Как корень обозначается: √ - Квадратный корень: U+221A radic

Содержание

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x² = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x² = 16, x = 4 и x = -4.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

x² = 16 не равно x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

x² = 16 — это квадратное уравнение.
x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x² = 16 следует, что:

|x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Пример решен неверно

Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

x² = 36

x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение.

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

√36 = 6
x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x² = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее:
Строим график функции y = x².
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x² = 2.
x = √2
x = -√2.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ответ: √3025 = 55.

3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Корень произведения равен произведению корней
Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:

Добрая напоминалочка

Чтобы решать примеры быстрее, не забывайте пользоваться таблицей квадратов.

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Дано выражение: 7√9

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a)² = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √7²* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Запоминаем:

Нельзя вносить отрицательные числа под знак корня.

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

√28
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,

Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.

Упростите выражение:

Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
Выносим общий множитель за скобки:

Далее вычисляем все, что в скобках:

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

√a < √b, то a < b

√a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70 < 8√2.

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Сравните два выражения: √50 и 9√5
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.
9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
50 < 405
Это значит, что √50 < 9√5.

Сравните два выражения: 6√5 и √18
Ответ: преобразовываем выражение 6√5.
6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180
180 > 18
Это значит, что 6√5 > √18.

Сравните два выражения: 7√12 и √20
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.
7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
588 >20
Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Определить «сотни», между которыми оно стоит.

Определить «десятки», между которыми оно стоит.

Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

10²= 100

20²= 400

30²= 900

40²= 1600

50²= 2500

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 40²и 50².

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16 ⇒ 6

5² = 25 ⇒ 5

6² = 36 ⇒ 6

7² = 49 ⇒ 9

8² = 64 ⇒ 4

9² = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 44² и 46².

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

1.2. Корень n-й степени

В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени).

Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа n≥2.

Определение. Пусть n≥2 и n∈N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна a .

Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из a» означает, что tn=a.

Корень 3-й степени называется также кубическим.

Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.

Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.

Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается

Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.

Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство

Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому

при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.

Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: −7 и 7 — квадратные корни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается

Например, 814=3,646=2.

Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n четное, то при любом положительном значении а верно равенство

Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то

Стр. 12

не существует корня четной степени из отрицательного числа.

Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из a .

При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении записи an слово «арифметический» обычно пропускают).

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь корень n-й степени из числа a — это значит найти значение выражения an.

Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.

Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.

Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение an имеет смысл, верно равенство

Поэтому равенство (1) является тождеством.

В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень). Так, выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.

Знак еще называют радикалом.

Стр. 13

Пример 1. Верно ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению a.

Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.

б) По определению корень n-й степени из числа а (n — нечетное число) является числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а.

Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.

Пример 2. Решить уравнение:

а) x3=7;

б) x4=5.

Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:

б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.

Ответ: а) 73; б) ±54.

В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:

Решение: x4=5 ⇔ x=±54.

Ответ: ±54.

Пример 3. Решить уравнение:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.

б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R — множество всех его корней.

Ответ: а) [0;+∞); б) R.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение

Корни этого уравнения

Таким образом, имеем

откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).

Ответ: ±2.

1Какое число называется корнем n-й степени из числа а?

2Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а?

3Корень какой степени существует из любого числа а?

4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?

5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:

а) n — нечетное число;

б) n — четное число?

Упражнения

1.24°

1.24°Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Верно ли, что:

1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;

2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Верно ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Найдите кубический корень из числа:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вычислите (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1.37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Решите уравнение (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1.53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

Стр. 19

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

Корень из числа: определения, примеры

Квадратный корень, арифметический квадратный корень

Чтобы понять определение корня из числа, и квадратного корня в частности, нужно иметь представление о степени с натуральным показателем. В этом пункте мы часто будем сталкиваться со второй степенью числа — квадратом числа.

Начнем с определения квадратного корня.

Определение

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (5²=5·5=25, (−0,3)²=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)²=0,3·0,3=0,09 и 0²=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 – это квадратный корень из нуля.

Следует отметить, что не для любого числа a существует действительное число, квадрат которого равен a. А именно, для любого отрицательного числа a не существует ни одного действительного числа b, квадрат которого равнялся бы a. В самом деле, равенство a=b² невозможно для любого отрицательного a, так как b² – неотрицательное число при любом b. Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.

Отсюда вытекает логичный вопрос: «А для любого ли неотрицательного a существует квадратный корень из a»? Ответ – да. Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня.

Тогда встает следующий логичный вопрос: «Каково число всех квадратных корней из данного неотрицательного числа a – один, два, три, или еще больше»? Вот ответ на него: если a равно нулю, то единственным квадратным корнем из нуля является нуль; если же a – некоторое положительное число, то количество квадратных корней из числа a равно двум, причем корни являются противоположными числами. Обоснуем это.

Начнем со случая a=0. Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Это следует из очевидного равенства 0²=0·0=0 и определения квадратного корня.

Теперь докажем, что 0 – единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Тогда должно выполняться условие b²=0, что невозможно, так как при любом отличном от нуля b значение выражения b² является положительным. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 – единственный квадратный корень из нуля.

Переходим к случаям, когда a – положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Тогда по определению квадратного корня справедливы равенства b²=a и c²=a, из них следует, что b²−c²=a−a=0, но так как b²−c²=(b−c)·(b+c), то (b−c)·(b+c)=0. Полученное равенство в силу свойств действий с действительными числами возможно лишь тогда, когда b−c=0 или b+c=0. Таким образом, числа b и c равны или противоположны.

Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c. Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами.

Для удобства работы с квадратными корнями отрицательный корень «отделяется» от положительного. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня.

Определение

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение . Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня – подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например, в записи число 151 – это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например, запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о положительном квадратном корне из числа.

В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a.

Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как и . Например, квадратные корни из числа 13 есть и . Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть, . Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и .

На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корней, которые часто применяются на практике.

Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.

В заключение этого пункта заметим, что квадратные корни из числа a являются решениями квадратного уравнения вида x²=a относительно переменной x.

К началу страницы

Корень n-й степени и его свойства

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени ($n=2, 3, 4, 5, 6… $) некоторого числа $a$ называют такое неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает $a$:

$$ \sqrt[n]{a}=b; $$ $$ b^{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число $n$ при этом называют показателем корня.

Если $n=2$, то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если $n=3$, то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим $2,668…$ – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть $\sqrt[3]{19}$.

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

Кубический корень обозначение буквами. Знак квадратного корня и способы его набора

Школьники или студенты в наше время часто работают в текстовом редакторе «Ворд». Однако ввиду недостаточной осведомленности некоторые задачи в нем они не способны выполнить. Особенно сложно работать с математическими символами, ведь на клавиатуре их недостаточно. В этой статье пойдет речь о знаке корня. Будет рассказано, как вставить его в документ. Продемонстрировано будет четыре разных способа, а по итогу прочтения статьи пользователь решит для себя сам, каким из них пользоваться.

При помощи Microsoft Equation 3.0

Стоит сразу сказать, что данный способ для вставки знака корня в документ отлично подходит как для соответствия всем нормам, так и для применения его во всех версиях программы. А пользоваться мы будем инструментом под названием 3.0.

Для начала необходимо открыть интерфейс самой утилиты, для этого:

Перейдите во вкладку «Вставка».
В группе инструментов «Текст» нажмите по кнопке «Объекты».
В появившемся окне выберите «Microsoft Equation 3.0», который находится в списке «Тип объекта».
Нажмите кнопку «ОК».

После этого в месте где был установлен курсор, появится форма для заполнения. Обратите внимание также на то, что внешний вид «Ворда» довольно сильно поменяется.

Для вставки знака корня вам необходимо в окне инструментов «Формула» нажать на кнопку «Шаблоны дробей и радикалов». Ее расположение вы можете наблюдать на изображении ниже.

Теперь в нужно выбрать соответствующий шаблон. После этого в поле для набора формул появится знак корня, а рядом с ним пустая ячейка, в которую можно вводить число. После того как число было введено, переключится на стандартный интерфейс программы можно, нажав левую кнопку мыши (ЛКМ) за пределами формы для ввода формул.

При помощи инструмента «Формула»

В более новых версиях программы есть второй вариант ввода формул. Он понятен рядовому пользователю, однако документ может не корректно отображать формулы в более ранних версиях программы.

Для ввода знака квадратного корня вам необходимо:

Нажать по кнопке «Формула», что находится в группе инструментов «Символы».
В специальном конструкторе формул найти и нажать по символу корня.

После этого в специальной форме для ввода формул появится знак корня. Вы также можете вписать туда значение. Однако таким методом корень не будет растягиваться, подстраиваясь под длину введенных данных. Чтобы этого добиться, необходимо в том же конструкторе нажать по кнопке «Радикал» и в выпадающем списке выбрать необходимый шаблон. Все остальные действия сопоставимы с предыдущим способом.

