Презентация умножение дробей возведение дроби в степень: Презентация к уроку алгебры в 8 классе «Возведение дроби в степень»

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.          

Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.

Например

Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель

– произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю.

Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т.е. является тождеством.

Правило умножения рациональных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:  

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители

. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Пример 1: умножить дроби.

Решение:

Пример 2: умножить дроби.

Решение:

Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.

Решение:

Пример 4: выполнить умножение.

Решение:

Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Проверим это равенство на конкретных примерах.

   

Правило возведения рациональной дроби в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Пример 5: возвести в третью степень дробь.

       

Пример 6: возвести во вторую степень дробь.  

 

Пример 7:

     

Итоги

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

«Умножение дробей.Возведение дроби в степень»

Тип ПОЛабораторная работа PASCOActivInspire (Promethean)SMART NotebookПрезентация PowerPointAнимационный Flash-роликУрок для ActivTableElite Panaboard (Panaboard)HitachiМастер-классMimioStudio™RM Easiteach Next Generation (TriumphBoard, Panaboard, Legamaster)Interwrite WorkSpace (Interwrite)IP board (IPBoard /Julong)Интересный материал

ПредметАстрономияИнформатикаГеографияОкружающий мирБиологияНемецкий языкОбщественные наукиМатематикаТатарский языкОРКСЭкономикаИностранный языкМХКВоспитательная работа (классный час)Русский языкОБЖГеометрияАнглийский языкТехнологияПриродоведениеОбществознаниеВнеурочное занятиеЕстественные наукиФизикаХимияЛитератураИсторияПравоИЗОЧерчениеМузыкаФранцузский языкДругое

Уровень образованияДошкольное образованиеНачальная школаСредняя школаСтаршая школаВысшая школаСредне-специальное образованиеСреднее образованиеПрофессиональное образованиеСпециальное образованиеДистанционное обучениеВнеурочные занятияДополнительное образование

Вид урокаМетодические рекомендацииРазработка урокаИграФрагмент урокаВнеурочные занятияДидактический материалШаблонСценарий

Классдошкольное1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 классне зависит от класса

Рекомендованные

Сбросить фильтр

«Умножение дробей. Возведение дроби в степень»

Открытый урок по алгебре в 8 классе

Тема: «Умножение дробей. Возведение дроби в степень»

Цели:

1.Закрепление навыков умножения дробей, возведения дробей в степень и сокращения дробей при выполнении упражнений.

2.Отработка внимательности и точности при выполнении заданий.

3.Воспитание интереса к предмету через игровые моменты урока, занимательные задачи, познавательные сюжеты из истории математики.

4.Воспитание культуры мышления, культуры речи, культуры поведения.

5.Воспитание сознательной дисциплины, понимания важности и значимости науки.

Задачи:

1.Систематизировать материал по данной теме.

2.Провести диагностику усвоения системы знаний и умений, ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

3.Развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.

4.Выработать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Представим себе, что сегодня наш класс – научно-исследовательский институт. А вы, ученики, — сотрудники этого института. А именно, сотрудники различных лабораторий по проблемам математики. Вас всех пригласили принять участие в заседании ученого совета этого НИИ, чтобы обсудить с вами тему «Умножение дробей. Возведение дроби в степень». В процессе работы в НИИ вы должны: 1)закрепить изученный материал, 2)показать уровень усвоения темы, 3)разобраться в непонятых ранее моментах,4) проконтролировать и оценить свои знания. В нашем НИИ вы будете работать в двух группах, в них назначаются старшие научные сотрудники: Аноприенко Дарья и Абасова Сабина

У каждого из вас на столе оценочный лист, где вы будете фиксировать свои достижения, и в конце оцените свою работу как сотрудники наших лабораторий. У кого из вас возникнут затруднения, вы сможете обратиться за помощью к своему коллеге- старшему научному сотруднику или к учебнику на стр.26.

Оценочный лист

Фамилия, имя ­­­­­­ _____________________________

Лаборатория теоретиков (максимум 6 баллов)	Лаборатория исследований (максимум 6 баллов)	Лаборатория раскрытия тайн (максимум 4 балла)	Лаборатория эрудитов (максимум 8 баллов)	Активность на уроке (максимум 5 баллов)	Всего баллов	Оценка

Оценка «5» 25-29 баллов

Оценка «4» 16-24 баллов

Оценка «3» 11— 15 баллов

Девизом нашего заседания является лозунг: «Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий».

А сейчас открыли тетради и записали тему заседания нашего ученого совета.

1. Актуализация опорных знаний.

Итак, « лаборатория теоретиков».

Это наша первая лаборатория. В ней вы должны вспомнить теоретический материал по теме, который пригодится вам в дальнейшей работе в других лабораториях.

Посмотрите на экран: вам надо продолжить предложения, вспомнив правила умножения дробей, возведения дробей в степень.

Ответ должен быть полным и не забывайте про активность на уроке.

-Сформулируйте правило умножения дробей и правило возведения дроби в степень.

«Лаборатория теоретиков»

1.Тождеством называется_________________________________________

2.Тождество, выражающее правило умножения степеней с одинаковыми основаниями________________

3. Тождество, выражающее правило деления степеней с одинаковыми основаниями________________

4.Тождество, выражающее правило возведения степени в степень________

5. Тождество, выражающее правило умножения дробей________________

6. Тождество, выражающее правило возведения дроби в степень_________

Ответы:

1.Тождеством называется равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

2.Тождество, выражающее правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

·=

3. Тождество, выражающее правило деления степеней с одинаковыми основаниями: :=

4.Тождество, выражающее правило возведения степени в степень:=

5. Тождество, выражающее правило умножения дробей: ·=

6. Тождество, выражающее правило возведения дроби в степень:=

Вспомнив теорию, выполним небольшую устную разминку.

Выполните действия:

; ; ; ·; · ; ; · ; — · ;

· ; · ; · ; ; ; ;

Молодцы! Оцените свою работу в лаборатории теоретиков по 6-ти бальной системе.

1. Закрепление и обобщение материала

Лаборатория теоретиков была пропуском в следующую лабораторию, которая называется «Лаборатория исследований»

Выберите листок с таким названием. Вы видите 6 равенств, среди которых есть верные, но есть и неверные. Вам надо исследовать эти равенства на наличие ошибки. Если равенство верное, то напротив него вы должны записать слово «верно», если же в равенстве ошибка, то вы записываете слово «неверно» и пишите верный результат.

Лаборатория исследований Верно – неверно?

1) · =
2) =
3) 63· = 27
4) = —
5) ·=
6) =

Проверяем правильные ответы на экране и разбираем ошибку, если она есть.

В оценочный лист ставите количество баллов соответствующее числу правильных ответов (т.е. высшая оценка-6 баллов).

Физкульт- минутка

Закончив исследования, мы переходим в следующую лабораторию «Лабораторию раскрытия тайн».

Представьте себе, что ученые нашли при раскопках таинственные манускрипты, содержащие неизвестные объекты, и обратились к вам за помощью, чтобы вы разгадали эти таинственные знаки. Так как манускрипты старые и ветхие некоторые числа стерлись от времени.

Перед вами 6 равенств, содержащих неизвестное, обозначенное ?.

Определите, что там должно быть записано. Ваша задача – восстановить запись.

Лаборатория раскрытия тайн

Найдите неизвестный объект

Проверяем правильные ответы на экране и объясняем, как были найдены неизвестные числа.

В оценочный лист ставите баллы, соответствующие числу правильных ответов.

Перед вами самая сложная лаборатория «Лаборатория эрудитов», требующая от вас умения не только правильно применять свои знания, но и по ответам составить определенное слово и суметь разгадать смысл этого слова.

Перед вами 8 примеров. Надо решить задание, подойти к доске и, отыскав полученный результат, прикрепить его к соответствующему номеру задания. Если вашего результата нет, значит, задание решено неверно.

Лаборатория эрудитов

Слово — загадка

1) ·
2)
3) ·
4)
5)
6) ·
7)
8) ·(9)

Получилось загадочное слово АЛДЖАБРА. Что же это за слово?

