаимодействия тела с жидкость (газом), при его погружении в жидкость (или газ). Эта сила выталкивает тело из воды (газа). Поэтому направлена вертикально вверх (выталкивает). Определяется по формуле:

В воздухе силой Архимеда пренебрегаем.

Если сила Архимеда равна силе тяжести, тело плавает. Если сила Архимеда больше, то оно поднимается на поверхность жидкости, если меньше — тонет.

Электрические силы

Существуют силы электрического происхождения. Возникают при наличии электрического заряда. Эти силы, такие как сила Кулона, сила Ампера, сила Лоренца, подробно рассмотрены в разделе Электричество.

Схематичное обозначение действующих на тело сил

Часто тело моделируют материальной точкой. Поэтому на схемах различные точки приложения переносят в одну точку — в центр, а тело изображают схематично кругом или прямоугольником.

Для того, чтобы верно обозначить силы, необходимо перечислить все тела, с которыми исследуемое тело взаимодействует. Определить, что происходит в результате взаимодействия с каждым: трение, деформация, притяжение или может быть отталкивание. Определить вид силы, верно обозначить направление. Внимание! Количество сил будет совпадать с числом тел, с которыми происходит взаимодействие.

Главное запомнить

1) Силы и их природа;
2) Направление сил;
3) Уметь обозначить действующие силы

Рассмотрим взаимное притяжение предмета и Земли. Между ними, согласно закону гравитации возникает сила

А сейчас сравним закон гравитации и силу тяжести

Величина ускорения свободного падения зависит от массы Земли и ее радиуса! Таким образом, можно высчитать, с каким ускорением будут падать предметы на Луне или на любой другой планете, используя массу и радиус той планеты.

Расстояние от центра Земли до полюсов меньше, чем до экватора. Поэтому и ускорение свободного падения на экваторе немного меньше, чем на полюсах. Вместе с тем, следует отметить, что основной причиной зависимости ускорения свободного падения от широты местности, является факт вращения Земли вокруг своей оси.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорения свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.

Силы упругости. 10 класс. Физика. — Объяснение нового материала.

Подвесьте пружину (рис. 1, а) и потяните ее вниз. Растянутая пружина будет действовать на руку с некоторой силой (рис. 1, б). Это сила упругости.

Рис. 1. Опыт с пружиной: а — пружина не растянута; б — растянутая пружина действует на руку с силой, направленной вверх

Из-за чего возникает сила упругости? Легко заметить, что сила упругости действует со стороны пружины только тогда, когда она растянута или сжата, то есть ее форма изменена. Изменение формы тела называют деформацией.

Сила упругости возникает вследствие деформации тела.

В деформированном теле расстояния между частицами немного изменяются: если тело растянуто, то расстояния увеличиваются, а если сжато, то уменьшаются. В результате взаимодействия частиц и возникает сила упругости. Она направлена всегда так, чтобы уменьшить деформацию тела.

Всегда ли деформацию тела можно заметить? Деформацию пружины легко заметить. А деформируется ли, например, стол под лежащей на нем книгой? Казалось бы, должен: ведь иначе со стороны стола не возникла бы сила, которая не дает книге провалиться сквозь стол. Но на глаз деформация стола не заметна. Однако это еще не означает, что ее нет!

Поставим опыт

Установим на столе два зеркала и направим на одно из них узкий пучок света так, чтобы после отражения от двух зеркал на стене появился маленький световой зайчик (рис. 2). Если коснуться рукой одного из зеркал, зайчик на стене сместится, потому что его положение очень чувствительно к положению зеркал — в этом и заключается «изюминка» опыта.

Положим теперь на середину стола книгу. Мы увидим, что зайчик на стене тотчас сместился. А это означает, что стол действительно чуть прогнулся под лежащей на нем книгой.

Рис. 2. Этот опыт доказывает, что стол чуть-чуть прогибается под лежащей на нем книгой. Из-за этой деформации и возникает сила упругости, поддерживающая книгу

На этом примере мы видим, как с помощью искусно поставленного опыта можно сделать незаметное заметным.

Итак, при незаметных на глаз деформациях твердых тел могут возникать большие силы упругости: благодаря действию именно этих сил мы не проваливаемся сквозь пол, опоры держат мосты, а мосты поддерживают идущие по ним тяжелые грузовики и автобусы. Но деформация пола или опор моста на глаз незаметна!

На какие из окружающих вас тел действуют силы упругости? Со стороны каких тел они приложены? Заметна ли на глаз деформация этих тел?

Почему не падает лежащее на ладони яблоко? Сила тяжести действует на яблоко не только когда оно падает, но и когда оно лежит на ладони.

Почему же тогда лежащее на ладони яблоко не падает? Потому, что на него действует теперь не только сила тяжести Fт, но и сила упругости со стороны ладони (рис. 3).

Рис. 3. На яблоко, лежащее на ладони, действуют две силы: сила тяжести и сила нормальной реакции. Эти силы уравновешивают друг друга

Эту силу называют силой нормальной реакции и обозначают N. Такое название силы объясняется тем, что она направлена перпендикулярно поверхности, на которой находится тело (в данном случае — поверхности ладони), а перпендикуляр называют иногда нормалью.

Действующие на яблоко сила тяжести и сила нормальной реакции уравновешивают друг друга: они равны по модулю и направлены противоположно.

На рис. 3 мы изобразили эти силы приложенными в одной точке — так делают, если размерами тела можно пренебречь, то есть можно заменить тело материальной точкой.

Когда яблоко лежит на ладони, вы чувствуете, что оно давит на ладонь, то есть действует на ладонь с силой, направленной вниз (рис. 4, а). Эта сила — вес яблока.

Вес яблока можно почувствовать также, подвесив яблоко на нити (рис. 4, б).

Рис. 4. Вес яблока Р приложен к ладони (а) или нити, на которой подвешено яблоко (б)

Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие притяжения тела Землей.

Вес обозначают обычно Р. Расчеты и опыт показывают, что вес покоящегося тела равен действующей на это тело силе тяжести: Р = Fт = gm.

Решим задачу

Чему равен вес покоящейся килограммовой гири?

Итак, числовое значение веса тела, выраженное в ньютонах, примерно в 10 раз больше числового значения массы этого же тела, выраженного в килограммах.

Чему равен вес человека массой 60 кг? Чему равен ваш вес?

Как связаны вес и сила нормальной реакции? На рис. 5 изображены силы, с которыми действуют друг на друга ладонь и лежащее на ней яблоко: вес яблока Р и сила нормальной реакции N.

Рис. 5. Силы, с которыми действуют друг на друга яблоко и ладонь

В курсе физики 9-го класса будет показано, что силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Приведите пример уже известных вам сил, которые уравновешивают друг друга.

На столе лежит книга массой 1 кг. Чему равна сила нормальной реакции, действующая на книгу? Со стороны какого тела она приложена и как она направлена?

Чему равна действующая на вас сейчас сила нормальной реакции?

Сила упругости. Закон Гука | Физика

На все тела, находящиеся вблизи Земли, действует ее притяжение. Под действием силы тяжести падают на Землю капли дождя, снежинки, оторвавшиеся от веток листья.

Но когда тот же снег лежит на крыше, его по-прежнему притягивает Земля, однако он не проваливается сквозь крышу, а остается в покое. Что препятствует его падению? Крыша. Она действует на снег с силои, равной силе тяжести, но направленной в противоположную сторону. Что это за сила?

На рисунке 34, а изображена доска, лежащая на двух подставках. Если на ее середину поместить гирю, то под действием силы тяжести гиря начнет двигаться, но через некоторое время, прогнув доску, остановится (рис. 34, б). При этом сила тяжести окажется уравновешенной силой, действующей на гирю со стороны изогнутой доски и направленной вертикально вверх. Эта сила называется силой упругости.Сила упругости возникает при деформации. Деформация — это изменение формы или размеров тела. Одним из видов деформации является изгиб. Чем больше прогибается опора, тем больше сила упругости, действующая со стороны этой опоры на тело. Перед тем как тело (гирю) положили на доску, эта сила отсутствовала. По мере движения гири, которая все сильнее и сильнее прогибала свою опору, возрастала и сила упругости. В момент остановки гири сила упругости достигла силы тяжести и их равнодействующая стала равной нулю.

Если на опору поместить достаточно легкий предмет, то ее деформация может оказаться столь незначительной, что никакого изменения формы опоры мы не заметим. Но деформация все равно будет! А вместе с ней будет действовать и сила упругости, препятствующая падению тела, находящегося на данной опоре. В подобных случаях (когда деформация тела незаметна и изменением размеров опоры можно пренебречь) силу упругости называют силой реакции опоры.

Если вместо опоры использовать какой-либо подвес (нить, веревку, проволоку, стержень и т. д.), то прикрепленный к нему предмет также может удерживаться в покое. Сила тяжести и здесь будет уравновешена противоположно направленной силой упругости. Сила упругости при этом возникает из-за того, что подвес под действием прикрепленного к нему груза растягивается. Растяжение еще один вид деформации.

Сила упругости возникает и при сжатии. Именно она заставляет распрямляться сжатую пружину и толкать прикрепленное к ней тело (см. рис. 27, б).

Большой вклад в изучение силы упругости внес английский ученый Р. Гук. В 1660 г., когда ему было 25 лет, он установил закон, названный впоследствии его именем. Закон Гука гласит:

Сила упругости, возникающая при растяжении или сжатии тела, пропорциональна его удлинению.

Если удлинение тела, т. е. изменение его длины, обозначить через х, а силу упругости — через F_упр, то закону Гука можно придать следующую математическую форму:

F_упр = kx,

где k — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. У каждого тела своя жесткость. Чем больше жесткость тела (пружины, проволоки, стержня и т. д.), тем меньше оно изменяет свою длину под действием данной силы.

Единицей жесткости в СИ является ньютон на метр (1 Н/м).

Проделав ряд экспериментов, подтвердивших данный закон, Гук отказался от его публикации. Поэтому в течение долгого времени никто не знал о его открытии. Даже спустя 16 лет, все еще не доверяя своим коллегам, Гук в одной из своих книг привел лишь зашифрованную формулировку (анаграмму) своего закона. Она имела вид

ceiiinosssttuv.

Выждав два года, чтобы конкуренты могли сделать заявки о своих открытиях, он наконец расшифровал свой закон. Анаграмма расшифровывалась так:

ut tensio, sic vis

(что в переводе с латинского означает: каково растяжение, такова и сила). «Сила любой пружины,— писал Гук,— пропорциональна ее растяжению».

Гук изучал упругие деформации. Так называют деформации, которые исчезают после прекращения внешнего воздействия. Если, например, пружину несколько растянуть, а затем отпустить, то она снова примет свою первоначальную форму. Но ту же пружину можно растянуть на столько, что, после того как ее отпустят, она так и останется растянутой. Деформации, которые не исчезают после прекращения внешнего воздействия, называют пластическими.

Пластические деформации применяют при лепке из пластилина и глины, при обработке металлов — ковке, штамповке и т. д.

Для пластических деформаций закон Гука не выполняется.

В древние времена упругие свойства некоторых материалов (в частности, такого дерева, как тис) позволили нашим предкам изобрести лук — ручное оружие, предназначенное для метания стрел с помощью силы упругости натянутой тетивы.