При помощи таблицы с символами

Вы уже узнали, как поставить знак корня в «Ворде» двумя разными способами, но на очереди еще два. Однако знаки, которые будут вставлены, не будут растягивать верхнюю планку, подстраиваясь под длину вводимых данных.

Для вставки знака корня с помощью таблицы символов необходимо:

Перейти во вкладку «Вставить».
Нажать на кнопку «Символы».
В списке выбрать «Другие символы».
В появившемся окне найти нужный символ, выделив его.
Нажать кнопку «Вставить».

После этого знак корня появится в виде обычного символа, а вы сможете дописать нужное выражение далее.

При помощи кода символа

Если вы попытались вставить знак корня, следуя вышеизложенной инструкции, то скорее всего обратили внимание на то, что поиски длятся довольно долго. Конечно, после одного применения этого символа он будет выведен в категорию «Недавно используемые», но все же есть другой вариант, менее затратный по времени, о котором сейчас и пойдет речь.

Для вставки символа с помощью кода символа, во-первых, нужно знать его код, а во-вторых, знать горячие клавиши для его преобразования. Итак, код символа «квадратный корень» следующий: 221A. А горячие клавиши для его преобразования — ALT+X. Теперь вам остается лишь ввести код и нажать на горячие клавиши.

Тем, кто собирается писать курсовую работу, диплом или любой другой технический текст, могут пригодиться символы, отсутствующие на клавиатуре. В их числе – значок квадратного, кубического корня, корня четвертой степени и пр. На самом деле, вставить в текст этот символ – радикал — не так сложно, как кажется. Давайте разберемся, как пишется корень на клавиатуре.

Способ №1

Этот способ подойдет для отображения значка квадратного корня, в случае которого показатель степени 2 обычно опускается.

Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня.
Откройте в Word вкладку «Вставка»;
Найдите графу «Символ» и выберите «Другие символы»;
Выберите строку «Математические операторы» и найдите среди появившихся знаков необходимый вам вариант. Нажимаем «Вставить».

Если символ корня вам нужно вставить не один раз, то пользоваться этой функцией весьма удобно. Все ранее использованные значки отображаются непосредственно под кнопкой «Символ».

Способ №2

Этот способ пригоден для отображения не только квадратного, но еще и кубического корня и корня четвертой степени.

Способ №3

Для отображения корня любой степени удобно использовать следующий способ:

Способ №4

Этот способ не требует применения специальных функций Word – все необходимое для написания квадратного корня есть на самой клавиатуре.

Способ №5

Еще один вариант внесения символа квадратного корня в текст заключается в следующем.

«Пуск»->«Все программы»->«Стандартные»->«Служебные»->«Таблица символов»;
В появившейся таблице отыщите нужный значок и нажмите на него. Затем нажимаем «Выбрать» (значок появится в строке для копирования) и «Копировать»;
С помощью сочетания клавиш Ctrl+C скопируйте корень в необходимую строчку в тексте.

Теперь вы знаете, как пишется корень на клавиатуре. Как видите, существует немало способов внесения данного математического символа в текст, и все они довольно простые.

Голос за пост — плюсик в карму! 🙂

Если вам требуется написать определенный технический текст, тогда наверняка придется использовать различные символы, в том числе это касается и математических действий. Не многие пользователи, особенно это касается новичков, знают о том, как на клавиатуре написать корень, ведь такой кнопки попросту нет. Для того чтобы вписывать этот символ в текстовые документы, вам будет достаточно использовать популярную офисную программу Word, которая на самом деле является очень удобным инструментом для различного типа задач. В этом приложении для вас будет предоставлено много разных вариантов, с помощью которых сможете вписывать корень, тут только потребуется определиться с типом задачи, после чего можно выбирать вариант решения.

Особая таблица

Давайте сразу разберем самый простой способ, как установить корень квадратный на клавиатуре. Делается это в программе с помощью функции вставки символа. Для того чтобы воспользоваться этой возможностью, от вас не потребуется особых знаний, выполняйте все по инструкции последовательно, и вы сможете научиться добавлять в текстовые документы специальные знаки. Первым делом необходимо перейти в меню «Вставка», а затем выбрать раздел «Символ». Если вы все выполнили правильно, тогда перед вами должна открыться большая таблица, где нужно будет найти знак корня квадратного. После того как вам удалось его отыскать, нужно указать место, а затем нажать на соответствующую кнопку «Вставить». Если все было выполнено правильно, тогда символ должен появиться в той точке, в которой вы пожелали его установить. Кстати, окошко с обозначениями в большинстве случаев может занимать большое количество текста, точнее, вставку вы можете и не заметить, пока не закроете эту таблицу. Впрочем, если вы даже и не выполнили действие, тогда сможете произвести подобную процедуру заново, ведь на самом деле она не занимает много времени.

Специальные коды

Итак, давайте сейчас поговорим о том, как обозначается корень на клавиатуре в программе Word. На самом деле приведенный способ поможет значительно сэкономить ваше время, конечно, это произойдет лишь в том случае, если вы узнаете особый код. Открыв таблицу с символами, вы сможете заметить небольшое окошко, в котором можно вводить комбинацию для каждого знака. Кстати, если вы не знали, у каждого кода присутствует свое специальное обозначение, это необходимо для быстрой работы, к примеру, если в вашем тексте большое количество символов. Для установлен специальный номер — «221A». При этом не забывайте о том, что последнюю букву необходимо писать в английской раскладке, помните о том, что это очень важно. Как на клавиатуре написать корень с помощью этого способа, вы знаете, теперь давайте рассмотрим другие варианты, которые можно также опробовать.

Наиболее востребованные обозначения

Если вам потребуется регулярно применять указанный символ, тогда в дальнейшем вы сможете обратиться к специальной панели, которая называется «Ранее использовавшиеся символы». Соответственно, вам будет достаточно всего раз узнать, как на клавиатуре написать корень, после чего он уже будет отображаться в этой панели.

Заключение

Если вы планируете использовать обозначение в техническом документе очень часто, в таком случае вы его сможете установить в качестве одной из горячих клавиш. Соответственно, вопрос о том, как на клавиатуре написать корень, сразу же отпадает, так как у вас будет настроена одна из кнопок, которая начнет отвечать за это действие. Кстати, очень удобно. Благодарим за внимание каждого читателя. Надеемся, информация будет полезной для вас.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Если вам нужно написать, к примеру, технический текст, возникает вопрос: «как написать символы, которых нет на клавиатуре?» Одним из таких символов является корень или радикал.

Наверняка вы замечали, что на многих сайтах используется этот обозначение. И это неудивительно, ведь подобными возможностями обладают все без исключения текстовые редакторы, а если быть точнее, суть вопроса заключается именно в клавиатуре.

Как написать корень на клавиатуре? – всё очень просто! Хоть знак «корень» на клавиатуре и не расположен, его всё-таки можно написать: для этого существует даже не один, а несколько способов. Рассмотрим их подробнее:

Способ №1. Используя горячие клавиши клавиатуры (Alt-код, т.е. первая клавиша в коде — Alt).
Способ №2. Используя 10-й код (HTML-код).
Способ №3. Используя 16-й код (Юникод).

Обратите внимание! Для того чтобы воспользоваться способом №1, вы должны нажать и удерживать клавишу Alt, после чего начать ввод числового кода с использованием дополнительных цифровых клавиш (расположены на правой части клавиатуры).

Перед тем как ввести числовой код, убедитесь, что цифровые клавиши включены (индикатор NumLk должен гореть). 10-й и 16-й коды можно не вводить, а просто скопировать из таблицы и вставить в том месте, где вам нужно.

√ Квадратный корень Alt + 251 √ √∛ Кубический корень — ∛ ∛∜ Четвертый корень — ∜ ∜

Теперь вы знаете, как писать корень на клавиатуре – для этого нужно запомнить комбинацию «Alt+251». Точнее, нужно удерживать клавишу Alt, после чего на цифровых клавишах нажать 2, 5, 1 и отпустить Alt.

Если вы всё сделали верно, на экране появится знак корня. Выглядит он следующим образом: √ (вы также можете просто скопировать его отсюда). Так самому можно писать и другие самые разные смайлики в ворде и других текстовых редакторах.

Вы можете воспользоваться и помощью поисковика Google. Для этого просто введите в поиск то, что вы ищите (к примеру, знак корня), после чего просто его скопировать.

Если у вас возникли какие-либо проблемы (на вашем ноутбуке нет расположенных справа цифровых клавиш и т. д.), достаточно нажать Пуск и перейти в таблицу символов. В зависимости от Windows таблица символов может находиться как в разделе с приложениями, так и в разделе «Стандартные».

