Решение задач с помощью пропорций. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.

1. Прямо пропорциональные величины

Сложность: лёгкое

1
2. Обратно пропорциональные величины

Сложность: лёгкое

1
3. Прямая или обратная пропорциональность

Сложность: среднее

1
4. Расстояние и объём бензина

Сложность: среднее

2
5. Длина и ширина прямоугольника

Сложность: среднее

2
6. Стоимость картофеля

Сложность: среднее

2
7. Хлопковое семя и масло

Сложность: сложное

5
8. Количество машин и грузоподъёмность

Сложность: сложное

5
9. Количество посаженных деревьев

Сложность: сложное

4
10. Новая цена сыра

Сложность: сложное

4

www.yaklass.ru

Задачи на пропорции 6 класс


Задача 1.
400 листов бумаги для печати на принтере имеют толщину 4,4 см. Вычислить толщину пачки, в которой 500 листов бумаги для принтера.

Решение.
Обозначим через х см толщину пачки бумаги из 500 листов.
Согласно условию составим соотношение:
400 листов — 4,4 см
500 листов — х см
Запишем пропорцию:

   

Найдем неизвестное число:

   

Ответ. Толщина пачки бумаги из 500 листов 5,5 см.

Задача 2.
Сколько килограмм воды содержится в 7 кг арбуза, если воды в арбузе 98\%?

Решение.
Согласно условию составим соотношение:
7 кг — 100\%
х кг — 98\%
Запишем пропорцию:

   

Найдем неизвестное число:
(кг).

Ответ. В 7 кг содержится 6,86 кг воды.

Задача 3.
Масса 42 литров нефти составляет 33,6 кг. Найдем массу 28 литров нефти?

Решение.
Обозначим массу 28 литров нефти через х кг.
Составим соотношение согласно условию:
42 литра — 33,6 кг
28 литров — х кг

Запишем пропорцию и найдем из нее неизвестное число:

   

(кг).

Ответ. Массу 28 литров нефти составляет 22,4 кг.

Задача 4.
Вспахали 74\% поля, после чего осталось вспахать всего 13 га. Найти общую площадь поля.

Решение.
Обозначим площадь всего поля через х га.
Согласно условию составим соотношение:
х га — 100\%
13 га — (100—74)\%.
Запишем пропорцию:

   

Найдем неизвестное число:
(га).

Ответ. Общая площадь поля 50 га.

ru.solverbook.com

"Решение задач с помощью пропорций"

Разделы: Математика


Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • научить учащихся выделять в условиях задач две величины;
  • устанавливать вид зависимости между ними;
  • научить их делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию;
  • развить воображение, математическую интуицию, память, мышление, сформировать правильную математическую речь;
  • активизировать познавательную и творческую активность учащихся.

Оборудование: плакаты, индивидуальные карточки, сигнальные карточки

ХОД УРОКА

Организационный момент

  • Проверка готовности класса к уроку;
  • Сообщение темы и цели урока.

Устные задания (тест с использованием сигнальных карточек):

Найти отношение:

а) [8]; б) [6].

Верна ли пропорция:

а) [2]; б) [1].

3. Решить пропорцию:

а) 12,5:Х = 1,2 : 0,6 [4]

б) [0]

Ответы: 1) да; 2) нет; 3) 2; 4) 6,25; 5); 6) ; 7)12,05; 8); 9); 0) ?.

Вопросы:

  1. Что называется отношением двух чисел?
  2. Что показывает отношение двух чисел?
  3. Что такое пропорция?
  4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

Решение задач

На предыдущем уроке учащимся были введены понятия прямой и обратной пропорциональности, отработаны данные понятия на задачах. На данном уроке решаем задачи с помощью пропорций. Рассматриваемые задачи – это задачи с целыми значениями величин, отношение которых тоже целое число. Для этого составляем краткую запись условия задачи. В процессе устного обсуждения выделяем 2 величины, устанавливаем вид зависимости. Уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение - стрелкой вверх. Затем составляем пропорцию и решаем её.