Появившись примерно 12 тысяч лет назад, лук просуществовал на протяжении многих веков как основное оружие почти всех племен и народов мира. До изобретения огнестрельного оружия лук являлся самым эффективным боевым средством. Английские лучники могли пускать до 14 стрел в минуту, что при массовом использовании луков в бою создавало целую тучу стрел. Например, число стрел, выпущенных в битве при Азенкуре (во время Столетней войны), составило примерно 6 миллионов!

Широкое распространение этого грозного оружия в средние века вызвало обоснованный протест со стороны определенных кругов общества. В 1139 г. собравшийся в Риме Латеранский (церковный) собор запретил применение этого оружия против христиан. Однако борьба за «лучное разоружение» не имела успеха, и лук как боевое оружие продолжал использоваться людьми еще на протяжении пятисот лет.

Совершенствование конструкции лука и создание самострелов (арбалетов) привело к тому, что выпущенные из них стрелы стали пробивать любые доспехи. Но военная наука не стояла на месте. И в XVII в. лук был вытеснен огнестрельным оружием.

В наше время стрельба из лука является лишь одним из видов спорта.

1. В каких случаях возникает сила упругости? 2. Что называют деформацией? Приведите примеры деформаций. 3. Сформулируйте закон Гука. 4. Что такое жесткость? 5. Чем отличаются упругие деформации от пластических?

Закон Гука

Back to Top

Цель

• •

  проверить закон Гука путем измерения жесткости пружин различных пружин и пружинных систем.

• •

  проверить, все ли упругие объекты подчиняются закону Гука

Оборудование

две почти идентичные пружины, длинная резиновая лента, опорная стойка с измерителем, подвес массой 50 г, набор масс от 100 г до 600 г, весы, интерфейс научной мастерской с датчиком силы и датчиком вращательного движения, используемым в качестве линейного датчик

Введение и теория

Закон Гука

Сила упругости возникает в пружине, когда пружина растягивается / сжимается или деформируется (Δ x ) под действием внешней силы.Сила упругости действует в направлении, противоположном внешней силе. Он пытается привести деформированный конец пружины в исходное (равновесное) положение. См. Рис.2. Если растяжение относительно невелико, величина силы упругости прямо пропорциональна растяжению Δ x согласно закону Гука: где k — постоянная, обычно называемая жесткостью пружины, а Δ x — растяжение (разница между новым x и положением равновесия).Знак минус перед жесткостью пружины в уравнении 1 указывает, что сила упругости и растяжение действуют в противоположном направлении.

Процедура

Распечатайте лист для этой лабораторной работы. Ответьте на все вопросы в лабораторном листе перед отправкой Inlab в WebAssign.

Контрольная точка:
Убедитесь, что ваш технический специалист подписал ваш лабораторный рабочий лист, распечатал Inlab и все распечатанные графики после завершения каждой части.Убедитесь, что данные видны на графиках.

Часть 1: Измерение постоянной пружины

Целью этой части лабораторных работ является определение жесткости пружины. Жесткость пружины — это коэффициент пропорциональности между силой упругости и смещением в соответствии с законом Гука (уравнение 1

F _el = −kΔx,

). Метод 1

1

Перед началом эксперимента выполните упражнение «Прогнозирование» части 1 на рабочем листе лаборатории.

2

Подвесьте пружину к опоре, добавьте весовую вешалку и поместите на нее груз весом 200 г. Это будет положение равновесия системы. Измерить исходное положение равновесия подвешенного груза с помощью измерительной линейки и записать его в Inlab.

3

Добавляйте массы с шагом от 100 г до 600 г и измеряйте каждую соответствующую позицию для каждой вновь добавленной массы. Затем удалите массы с шагом 100 г и снова измерьте каждую позицию. Это поможет лучше определить неопределенность.

4

В GA создайте таблицу для записи экспериментальных данных о массе и положении, когда пружина растягивается, а затем сжимается.

5

Создайте новый расчетный столбец, чтобы найти силу упругости (ДАННЫЕ → НОВАЯ РАСЧЕТНАЯ КОЛОННА → уравнение: F = переменные « м » * г , где м — в кг).

6

Создайте новый вычисляемый столбец для смещения (ДАННЫЕ → НОВЫЙ РАСЧЕТНЫЙ КОЛОНК → уравнение = переменные «положение» — начальное положение равновесия).

7

Постройте график зависимости силы от смещения. Примените «Linear Fit» к графику зависимости силы от смещения. Ответьте на вопросы лабораторного рабочего листа, связанные с формой графика.

8

В Inlab запишите наклон графика и его погрешность, чтобы найти жесткость пружины и ее погрешность.

9

Сделайте снимок экрана вашего графика. Убедитесь, что все данные в области графика видны. Загрузите файл с графиком в Inlab для части 1. Метод 2 Схема установки, показанная на рис.3 будет использоваться для определения жесткости пружины 2.

10

Откройте файл предустановок эксперимента: Desktop / pirt inst labs / PHY 113 / PreSet Up Labs / Springs.

11

Перед получением фактических данных откалибруйте датчик силы. Нажмите кнопку Setup на панели инструментов. Затем щелкните значок датчика силы и нажмите кнопку Calibrate Sensors . Откроется панель калибровки, показанная на рис.4. Параметр «2 точки» должен быть выбран в качестве «Тип калибровки».«При отсутствии нагрузки на датчик силы введите 0 в окне стандартных значений« Точка калибровки 1 ». Нажмите кнопку Tare на датчике силы. Это действие сбрасывает показания датчика силы на ноль. Нажмите кнопку Read From Sensor Затем повесьте зацепленную гирю весом 1 кг на датчике и введите 9.8 в окне стандартного значения «Точка калибровки 2». Нажмите кнопку « Read From Sensor ». Нажмите OK , чтобы сохранить эту калибровку. Закройте окно «Calibrate» Датчики »и окна« Настройка ».Теперь вы готовы к фактическим измерениям жесткости пружины. (Примечание: если указана стандартная масса другого значения, рассчитайте «Точку калибровки 2» как произведение массы и ускорения свободного падения.)

12

Замените груз весом 1 кг на пружину. Прикрепите к нему кусок веревки. Оберните струну вокруг большого шкива детектора вращательного движения против часовой стрелки, как показано на рис. 3. Детектор вращательного движения откалиброван для считывания линейного расстояния.

13

Нажмите кнопку Start , чтобы начать сбор данных. Осторожно потяните за шнур, наблюдая за окном индикации силы. Начните отпускать струну обратно в исходное положение, когда сила достигнет 10 Н.

14

Примените «Linear Fit» к хорошей части вашей записи (см. Рис. 5), которая представляет собой график зависимости силы упругости от смещения. В Inlab запишите значение жесткости пружины на основе наклона графика.

15

Сделайте снимок экрана вашего графика.Убедитесь, что все данные в области графика видны. Загрузите этот график в Inlab для части 1.

Часть 2: Последовательные и параллельные пружины

1

Используйте две пружины, чтобы создать систему из последовательно соединенных пружин. Повторите шаги 13 и 14 из Части 1. Обязательно сделайте снимки всех графиков для загрузки в Inlab для Части 2.

2

Используйте две пружины, чтобы сделать систему пружин параллельно. Повторите шаги 13 и 14 из Части 1. Обязательно сделайте снимки всех графиков для загрузки в Inlab для Части 2.

Часть 3: Исследование нелинейного упругого объекта

1

В экспериментальной установке, показанной на рис. 3, замените пружину длинной резинкой.

2

Повторите шаг 13 из части 1 выше. Запишите силу по отношению к положению как для движений вниз (увеличение силы), так и движений вверх (уменьшение силы).

3

Используйте эти данные, чтобы ответить на вопросы лабораторного рабочего листа.

Авторские права © Advanced Instructional Systems Inc., 2016.и факультет физики государственного университета Аризоны | Кредиты

Эластичность: напряжение и деформация | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Закон штата Гука.
• Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
• Обсудите три типа деформаций, такие как изменение длины, сдвиг в сторону и изменение объема.
• Опишите на примерах модуль Юнга, модуль сдвига и объемный модуль.
• Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Теперь мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта (таких как трение и сопротивление), к тем, которые влияют на форму объекта. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы — это деформация .Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики. Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций. Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть при малых деформациях соблюдается закон Гука. В форме уравнения Закон Гука определяется как

.

F = к Δ L ,

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта и направления сила.Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L — она ​​не постоянна, как кинетическая сила трения. Переставляем это на

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше.Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению.

Закон Гука

F = кΔL ,

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта и направления сила.

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {F} {k} [/ latex]

Рис. 1. График зависимости деформации ΔL от приложенной силы F. Прямой сегмент — это линейная область, в которой соблюдается закон Гука. Наклон прямой области [латекс] \ frac {1} {k} [/ latex]. Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой — ΔL вернется к нулю, если сила будет устранена. Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он не сломается.Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F . Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L вблизи трещины.

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, а удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций).Более толстые нейлоновые струны и струны из стали меньше растягиваются при одной и той же приложенной силе, что означает, что они имеют большее значение k (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала. Большинство материалов будут вести себя таким образом, если деформация будет меньше примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 ³ .

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз (w), приложенная к трем различным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три различных деформации, показанные заштрихованными сегментами.Левая нить из тонкого нейлона, посередине — из более толстого нейлона, а правая — из стали.

Потянитесь немного

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе — даже если соединить их параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Теперь мы рассмотрим три конкретных типа деформаций: изменение длины (растяжение и сжатие), сдвиг в сторону (напряжение) и изменения объема.Все деформации считаются небольшими, если не указано иное.

Изменения длины — растяжение и сжатие: модуль упругости

Изменение длины Δ L происходит, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная его длине L ₀ , либо растягивая (растяжение), либо сжимая. (См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (а) Напряжение. Стержень растягивается на длину ΔL , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие.Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении. Для очень малых деформаций и однородных материалов ΔL примерно одинаково для той же величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины (Δ L ) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорциональна силе F и зависит от вещества, из которого изготовлен объект.Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L ₀ и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где Δ L — изменение длины, F — приложенная сила, Y — коэффициент, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, A — площадь поперечного сечения, и L ₀ — исходная длина.В таблице 1 перечислены значения Y для нескольких материалов — те, которые имеют большой Y , как говорят, имеют большую прочность на разрыв , потому что они меньше деформируются при заданном растяжении или сжатии.

Таблица 1. Модули упругости
Материал	Модуль Юнга (растяжение – сжатие) Y (10 9 Н / м 2 )	Модуль сдвига S (10 9 Н / м 2 )	Объемный модуль B (10 9 Н / м 2 )
Алюминий	70	25	75
Кость — напряжение	16	80	8
Кость — компрессионная	9
Латунь	90	35	75
Кирпич	15
Бетон	20
Стекло	70	20	30
Гранит	45	20	45
Волосы (человеческие)	10
Твердая древесина	15	10
Чугун литой	100	40	90
Свинец	16	5	50
Мрамор	60	20	70
Нейлон	5
Полистирол	3
шелк	6
Паутинка	3
Сталь	210	80	130
Сухожилие	1
Ацетон			0.7
Этанол			0,9
Глицерин			4,5
Меркурий			25
Вода			2,2

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 1, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении. Обратите внимание, что существует предположение, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной F , действующие в противоположных направлениях.Например, струны на рисунке 3 тянут вниз силой величиной w и удерживаются потолком, который также оказывает силу величиной w .