Вам понадобилось написать некий технический текст, связанный с математикой, и вы задались вопросом — как написать символы, которых нет на стандартной раскладке клавиатуры? Например, знак корня, который еще называют радикалом. Вы наверняка замечали это обозначение на многих сайтах. И это неудивительно, потому что даже стандартный блокнот способен его отобразить. Как же найти корень на клавиатуре? Вы удивитесь, но это очень просто!

Способ №1. Использовать клавишу Alt и цифровой блок

Для того чтобы воспользоваться этим способом, убедитесь что у вашей клавиатуры есть цифровой блок (справа или же совмещенный с буквами) и что индикатор NumLock горит. Если он не горит, включите его клавишей NumLock/NumLk.

На ноутбуках или компактных клавиатурах может также понадобиться зажатие клавиши Fn, подробнее об этом вы можете узнать из инструкции к своему ноутбуку. Итак, чтобы набрать знак корня на клавиатуре, вам необходимо зажать клавишу Alt и последовательно ввести цифры 2, 5 и 1 на цифровом блоке, а затем отпустить зажатую клавишу.

Если вы все сделали правильно, то на экране появится знак радикала. Это самый простой способ написания корня на клавиатуре. Но что если вам необходим кубический или корень четвертой степени? К сожалению, сделать это таким же способом нельзя, но можно другими, однако работают они только в браузере, при оформлении статей для сайтов. О них поговорим чуть ниже.

Способ №2. Если на вашей клавиатуре нет цифрового блока

Если так случилось, что на вашей клавиатуре отсутствует цифровой блок и нет возможности написать корень на клавиатуре первым способом — не отчаивайтесь! Вы также можете воспользоваться любым поисковиком и, введя в него «знак корня», получить символ, который уже можно скопировать в вашу статью.

Если же у вас нет интернета, то вы можете воспользоваться стандартным приложением Windows — таблицей символов. Найти ее очень просто. Для этого зайдите в меню «Пуск», найдите в нем папку «Стандартные», а в ней — папку «Служебные». Также вы можете нажать сочетание клавиш Win+R и в открывшемся поле ввести charmap.exe и нажать Enter. Этот способ применим не только к символу корня, но и к другим.

Способ №3. Использовать десятиричный код (HTML-код)

Этот способ также не требует введения цифр с цифрового блока. Чтобы добавить в свою статью таким способом квадратный, кубический корень или корень четвертой степени, на клавиатуре необходимо набрать данные последовательности символов и цифр:

√ — для квадратного корня;
∛ — для кубического корня

Способ №4. Использовать шестнадцатиричный код (Юникод)

Данный способ используют крайне редко ввиду его непрактичности, но не сказать о нем было бы упущением. Кто знает, когда пригодится. Если сайт, на котором будет располагаться ваша статья, работает в кодировке Юникод (хотя давно повсеместно используется UTF-8), вы можете использовать данные последовательности:

√ — для квадратного корня;
∛ — для кубического корня;
∜ — для корня четвертой степени.

Как видите, нет ничего сложного в вопросе, как найти квадратный корень на клавиатуре. Теперь вы знаете целых четыре способа, как написать его, а также кубический или корень четвертой степени.

подкоренное число и показатель корня

Корень n-ой степени из числа a — это число, n-ая степень которого равна a. Например, корнем второй степени из 36 будет число 6, так как:

6² = 36.

Для записи корня используется знак √ (знак корня или радикал). Под чертой знака записывается подкоренное число, а над знаком, в левом верхнем углу, показатель корня:

²√36.

Подкоренное число — это степень, показатель корня — это показатель степени, корень — основание степени. Если

то

Эта запись читается так: корень n-ой степени из числа a равен x.

Извлечение корня — это действие, обратное возведению в степень, с помощью которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Примеры:

³√125 = 5, так как 5³ = 125;

²√81 = 9, так как 9² = 81;

⁵√32 = 2, так как 2⁵ = 32.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a.

Например, квадратными корнями из числа 16 являются числа 4 и -4:

²√16 = 4 или ²√16 = -4.

Рассмотрим уравнение

x² = a

при различных значениях a:

a < 0:
В данном случае уравнение не будет иметь решений, так как квадрат любого числа всегда является положительным числом или нулём. Следовательно, x² не может быть равен отрицательному числу.
a = 0:
В этом случае уравнение имеет единственное решение:

x = 0.
a > 0:
В этом случае уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный, модули которых равны. Так как вторая степень отрицательного числа является числом положительным:

x = ±√a .

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было числом положительным или нулём.

Арифметический квадратный корень

Арифметический квадратный корень из положительного числа a — это положительное число x, квадрат которого равен a:

²√a = x, следовательно x² = a.

При обозначении квадратного корня показатель корня опускается, то есть квадратный корень обозначается знаком корня без показателя. Например:

√a — квадратный корень из a.

Обратите внимание, что при чтении выражения слово арифметический опускается.

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки полученного результата можно найденный корень возвести во вторую степень, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение арифметического квадратного корня и его проверку на примере. Найдём √36, для этого надо найти число, при возведении которого во вторую степень получится 36. Таким числом является 6, так как

6² = 36.

Значит, √36 = 6. Корень -6 мы не рассматриваем, потому что арифметический корень является положительным числом.

Квадратный корень — это… Что такое Квадратный корень?

Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .^[1]^[2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от ^[3]^[4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Действительные числа

При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .^[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

то (см. Формула Муавра)

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

График функции

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц^[8], функций^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Разложение в ряд Тейлора

при .

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

В частности, если , а , то ^[12]

Итерационный аналитический алгоритм

Основная статья: Итерационная формула Герона

тогда

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число (в примере — 69696) на листке.
Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

См. также

Примечания

↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

Ссылки

linux — Почему корневой каталог обозначен знаком /?

В компонентах имени пути в Unix нельзя использовать только два символа: нулевой символ, который завершает строки в C (язык ядра), и косая черта, которая зарезервирована в качестве разделителя пути. Более того, компоненты пути не могут быть пустыми строками.

Итак, в имени пути у нас есть только два вида токенов: косая черта и компонент.

Предположим, что без добавления каких-либо новых токенов , мы хотели бы поддерживать два типа путей: относительный и абсолютный.Кроме того, мы хотели бы иметь возможность ссылаться на корневой каталог, у которого нет имени (у него нет родителя, который дал бы ему имя).

Как мы можем представить относительные пути, абсолютные пути и ссылаться на корневой каталог, используя только косую черту?

Самый очевидный способ расширить язык (кроме введения нового токена) — это создать новый синтаксис: придать новое значение комбинациям токенов, которые являются недопустимым синтаксисом.

Пути, начинающиеся с косой черты, не имеют смысла, так почему бы не использовать начальную косую черту в качестве маркера, который указывает, что «этот путь является абсолютным, а не относительным».

Путь, который не содержит ничего, кроме косой черты, также недействителен, так почему бы не присвоить ему значение «корневой каталог».

Эти два значения связаны вместе, потому что абсолютный путь начинается с корневого каталога. Другими словами, начальная косая черта может рассматриваться как имеющая значение:

перейдите в корневой каталог и используйте косую черту.
: если на пути больше материала, обработайте его как относительный путь, в противном случае все готово.

Затем мы могли бы также добавить косую черту в конце, что может означать, что «этот путь утверждает, что последний компонент пути является именем каталога, а не обычного файла или любого другого типа объекта: эта косая черта в конце обозначает этот каталог. аналогично тому, как ведущая косая черта обозначает корневой каталог «.

При всем вышеупомянутом синтаксисе у нас все еще есть синтаксис с неназначенным значением: двойная косая черта, тройная косая черта и так далее.

Почему бы просто не ввести еще один токен и сделать это по-другому.Вероятно, это связано с тем, что дизайнеры в целом придерживались минималистичных подходов.}»

Этот тип кодирования все еще требуется в некоторых случаях при работе с путями в стиле Unix, но его меньше.

Math 1010 on-line — Корни и радикалы

Кафедра математики — Колледж наук — Университет Юты

Корни и радикалы

Корни и радикалы заслуживают отдельной главы и домашнего задания, потому что они часто встречаются в приложениях.

Пусть будет натуральное число, и пусть будет настоящий номер . Корень из это число, которое удовлетворяет Номер обозначается

Например, с тех пор, и поскольку .

Символ называется радикальным символом , и выражение, включающее его, называется радикалом (выражение) .

Если тогда это квадратный корень из, и это число обычно опускается. Например,

Если, то это кубический корень из.Например, кубический корень из есть, а кубический из is.

Если четное и положительное, то есть два -го числа. корни, каждый из которых является отрицательным для другого. Например, поскольку есть два квадратных корня из. В в этом случае условно символ означает положительный -й корень, и он называется главным (-й) корнем из .