1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.

Решение.

I способ (“по-старому”).

1) 480 : 6 = 80 (км/ч)
2) 80 • 2 = 160 (км)

II способ

Составим краткую запись условия задачи:

Краткая запись заранее оформляется на плакате. В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Затем, составляем пропорцию и решаем её: ; Х= 160 (км)

2. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод? [8 кг].

(Задача дается на самостоятельное решение, но перед этим устное обсуждение задачи).

3. Расстояние между городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние, со скоростью 40 км/ч?

Решение.

В процессе устного обсуждения выясняем, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз, следовательно, эти величины при одном и том же расстоянии являются обратно пропорциональными.

(ч)

4. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? [4 дня] (Для самостоятельного решения).

В этой задаче предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью. Для того, чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, постоянно задаём вопрос: “Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?”. Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок).
Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью, - рассматриваем провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер.

5.

1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймали за 3 ч?
2) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
Затем, рассматриваем задачу, в которой зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность.

6. * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель? [7 недель]

IV. Задача на смекалку (на “совместную работу”).

За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем? [10 дней]

V. Задание на дом

1) В 100 граммах раствора содержится 4 грамма соли. Сколько граммов соли содержится в 300 граммах раствора?
2) 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов?
3) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
4) По учебнику  № 803 (а).

VI. Подведение итогов урока

14.03.2007

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

пропорции в 6 классе | математика-повторение

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

www.mathematics-repetition.com

Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:

a)  x  =  3 ;     б)  1  =  5
21 3x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:

a) x =  2 · 3,   x = 6.      б) x =  3 · 5,   x = 15.
1 1

Ответ: а) x = 6, б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:

a)  30  =  5 ;     б)  7  =  x
x8 510

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:

a) x =  30 · 8,   x = 48.      б) x =  7 · 10,   x = 14.
5 5

Ответ: а) x = 48, б) x = 14.

Задание 3. Известно, что 21x = 14y. Найдите отношение x к y.

Решение: сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7:

получим:

3x = 2y

Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части у x убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ: 2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из 300 читателей библиотеки 108 человек – студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за 100% и запишем условие задачи кратко:

300 – 100%
108 – ?%

Составим пропорцию:

Найдём x:

x =  108 · 100  = 36
300

Ответ: 36% всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2. Сколько надо ягод, если взяли 450 грамм сахара?

Решение: составим пропорцию:

Найдём x:

x =  5 · 450  = 1125
2

Ответ: На 450 гр сахара надо взять 1125 гр ягод.

naobumium.info

Текстовые задачи на пропорции, 6 класс

Девиз урока:

Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным будет.

Маршак Самуил Яковлевич (1887–1964),

русский поэт, переводчик, драматург, литературный критик, редактор.

Автор: «Детки в клетке», «Сказка о глупом мышонке», «Вот какой рассеянный» и др.

Устная работа

1. Назовите

крайние и средние члены

пропорции:

5 : 10 = 6 : 12

Крайние члены : 5 и 12

Средние члены: 10 и 6

20 : 4 = 35 :7

Крайние члены: 20 и 7

Средние члены: 4 и 35

2.Укажите

верную пропорцию:

а) 2 : 3 = 5 : 10

б) 5 : 10 = 8 : 4

в) 2 : 3 = 10 : 15

г) 3 : 5 = 10 : 12

д) 16 : 6 = 8 : 3

Ответ: в) верна

д) верна

3. Найдите пирс для корабля

А 90:3 В 64:16 С 0,15:0,03

«Победа»

« Мечта»

«Слава»

6 : 0,2

105:21

2 : 0,5

Ответ

0,15:0,03 = 105:21

В

«Мечта»

С

« Победа»

90:3 = 6:0,2

А

«Слава»

64:16 = 2: 0,5

Решение задач с помощью пропорции.

Что необходимо сделать,

чтобы решить задачу

с помощью пропорции?