Пример 1. Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах. (См. Рис. 4). Рассмотрим подвесной трос, длина которого без опоры составляет 3 км. Рассчитайте степень растяжения стального троса. Предположим, что кабель имеет диаметр 5,6 см и максимальное натяжение, которое он может выдержать, равно 3.0 × 10 ⁶ Н.

Рис. 4. Гондолы перемещаются по подвесным тросам на горнолыжном курорте Гала Юдзава в Японии. (Источник: Руди Херман, Flickr)

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3,0 × 10 ⁶ Н. Площадь поперечного сечения π r ² = 2,46 × 10 ^–3 м ² . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.{2}} \ right) \ left (\ text {3020 m} \ right) \\ & = & \ text {18 m}. \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это довольно большое натяжение, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, потому что оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости — волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна сухожилия начинают выравниваться в направлении напряжения — это называется разжатие . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рис. 5. Типичная кривая «напряжение-деформация» для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это — эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов.

Пример 2. Расчет деформации: насколько укорачивается нога, когда вы стоите на ней?

Рассчитайте изменение длины кости верхней части ноги (бедренной кости), когда мужчина весом 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своей массы, считая, что эта кость эквивалентна стержню, равному 40.0 см в длину и 2,00 см в радиусе.

Стратегия

Сила равна поддерживаемому весу, или F = мг = (62,0 кг) (9,80 м / с ² ) = 607,6 Н, а площадь поперечного сечения π r ² = 1,257 × 10 ^–3 м ² . Уравнение [latex] \ displaystyle \ Delta {L} = \ frac {1} {Y} \ text {} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] можно использовать для определения изменения длины.

Решение

Все величины, кроме Δ L , известны.{-5} \ text {m.} \ End {array} [/ latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку мы знаем, что кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в значительной степени. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 1, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие и обладают большей прочностью на разрыв.

Уравнение изменения длины по традиции перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс] \ displaystyle \ frac {F} {A} = Y \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex].

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение (измеряется в Н / м ² ), и отношение изменения длины к длина, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ displaystyle {F} = YA \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex],

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ displaystyle {k} = \ frac {YA} {L_0} [/ latex].

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

Напряжение

Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение, измеренное в Н / м ² .

Штамм

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta {L}} {L_0} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, напряжение = Y × деформация.

Боковое напряжение: Модуль сдвига

На рисунке 6 показано, что подразумевается под боковым напряжением или срезающей силой .Здесь деформация называется Δ x , и она перпендикулярна L ₀ , а не параллельна, как при растяжении и сжатии. Деформация сдвига аналогична растяжению и сжатию и может быть описана аналогичными уравнениями. Выражение для деформации сдвига : [latex] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex], где S — модуль сдвига ( см. Таблицу 1) и F — сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .Опять же, чтобы объект не ускорялся, на самом деле есть две равные и противоположные силы F , приложенные к противоположным граням, как показано на рисунке 6. Уравнение логично — например, легче согнуть длинный тонкий карандаш (маленький A ), чем короткий толстый, и оба гнутся легче, чем аналогичные стальные стержни (большие S ).

Рис. 6. Сила сдвига прилагается перпендикулярно длине L ₀ и параллельно области A , создавая деформацию Δx.Вертикальные силы не показаны, но следует иметь в виду, что в дополнение к двум силам сдвига, F , должны существовать поддерживающие силы, препятствующие вращению объекта. Искажающие эффекты этих поддерживающих сил игнорируются при этом лечении. Вес объекта также не показан, поскольку он обычно незначителен по сравнению с силами, достаточно большими, чтобы вызвать значительные деформации.

Деформация сдвига

[латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex],

, где S — модуль сдвига, а F — сила, приложенная перпендикулярно к L ₀ и параллельно площади поперечного сечения A .

Исследование модулей сдвига в таблице 1 выявляет некоторые характерные закономерности. Например, для большинства материалов модули сдвига меньше модулей Юнга. Кость — замечательное исключение. Его модуль сдвига не только больше, чем модуль Юнга, но и такой же, как у стали. Это одна из причин того, что кости могут быть длинными и относительно тонкими. Кости могут выдерживать нагрузки, сопоставимые с бетонными и стальными. Большинство переломов костей возникает не из-за сжатия, а из-за чрезмерного скручивания и изгиба.

Позвоночный столб (состоящий из 26 позвоночных сегментов, разделенных дисками) обеспечивает основную опору для головы и верхней части тела. Позвоночник имеет нормальную кривизну для стабильности, но это искривление может быть увеличено, что приведет к увеличению силы сдвига на нижних позвонках. Диски лучше выдерживают силы сжатия, чем силы сдвига. Поскольку позвоночник не является вертикальным, вес верхней части тела влияет на обе части. Беременным женщинам и людям с избыточным весом (с большим животом) необходимо отвести плечи назад, чтобы поддерживать равновесие, тем самым увеличивая искривление позвоночника и тем самым увеличивая сдвигающий компонент напряжения.Увеличенный угол из-за большей кривизны увеличивает поперечные силы вдоль плоскости. Эти более высокие усилия сдвига увеличивают риск травмы спины из-за разрыва дисков. Пояснично-крестцовый диск (клиновидный диск под последними позвонками) особенно подвержен риску из-за своего расположения.

Модули сдвига для бетона и кирпича очень малы; они слишком изменчивы, чтобы их можно было перечислить. Бетон, используемый в зданиях, может выдерживать сжатие, как в колоннах и арках, но очень плохо противостоит сдвигу, который может возникнуть в сильно нагруженных полах или во время землетрясений.Современные конструкции стали возможны благодаря использованию стали и железобетона. Практически по определению жидкости и газы имеют модули сдвига, близкие к нулю, потому что они текут в ответ на сдвигающие силы.

Пример 3. Расчет силы, необходимой для деформации: гвоздь не сильно изгибается под нагрузкой

Найдите массу картины, висящей на стальном гвозде, как показано на рисунке 7, учитывая, что гвоздь изгибается только на 1,80 мкм. (Предположим, что модуль сдвига известен с двумя значащими цифрами.)

Рис. 7. Гвоздь, вид сбоку, на котором висит изображение. Гвоздь очень слабо прогибается (показан намного больше, чем на самом деле) из-за срезающего воздействия поддерживаемого веса. Также показано направленное вверх усилие стенки на гвоздь, иллюстрирующее равные и противоположные силы, приложенные к противоположным поперечным сечениям гвоздя. См. Пример 3 для расчета массы изображения.

Стратегия

Сила F на гвоздь (без учета собственного веса гвоздя) — это вес изображения w .Если мы сможем найти w , то масса изображения будет просто [латекс] \ frac {w} {g} [/ latex]. Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] может быть решено для F .

Решение

Решая уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0 [/ latex] для F , мы видим, что все остальные величины могут быть найдены :

[латекс] \ displaystyle {F} = \ frac {SA} {L_0} \ Delta {x} [/ latex]

S находится в таблице 1 и составляет S = 80 × 10 ⁹ Н / м ² .{-6} \ text {m} \ right) = 51 \ text {N} [/ latex]

Эта сила 51 Н составляет вес w изображения, поэтому масса изображения [латекс] m = \ frac {w} {g} = \ frac {F} {g} = 5.2 \ text {kg} [ /латекс].

Обсуждение

Это довольно массивное изображение, и впечатляет то, что гвоздь прогибается всего на 1,80 мкм — величину, невидимую невооруженным глазом.

Изменения объема: модуль объемной упругости

Объект будет сжиматься во всех направлениях, если внутренние силы приложены равномерно ко всем его поверхностям, как показано на рисунке 8.Относительно легко сжимать газы и чрезвычайно сложно сжимать жидкости и твердые тела. Например, воздух в винной бутылке сжимается, когда она закупорена. Но если вы попытаетесь закупорить бутылку с полными краями, вы не сможете сжать вино — некоторые из них необходимо удалить, чтобы вставить пробку. Причина такой разной сжимаемости заключается в том, что атомы и молекулы разделены большими пустыми пространствами в газах, но плотно упакованы в жидкостях и твердых телах. Чтобы сжать газ, вы должны сблизить его атомы и молекулы.Чтобы сжать жидкости и твердые тела, вы должны действительно сжать их атомы и молекулы, и очень сильные электромагнитные силы в них препятствуют этому сжатию.

Рис. 8. Внутренняя сила на всех поверхностях сжимает этот куб. Его изменение в объеме пропорционально силе на единицу площади и его первоначальному объему и связано со сжимаемостью вещества.

Мы можем описать сжатие или объемную деформацию объекта уравнением. Во-первых, отметим, что сила, «приложенная равномерно», определяется как имеющая одинаковое напряжение или отношение силы к площади [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс] на всех поверхностях.Произведенная деформация представляет собой изменение объема Δ V , которое, как было обнаружено, ведет себя очень аналогично сдвигу, растяжению и сжатию, обсуждавшимся ранее. (Это неудивительно, поскольку сжатие всего объекта эквивалентно сжатию каждого из его трех измерений.) Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [латекс] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex], где B — объемный модуль упругости (см. Таблицу 1), V ₀ — исходный объем, а [латекс] \ frac {F} {A} [/ latex] — это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.Обратите внимание, что объемные модули для газов не приводятся.

Какие есть примеры объемного сжатия твердых тел и жидкостей? Одним из практических примеров является производство алмазов промышленного качества путем сжатия углерода с чрезвычайно большой силой на единицу площади. Атомы углерода перестраивают свою кристаллическую структуру в более плотно упакованный узор алмазов. В природе аналогичный процесс происходит глубоко под землей, где чрезвычайно большие силы возникают из-за веса вышележащего материала. Еще один естественный источник больших сжимающих сил — давление, создаваемое весом воды, особенно в глубоких частях океанов.Вода воздействует на все поверхности погружаемого объекта и даже на саму воду. На больших глубинах вода ощутимо сжата, как показано в следующем примере.

Пример 4. Расчет изменения объема с деформацией: насколько вода сжимается на глубинах Великого океана?

Рассчитайте частичное уменьшение объема [латекс] \ left (\ frac {\ Delta {V}} {V_0} \ right) [/ latex] для морской воды на глубине 5,00 км, где сила на единицу площади составляет 5,00 × 10 ⁷ Н / м ² .

Стратегия

Уравнение [латекс] \ displaystyle \ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0 [/ latex] является правильным физическим соотношением. Все величины в уравнении, кроме [latex] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex], известны.

Решение

Решение неизвестного [латекса] \ frac {\ Delta {V}} {V_0} [/ latex] дает [latex] \ displaystyle \ frac {\ Delta {V}} {V_0} = \ frac {1} {B } \ frac {F} {A} [/ латекс].

Замена известных значений значением модуля объемной упругости B из таблицы 1,

[латекс] \ begin {array} {lll} \ frac {\ Delta {V}} {V_0} & = & \ frac {5.2} \\ & = & 0.023 = 2.3 \% \ end {array} [/ latex]

Обсуждение

Хотя это можно измерить, это не является значительным уменьшением объема, учитывая, что сила на единицу площади составляет около 500 атмосфер (1 миллион фунтов на квадратный фут). Жидкости и твердые вещества чрезвычайно трудно сжимать.