Если отрицательное и нечетное, то есть только корень 1/4, и он также отрицательный. Например,

На этом этапе нам неизвестен корень -й степени, если он даже и отрицательный.Это приводит к теме комплексные числа, которые мы рассмотрим позже в этом курсе.

Радикалы — это просто частные случаи полномочий , и вы Помните об этом факте, что может упростить ваше мышление:

Непосредственно из этого наблюдения и свойств силы, которые

Решение радикальных уравнений

Уравнение, включающее радикалы, называется радикальным уравнением (естественно). Чтобы решить эту проблему, вы просто применяете нашу общую принцип:

Чтобы решить уравнение, выясните, что вас беспокоит, и сделайте то же самое. вещь по обе стороны уравнения, чтобы избавиться от него.

Чтобы избавиться от радикала, вы приводите его к власти, которая изменит рациональный показатель до натурального числа. Это будет работать, если радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения .

Давайте посмотрим на несколько простых примеров :

Предполагать

Действуем следующим образом:

Вот немного более сложная проблема:

Мы получаем

Наш последний пример показывает, как избавиться от более чем одного радикала:

Чтобы избавиться от квадратных корней, мы изолируем их и возведем в квадрат время:

В каждом случае мы проверяем наш ответ, подставляя его в исходный. уравнение.Например, в последнем уравнении получаем:

Позже в курсе мы рассмотрим более сложные случаи радикальные уравнения.

Числовые значения

Все радикалы в приведенных выше примерах были натуральными числами. Это связано только с разумным подбором примеров. Часто корни в приложениях встречаются иррациональные числа с десятичными разложениями, которые никогда не повторяются и не заканчиваются. В следующей таблице приведены приблизительные значения несколько специфических радикалов.

Некоторые радикалы (приблизительно)

— краткий, но исчерпывающий трактат по измерениям и практической геометрии. … Адаптирован для использования в школах … Чарльз Хаттон, …

Page 29

EVOLUTION; ИЛИ УДАЛЕНИЕ КОРНЕЙ.

Корень любого данного числа или степени — это такое число, умножение которого само на себя определенное количество раз дает степень; и он именуется первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. корень, соответственно, так как количество умножений, сделанных из него для получения данной мощности, равно 0, 1, 2, 3 и т. д.то есть имя корня берется из числа, которое превышает умножение на 1, как и имя силы в инволюции.

Индекс корня, как и индекс степени инволюции, на 1 больше, чем количество умножений, необходимых для получения степени или данного числа. Итак, 2 — это индекс секунды или квадратный корень; и 3 индекс 3-го или кубического корня; и 4 индекс 4-го корня; и так далее.

Корни иногда обозначаются записью √ перед степенью с индексом корня напротив него: таким образом, третий корень из 50 равен 3√50, а второй корень из него — √50, индекс 2 опускается, что означает индекс всегда понимается, когда корень назван или написан без него, но если степень выражена несколькими числами со знаком + или — и т. д.между ними затем проводится линия от вершины знака корневого или корневого знака по всем его частям; поэтому корень третьей степени из 47−15 равен 〈math〉. а иногда корни имеют форму силы, с взаимным или Страница 30 индекс корня над заданным числом. Итак, корень из 3 равен 3 ^½, корень из 50 равен 50 ^½, а третий корень из него равен 50⅓, также третий корень из 47-15 равен 〈math〉. И этот метод обозначений справедливо преобладал в современной алгебре; потому что такие корни, рассматриваемые как дробные степени, не нуждаются в других направлениях для каких-либо операций с ними, кроме как для целых степеней.

Число называется полной степенью любого вида, если его корень того же вида может быть точно извлечен; но в противном случае число называется несовершенной степенью, а его корень — неразумной или иррациональной величиной. Итак, 4 — это полная степень второго рода, корень которого равен 2; но несовершенная сила третьего рода, ее третий корень — это нечеткая величина, которую нельзя точно извлечь.

Эволюция — это нахождение корней чисел, точных или десятичных с любой предлагаемой степенью точности.

Власть сначала должна быть подготовлена к извлечению или эволюции, разделив ее с помощью точек или запятых, вместо единиц, слева в целых числах и справа в десятичных дробях, на периоды, содержащие в каждом столько разрядов цифр, сколько обозначено индексом корня, если степень содержит полное количество таких периодов; то есть каждый период должен иметь две цифры для квадратного корня, три для кубического корня, четыре для четвертого корня и так далее. А когда последняя точка в десятичных разрядах не завершена, для ее завершения добавляются шифры.

Примечание: корень будет содержать столько разрядов цифр, сколько точек или точек в Заданная мощность; и они будут целыми или десятичными числами соответственно, поскольку таковы периоды, из которых они находятся или которым они соответствуют; то есть в корне будет столько целых или десятичных цифр, сколько периодов целых или десятичных чисел в данном числе.

Квадратный корень — Формула, примеры

Квадратный корень из числа — это операция, обратная возведению числа в квадрат.Квадрат числа — это значение степени 2 числа, а квадратный корень числа — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число. Если «a» является квадратным корнем из «b», это означает, что a × a = b. Квадрат любого числа всегда является положительным числом, поэтому каждое число имеет два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Например, и 2, и -2 являются квадратными корнями из 4. Но в большинстве случаев вы обнаружите, что только положительное значение записывается как квадратный корень.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа — это число, которое умножается на само себя, чтобы получить произведение. Мы узнали об экспонентах. Квадраты и квадратные корни являются специальными показателями. Рассмотрим число 9. Когда 3 умножается на само себя, получается 9 как произведение. Когда показатель степени равен 2, он называется квадратом. Когда показатель степени равен 1/2, он называется квадратным корнем. Например, √ (n × n) = √n ² = n, где n — положительное целое число.

Определение квадратного корня

Квадратный корень числа — это значение степени 1/2 этого числа. Другими словами, это число, которое мы умножаем само на себя, чтобы получить исходное число. Он обозначен символом «√».

Методы поиска квадратного корня из чисел

Очень легко найти квадратный корень из числа, которое является полным квадратом. Полные квадраты — это те положительные числа, которые можно записать как произведение числа на само себя.другими словами, полные квадраты — это числа, представляющие собой значение степени 2 любого целого числа. Мы можем использовать четыре метода, чтобы найти квадратный корень из чисел , и эти методы следующие:

Метод повторного вычитания квадратного корня
Квадратный корень методом простой факторизации
Квадратный корень методом оценки
Квадратный корень методом длинного деления

Обратите внимание, что первые три метода можно удобно использовать для полных квадратов, а четвертый метод, т.е.Метод деления в столбик можно использовать для любого числа, независимо от того, является оно квадратом или нет.

Метод повторного вычитания квадратного корня

Это очень простой метод. Мы будем вычитать последовательные нечетные числа из числа, для которого мы находим квадратный корень, до тех пор, пока не достигнем 0. Количество раз, которое мы вычитаем, является квадратным корнем из данного числа. Этот метод работает только для полных квадратных чисел. Давайте найдем квадратный корень из 16, используя этот метод.

16 — 1 = 15
15 — 3 = 12
12-5 = 7
7-7 = 0

Вы можете заметить, что мы вычитали 4 раза.Таким образом, √16 = 4

Квадратный корень методом простой факторизации

Разложение любого числа на простые множители означает представление этого числа как произведения простых чисел. Чтобы найти квадратный корень из заданного числа с помощью метода разложения на простые множители, мы следуем шагам, приведенным ниже:

Шаг 1: Разделите данное число на его простые множители.
Шаг 2: Сформируйте пары одинаковых множителей так, чтобы оба множителя в каждой паре были равны.
Шаг 3: Возьмите один множитель из пары.
Шаг 4: Найдите произведение множителей, полученных путем взятия одного множителя из каждой пары.
Шаг 5: Этот продукт является квадратным корнем из заданного числа.

Найдем этим методом квадратный корень из 144.

Этот метод работает, когда заданное число является точным квадратным числом.

Квадратный корень методом оценки

Оценка и приближение относятся к разумному предположению о фактическом значении, чтобы сделать вычисления более простыми и реалистичными.Этот метод помогает в оценке и приближении квадратного корня из заданного числа. Воспользуемся этим методом, чтобы найти √15. Найдите числа, ближайшие к точному квадрату 15. 9 и 16 — числа полного квадрата, ближайшие к 15. Мы знаем, что √16 = 4 и √9 = 3. Это означает, что √15 лежит между 3 и 4. Теперь нам нужно посмотрим, ближе ли √15 к 3 или 4. Рассмотрим 3,5 и 4. 3,5 ² = 12,25 и 4 ² = 16. Таким образом, √15 находится между 3,5 и 4 и ближе к 4.