Занимаясь математикой, вы не могли не заметить, что она состоит из нескольких частей. Вы научились оперировать с натуральными и дробными числами, знаете положительные и отрицательные числа. «Число» — в переводе с греческого звучит арифмос. Поэтому наука о числе получила греческое название арифметика.

Другой раздел математики посвящен различным фигурам и их свойствам и называется «геометрия». Гео – в переводе с греческого означает земля, метрио – мерить. Но вот слово алгебра – раздел математики, где решаются уравнения, рассматриваются преобразования выражений, составленные из чисел и букв – не греческое. В чем тут дело? Разве у греков не было алгебры? Была. Но решали древние греки алгебраические задачи геометрически.

А вот слово алгебра произошло от слова ал-джабра, взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухаммеда Ал-Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал- джабры».

Арабское слово аль-джабер переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebr. Так возникло название науки, которую мы изучаем.

Интересно, что «алгебраистами» в средние века называли вовсе не математиков, а арабских хирургов-костоправов. Об одном таком алгебраисте написал Сервантес в своем знаменитом романе «Хитроумный Идальго Дон Кихот Ломанческий».

Итак, за работу в лаборатории эрудитов можно получить максимальную оценку 8 баллов (по числу правильных ответов). Ваша задача оценить свою работу в этой лаборатории (количество баллов должно соответствовать числу правильно решенных примеров).

Мы с вами поработали во всех лабораториях, а теперь немного отдохнем и посмотрим некоторые математические фокусы.

Это интересно.

Есть много математических фокусов. Некоторые из них вы уже знаете. Например, быстрое умножении двузначного числа на 11.

Но самым элегантным математическим фокусом является возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.

Проведем соответствующие рассуждения для числа 85 .

85² = 7225

Как быстро получить такой результат? Заметим, что достаточно 8 умножить на следующее за ним натуральное число 9, и мы получим 72, т.е. первые две цифры результата. Теперь достаточно приписать к полученному числу 25 и получается 7225, а это и есть ответ.

Проведем такую же операцию с числом 35.

35²=1225.

3*4=12 и приписываем 25.

Проверим этот фокус на числах 15 и 25. Вы знаете, какое число должно получиться при возведении этих чисел в квадрат.

Как видите это быстро и просто. Вы сможете пользоваться этим быстрым исчислением при возведении некоторых чисел в квадрат и это вам пригодиться в нашей дальнейшей работе. Как видите, математика это не только сухие цифры, статистика и скукота. Бывает еще и удивительная «занимательная математика».

Теперь, ребята подсчитайте то количество баллов, которое вы набрали за работу в наших лабораториях и добавьте количество баллов, которое каждый из вас поставил себе за активность на уроке. Активность оценивается по пятибалльной шкале. По набранному количеству баллов вы должны поставить себе оценку за урок. Я надеюсь, что плохих оценок сегодня нет и у всех у вас хорошее настроение.

Оценочные листы вместе с остальными листами, на которых отображена ваша работа в лабораториях, вы сдаете мне. Оценки ваши будут выставлены в журнал. И даже, если вы иногда допускали ошибки, это неудивительно, ведь любой человек не застрахован от ошибок, особенно, если он только учится овладевать какой-то наукой. В русском языке есть пословица: «Не ошибается тот, кто ничего не делает». Важно вовремя найти и исправить эти ошибки, понять, почему они появились и впредь стараться не допускать их.

1. Домашнее задание. Повторить п.5, выполнить №124, 130.

2. Рефлексия. Дерево успеха и настроения.

Физкультминутка

Быстро встали, улыбнулись

Выше-выше потянулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь. Сели, встали. Сели, встали. И на месте побежали.

ПЛАН-КОНСПЕКТ урока по математике «Возведение дробей в степень» 8 класс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Возведение дробей в степень.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

№

Приложение к плану-конспекту урока:

Возведение дробей в степень.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

№

Теория

Практика:

№1

№2

ФИО (полностью)	Червакова Светлана Васильевна
	Место работы	МКОУ Буденновская СОШ Урюпинского муниципального района Волгоградской области
	Должность	Учитель математики
	Предмет	Алгебра
	Класс	8
	Тема и номер урока в теме	Возведение дробей в степень. Урок №1.
	Базовый учебник	Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. Алгебра. 8 класс. М.: Просвещение. 2009г.
	Цель урока	Изучение и первичное закрепление правила возведения рациональной дроби в степень.
	Задачи:
	— обучающие	Познакомить обучающихся с правилом возведения в степень рациональных дробей; научить возводить дроби в степень.
	-развивающие	Сформировать умение применять изученное правило на практике; совершенствовать вычислительные навыки; развивать навыки самостоятельной работы, работы в парах.
	-воспитательные	Воспитание внимательности, культуры учебного труда, толерантности.
9.	Тип урока	Урок изучения и первичного закрепления знаний.
10.	Формы работы учащихся	Индивидуальная, фронтальная, парная. .
11.	Необходимое техническое оборудование	ПК, мультимедийный проектор.
12.	Структура и ход урока
Этап урока	Название используемых ЭОР	Деятельность учителя	Деятельность ученика	Время (в мин.)
1	2	3	5	6
1	Организа- ционный момент		Приветствует учеников, организует проверку домашнего задания.	Приветствуют учителя, проверяют домашнее задание.	1
2	Повторение материала предыдущего урока	Ресурс 1 Умножение дробей Теория Практика: №1 №2	Предлагает обучающимся вспомнить правило умножения дробей; решить примеры с использованием ЭОР. Проверяет выполнение заданий.	Формулируют правило умножения дробей. Выполняют задания на ПК.	4
3	Мотивация учебной деятельности		1.Предлагает обучающимся решить примеры на возведение обыкновенных дробей в степень. 2. Усложняет задание, создавая проблемную ситуацию. 3. Организует формулировку темы и цели урока.	Учащиеся устно решают примеры. Предлагают собственное решение. Вносят предложения (по необходимости) в план работы на уроке.	3
4	Изучение нового материала	Ресурс №2	Объясняет новый материал, отвечает на вопросы учеников, используя ЭОР; оценивает деятельность учеников. Организует самостоятельную работу с учебником.	Формулируют правило возведения рациональной дроби в степень. Рассматривают пример. Знакомятся с решенными примерами из учебника.	4 4
5	Закрепление изученного материала	Ресурс №3 Представьте в виде дроби Выполните умножение и возведите в степень	Закрепление знаний путем решения заданий из учебника. Организует работу по парам, используя ЭОР, консультирует и проверяет деятельность.	Выполняют задания (1 ученик у доски, остальные на местах). Обучающиеся выполняют задание и оценивают свою учебную деятельность и своих одноклассников.	11 9
6	Подведение итогов урока	Ресурс №4 Тест	Контролирует правильность выполнение задания	Решают задание теста с помощью ПК, оценивают себя.	4
6.	Домашнее задание		Задает домашнее задание, комментируя его.	Записывают домашнее задание.	3
7.	Рефлексия		Организует самооценку учебной деятельности.	Оценивают деятельность с помощью смайлика	2
Название ресурса		Тип, вид ресурса		Форма предъявления информации		Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
1		Ресурс 1 Умножение дробей
Демонстрационно-опорный		Интерактивное задание		http://school-collection.edu.ru/catalog/res/034630c6-9a63-4ea0-9214-15827561c594/?from=253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526&interface=teacher&class=50&subject=16
2	Ресурс №2 Возведение дроби в степень		Демонстрационный		Презентация		http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/d356d90c-9bae-4d83-99a7-c6c3c51d765c/112673/
3	Ресурс №3 Возведение дроби в степень		Демонстрационный		Интерактивное задание		http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/d356d90c-9bae-4d83-99a7-c6c3c51d765c/112673/
4	Ресурс №4		Контрольный		Тест		http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/d356d90c-9bae-4d83-99a7-c6c3c51d765c/112673/

Умножение и деление алгебраических дробей. Урок алгебры в 7а классе

1. Умножение и деление алгебраических дробей Урок алгебры в 7а классе Терешенкова О.В.