И наоборот, очень большие силы создаются жидкостями и твердыми телами, когда они пытаются расшириться, но сдерживаются в этом, что эквивалентно их сжатию до меньшего, чем их нормальный объем.Это часто происходит, когда содержащийся в нем материал нагревается, поскольку большинство материалов расширяются при повышении их температуры. Если материалы сильно стеснены, они деформируют или ломают свой контейнер. Другой очень распространенный пример — замерзание воды. Вода, в отличие от большинства материалов, расширяется при замерзании, и она может легко сломать валун, разорвать биологическую клетку или сломать блок двигателя, который встанет у нее на пути.

Другие типы деформаций, такие как кручение или скручивание, ведут себя аналогично рассмотренным здесь деформациям растяжения, сдвига и объемной деформации.

Сводка раздела

• Закон Гука определяется выражением [латекс] F = k \ Delta {L} [/ latex], где [latex] \ Delta {L} [/ latex] — величина деформации (изменение длины), F — приложенная сила, а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также направления силы. Связь между деформацией и приложенной силой также может быть записана как [latex] \ displaystyle \ Delta L = \ frac {1} {Y} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex] , где Y — это модуль Юнга , , который зависит от вещества, A — площадь поперечного сечения, а [латекс] {L} _ {0} [/ latex] — исходная длина.
• Отношение силы к площади, [латекс] \ frac {F} {A} [/ латекс], определяется как напряжение , измеренное в Н / м ² .
• Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ frac {\ Delta L} {{L} _ {0}} [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами, [латекс] \ текст {напряжение} = Y \ times \ text {напряжение} [/ латекс].
• Выражение деформации сдвига [латекс] \ displaystyle \ Delta x = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} {L} _ {0} [/ latex], где S — модуль сдвига и F — это сила, приложенная перпендикулярно [латексу] {L} _ {\ text {0}} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения A .
• Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется выражением [latex] \ displaystyle \ Delta V = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} {V} _ {0} [/ latex ], где B — объемный модуль, [latex] {V} _ {\ text {0}} [/ latex] — исходный объем, а [latex] \ frac {F} {A} [/ latex] — сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.

Концептуальные вопросы

1. Эластические свойства артерий важны для кровотока. Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).
2. Что вы чувствуете, когда щупаете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?
3. Изучите разные типы обуви, включая спортивную обувь и шлепанцы. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?
4. Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?
5. Почему белка может спрыгнуть с ветки дерева на землю и убежать целой, а человек может сломать кость при таком падении?
6. Объясните, почему беременные женщины часто страдают растяжением спины на поздних сроках беременности.
7. Уловка старого плотника, чтобы не допустить сгибания гвоздей при забивании их в твердый материал, заключается в том, чтобы крепко удерживать центр гвоздя плоскогубцами. Почему это помогает?
8. Когда стеклянная бутылка, полная уксуса, нагревается, и уксус, и стекло расширяются, но уксус расширяется значительно больше с температурой, чем стекло. Бутылка разобьется, если наполнить ее до плотно закрытой крышки. Объясните, почему, а также объясните, как воздушный карман над уксусом предотвратит разрыв.(Это функция воздуха над жидкостями в стеклянных контейнерах.)

Задачи и упражнения

1. Во время циркового номера один артист качается вверх ногами, висит на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги. Если восходящая сила, действующая на более низкую спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см. Ее масса 60.0 кг.
2. Во время схватки борец 150 кг ненадолго встает на одну руку во время маневра, призванного сбить с толку его и без того умирающего противника. Насколько укорачивается длина кости плеча? Кость может быть представлена ​​однородным стержнем длиной 38,0 см и радиусом 2,10 см.
3. (a) «Грифель» в карандашах представляет собой состав графита с модулем Юнга примерно 1 × 10 ⁹ Н / м ² . Вычислите изменение длины грифеля в автоматическом карандаше, если постучите им прямо по карандашу с силой 4.0 Н. Шнур диаметром 0,50 мм и длиной 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?
4. антенн телевещания — самые высокие искусственные сооружения на Земле. В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов. Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?
5. (a) На сколько стоит 65.Альпинист весом 0 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле эластичным шнуром?
6. Полый алюминиевый флагшток высотой 20,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,00 см. Сильный ветер изгибает полюс так же, как горизонтальная сила в 900 Н. Насколько далеко в сторону прогибается верхняя часть шеста?
7. По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней.Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы с массой 20,0 кг / м и буровое долото 100 кг. Труба эквивалентна по жесткости сплошному цилиндру диаметром 5 см.
8. Вычислите усилие, которое настройщик рояля применяет для растяжения стальной рояльной струны на 8,00 мм, если проволока изначально имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.
9. Позвонок подвергается действию силы сдвига 500 Н. Найдите деформацию сдвига, принимая позвонок в виде цилиндра 3.00 см в высоту и 4,00 см в диаметре.
10. Диск между позвонками позвоночника подвергается действию силы сдвига 600 Н. Найдите его деформацию сдвига, принимая модуль сдвига 1 × 10 ⁹ Н / м ² . Диск эквивалентен сплошному цилиндру высотой 0,700 см и диаметром 4,00 см.
11. При использовании ластика для карандашей вы прикладываете вертикальное усилие 6,00 Н на расстоянии 2,00 см от соединения ластика с твердой древесиной. Карандаш имеет диаметр 6,00 мм и держится под углом 20 °.0º к горизонтали. а) Насколько дерево прогибается перпендикулярно своей длине? б) Насколько он сжат в продольном направлении?
12. Чтобы рассмотреть влияние проводов, подвешенных на столбах, мы возьмем данные из рисунка 9, на котором были рассчитаны натяжения проводов, поддерживающих светофор. Левая проволока образовывала угол 30,0 ° ниже горизонтали с вершиной своего столба и выдерживала натяжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру диаметром 4,50 см.а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?

    Рисунок 9. Светофор подвешен на двух тросах. (б) Некоторые из задействованных сил. (c) Здесь показаны только силы, действующие на систему. Также показана схема свободного движения светофора. (d) Силы, проецируемые на вертикальную ( y ) и горизонтальную ( x ) оси. Горизонтальные составляющие натяжения должны компенсироваться, а сумма вертикальных составляющих натяжений должна равняться весу светофора.{-2} [/ латекс]). Какую силу на единицу площади вода может оказывать на емкость при замерзании? (В этой задаче допустимо использовать объемный модуль упругости воды.) (B) Удивительно ли, что такие силы могут разрушать блоки двигателя, валуны и тому подобное?

13. Эта проблема возвращается к канатоходцу, изученному на рисунке 10, который создал натяжение 3,94 × 10 ³ Н в канате, образующем угол 5,0 ° ниже горизонтали с каждой опорной стойкой. Подсчитайте, насколько это натяжение растягивает стальную проволоку, если она изначально была длиной 15 м и равной 0.50 см в диаметре.

    Рис. 10. Вес канатоходца вызывает провисание каната на 5,0 градуса. Интересующая здесь система — это точка на проволоке, на которой стоит канатоходец.

14. Полюс на Рисунке 11 находится под изгибом 90,0º в линии электропередачи и поэтому подвергается большей силе сдвига, чем полюса на прямых участках линии. Натяжение в каждой линии составляет 4,00 × 10 ⁴ Н при показанных углах. Шест 15,0 м в высоту, 18,0 см в диаметре и, как считается, имеет вдвое меньшую жесткость, чем древесина твердых пород.(а) Рассчитайте сжатие полюса. (б) Найдите, насколько он изгибается и в каком направлении. (c) Найдите натяжение в растяжке, используемой для удержания вехи прямо, если она прикреплена к верхней части столба под углом 30,0 ° к вертикали. (Ясно, что растяжка должна быть в направлении, противоположном изгибу.)

Рис. 11. Этот телефонный столб находится под углом 90 ° к линии электропередачи. Оттяжка прикрепляется к вершине мачты под углом 30º к вертикали.

Глоссарий

Сила сопротивления: F _D , пропорциональная квадрату скорости объекта; математически

[латекс] \ begin {array} \\ F _ {\ text {D}} \ propto {v} ^ 2 \\ F _ {\ text {D}} = \ frac {1} {2} C \ rho {Av } ^ 2 \ end {array} [/ latex],

, где C, — коэффициент лобового сопротивления, A, — площадь объекта, обращенного к жидкости, а ρ — плотность жидкости.

Закон Стокса: F _s = 6 πrη v , где r — радиус объекта, η — вязкость жидкости, а v — величина объекта. скорость.

Решения проблем и упражнения

1. 1.90 × 10 ⁻³ см

3. а) 1 мм; (б) Это кажется разумным, поскольку кажется, что поводок немного сжимается, когда вы на него нажимаете.

5. (а) 9 см; (б) Это кажется разумным для нейлоновой альпинистской веревки, поскольку она не должна сильно растягиваться.

7. 8,59 мм

9. 1.49 × 10 ⁻⁷ м

11. (а) 3.99 × 10 ⁻⁷ м; (б) 9.67 × 10 ⁻⁸ м

13. 4 × 10 ⁶ Н / м ² . Это примерно 36 атм, больше, чем может выдержать обычная банка.

15. 1,4 см

---

Elastic Force — обзор

5.1.1 Аэроупругость

Аэроупругость традиционно связана с комбинацией аэродинамических сил, сил упругости и динамических сил, при которых между этими силами существует значительное взаимодействие (Dowell, 1995).Взаимодействие упругих, динамических и аэродинамических сил сильно, например, в ветряных турбинах, вертолетах и ​​самолетах, что делает аэроупругость важной дисциплиной в этих областях. Аэродинамические силы, действующие на эти конструкции, зависят от относительных скоростей воздуха, проходящего мимо конструкции. Если конструкция деформируется, изменение формы из-за упругого изгиба повлияет на аэродинамические силы, например измененный угол поворота изменит угол атаки и, следовательно, аэродинамическую силу.Производные деформаций по времени, то есть скорость, с которой деформируется лопасть, приводят к изменению относительной скорости воздуха, проходящего через конструкцию, что также изменяет аэродинамические силы. В свою очередь, аэродинамические силы влияют на деформацию и ускорение конструкции, поэтому существует явное двустороннее взаимодействие. Силы инерции играют важную роль в соотношении между аэродинамическими и упругими силами и возникающими ускорениями.

Конструкция может начать колебаться из-за изменяющихся сил.Например, возьмем крыло, прикрепленное к поступательной пружине, как показано на рис. 5.1. Если лопасть движется вверх, местная относительная скорость воздуха изменится, и крыло почувствует дополнительную скорость нисходящего ветра, которая уменьшит угол атаки. В зависимости от величины угла атаки это приводит к уменьшению подъемной силы (работа ниже стойла) или увеличению (работа выше стойла). Увеличение подъемной силы, то есть при работе над стойлом, может привести к дополнительному движению вверх, в то время как уменьшение подъемной силы будет фактически противодействовать движению вверх.Пружина также создает силу, противодействующую восходящему движению. Комбинация приводит к колебаниям с увеличивающейся или уменьшающейся амплитудой в зависимости от различных свойств.