Найдем квадраты 3.8 и 3.9. 3,8 ² = 14,44 и 3,9 ² = 15,21. Это означает, что √15 находится между 3,8 и 3,9. Мы можем повторить процесс и проверить между 3,85 и 3,9. Мы можем заметить, что √15 = 3,872.

Это очень долгий и трудоемкий процесс.

Квадратный корень методом длинного деления

Длинное деление — это метод деления больших чисел на шаги или части, разбивающий задачу деления на последовательность более простых шагов. Используя этот метод, мы можем найти точный квадратный корень из любого заданного числа.Давайте разберемся с процессом нахождения квадратного корня методом деления в длину на примере. Найдем квадратный корень из 180.

Шаг 1: Поместите черту над каждой парой цифр номера, начиная с места единицы (крайняя правая сторона). У нас будет две пары, т.е. 1 и 80
Шаг 2: Мы делим крайнее левое число на наибольшее число, квадрат которого меньше или равен числу в крайней левой паре.

Шаг 3: Введите число под следующей полосой справа от остатка.Добавьте последнюю цифру частного к делителю. Справа от полученной суммы найдите подходящее число, которое вместе с результатом суммы образует новый делитель для нового дивиденда, который переносится вниз.

Шаг 4: Новое число в частном будет иметь такое же число, как выбрано в делителе. Условие то же — меньше или равно дивиденду.

Шаг 5: Теперь продолжим этот процесс, используя десятичную точку и попарно добавляя нули к остатку.

Шаг 6: Полученное таким образом частное будет квадратным корнем из числа.

Таблица квадратного корня

Таблица квадратного корня содержит числа и их квадратные корни. Также полезно находить квадраты чисел. Вот список квадратных корней из полных квадратных чисел и некоторых неполных квадратных чисел от 1 до 10.

Номер	Квадратный корень
1	1
2	1.414
3	1,732
4	2
5	2,236
6	2.449
7	2,646
8	2,828
9	3
10	3.162

Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, являются частью иррациональных чисел.

Формула квадратного корня

Квадратный корень — это не что иное, как показатель степени 1/2. Формула квадратного корня используется для нахождения квадратного корня числа. Мы знаем формулу экспоненты: \ (\ sqrt [\ text {n}] {x} \) = x ^{1 / n}. Когда n = 2, мы называем это квадратным корнем. Мы можем использовать любой из вышеперечисленных методов для нахождения квадратного корня, например, разложение на простые множители, деление в столбик и так далее.9 ^1/2 = √9 = √ (3 × 3) = 3. Итак, формула для записи квадратного корня из числа: √x = x ^1/2.

Как упростить квадратный корень?

Чтобы упростить извлечение квадратного корня, нам нужно найти факторизацию данного числа на простые множители. Если фактор не может быть сгруппирован, оставьте их под символом квадратного корня. Правило упрощения квадратного корня: √xy = √ (x × y), где x и y — положительные целые числа. Например: √12 = \ (\ sqrt {2 \ times 2 \ times3} \) = 2√3

Для дробей действует аналогичное правило: √x / √y = √ (x / y).Например: √50 / √10 = √ (50/10) = √5

Квадратный корень отрицательного числа

Квадратный корень отрицательного числа не может быть действительным числом, поскольку квадрат — это либо положительное число, либо ноль. Но у комплексных чисел есть решения для извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Главный квадратный корень из -x: √ (-x) = i√x. Здесь i — квадратный корень из -1.

Например: возьмите точное квадратное число, такое как 16. Теперь давайте посмотрим на квадратный корень из -16.Настоящего квадратного корня из -16 не существует. √ (-16) = √16 × √ (-1) = 4i (as, √ (-1) = i), где i представлено как квадратный корень из -1. Итак, 4i — это квадратный корень из -16.

Квадрат числа

Любое число, возведенное в степень два (y ²), называется квадратом основания. Итак, 5 ² упоминается как квадрат 5, а 8 ² упоминается как квадрат 8. Мы можем легко найти квадрат числа, умножив основание на два раза.Например, 5 в квадрате — это 5 × 5 = 25, а 8 в квадрате — это 8 × 8 = 64. Когда мы находим квадрат целого числа, полученное число является одним из полных квадратов. Вот некоторые из идеальных квадратов, которые у нас есть: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и так далее. Квадрат числа, независимо от того, является ли оно положительным или отрицательным, всегда является положительным числом.

Как найти квадрат числа?

Квадрат числа можно найти, умножив число на само себя. Для однозначных чисел мы можем использовать таблицы умножения, чтобы найти квадрат, в то время как в случае двух или более двухзначных чисел мы выполняем умножение числа на само число, чтобы получить ответ.Например, 9 × 9 = 81, где 81 — это квадрат 9. Точно так же 3 × 3 = 9, где 9 — это квадрат 3.

Статьи по теме о квадратном корне:

Ниже приводится список тем, которые тесно связаны с квадратными корнями.

Квадратный корень чисел

Часто задаваемые вопросы о Square Root

Что такое квадратный корень в математике?

Квадратный корень — это число, которое нам нужно умножить само на себя, чтобы получить исходное число.Например, 2 — это квадратный корень из 4, так как 2 × 2 = 4.

☛ Чек:

Как найти квадратный корень числа?

квадратный корень числа можно найти с помощью любого из четырех методов, приведенных ниже:

Метод повторного вычитания
Метод простой факторизации
Метод оценки и приближения
Метод длинного деления.

Как найти квадратный корень десятичного числа?

Квадратный корень десятичного числа можно найти с помощью метода оценки или метода деления в столбик.В случае десятичных чисел мы составляем пары частей целого числа и дробных частей отдельно. Затем мы выполняем процесс деления в столбик так же, как и любое другое целое число.

Может ли квадратный корень быть отрицательным?

Квадратный корень числа может быть отрицательным. Фактически, все идеальные квадраты, такие как 4, 9, 25, 36 и т. Д., Имеют два квадратных корня, одно положительное значение и одно отрицательное значение. Квадратные корни из 4 равны -2 и 2. Точно так же квадратные корни из 9 равны 3 и -3.

Как вы называете символ квадратного корня?

Символ, используемый для обозначения квадратного корня, называется радикальным знаком «√».Термин, записанный внутри радикального знака, называется подкоренным выражением.

Какова формула вычисления квадратного корня числа?

Квадратный корень любого числа можно выразить с помощью формулы: √y = y ^½.

Что такое квадрат и корень числа?

Квадрат и квадратный корень из числа являются обратной операцией друг друга. Если возвести в квадрат число z, как (z × z) z ², тогда квадратный корень из z ² i.е., √z равно числу z.

Какой метод используется для нахождения квадратного корня неидеальных квадратных чисел?

В математике несовершенное или несовершенное квадратное число считается числом в десятичной форме. Квадратный корень из неполного квадратного числа можно вычислить с помощью метода деления в длину.

Как упростить извлечение квадратного корня на калькуляторе?

Чтобы найти значение квадратного корня любого числа, нам просто нужно сначала вставить символ квадратного корня √x в калькулятор и ввести число x.

☛ Чек:

Как умножить два значения квадратного корня вместе?

Допустим, у нас есть два числа a и b. Сначала мы найдем квадратный корень из чисел a и b. Затем, найдя квадратный корень, мы умножим значение квадратного корня вместе. Давайте разберемся с этим на практической иллюстрации.
Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 16 равен 4. Теперь мы умножим значение квадратного корня из 4 и 16, т.е. 2 × 4 = 8.

Каковы применения формулы квадратного корня?

Существуют различные применения формулы квадратного корня

Формула квадратного корня в основном используется в алгебре и геометрии.Это помогает найти корни квадратного уравнения.
Мы можем легко вычислить площадь, объем и другие размеры, используя формулу квадратного корня.
Широко используется инженерами.

Радикалы

8.1 Радикалы

Цели обучения

Найдите квадратные корни.
Найдите кубические корни.
Найдите n корней -й степени.
Упростите выражения, используя правила произведения и частного для радикалов.

Квадратные корни

Квадратный корень Число, которое при умножении на само себя дает исходное число. числа — это то число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, 4 — это квадратный корень из 16, потому что 42 = 16. Поскольку (−4) 2 = 16, мы можем сказать, что −4 также является квадратным корнем из 16. Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. По этой причине мы используем знак корня для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня Положительный квадратный корень действительного числа, обозначаемого символом.и отрицательный знак перед корнем — для обозначения отрицательного квадратного корня.

Ноль — единственное действительное число с одним квадратным корнем.

Если подкоренное выражение Выражение a в знаке корня, an., Число внутри знака радикала, неотрицательно и может быть разложено на квадрат другого неотрицательного числа, то квадратный корень из числа очевиден. В этом случае мы имеем следующее свойство:

Пример 1: Найдите квадратный корень.