МБОУ «СОШ №2»
Умножение и деление
алгебраических дробей
Урок алгебры в 7а классе
Терешенкова О.В.
г. Тулун, 2015 г.
Учитесь думать, объяснять,
Учитесь мыслить, рассуждать
Ведь в математике, друзья,
Без логики никак нельзя.

3. Математический диктант

a a
3
8
a :a
a
5 2
6
a
3
a
2
6a
7a
3m 6
12
m
mn 2
nq
3a 12b
3ab
ax a
2 y z 4 yz
2
x2 6x 9
25 y 2 z 2
2

4. Математический диктант (ответы)

a
4
a
6
a
10
a
3
6
7
3
m6
mn
q
a 4b
ab
a x 1
2 yz y 2 z
x 3 x 3
5 y z 5 y z

5. Правила умножения и деления алгебраических дробей, возведения алгебраической дроби в натуральную степень.

Умножение:
a c ac
b d bd
Деление:
x y
10 x
5 x y x y x y x y
10 x x y
2x
2
a c ad
:
b d bc
Возведение в
степень:
n
Например:
5x 5 y x 2 y 2
1)
16u 13v 13v 16u
2
2) 21 p :
p
13v 16u p 2
p
13v 16u 21 p
21
a
a
n
b
b
n
5
5
5
a
a
a
3)
5
5
5
2
x
2
x
32
x

8. Сократите дробь:

Группа
1
8 x 40 y
2
2
x 25 y
32
8
8 8
8
1)
2)
3)
4)
x 25 y
x 5y
x 5y
x 5y
Группа 10a b 2
1) 2а
2
5a 2 b
2
2) 2
3) -2а
4) -2
Группа
3
4x 4x 1
4x 2
2x 1
1
4×2 1
1
2
1)
2) 2 x 3)
4) x
2
2
2
2
Группа
4
25 x
2
x 5x
5 x
1)
x
2
2
x 5
5
2)
3)
x
x
5
4)
x
Группа 1
Группа 2
А3.Выполните деление: А3.Выполните умножение:
1)
3)
x2
2
x2
2
5x 2
10
:
y 1 1 y
50 x 2
2) y 1
4) 50х2
6a 2
a 5
a 2 25
2a
1)
4a
a 5
2)
3)
12a 3
a 5
4)
Группа 3
3a
a 5
3a
5
Группа 4
А3.Выполните деление: А3.Выполните умножение:
x 1 x2 1
:
2
8x
1) 4х
3)
x 1
2
2)
4)
4x
x 1
4x
x 1
x2 4
2
4x
x 2
1) -2
3)
x 2
2
2)
4)
x 1
2x
x 2
2x

11. Рефлексия

Мне было ясно и понятно
Чуть- чуть не понятно
Тему не понял(а)
Домашнее задание:
№ 490
Составить и записать и решить по 2
примера на умножение и деление
дробей.

Эльмира Тугушева | Педагогическое интернет-сообщество УчПортфолио.ру

Календарно-тематический план
изучения дисциплины «Алгебра — 7» и «Математика-5»  
в начале III четверти,
разработанный учителем-практикантом по форме,
принятой в образовательном учреждении
 

№	Тема урока	Элементы содержания образования	Требование к уровню  подготовки уч-ся	Формы и средства обучения	Вид контроля		Дата
Модуль «Обыкновенные дроби»
1	Сложение и вычитание обыкновенных дробей (ИНМ)	Дроби с одинаковыми знаменателям, сложение и вычитание обыкновенных дробей, дроби с разными знаменателями, приведение дробей к одному знаменателю, дополнительный множитель	Иметь представление о правиле сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Знать, как применять правила сравнения, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Уметь сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями		ФО ИРД ИРК
2	Сложение и вычитание обыкновенных дробей (ЗИМ)				ФО ИРД СР
3	Сложение и вычитание обыкновенных дробей ( ПМ)			СР	ФО СР ИРД
	Модуль «Одночлены. Операции над одночленами»
4	Понятие одночлена (ИНМ)	Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена. Коэффициент одночлена.	Знать понятия: одночлен, коэффициент одночлена, стандартный вид одночлена		ФО ИРД СМ
5	Сложение и вычитание одночленов (ИНМ)	Правило сложения и вычитания многочленов.	Уметь: — складывать, вычитать подобные одночлены;		ФО ИРД
6	Сложение и вычитание одночленов (ЗИМ)				ФО ИРД СМ
7	Умножение одночленов. Возведение одночленов в натуральную степень. Деление одночлена на одночлен.        ( ЗПЗ)	Умножение одночленов Возведение одночлена в степень Деление одночлена на одночлен	Уметь применять правила умножения одночленов, возведения одночлена в степень для упрощения выражений Знать алгоритм и уметь выполнять деление одночленов для упрощения алгебраических дробей		ФО ИРД
8	Контрольная работа  по теме «Одночлены. Операции над ними».	Контроль и оценка знаний и умений	Уметь решать примеры, опираясь на изученные свойства	КР		КР
	Модуль «Многочлены. Операции над многочленами »
9	Многочлен. Основные понятия (ИНМ)	Многочлен. Подобные члены многочлена. Стандартный вид многочлена	Уметь приводить подобные слагаемые. Записывать многочлен  в стандартном виде многочлен		ФО ИРД
10	Сложение и вычитание многочленов (ИНМ)	Сложение и вычитание многочленов. Правила раскрытия скобок	Уметь раскрывать скобки; складывать и вычитать многочлены		ИРД СМ
11	Сложение и вычитание многочленов  ( ЗИМ)	Представление многочлена в виде суммы или разности многочленов	Уметь решать уравнения; представлять выражение в виде суммы или разности многочленов		ФО ИРД Т
12	Умножение многочлена на одночлен (ИНМ)	Умножение одночлена на многочлен	Уметь: – умножать одночлен на многочлен; – решать уравнения			ИРД
13	Контрольная работа  по теме «Многочлены. Операции над ними».	Произведение одночлена и многочлена. Сумма и разность многочленов	Уметь умножать одночлен на многочлен; выносить общий множитель за скобки	КЗ		КЗ

 
 
 
Используемые в тексте КТП условные обозначения:
 
Тип урока
ИНМ-изучение нового материала
ЗПЗ-закрепление первичных знаний
УКПЗ-урок комплексного применения знаний
КЗ-контроль знаний
УЗ-урок закрепления
ОСМ-урок обобщения и систематизации знаний
ППМ-повторение пройденного материала
ПР-практикум
ПМ-повторение материала по теме
Формы контроля:
ФО — фронтальный опрос.
ИРД — индивидуальная работа у доски.
ИРК — индивидуальная работа по карточкам.
ДСР— дифференцированная самостоятельная работа.
МД — математический диктант.
ДТ – диагностическая тестовая работа.
Т – тестовая работа.
КР — контрольная работа.
 

Алгебраические дроби (8 класс). ⭐ Бесплатные PDF на Cdnpdf.com ✔️

Слайд #1

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме: «Алгебраические дроби». Автор: Обухова Елена Александровна, учитель математики МОУ СОШ № 12 г. Сочи, Краснодарского края. 2009 г.

Слайд #2

Тип урока: обобщение. Цели урока: Образовательные: а). Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Алгебраические дроби». б). Закрепление навыков решения тестовых заданий по данной теме. Развивающие: а). Формирование и развитие умения мыслить и анализировать. б). Развитие памяти. Воспитывающие: а). Воспитание умения работать самостоятельно. б). Воспитание умения выдерживать регламент времени, отведенного на решение каждого задания. в). Привитие интереса к предмету.

Слайд #3

Повторение основных понятий. Новые термины математического языка. Алгебраическая дробь – выражение , где многочлен Р(х)-числитель алгебраической дроби, а Q(х)-ее знаменатель. 2. Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить (разделить) на один и тот же не равный 0 многочлен. 3. Рациональное уравнение – уравнение вида =0, где Q(х)≠0. 4. Степень с отрицательным показателем — ,где n – натуральное число и а≠0.