5.1. Крыло, которое может двигаться вверх и вниз. Если он имеет восходящую скорость V , угол атаки ( α, , угол между общей скоростью ( U, , _— ) и хордой) уменьшается. Это уменьшит подъемную (L) и лобовую (D) силы.

Крыло на рис.5.1 может рассматриваться как модель изгиба вверх крыла самолета или крыльчатой ​​деформации лопасти ветряной турбины — деформации, перпендикулярной плоскости ротора. Когда описанная вибрация имеет нарастающую амплитуду, конструкция становится аэроупругой. Это простой пример возможной аэроупругой задачи, демонстрирующий различные задействованные дисциплины: аэродинамику, упругость и динамику.

Если конструкция эластична, она будет реагировать на периодические вынуждающие функции, вибрируя в виде дискретных геометрических узоров (Spera, 1994).Эти геометрические узоры называются формами колебаний или собственными модами конструкции. Каждая мода будет иметь соответствующую частоту моды, собственную частоту конструкции. Вибрация формы колебаний будет происходить на этой собственной частоте. Ветряные турбины — это гибкие конструкции, которые будут вибрировать, когда на конструкцию действуют силы. Их ответы будут иметь форму колебаний и собственные частоты конструкций.

Система, изображенная на рис. 5.2, является хорошим примером для объяснения собственных мод.Эта система состоит из двух масс, которые связаны между собой и с основанием посредством трех поступательных пружин. Оба корпуса имеют массу M , а жесткость каждой пружины составляет K . Горизонтальное перемещение левой массы представлено с помощью координаты x ₁ , а для правой массы используется координата x ₂ , как показано на рисунке. Собственные моды для этой системы могут быть легко получены. Уравнения движения с использованием Ньютона:

5.2. Система с двумя массами и тремя пружинами. Эта система имеет две собственные моды.

[5.1] Mx¨1 = −Kx1 + Kx2 − x1Mx¨2 = −Kx2 + Kx1 − x2

Эта система будет показывать колебания, поэтому можно использовать решения

[5.2] x1t = A1eiωtx2t = A2eiωt

. . Подстановка этих двух выражений в уравнения движения дает:

[5.3] −ω2MA1eiωt = −2KA1eiωt + KA2eiωt − ω2MA2eiωt = KA1eiωt − 2KA2eiωt

Следовательно, эти уравнения должны выполняться на каждом временном шаге t ,

.4] ω2M − 2KA1 + KA2 = 0KA1 + ω2M − 2KA2 = 0

Чтобы эта система уравнений имела допустимые решения, определитель должен быть равен нулю:

[5.5] ω2M − 2K2 − K2 = 0

Это уравнение имеет два решения для ω ; это две собственные частоты:

[56] ω1 = KM; ω2 = 3KM

Подстановка этих двух частот в уравнение [5.3] дает: A ₁ и A ₂ . Подставляя все исходные решения в уравнение [5.2] дает:

[5.7] x1tx2t = c111cosω1t + ϕ1x1tx2t = c11−1cosω2 + ϕ2

Эти два уравнения дают две собственные моды. Собственная мода дает только связь между различными координатами, а не фактическими размерами, и поэтому обычно собственные моды будут нормализованы: наибольшая деформация будет установлена ​​равной 1. Собственные моды для системы, используемой в этом примере, показаны на рис. 5.3.

5.3. Иллюстрация системы с двумя массами и тремя пружинами и двумя собственными модами этой системы.

Первая собственная мода показывает, что две массы движутся в одном направлении на равное расстояние. Во втором режиме показаны две массы, движущиеся в противоположных направлениях, опять же на равные расстояния. Этот пример показывает, что каждое движение этой системы может быть представлено как комбинация этих двух собственных мод. Для любой комбинации x ₁ и x ₂ существует одна и только одна комбинация двух собственных мод, которая точно представляет этот случай.

Если системе дано некоторое начальное возбуждение и на нее не действует никакая внешняя сила, она будет вибрировать при заданной комбинации двух собственных мод и соответствующих собственных частот. Если возбуждение включает в себя скорость, возможно, что будет разность фаз, заданная как ø в уравнении [5.7].

Для непрерывной балки, такой как лопасть ветряной турбины, будет бесконечно много собственных частот и собственных мод. Для однородной балки, зажатой с одной стороны и свободной с другой стороны, первые две моды в одном направлении показаны на рис.5.4. Балка будет иметь аналогичные моды в другом направлении, перпендикулярном длине, и будет иметь моды кручения с аналогичным распределением. Для аэроупругого анализа лопасти ветряной турбины важны только нижние моды, как будет объяснено в разделе 5.3.3, хотя в лопасти будет присутствовать бесконечное количество собственных мод.

5.4. Эскиз первых двух собственных мод однородного пучка, зажатого с одного конца.

Если аэродинамика играет важную роль в системе как внешняя сила, система может стать нестабильной: вибрация может иметь возрастающую амплитуду или может возникнуть расхождение.Например, первоначальная конструкция Fokker D-8 во время Первой мировой войны терпела поломки крыльев во время высокоскоростных пикирований. Испытания свободнонесущего моноплана показали, что увеличение нагрузки привело к увеличению угла падения законцовок крыла. Это привело к увеличению нагрузки на законцовки и выходу из строя крыльев. По мере того, как создавалось все больше и больше консольных монопланов, аэроупругость действительно стала предметом серьезных исследований (Bisplinghoff et al , 1996).

Следует различать аэроупругие неустойчивости (см., Д.грамм. Hansen, 2007) и резонанс (см., Например, Sullivan, 1981). Резонанс — это случай, когда возникает сила возбуждения, имеющая частоту, близкую или равную одной из собственных частот системы, и где энергия может быть добавлена ​​к вибрации. Это не относится к аэроупругим неустойчивостям, когда аэродинамические силы также добавляют энергию системе, но не из-за некоторого совпадения частот. Если аэродинамическое демпфирование режима отрицательное (аэроупругая неустойчивость), это может привести к колебаниям с возрастающей амплитудой, если абсолютное значение отрицательного аэродинамического демпфирования выше, чем структурное демпфирование (или другие источники демпфирования) режима.Поэтому недопущения совпадения собственных частот с частотами возбуждения недостаточно для создания аэроупругой конструкции.

Для проектировщика важно избегать как резонансной, так и аэроупругой неустойчивости, поэтому обе они будут обсуждаться в следующем разделе.

Закон Гука — Силы и эластичность — AQA — Объединенная научная редакция GCSE — Трилогия AQA

Расширение и сжатие

Расширение происходит, когда объект увеличивается в длину, а сжатие происходит при его уменьшении.Растяжение упругого объекта, такого как пружина, описывается законом Гука:

усилие = жесткость пружины × растяжение

\ [F = k ~ e \]

Это когда:

• сила ( F ) измеряется в ньютонах (Н)
• Жесткость пружины ( k ) измеряется в ньютонах на метр (Н / м)
• Удлинение ( e ) или увеличение длины измеряется в метрах (м)

Пример

К пружине прилагается сила 3 ​​Н.Пружина растягивается реверсивно на 0,15 м — тот факт, что струна растягивается реверсивно, означает, что она вернется к своей нормальной форме после того, как сила будет снята. Рассчитайте жесткость пружины.

Сначала переставьте \ (F = k \: e \), чтобы найти k :

\ [K = \ frac {F} {e} \]

Затем вычислите, используя значения в вопросе:

\ [k = 3 \ div 0,15 \]

\ [k = 20 ~ Н / м \]

Предел пропорциональности

Жесткость пружины — это мера жесткости пружины до ее предела пропорциональности или упругости предел.Предел пропорциональности относится к точке, за которой закон Гука перестает действовать при растяжении материала. Предел упругости материала — это самая дальняя точка, в которой он может растягиваться или деформироваться, имея при этом возможность вернуться к своей прежней форме. Когда материал выходит за пределы своего предела упругости, его деформация считается неупругой .

Чем выше жесткость пружины, тем жестче пружина. Жесткость пружины различна для разных упругих объектов.Для данной пружины и других упругих объектов удлинение прямо пропорционально приложенной силе. Например, если усилие удваивается, удлинение удваивается. Это работает до тех пор, пока не будет превышен предел пропорциональности.

Когда упругий объект растягивается за пределы своей пропорциональности, объект не возвращается к своей исходной длине при снятии силы. В этом случае соотношение между силой и растяжением меняется с линейного или прямо пропорционального на нелинейное.

Нелинейное удлинение одних материалов происходит чаще, чем других. Такие материалы, как глина или шпатлевка, обычно имеют нелинейное расширение.

Графики силы-удлинения

Линейное удлинение и упругая деформация можно увидеть ниже предела пропорциональности.

Нелинейное растяжение и неупругая деформация могут наблюдаться выше предела пропорциональности. Предел пропорциональности также называется «пределом упругости». Градиент графика силы-растяжения до предела пропорциональности равен жесткости пружины.

Закон Гука — Силы и изменение формы — Eduqas — Редакция GCSE Physics (Single Science) — Eduqas

Расширение и сжатие

Расширение происходит, когда объект увеличивается в длину, а сжатие происходит при его уменьшении. Расширение упругого объекта при приложении силы, например пружины, описывается законом Гука:

сила = жесткость пружины × растяжение

\ [F = k \: x \]

Это когда:

• сила ( F ) измеряется в ньютонах (Н)
• Жесткость пружины ( k ) измеряется в ньютонах на метр (Н / м)
• растяжение или увеличение длины ( x ) — это измеряется в метрах (м)

Пример

К пружине прилагается сила 3 ​​Н.Пружина растягивается реверсивно на 0,15 м — тот факт, что струна растягивается реверсивно, означает, что она вернется к своей нормальной форме после того, как сила будет снята. Рассчитайте жесткость пружины.

Сначала переставьте \ (F = k \: x \), чтобы найти k :

\ [k = \ frac {F} {x} \]

Затем вычислите, используя значения в вопросе:

\ [k = 3 \ div 0,15 \]

\ [k = 20 \: N / m \]

Предел пропорциональности

Жесткость пружины — это показатель жесткости и прочности пружины.Предел пропорциональности относится к точке, за которой закон Гука перестает действовать при растяжении материала. Предел упругости материала — это максимальная величина, на которую он может растягиваться или деформироваться, не имея возможности вернуться к своей прежней форме. Когда материал выходит за пределы своего предела упругости, его деформация считается неупругой.

Чем выше жесткость пружины, тем жестче пружина. Жесткость пружины — это не одно и то же значение для разных упругих объектов. Для данной пружины и других упругих объектов удлинение прямо пропорционально приложенной силе.Например, если усилие удваивается, удлинение удваивается. Это работает до тех пор, пока не будет превышен предел пропорциональности.

Когда упругий объект растягивается за пределы своей пропорциональности, объект не возвращается к своей исходной длине при снятии силы. В этом случае соотношение между силой и растяжением меняется с линейного или прямо пропорционального на нелинейное.

Графики силы-удлинения

Линейное удлинение и упругая деформация можно увидеть ниже предела пропорциональности.