а. 36

г. 144

г. 0,04

г. 19

Решение:

а. 36 = 62 = 6

г. 144 = 122 = 12

г. 0,04 = (0,2) 2 = 0,2

г. 19 = (13) 2 = 13

Пример 2: Найдите отрицательный квадратный корень.

а. −4

г. −1

Решение:

а.−4 = −22 = −2

г. −1 = −12 = −1

подкоренное выражение не всегда может быть идеальным квадратом. Если положительное целое число не является полным квадратом, его квадратный корень будет иррациональным. Например, 2 — это иррациональное число, и на большинстве калькуляторов его можно приблизительно вычислить с помощью кнопки извлечения квадратного корня.

Затем рассмотрим квадратный корень отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из −9, вы должны найти число, возведение которого в квадрат дает −9:

Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда дает положительное число:

Квадратный корень отрицательного числа в настоящее время не определен.А пока мы заявим, что −9 не является действительным числом.

Кубические корни

Кубический корень Число, которое при трехкратном множении самого себя дает исходное число; оно обозначается символом 3. числа — это число, которое при трехкратном умножении на само себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем кубический корень с помощью символа 3, где 3 называется индексом Положительное целое число n в обозначении n, которое используется для обозначения корня n -й степени.. Например,

Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный. По этой причине у любого действительного числа будет только один действительный кубический корень. Следовательно, технические детали, связанные с основным корнем, не применяются. Например,

В общем, для любого действительного числа a мы имеем следующее свойство:

При упрощении кубических корней ищите множители, которые являются идеальными кубами.

Пример 3: Найдите кубический корень.

а. 273

г. 643

г. 03

г. 183

Решение:

а. 273 = 333 = 3

г. 643 = 433 = 4

г. 03 = 033 = 0

г. 183 = (12) 33 = 12

Пример 4: Найдите кубический корень.

а.−83

г. −13

г. −1273

Решение:

а. −83 = (- 2) 33 = −2

г. −13 = (- 1) 33 = −1

г. −1273 = (- 13) 33 = −13

Возможно, подкоренное выражение не является идеальным кубом. Если целое число не является идеальным кубом, его корень куба будет иррациональным. Например, 23 — это иррациональное число, которое на большинстве калькуляторов можно приблизительно вычислить с помощью корневой кнопки. В зависимости от калькулятора мы обычно вводим индекс перед нажатием кнопки, а затем подкоренное выражение, как показано ниже:

Следовательно, имеем

n корней

Для любого целого числа n≥2 мы определяем корень n-й степени Число, которое при возведении в n -й степени дает исходное число.положительного действительного числа, которое при возведении в n -й степени дает исходное число. Для любого неотрицательного действительного числа a мы имеем следующее свойство:

Здесь n называется индексом , а an называется подкоренным индексом . Кроме того, мы можем ссылаться на все выражение an как на радикальное Используемое при обращении к выражению формы an .. Когда индекс является целым числом больше 3, мы говорим «корень четвертой степени», «корень пятой степени» и так далее.Корень n -й степени любого числа очевиден, если мы можем записать подкоренное выражение с показателем, равным индексу.

Пример 5: Найдите корень n -й степени.

а. 814

г. 325

г. 17

г. 1164

Решение:

а. 814 = 344 = 3

г. 325 = 255 = 2

г. 17 = 177 = 1

г.1164 = (12) 44 = 12

Если индекс равен n = 2, то радикал указывает на квадратный корень, и принято писать радикал без индекса, как показано ниже:

Мы уже позаботились об определении главного квадратного корня числа. На этом этапе мы расширяем эту идею до n корней -й степени, когда n четное. Например, 3 — это корень четвертой степени из 81, потому что 34 = 81. А поскольку (−3) 4 = 81, мы можем сказать, что −3 также является корнем четвертой степени из 81.Следовательно, мы используем знак корня n для обозначения главного (неотрицательного) корня n-й степени Положительный корень n -й степени, когда n четное. когда n — четное. В этом случае для любого действительного числа a мы используем следующее свойство:

Например,

Отрицательное значение n корень -й степени, когда n четное, будет обозначаться отрицательным знаком перед корнем — n.

Мы видели, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным, потому что любое действительное число, возведенное в квадрат, даст положительное число.Фактически, аналогичная проблема возникает для любого четного индекса:

Здесь корень четвертой степени из −81 не является действительным числом, потому что четвертая степень любого действительного числа всегда положительна.

Пример 6: Упростить.

а. −164

г. −164

Решение:

а. Подкоренное выражение отрицательное, а индекс четный. Следовательно, не существует действительного числа, которое в четвертой степени равно −16.

г. Здесь подкоренное выражение положительное. Кроме того, 16 = 24, и мы можем упростить следующим образом:

Когда n нечетное, таких проблем не возникает. Произведение нечетного числа положительных факторов положительно, а произведение нечетного количества отрицательных факторов отрицательно. Следовательно, когда индекс n нечетный, существует только один действительный корень n -й степени для любого действительного числа a . И вот недвижимость у нас:

Пример 7: Найдите корень n -й степени.

а. −325

г. −17

Решение:

а. −325 = (- 2) 55 = −2

г. −17 = (- 1) 77 = −1

Попробуй! Найдите корень четвертой степени: 6254.

Ответ: 5

Резюме: Когда n является нечетным , корень n -й степени равен положительным или отрицательным в зависимости от знака подкоренного выражения.

Когда n равно , корень n -й степени равен положительным или ненастоящим в зависимости от знака подкоренного выражения.

Упрощение использования правила произведения и частного для радикалов

Не всегда подкоренное выражение является полной степенью данного индекса. В противном случае мы используем следующие два свойства, чтобы упростить их. Если a и b представляют положительные действительные числа, то мы имеем

Радикал упрощается — радикал, в котором подкоренное выражение не состоит из какого-либо множителя, который может быть записан как полная степень индекса.если он не содержит множителей, которые можно записать как абсолютную степень индекса.

Пример 8: Упростить: 12.

Решение: Здесь 12 можно записать как 4 ⋅ 3, где 4 — полный квадрат.

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе:

Также стоит отметить, что

Ответ: 23

Пример 9: Упростить: 135.

Решение: Начните с нахождения наибольшего квадратного множителя 135.

Следовательно,

Ответ: 315

Пример 10: Упростить: 50121.

Решение: Начните с нахождения разложения на простые множители 50 и 121. Это позволит нам легко определить наибольшие абсолютные квадратные множители.

Следовательно,

Ответ: 5211

Пример 11: Упростить: 1623.

Решение: Используйте разложение на простые множители 162, чтобы найти наибольший коэффициент идеального куба:

Замените подкоренное выражение этой факторизацией, а затем примените правило произведения для радикалов.

Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе.

Ответ: 3 63

Попробуй! Упростить: 2 963.

Ответ: 4 123

Пример 12: Упростить: -965.

Решение: Здесь мы отмечаем, что индекс нечетный, а подкоренное выражение отрицательное; следовательно, результат будет отрицательным. Мы можем разложить подкоренное выражение на множители следующим образом:

Затем упростите:

Ответ: −2 35

Пример 13: Упростить: -8643.

Решение: В этом случае рассмотрим эквивалентную дробь с −8 = (- 2) 3 в числителе, а затем упростим.

Ответ: −1/2

Попробуй! Упростим −1083.

Ответ: −3 43

Основные выводы

Квадратный корень из числа — это то число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Когда подкоренное выражение a положительно, a2 = a. Когда подкоренное выражение отрицательное, результат не является действительным числом.
Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном использовании в качестве множителя с самим собой дает исходное число.Кубический корень может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака подкоренного выражения. Следовательно, для любого действительного числа a мы имеем свойство a33 = a.
При работе с корнями n , n определяет применимое определение. Мы используем ann = a, когда n нечетно и ann = | a | когда n — четное. Когда n четное, отрицательный корень n -й степени обозначается отрицательным знаком перед знаком корня.
Чтобы упростить квадратные корни, найдите наибольший коэффициент полного квадрата подкоренного выражения, а затем примените произведение или правило частного для радикалов.
Чтобы упростить кубический корень, найдите наибольший коэффициент идеального куба подкоренного выражения, а затем примените правило произведения или частного для радикалов.
Чтобы упростить n корней -й степени, найдите множители, мощность которых равна индексу n , а затем примените правило произведения или частного для радикалов. Обычно процесс упрощается, если вы работаете с разложением на простые множители подкоренного выражения.

Тематические упражнения

Часть A: радикалы

Упростить.