Слайд #4

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. 1. Разложить все знаменатели на множители. 2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов. 3. Составить произведение, включив в него НОК коэффициентов и все буквенные множители. Одинаковые множители берем один раз. Из всех степеней с одинаковым основанием берем множитель с наибольшим показателем степени. 4. Найти дополнительные множители для каждой из дробей. 5. Найти для каждой дроби новый числитель как произведения числителя на дополнительный множитель. 6. Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.

Слайд #5

Упростить выражение: Первый этап. 4а2-1=(2а-1)(2а+1) 2а2+а=а(2а+1) Общий знаменатель: а(2а-1)(2а+1) Дополнительные множители: К первой дроби: а Ко второй дроби: (2а-1) Второй этап.

Слайд #6

Правила умножения и деления алгебраических дробей, возведения алгебраической дроби в натуральную степень. Умножение: Деление: Возведение в степень: Например: 1) 2) 3)

Слайд #7

Свойства степени с отрицательным целым показателем. Тождества справедливы для а≠0, b≠0, s,t – произвольные целые числа. as · at = as + t as : at = as – t (as)t = ast (ab)s = as · bs (a : b)s = as : bs Например: а-3 · а-5 = а-3+(-5) =а-8 а4 : а-3 = а4-(-3) =а7 (а-2)-3 = а-2·(-3) =а6 0,5а2в-2 · (4а-3в3)2 = 0,5а2в-2 · 16а-6в6 = 0,5 · 16 ·(а2а-6) · (в-2в6) = 8а-4в4

Слайд #8

Самостоятельная работа. Выполните тест: Время работы – 25 минут!

Слайд #9

Вариант 1 А1. Выполните действия: 1) 5а4в3 2) 5а4в4 3) -5а4в4 4) -5/81а4в3 Вариант 2 А1. Укажите выражение тождественно равное данному (4а-2в4)2 1) 16а-4в8 2) 4а4в6 3) 16а4в8 4) 2а-1в2 Вариант 3 А1. Запишите в виде одночлена выражение: 2а4в-2 3а-2в3 1) 6ав 2) 6а2в5 3) 6а2в 4) 6а2в-1 Вариант 4 А1. Укажите выражение тождественно равное данному ( а2в-3)-2 1) -4а-4в6 2) 3) 4) 4а-4в6

Слайд #10

А2. Сократите дробь:

Слайд #11

Вариант 1 А3.Выполните деление: 1) 2) 3) 4) 50х2 Вариант 2 А3.Выполните умножение: 1) 2) 3) 4) Вариант 3 А3.Выполните деление: 1) 4х 2) 3) 4) Вариант 4 А3.Выполните умножение: 1) -2 2) 3) 4)

Слайд #12

А4. Упростите выражение:

Слайд #13

Информация для учителя: Ответы к тесту: Оценка теста: Каждое верно решенное задание оценивается в 1 балл, неверное – 0 баллов. 4 балла – «5» 3 балла – «4» 2 балла — «3» 0-1 баллов – «2».

Слайд #14

Используемая литература: «Алгебра 8 класс», часть 1, учебник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2007 г. «Алгебра 8 класс», часть 2, задачник, под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2007 г. «Тематический сборник тестовых заданий по алгебре для подготовки к государственной (итоговой) аттестации в новой форме», базовый уровень, под редакцией Е.А. Семенко, Просвещение-Юг, Краснодар, 2008 г. «Экзаменационные тестовые задания», Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ, 2008 г. «Краевые диагностические работы по алгебре в 9 классе», Департамент образования и науки Краснодарского края, ККИДППО, 2008 г.

упрощающих степеней дробей | Study.com

Умножение дробей

Прежде чем мы рассмотрим, как упростить степени дробей, нам нужно знать, как умножать дроби. Умножить дроби действительно довольно просто. Фактически, это самая простая из всех основных операций, выполняемых с дробями. Все, что нам нужно сделать, это умножить числители, чтобы найти числитель произведения, и умножить знаменатели, чтобы найти знаменатель произведения.Это показано в следующем уравнении.

Правило умножения дробей

Например, если мы хотим умножить (2/7) * (5/6), мы умножаем числители, чтобы получить 2 * 5 = 10, давая числитель произведения. Затем мы умножаем знаменатели и получаем 7 * 6 = 42, что дает знаменатель произведения. Наконец, по возможности упрощаем результат.

Упрощение степеней дробей

В нашем примере с ужином мы видим, что (3/4) 2 = (3/4) * (3/4), поэтому давайте выполним это.

Это говорит нам о том, что вы хотите добавить 9/16 чашки нарезанного лука в свой рецепт ужина.

Обратите внимание, что для вычисления (3/4) 2 мы умножаем 3/4 на себя два раза. Также обратите внимание, что показатель степени равен двум. Это не случайно! В общем, когда дело доходит до упрощения степени дроби, мы умножаем дробь на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Другой способ упростить степени дробей

У нас также есть другой способ упрощения степеней дробей. Обратите внимание: поскольку мы умножаем дробь на себя столько раз, сколько указывает показатель степени, а для умножения дробей мы просто умножаем числители вместе и знаменатели вместе, на самом деле мы просто возводим числитель в степень, а знаменатель в степень. экспонента.В общем, у нас есть следующее правило.

Правило упрощения степеней дробей

Давайте посмотрим на упрощение наших предыдущих примеров таким образом.

Как и ожидалось, мы получаем одинаковые ответы!

Краткое содержание урока

Степень дроби — это дробь, возведенная в степень. Дробь называется основанием , а степень называется экспонентой .Мы рассмотрели два разных способа упрощения степеней дробей. Первый включает в себя умножение дроби на себя количество раз, указанное показателем степени, а второй включает возведение как числителя, так и знаменателя до указанной степени. На самом деле это один и тот же процесс, но с двух точек зрения. Любой из них отлично работает, когда мы хотим упростить степени дробей, поэтому вам решать, какую из них вы хотите использовать. Хорошая новость в том, что теперь вы знаете, как делать и то, и другое!

УМНОЖЕНИЕ ФРАКЦИЙ — ppt видео онлайн скачать

Презентация на тему: «УМНОЖЕНИЕ ФРАКЦИЙ» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 УМНОЖЕНИЕ ФРАКЦИЙ
Что нужно знать ……….Числитель также называется верхним # А знаменатель можно назвать нижним # Как сделать …… Убедитесь, что у вас дроби, а НЕ смешанные числа. Если у вас смешанные числа, превратите их в НЕПРАВИЛЬНЫЕ ФРАКЦИИ. Теперь умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель — ПРЯМО НАПРЯМУЮ! Если ваш ответ является неправильной дробью, преобразуйте его в смешанное число, разделив его. + + х х

2 1.2.

3 Сохранить, изменить, перевернуть разделение дробей
При делении дробей НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО найти общий знаменатель! Все смешанные числа и целые числа необходимо переводить в дроби. Единственная часть, которая отличается от умножения дробей, — это нахождение обратной величины второй дроби. (флип-флоп) Сохранить, изменить, перевернуть

4 Деление дробей

5 Деление дробей

6 Деление дробей

7 Практика! Возьмите линованный лист бумаги.Сложите его на восьмерки.
В первом поле укажите свое полное имя. Затем номер 1-15. Вы напишете выражение для каждого ответа. Покажи свои шаги, чтобы получить кредит.

Калькулятор дробей — базовые и расширенные вычисления с дробями

Используйте этот калькулятор дробей, чтобы легко выполнять вычисления с дробями. Складывайте, вычитайте, умножайте и делите дроби, а также возводите дробь в степень (дробь или нет). Поддерживает оценку смешанных дробей (например, «2 1/3») и отрицательных дробей (например, «2 1/3»).грамм. «-2/3»). Используйте «пи» или «π» вместо числа Пи. Мощный расширенный режим для вычисления целых выражений с дробями.

Быстрая навигация:

1. Использование калькулятора дробей
2. Как вычислять дроби
3. Практические примеры

Использование калькулятора дробей

Калькулятор дробей предлагает два режима: основной и расширенный. Базовый режим поддерживает одну операцию (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) только с двумя дробями, например.1/2 .