Нелинейное растяжение и неупругая деформация могут наблюдаться выше предела пропорциональности. Предел пропорциональности также называется пределом упругости. Градиент графика силы-растяжения до предела пропорциональности равен жесткости пружины.

Энергия, запасенная в пружине

Работа выполняется, когда пружина растягивается или сжимается. Упругая потенциальная энергия сохраняется в пружине. Если неупругая деформация не произошла, проделанная работа равна запасенной упругой потенциальной энергии.{2} \]

Это когда:

• потенциальная энергия упругости ( E ) измеряется в джоулях (Дж)
• Жесткость пружины ( k ) измеряется в ньютонах на метр (Н / м)
• удлинение, относящееся к увеличению длины ( x ), измеряется в метрах (м)

Это уравнение также работает для уменьшения длины при сжатии пружины.

Пример

Пружина имеет жесткость пружины ( k ) 3 Н / м.{2} \]

\ [E = 40 \ times 0,0225 \]

\ [E = 0,90 \: J \]

2- Растяжение | IGCSE Physics

ЗАКОН КРЮКА

Одно из свойств эластичности заключается в том, что для растяжения пружины в два раза требуется примерно вдвое большее усилие. Эта линейная зависимость смещения от силы растяжения называется законом Гука.

Когда сила тянет пружину, пружина растягивается. Растяжение пружины прямо пропорционально тяговому усилию.Это закон Гука. В нем говорится, что

  Растяжение пружины прямо пропорционально силе, тянущей ее, при условии, что предел пропорциональности не превышен.  

В форме уравнения, где — жесткость пружины, а — удлинение пружины после вытягивания.

ЭКСПЕРИМЕНТ ИЗМЕРЕНИЯ ЗАКОНА КРЮКА

1. Установите устройство, как показано на рисунке.
2. Установите ангар на конец пружины и снимите показания с линейки.
3. Добавляйте разные порции по 100 г по одной. Снимайте показания каждый раз при добавлении нагрузки.
4. Добавляйте нагрузки медленно, чтобы пружина медленно растягивалась.
5. После того, как все нагрузки добавлены, выполните процесс в обратном порядке, снимая по одной нагрузке за раз. Измерьте расширение одновременно.
6. Сведите показания в таблицу ниже

	Показания шкалы	Показания шкалы
Нагрузка / г	Увеличение нагрузки / см	Уменьшение нагрузки / см	Среднее чтение / см	Удлинитель / см
100
200
300
400
500
600

Результат покажет, что расширение нагрузки прямо пропорционально добавленной нагрузке.Построив график зависимости удлинения от массы, получается прямолинейный график, проходящий через начало координат.

ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Закон Гука не универсальный. Под этим я подразумеваю, что это применимо только при определенных условиях и при условии, что предел пропорциональности не превышен. Предел пропорциональности — это точка, при превышении которой растяжение пружины больше не будет пропорционально нагрузке. Обычно, когда мы вытягиваем пружину, она восстанавливает исходную длину после снятия тягового усилия.Если потянуть достаточно сильно, пружина не вернется к исходной длине. Максимальное удлинение, до которого он может восстановить исходную длину, называется пределом упругости. Этот предел упругости обычно совпадает с пределом пропорциональности.

КАК МАТЕРИАЛЫ ВЛИЯЮТ НА РАСТЯЖЕНИЕ

Некоторые струны, например, гитарные, легко ломаются после превышения предела пропорциональности. Однако резина может сильно растянуться при небольшом усилии. Полимеры в каучуке распрямляются при растяжении.Это позволяет резине долго растягиваться, прежде чем она сломается. Металл, такой как медная проволока, также легко растягивается, но проволока становится тоньше, чем больше растягивается. Так происходит до тех пор, пока провод окончательно не оборвется.

Эластичность — это свойство объекта или материала, которое заставляет его восстанавливать свою первоначальную форму после искажения. Он считается более эластичным, если более точно восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. Резиновый ремешок легко растянуть, и при отпускании он защелкивается почти до своей первоначальной длины, но он не такой эластичный, как кусок фортепианной проволоки.Фортепианную проволоку сложнее растянуть, но можно сказать, что она более эластична, чем резинка, из-за точности ее возврата к исходной длине. По настоящей фортепианной струне можно ударить сотни раз, не растягиваясь настолько, чтобы заметно расстроиться. Пружина — это пример упругого объекта: когда он растягивается, он оказывает восстанавливающую силу, которая стремится вернуть его к исходной длине. Эта восстанавливающая сила обычно пропорциональна величине растяжения, как описано в Законе Гука.Для проволоки или колонн эластичность обычно описывается величиной деформации (деформации), возникающей в результате заданного напряжения (модуля Юнга). Объемно-упругие свойства материалов описывают реакцию материалов на изменение давления.

В действительности материалы подчиняются закону Гука только до определенного предела, как показано на рис. 10.34. Пока напряжение остается пропорциональным деформации, график зависимости напряжения от деформации представляет собой прямую линию. Точка на графике, где материал начинает отклоняться от прямолинейного поведения, называется «пределом пропорциональности».«За пределами пропорциональности напряжение и деформация больше не являются прямо пропорциональными. Однако, если напряжение не превышает «предел упругости» материала, объект вернется к своему первоначальному размеру и форме после снятия напряжения. «Предел упругости» — это точка, за которой объект больше не возвращается к своему первоначальному размеру и форме после снятия напряжения; объект остается постоянно деформированным.

Рисунок 10.34 Закон Гука (напряжение прямо пропорционально деформации) действует только до предела пропорциональности материала. За пределами этого предела закон Гука больше не действует. За пределами предела упругости материал остается деформированным даже после снятия напряжения.

Материалы классифицируются в

Эластичный и пластмассовый

Нравится:

Нравится Загрузка…

Напряжение и деформация — Физика в колледже, главы 1-17

Сводка

• Закон штата Гука.
• Объясните закон Гука, используя графическое представление между деформацией и приложенной силой.
• Обсудите три типа деформаций, такие как изменение длины, сдвиг в сторону и изменение объема.
• Опишите на примерах модуль Юнга, модуль сдвига и объемный модуль.
• Определите изменение длины с учетом массы, длины и радиуса.

Теперь мы переходим от рассмотрения сил, влияющих на движение объекта (таких как трение и сопротивление), к тем, которые влияют на форму объекта. Если бульдозер втолкнет машину в стену, машина не сдвинется с места, но заметно изменит форму. Изменение формы из-за приложения силы — это деформация . Известно, что даже очень небольшие силы вызывают некоторую деформацию. При малых деформациях наблюдаются две важные характеристики. Во-первых, объект возвращается к своей исходной форме, когда сила снимается, то есть деформация является упругой для небольших деформаций.Во-вторых, размер деформации пропорционален силе, то есть для малых деформаций соблюдается закон Гука . В форме уравнения закон Гука имеет вид

.

[латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L},} [/ латекс]

где [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] — это величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой [латекс] \ boldsymbol {F}, [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {k} [/ latex] — это константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления силы.Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] — она ​​не постоянна, как кинетическая сила трения. Переставляем это на

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {k}} [/ латекс]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рисунке 1 показано соотношение по закону Гука между удлинением [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин область прямой линии, к которой относится закон Гука, намного больше.Кости хрупкие, эластичная область небольшая, а перелом резкий. В конце концов, достаточно большое напряжение материала приведет к его разрушению или разрушению. Предел прочности на разрыв — это разрушающее напряжение, которое вызывает остаточную деформацию или разрушение материала.

ЗАКОН КРЮКА

[латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L},} [/ латекс]

где [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] — это величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой [латекс] \ boldsymbol {F}, [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {k} [/ latex] — это константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления силы.

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {k}} [/ латекс]

Рисунок 1. График зависимости деформации Δ L от приложенной силы F . Прямой отрезок — это линейная область, в которой соблюдается закон Гука. Уклон прямого участка 1 / k . Для больших сил график изогнут, но деформация остается упругой — Δ L вернется к нулю, если сила будет устранена.Еще большие силы деформируют объект до тех пор, пока он не сломается. Форма кривой возле трещины зависит от нескольких факторов, в том числе от того, как прикладывается сила F . Обратите внимание, что на этом графике наклон увеличивается непосредственно перед трещиной, указывая на то, что небольшое увеличение F дает большое увеличение L рядом с трещиной.

Константа пропорциональности [латекс] \ boldsymbol {k} [/ latex] зависит от ряда факторов для материала.Например, гитарная струна из нейлона растягивается при затягивании, а удлинение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] пропорционально приложенной силе (по крайней мере, для небольших деформаций). Более толстые нейлоновые и стальные струны меньше растягиваются при той же приложенной силе, что означает, что они имеют больший [латекс] \ boldsymbol {k} [/ latex] (см. Рисунок 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине, когда сила снимается, при условии, что деформация мала. Большинство материалов будут вести себя таким образом, если деформация будет меньше примерно 0.3}. [/ Latex]

Рис. 2. Одна и та же сила, в данном случае груз ( w ), приложенная к трем разным гитарным струнам одинаковой длины, вызывает три различных деформации, показанные заштрихованными сегментами. Левая нить из тонкого нейлона, посередине — из более толстого нейлона, а правая — из стали.

НЕМНОГО РАСТЯНИСЬ

Как бы вы измерили константу пропорциональности [latex] \ boldsymbol {k} [/ latex] резиновой ленты? Если резинка растянулась на 3 см, когда к ней была прикреплена 100-граммовая масса, то насколько она растянулась бы, если бы две одинаковые резинки были прикреплены к одной и той же массе — даже если соединить их параллельно или, наоборот, если связать вместе последовательно?

Теперь мы рассмотрим три конкретных типа деформаций: изменение длины (растяжение и сжатие), сдвиг в сторону (напряжение) и изменения объема.Все деформации считаются небольшими, если не указано иное.

Изменение длины [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] возникает, когда к проволоке или стержню прилагается сила, параллельная ее длине [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ latex] либо растягивая (напряжение), либо сжимая. (См. Рисунок 3.)

Рис. 3. (а) Напряжение. Стержень растягивается на длину Δ L , когда сила прилагается параллельно его длине. (б) Сжатие. Тот же стержень сжимается силами той же величины в противоположном направлении.Для очень малых деформаций и однородных материалов Δ L примерно одинаково для одинаковой величины растяжения или сжатия. При больших деформациях площадь поперечного сечения изменяется при сжатии или растяжении стержня.

Эксперименты показали, что изменение длины ([latex] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex]) зависит только от нескольких переменных. Как уже отмечалось, [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] пропорционален силе [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex] и зависит от вещества, из которого сделан объект.Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине [латекс] \ boldsymbol {L_0} [/ latex] и обратно пропорционально площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растягивается больше, чем короткая, а толстая струна растягивается меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для [latex] \ boldsymbol {\ Delta {L}}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {Y} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

где [latex] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] — это изменение длины, [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex] — приложенная сила, [latex] \ boldsymbol {Y} [/ латекс] — это фактор, называемый модулем упругости или модулем Юнга, который зависит от вещества, [латекс] \ boldsymbol {A} [/ latex] — это площадь поперечного сечения, а [латекс] \ boldsymbol {L_0} [/ латекс] — исходная длина.2)} [/ латекс] Алюминий 70 25 75 Кость — растяжение 16 80 8 Кость — компрессионная 9 Латунь 90 35 75 Кирпич 15 Бетон 20 Стекло 70 20 30 Гранит 45 20 45 Волосы (человеческие) 10 Твердая древесина 15 10 Чугун литой 100 40 90 Свинец 16 5 50 Мрамор 60 20 70 Нейлон 5 Полистирол 3 шелк 6 Паутинка 3 Сталь 210 80 130 Сухожилие 1 Ацетон 0.7 Этанол 0,9 Глицерин 4,5 Меркурий 25 Вода 2,2 Таблица 3. Модули упругости ¹ .