1. 81

2. 100

3. 64

4. 121

5. 0

6. 1

7. 0,25

8. 0,01

9. 1.21

10. 2,25

11. 14

12. 136

13. 2516

14.925

15.−25

16. −9

17. −36

18. −81

19. −100

20. −1

21 273

22. 1253

23 643

24. 83

25. 183

26. 1643

27. 8273

28. 641253

29. 0,0013

30.1 0003 9 000 3

31. −13

32. −83

33. −273

34. −643

35. −183

36. −27643

37. −8273

38. -11253

39. 814

40. 6254

41,164

42. 10,0004

43. 325

44,15

45.2435

46. 100,0005

47. −164

48. −16

49. −325

50. −15

51. −1

52. −164

53. −5 −273

54. −2 −83

55,5 -1,0003

56,3 −2435

57,10 −164

58. 2 −646

59.325

60. 64

61. 2 273

62. 8 2435

63. −7 83

64. −4 6254

65. 6 100,0005

66. 5 1287

Часть B: Упрощение радикалов

Упростить.

67. 32

68. 250

69. 80

70,150

71.160

72. 60

73,175

74. 216

75. 5112

76. 10135

77. 5049

78. −2120

79. −3162

80. 89

81. 45121

82. 9681

83. 543

84,243

85. 483

86.813

87. 403

88. 1203

89,1623

90. 5003

91. 541253

92. 403433

93,5 −483

94. 2 −1083

95. 8 964

96,7 1624

97,1605

98. 4865

99. 2242435

100.5325

Упростить. Дайте точный и приблизительный ответ с округлением до сотых.

101. 8

102. 200

103. 45

104. 72

105. 34

106. 59

107. 3225

108. 4849

109. 803

110. 3203

111.483

112. 2703

Запишем следующее в виде радикального выражения с коэффициентом 1.

113,215

114. 37

115. 510

116. 103

117. 2 73

118,3 63

119. 2 54

120,3 24

121. Формула площади A квадрата: A = s2.Если площадь составляет 18 квадратных единиц, то какова длина каждой стороны?

122. Вычислите длину стороны квадрата площадью 60 квадратных сантиметров.

123. Формула объема V куба: V = s3. Если объем куба 112 кубических единиц, то какова длина каждой стороны?

124. Вычислите длину стороны куба объемом 54 кубических сантиметра.

Часть C: Обсуждение

125.Объясните, почему у любого ненулевого действительного числа есть два квадратных корня.

126. Объясните, почему для любого действительного числа существует только один кубический корень.

127. Что такое квадратный корень из 1 и кубический корень из 1? Объяснить, почему.

128. Объясните, почему −1 не является действительным числом и почему −13 является действительным числом.

ответов

1: 9

3: 8

5: 0

7: 0.5

9: 1.1

11: 1/2

13: 5/4

15: Неверное число

17: −6

19: −10

21: 3

23: 4

25: 1/2

27: 2/3

29: 0,1

31: -1

33: −3

35: -1/2

37: −2/3

39: 3

41: 2

43: 2

45: 3

47: −2

49: −2

51: Неверное число

53: 15

55: −50

57: Неверное число

59: 15

61: 6

63: −14

65: 60

67: 42

69: 45

71: 410

73: 57

75: 207

77: 527

79: −272

81: 3511

83: 3 23

85: 2 63

87: 2 53

89: 3 63

91: 3 235

93: −10 63

95: 16 64

97: 2 55

99: 2 753

101: 22≈2.83

103: 35≈6,71

105: 32≈0,87

107: 425≈1,13

109: 2 103≈4,31

111: 2 63≈3,63

113: 60

115: 250

117: 563

119: 804

121: 32 шт.

123: 2 143 шт.

Что такое root? — определение Linux Information Project (LINFO)

root — это имя пользователя или учетная запись, которая по умолчанию имеет доступ ко всем командам и файлам в Linux или другой Unix-подобной операционной системе.Его также называют учетной записью root , пользователем root и суперпользователем .

Слово корень также имеет несколько дополнительных, связанных значений, когда используется как часть других терминов, и, таким образом, может быть источником путаницы для людей, плохо знакомых с Unix-подобными системами.

Один из них — это корневой каталог , который является каталогом верхнего уровня в системе. То есть это каталог, в котором находятся все остальные каталоги, включая их подкаталоги и файлы.Корневой каталог обозначается косой чертой (/).

Другой — / root (произносится как , корень ), который является домашним каталогом пользователя root . Домашний каталог является основным хранилищем файлов пользователя, включая файлы конфигурации этого пользователя, и обычно это каталог, в котором находится пользователь при входе в систему. / root — это подкаталог корневого каталога, на что указывает косая черта, начинающаяся с его имени, и его не следует путать с этим каталогом.Домашние каталоги для пользователей, отличных от корневых, по умолчанию создаются в каталоге / home , который является еще одним стандартным подкаталогом корневого каталога.

Права root — это полномочия, которыми обладает учетная запись root в системе. Учетная запись root является наиболее привилегированной в системе и имеет абсолютную власть над ней (т. Е. Полный доступ ко всем файлам и командам). К полномочиям root относится способность изменять систему любым желаемым образом, а также предоставлять и отзывать права доступа (т.е., возможность читать, изменять и выполнять определенные файлы и каталоги) для других пользователей, включая любые из тех, которые по умолчанию зарезервированы для root.

Руткит — это набор программных инструментов, тайно установленных злоумышленником на компьютер, который позволяет такому злоумышленнику использовать этот компьютер в своих собственных, обычно гнусных целях, когда это необходимо. Хорошо спроектированные руткиты могут получить root-доступ (то есть доступ к корневой учетной записи, а не только к учетной записи пользователя) и скрыть большую часть или все следы своего присутствия и действий.

Использование термина root для всемогущего административного пользователя могло возникнуть из-за того факта, что root — единственная учетная запись, имеющая прав на запись (т. Е. Разрешение на изменение файлов) в корневом каталоге. Корневой каталог, в свою очередь, получил свое название от того факта, что файловые системы (то есть вся иерархия каталогов, которая используется для организации файлов) в Unix-подобных операционных системах были спроектированы с древовидной структурой (хотя и перевернутой). ) структура, в которой все каталоги ответвляются от одного каталога, аналогичного корню дерева.

Исходная операционная система UNIX, на которой основаны Linux и другие Unix-подобные системы, с самого начала была разработана как многопользовательская система, поскольку персональных компьютеров еще не существовало, и каждый пользователь был подключен к мэйнфрейму компьютера (т. Е. , большой централизованный компьютер) через немой (то есть очень простой) терминал . Таким образом, необходимо было иметь механизм для разделения и защиты файлов отдельных пользователей, позволяющий им использовать систему одновременно.Также необходимо было иметь средства, позволяющие системному администратору выполнять такие задачи, как ввод пользовательских каталогов и файлов для исправления отдельных проблем, предоставление и отзыв полномочий для обычных пользователей и доступ к критически важным системным файлам для ремонта или обновления системы.