Калькулятор поддерживает:

• Простые дроби: — например, 1/2, 3/4, 13/5 в обоих режимах.
• Смешанные фракции: — например, 1 1/2, 2 3/4, 10 3/5 в обоих режимах. Убедитесь, что вы оставили одно пространство между целой частью и дробной частью.
• Десятичные дроби: — например, 1.5, 3.45, 10.01 в обоих режимах. Вы также можете ввести такие вещи, как 1,5 / 2,5 . Убедитесь, что вы используете точку (.) В качестве десятичного разделителя.у).
• Группировки / круглые скобки: в расширенном режиме вы можете использовать круглые скобки для группировки элементов и принудительного порядка вычислений. В противном случае расчеты производятся в обычном порядке.
• Число Пи (π) : вы можете ввести «пи» или «π» в обоих режимах, например pi / 2 в базовом режиме, (pi + 5) / 2 в расширенном режиме. Он будет автоматически преобразован в правильное значение приблизительно 3,14159.
• Отрицательные дроби : оба режима поддерживают отрицательные дроби, десятичные дроби и числа.

В расширенном режиме порядок вычислений в инструменте следующий: круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание (PEMDAS).

Результат представлен в виде десятичного числа (точность 12 позиций после десятичной точки) и в виде упрощенной смешанной дроби .

Как считать дроби

Принципы математики дробей одинаковы, независимо от того, кодируете ли вы их в калькуляторе или выполняете вычисления вручную.Во-первых, когда складывает или вычитает дроби , вам нужно начать с нахождения наименьшего общего знаменателя, также известного как наименьший общий знаменатель или наименьший общий знаменатель дробей, с которыми вам нужно работать. Это по определению наименьшее положительное целое число, которое делится на каждый знаменатель. ЖК-дисплей — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей. В этой операции нет необходимости при умножении, делении или возведении в степень.

Затем вам нужно преобразовать смешанные дроби в простые дроби, чтобы упростить работу.Чтобы найти числитель простой дроби, умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к ней числитель дробной части. Знаменатель останется прежним.

Наконец, выполните необходимые операции (сложение, вычитание, умножение, деление), работая с числителями. Затем вы получите результат расчета. Конечно, гораздо проще использовать мощный калькулятор дробей , как наш выше.

Иллюстрируя пошаговый процесс, это:

1. при сложении или вычитании дробей найдите наименьший общий знаменатель
2. преобразование смешанных дробей в простые дроби
3. выполнять арифметические действия с числителями

Это не так сложно, но в определенных сценариях может быть сложно сделать вручную, что не является проблемой для онлайн-калькулятора.

Практические примеры

Пример задания № 1: сложить дроби 1/2 и 3/4.

Решение : Наименьший общий знаменатель 2 и 4 равен 4, поэтому 1/2 = 2/4 и 3/4 остается 3/4. Складываем 2 + 3 = 5, получаем 5/4. В виде смешанной дроби, равной 1 1/4, в десятичном виде: 1,25.

Пример задания № 2: Вычесть дроби 1 1/5 и 2/3.

Решение . Сначала преобразуйте 1 1/5 в простую дробь по формуле (1 x 5 + 1) / 5 = 6/5.Наименьший общий знаменатель 5 и 3 равен 15, поэтому 6/5 = 18/15 и 2/3 = 10/15. Вычитая 10 из 18 = 8, получаем 8/15. Это не может быть далее упрощено. В десятичном виде это 0,53 (3). Вы можете проверить результат с помощью нашего инструмента.

Пример задания № 3: Умножение дробей 1/3 и 5/8

Решение : Чтобы вычислить это выражение, просто умножьте числители вместе, а затем знаменатели вместе. Умножив 1 на 5, мы получим 5, умножив 3 на 8, получим 24, так что ответ будет 5/24, или 0.2083 (3).

фракций_and_index_law_in_algebra

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

Дроби и индексы в алгебре

Число и алгебра: Модуль 32 лет: 8-9

июнь 2011

PDF Версия модуля

ПРИНУДИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ

Арифметика целых и дробных чисел.

• Основные методы ментальной арифметики.
• HCF и LCM в арифметике.
• Алгебраические выражения с целыми числами и минусами.
• Законы индексов в арифметике с ненулевыми целочисленными индексами.
• Три закона индекса, включающие произведения в алгебре.
• Линейные уравнения

МОТИВАЦИЯ

Различные применения алгебры требуют систематических навыков работы с алгебраическими выражениями. Этот модуль является третьим из четырех модулей, которые обеспечивают систематическое введение в базовые алгебраические навыки.

В модуле «Алгебраические выражения» мы ввели алгебру, используя только целые числа и случайные дроби для местоимений. Затем в модуле «Негативы» и «Индексные законы в алгебре» мы расширили методы этого модуля на выражения, содержащие негативы.

Данный модуль расширяет методы алгебры, так что все отрицательные дроби и десятичные числа также могут быть заменены в алгебраические выражения и могут появляться как решения алгебраических уравнений.

Хотя в более ранних модулях иногда использовались отрицательные дроби, этот модуль обеспечивает первое систематическое их рассмотрение и начинается с представления четырех операций арифметики и степеней в контексте отрицательных дробей и десятичных знаков. Полученная система счисления называется рациональными числами. Этой системы достаточно для всех обычных вычислений в любой жизни, потому что сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел (кроме деления на ноль) и взятие целых степеней рациональных чисел всегда дает другие рациональные числа.В частности, научные расчеты часто включают манипулирование уравнениями с десятичными знаками.

Модуль также начинает обсуждение алгебраических дробей, которые обычно вызывают проблемы у студентов. В этом модуле обсуждение быстро ограничивается путем исключения числителей и знаменателей с более чем одним термином. Эти более сложные алгебраические дроби более подробно рассматриваются в четвертом модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

После того, как дроби были введены в алгебру, два закона индекса, касающиеся частных, могут быть сформулированы в более систематической форме, а затем объединены с алгеброй.Это завершает обсуждение законов индексов в арифметике и алгебре в том, что касается ненулевых целочисленных индексов.

СОДЕРЖАНИЕ

Рациональные числа

Наша арифметика началась с целых чисел

0, 1, 2, 3, 4,…

Затем мы построили продолжение целых чисел в двух разных направлениях. Во-первых, в модуле Дроби мы добавили положительные дроби, такие как и = 4, которые можно записать как отношение целого числа к ненулевому целому числу, и мы показали, как складывать, вычитать, умножать и делить фракции.Это дало систему чисел, состоящую из нуля и всех положительных дробей. В этой системе каждое ненулевое число имеет обратное, и всегда возможно деление без остатка (кроме нуля). Однако только ноль имеет противоположное значение, и вычитание a — b возможно только при b ≤ a.

Во-вторых, в модуле «Целые числа» мы снова начали с целых чисел и добавили противоположности целых чисел. Это дало систему чисел, называемую целыми числами, состоящую из всех целых чисел и их противоположностей,

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…

, и мы показали, как складывать, вычитать, умножать и делить целые числа.В этой системе целых чисел у каждого числа есть противоположность, и всегда возможно вычитание. Однако только 1 и -1 имеют обратные значения, и деление без остатка возможно только в таких ситуациях, как 21 ÷ 7, когда делимое является целым числом, кратным делителю.

Арифметика должна выполняться в системе без таких ограничений — мы хотим, чтобы и вычитание, и деление были возможны постоянно (кроме деления на ноль). Для этого мы начинаем с уже имеющихся целых чисел и положительных дробей.Затем мы складываем противоположности положительных дробей, так что теперь наша система счисления содержит все числа, такие как

.