Модули Юнга не указаны для жидкостей и газов в таблице 3, потому что они не могут быть растянуты или сжаты только в одном направлении.Обратите внимание, что предполагается, что объект не ускоряется, поэтому на самом деле существуют две приложенные силы величиной [латекс] \ boldsymbol {F} [/ латекс], действующие в противоположных направлениях. Например, струны на рисунке 3 натягиваются вниз силой величиной [латекс] \ boldsymbol {w} [/ latex] и удерживаются за потолок, что также оказывает силу величиной [латекс] \ boldsymbol {w }. [/ latex]

Пример 1: Растяжение длинного кабеля

Подвесные тросы используются для перевозки гондол на горнолыжных курортах.2}) (3020 \ textbf {m})} [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {= 18 \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Это довольно большое натяжение, но только около 0,6% от длины без опоры. В этих условиях влияние температуры на длину может быть важным.

Кости в целом не ломаются от растяжения или сжатия. Скорее они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к срезанию или разрыву кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, потому что оно определяет нагрузку, которую кости могут нести.Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревья. Несущие конструкции обладают особенностями; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости — волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости расположена в виде тонких пластин, разделенных костным мозгом, в то время как в других местах кости могут быть цилиндрическими и заполненными костным мозгом или просто твердыми.Люди с избыточным весом имеют тенденцию к повреждению костей из-за длительного сжатия костных суставов и сухожилий.

Другой биологический пример закона Гука встречается в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу для большего напряжения. На рисунке 5 показана зависимость напряжения от деформации человеческого сухожилия. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому деформация или изменение длины относительно невелико; другие, например, опорные сухожилия (например, в ноге), могут изменять длину до 10%.Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации является нелинейной, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальца, волокна сухожилия начинают выравниваться в направлении напряжения — это называется разжатие . В линейной области фибриллы будут растянуты, а в области разрушения отдельные волокна начнут разрываться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения.Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

Рисунок 5. Типичная кривая напряжения-деформации для сухожилия млекопитающих. Показаны три области: (1) область пальца ноги (2) линейная область и (3) область разрушения.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть легко растяжимыми. Эластичные свойства артерий важны для кровотока. Когда кровь выкачивается из сердца, давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются.Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и артериальные стенки расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это — эластичное поведение артерий, когда кровь хлынет через каждый насос сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластичными свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но расслабляемся свободно и эластично, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно для молодых.Молодой человек может подняться от 100 кг до 60 кг без видимого провисания кожи. С возрастом снижается эластичность всех органов. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-х годов.

Пример 2: Расчет деформации: насколько укорачивается ваша нога, когда вы стоите на ней?

Рассчитайте изменение длины кости верхней части ноги (бедренной кости), когда мужчина весом 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своей массы, считая, что эта кость эквивалентна стержню, равному 40.{-5} \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, поскольку мы знаем, что кости жесткие. Фактически, даже довольно большие силы, возникающие при напряженных физических нагрузках, не сжимают и не сгибают кости в значительной степени. Хотя кость более жесткая по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 3, имеют более высокие значения модуля Юнга [латекс] \ boldsymbol {Y}. [/ Latex] Другими словами, они более жесткие.2} [/ latex]), а отношение изменения длины к длине, [latex] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex] определяется как деформация ( безразмерное количество). Другими словами,

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

В этой форме уравнение аналогично закону Гука с напряжением, аналогичным силе, и деформацией, аналогичной деформации. Если снова переписать это уравнение к виду

[латекс] \ boldsymbol {F = YA} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex]

мы видим, что он совпадает с законом Гука с константой пропорциональности

[латекс] \ boldsymbol {k \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {YA} {L_0}}.[/ латекс]

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны небольшим деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

СТРЕСС

Отношение силы к площади, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}}, [/ latex] определяется как напряжение, измеренное в Н / м ² .

ШТАМ

Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex], определяется как деформация (безразмерная величина).Другими словами,

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

На рисунке 6 показано, что подразумевается под боковым напряжением или срезающей силой . Здесь деформация называется [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x}} [/ latex], и она перпендикулярна [латексу] \ boldsymbol {L_0}, [/ latex], а не параллельна, как при растяжении и сжатии. Деформация сдвига аналогична растяжению и сжатию и может быть описана аналогичными уравнениями. Выражение для деформации сдвига

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {S} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

где [латекс] \ boldsymbol {S} [/ latex] — это модуль сдвига (см. Таблицу 3), а [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex] — сила, приложенная перпендикулярно к [латексу] \ boldsymbol {L_0} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения [latex] \ boldsymbol {A}.[/ latex] Опять же, чтобы объект не ускорялся, на самом деле есть две равные и противоположные силы [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex], приложенные к противоположным граням, как показано на рисунке 6. Уравнение логично — для Например, длинный тонкий карандаш (маленький [латекс] \ boldsymbol {A} [/ latex]) легче согнуть, чем короткий толстый, и оба гнутся легче, чем аналогичные стальные стержни (большие [латекс] \ boldsymbol { S} [/ latex]).

ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {S} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

где [латекс] \ boldsymbol {S} [/ latex] — это модуль сдвига, а [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex] — это сила, приложенная перпендикулярно к [латексу] \ boldsymbol {L_0} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения [латекс] \ boldsymbol {A}.[/ латекс]

Рис. 6. Сила сдвига прилагается перпендикулярно длине L ₀ и параллельно области A , создавая деформацию Δx . Вертикальные силы не показаны, но следует иметь в виду, что в дополнение к двум силам сдвига, F , должны существовать поддерживающие силы, препятствующие вращению объекта. Искажающие эффекты этих поддерживающих сил игнорируются при этом лечении.Вес объекта также не показан, поскольку он обычно незначителен по сравнению с силами, достаточно большими, чтобы вызвать значительные деформации.

Изучение модулей сдвига в таблице 3 выявляет некоторые характерные закономерности. Например, для большинства материалов модули сдвига меньше модулей Юнга. Кость — замечательное исключение. Его модуль сдвига не только больше, чем модуль Юнга, но и такой же, как у стали. Вот почему кости такие жесткие.

Позвоночный столб (состоящий из 26 позвоночных сегментов, разделенных дисками) обеспечивает основную опору для головы и верхней части тела.Позвоночник имеет нормальную кривизну для стабильности, но это искривление может быть увеличено, что приведет к увеличению силы сдвига на нижних позвонках. Диски лучше выдерживают силы сжатия, чем силы сдвига. Поскольку позвоночник не является вертикальным, вес верхней части тела влияет на обе части. Беременным женщинам и людям с избыточным весом (с большим животом) необходимо отвести плечи назад, чтобы поддерживать равновесие, тем самым увеличивая искривление позвоночника и тем самым увеличивая сдвигающий компонент напряжения.Увеличенный угол из-за большей кривизны увеличивает поперечные силы вдоль плоскости. Эти более высокие усилия сдвига увеличивают риск травмы спины из-за разрыва дисков. Пояснично-крестцовый диск (клиновидный диск под последними позвонками) особенно подвержен риску из-за своего расположения.

Модули сдвига для бетона и кирпича очень малы; они слишком изменчивы, чтобы их можно было перечислить. Бетон, используемый в зданиях, может выдерживать сжатие, как в колоннах и арках, но очень плохо противостоит сдвигу, который может возникнуть в сильно нагруженных полах или во время землетрясений.Современные конструкции стали возможны благодаря использованию стали и железобетона. Практически по определению жидкости и газы имеют модули сдвига, близкие к нулю, потому что они текут в ответ на сдвигающие силы.

Пример 3: Расчет силы, необходимой для деформации: гвоздь не сильно изгибается под нагрузкой

Найдите массу картины, висящей на стальном гвозде, как показано на рисунке 7, учитывая, что гвоздь изгибается только [латекс] \ boldsymbol {1.80 \: \ mu \ textbf {m}}. [/ Latex] (Предположим, что сдвиг модуль известен с двумя значащими цифрами.)

Рис. 7. Гвоздь, вид сбоку с прикрепленным к нему изображением. Гвоздь очень слабо прогибается (показан намного больше, чем на самом деле) из-за срезающего воздействия поддерживаемого веса. Также показано направленное вверх усилие стенки на гвоздь, иллюстрирующее равные и противоположные силы, приложенные к противоположным поперечным сечениям гвоздя. См. Пример 3 для расчета массы изображения.

Стратегия

Сила [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex] на гвоздь (без учета собственного веса гвоздя) — это вес изображения [латекса] \ boldsymbol {w}.[/ latex] Если мы сможем найти [латекс] \ boldsymbol {w}, [/ latex], тогда масса изображения будет просто [латекс] \ boldsymbol {wg}. [/ latex] Уравнение [латекс] \ boldsymbol { \ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0} [/ latex] можно решить для [latex] \ boldsymbol {F}. [/ Latex]

Решение

Решение уравнения [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x} = \ frac {1} {S} \ frac {F} {A} L_0} [/ latex] для [латекса] \ boldsymbol {F}, [/ латекс] видим, что все остальные количества можно найти:

[латекс] \ boldsymbol {F \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {SA} {L_0}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x}}.{-6} \ textbf {m})} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {= \: 51 \ textbf {N}}. [/ Latex]

Эта сила 51 Н — это вес [латекс] \ boldsymbol {w} [/ latex] изображения, поэтому масса изображения составляет

[латекс] \ boldsymbol {m \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {w} {g}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {=} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {g}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= \: 5.2 \ textbf {kg}}. [/ latex]

Обсуждение

Это довольно массивное изображение, и впечатляет то, что ноготь прогибается только [латекс] \ boldsymbol {1.80 \: \ mu \ textbf {m}} [/ latex] — количество, не обнаруживаемое невооруженным глазом.

Объект будет сжиматься во всех направлениях, если внутренние силы приложены равномерно ко всем его поверхностям, как показано на рисунке 8. Сжимать газы относительно легко, а жидкости и твердые тела — чрезвычайно сложно. Например, воздух в винной бутылке сжимается, когда она закупорена. Но если вы попытаетесь закупорить бутылку с полными краями, вы не сможете сжать вино — некоторые из них необходимо удалить, чтобы вставить пробку. Причина такой разной сжимаемости заключается в том, что атомы и молекулы разделены большими пустыми пространствами в газах, но плотно упакованы в жидкостях и твердых телах.Чтобы сжать газ, вы должны сблизить его атомы и молекулы. Чтобы сжать жидкости и твердые тела, вы должны действительно сжать их атомы и молекулы, и очень сильные электромагнитные силы в них противодействуют этому сжатию .