Каждой учетной записи пользователя автоматически присваивается идентификационный номер, UID (т. Е. Идентификатор пользователя) Unix-подобной системой, и система использует эти номера вместо имен пользователей для идентификации и отслеживания пользователей.У root всегда нулевой UID. Это можно проверить, войдя в систему как root (при использовании домашнего компьютера или другой системы, которая разрешает эту операцию) и запустив команду echo для отображения UID текущего пользователя, т. Е.
эхо $ UID
echo используется для повторения на экране того, что набирается после него. Знак доллара перед UID указывает echo отображать его значение, а не имя.
UID для root (а также для всех других пользователей) также можно увидеть, посмотрев на / etc / passwd , который является файлом конфигурации для пользовательских данных.Этот файл можно просмотреть (по умолчанию все пользователи) с помощью команды cat (которая обычно используется для чтения файлов), т. Е.
cat / etc / passwd | менее
Результатом cat / etc / passwd в этом примере является , переданное по конвейеру (т. Е. Переданное) команде less , чтобы его можно было читать по одному экрану за раз, что полезно, если файл длинный. . Строка вывода для root будет выглядеть примерно так: root: x: 0: 0: root: / root: / bin / bash .Первый столбец показывает имя пользователя, а третий столбец показывает UID, который, как видно, равен нулю.
Система разрешений в Unix-подобных операционных системах установлена по умолчанию для предотвращения доступа обычных пользователей к критическим частям системы, а также к файлам и каталогам, принадлежащим другим пользователям. Таким образом, для пользователей, плохо знакомых с такими системами, особенно для тех, кто привык к системам со слабой системой разрешений или без какой-либо системы разрешений (например, Microsoft Windows или более старые версии Macintosh), обойти эту систему разрешений. на своих персональных компьютерах, войдя непосредственно в учетную запись root и оставаясь там.Хотя это дает кратковременное облегчение, этого следует избегать, и обычную работу в системе следует выполнять через учетную запись обычного пользователя.
Это потому, что очень легко повредить Unix-подобную систему, используя ее как root — намного проще, чем повредить большинство других типов операционных систем. Разработчики большинства других операционных систем разработали методы защиты системы и данных, чтобы компенсировать отсутствие надежной системы разрешений.
Однако важным принципом Unix-подобных операционных систем является обеспечение максимальной гибкости для настройки системы, и, таким образом, пользователь root имеет все права.Unix-подобные системы предполагают, что системный администратор точно знает, что он или она делает, и что только такие люди будут использовать учетную запись root. Таким образом, для пользователя root практически нет защиты в случае неосторожной ошибки, такой как повреждение или удаление критически важного системного файла (что может привести к неработоспособности всей системы).
Опасность регулярного использования системы от имени пользователя root усугубляется тем фактом, что все процессы , (т. Е. Экземпляры выполняемых программ), запущенные пользователем root, имеют привилегии root.Поскольку даже наиболее широко используемые и хорошо протестированные прикладные программы содержат множество ошибок программирования (из-за огромного объема необходимого кода и его большой сложности), опытный злоумышленник часто может найти и использовать такую ошибку, чтобы получить контроль над системой, когда программа запускается с привилегиями root, а не с использованием учетной записи обычного пользователя с очень ограниченными привилегиями.
Важнейшим средством предотвращения непосредственного повреждения пользователями Unix-подобных систем или повышения уязвимости таких систем к повреждению со стороны других является отказ от использования учетной записи root, за исключением случаев крайней необходимости, даже хорошо осведомленными и опытными системными администраторами.То есть вместо обычного входа в систему как root администраторы должны входить в систему со своими обычными учетными записями пользователей, а затем использовать такие команды, как su , kdesu и sudo , которые предоставляют им привилегии root только по мере необходимости. и без необходимости нового входа в систему.
Например, чтобы получить root-доступ с помощью su, достаточно ввести
su
в командной строке (т. е. в полнотекстовом режиме), нажав клавишу Enter и введя пароль root.Учетную запись предыдущего пользователя можно вернуть, нажав одновременно клавиши Ctrl и d или набрав слово exit , а затем нажав клавишу Enter.
Безопасность, связанная с использованием su, может быть увеличена с помощью его опции -c , которая завершает его и вызывает немедленный возврат к прежней учетной записи пользователя после завершения выполнения текущей команды или после закрытия любой запущенной ею программы.
Задачи, требующие привилегий root, включают перемещение файлов или каталогов в системные каталоги или из них (т.д., каталоги, которые имеют решающее значение для функционирования операционной системы), копирование файлов в системные каталоги, предоставление или отзыв прав пользователя, некоторые исправления системы и установка некоторых прикладных программ. По умолчанию, не обязательно быть пользователем root, чтобы иметь возможность читать большинство файлов конфигурации и файлов документации в системных каталогах, хотя для их изменения необходимо быть root.
Права root обычно требуются для установки программного обеспечения в формате пакета RPM (Red Hat Package Manager) из-за необходимости записи в системные каталоги.Однако, если прикладная программа компилируется (т.е. преобразуется в пригодную для исполнения форму) из исходного кода (т.е. ее исходной, удобочитаемой формы), ее обычно можно настроить для установки и запуска из домашнего каталога пользователя. . Обычному пользователю не требуются права root для компиляции и установки программного обеспечения в его домашний каталог. По соображениям безопасности следует избегать компиляции программного обеспечения с правами root.
В больших системах, используемых предприятиями и другими организациями, вероятно, будет несколько системных администраторов.У каждого будет своя собственная учетная запись, в которой он будет обычно работать (и действия которой будут автоматически записываться в системные журналы в целях безопасности и ремонта), но также будет иметь доступ к учетной записи root для использования при необходимости. Системный (е) администратор (ы) может предоставить ограниченные привилегии root некоторым лицам, например помощникам администраторов.
√ или sqrt — функция квадратного корня — Librow — цифровые ЖК-панели для автомобилей и лодок
Статья 11 — Приложение А.29
1. Определение
Функция квадратного корня обратна степенной функции. с мощностью а = 2
х ²
Квадратный корень обозначается символом корня:
√x
Квадратный корень эквивалентен степени одной секунды:
√x ≡ x ^1/2
2. Участок
Функция квадратного корня, определенная для неотрицательной части вещественной оси — значит, ее область определения [0, + ∞). График функции изображен ниже — рис. 1 .
Рис. 1. График функции квадратного корня y = √ x .
Функция codomain неотрицательная часть вещественной оси: [0, + ∞).
3. Идентификационные данные
Учтите, что из-за того, что квадратный корень определяется только для неотрицательных значений, и степень двойки, определенная везде, порядок этих двух функций имеет значение:
√x ² ≡ x
√ (x ²) ≡ | x |
а также
x ≡ signx √ (x ²)
Обратный аргумент:
√ (1 / x) = 1 / √x
Произведение и соотношение аргументов:
√ (xy) = √ | x | √ | y |
√ (x / y) = √ | x | / √ | y |
Сила аргумента:
√ (x ^a) = √ | x | ^a ≡ | x | ^{а /2}
4.Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение
а х ² + б х + в = 0
имеет корни
x = [- b ± √ ( b ² — 4 ac )] / (2 a )
Для уравнения с четным коэффициентом для первой степени a x ² + 2 b x + c = 0
корни имеют упрощенную форму
x = [- b ± √ ( b ² — ac )] / a
5.Решение нормированного квадратного уравнения
Нормализованное квадратное уравнение х ² + б х + в = 0
имеет корни
x = [- b ± √ ( b ² — 4 c )] / 2
И уравнение с четным коэффициентом для первой степени х ² + 2 б х + в = 0
имеет простейшую форму для своих корней
x = — b ± √ ( b ² — c )
6.Поддержка
Функция квадратного корня √ или sqrt реального аргумента поддерживается бесплатно версия калькулятора Librow.
Функция квадратного корня √ или sqrt сложного аргумента поддерживается профессиональный версия калькулятора Librow.
7. Как использовать
Чтобы вычислить квадратный корень из числа:
или
Чтобы вычислить квадратный корень из текущего результата:
или
Чтобы вычислить квадратный корень из числа x в памяти:
или
.

Что такое квадратный корень? Формулы и Примеры

Что такое квадратный корень

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Извлечение корней

Свойства арифметического квадратного корня

Умножение арифметических корней

Деление арифметических корней

Возведение арифметических корней в степень

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Сравнение квадратных корней

Извлечение квадратного корня из большого числа

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

Упраж­не­ния

Корень из числа: определения, примеры

Квадратный корень, арифметический квадратный корень

Корень n-й степени и его свойства

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корень четной и нечетной степени

Кубический корень обозначение буквами. Знак квадратного корня и способы его набора

При помощи Microsoft Equation 3.0

При помощи инструмента «Формула»

При помощи таблицы с символами

При помощи кода символа

Способ №1

Способ №2

Способ №3

Способ №4

Способ №5

Особая таблица

Специальные коды

Наиболее востребованные обозначения

Заключение

Способ №1. Использовать клавишу Alt и цифровой блок

Способ №2. Если на вашей клавиатуре нет цифрового блока

Способ №3. Использовать десятиричный код (HTML-код)

Способ №4. Использовать шестнадцатиричный код (Юникод)

подкоренное число и показатель корня

Квадратный корень

Арифметический квадратный корень

Квадратный корень — это… Что такое Квадратный корень?

Применение операции корня к числам

Рациональные числа

Действительные числа

Комплексные числа

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

Обобщения

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратный корень в информатике

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Разложение в ряд Тейлора

Арифметическое извлечение квадратного корня

Грубая оценка

Геометрическое извлечение квадратного корня

Итерационный аналитический алгоритм

Столбиком

См. также

Примечания

Ссылки

linux — Почему корневой каталог обозначен знаком /?

Math 1010 on-line — Корни и радикалы

Кафедра математики — Колледж наук — Университет Юты

Корни и радикалы

Решение радикальных уравнений

Числовые значения

Некоторые радикалы (приблизительно)

— краткий, но исчерпывающий трактат по измерениям и практической геометрии. … Адаптирован для использования в школах … Чарльз Хаттон, …

EVOLUTION; ИЛИ УДАЛЕНИЕ КОРНЕЙ.

Квадратный корень — Формула, примеры

Что такое квадратный корень?

Определение квадратного корня

Методы поиска квадратного корня из чисел

Метод повторного вычитания квадратного корня

Квадратный корень методом простой факторизации

Квадратный корень методом оценки

Квадратный корень методом длинного деления

Таблица квадратного корня

1.2. Корень n-й степени

1.2. Корень n-й степени

Упражнения