— и — = −4

Все эти числа вместе называются рациональными числами — слово «рациональный» является прилагательным от «соотношение». Мы действительно какое-то время использовали в этих заметках отрицательные дроби. Эти замечания призваны формализовать ситуацию. Обычные законы знаков применяются к умножению и делению в этой более крупной системе, так что дробь с отрицательными целыми числами в числителе или знаменателе, или в обоих, может быть записана как положительная или отрицательная дробь,

и = — и =

Из-за этих тождеств рациональное число обычно определяется как отношение целого числа и ненулевого целого числа:

«Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби, где a — целое число, а b — ненулевое целое число».

Таким образом, положительные и отрицательные смешанные числа, завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами, потому что их можно записать как дроби целых чисел. Например,

9 =, -23,917 =, -1. =

В последующих модулях по таким темам, как сурды, круги, тригонометрия и логарифмы, нам нужно будет ввести дополнительные числа, называемые иррациональными числами, которые нельзя записать в виде дробей. Вот несколько примеров таких номеров:

.

, π, sin 22 °, log2 5.

В модуле «Действительные числа» рассматривается получившаяся более общая система арифметики.

ПРИМЕР

Покажите, что каждое число ниже рационально, записав его в виде дроби, где a и b — целые числа с b ≠ 0.

Решение

Построение рациональных чисел

Есть два способа построить рациональные числа. Первый способ — сначала построить положительные дроби, а затем отрицательные, что примерно так и произошло исторически.Это включает трехэтапную процедуру:

1

Сначала построить целые числа 0, 1, 2, 3, 4,…

2

Затем постройте неотрицательные дроби, такие как и, как отношение двух целых чисел, где второе не равно нулю. Этот процесс включает определение дроби, например, где два целых числа имеют общий множитель, в его простейшей форме и определение дроби, например, где знаменатель 1, с целым числом 5.

3

Наконец, постройте рациональные числа, построив противоположности каждой положительной дроби и целого числа.

Другой метод состоит в построении сначала целых чисел, а затем дробей. Теперь три шага:

1

Сначала построить целые числа 0, 1, 2, 3, 4, ..

2

Затем постройте целые числа, построив противоположности…, −4, −3, −2, −1 всех ненулевых целых чисел.

3

Наконец, постройте рациональные числа, построив все дроби, такие как и отношение двух целых чисел, где второе не равно нулю. Этот процесс снова включает в себя определение эквивалентных дробей и определение дробей со знаменателем 1 как целых чисел.

Эти две процедуры одинаково приемлемы математически, и их окончательные результаты
идентичны по структуре. Однако учащиеся узнают о рациональных числах, работая с
на их примерах в арифметике и алгебре, и
таких объяснений мало что дадут.

Сложение и вычитание отрицательных дробей и десятичных знаков

При сложении и вычитании дробей и десятичных знаков, которые могут быть положительными или отрицательными, правила представляют собой комбинацию правил для целых чисел и правил сложения и вычитания положительных дробей и десятичных знаков:

• Чтобы вычесть отрицательное число, добавьте его противоположное.
• Выполните сложение и вычитание слева направо.
• При работе со смешанными числами обычно легче отделить целую часть от дроби.

Следующие ниже примеры демонстрируют такие вычисления сначала в арифметических примерах, затем в подстановках и уравнениях.

Умножение отрицательных дробей и десятичных знаков

Как и в случае со сложением и вычитанием, нам нужно объединить уже обсужденные правила:

• Сначала определите знак продукта, затем разберитесь с цифрами. Результат двух положительных или двух отрицательных результатов является положительным. Произведение положительного и отрицательного — отрицательное.
• При отсутствии скобок порядок операций:

1 Пауэрс,

2 Умножение и деление слева направо,

3 Сложение и вычитание слева направо.

• При умножении дробей сначала преобразуйте их в неправильные дроби.
• При умножении десятичных знаков преобразуйте их в дроби, знаменатели которых являются степенями 10.

(Некоторые люди предпочитают использовать правило «Прежде чем отбрасывать конечные нули, количество десятичных знаков в ответе равно общему количеству десятичных знаков в вопросе.’)

Следующие ниже примеры демонстрируют эти процедуры сначала в арифметических примерах, а затем с заменами и уравнениями.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Сколько факторов должно быть взято в произведении (−0,8) × 0,9 × (−1,0) ×…, чтобы произведение превысило 1?

Разделение дробей и десятичных дробей

С порядком работы мы уже ознакомились. Другие необходимые правила:

• При делении на дробь умножается на обратную величину.Неподходящая дробь сначала должна быть преобразована в неправильную дробь.


• Чтобы разделить на десятичную дробь, запишите вычисление в виде дроби, затем умножьте верхнюю и нижнюю на степень 10, достаточную для того, чтобы делитель стал целым числом.


• (Некоторые люди предпочитают заменять десятичные дроби на дроби, а затем использовать методы дроби.)

Обратный

Мы видели, что величина, обратная положительной дроби, такая как дробь, образованная заменой числителя и знаменателя, потому что

× = 1

Точно так же обратная отрицательная дробь, такая как — есть -, потому что

— × — = 1

• Чтобы сформировать обратную величину, поменяйте местами числитель и знаменатель, не меняя знака.

Взаимное соотношение положительных и отрицательных дробей важно в различных более поздних приложениях, особенно при перпендикулярных градиентах.

Составные фракции

Существует очень простой способ упростить составную дробь, такую ​​как

• Чтобы упростить составную дробь, умножьте верхнюю и нижнюю части на наименьший общий знаменатель всех дробей.

В приведенном выше примере наименьший общий знаменатель всех дробей равен 12, поэтому умножение верхней и нижней части на 12

= =

Также можно переписать дробь как деление + ÷ 2 +, но такой подход требует большего количества шагов.

Решение уравнений с дробями

Уравнение с несколькими дробями может быть решено стандартным методом: «Переместите каждый член в x в одну сторону, а все константы в другую». Однако итоговые вычисления дробей могут быть довольно сложными. Существует гораздо более быстрый подход, позволяющий избавиться от всех фракций за один шаг:

.

• Если в уравнении используются дроби, умножьте на наименьший общий знаменатель.
• Аналогичным образом, если в уравнении используются десятичные дроби, умножьте их на подходящую степень 10.

В следующем примере сначала используется этот более быстрый подход, а затем стандартный метод для решения двух уравнений. Сравните подходы и решайте сами.

УПРАЖНЕНИЕ 3

Используйте эффективный метод, чтобы найти среднее значение чисел 1, 0,9, 0,8,…, −2.

Система рациональных чисел

Мы по очереди ввели четыре системы счисления.

Сначала мы ввели целые числа 0, 1, 2, 3, 4,… Множество целых чисел замкнуто при сложении и умножении, что означает, что когда мы складываем или умножаем два целых числа, мы получаем еще одно целое число.Однако целые числа не закрываются ни при вычитании, ни при делении, потому что, например,

7–10 не является целым числом, а 7–10 не является целым числом.

Затем мы добавили положительные дроби к целым числам, так что наша система счисления теперь содержала все неотрицательные рациональные числа, включая такие числа, как 4, и 5. Эта система замкнута при делении (кроме нуля), но до сих пор не закрывается на вычитание.

Затем мы ввели целые числа…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…, состоящие из всех целых чисел и их противоположностей.Эта система закрыта на вычитание, но не на деление.

Теперь, когда мы работаем с рациональными числами — целыми числами вместе со всеми положительными и отрицательными дробями — у нас наконец есть система, которая замкнута для всех четырех операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме нуля). Они также закрываются при операции взятия целых степеней.

Таким образом, этот набор рациональных чисел является очень хорошей системой для выполнения арифметических операций и вполне достаточен для всех повседневных нужд.Когда мы переходим к еще большей системе действительных чисел, каждое действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами настолько близко, насколько мы хотим (действительно, завершая десятичные дроби), так что рациональные числа останутся чрезвычайно важными.

Снижение, умножение и деление алгебраических дробей

Алгебраическая дробь — это дробь, содержащая местоимения,

,,, -.

Местоимение в дроби обозначает числа, поэтому мы имеем дело с алгебраическими дробями, используя те же самые процедуры, что и в арифметике.

Подстановка в алгебраические дроби

Мы видели в арифметике, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это означает, что:

В выражение нельзя подставлять x = 0.