Рис. 8. Внутренняя сила на всех поверхностях сжимает этот куб. Его изменение в объеме пропорционально силе на единицу площади и его первоначальному объему и связано со сжимаемостью вещества.

Мы можем описать сжатие или объемную деформацию объекта уравнением.Во-первых, отметим, что сила, «приложенная равномерно», определяется как имеющая одинаковое напряжение или отношение силы к площади [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}} [/ latex] на всех поверхностях. Произведенная деформация представляет собой изменение объема [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {V}}, [/ латекс], которое, как было обнаружено, ведет себя очень похоже на сдвиг, растяжение и сжатие, описанные ранее. (Это неудивительно, поскольку сжатие всего объекта эквивалентно сжатию каждого из его трех измерений.) Связь изменения объема с другими физическими величинами определяется соотношением

.

[латекс] \ boldsymbol {\ Delta {V} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {B} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {V_0}, [/ латекс]

где [latex] \ boldsymbol {B} [/ latex] — это модуль объемной упругости (см. Таблицу 3), [latex] \ boldsymbol {V_0} [/ latex] — исходный объем, а [latex] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}} [/ latex] — это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.Обратите внимание, что объемные модули для газов не приводятся.

Какие есть примеры объемного сжатия твердых тел и жидкостей? Одним из практических примеров является производство алмазов промышленного качества путем сжатия углерода с чрезвычайно большой силой на единицу площади. Атомы углерода перестраивают свою кристаллическую структуру в более плотно упакованный узор алмазов. В природе аналогичный процесс происходит глубоко под землей, где чрезвычайно большие силы возникают из-за веса вышележащего материала. Еще один естественный источник больших сжимающих сил — давление, создаваемое весом воды, особенно в глубоких частях океанов.Вода воздействует на все поверхности погружаемого объекта и даже на саму воду. На больших глубинах вода ощутимо сжата, как показано в следующем примере.

Пример 4: Расчет изменения объема с деформацией: насколько вода сжимается на глубинах Великого океана?

Рассчитайте частичное уменьшение объема ([латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {V}} {V_0}} [/ latex]) для морской воды на глубине 5,00 км, где сила на единицу площади равна [латекс] \ жирный символ {5.2}. [/ Latex]

Стратегия

Уравнение [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {V} = \ frac {1} {B} \ frac {F} {A} V_0} [/ latex] является правильным физическим соотношением. Все величины в уравнении, кроме [latex] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {V}} {V_0}} [/ latex], известны.

Решение

Решение неизвестного [латекса] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {V}} {V_0}} [/ latex] дает

[латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {V}} {V_0}} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {=} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {B} \ frac {F} {A}}.2}} [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {= 0,023 = 2,3 \%}. [/ Латекс]

Обсуждение

Хотя это можно измерить, это не является значительным уменьшением объема, учитывая, что сила на единицу площади составляет около 500 атмосфер (1 миллион фунтов на квадратный фут). Жидкости и твердые вещества чрезвычайно трудно сжимать.

И наоборот, очень большие силы создаются жидкостями и твердыми телами, когда они пытаются расшириться, но сдерживаются в этом, что эквивалентно их сжатию до меньшего, чем их нормальный объем.Это часто происходит, когда содержащийся в нем материал нагревается, поскольку большинство материалов расширяются при повышении их температуры. Если материалы сильно стеснены, они деформируют или ломают свой контейнер. Другой очень распространенный пример — замерзание воды. Вода, в отличие от большинства материалов, расширяется при замерзании, и она может легко сломать валун, разорвать биологическую клетку или сломать блок двигателя, который встанет у нее на пути.

Другие типы деформаций, такие как кручение или скручивание, ведут себя аналогично рассмотренным здесь деформациям растяжения, сдвига и объемной деформации.

• Закон Гука дан

  [латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L}}, [/ latex]

  где [latex] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex] — это величина деформации (изменение длины), [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex] — это приложенная сила, а [latex ] \ boldsymbol {k} [/ latex] — это константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объекта, а также от направления силы. Соотношение между деформацией и приложенной силой также можно записать как

  [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {Y} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

  где [latex] \ boldsymbol {Y} [/ latex] — это Модуль Юнга , который зависит от вещества, [latex] \ boldsymbol {A} [/ latex] — это площадь поперечного сечения, а [latex] \ boldsymbol {L_0} [/ latex] — исходная длина.

• Отношение силы к площади, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {F} {A}}, [/ latex] определяется как напряжение , измеренное в Н / м ² .
• Отношение изменения длины к длине, [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ Delta {L}} {L_0}}, [/ latex] определяется как деформация (безразмерная величина). Другими словами,

  [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {stress} = Y \ times \ textbf {stretch}}. [/ Latex]

• Выражение деформации сдвига:

  [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {x} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {S} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {L_0}, [/ латекс]

  где [латекс] \ boldsymbol {S} [/ latex] — это модуль сдвига, а [latex] \ boldsymbol {F} [/ latex] — это сила, приложенная перпендикулярно к [латексу] \ boldsymbol {L_0} [/ latex] и параллельно площади поперечного сечения [латекс] \ boldsymbol {A}.[/ латекс]

• Отношение изменения объема к другим физическим величинам определяется выражением

  [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {V} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1} {B} \ frac {F} {A}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {V_0}, [/ латекс]

  где [latex] \ boldsymbol {B} [/ latex] — это модуль объемной упругости, [latex] \ boldsymbol {V_0} [/ latex] — это исходный объем, а [latex] \ boldsymbol {\ frac {F} {A }} [/ latex] — это сила на единицу площади, равномерно приложенная внутрь ко всем поверхностям.

Концептуальные вопросы

1: Эластичные свойства артерий важны для кровотока.Объясните важность этого с точки зрения характеристик кровотока (пульсирующий или непрерывный).

2: Что вы чувствуете, когда прощупываете пульс? Измерьте частоту пульса в течение 10 секунд и 1 минуты. Есть ли разница в 6 раз?

3: Изучите различные типы обуви, включая спортивную обувь и стринги. С точки зрения физики, почему нижние поверхности устроены именно так? Какие различия будут иметь для этих поверхностей сухие и влажные условия?

4: Ожидаете ли вы, что ваш рост будет отличаться в зависимости от времени суток? Почему или почему нет?

5: Почему белка может спрыгнуть с ветки дерева на землю и убежать невредимой, а человек может сломать кость при таком падении?

6: Объясните, почему беременные женщины часто страдают от растяжения спины на поздних сроках беременности.

7: Старый столярный прием, позволяющий удерживать гвозди от сгибания, когда они забиваются в твердый материал, заключается в том, чтобы крепко удерживать центр гвоздя плоскогубцами. Почему это помогает?

8: Когда стеклянная бутылка, полная уксуса, нагревается, и уксус, и стекло расширяются, но уксус расширяется значительно больше с температурой, чем стекло. Бутылка разобьется, если наполнить ее до плотно закрытой крышки. Объясните, почему, а также объясните, как воздушный карман над уксусом предотвратит разрыв.(Это функция воздуха над жидкостями в стеклянных контейнерах.)

Задачи и упражнения

1: Во время циркового номера один артист качается вверх ногами, свешиваясь на трапеции, держа другого, также перевернутого, за ноги. Если восходящая сила, действующая на более низкую спортсменку, в три раза превышает ее вес, насколько растягиваются кости (бедра) в ее верхних конечностях? Вы можете предположить, что каждый из них эквивалентен одинаковому стержню длиной 35,0 см и радиусом 1,80 см.2}. [/ Latex] Вычислите изменение длины грифеля автоматического карандаша, если постучите им прямо по карандашу с усилием 4,0 Н. Грифель имеет диаметр 0,50 мм и длину 60 мм. б) разумен ли ответ? То есть согласуется ли это с тем, что вы наблюдали при использовании карандашей?

4: Антенны телевещания — самые высокие искусственные сооружения на Земле. В 1987 году физик весом 72,0 кг разместил себя и 400 кг оборудования на вершине одной антенны высотой 610 м для проведения гравитационных экспериментов.Насколько была сжата антенна, если считать ее эквивалентом стального цилиндра радиусом 0,150 м?

5: (a) Насколько альпинист весом 65,0 кг натягивает нейлоновую веревку диаметром 0,800 см, когда она висит на 35,0 м ниже выступа скалы? б) Соответствует ли ответ тому, что вы наблюдали для нейлоновых веревок? Имел бы смысл, если бы веревка была на самом деле эластичным шнуром?

6: Полый алюминиевый флагшток высотой 20,0 м по жесткости эквивалентен твердому цилиндру 4.00 см в диаметре. Сильный ветер изгибает полюс так же, как горизонтальная сила в 900 Н. Насколько далеко в сторону прогибается верхняя часть шеста?

7: По мере бурения нефтяной скважины каждая новая секция бурильной трубы выдерживает собственный вес, а также вес трубы и бурового долота под ней. Рассчитайте растяжение новой стальной трубы длиной 6,00 м, которая поддерживает 3,00 км трубы с массой 20,0 кг / м и буровое долото 100 кг. Труба по жесткости эквивалентна сплошному цилиндру 5.00 см в диаметре.

8: Рассчитайте усилие, которое настройщик рояля применяет для растяжения стальной рояльной проволоки на 8,00 мм, если изначально проволока имеет диаметр 0,850 мм и длину 1,35 м.

9: На позвонок действует сила сдвига 500 Н. Найдите деформацию сдвига, принимая позвонок в виде цилиндра высотой 3,00 см и диаметром 4,00 см.

10: Диск между позвонками позвоночника подвергается действию силы сдвига 600 Н.0} [/ latex] ниже горизонтали с вершиной его шеста и выдерживает напряжение 108 Н. Полый алюминиевый столб высотой 12,0 м эквивалентен по жесткости сплошному цилиндру диаметром 4,50 см. а) Насколько он наклонен в сторону? б) Насколько он сжат?

13: Фермер, производящий виноградный сок, наполняет стеклянную бутылку до краев и плотно закрывает ее крышкой. {- 3}} [/ latex]) относительно доступного места.0} [/ latex] с вертикалью. (Ясно, что растяжка должна быть в направлении, противоположном изгибу.)

Рис. 9. Этот телефонный столб находится на изгибе линии электропередачи 90 ⁰ . Оттяжка прикреплена к верху столба под углом 30 ⁰ к вертикали.

Сноски

1. Приблизительные и средние значения. Модули Юнга [латекс] \ boldsymbol {Y} [/ latex] для растяжения и сжатия иногда различаются, но здесь они усреднены.Кость имеет существенно разные модули Юнга для растяжения и сжатия.

Глоссарий

деформация

изменение формы из-за приложения силы

Закон Гука

пропорциональное соотношение между силой [латекс] \ boldsymbol {F} [/ latex], действующей на материал, и деформацией [латекс] \ boldsymbol {\ Delta {L}} [/ latex], которую оно вызывает, [латекс] \ boldsymbol {F = k \ Delta {L}} [/ latex]

предел прочности

разрушающее напряжение, которое вызовет остаточную деформацию или часть материала

напряжение

отношение силы к площади

штамм

отношение изменения длины к исходной длине

деформация сдвига

деформация, перпендикулярная исходной длине объекта

Решения

Задачи и упражнения

1:

[латекс] \ boldsymbol {1.