Алгоритм решения задачи

на пропорцию:

1. Внимательно прочитать условие задачи.

2. Неизвестное число обозначить буквой Х.

3. Условие задачи записать в виде таблицы.

4. Поставить стрелки, соответствующие

виду пропорции.

5. Определить вид зависимости.

6. Записать пропорцию.

7. Найти неизвестный член

пропорции.

Решите задачу с помощью пропорции:

  • Бельчонок из 30 кг свежих грибов получил

9 кг сушеных.

Сколько надо собрать ему в лесу свежих грибов, чтобы получить 15 кг сушеных?

Свежие грибы Сушеные грибы

30 кг - 9 кг

х кг - 15 кг

Ответ : 50 кг

Решите задачу с помощью пропорции:

3 дворника могут подмести площадь за 7 часов.

За сколько времени подметут эту же

площадь дворники, если им на

помощь придут ещё 4 дворника?

Кол-во дворников Кол-во часов

3 чел. - 7 ч.

7 чел. - х дн.

Ответ : 3 часа

Решите задачи с помощью пропорции:

  • 4 гнома посадили для Белоснежки 8 роз.

Сколько роз посадят за то же время

3 гнома?

  • 3 феи соберут мед

с цветов за 4 часа.

За сколько часов выполнят эту работу 2 феи?

Проверьте решение :

Кол-во гномов Кол-во роз

Кол-во фей Кол-во часов

3 феи - 4 часа

2 феи - х часов

3 : 2 = х : 4

2х = 3 * 4

2х = 12

х = 12 : 2

х = 6

4 гнома - 8 роз

3 гнома - х роз

4 : 3 = 8 : х

4х = 8 * 3

4х = 24

х = 24 : 4

х = 6

Ответ:

за 6 часов

Ответ :

6 кустов

Повторение пройденного материала

Уравнения

Когда уравненье решаешь, дружок, ты должен найти у него корешок…

Ответ : х = 6

Пожалуйста,

помогите мне решить уравнение.

Ответ: у = 28

Историческая справка

Из истории изучения пропорции

Пропорции начали изучать еще в древности.

Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон

( древнеримский политик и философ)

в I веке до н.э.

Из истории изучения пропорции

В 4 веке до н.э. древнегреческий математик

Евдокс

дал определение пропорции .

Из истории записи пропорции

В 1631 году

Вильям Оутред предложил

следующую запись пропорции

а ● b :: с ● d

Вильям Оутред

Английский математик.

Известен как изобретатель 

логарифмической линейки   

Из истории записи пропорции

Рене Декарт в 17 веке записывал пропорцию так:

7 | 12 | 84 | 144

Рене Декарт

Французский математик, философ, 

физик и физиолог.

Из истории записи пропорции

В 1693 году

Г. В. Лейбниц предложил современную запись пропорции

а : b = с : d

Г. В. Лейбниц

Немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, 

историк, дипломат,

изобретатель и языковед

Желаю удачи!

Творческое задание!

Придумать интересную задачу по теме:

«Пропорции»

и красочно её

оформить.

Что же мне нужно сделать в первую очередь?

Итоги урока

- Что нового вы узнали на сегодняшнем

уроке, что повторили?

- Чем интересен или

не интересен был урок?

multiurok.ru

Текстовые задачи на пропорции, 6 класс

Девиз урока:

Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным будет.

Маршак Самуил Яковлевич (1887–1964),

русский поэт, переводчик, драматург, литературный критик, редактор.

Автор: «Детки в клетке», «Сказка о глупом мышонке», «Вот какой рассеянный» и др.