В выражение нельзя подставлять c = 0.

В выражении — мы не можем заменить s и t одним и тем же значением.

За исключением этого уточнения, подстановка в алгебраические дроби работает точно так же, как подстановка в любом алгебраическом выражении.Например, если r = 5, s = 7 и t = 4, то

— = = 5

Замена отрицательных чисел требует обычной осторожности со знаками. Если r = −2, s = −7 и
t = 5,

— = = =

Остальная часть этого модуля исключает знаменатели, такие как s — t и a — 3, которые содержат два или более членов. Такие выражения будут рассмотрены в следующем модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

Сокращение алгебраических дробей

Поскольку местоимения — это просто числа, мы можем исключить как местоимения, так и числа в алгебраической дроби.Например,

= и = а.

Мы не можем отменить ноль, поэтому мы должны строго исключать нулевые значения местоимения при отмене. Это означало бы написать

= при условии x ≠ 0 и = a при условии a ≠ 0 и b 0.

Такие квалификации станут важными в математике намного позже. Однако на данном этапе неуместно поднимать этот вопрос, если только студенты не настаивают.

ПРИМЕР

Упростите каждую алгебраическую дробь, отбросив все общие множители:

Деление алгебраических выражений

Когда мы делим, законы знаков такие же, как и законы умножения:

• Отношение двух отрицательных или двух положительных значений положительное.
• Частное положительного и отрицательного отрицательного.

Следующие примеры иллюстрируют все возможности:

= 3x = −3x = −3x = 3x

Как и в случае с умножением, обработка более сложных выражений включает три шага:

• Сначала разберитесь со знаками.
• Тогда займемся цифрами.
• Затем разберитесь с каждым местоимением по очереди.

= и (21abc2) ÷ (−7b2c) = —

Последний ответ также можно записать как или даже как, но лучший способ записать ответ — поставить знак минус перед дробью.

Дробное обозначение обычно используется для частных, но также можно использовать знак деления, как во втором примере выше.

ПРИМЕР

Упростите каждое частное:

Умножение алгебраических дробей

Мы видели, как умножать дроби в арифметике,

• Сначала разберитесь со знаками.
• Затем вычеркните все общие множители из числителя и знаменателя.
• Затем умножьте числители и умножьте знаменатели.

Точно такой же метод применяется к умножению алгебраических дробей. Например,

Деление на алгебраическую дробь

Мы знаем закон знаков деления и умеем делить на дробь. Чтобы разделить на алгебраическую дробь, мы последовательно применяем те же законы

1. Сначала определите знак частного.
2. Чтобы разделить на дробь, умножьте на обратную величину

Например,

ПРИМЕР

Упростите каждое частное:

Решение

Величина, обратная алгебраической дроби

Обратные значения алгебраических дробей образуются точно так же, как это было сделано в
в арифметике.

Обратное значение равно, потому что × = 1.

Обратное значение −a3 равно -, потому что (−a3) × — = 1.

Обратное значение — равно -, потому что — × — = 1.

• Чтобы сформировать обратную величину, поменяйте местами числитель и знаменатель, не меняя знака.

ПРИМЕР

Запишите обратную величину каждой алгебраической дроби:

.

Индекс законов для дробей

Предыдущий модуль алгебры Отрицательные и индексные законы в алгебре рассматривал индексные законы для произведения степеней одного и того же основания, для степени степени и для
степени произведения:

• Чтобы умножить степени одного основания, сложите индексы:
• am × an = am + n.
• Чтобы возвести степень в степень, сложите индексы:
• (am) n = amn.
• Сила продукта — продукт мощностей:
• (ab) n = anbn.

В этих идентификаторах a и b — любые числа, а m и n — любые ненулевые целые числа
.

Теперь обратимся к оставшимся двум законам индекса, которые включают частные.

Индексный закон для степени частного

Чтобы увидеть, что происходит, когда мы берем степень дроби, мы просто записываем степень.

Таким образом, общую ситуацию можно выразить как:

• Степень частного — это частное между степенями:

n = где a и b ≠ 0 — числа, а n — ненулевое целое число.

Следующие примеры иллюстрируют использование закона в арифметике и алгебре.

ПРИМЕР

Упростить:

Решение

При применении к алгебраической дроби также часто требуются законы, ранее введенные для мощности произведения и для мощности степени.Например,

3 = и 2 =

Индексный закон для отношения степеней одного и того же основания

Остающийся в арифметике индексный закон имеет дело с делительными степенями одного и того же основания. В модуле «Умножения, факторы и полномочия» закон был разработан в форме: «Чтобы разделить полномочия одного и того же основания, вычтите индексы». Например,

75 ÷ 73 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) ÷ (7 × 7 × 7) = 72.

Дроби, однако, не были введены на этом этапе, поэтому делитель не мог быть более высокой степенью, чем дивиденд.Теперь, когда у нас есть дроби, мы можем выразить закон в дробной форме и снять ограничение:

Основание также может быть местоимением, а закон теперь можно записать как:

• Чтобы разделить степени одного основания, вычтите индексы.

Например,

= a2 и = 1 и =.

Позже, когда в модуле The Index Laws будут введены нулевые и отрицательные индексы, мы сможем сформулировать этот закон в его обычной, более сжатой форме:

= am − n.

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Когда набор алгебраических дробей имеет общий знаменатель, их легко сложить. Как всегда, собираем похожие термины,

+ — + = — (возможно, записывается как)

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

Использование общего знаменателя

Когда дроби не имеют общего знаменателя, нам нужно найти наименьший общий знаменатель, как мы это делали для арифметических дробей.На этом этапе мы ограничимся обсуждением числовых знаменателей, а знаменатели с местоимениями оставим модулю Специальные разложения и алгебраические дроби.

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

ПЕРЕАДРЕСАЦИЯ ССЫЛКИ

Как упоминалось в разделе «Мотивация», этот модуль является третьим из четырех модулей, касающихся основных операций с алгебраическими выражениями. Четыре модуля:

Алгебраические дроби были введены в этот модуль, но алгебра алгебраических дробей может вызвать значительные трудности, если она будет введена в полную силу до того, как будут усвоены более фундаментальные навыки.Поэтому более подробно алгебраические дроби будут рассмотрены в четвертом модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

Сфера применения законов об индексах будет значительно расширена после того, как в модуль «Индексы» будут введены отрицательные и дробные индексы. Одна часть неуклюжести в данном модуле связана с коэффициентом разности мощностей, где нам нужно было записать три разных примера

= x2 и = 1 и =.

Как только нулевой индекс и отрицательные индексы введены в алгебру, все это можно заменить единым законом

= xm — n, где m и n — целые числа.

Квадратные корни и кубические корни также могут быть представлены с помощью дробных индексов — например, записывается как 5 и записывается как 5 — и все же пять законов индекса все еще остаются в силе, даже когда индекс представляет собой любое рациональное число. В модуле «Индексы и логарифмы» вводятся отрицательные и дробные индексы. Позже в исчислении индексом может быть любое действительное число.

ОТВЕТЫ НА УПРАЖНЕНИЯ

УПРАЖНЕНИЕ 1

Наименьший общий знаменатель — 60. Группирование чисел в пары перед их сложением уменьшает размер числителя.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Мы можем игнорировать все отрицательные продукты. Поскольку (−0,8) × 0,9 × (−1,0) × 1,1 меньше 1, первые

произведение больше 1 равно (−0,8) × 0,9 × (−1,0) × 1,1 × (−1,2) × 1,3 × (−1,4).

УПРАЖНЕНИЕ 3

Один из подходов состоит в том, чтобы заметить, что при добавлении 31 числа первые 21 число отменяются. Остальные 10 чисел можно добавить, сгруппировав их попарно:

1 + 0,9 + 0.8 +… + (-2)	= -1,1 — 1,2 — 1,3 -… −2.
	= (-1,1 — 2) + (- 1,2 — 1,9) + (- 1,3 — 1,8) + (- 1,4 — 1,7) + (- 1,5 — 1,6)
	= −3,1 × 5
	= -15,5.

Следовательно, среднее значение = = = -0,5.

Лучше понять, что -0,5 является средним числом, а остальные 30 чисел попадают в пары, расположенные с равным интервалом один слева и один справа от −0.5. Следовательно, среднее значение равно −0,5.

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное).Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Что такое правило отрицательной экспоненты?

Что такое отрицательная экспонента?

Отрицательный показатель степени помогает показать, что основание находится на стороне знаменателя дробной линии. Другими словами, правило отрицательной экспоненты говорит нам, что число с отрицательной экспонентой должно быть помещено в знаменатель, и наоборот.-3. Однако на самом деле вы можете преобразовать любое выражение в дробь, поставив 1 над числом. Это основная причина, по которой мы можем перемещать экспоненты и решать следующие вопросы.

Изучение этого урока также поможет вам на один шаг приблизиться к пониманию того, почему любое число с 0 в экспоненте равно 1. В конце этого урока будет ссылка на диаграмму, которая покажет вам, как возникают эти отношения. о. Скоро вы поймете все основные свойства экспонент!

Как найти отрицательные показатели

Давайте попробуем поработать с некоторыми вопросами об отрицательной степени, чтобы увидеть, как мы будем перемещать числа в верхнюю или нижнюю часть дробной черты, чтобы сделать отрицательные экспоненты положительными.-3)

Решение:

Если вы когда-нибудь увидите отрицательный показатель в верхней части дроби, вы знаете, что если вы перевернете его вниз, он станет положительным. То же самое действительно работает с отрицательными показателями внизу. Если вы переместите его в числитель, его показатель степени также станет положительным. Имея это в виду, давайте проработаем вопрос. Наш первый шаг — просто перевернуть числитель и знаменатель, чтобы избавиться от всех отрицаний в показателях степени. Затем решите, как обычно, с помощью правила мощности.2)

= 64/9

Определенно не так запутанно, как казалось, правда?

Вот хорошее место, чтобы взглянуть на сравнение отрицательных и положительных показателей и посмотреть, как они ведут себя на графике.

Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

Основные операции

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Цели обучения

Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

Основные выводы

Ключевые моменты

• Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
• Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Ключевые термины

• ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
• коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
• произведение : результат умножения двух величин.
• частное : результат деления одного количества на другое.
• сумма : результат сложения двух величин.
• разница : результат вычитания одной величины из другой.

Четыре арифметических операции

Дополнение

Сложение — это самая основная арифметическая операция. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну, или , сумма . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков.Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

[латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание противоположно сложению. Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля.Математически:

[латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

Умножение

Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений. В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:

[латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

Однако есть еще один способ посчитать коробки — это умножить количество:

[латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат — 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

Дивизион

Деление — это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы приводит к получению 4 групп по 2 блока:

[латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

Основные арифметические свойства

Коммутативная собственность

Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение являются коммутативными операциями:

• [латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
• [латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

Однако вычитание и деление не коммутативны.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство описывает уравнения, в которых группировка чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

• [латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
• [латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

Распределительная собственность

Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третье количество.

• [латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

Отрицательные числа

Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

Цели обучения

Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

Основные выводы

Ключевые моменты

• Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательное значение; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
• Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
• Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
• Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.

Четыре операции

Дополнение

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

[латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Основной принцип заключается в том, что два долга — отрицательные числа — могут быть объединены в один долг большей величины.

При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа — вычесть положительные величины. Например:

[латекс] 8 + (−3) = 8 — 3 = 5 [/ латекс]

Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

.

[латекс] (- 8) + 3 = 3 — 8 = −5 [/ латекс]

Аналогично:

[латекс] (- 2) + 7 = 7 — 2 = 5 [/ латекс]

Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

.

[латекс] 2 + (−7) = 2 — 7 = −5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

[латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

[латекс] 5 — 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

и

[латекс] (- 3) — 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Аналогично, , вычитая отрицательного числа, дает тот же результат, что и , прибавляя положительное из этого числа. Идея здесь в том, что , потеряв долг, — это то же самое, что получить кредит.Следовательно:

[латекс] 3 — (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

и

[латекс] (- 5) — (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

Умножение

При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

• Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
• Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Например:

[латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

.

[латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

Однако

[латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом — это то же самое, что получить кредит в шесть раз:

[латекс] \ left (−2 \ text {долгов} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

Дивизион

Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

• Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
• Деление одного положительного числа и одного отрицательного числа дает отрицательное число.
• После деления двух отрицательных чисел получается положительное число.

Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

[латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

и

[латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

но

[латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

Дополнительные соображения

Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

[латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

Дроби

Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

Цели обучения

Вычислить результат операций с дробями

Основные выводы

Ключевые моменты

• Для сложения и вычитания дробей требуются «одинаковые количества» — общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
• Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь — использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
• Деление на дроби предполагает умножение первого числа на величину, обратную второму числу.

Ключевые термины

• числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
• обратный : Дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
• знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
• дробь : отношение двух чисел — числителя и знаменателя — обычно записываемых одно над другим и разделенных горизонтальной чертой.

Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где торт можно разрезать, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Дополнение

Добавление одинаковых количеств

Первое правило сложения дробей — начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена ​​дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман — три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

Добавление отличных величин

Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, — это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

Сложение дробей к целым числам

Что делать, если к целому числу прибавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (вспомните, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} — \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} — \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} — \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

Умножение

В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьшего значения до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, — это во время приготовления.Что, если кто-то захочет «наполовину» рецепт печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

Дивизион

Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина — это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если дробь делится просто):

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

или умножьте знаменатель дроби на целое число:

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

Сложные фракции

Комплексная дробь — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

Цели обучения

Упростить сложные дроби

Основные выводы

Ключевые моменты

• Сложные дроби включают такие числа, как [latex] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
• Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
• «Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.

Ключевые термины

• комплексная дробь : отношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

1. Объедините члены в числителе.
2. Объедините члены в знаменателе.
3. Разделите числитель на знаменатель.

Пример 1

Давайте применим этот метод к первой сложной дроби, представленной выше:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

[латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].

Пример 2

Давайте попробуем другой пример:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]

Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:

[латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]

Перейдем к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]

Наконец, упростим полученную дробь:

[латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]

Следовательно, в итоге:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]

Введение в экспоненты

Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на сам [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

Показатели 0 и 1

Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

Порядок действий

Порядок операций — это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.

Цели обучения

Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
• Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
• Умножение и деление имеют равный приоритет, равно как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
• Полезный мнемоник для запоминания порядка действий — PEMDAS, иногда расширяемый до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Ключевые термины

• математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

Порядок операций — это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

Один вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

Другой вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

Какой порядок действий правильный?

Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ — 10.

Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

1. Упростите термины в круглых или квадратных скобках
2. Упростить экспоненты и корни
3. Выполните умножение и деление
4. Выполнить сложение и вычитание

Эти правила означают, что в математическом выражении сначала должна выполняться операция, имеющая наивысший рейтинг в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

Примечание о равном приоритете

Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

• [латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
• [латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

Мнемоника

В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Однако этот мнемонический знак может вводить в заблуждение, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» — это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

[латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , а затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

[латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:

-П

E

MD

AS

Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

Дробные экспоненты: правила умножения и деления

Обновлено 8 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

Обучение работе с экспонентами является неотъемлемой частью любого математического образования, но, к счастью, правила их умножения и деления соответствуют правилам для недробные показатели. Первым шагом к пониманию того, как обращаться с дробными показателями, является краткое изложение того, что они собой представляют, а затем вы можете посмотреть, как можно комбинировать показатели, когда они умножаются или делятся и имеют одинаковое основание.Короче говоря, вы складываете показатели вместе при умножении и вычитаете одну из другой при делении, при условии, что они имеют одинаковое основание.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Умножьте члены на показатели по общему правилу:

x ^a + x ^b = x ^{( a + b )}

И разделите члены на показатели по правилу:

x ^a ÷ x ^{b = x ( a — b )}

Эти правила работают с любым выражением вместо a и b , даже с четными дробями.