Устная работа

1. Назовите

крайние и средние члены

пропорции:

5 : 10 = 6 : 12

Крайние члены : 5 и 12

Средние члены: 10 и 6

20 : 4 = 35 :7

Крайние члены: 20 и 7

Средние члены: 4 и 35

2.Укажите

верную пропорцию:

а) 2 : 3 = 5 : 10

б) 5 : 10 = 8 : 4

в) 2 : 3 = 10 : 15

г) 3 : 5 = 10 : 12

д) 16 : 6 = 8 : 3

Ответ: в) верна

д) верна

3. Найдите пирс для корабля

А 90:3 В 64:16 С 0,15:0,03

«Победа»

« Мечта»

«Слава»

6 : 0,2

105:21

2 : 0,5

Ответ

0,15:0,03 = 105:21

В

«Мечта»

С

« Победа»

90:3 = 6:0,2

А

«Слава»

64:16 = 2: 0,5

Решение задач с помощью пропорции.

Что необходимо сделать,

чтобы решить задачу

с помощью пропорции?

Алгоритм решения задачи

на пропорцию:

1. Внимательно прочитать условие задачи.

2. Неизвестное число обозначить буквой Х.

3. Условие задачи записать в виде таблицы.

4. Поставить стрелки, соответствующие

виду пропорции.

5. Определить вид зависимости.

6. Записать пропорцию.

7. Найти неизвестный член

пропорции.

Решите задачу с помощью пропорции:

  • Бельчонок из 30 кг свежих грибов получил

9 кг сушеных.

Сколько надо собрать ему в лесу свежих грибов, чтобы получить 15 кг сушеных?

Свежие грибы Сушеные грибы

30 кг - 9 кг

х кг - 15 кг

Ответ : 50 кг

Решите задачу с помощью пропорции:

3 дворника могут подмести площадь за 7 часов.

За сколько времени подметут эту же

площадь дворники, если им на

помощь придут ещё 4 дворника?

Кол-во дворников Кол-во часов

3 чел. - 7 ч.

7 чел. - х дн.

Ответ : 3 часа

Решите задачи с помощью пропорции:

  • 4 гнома посадили для Белоснежки 8 роз.

Сколько роз посадят за то же время

3 гнома?

  • 3 феи соберут мед

с цветов за 4 часа.

За сколько часов выполнят эту работу 2 феи?

Проверьте решение :

Кол-во гномов Кол-во роз

Кол-во фей Кол-во часов

3 феи - 4 часа

2 феи - х часов

3 : 2 = х : 4

2х = 3 * 4

2х = 12

х = 12 : 2

х = 6

4 гнома - 8 роз

3 гнома - х роз

4 : 3 = 8 : х

4х = 8 * 3

4х = 24

х = 24 : 4

х = 6

Ответ:

за 6 часов

Ответ :

6 кустов

Повторение пройденного материала

Уравнения

Когда уравненье решаешь, дружок, ты должен найти у него корешок…

Ответ : х = 6

Пожалуйста,

помогите мне решить уравнение.

Ответ: у = 28

Историческая справка

Из истории изучения пропорции

Пропорции начали изучать еще в древности.

Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон

( древнеримский политик и философ)

в I веке до н.э.

Из истории изучения пропорции

В 4 веке до н.э. древнегреческий математик

Евдокс

дал определение пропорции .

Из истории записи пропорции

В 1631 году

Вильям Оутред предложил

следующую запись пропорции

а ● b :: с ● d

Вильям Оутред

Английский математик.

Известен как изобретатель 

логарифмической линейки   

Из истории записи пропорции

Рене Декарт в 17 веке записывал пропорцию так:

7 | 12 | 84 | 144

Рене Декарт

Французский математик, философ, 

физик и физиолог.

Из истории записи пропорции

В 1693 году

Г. В. Лейбниц предложил современную запись пропорции

а : b = с : d

Г. В. Лейбниц

Немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, 

историк, дипломат,

изобретатель и языковед

Желаю удачи!

Творческое задание!

Придумать интересную задачу по теме:

«Пропорции»

и красочно её

оформить.

Что же мне нужно сделать в первую очередь?

Итоги урока

- Что нового вы узнали на сегодняшнем

уроке, что повторили?

- Чем интересен или

не интересен был урок?

multiurok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *